（概率论与数理统计专业论文）广义非线性分枝过程.pdf

摘要 经典分枝过程是一类重要的随机过程，其中一维的分枝过程在整 个分枝过程理论中占有重要地位，本文所考虑的就是一种推广的分枝 过程：带移民( 与状态有关) 和复活的非线性分枝过程( 即在非线性 分枝过程中增加了非线性移民并且在粒子灭亡时给予拯救) 。本文主 要是利用连续时间马尔可夫链的知识来讨论一种特殊分枝过程的基 本性质。 、 本文第一章叙述了分枝过程的背景，历史发展过程，并给出了本 文要讨论的模型。在第二章给出了与本文讨论内容有关马尔可夫过程 的基础知识，以便于我们进一步对分枝过程的讨论。 从第三章开始是本文要讨论的主要内容。在第三章讨论了广义非 线性分枝过程的正则性和唯一性并给出了正则性，唯一性的判别准 则，而且得到了正则性唯一性与移民复活无关的结论；第四章主要讨 论了过程正则和无复活状态下的吸收性并给出了不同情况下吸收概 率和吸收时间的具体表达式；第五章讨论的是过程非正则的情况下， 平均爆炸时间和平均逗留时间，并且给出了具体的表达式；第六章主 要讨论了过程的遍历性，主要给出了过程常返和正常返的充要条件并 给出了平衡分布；第七章我们讨论的是带瞬时态的广义非线性分枝过 程，主要讨论了此过程的存在性并给出了存在性充分必要条件。 关键词广义非线性分枝过程，存在性，唯一性，吸收概率，遍历性 a b s t i 认c t t h eo r d i n a r ym a r k o vb r a n c h i n gp r o c e s sf o r m so n eo ft h em o s t i m p o r t a n tc l a s s e so fs t o c h a s t i cp r o c e s s e s t h eo n e - d i m e n s i o n a lm a r k o v b r a n c h i n gp r o c e s so c c u p i e sam a j o rn i c h ei nt h ew h o l et h e o r yo fm a r k o v b r a n c h i n gp r o c e s s e s t h ea i mo ft h i sp a p e ri st oc o n s i d e rn o n - l i n e a r m a r k o v b r a n c h i n gp r o c e s s 谢t h s t a t e d e p e n d e n ti m m i g r a t i o n a n d r e s u r r e c t i o n ( i e w ei n c r e a s en o n l i n e a ri m m i g r a t i o ni n n o n - l i n e a r b r a n c h i n gp r o c e s s e sa n d r e s c u eas p e c i e sf r o me x t i n c t i o n ) i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h eb a s i cp r o p e r t i e so fas p e c i a lm a r k o vb r a n c h i n gp r o c e s s t h r o u g hc o n t i n u o u s - t i m em a r k o vc h a i n s i nc h a p t e ro n e ，w eg i v eas h o r ti n t r o d u c t i o na b o u tm a r k o vb r a n c h i n g p r o c e s s e sa n di n t r o d u c et h em o d e lw h i c hw ed i s c u s si no u rp a p e r i n c h a p t e rt w o ，w eg i v e s o m eb a s i ck n o w l e d g ea b o u tc o n t i n u o u s t i m e m a r k o vc h a i n sw h i c hw ec a nu s es ot h a tw ec a l ld i s c u s sb r a n c h i n g p r o c e s s e sb e t t e r i n c h a p t e rt h r e ew ed i s c u s sr e g u l a r i t ya n du n i q u e n e s so fs u c h p r o c e s s ，r e g u l a r i t ya n du n i q u e n e s sc r i t e r i at o g e t h e rw i t ht h er e s u l tt h a t i m m i g r a t i o nd o e sn o th a v ea n ye f f e c to nt h er e g u l a r i t ya n du n i q u e n e s s p r o p e r t ya r ee s t a b l i s h e d i nc h a p t e rf o u r , w ec o n c e n t r a t eo nd i s c u s s i n gt h e a b s o r b i n gp r o c e s sf o rw h i c ht h em o s ti n t e r e s t i n gp r o b l e m sa r et h e e x t i n c t i o n p r o b a b i l i t ya n de x t i n c t i o nt i m e e s p e c i a l l y , t h ee x p l i c i t - - e x p r e s s i o n so ft h e ma r ep r e s e n t e d i nc h a p t e rf i v et h ee x p l o s i o nt i m ea n d t h em e a ng l o b a lh o l d i n gt i m ea r eo b t a i n e d i nc h a p t e rs i xw ed i s c u s st h e e r g o d i c i t yo fs u c hp r o c e s s e sa n dw ef o c u so nt h er e c u r r e n t ，t h ep o s i t i v e r e c u r r e n ta n dt h ee q u i l i b r i u md i s t r i b u t i o n i nc h a p t e rs e v e nt h en o n l i n e r b r a n c h i n gp r o c e s s e sa r ed i s c u s s e da n dt h ec r i t e r i ao fe x i s t e n c ea r e e s t a b l i s h e d k e yw o r d se x t e n d e dn o n - l i n e a rm a r k o v b r a n c h i n gp r o c e s s e s ， e x t i n c t i o n ，u n i q u e n e s s ，e x t i n c t i o np r o b a b i l i t y , e r g o d i c i t y 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名： 骂坌型整日期：2 塑2 年且与竖日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文 的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 作者签名：逖导师签名： 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 马尔可夫过程是一类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，由a a 马 尔可夫于1 9 0 7 年提出。粗略的说，所谓的马尔可夫性可以用下述直观语言来刻 划：在已知系统目前的状态( 现在) 的条件下，它未来的演变( 将来) 不依赖于 它以往的演变( 过去) ，换言之，在已知“现在一的条件下，“将来一与“过去” 无关。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程( 简称马氏过程) ，而分枝过程 正是马尔可夫过程的一种特殊模型。一个系统中粒子的分裂就是分枝过程的一个 形象化的例子：在一个粒子系统中，粒子可以死亡也可以分裂繁殖，一个粒子可 分裂生成一个，两个以至无穷可列多个，而且系统中每一代粒子的分裂死亡与上 代都是无关的，甚至粒子之间的分裂死亡也是相互独立的。其实，在现实生活中 我们所遇到的许多过程如人口增长过程等都可视为分枝过程。 1 2 发展过程 经典的连续时间马氏分枝过程在整个随机过程的理论和应用中占有重要地 位。我们首先给出其g 一矩阵：q = ( 如；f ，_ ，z + ) ，其中， f f 吐棚， = 哦， 【0 i 1 ，i i l ，歹= i - 1 其它 对于这种经典的分枝模型，h a r r i s ，a t h r e y a 和n e 奠r e ，a s m u s s c n , k b 和 h c 玎i n g , h ，a t h r c y 如k b 和j a g e r s , p 分别在参考文献【18 】、川、【5 】、【6 】中进行了 深入的讨论并得到了许多重要的性质。但在这种模型中，粒子仅仅在其系统内部 不断的分裂和死亡，而与外界没有任何联系。这是非常狭隘的，因此这种模型又 被推广到更一般的模型：外部的粒子可随时补充到系统内，而且新的粒子还是按 照系统内部的运动方式不断变化。其g 一矩阵q = ( q u ；i ，j z + ) 为： = 扭0 ，0 i l ，歹i i 1 ，歹= i - 1 其它， 口 一q i ，iii-jil【 颀1 ：学位论文第一章绪论 其中一 l 乃0 ( ，o ) ，：。i - - h os 佃 a j o u 0 ) ，o s a o = ：。a j l 岛o ( j 1 ) ，0 - b i = ，i 乞 当然这种模型有其发展过程： 针对经典分枝模型的不足，y a m a z a t o 在参考文献【2 6 】中引进了一种新的模型 即在系统的0 状态加入移民( 即复活) 但这种移民的速度是有限的，即 罗7 h ，= 一 o ，屯0 ( j , t1 ) ，- b , = o 吩o ( j o ) ，o 一= 三。乃 勺z o ( j o ) ，o 一：二。吩 1 2 z o o o ) ，o 一岛= ：。屯 相应的满足向前方程的连续时间马氏链尸( f ) = ( 既( f ) ；f ，j z + ) 称为广义非线性分 枝过程( 套m b p i s r ) 。 定义1 2 当o a 1 时，我们称p ( t ) 为次线性分枝过程；而当1 口时，我们 称p ( t ) 为超线性分枝过程。 ： 定义1 3 一个拟g 一矩阵q = ( ；f ，歹z + ) 称为广义非线性分枝拟g 一矩阵， 如果满足( 1 1 ) ，( 1 2 ) 和 以 - h o = 佃 ( 1 3 ) ，= l 。 相应的满足向前方程的连续时间马氏链p ( f ) = ( 既o ) ；f ，j ez + ) 称为带瞬时复活的 广义非线性分枝过程( 卜l m b p i 瓜) 由( 1 1 ) ，( 1 2 ) 定义的分枝过程具有明显的现实意义，例如当一个国家或地区 人口越多时，外来移民的速度肯定会下降，而这正是我们这个模型中0 口 l 的 情况，而又如一个地方的经济越发达，那么外来移进的资本就越多，而这又正是 1 0 的任意有限时间集 0 6 t 2 o ：如果f ，j e ，i j 并且对某个t o 有p u ( t ) 0 则对任意s ，都有既( s ) 0 ( 2 ) 如果对某个t o 有岛( f ) = l 则对任意t 0 都有p u ( t ) = 1 2 2q 一矩阵的定义及其，眭质 性质2 2 1 假设毋( f ) 是一个标准的转移函数，则 ( 1 ) q i2 l 船 1 一风( f ) 】r 存在( 可能为无穷) 也就意味着仇( f ) 在f = o 处可导且 p ：嘞= - - q i ( 2 ) q i = o 当且仅当对任意t - 0 有风( f ) = 1 性质2 2 2 对任意i ，_ e ，f 工 岛( 。) 1 ，i 枷mp o f ( t ) 存在且有限。 今后我们用表示既( 0 ) ，常以吼表示一既( o ) ，即吼= 一鲰 定义2 2 1 设岛( f ) 是标准转移函数，( ) = ( 西( o ) ) 对任意f e ，如果 q i 佃则状态f e 称为稳定的；如果吼= 佃则称之为瞬时的；如果任意状态 6 顾i j 学位论文 第二章预备知识 f e 都是稳定的则转移函数就称为全稳定的：否则称为带瞬时态的。如果q i = 0 则，就称为吸收态。 性质2 2 3 设( p 薛o 为标准转移函数，则对任意，e ，有 o 劬 q i o o 一v i 硝 由以上的定义和性质，对任一转移函数p ( f ) = ( 所( f ) ) ，导数 l i t - - m ，0 丛堕t = 嘞 ， 存在，并且 f0 如 - i - c o ， o _ ，) 吼吼2 一q u 方程q x = i x ，一1 0 只有平凡解。 如果q 是保守的，则o ) 是唯一的q 一函数，当且仅当定理2 3 2 中任意一 条成立。 定义2 3 1 一个保守的q 一矩阵如果满足定理2 3 2 中任意一条，我们就称之 为正则的。相应的最小q 一函数是诚实的也是唯一的q 一函数。 如果最小q 一函数石( f ) 是诚实的，那么石( f ) 是唯一的q 一函数同时也是向前 8 坠兰堡堡奎 一一璺盟盟生 方程的唯一解。如果乃( f ) 不诚实那么我们可以得到下列定理： 定理2 3 3 假设最小q 一函数兀( f ) 是不诚实的，那么下列陈述是等价的： ( 1 ) 乃( f ) 是满足向前方程的唯一的q 一函数。 ( 2 ) 方程j ，q = t y ，y ，+ ；即 咒勘= 锄，y j _ o ，j e ，善乃 o r 有平凡解。 定义2 3 2 矩阵族r ( = ( 吩( 旯) ，i ，j f e ，牙 0 ) 称为预解式如果满足下列条 件o ( 1 ) 对任意i ，歹e ，名 0 ，有吩0 。 ( 2 ) 对任意f e ，名 o ，有五勺( 名) 1 ( 3 ) 对任意i ，歹e ，t ，p 0 ，有勺( 允) 一吩姐) + ( a 一) ( 元) 缸) = 0 如果预解式进一步满足下一条，则称为标准预解式。 ( 4 ) 对任意f e ，有l ，i m ，兄吃( 旯) = l ，( 因此对任意f ，歹e 烛力吩( 名) = 磊) 。 。 定义2 3 3 预解式r ( a ) = ( 乃( 名) ，i ，j ee ，a 0 ) 称为诚实的，如果 五吩( 兄) = 1 斥 性质2 3 1 假设仇o ) 是转移函数，令 吩( a ) = f ，p u ( t ) d t ，1 0 ，i ，j f e 是既( f ) 的l a p l a c e 变换。那么吩( 旯) 是一个预解式而且是诚实的当且仅当聊( f ) 是 诚实的。 性质2 3 2 转移涵数和其预解式是相互唯一决定的。 定义2 3 4 任给一个霉一矩阵q ，一个标准的预解式r ( 旯) i q , 敞- - i q 一预解 式，如果满足： ，i m 兄( 五尺( 旯) 一d = q 9 硕士学位论文 第二章预各知识 性质2 3 3g 一预解式同样满足相应的k o l o m o v 向前和向后方程。 2 4 遍历性的基本概念和性质 在本节中p o ( t ) ，_ ，e 始终是标准转移函数，e 是状态空间。 定义2 4 1 如果f ，_ ，e k 对某+ t o ，r f f fp i j ( t ) 0 ，则称f 到达，：如果e 中 所有状态都是可能相互到达的则称岛( f ) 是不可约的。 定义2 4 2 状态f e 称为常返的，如果f 风( f ) 出= 佃；否则称f 为非常返 的。 定义2 4 3 转移函数弓( f ) 称为遍历的( 正常返) ，如果存在概率测度乃，j ce 使得对任意i ，j e 有 l i mip o ( t ) 一万，i = 0 f 。 引理2 4 1n j 是非负，& ，而且满足n f l + g f l ，i = l ，2 定义彳是下面方 程的最大解 石= n i 石+ g l ，0 石1 ，z z 令五是下面方程的任意解 五s n 2 厶+ 9 2 ，o s 五1 ，五l 如果n l n 2 ，且岛9 2 ，那么五石。甚至，如果兀，= r 1 2 而且正= 石那么这两 个方程要么同时有非平凡解，要么同时没有。 引理2 4 2 如果( 厶；f e ) 是方程： 毛= n n + n 甜，i 6 e 的最小解，那么马氏过程是常返的当且仅当对任意f e ，有厶= l 。 定理2 4 1 假设q = ( 劬) 是保守的即约正则q 一矩阵，则马氏过程是常返的 当且仅当其嵌入链是常返的。 1 0 硕士学位论文 第二章预备知识 定理2 4 2 假设马氏过程p = ( 岛) 是即约的，那么过程是不常返的当且仅当 方程 p y j = y i ，ith j e e 有非固定的有界解。 说明：以上结论出自参考文献 2 9 】。 2 5 分解定理 本节给出q 过程的禁止概率分解定理及其逆定理( 统称为分解定理) ，它在 本文的最后一章有着广泛的应用。 。 设e 为可列集，在本文中，m e 表示定义在占上的有界列向量全体，z 苫表示定义 在e 上的可和行向量全体。如果厂，g 厶，定义内积为( g ，) = 嘶，另 j e e 外，用0 表示元素全为0 的向量或矩阵，用1 表示元素为一的列向量。 设q 是给定的一个定义于e 上的q 一矩阵，甲( 五) 是一个相应的q 过程。 定义2 5 1 称定义在e 上的行向量7 7 ( 兄) ( 五 o ) 是关于甲( 名) 的一个广义行协 调族( 简称广行族) ，如果下列两条满足： o 刁( 旯) e k ，( 五 o ) ； n ( j t ) - n ( ) = ( 一允) 刁( 名) 甲( ) ，( 元， o ) 关于甲( 2 ) 的广义行协调族的全体记作厶l ，( 舢 定义2 5 2 称定义在e 上的列向量孝( a ) ( 允 o ) 是关于甲( 五) 的一个广义列协 调族( 简称广列族) ，如果下列两条满足 o 善( 允) ，( 五 0 ) 孝( 名) 一孝( ) = ( 一名) 甲( a ) 孝( ) ，( 名， 0 ) 关于甲( 允) 的广义行协调族的全体记作执( 定义2 5 3 称刁( z ) 及善( 五) 是关于甲( a ) 的广义共轭协调对，如果下列两条满 硕i j 学位论文第一：章预备知识 足： ，7 ( 名) 厶p ( 丑) ， 善( 允) m l i 名，： f ( 力- 1 一五甲( 允) 1 关于甲( 允) 的广义行协调族的全体记作风( 定理2 5 1 设r ( 名) = ( 白( 五) ；f ，jse ) 是e 上的q 过程，任取6 e ，令 局= e 6 ) ，= 劬；歹e ) 是q 在互上的限制。则r ( 2 ) 必可表为 尺c 2 ，= ( ：、l ，& ，) + ，砧c 五，( 善& ， c ，刁c 名， ( 2 5 t ) 其中 ( 1 ) 甲( 名) 是过程。 ( 2 ) ( 刁( 允) ，孝( 名) ) d 0 ( 毒) ， 且 - 且m 允( 刁( 允) 善( 名) ) = ( p ，占) ， + 忡 其中 p = ( ；，置) ，占= ( ；_ ，互) r ( 3 ) ( 五) = ( c + 名( ，7 ( 允) ，f 1 这里孝= 烛孝( 名) 从而o 善1 而c 是与名无关的常数，满足： c j i m 名( ，7 ( 名) ，1 一善) l ， z 忡 故j i m 允( 召( 名) ，l 一善y 必有限。 a - - - + ( 4 ) 若b 为稳定态，则 ，l i r a 名刁( 2 ) ，善) = q b c 佃 。 为有限数。 若6 为瞬时态：则 l i m 。名( ，7 ( 允) ，善) = 佃 焖 1 2 或等价地 工l i m 。z o c , t ) ，1 ) = 佃 ( 5 ) 若尺( 旯) 不中断，则善( 名) = l 一胖( 旯) 1 而五( 7 7 ( 五) ，l f ) 为与名无关的常 数。且还有c = z o ( z ) ，l 一孝) ，从而 ，砧( 2 ) = ( a + 名( 玎( 五) ，l ”一 最后，形如( 2 5 1 ) 的分解形式是唯一的。 现在，我们来看一下其逆定理： 定理2 5 2 设给定了e 上的一个拟q 一矩阵q ，6 e ，令骂= e 鼢，如果 存在一个醯过程甲( 旯) 及一个关于甲( 五) 的共轭广义协调对( ，7 ( z ) ，孝( 2 ) ) 仇( z ) 满足以下三条： ( 1 ) 1 i m 旯( 7 7 ( 名) ，f ( 旯) ) = ( 岛占) + 其中，e = ( ；_ ，置) ， g = ( ；_ 互) r ( ”工l ，i m 一2 ( r ( 2 ) ，1 一孝) = 佃； ( 3 ) 当靠 佃时，要求 3 i mz o ( z ) ，1 ) o 则对任意s 卜1 ，l 有彳( s ) 0 而且 b ( s ) = o e o ，1 】上只有根1 ，其中，当 6 0 时，1 是最小的非负根，而当= t o 时，l ，是二重根。若6 0 栩，则曰( s ) = 0 在 o ，1 】上有两个根g ( o g 0 并且尬( s ) + 鲥( s ) = 0 在 o 1 】有唯一的根1 ，甚至，当 七( 一6 0 ) + 0 时翘( j ) + 叫( s ) = o 在【0 ，1 】上有两个根气和1 ，且满足： x c f f ：, - 意s ( 0 ，& ) 有擂o ) + 鲥( j ) 0 ，对任意s ( ，1 ) 有船( s ) + 鲥( s ) 0 ，其中& 和l 都是单根。 ( 4 ) 如果m a = 恂且6 0 m b 或者如果0 o ，方程船( s ) + 叫( s ) = 0 一定有一个根e ( o ，1 ) 而且气是关于k 递增的， 1 i m s , = l 。 t 一 ( 5 ) 如果o 那么，o 0 ，s 【o ，1 ) ，我们有 砖( f p ，= 日( s ) a 。( f ) + 彳( s ) 乃( f ) _ ，扣1 s + 口( s ) 办( f ) 旷s “ ( 3 1 1 ) 1 5 硕l 学位论文第三章广义1 r 线分枝过程的唯一性 五吮( 兄冷一s = ( s ) 谚。( 名) + 彳( s ) 办( 名) j 扣1 s 7 + 曰( s ) 九( 彳) 七口s 卜。( 3 1 2 ) j = o= l t = i 证明：由k o l m o g o r o v e 向前方程，我们可以得到， 既( f ) ：a 。( t ) h + 圭既( f ) ( 旷b j - k + l + k 州吩一。) + 6 0 岛+ 。( ，) ( j + 1 口 k = l 方程两边同乘s 0 0 ，1 ) ) ，并对j 0 求和，得 ， 砖( f ) s ，= a 。( t ) h j s ，+ p o ( t ) 小。k 口s 7 j - o- oj - o = i ， + p o ( t ) a k 扩1 s 7 + 乃+ l ( f ) - b o u + 0 2 s 歹 j ot t lj = o 显然对任意s 【0 , 1 ) ，上式做一下代数变换我们就可以得到( 3 1 1 ) ，而( 3 1 2 ) 正 是( 3 1 1 ) 的l a p l a c e 变换。 。 由预备知识，如果f e l l e r 最小q 一过程是诚实的，则对应的g 一矩阵就是正 则的，下面我们就来看一下此过程的正则性。 定理3 1 1 广义次线性分枝g 一矩阵q 是正则的当且仅当 ( 1 佃， 或者 ( 2 ) m b = 佃并且 f ( - i n s y - 凼：+ 的 七一烈s ) 对某个( 因此对任意) 占( g ，1 ) 都成立，其中，g 是b ( s ) = o 在f o ，l 】上的最小非 负根。 证明：首先证明充分性。当m b 时，由引理3 1 1 ( 2 ) ，对任意s 【0 ，l ，有 b ( s ) o 。因此，由( 3 1 2 ) 我们可以得到对任意0 s 1 都有 允办( 允，一日o ) 谚。( 允) + 彳( s ) 允( 允) 广一s ， j - o j = t 1 6 硕i j 学位论文第，i 章广义忙线性分枝过程的唯一性 在上式中，令s1 1 并且利用引理3 1 1 ( 1 ) ， 我们立即得到五略( 名) l ，又因为 j = o 旯办( 五) s l 始终成立，因此兄办( a ) = 1 。所以f e l l e r 最小q 一过程是诚实的， ，t oj - - o q 也就是正则的。显然，在这种情况下( 3 1 3 ) 成立。 当 m b - t o o 时，a ( s ) = 0 有一个非负根q ( o ，1 ) 。显然，当6 0 o ，那么存在 占( q ，1 ) 使得 一五办( 五p ， p 1 2 ， ih ( s ) + a ( s ) 匿p 2 4 ，s ( 占，l 】 j = o 因为0 o r 1 而且有引理3 1 1 ( 1 ) 对任意s ( 占，1 ) ，a ( s ) 0 ，所以由( 3 1 2 ) 对任意 s ( 占，1 ) 我1 f 有 五办( 兄p 一，何o ) 九( + 4 ( s ) 略( 力冷，+ 曰( s ) 丸( 旯) 口s j = oj = l k = l 由引理3 1 1 ( 2 ) ，对任意s ( s ，1 ) ，曰( s ) 旦 - 4 曰0 ) 丢州，g t p c h 弘蜘j = o 矿p c h 弘r 等凼 对上式左端做变换l i l 上：三s ，得 s j 1 7 硕i 学位论文 第三章 广义1 r 线性分枝过程的唯一性 ，黔出r 等出 在上式中，令y t l ，应用单调收敛定理，得到 妻j = l 力( 磐而1f 等出= 佃 “，- t o ， 这与允办( 允) l 矛盾。 现在来证明必要性。假设q 是正则的，即过程不会爆炸，所以当没有移民 ( a o = 0 ) 时此过程更不会爆炸， 1 p 当( a o = o ) 时q 也是正则的，由 8 】必要性必然成 立。 定理2 1 给出了广义次线性分枝过程正则性的充分必要条件，下面我们来考 虑另外一种情况。 定理3 1 2 当m b 0 ，所以 免主办( 五p 7 一，h ( s ) 谚。( a ) + 彳o ) k - ! 略( 五) _ ，口_ j 嘲 j i 、 + b ( s ) 办( a ) 一一 在上式中令s t l ，我们得2 e 痧0 ( 2 ) 2 1 ，又因为旯办( 五) l 始终成立，因此 旯略( 免) = 1 即在这种情况下分枝过程是正则的。 j = o 下证当 t o 时广义超线性分枝过程不正则。我们用反证法：假设当q 是正 则时，b o 0 只有唯一的零解。 1 9 硕士学位论文 第三章广义非线忡分技过程的唯一性 lr ( 五1 - q ) = o 【0 y ，y i - i 0 0 ( 3 2 1 ) 其中i 是定义在z + 上的列向量，而且其分量都等于1 。假设当a = 1 时y = ( y 3 i o ) 是方程( 3 2 1 ) 的解，因此( 3 2 1 ) 可以变为 f = y o & + y , b o ， t 以= 吃+ ：。y j ( j 口b n _ j + t 4 - j a - 1 q ) + 以+ 。印+ 1 ) 口，刀l 方程两边同乘以s 。并且对n 0 求和，得到 以s 。= y o 日o ) + 彳o ) 以刀州，+ b o ) 咒刀口s q , l sl 1 即 y o ( i - h ( s ) ) + ( i - a ( s ) ) y n 俨1 s 。= 曰( s ) 咒刀口s 川，i s i b o ，根据引理3 1 1 ( 2 ) ，则b 0 ) = 0 有一个根g o ，1 ) 而且当s ( g ，1 ) 时 占( s ) 时，通过比较( 3 2 2 ) 的两边，我们发现其左端一定是 非负的而其右端一定为非正。因此，以= o ( n o ) 。 口 定理3 2 2 当m b b ol ；im 时广义超线性分枝过程存在唯一 的f e l l e r 最小q 一函数。 证明： 由定理3 1 2 ，当m b b or m b o 时， 同上定理的证明。口 本节得出了广义次线性分枝过程始终是唯一的而对于超线性分枝过程当 m b b of t m 。= 栅和m b = b o r m , o ；x ( f ) = 0 表示灭绝时间；a i 。= p , ( r o ) 1 3 f 0 ) 表示 此过程从，1 出发的灭绝概率。由于每个见。( f ) “1 ) 关于，递增，因此 a i o = l i m ，二p i o ( f ) 存在。 4 1 广义非线性分枝过程的吸收概率 为了更好的讨论吸收性，我们先来介绍两个重要引理。 引理4 1 1 设q 是广义非线性分枝过程的q 一矩阵，( 岛o ) ；f ，o ) 是f e l l e r 最小q 一函数，那么对任意i 0 ， f p i k ( t ) d t ， 从而 婪巴段( f ) = 0 ， f 并且，对任意f 0 ，8 【o 1 ) 有 七1 ( 4 1 1 ) i o , k 1 ( 4 1 2 ) 妻( f 陬o ) 西) 七纠， ( 4 1 ) 证明：由k o l o m o g o v 向前方程，可得 只。( f ) = 磊。+ 6 0f 所。 ) 出 反复应用k o l o m o g o v 向前方程，显然，对任意f o 都有f p , ，( t ) d t ，而( 4 1 2 ) n - f h ( 4 1 1 ) 得出下面我们分两种情况来证明( 4 1 3 ) 。 首先，当6 0 0 ，对 2 1 硕i ：学化论文第四章 广义1 r 线性分枝过程的吸收性 于任意s ( g ，1 ) 有曰( s ) 0 。因此对任意s ( 口，1 ) 有b ( s ) + 鲥( s ) 0 。由( 3 1 1 ) 和 h ( s ) - - - 0 我们得到，对任意j ( g ，1 ) ， 砖( f ) s ，( 鲥( s ) + 口o ”助( f ) 广一s 川 j = o j = l 再根据( 4 1 2 x 对任意s ( q , 1 ) ，有 善( j c o 删硝，丽s ( a , o - s ) 再次，当b o m b 时，我们在t h _ - 种情况来考虑：如果o 0 。由( 3 1 1 ) ，对任意f 0 ， 或( ，) = 彳( 乃e p # ( t ) j 扣1 + 曰( d 岛( f ) 口一_ j f f i oj = tj = t 彳( d e p # ( t ) j 俨1 + b ( 习p o ( t ) j 口- y j 以 j = tj = k + l 上 【船( 劢+ 谢( 列岛( f ) _ ，俨1 一。1 + 彳( 习p v ( t ) j 扣 j