（管理科学与工程专业论文）稳定分布及投资组合研究.pdf

中文摘要 j 卜- 确的投资决策是建立在对收益率与风险的可靠预测之巴的，而可靠的预测 只能通过基于现实假定上的统计模型而得到。稳定分布能够描述金融数据中的 两个重要经验特征：厚尾以及倾斜。本文对深圳成分指数( s z s i ) 以及上海综 合指数( s h c i ) 的稳定分布、概率准则投资组合问题以及机会约束投资组合问 题进行了研究，主要内容及研究结果如下： 1 介绍了一元稳定分布以及多元稳定分布与稳定随机过程的基本理论。 2 ，对s z s i 以及s h c i 建立了非对称稳定幂一g a r c h 模型，对其标准稳定新 息进行了稳定分布拟合、稳定性检验以及预测精确性的实证检验。利用预测的 稳定随机变量，得到了s z s l 和s h c i 的联合稳定分布下密度函数的图示。 3 肘于投资组合的均值方差问题，给出了求解不允许卖空时有效边界的一 种精确算法，并与通常的二次规划方法进行了比较。 4 研究了正态分布下的概率准则投资组合问题，给出了允许卖空时最优解 的解析表达式以及不允许卖宅时求解最优解的方法；研究了完备标准动态金融 市场中允许卖空时的概率准则投资组合问题，给出了准则函数的上确界及任一 非零测度集合的贴现资产过程和投资组合过程，得到了无论投资者的预期贴现 资产有多大，投资者一定能以任意接近于l 的概率在任正区间实现其目标的 结论，预期贴现资产与起始资产间的差异越大，风险就越大：研究了完备标准 动态金融市场中容许投资组合时的概率准则投资组合问题，给出了准则函数， 贴现资产过程及最优允许投资组合过程的解析表达式，期望贴现资产越大，准 则函数越小、贴现资产的均值及风险越大；研究了稳定分布下两个风险资产、 两个风险资产和一个无风险资产的概率准则投资组合问题，给出了求解最优解 数值算法的具体步骤。 5 研究了正态分布下机会约束的最小风险投资组合问题，给出了允许卖空 时最优解的解析表达式，不允许卖空时求解最优解的方法：研究了稳定分布下 两个风险资产、两个风险资产和一个无风险资产的机会约束投资组合问题，给 出了可行集及求解最优解数值算法的具体步骤。 关键词：稳定分布，投资组合，概率准则，机会约束 a b s t r a c t r i g h ti n v e s t m e n td e c i s i o nr e q u i r e sr e l i a b l ep r e d i c t i o n so fr e t u ma n dr i s k ，a n d r e l i a b l ep r e d i c t i o n sc a no n l yb eo b t a i n e di ft h eu n d e r l y i n gs t a t i s t i c a lm o d e lr e s t so n r e a l i s t i ca s s u m p t i o n s s t a b l el a w sa r ea b l et oc a p t u r et h et w om a i nc h a r a c t e r i s t i c so i _ e m p i r i c a le v i d e n c et h a tr e t u r n s f o l l o wah e a v y t a i l e da n ds o m e t i m e se v e ns k e w e d d i s t r i b u t i o n t h es t a b l ed i s t r i b u t i o n so fs h e n z h e ns t o c k s u b - i n d e x ( s z s i ) a n d s h a n g h a is t o c kc o m p o s i t ei n d e x ( s h c i ) a r ed i s c u s s e d ，a n dt h ep o r t f o l i op r o b l e m so f p r o b a b i l i t yc r i t e r i o n a n dc h a n c e c o n s t r m n e dp r o g r a m m i n ga r ea l s o a n a l y z e d t h e m a i nc o n t e n t sa n dr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 t h eb a s i ct h e o r i e so fu n i v a r i a t es t a b l ed i s t r i b u t i o na n dm u l t i v a r i a t es t a b l e d i s t r i b u t i o n sa n ds t a b l es t o c h a s t i cp r o c e s s e sa r ei n t r o d u c e d 2 t h es t a b l ea s y m m e t r i cp o w e r g a r c hm o d e li sa p p l i e dt os z s ia n ds h c i a n ds t a b l el a wi sf i t t e di n t ot h ee m p i r i c a ld i s t r i b u t i o n s t h es t a b i l i t yo fs t a n d a r d i z e d s t a b l ei n n o v a t i o ni sc h e c k e da n dt h ee v a l u a t i o no f p r e d i c t i o na c c u r a c yi sp e r f o r m e d f u r t h e m m r e ，b yt h ep r e d i c t e ds t a b l er a n d o mv a r i a b l e s ，t h ep l o to f j o i n t s t a b l ed e n s i t y f u n c t i o no fs z s ia n ds h c ii sp r o v i d e d ， 3 f o rm e a n v a r i a n c ee f f i c i e n tf r o n t i e r , a ne x a c ta l g o r i t h ma n di t sc o m p a r i s o n w i t hq u a d r a t i cp r o g r a m m i n gm e t h o da r eg i v e n 4 t h e o p t i m a lp o r t f o l i o s e l e c t i o no f p r o b a b i l i t y c r i t e r i o nw i t hn o r m a l d i s t r i b u t i o ni sc o n s i d e r e d ，t h ea n a l y t i cr e p r e s e n t a t i o no ft h eo p t i m a lp o r t f o l i ow i t h s h o r ts e l l i n ga l l o w e di so b t a i n e da n dt h em e t h o df o rs o l v i n gt h eo p t i m a lp o r t f o l i o w i t hn os h o r ts e l l i n ga l l o w e di sg i v e n ；t h eo p t i m a lp o r t f o l i os e l e c t i o no fp r o b a b i l i t y c r i t e r i o ni nd y n a m i cf i n a n c i a lm a r k e tw i t hs h o r ts e l l i n ga l l o w e di sa n a l y z e d t h e u p p e rl i m i to f c r i t e r i o nf u n c t i o na n dt h ec o r r e s p o n d i n gd i s c o u n t e dw e a l t hp r o c e s sa n d h e d g i n gp o r t f o l i op r o c e s s a r eo b t a i n e d a ni n v e s t o rc a nr e a l i z eh i sc l a i mi na n y p o s i t i v et i m ei n t e r v a lw i t hp r o b a b i l i t ya r b i t r a r i l yc l o s et o 1n om a t t e rh o w g r e a th i s e x p e c t e dd i s c o u n t e d w e a l t hi s t h eg r e a t e rt h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nt h ee x p e c t e d d i s c o u n t e dw e a l t ha n di n i t i a lw e a l t h ，t h eg r e a t e rt h er i s k ；t h eo p t i m a lp o r t f o l i o s e l e c t i o no fp r o b a b i l i t yc r i t e r i o n i n d y n a m i c f i n a n c i a lm a r k e tw i t ha d m i s s i b l e p o r t f o l i oi s d i s c u s s e d t h ea n a l y t i cr e p r e s e n t a t i o n so ft h em a x i m u mo fp r o b a b i l i t y c r i t e r i o nf u n c t i o na n dt h ed i s c o u n t e dw e a l t hp r o c e s s a n dt h eo p t i m a la d m i s s i b l e p o r t f o l i op r o c e s sa r eo b t a i n e d t h eg r e a t e rt h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dw e a l t ha tt e r m i n a l t i m e ，t h es m a l l e rt h ep r o b a b i l i t yc r i t e r i o nf u n c t i o na n dt h eg r e a t e rt h em e a na n dt h e v a r i a n c eo ft h ed i s c o u n t e dw e a l t ha tt e r m i n a lt i m e ；t h eo p t i m a lp o r t f o l i os e l e c t i o no f p r o b a b i l i t yc r i t e r i o nw i t hs t a b l ed i s t r i b u t i o nf o rt w or i s k ya s s e t so rt w or i s k ya s s e t s a n do n er i s k l e s sa s s e ti sc o n s i d e r e d t h es t e p so fn u m e r i c a lm e t h o da r eg i v e n 5 t h eo p t i m a lc h a n c e - c o n s t r a i n e dp o r t f o l i os e l e c t i o nw i t hn o r m a ld i s t r i b u t i o n i sd i s c u s s e d ，t h ea n a l y t i cr e p r e s e n t a t i o no ft h eo p t i m a lp o r t f o l i ow i t hs h o r ts e l l i n g a l l o w e di so b t m n e da n dt h em e t h o df o rs o l v i n gt h eo p t i m a lp o r t f o l i ow i t hn os h o r t s e l l i n g a l l o w e di s g i v e n ；t h eo p t i m a lc h a n c e c o n s t r m n e dp o r t f o l i o s e l e c t i o nw i t h s t a b l ed i s t r i b u t i o nf o rt w or i s k ya s s e t so rt w or i s k ya s s e t sa n do n er i s k l e s sa s s e ti s c o n s i d e r e d ，t h ep e r m i s s i o n s e ti s g i v e na n dt h es t e p s o fn u m e r i c a lm e t h o da r e p r o v i d e d k e y w o r d ：s t a b l e d i s t r i b u t i o n ，p o r t f o l i o ，p r o b a b i l i t y c r i t e r i o n ， c h a n c e c o n s t r a i n e d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨洼盘堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论 文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名 么签字日期：汐岁年，月2 日 矿 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解垂注盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘星盘茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 、 7 铆签名膨7 签字日期： ( ? 年月2 日签字日期：p 夕年月2 目 7 7 l 形 第一章绪论 1 1 稳定分布及研究现状 第一章绪论 最早使用统计方法分析收益率的著作是在1 9 0 0 年由巴舍利耶( b a c h e li e r ) 发表的，他把分析赌博的方法应用于股票、债券、期货和期权，由此经济学家 建立了股票价格的时间序列模型。巴舍利耶的论文是一项具有远见的开拓性工 作，远远超前于他的h q 代，其贡献中的一一项就是认识到随机游走过程( 后来为 维纳所形式化) 是布郎运动。1 0 年以后，爱因斯坦重新发现了这一关系。 巴舍利耶提供了最早的期权回报图，他也为跨式期权和其他一些有关期权 的策略提供了图解。但对他的分析工作起着关键作用的假定：市场收益率是独 立同分布( i i d ) 随机变量的论点，却很少得到经验证据的支持。 奥斯本( o s b o r n e ) ( 1 9 6 4 ) 在他的有关布郎运动的论文中将股票价格遵循 随机游走的主张形式化，他收集了随机游走理论背后的各种概念，这些概念最 终使概率微积分的使用正当化。实质上，这一学者群体知道统计分析提供了一 整套建立模型和分析的工具。然而，工具是为其背后的假定所限制的。其中最 重要的局限就是，研究的对象必须是一个i i d 随机变量，因为股票市场和其他 资本市场是大系统，其自由度( 或投资者) 的数目很大，当下的价格必须反映 每个人已有的信息。价格的变化只能来自没有预期到的新信息。 法马( f a m a ) ( 1 9 6 5 ) 最终把这些观测形式化成有效市场假说( e m h ) ，它宣 称市场是一个鞅，或公平博弈；这就是，信息不能被用来在市场上获利。 与此同时，现代资产组合理论也在发展。马克维茨( m a r k o w i t z ) 用方差度 量资产组合的风险，投资者是回避风险型的，根据理性投资者模型，投资者会 在有效边界上选择最优资产组合。这些概念被夏普( s h a r p e ) ( 1 9 6 4 ) 等在以资 本资产定价模型( c a p m ) 知名的思想中加以扩展。c a p m 是一个引人注目的进展， 它将e m h 和马克维茨的资产组合理论的数学模型结合起来，建立了一个以一般 均衡框架中的理性预期为基础的投资者行为模型。尤其是，投资者有着同质的 收益率预期即他们以相同的方式解读信息。 将e m h 与c a p m 结合起来，并作了些修改，这就是现代资产组合理论，或 mp ，i 。e m h 补强了m p t ，投资界接受了方差和标准差作为风险的度量。资本市场 理论的早期创立者仍旧是很清楚这些假定及其局限性的。萨缪尔森 第一章绪论 ( $ a m u e l s o n ) 、夏普和法马( 还柏其他人) 都发表过文章为非i 忿分nj 修改m p t 。 在夏普( 】9 7 0 ) 、法马发表他们的著作时，收益率的非f 态分布性的证据是强有 力的；两本书都包括了有关标准的资产组合理论所需修改的部分，以对稳定帕 雷托分布( s t a b ep a r e t i 8 - 1d i s t r i b u t i o n ) 做出解释。 此外，正态分布及其对于模型独立性的高斯假定，使用起来都很方便。随 着e m i l 获得越来越广泛的接受并越来越少被质疑，计量经济学在资本市场的应 用也变的更复杂了。主要的进展包括布莱克和斯科尔斯( b l a c ka n ds c h o l e s ) ( 1 9 7 3 ) 的期权定价模型( o p t i o np r i c i n gm o d e l ) 和罗斯( r o s s ) ( 1 9 7 6 ) 的 套利定价理论( a r b i t r a g ep r i c i n gt h e o r y ，a p t ) 。a p t 是一个比c a p m 更为广 义的定价理论，它认为价格变化来自各个因素的没有预期到的变化；因此，a p t 可以处理非线性关系。 整个5 0 年代和6 0 年代，人们懂得正态性假定的影响。非正态的收益率分 布直被认为是可能的，虽然人们不喜欢它。然而，在7 0 年代，特别是在8 0 年代，e m h 一般被作为事实讲授。任何时候都应该保持的一种健康的怀疑主义没 有得到保持。 股票市场具有复杂的非线性动力系统的特征，既受确定性规律支配，同时 又表现出某种随机现象，具有时变性，随机性和模糊性的特点。用帕雷托稳定 分布对金融数据建模的思想来自m a n d e l b r o t ( 1 9 6 3 ) 的开创性的研究工作，必 须承认：自从巴舍利耶( b a c h e l i e r ) ( 1 9 0 0 ) 的开创性工作以来，在投机价格 理论方面m a n d e l b r o t 的假设毫无疑问是最具有革命性的发展( m i r o w s k i ， 1 9 9 5 ) 。m a n d e l b r o t 认为实际记录与在传统的扩散物理中所发现的是不一致 的，价格记录被巨大的不连续变化所打断，这些变化倾向于积聚在一起，违背 了高斯分布所要求的平滑趋势。正如他后来所写，连续性假设的唯一依据是许 多科学研究有意或无意地倾向于模仿那些在牛顿物理学中被证明是成功的方 法，但是价格是不同的：两种结构不含可比性。当价格记录逐渐变长时，均 方差看起来并不稳定。更进一步，m a n d e l b r o t 认为无论时标是以星期，月为单 位，还是以年为单位，时间序列的几何形状均保持不变。他发现相对于正态分 布丽言，无条件收益率分布在均值处峰部要比正态分布所预测的要高，而且尾 部比正态分布所预测的要厚，既所谓的尖峰厚尾现象。后来法马( 1 9 6 3 ) 在他 的 尊士论文中支持这一思想。m a n d e l b r o t 的稳定分布在经济学家那里并没有得 到最热烈的支持，若说有这种支持的话，它是最近才被一些计量经济学家和经 验学家重新给予关注，然而这并不是m a n d e l b r o t 的名字获得大量经济学家认同 的主要原因! 相反的那是由于混沌理论。由于种种原因，对于列维稳定分布的 经验普适性问题现在比7 0 年代有更多的争论( m i r o w s k i ，1 9 9 5 ) 。 第一章绪论 稳定分布由列维于二十年代提出，它是中心极限定理的更般的形式。广 义中心极限定理表明，对大量的独立同分布随机变量的和进行适当的标准化处 王型后，如果极限分布存在，则此分布一定属于稳态分布族，因此当残差项被假 定为所有不能由模型所反映的外界干扰的和时，稳定帕雷托分布的这一性质就 是必须的。稳定分析j 族具有卷积不变性，正态分布是稳定帕雷托分布的特例。 稳定帕雷托分布允许厚尾性以及非刺称性，和其他允许厚尾的分布，如t 分布， 混合正态分布，双边威布尔分布相比，帕雷托稳定分布能够很好地处理具有厚 尾与倾斜现象，由于许多大型数据集具有厚尾、狭峰的特征，用稳态分布去逼 近较理想( n 0 1 a n ，1 9 9 9 ) 。当稳定性指数介于l 和2 之问时，除一阶矩外，稳 定分布的其他矩均为无穷，当稳定性指数介于0 和1 之间时，稳定分布的一阶 矩也为无穷，另外，除个别特殊分布外，其他稳定分布不可能写出闭型解析密 度函数。 由g n g l e ( 1 9 8 2 ) 引入的自回归条件异方差( a r c h ) 模型以及由b o l l e r s e v ( 1 9 8 6 ) 推广的广义a r c h ( g a r c h ) 模型能够反映金融资产时间序列的两个重要 特征：波动集聚性或者条件异方差性以及尖峰或者厚尾性，也就是，无条件分 布的尾部比正态分布所预测的要厚。无条件分布的厚尾性和g a r c h 现象并非无 关，d i e b o l d ( 1 9 8 8 ) 指出由正态分布新息导致的g a r c h 过程可以产生具有厚尾 的无条件分布的时间序列；d ev r i e s ( 1 9 9 1 ) 以及g r o e n e n d i j k 等( 1 9 9 5 ) 表 明一定的g a r c h 过程能够产生无条件稳定帕雷托分布。厚尾并不仅仅是股票市 场特有的现象，其它金融时间序列也表现出同样的特性( p e t e r s ，1 9 8 9 ，1 9 9 1 ， 1 9 9 4 ) 。这些厚尾分布常常显示出由非线性随机过程所产生的一种具有长期记忆 系统的迹象，对于具有这种状态持续特性的时间序列来说，传统的c a p m 、a p t 等模型将不再适用。 p e t e r s ( 1 9 8 9 ，1 9 9 1 ，1 9 9 4 ) ，m a n t e g n a 和s t a n l e y ( 1 9 9 5 ) 等论述了美国股 票市场股票收益具有稳态特性。m u c u l l o c h ( 1 9 9 6 ) 把c a p m 推广到最一般的多 变量稳态情形，并详细论述了稳态分布在金融领域中的应用。h a r t ( 2 0 0 0 ) 讨论 了韩国金融市场的稳定分布以及v a r ，徐龙炳和陆蓉( 1 9 9 9 ) 的研究表明，中国 股票市场波动呈现非线性，具有状态持续性特征。h u r s t ( 1 9 9 9 ) 等讨论了对数 稳定分布下的期权定价公式，m i t t n i k 和r a e h e v ( 1 9 9 9 ) 讨论了稳定分布下的 期权定价公式，k h i n d a n o v a ( 2 0 0 1 ) 等讨论了稳定分布的v a r 模型。在用g a r c h 模型拟合时间序列时，经常会发现g a r c f t 的残差仍然是厚尾的，因此条件以及 无条件收益率分布，稳定帕雷托残差分布的g a r c h 过程( m c c u l l o c h ，1 9 8 5 ；l i u 和b r o r s e n ，1 9 9 5 ；p a n a r s k a 等，1 9 9 5 ；m i t t i n i k 等，1 9 9 8 ：m i t t n i k 和p a o l e l t a 。 2 0 0 0 ：m il t n i k 和p a o l e l 】a 等，2 0 0 2 ) 也得到了研究。殷勇( 1 9 9 6 ) ，姜理，刘 第一章绪论 永清( 1 9 9 9 ) ，i l a n ( 2 0 0 0 ) ，m il t n ik ( 2 0 0 1 ) 研究了稳定分砷i 下的投资组合问 题。 1 2 概率准则下的投资组合及其研究现状 假设输掉赌注j 0 的概率是1 一w ，获利s 的概率是w ，w ( o ，1 ) ，j 不能 超过当时的资产水平厂，应该采取什么策略，使得到达某一固定的资产水平 c ，的概率最大，不失一般性，也就是当f i o ，1 l 时，应该采取什么策略，使 得最终资产是1 的概率最大，这就是概率准则。虽然此类问题从赌博中来，但 它在其他领域中也有应用，如在水电站对水坝的控制( t u r n b u l l ，1 9 7 2 ) 。 当w 1 2 并且下注次数固定时，b r e i m a n ( 1 9 6 1 ) ，k u l l d o r f f ( 1 9 9 3 ) 研 究了此类问题，最优策略介于风险喜好型策略与风险回避型策略之间。 在有一支股票的动态金融市场中，有限时间l o ，丁】上，概率准则就是选择最 优投资组合r i ( t ) ，使得达到目标x = i 的概率达到最大，也就是对于如下问题 懈p k ( 7 1 ) = i i 其中控制过程兀( f ) 适应于观测过程 】，( r ) = ( f ) + b t ，【o ，t 】 并且几乎必然满足 r j f l 2 ( r ) d t 0 枇印捌 其中。表示标准正态分布n ( 0 ，1 ) 的分布函数。 ( 4 )常数“，对于任意的0 a 2 ，它是退化分布s 。( o ，0 ，们。 2 2 稳定随机变量的性质 性质2 2 1 若丑。和x ：是相互独立的随机变量，z 。s 。( 仃，尼，麒) ，i = 1 , 2 ， n , x l + x 2 s 。( 口，卢，) ，并且 盯：b 。坞a ) ，：生群，： 盯l + 仃1 性质2 2 2 若x s 。p ，) 性质2 2 3 若x s 。p ，卢，) 如果口1 口是实常数，那么x + a s 。( 盯，卢，p + 日) 。 口是一非零实数，那么 a x s 。( i a l ，s i g n ( a ) f l ，掣) 如果口= 1 a x s l ( 1 “i 仃，s i g n ( a ) ，a 一三日( 1 n 1 日i b 声) 性质2 2 4 对于任意的0 口 2 爿s 。( 盯，0 ) c 一x s 。( 盯，一，0 ) 性质2 2 5 x s 。( c r ，) 是对称的，当且仅当= 0 并且= 0 。 x s 。p ，) 是关于u 对称的，当且仅当= 0 。 对称的稳定随机变量是严格稳定的，但是严格稳定随机变量不一定是对称 的。 性质2 2 6 若s 。p ，) ，并且a 1 ，那么x 是严格稳定的，当且仅 当“= 0 。 推论2 2 7 若x s 。p ，卢，) ，并且口1 ，那么x - , u 是严格稳定的。 第二章稳定分布 性质2 2 8 x s ( 盯，卢，) 是严格稳定的，当且仅当口：0 。 推论2 2 9 若x ，x 。是独立同分布的，并且服从稳定分布& p ，) ， 那么 如果c t 1 】+ ，- 十一n = 胛船l + ( 盯一疗17 8 ) 如果口= 1 x 七+ x ，= n x , 七二0 8 n l n n 性质2 2 1 0 若x 服从稳定分布s 。p ，0 ) ，口 2 ，那么存在两个服从 s 。( o - ，1 ，o ) 的独立同分布的随机变量i 和砭，使得 如果口1 x = 降) “_ 一降 “。t 如果口= 1 爿= ( 半 一一 半) e + 盯( 半，n 半一半k 半) 性质2 2 1 1 若口 x ，并且对于一1 1 ，s 。( 口，o ) 的支集是实数集。 以下是应用广泛的关于o z 一稳定分布尾部性态的性质。 性质2 2 1 2 若s 。p ，) ，并且0 口 牡巴半盯“ 1 i m 斗。矿p y 一a = c 。三二2 兰盯。 巴小q n 础) = 参釜乏1 1 性质2 2 1 3 若一s 。( 以，) ，并且0 口 2 ，那么 对于任意的0 p 口 l o 笙三雯塑塞坌塑 一 对于任蒽的p d e l x l 9 - - 0 0 当a 2 时，a 一稳定随机变量的二阶中心矩为无限大，即使e 1 爿“也是无限 大，这一事实使得在高斯分布下许多有效的方法对于稳定分布并不适用。当口1 时，蚓x 卜m ，这时期望值就不再适用。 性质2 2 1 4 若s 。( 盯，o ) ，0 a 2 ，并且当口= l 时，2 0 ，那么 对于任意一个o p 口，存在着一个常数c 。，f ( p ) ，使得 ( e t x i ”p = c 。，( p ) 口 常数。( p ) 等于l x 。1 97 “，其中。s 。( 1 ，o ) (c。，。p，)，：；i；!；!：；：皂(，+z，：t a ：n 2 警 2 “c 。s ( 詈挪t a n ( z ，t a 咀等) 性质2 2 1 5 当1 a 2 时，位置参数等于均值。 一个s a s 分布可以由尺度参数盯来表示。如果盯= 1 ，则称随机变量x 为标 准s 硝分布。若a ：2 ，盯z ：v a r ( x ) 1 2 ，因此标准s 岱随机变量服从分布( o ，2 ) 。 性质2 2 1 6 若x s 。p ，0 ，o ) ，o a 2 ，o a ) = 巴( 1 + 妙“ ， 这一尾部性质给出了估计口的一个方法，即在对数尺度下样本分布函数在尾 部的斜率。事实上，如果数据服从稳定分布，那么尾部应在对数尺度下收敛于 斜率为一a 的直线。 但这个方法至少有两个缺陷：m c c u l l o c h ( 1 9 9 7 ) 指出对于服从口0 ，2 ) 的 稳定分布数据，这一方法将导致过高估计口，同时f o f a c k 以及n o l a n ( 1 9 9 8 ) 指出当a 接近2 时，分布函数实际上只在很远的尾部类似于代数渐进行为，也就 是说，只有当数据很大时，分布函数的尾部才类似于代数渐进行为，而且代数 衰减的起始点与所使用的参数有关，它是关于a 和p 的复杂函数。 一个较好的稳定性指数2 的估计量是希耳估计量 一1 d 5 _ 一 ；：1l o g x 。+ 1 一j ：。l o gx 。一：。 其中。代表样本，x ：，。的第个顺序统计量。许多模拟研究表明， 希耳估计量对于r 分布以及帕雷托分布有很好的表现，但它仍然导致过高估计稳 定性参数口。 2 5 2 分位数估计法 分位数法是基于m c c u l l o c h ( 1 9 8 6 ) 的思想，并且是对法马和r o l l ( 1 9 7 1 ) 研究的推广。 设扛， ，= 1 ，2 ，”是稳定随机变量s 。p ，p ，) 的独立样本，口，卢， 盯和是待估参数。令x 。表示总体的p 分位数，即x ，满足f ，) = p ，其中f 是 的分布函数。令；，表示样本的p 修正分位数。详细解释如下：如果；帕) 是第i 第二章稳定分布 个顺序统计量，其中q ( f ) ：之土，并且存在着一个正整数f ，使得p ：g ( 产) ，那 z 盯 么x 。= x q ( i o ) 。否则总能找到一个i n 使得 q ( i ) 0 ，对于严格稳定分布，y = 0 。 2 0 第二章稳定分布 彤式( e ) ：对于严格稳定分布 n 咖以加一”- ； 1 4 ，i o _ 0 和b 0 ，( 3 - 1 1 ) 式成立并且d = 0 ，则称向量x 是 严格稳定的。 如果x 是稳定的，并且对于r 4 上