（计算数学专业论文）反向工程中曲面重构与参数化问题研究.pdf

反向t 程中f | ：f l 曲荸构，参数化问题研究 摘要 反向工程，就是从实物样件获取产品数学模型描述的相关技术，它已经发展成为 c a d c a m 中的一个相对独立的领域。反向工程有两个主要的研究内容：一是实物模型表 面数据获取技术；：是曲面重构技术。数据获取和整合技术的发展为我们处理复杂物理 模型提供了町能，曲面重构技术就是根据获取的“点云”来淡复原始曲面的几何模型。 根据重构曲面的形式，曲面重构町分为光滑曲面重构和离散型曲面重构。 本文主要的1 二作包括对反向工程中复杂曲面重构的一个简要介绍，以及主要的几种 参数化方法的详细讨论，然后对应用参数化方法来解决复杂曲面的插值点选取问题做了 一些自己的工作。 曲面参数化是种将空削二二角形网格映射到：二维平面凸多边形上的数学方法，是曲 面加工处理的个霞要的工具，例如应用在材质贴图，曲面重新网格化，曲面变换，曲 面拟合等方面。对_ 卜反向工程来说，参数化方法对于曲面的样条重构，细分方法重构， 区域剖分，以及自日期的网格的优化，简化，重新网格化和建立任意网格的多分辨分析都 起着重要的作用。 关键词：计算机辅助几何设计，反响工程，曲面重构，曲面参数化，曲面插值 反向工程中曲面重构与参数化问题研究 月u 吾 从9 0 年代初开始，特别是h o p p e 在其博士论文0 1 中给出了从任意拓扑的三维散乱点 到细分曲面的重构方法，建立了反向工程这研究领域。在短短的十年间，反向工程已 经有了非常大淞蕴蜀：箭寝磐筒傲前涝篇捅巧藓强笺刊；u u 年建筑从“! u 媸瞄；擎主煅 灌逢牾翅鲤睁。剑眨戮茧既峨划蚴；“球菸蛩鬃筲顶瞽酝疆警。嚣序疋例i 壤豫嘉两番，年均增长8 2 。 建筑业从业人员占全社会从业人员的比重，由1 9 7 8 年的2 1 增长到1 99 7 年的4 9 f 见 表6 i ) 。建筑业在为国民经济做出巨大物质贡献的同时，吸纳了大量的就业人员，增加 了社会的稳定性。 表6 1 建筑业从业人员总量变化单位：万人 年度 全社会从 业人员数 建筑业从业人员建筑业占全 社会比重总数 乡村劳动力 i9 7 840 1 5 285 42j 3 l9 7 941 0 2 494 323 0 19 8 042 3 6 199 323 4 i9 8 l43 7 2 5 反向工程中曲面重构与参数化问题研究1 反向工程简介 1 1 曲面造型的趋势和发展方向曲面造型(si|恤e m o d d i i l g ) 是计算瓠辅助几何设计和计算机图形学的一项重要内容。 主要研究在计算机环境系统下对曲面的设计，显示，表示和分析。他起源于汽车、飞机、 船舶、叶轮等外形放样工艺，由coons，bez衙等人于二十世纪六十年代奠定了理论基础。 如今，曲面造型己形成了以有理b样条曲面毋商onalb s p u i 】cs 1 吐l c e 彦嘴m 缩征设计和 隐羹囊薹蚕毳篓茁j i 萎妻囊盼；耄麓 ；勺白妻孽錾萎醚萎萋奖。主要翮! 剥贰j 缈掌囊u 留醛鞋朝舞张羁舀韩鞯甜鳍蓬； 符耐苁i 殛疋是艉裂戤剖弩那铲塾薹苹。在转莱丽囊羹莹久，慰觚毫诉弱戆；稀贸 箭雾暂赢签1 髓篓副。曼象襁舐艇! 亡：! 爷廷每茂刚量刊羞蠹茬荟基；以闪己狮垌叫弱翳朔 诉耩錾。已；o38 f 合计 1 4 ，1 7 8 ，6 2 3 i o o5 1 3 9 0 61 0 050 9 5 0 0io o 61 4 国有建筑企业从业人员的职业结构更趋合理 根据从业人员在建筑生产管理中完成的职能，建筑业从业人员的职业结构可分为： 工人、工程技术人员、管理人员、服务人员及其他人员。表6 - 4 列出了我国国有建筑企 业职工分类构成的发展情况。在各类从业人员中工程技术人员所占比例逐年增长，而且， 进入8 0 年代以来，增长速度更快，截止1 9 9 7 年底，工程技术人员所占比例己达1 0 ， 超出了同年度制造业6 6 、采掘业4 8 和全国平均7 1 的水平( 见表6 5 ) ；1 9 9 3 年 以来，其他人员( 包括服务人员) 所占比例，比以前也减少较多，说明建筑业从业人员 的职业结构更趋合理。工程技术入员增多，意味着国有企业队伍整体素质向管理型发展， 这和圆有建筑企业深化改革，实行管理层与劳务层分开，逐步减少自身工人队伍是密切 相关的。 表6 4 国有建筑企业职工分类构成单位： j 年度合计工人工程技术人 贝 反向工程中曲面重构与参数化问题研究 1 反向工程简介 1 1 曲面造型的趋势和发展方向 曲面造型( s i | 恤em o d d i i l g ) 是计算瓠辅助几何设计和计算机图形学的一项重要内容。 主要研究在计算机环境系统下对曲面的设计，显示，表示和分析。他起源于汽车、飞机、 船舶、叶轮等外形放样工艺，由c o o n s ，b e z 衙等人于二十世纪六十年代奠定了理论基础。 如今，曲面造型己形成了以有理b 样条曲面毋商o n a lb s p u i 】cs 1 吐l c e 彦嘴m 缩征设计和 隐武代数曲面( h n p l i c i t 舢g e b i a i cs 缸e ) 表示趋印秽钫祛为主l 体，以插值、拟合、运 i 丘这 三秘手段为骨架的几何理论体系。 近年来，随着计算机图形显示的真实陛、实时性和交互陛要求的日益从增强，随着 集合设计对象多样陛、特殊性和拓扑结构复杂性趋势的日益明显，随着图形工业和制造 工业迈向一体化、集成化和网络化步伐的日益加快和激光测距扫描等数据采样技术和硬 件设备的不断完善，曲面造型技术得到了长足的发展，已从传统的研究曲面表示、曲面 求交和曲面拼接，扩充到曲面变形，曲面重建，曲面简化，曲面转换和曲面等距性等方 面。 1 2 反向工程简介及其应用介绍 反向工程，就是从实物样件获取产品数学模型描述的相关技术，它已经发展成为 c a d c a m 中的一个相对独立的领域。反向工程有两个主要的研究内容：一是实物漠型表 面数据获取技术；二是曲面重构技术。数据获取和整合技术的发展为番科门处理复杂物理 模型提供了可能，曲面重构技术就是根据获取的“点云”来恢复原始曲面的几何模型。 根据重构曲面的形式，曲面重构可分为光滑曲面重构和离散型曲面重构。离散型曲面重 构的常用方法是建立离散点集的平面片逼近模型，得到是个任意拓扑的、稠密的、无 缝的多边形网格。与离散型曲面重构方法对应的两个重要的研究领域是网格简化 ( s i i i l p l i f i c a t i o n ) 和网格多分辨率分析0 4 u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 。网格简化基本思 想是从三维重建后的离散曲面或造型软件的输出结果( 主要是三角网络) 中去除冗余信息 而又保证模型的准确度，以利于图形显示的实时陡、数据存储的经济陛和数据传输的陕 i 遽性。网格简化 甫之以一定的细分( s u b d i v i s i o n ) 规则就构成了网格多分辨率分析的主要 研究内容，包括建立曲面的层次逼近漠型，进行曲面的分层显示、传输和编辑等。这些 技术在动画模拟、l o d ( l e v e 卜o f d e t a i l ) 和网络数据传输中有很广阔的应用前景。 反向工程是现代测量拽术、数控技术、c a d 技术、加工技术发餍和综合应用的产物 对现代制造! i k 起到了巨大的推动作用其意义在于： a ) 更好地满足盘划k 产品开发和生产发展的需要，大大缩短了产品开发的周期，提高 了企业产品开发的能力和市场竞争力。 b ) 使设计思想发生了深刻的变革。更多的设计开发是在现有的产品基础上，从” 反求”入手进行改型设讥以加快本品的开发周期。与此同时，产品设计更多地 ! ! 互銮堕奎兰堕主兰堡堡塞 表6 7 各行业专门人才占职工队伍总数的比例 行业类别i 9 8 91 9 9 3 1 9 9 5j 9 9 8 建筑施工 设备安装 机械旌工 装饰旌工 市政施工 构件厂 建筑机械 7 1 1 1 1 6 2 1 3 6 6 1 0 1 0 1 2 0 9 7 3 2 1 2 4 4 1 0 2 9 1 5 4 l 1 5 6 0 1 3 2 2 反向工程中曲面重构与参数化问舾研究 是趴三维设计入手以取代过去从二级图纸设计入手的设计方法。 c ) 生产设备的选择需要重新认识。三坐标测量机成为重要的测量检测设备，特别 是在自动化生对过程中，是不可缺少的电子数据的来源。 d ) 使传统的仿形加工( 靠模加工) 向数控技形加工转变，提高了产品加工的速度 和精度。 e ) 反向工程的研究还为快速产品设计、快速源型制造绍现代先进制造技术提供了 关键的技术支持。 f ) 随着对反向工程研究的深入，其内涵不仅仅停留在对本品几何形状的反求而且 将扩展到工艺反求。材料反求等诸多方面。目前，大多数反向工程的研究都集 中在几何形状，即重建产品实物的c a d 模型方面( 本文所指的“反向工程”即 局限于这概念) 。 1 3 反向工程的数据获取 反向工程的关键技术生要包括两方面。一是样件表面的数据获取技术即数字化教术； 二是计算机反向建模技术，即曲面重构技术。数字化技术是指通过一定的测量设备乖坝0 量方过去获取实物表面离散点的r i 舸坐标信息。曲面重构技术是指利用测量数据进行曲 面和实体造型，以获得最接近于实物原型的c a d 模型。近十年来随着传感技术、控制 技术等相关技术的发展，出现了各种各样的样件表面数字化方法。如图1 1 所示獭螺的 采集方式主要分为接触式数据采集和菲接触式数据采集两种。 非接触式数据采集，其测头不接触持测物体的表面，传递介质有激光、声波、电磁 场等，常见的是以激光为媒介的激光三角形法和激光成像法。它的特点是溅量速度快， 因而可以相当密集地对产品表面进行测量，形成脯胃的“点云”数据。工业中常用的非 接触式数字化设备有激光扫描仪( 【丑s 盯s c 锄盯) 、激光三角测量仪、工业c 1 ( c o m d m e d t o m o g 唧h y ，计算机断磁像) 和自动切层扫描仪等。激光扫描仪和激光三角测量仪在 国外被厂泛采用。它们的侧整速度快、不损伤物体表面、数据点密集，特别适合于测量 反向工程中曲面重构与参数化问题研究 尺寸较大的曲面。利用激光三角测量仅能对一些松软材质进行数据采集。并能很好地测 量到变面尖角、凹位等复杂轮廓数据，所采集的数据是物体表面的实际数据，无需测头 补偿，但缺点是价格较贵，且只适于测量外 濂表面，测量精度不高，易引起“阴影效 应”，造成较大的失真。工业c t 和切层扫描主要用于有复杂内轮廓的实物测量。工业 c t 不损伤实物，是狈量没有备件和复制品的实物刻唯一方法，但测量精度较 氐、成本 很高。自动切层扫描仪以极小的切削厚度逐层切刚实物，并对每一断面进行照相，这种 测量方法精度较高。但属破坏性测量。 接触式测量有点位触发式数据采集和连续式数据采集两种、触发式数据采集的原理 是，当用压敏材料制成的探头接触被澳4 物体表面时，探针会受力产生个微小的变形触发 采样头中的开关产生一个电信号，从而记录下探针( 澳睡求中心点) 的坐标值，它的采集速 度较f 氐，般只适于零件表面的形状睑测或需要数据较少的场合。连续或数据采集采用 模拟里开关采样头。它的原理是利用磁力感应器来检测轨过匕触头的位爱和方向，它的 测量速度比点位触发式采样期头蹦畏多倍，采样精度也较高，可用于采集较大规模的数 据，但只能用于非金属村料的物体表面测量。接触式测量中常用的数字化设备是三坐标 测耋瓤c o o d i n 鼬e m 瞄痂g m 熄c m m ) ，它抗干扰性好，测量不受物体表面颜瞻和 外界，毪照的影响，而且能对物体的边界进行比较精确的测量。测量精度很高( 误差最小 约为5um ) 。三坐标测量机i 豆过传感器实现测头在零件e 的快速移动从而记录下路径 点的坐标值，所以，由于测头的限制，可能会丢失某些洲头达不到的细节数据，并且测 量速度慢，不易获得连续的坐标值。 1 4 反向工程中的曲面的重建技术 按照数据的组织方式、模型的产生过程不同，c a d 模型产生方法分为以下几类： a ) 基于特征的建模方法。包括特征的提取( 即区殴划分和分类) 、对每个特征进行 曲面拟合、相邻求交或光滑过渡。特征提取即把数据点划分为多个子集，每个 子集可以用一种面表示。虽然已有许多关于数据区域划分的研究，但目前使用 的反向工程系统区域划分大多是交互或半交互方式。相邻面求交、光滑过渡一 般是在c a d 系统中交互进行。 b ) 基于切片数据( 截面数据) 的建模方法。此类数据具有特殊的分布方式，数据 分布于一组平行的截面线上。模型产生有两种方法，第一种是连接相邻截面线 上的点，形成g o 连续的c a d 模型；另类方法是先拟合截面线，再用截面线， 再用蒙皮方式产生曲面模型是交互系统中常用的方法之一。 c ) 基于可变形模型的建模方法。首先产生一个简单的形状s ，称为可变形模型， 数据点d 完全被s 包围或s 完全被数据点d 包围。在s 与d 之间建立某种目 标函数f 及约束，通过收缩或膨胀s ，使f 达到极值以产生数据点的j 丘f 以表示。 f 可有不同的取法，基于物理的建摸方法是此类方法的特例。可变形模型由于 建模的复杂性，模型往往具有针对性，所以难以达到实用、通用。 d ) 整体的自动建模方法。以e 三种方法对于由复杂雕塑面( 人体器官、艺术品) 或大型的自由曲面( 例如：覆盖件) 产生的散乱数据难以达到精确或自动的拟 合，近年出现了一些针对散乱点的整体曲面重构方法。 反向工程中曲面重构与参数化问题研究 各种建模方法的比较如下 t 曲l e1 - l 诃o 嶙m o d e i i n g m e 吐1 0 d s 0 0 f i l p 撕5 0 n 表格1 1 各种建模方法比 交 从对反向工程的应用场合可知，复杂蓝面的c 芦d 溪型重建是反向工程模型重建方面 研究的重点。对于复杂曲面产品来说，其实体模型可由曲面模型经一定的计算演变而来。 建立其实体模型之前必须先得到表面模型。因而，表面模型是复杂曲面产品反向工程的 几何建模的重点。 在反向工程中，曲面重构有其自身特点：( 1 ) 面对的型值点数据是密集散乱数据， 数据量极大：( z ) 数据散乱，而且曲面对象边界和形椭时及其复杂。因而一般不便 直接运用常规的曲面构造方法，( 3 ) 曲面对象往往不是简单由一张曲面构成，而是有 多张曲面经过延 申、过度、裁剪等混合而成，因丽要分块构造，( 4 ) 由于数据采集技 术的限制，在反向工程中还存在个分块测量问题。_ 般的，为了保证数据采集的完整 性，各钡9 量块之间还有一定的重叠，这就引来一个多：映测量数据的融合问题。目前在反 向工程中，主要有以下几种曲面的构造方案：( 1 ) 以三角b 笆时曲面为基础的曲面构造方 案，( 2 ) 以b _ s 邮n 喊n u r 皓曲面片为基础的曲面重构方案，( 3 ) 多面体方式来描述曲面物 体，包括细分方式。从上面的描述中间我 f j 可以看出，一般隋 兄l 下，复杂龉面的重建可 以分为两个步骤，第个步骤，从没有规则散乱点重构生成带有结构的原始表面表示形 式，般用三角形回格表示。第二步从第一步的结果进行进一步的处理，获得晗当的曲 面表示形式，可能是n u r b s 曲面、b e 晒e r 曲面、或者细分曲面。 1 、4 1 从散乱点生成三角形网格 散乱数据点的曲面重建直以来是函数逼近论的个重要研究内容。近几年来，随 着计算机辅助设计与图形学的发展，散乱数据的曲面重建技术得到了广泛的研究和应用， 如基于测距技术的几何模型自动生成，医学成像数据的可视化等。该技术的发展有力地 促进了造型和可视化等技术的高速发展。 这类重构f 司题出现在不同的科学和工程领域，主要包括： 从区域点重构表面：这些数据是通过激光扫描仪的得到，对于一些表面e b 较复杂的 物体，例如带有手柄的茶杯，不能通过一般的方法来生成表面，为了做好这件事，必须 合并多视点的资料。 从轮廓线重构表面：在医学研究中，将生物样本用显微镜用薄片切片机切成薄片是 很平常的一件事。对所感兴趣的结构的外形数宇化来建立一堆轮廓。这一问题就是从大 9 反向工程中曲面重构与参数化问题研究 相应的切平面劢( x 。) 2 ( d ，月。) ，印( x ，) = ( o ，疗，) 应该几乎平行，否则该平面 将会出现尖点，即( n ，”，) z l ，如果该表面有一致的方向的话，则( h ，肝，) = 1 ，但困 难的是找出该表面一致的方向，使得( 厅，) = 1 。 我们可以建立一个图来解决这个问题，该图中每一个节点m 代表一个切平面 印( x ，) ，如果印( x ，) 和印( x ，) 地中心o ，o 。相隔足够近的话( “足够近”就是一个点 在另外个点的b 集里) 。边( i ，j ) 的拉e 重用( ，n ，) 来表示，这柠避择一致方向 的问题，就转化为求该图的最大权重问题了。该问题是一个n p 问题。为了有效的解决 该问题，我们应该求助于新的近似算法。 在描述我们使用的新的算法之前，我们必须减少图中边的对数，由于该表面认为单 连通分支，我们可以认为该图是单连通图，由于强连通图可以通过广度遍历和深度遍历 来连接所有的点。但显然生成树的边太少，有可能导致错误的定向，我们再次给出以下 的算法，如果d ，是o ，的k - 邻集，或者口，是d ，的嵫g 集，则加入边( i ，j ) ，产生的图是 一个黎曼图。 相对简单的算法是任意找一个有向平面，然后将该方向应用于相应的邻集，在实践 中，我们发现传播该法向的方向是很重要的，如果沿着非法的方向传播生成的表面，会 产生错误的拓扑结构，显然我们应该选择两平面的法向量最接近平行的方向作为正确的 传播方向，这可以通过计算l h 蚪，l 来确定其方向，因此我们可以通过建立该黎曼图 的最小生成树来完成该过程，这个方法是可以达到正确的方向的，根据最小生成树的原 理我们可以知道，该法向的传播会朝割氐曲率的方向传播，这就使得蒯门在处理尖点处 的法向时，不会出现难以确定法向的情况。 反向工程中曲面重构与参数化问题研究 图l _ 2 原始点集 f i 目ml _ 2 州画n a l d 啦s c t 则蝴物 沁过墓；孽篱 8 目鬟吲；# 。# 。e m ! ；i “鲁苷妻 蠢囊潞| 亩囊羹提琢酌瞬鬈踺；型翟引熏害荐塔衰羹殴i 善；瀑省溪葛嶙荡鬟篓誊 耐戳蓊邑小；貊鞫赫黼拍如乳黼菲；蔺m j 溜曩餐蹦雎叫强j 锢屋赛蒽慰焉圣 掣喜中囊矗臻鬻茹缮：晶苫瓮藩；葫1 囊彰等嘲奏鬟霸疆唾有多于一个尉匠点。虽然 理论上确保重构的正确性，需要 r 比较小，但是实际上间6 时，般就能得到正确的结果。在曲面曲率较小的地方，相 应的最近中轴点离曲面比较近，所以样点的密度也可以小一点。 c m s t 算法是基于三维n o i 图和三维d e l 卸聃y 剖分的，与r 0 1 】0 i 图与d d a u r 珂 剖分的相关知识请参见k a g 如鲥】和【4 】。算法的基本步骤如下： a ) 计算样点s 的) m i l o i 图 b ) 对于每一个点s ，如果s i不在凸壳上，取相应的r o l l o i 顶点集合中离s 最远的 顶点为贫，让一为向量s i 口i + 。 c ) 如果s i 在凸壳上，则取一为凸壳中相邻三角形的所有外法向的平均值。 d ) 取相应的哟n o i 顶点集合中的点为p i 一，使得sp i 一与n i + 方向相反，且为满足该 条件中与墨距离最远。 e ) 设包含所有和p i 一的集合为b 计算s u p 的d c l a l 耻可三角剖分。 f )选择三个点都在集合s 里的三角行，构成我们想要的三角形网格。 反向工程中趋鱼霉栩与雾囊蒋同题纂奔 落誉联霜淄博聿旧憾妻蓄蓠琶癣姜薹夏莉謇翻搿燮= 蠹透谶墼矧商毽俺壤岛融溽函警 鼎鬟劐j 菖醛鳇翳赫豁萍篇岌耀澎晦行齑菇艘嗡俪毵韩霎遵j 列蜊趱癌臻嗡毽嗡捌那划朝样雾蠹囊斟悠蠢剖囊副琵竹髀：患朗硼前n 断拍剿黔 泌薹慧寿砭萋霪点弱俐趣篙；生糕i 北篁吐缈裂必州韩弧翼茹垫蓍f 受仝鞫到鼻霪苏 暑警蠡晦黼骄驰鳃期帑噩颈群髫舔靛蠢培；塌础喘摧翌臻奄一羹蠡璺鹦 ：。! ! i 裂霪霪# 明蠢趔嘲塑雨鞲萋0 蟹匦荔薹蚕鲍囊醍蕊 醚蛙即薛朔移苦i ：中识别边界藩濯满匪默船啦： f l 额0 藕孺椎弼曰鞠斡施。两制拍 孵艴鹩鞠豁施酗积r 弼鲢要i l f 占| 茬蒸莛霄毒匦霪瞩嚣? 藿了謇疆i 羚冀一黎 誊薹g j ；醋掣蓄蒂薰蠢约嬖雾。 蒂羹摧葡鲤孑摹妄鞋。 蓑i ；篓i ：。l ；学ii 鬲笋塞蠢坠鳞蔫浩搓美薷蓍俐烈婴耍萋到 分争墅雨茧鎏蓉薯痞毽，告罕辆奉豢型斑蚓剥引葡洲葚氰荆i 蒜蕉饕菇 彗* i i i ，：一墓蠹；攀j 霉二i 限! j 蔓；，誊f 羹l i 蒲罐潆穗情趣穗； ；! 单弛册- 纵弛塾氅i 毫誊廓车愿舅法罘年题j 毫引烈副焉崭辫i i ；再鼋值舅蔺哑矬爹鲍攫秆建立j 醪剽型一戥翟警1 镡经型屠嚣 ! 兰甭剖分囊遵焉哥衙藩罐溶随鬻i ： 蒯澎g 蚕j 舞洲；? l l ；i ；目g 要秉兰角剖分的情况下面我们以等：值面哭基础说蛆 x 反向工程中曲面重构与参数化问题研究 地方散乱点可以分布稀疏一些。下面大概介绍他的算法。 c r u s t 算法并不要求散乱点的密度均匀，而是要求所谓的r - s a m p l e 标准，即如果样点 是从曲面fe 提取的，那么如果能正确的重构出来f 的要求是任意f 上的点到最近样点 的距离与到最近曲面中轴点的距离之比小于等于r ( r ( 1 ) ，曲面中轴点集合的定义如下：中 轴点集合中所有的点在曲面上有多于一个尉匠点。虽然理论上确保重构的正确性，需要 r 比较小，但是实际上r o ，( i ，) 脚；九= l ( 2 3 ) = l 对于“j + i ，“。，让 q = 凡“，f _ l ，凡 那么“，“。有唯解。 证明：上面的( 2 4 ) 式相当于 h 珥一如“，= 乃，f = 1 ，以 ，= l1 分开考虑参数点的u ，v 坐标，我们就得到下两个方程 彳“= 6 l ，彳v = 6 2 “= ( “l ，“2 ，“。) 7 ，v = ( v 1 ，v 2 ，v 。) 7 。矩阵a 是个心h 的矩阵， 口。= 1 ， d 口= 一九， - f ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 要证明甜。，“。有唯解，等价于证明a 是非奇异矩阵。a 是非奇异矩阵等价于a u = o 只有零解。 假设a u = o 有非零解。可以看成2 6 中6 。= 0 ，如= o 。那就表示边界都在o 点。如 果存在非零解，那么设存在一个最大的“，= “。，根据凸性，则只可能他存在一个邻居 的值比“，大，或者所有的邻居的值都等于“。由于“，是最大值，所以推出所有邻居 的值都是“。，然后可以推出所有邻居的邻居的值都是“。由于三角形网格的单连通 性，可以推出所有的值都是最大值。又因于边界的值是0 ，所以“。= o 。所以a u ：o 只 有零解。证明完毕。 1 4 反向工程中盐面重构与参数化问题研究 2 2 各种曲面参数化方法 2 ，2 1 调和映射法 调和映射法是将拓扑上等价于圆盘的曲面d 映射到二维平面的凸多面区域pe r 2 上，由于被参数化的曲面的几何性质的复杂性，一定的扭曲是不可避免的。 虽然怎么来发现一个参数化方法具有最小的扭曲还不是一个很确定的问题，但是有 个非常相关并且研究很成熟的问题：当确定了个曲面d 的边界和多边形p 的边界的一 个同胚映射g 以后，存在个唯一的调和映射h ：d 斗p 在d 的边界上和g 等价，而且使 秽距离差r 御最小化。距离差量是衡量一个图对曲面中小直径区域的拉 申程度的个 尺度，因此可以看成一个扭曲的度量。 这种调和映射的差量最小化如图2 - 3 f f r 7 示，显示了从几何上复杂的区域到平面多边形的 调和映射的一个线瞄：逼近。多边形中相对于密集的地方对于与猫的鼻子和耳朵。我们可 以看到该映射趋向于保持角度，并且由于曲面的几何复杂性有一定的面积压缩，当然对 于边的长度有一些不可避免的扭曲。调和映射试图最小化扭曲程度的同时保持角度不变 调和映射的含义我们通过一种直观的方法来想象，想象曲面d 是有些带弹性的三角形橡 皮膜沿着相互的边界被缝合在一起。调和映射拉着d 的边界和p 的边界重舍，并目在边界 上和映射g 等价。这样调和映射最小化了这些三角形橡皮膜配置的调和自量b h 我们在这里并不直接构造调和映射，而是利用调和映射的线性逼近在d 的边界e 选 择n 个顶点v ，v 。称为角点，并且要求每个点的度数不能小于3 将t 述选择的n 个角点映射到r 2 的n s f l n 上，并且多边形的n 个顶点都落在个凰的 圆周上。这样边的对角对应的圆弧就与d 的边界上相应角点之间线段的长度成比例。通过 这种方法戋们就得到边界上的个映射g 显然边界上的映射g 并没有产生扭曲。 f i g u r e 2 - 3 0 b j e e t s u r f a c e f i g u r e 2 - 4 p a m m e t e r i z a l i o n p o l y g o n s 图2 - 3 原始曲面图2 - 4 参数化生成的多边形 现在我们假设映射h 是任何一个分片线性映射，并且在在边界上与g 相同，那喃蔓d 的 顶点的映射值h ( i ) 唯一确定。下面所说的能量e 。一就相当于在网格曲面dt 每一条边e 放置个弹簧然后将d 的边界拉到p 的边界上，最后形成的多边形所产生的能量函数。 反向工程中曲面重构与参数化问题研究 e h a r m ( ) = i l 七f ) 一 ( 州1 2 ( 2 7 ) 忆 e e d g e ( d ) 而i ，可以这样计算，如果上，表示边 ，】) 在曲面d 的长度，a r e a 。表示面 ，j ，k 在曲 面d 的面积。每条内边( 不是边界) 是两个三角形的公共边。设这两个三角形分别为 f ，j ，k l ， f ，_ ，k z a 则： k f = ( 矗+ 焉：一l ；) a r e a 呐+ ( 最：+ 磁- l ；) a r e a ， k ： 对于边界来说，k 。就只有一项。 虽然七。有可能为负值，但是e 一( ) 确定为正值。并且可以得到e 。，唯一最小值， 由于( 2 4 ) 是一个二次多项式。所以我们可以明确的知道他在那个地方有最小值，这个只 需要解一个线性) 濯组就可以得到，显然最一( ) 耽最小值时的h ( i ) 就是教灌 所求的参数 值。由于七。有可能是负值，所以这种映射得到的二维多变形就有可能产生折叠。在这个 情况下，这种映射就不再是映射。这种情况很少见，如果产生了这样的情况，只需 要将产生负值七。相关的地方的所有k 设为均值就可以了。 2 2 2 保形参数化 弧长参数化有一个特性就是如果空间中的点如果在一条直线上那么在散乱点x 和 相应的参数值，之间存在着种放射变换：r 3 一r 3 ( 这里将看成( f 。，0 ，0 ) ) 。由于这 种仿射变换的性质，我们将弧长参数化方法扩展到二维的时候，称为保形参数化。 下面我们来看看将弧长参数化推广到二维的情况。下面我们来证明以下的命题在一 维情况是成立的。 命题：设f l 0 b ) 如果 = f l ， s = t ， 那么 f ( s 2 ，屯，j ) = ：i w ( 5 。一只) 2 ，w ，= 1 l ，在( ，：，屯，f 。) 处取得最小值。 c ) r ，= 五，1 r h + 2 f j + l ，i = 2 ，n i ， 丑= l ，( l h + 三，) 3 6 垦塑三堡! 些亘重塑兰茎塑些塑望堡窒 一 2 = h ( 三f - l + f ) a 将a ) 的第j 和j q 项相加，就可以得到c ) ，所以a ) 和c ) 显然是一致的。我们现在 来说明b ) 和c ) 的等价性。b ) 中二次函数f 去最小值等价于a f 西，= o 。那么 a f 西。= 2w j l ( s 。一j h ) 一2 ( j f + l j ，) 2 0 ，f _ 2 ，3 ，一l ( w l 一1 + w ) s 。= w j 一1 s f 一1 + w 。“s 。+ i f = w 一1 ( + 一) s “+ w f ( + 一1 ) j f + l 将= 1 ，代入上式，则可得到f ，= i f 。+ ，2 t + ， ，i = t ( 三h + 上，) 2 = 厶1 ( 上_ 1 + 厶j 。 对于b ) 我们将它推广到二维的情形，对于所有点p ( “，v 。) 让边界点 p 。，p 。，p 。固定。那么对于内部点求 f ( a ，p ：，卯。) = 训p j 一乃 的最小值，而且= w 。 o 。根据前面的定理我f 门可知当订“，= 0 ，即却。= o 时函数可以达到最小值。由于 署一“繇( 旷，筹一川密“，) 所以p = 巾拈。p ，州。岛时就得到函数的最小值。此时让 知= w m 伽e w 。那么p ；= h u a g p ，兄。 o ，( f ，加e ，九= o ，( f ，) 垂e ， 如= 1 。当取= 1 w 置一x 川时，就是基于上述b ) 的扩充。但是由于w ，= w j ，所 以参数化的自由度就受到了一定的限制。下面我们来看看基于c ) 的扩充。 根据c ) 的表达式，希望得到一种参数化方法，满足下列条件： i 局部保形性。从局部来看，该方法是喇奇形状不变的。 i i 满足如下的形式： 胪“。瑚毛p ，五， o ，( f ，) e ， ，= o ，( f ，加n ，乏冬= l 因此，该方法通过两步来求得力。第一步t 将每一个点t 及其邻居 j 七= 1 ，2 ，4 ) 反向工程中曲面重构与参数化问题研究 映射到一个平面上相应的参数点是p 以及p l ，p ：，p d ，我们称厶2 6 c 为的a b 和c b 的夹 角， 保证映射后怕。一硎= h 。一x | | ，句。p p 。= 2 丑么啄t x 州占 一 只= _ x 。，p 州= a ，h + = t 。这样保持了相邻点之间夹角的比例，同时也保 = l 持了边的长度。 第二步，就是通过这种映射来得到丑，如图如果吐= 3 时，可以得到其唯一的萤i 挫标。 五。：! ! ! ；旦! ! 二里4 ，a 。：! ! 堡堡匕旦二盟，五：! ! ! ! 堕旦! ：星：旦2 。 ” 口，口口( p l ，p 2 ，p 3 )饥讲口( p l ，p 2 ，p 3 ) 讲e 口( p 1 ，p 2 ，p 3 ) 但是d ， 3 时，九的取法是不唯一的。那么根据数值实验的结果下面的这种方法能取 得较好的稳定的结果。参考图2 5 ，由于p 在相邻点所包含的多边形的内部，故任意一 个p ，f - 1 ，d ，和p 相连都至少和某一条边p ，( ，) p ，( m 。相交，这样我们应用4 = 3 时的 公式，我们就可以得到点，最，如 o ，4 + 疋+ 正= 1 。并且 p = 4 p ，十疋p ，( ，1 + 吒p ，f ，1 “ 我们定义。，= 1 ，西， 对于每一可以推出： 然后定义： 让= 西，p i ( f ) f = 暖，州) “= 也，k 在其他隋况下“= o 。 d ，d p = 艺川p t ，艺f “= 1 ，“o k = li = i 孥一跨一 瞬一 瞬一一 爹笾h 反向工程巾随面重构与参数化问题研究 2 3 曲面参数化的应用的简单介绍 曲面参数化砂直用范围来讲，主要有两个方面的应用，一方面是在曲面的加工，另一方 面是材质贴图，下面分别对这两方面的通用处理方法做简单的介绍。 2 3 1 ，曲面加工 曲面加工需要用参数化方法作为工具的包括曲面的刿顿化，网格简化，重新网格化， 格二一对应，首先是网格点之间的对应，由于一般的参数化方法都是分片线性的， 即在对于每个三角形片只，只，p，(多边形片可以转换成多个三角形片)的映射是线性 映射，因此对于每个三角形片里面的点，设其相对于三角形片的重心坐标为( x 1 恐冯) ， 那么其参数值是多边形片所对应的参数平面三角形幽。垮。酱雩墓囊雯喾霉i 叫誊 麓 躺壁 ；蓄墼噎渺噬嘤聪洲：4 1 峨曦通型博藤晖篡碟卫磊媪储嶙；焉鬣餐裂蒜砰； 再并；带m 弱爆裂薹霎毒鬻剞叠警孽要蠢i 餮i 美囊蠹鳎；菩霉鹱“疆黧羹僵西青涣 丽ie 蚕舶氧蟊霸用薹即鞋扪哿j 矧整：矿带蟊裂f 斡莽堂杉g “棉筹甄茸蓉判氡 x 反向工程巾随面重构与参数化问题研究 2 3 曲面参数化的应用的简单介绍 曲面参数化砂直用范围来讲，主要有两个方面的应用，一方面是在曲面的加工，另一方 面是材质贴图，下面分别对这两方面的通用处理方法做简单的介绍。 2 3 1 ，曲面加工 曲面加工需要用参数化方法作为工具的包括曲面的刿顿化，网格简化，重新网格化， 以及在曲面上折线的拉直，两点间最近距离的获得等等。这些操作的般方法是讲曲面 投影到平面的凸多边形( 根据不同的需求设置) ，然后找到网格曲面到凸多边形里面的网 格二一对应，首先是网格点之间的对应，由于一般的参数化方法都是分片线性的， 即在对于每个三角形片只，只，p ，( 多边形片可以转换成多个三角形片) 的映射是线性 映射，因此对于每个三角形片里面的点，设其相对于三角形片的重心坐标为( x 1 恐冯) ， 那么其参数值是多边形片所对应的参数平面三角形幽。计。群、的重心坐标为( x i 尥冯) 的 参数点，反之逆映射也成立。通过这种曲面于平面的映射关系的确定，对曲面的修改， 变形，重新网格化就可以在参数平面上进行e 随口重新网格化，可以将网格映射到正方形 上，然后在正方形上做正规的三角形网格，然后再将这些三角形顶点逆映射回网格就得 到了重新网格化的曲面。如图可以看出重新网格化以后的结果。 图2 - 7 原始网格和重新网格化的网格 f j 磐2 - 7 0 r i 酗i m s h a n d n e s h 2 3 2 材质贴图 材质贴图，一般的情况也可以通过先将曲面网格化，再在网格和材质之间建立_ 一 对应的关系，然后将材质逆映射到曲面网格上，但是有时候为了效果回加上一些特殊的 4 l 反向工程中曲面重构与参数化问题研究 对于光滑性的要求，由于该映射是线生映射，所以不存在其二阶偏倒数，所以可以考虑所有相邻面法向差的平方和。c 堍= 帆， 2 ) h，he 这里 = 酬( u i 丁) 一g 。d ( u i 丁) 2 + 伊缸0 i 了_ ) 一g 阻d 扣i 丁，) 2( 2 1 0 ) t ，t 是空间中相邻三角片，对t 来讲，设其顶点为p l 舰廊，g r 耐 ir )表示_三角 片t参数函数的法向。如果将其表示在基于t的平面空间ol咒d中，其中 x=蕾南；y=盖告警褊 如果参数函数z相对于三个顶点的值为vl，v2，v3，则g删(“i丁)可以转化成：孕a l i ( 1 ，i d r 3 童 =i似埘强巩l 岱_ 1 1 l r 狱i=( b h ) ，d；tn = e x 4 一x ) ，l 豫。= ( h n ) 肛；t h = x 一x 1 ) ， 脒= ( n b ) ，d ；t h = 伍l x j ) ，d d = 弛一x i ) ( h n ) 一体3 一x 1 ) ( 均一n ) 蝴“。，= 艟叫2 + 耋 2 f 4 q 2 t h 加+ t 可7 一+ t b + t p 一。“如k a = t h ，。 【 芒p ，盛p ，。：。 这里a i 的设置是基于多边形片的，由于很多材质贴图的网格是多边形片而不是三角 形。需要先求q 个点的萤噬坚标通过重心坐标生成多个三角片，然后判断落在那个三角 通过这种函数各种性质的分解公式2 9 可以转化成 c ) 2 盖盏( m ) + 歪知( m j ) + e 曩( e ) ，_ 1j _ l e # 一 = i k 一口 1 魏i = a x b | 1 2 该方法的优点是不用先设定边界的参数值，而且可以用共轭梯度发进行优化。 反向工程中曲面重构与参数化问题研究 ：喜二翼薹鐾赣型嘤瑗鉴纠 囊重b 型孵窑冠蠢蕊薹鍪蔷霪曼羹菩型裂裂；霞媸划隹釜雾囊薹：琴出囊哥篓 羹囊登鼠姜售懿咝蓦氧嚣鬻鬻葡篱薹羹孙墼蘩鹋豢蠹。 塑鬻蠹鲋蹩窭冀囊羹霉她赫塞差毫薰。喇难翌藩；誊薹蓉攀量萋鬟囊薹羹鼙= 垂囊跫蓬心襄鬻羹豢季申孝鬟量蚀； 毒 耋震一等鹭鬟霪鬣鼙：蓊l ： j ； 耋窜赘釜蠼鬻弛鞴形妇( 图6 ) ，说明i l 一6 能保护小脑颗粒神经元，对抗谷 氨酸诱导的 神经元活性的降低。 一 兽 一 赳 蜒 1 r 州 是 uz - bbl u i l 6 浓度( n g n 1 1 ) 图6i l 6 抵抗谷氨酸诱导的神经元活性降低 神经元活性c ，= 妥素鬟鬈嘉鬈三焉鋈篇x - o o + p o 0 5 ， + p o 叭，与谷氨酸组比较，即与on g m l 的i l 一6 组比较 n 28 ( 三) l l 一6 减轻谷氨酸诱导的神经元凋亡 i l一6 ( 5n g m 1 ) 与小脑颗粒神经元一起孵育8 天后，用谷氨酸( 1 0 u mo l l ) 刺激1 5 分钟，然后用t u n e l 法检测神经元的凋亡。结果表 明，i l 一6 处理后，小脑颗粒神经元由谷氨酸诱导的凋亡数比未经i l 6 处理的谷氨酸组明显减少，与没有任何药物处理的对照组比较无显著 差异( 图7 ) ，提示i l 一6 可保护小脑颗粒神经元减轻谷氨酸诱导的神 经元凋亡。 加 x 反向工程中曲面重构与参数化问题研究 方程就可以得到参数值。 约束映射方法主要是用于在材质贴图中将二维图形映射到给定的物体表面上，目的 是保持光滑以及参数化前后的正交不变隆郎试图保持二维图形映射到空间曲面时不发 生扭曲。 3 3 生成插值点的方法 本文给出生成插值点的方法，主要有以下几个步骤。 将曲面三维顶点参数化到单位正方形区域。 在正方形区域匕选择插值线。 将这些交点通过参数化的逆变换求出在曲面上的对应点。将这些点月哽i 欠连接再把连 接线等距分成n 等份。 3 3 1 参数化到正方形区域 对于曲率非常大的复杂图形，如图3 - 2 圈3 1 原始曲面 f i g l l f e3 一lo 球：c t s u 而c e 由于其几何性喷的复杂性，一般的参数化方法如保形映射会导致参数值集中于一个 非常小的一个区域，如 图3 - 2 ，显然这样就给插值点的选 取带来困难。为了排除这种情况我们在傈形参数化的基础上加上能量函数 g ( x ) = 。) 。脚( 印( x ，一x ，) 2 ，设曲面的顶点为 0 ，其中形) 品和 k ) 芒。分别为 内点和边界点。这样求曲面顶点的参数值就变成了求在什么隋况下如下目标函数取得最 小值： 厂( x ) = | | 纠1 2 + | | q | 2 x = ( x 。，x ：，。) 7 ( 3 1 ) 反向工程中曲面重构与参数化问题研究 4 p = 1 f _ - ， 一i z 兰蔓( j ，) e 辔( s ) 三p 片 。、7 0d 脯p r w 捃o f l q j = 一l 【o j ，( i ，j ) e d g 凹c s ) o c h e r v 觑 和保形参数化的方法_ 样，先确定边界点的参数值。本文采用将蓝面边界点接顺序 等距离地参数化到单位正方形边界上。则方程3 1 ) 可变为： ，( z ) = 0 五2 i 1 2 十i l g 叠1 1 22 = ( 2 1 ，。2 ，+ 1 ，卫n ) t = lc a ，j a 。，( ：) 1 1 2 + 1 lc q l 仍，( 耄) 1 1 2 = 1 1 4 l 工+ a 2 t 6 | | 2 + l i c i 。+ 仍。b l l 2 ( 3 。= 扛1 ，? 2 卫 ，+ 1 z ) t ，王= ( 茁i ，z 2 ，上 ) t ，z b = c 卫 + 1 ，2 。+ 2 ，。尸 令爿2 = p ，c 2 = d ，贝| j ( 3 2 ) 变为 ，( 卫) =f l a l 卫_ + e l l 2 十l i e l z 十d l l 2 ( a a 1 十四凸) 卫+ 2 ( ，n + 矿血) 卫+ ( e t e 十矿d ) 根据二次函数的性贡可以知当x = 一( 群4 + c i c ) 。1 ( e 7 c 。+ d 7 4 ) 馊触啦微小值。 由于参数值x = ( 。，v ，) 是一个二维向量，所以必须对两个坐标分别求最小值。这样就得 到了曲面砸点处的二维参数值。 3 3 2 插值点的选取 根据前面所述，插值点的选取要求均匀和不产生重叠。根据保形映射幽l 的原理，由 于所有内点都是其邻接点的凸组合，所以能保证参数平面不产生重叠，这样也就能保证 插值点不产生重叠。另方面本文试图给出种方法让相邻点之间的距离相等。主要思 想是先在曲面上求出接近平行且相等闻隔的曲线，再在每条曲线上找出等距插值点。 将曲面s 顶点的参数化点按照曲面上原有顶点的连接方式连接成参数化平面的三角 形网格并记之为p 。将曲面至控上的变换称为参数化映射。我们通过如下的方法来定义这 个变换：顶点映射为相应的参数点( 参数点的坐标上面的优化方法已经求出) ，考虑曲面 上任意一点r r 肯定落在某个闭三俎形内，根据该点