（概率论与数理统计专业论文）排队服务系统的随机比较.pdf

硕士学位论文 m 人s t e r 。s1 1 l e s l s s t o c h a s t i c c o m p a r i s o n s o f q u e u i n g s e r v i c es y s t e m at h e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to f t h e r e q u i r e m e n t f o rt h em s d e g r e ei ns t a t i s t i c b y g n ox i a o x i a p o s t g r a d u a t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c sc e n t r a lc h i n a s u p e r v i s o r ：l ib o n o r m a l u n i v e r s i t y a c a d e m i ct i t l e ：a s s o c i a t ep r o f e s s o r s i 印a m 陀丝竺z ! 岁- a p p r o v e d m a y 2 0 1 1 吣9jjl_ 洲8m 79叭8“iiii帆y 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：掣、霞 日期：沙7 f 年，月哆日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅； 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：郭小便 日期：年月 e l 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回意途塞握交厦澄厦! 旦兰生；旦二生；旦三生筮鱼! 作者签名： 日期： 导师签名： 日期： 即讫1 j ) 年月 日 n r 口 月 厶叩已 年 名 签 ： 师期 争日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 随机序问题一直是概率论中基础而相对困难的重要课题，而排队论中关键指标 的随机比较更是具有较大的实际意义和应用价值。本文研究排队过程中排队队长和 顾客等待时间的随机比较问题。 首先，在顾客相继到达的时间间隔与服务时间相互独立的条件下，本文分别对 m f ( c r ，历l 系统和r ( a ，历m 1 系统给出了每类排队系统排队长度在普通随机 序下的比较，并且通过仿真模拟的方法进行了验证。 然而通常情况下，顾客相继到达的时问问隔和服务时问是相依的。于是本文进 一步研究了到达时间间隔和服务时间相依的情形，推广了m u l l e r ( 2 0 0 0 ) 的结论，对 于g g k 排队系统也给出了其等待时间在增凸序下关于顾客服务时间与顾客到达 时间间隔相依程度的单调性。 最后本文研究了系统等待时间内高峰期的顾客人数，高峰期的服务是评价一个 服务系统优劣的重要标准。本文基于超模序刻画的随机变量相依程度，对g g l 模 型得到在等待时间内高峰期顾客人数关于等待时间和在此时间内到达顾客数在增 凸序下的单调性。这个结果能够成功的推广到多个服务台的情形，即g g k 模型 也得到了相同的结论。 关键词：超模序；增凸序；一般随机序；排队长度；等待时间；随机模拟； 硕士学位论文 1 人s t e r s1 i i e s i s a b s t r a c t t h e q u e s t i o no fs t o c h a s t i co r d e rh a sb e e nt h ed i f f i c u l ti m p o r t a n tt o p i ci nt h e p r o b a b i l i t yt h e o r y , a n dt h es t o c h a s t i cc o m p a r i s o no fk e yi n d i c a t o r si nq u e u i n g t h e o r yh a s ag r e a tp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ea n da p p l i c a t i o nv a l u e t h i sp a p e rw e s t u d i e st h es t o c h a s t i c c o m p a r i s o no fq u e u el e n g t ha n dq u e u ew a i t i n gt i m ei nq u e u i n gs y s t e m f i r s tw ea s s u n l et h a tt h es e r v i c et i m eb r o u g h ti nb yac u s t o m e ra n dt h es u b s e q u e n t i n t e r a r r i v a lt i m ea l ei n d e p e n d e n t w ec o n s i d e rt w o i m p o r t a n tc l a s s e so fs i n g l e s e r v e r b u l kq u e u i n gm o d e l s ：m f ( a ，1a n d f 蜒，m 1 i ne a c hc l a s sw ec o m p a r e t w os y s t e m sa n d p r o v e t h a to n ei sm o r e c o n g e s t e dt h a nt h eo t h e ri ft h e i rb a s i cr a n d o m v a r i a b l e sa l es t o c h a s t i c a l l yo r d e r e di na t la p p r o p r i a t em a n n e r a n dw e v e r i f yt h e s er e s u l t s b yr a n d o ms i m u l a t i o n i nt h et h i r dc h a p t e ra q u e u i n gs y s t e m 谢也p a r t i a lc o r r e l a t i o ni sc o n s i d e r e d w ew i l l f u r t h e rd i s c u s st h eq u e u i n gs y s t e mw i t hm u l t i w i n d o w c o m p a r i s o nf o r w a i t i n gt i m eo f g g k w es h o wt h a ti nt h i sc a s es t r o n g e rd e p e n d e n c eb e t w e e ni n t e r a l r i v a la n ds e r v i c e t i m e sl e a d st od e c r e a s i n gw a i t i n gt i m e si nt h ei n c r e a s i n gc o n v e x o r d e r i n gs e n s e e x t e n d t h ec o n c l u s i o no fm u l l e r ( 2 0 0 0 ) a l s ow ea l lk n o wt h eb e t t e rs e r v e ro fp e a k p e r i o di sv e r yi m p o r t a n t i nt h el a s t c h a p t e rt h en u m b e ro fc u s t o m e r so f p e a kp e r i o dd u r i n gt h ew a i t i n gt i m ei sd i s c u s s e di n t h eb u l kq u e u eg g 1 b a s e do nt h ed e p e n d e n c yo fr a n d o mv a r i a b l e si nt h es e n s eo f s u p e r m o d e lo r d e r i n g ，t h em o n o t o n i co ft h en u m b e ro fc u s t o m e r so fp e a kp e r i o dd u r i n g t h ew a i t i n gt i m ei so b t a i n e d ，i nt h es e n s eo f i n c r e a s i n gc o n v e xo r d e r i n g ，o fg g 1o n t h ed e p e n d e n c yb e t w e e nt h ew a i t i n gt i m ea n dt h en u m b e ro fc u s t o m e r sw h oc o m e d u r i n g t h ep e r i o d a tl a s t w ee x t e n dt h ec o n c l u s i o nt om u l t i w i n d o w k e yw o r d s ：s u p e r m o d e lo r d e r ；i n c r e a s i n gc o n v e xo r d e r ；g e n e r a lr a n d o m ；q u e u e l e n g t h ；w a i t i n gt i m e ；s t o c h a s t i cs i m u l a t i o n ； 硕士学位论文 m a s t e r st l i e s i s 目录 中文摘要 i a b s t r a c t 1i 第1 章：绪论1 1 1 弓i 言1 1 2 研究现状l 1 3 本文主要思路2 第2 章：理论预备知识4 第3 章：mi g i 和g m l 排队系统队长的随机比较9 3 1m g 1 系统排队长度的随机比较9 3 2g m l 系统排队长度的随机比较1 2 3 3 数值模拟1 4 第4 章：g i g i k 排队系统等待时间的随机比较19 4 1 系统等待时间的随机比较1 9 4 1 1g g l 排队系统等待时间的随机比较1 9 4 1 2g g k 排队系统等待时间的随机比较2 0 4 2 系统在等待时间内高峰期的顾客数2 l 4 2 1g g l 排队系统在等待时间内高峰期的顾客数2 1 4 2 2g g k 排队系统在等待时间内高峰期的顾客数2 3 第5 章总结与展望2 5 5 1 论文内容总结2 5 5 2 研究展望。2 5 参考文献2 6 致谢2 8 硕士学位论炙 m a s t e r s1 i i e s i s 1 1 引言 第1 章：绪论 排队论( q u e u i n gt h e o r y ) 又称随机服务系统，是通过对服务对象到来及服务时 间的统计研究，得出这些数量指标( 排队等待时间、排队长度、忙期长短等) 的统 计规律，从而解决服务系统最优设计与最优控制的一种理论。 同常生活中关于排队的例子有很多，例如：上下班坐公交车，等待公交车的排 队；顾客到理发店理发形成的排队；公司职员到医院体检形成的排队；人f l j n 火车 站购票形成的排队等；还有一种排队是物的排队，例如等待打印或发送的文件；路 口红绿灯下的汽车通过十字路口等等。排队论的产生与发展来自实际的需要，实际 的需要也必将影响它今后的发展方向。排队论的应用非常广泛，可以说凡是存在拥 塞现象的系统，都可以归结到随机服务系统的范畴尤其的在通信、交通与运输、 生产与服务、贮存与装卸、管理运筹以及计算机信息等方面应用得最多。 排队系统由输入过程、到达规则、排队规则、服务机构的结构、服务时间与服 务规划组成。评价一个排队系统的好坏要以顾客与服务机构两方面的利益为标准。 就顾客来说总希望等待时间或逗留时间越短越好，从而希望服务台个数尽可能多些 但是，就服务机构来说，增加服务台数，就意味着增加投资，增加多了会造成浪费， 增加少了要引起顾客的抱怨甚至失去顾客。顾客与服务机构为了照顾自己的利益对 排队系统中的4 个指标：排队长度、排队等待时间、服务台的忙期( 简称忙期) 、 高峰期的顾客数都很关心。因此这4 个指标也就成了排队论的主要研究内容。 但是随着实际应用需要所提出的排队系统模型的越来越复杂，以往常用的分析 排队系统的方法已远远不能满足要求，同时一个排队系统在任意时刻队长性质和等 待时间性质的研究又是一个非常有意义但又困难的问题。考虑到系统的排队长度和 等待时间都是一个随机变量，因此关于排队长度的研究往往是通过它们的随机比较 实现的。所谓的随机比较的方法，即用定义于有概率测度( 或分布函数) 组成的集 合上偏序( 即随机序) 的性质对随机变量、随机向量或随机过程进行比较，从而达 到对复杂系统进行优化的目的。 1 2 研究现状 对于排队系统中运用随机比较的方法来研究近年已经引起了学术届的普遍关 注，并且取得一系列丰硕的研究成果。p r a b h u ( 1 9 8 7 ) 【7 】虑了两类只有一个服务员的 硕士学位论炙 m a s 1 e r st l l e s i s 成批到达和成批服务的排队模型m ( j ) g y 1 ( 顾客依p o i s s o n 过程成批到达服务系 统) 和g ( j m ( r 1 ( 顾客成批服务的服务时自j 服从指数分布) ，并给出了每一类排 队系统其拥挤程度在普通随机序下的比较。蔡( 1 9 9 4 ) 【8 】进一步研究了肘( x ) g ( y 1 模型，并在增凸序下对系统的拥挤程度进行了比较。蔡( 1 9 9 9 ) 1 6 】研究了 口g i 1 模型，证明了如果系统的基本随机变量有一定的随机序、凸序关系时， 其等待时间也有相应的随机序，凸序关系。随后，m u l l e r ( 2 0 0 0 ) 6 】研究了g g 1 系 统中顾客等待时间在增凸序下关于顾客服务时间与顾客到达时间间隔相依程度的 单调性。禹海波( 2 0 0 6 ) 【1 1 】得到了g ( j 肘( y ) 七系统中队长过程的随机比较以及 队长函数关于时间的凸性和凹性，给出了g ( 工g ( y ) 1 系统队长过程、稳态队长的随 机比较以及队长函数关于时间的凸性和凹性。c a i ( 2 0 0 8 ) 【9 1 在顾客服务时间与下批 顾客的服务容量所组成的随机向量独立同分布的假设下得到了m ( j ) g ( r ) 1 的排队 长度在增凸序下关于服务时间与下次服务容量相依程度的单调性，在顾客相继到达 时间间隔与此两批顾客中较后批来到的顾客人数所组成的随机向量独立同分布的 假设下得到了肘( j g ( y 1 的排队长度在增凸序下关于顾客相继到达时间问隔与此 两批顾客中较后批来到顾客人数相依程度的单调性。吕文华( 2 0 0 9 ) 【1 5 通过对 e m l 系统进行分析，给出了该排队系统队长的分布，得到了该系统队长的随机 比较结果，并且给出了稳态平均队长的比较，得到了等待时间的随机比较。程晓燕 ( 2 0 0 9 ) 【1 4 讨论了m ( 。g c y ) 1 模型在等待时间内高峰期的顾客人数，基于下模序 刻画的随机变量相依程度，得到了在等待时间内高峰期顾客人数关于等待时间和在 此等待时间内到达的顾客人数在减凹序下的单调性。 1 3 本文主要思路 第二章为预备知识，给出了排队系统队长和排队等待时间随机比较的几种常 用随机序的定义和性质，介绍了本文用到的刻画随机变量相依性的相关概念和一些 研究成果。 本文第三章假设顾客相继到达的时间间隔与服务时间相互独立，分别对 2 硕士学位论文 m a s t e r s1 h e s i s m r ，历l 系统( 服务时间服从伽马分布) 和r ，历m 1 系统( 相继的到达时 间间隔服从伽马分布) ，在普通随机序下得到其队长比较，并通过随机模拟验证了 结论。 本文四章在顾客相继到达的时间间隔与服务时间相依的情况下，推广了 m u l l e r ( 2 0 0 0 ) 的结论，对于g g 七排队系统也给出了其等待时间在增凸序下关于 顾客服务时间与顾客到达时间间隔相依程度的单调性。 评价一个服务系统优劣时，是否做好高峰期的服务也是一个重要标准。程晓燕 ( 2 0 0 9 ) 【1 4 讨论了m t 砷g t y ) 1 模型在等待时间内高峰期的顾客人数的单调性。本 文在不同的模型下，不同的序关系下同样的研究了高峰期的顾客人数。本节在基于 超模序刻画的随机变量相依程度，对g g 1 模型得到在等待时问内高峰期顾客人 数关于等待时间和在此时间内到达顾客数在增凸序下的单调性。并且这个结果能够 成功的推广到多个服务台的情形，即g g 七模型也得到了相同的结论。 3 硕士学位论文 m 人s t e r s1 1 i e s l s 第2 章：理论预备知识 本章首先给出用于排队系统队长和排队等待时间随机比较的几种常用随机序 的定义和性质，而后介绍了用于刻画变量相依性的几种随机序及其研究成果。 定义2 1 称随机变量x 在似然比序下大于随机变量】，若设其密度函数分别 m 帅g ，对地, y c r , 瓠州，有器筹成立。记作x - - , r y o 或者等价于对于所有的x o ，如果笪掣在x 和y 的共同支撑下关于x 递增。 g 【x j j ( 这里当a ) - - o 时， 旦0 被定义为) 定义2 2 称随机变量x 在一般随机序下大于随机变量】，若对所有的口r ， t a , _ v _ e x a ) p r 口) ，记作x 乞y 。 由于p x a ) 尸 】， 口) ，因此对于任意的x 落入( a ，) 的可能性都比】，要大， 更清楚了定义的实质。 定义2 3 称随机变量x 依增凸序大于随机变量】，若对一切递增的凸函数厂， 成立e f ( x ) e f ( 】，) ( 假设其期望都存在) ，记作x 妇y 这三种序有如下的关系：x - - r 】，x - ay jx 妇】，可见文献【3 】 常见的序有一般随机序、似然比序、凸序、凹序、增凸序等等。一般随机序要 比单调凸( 凹) 序强，似然比序又比一般随机强，当然还有比似然比还强的序。 对于描述随机变量的正相关性最重要的指标之一就是积极相依性( p q d ) 。 若随机变量( 五，置) 的分布函数为f ，e ，e 分别记五和五的边缘分布函数， 如果对于任意的五和恐，成立f ( 而，而) 厩( 五) e ( 而) ，则我们称x = ( 五，五) 是积极 相依( p q d ) 的。 4 硕士学位论文 m a s t e r s1 1 1 e s l s 定义2 4 记随机变量x = ( 墨，五，一- x ) 的分布函数为f ，随机变量 】，= ( x ，艺，) 的分布函数为g ，若对比，f ( x ) g ( x ) ，就称x 在尸序下比j ， 大， 作x p e ay 。 若对于v x ，y e r ”，满足( x ) + 厂( 少) 厂( x y ) + ( x v y ) ，则称函数 f ：r ”专r 为超模函数。 特别的当r l = 2 时，如果二次可微，则为超模函数对于所有的x r ， 磊0 两2 f 。成立。或者可以等价的定义为：对于，而尺，成立 ( 玉+ s ，x 2 + 万) 一厂( 而+ g ，屯) f ( x a ，x 2 + a ) - f ( x a ，x 2 ) ，则称函数厂：r 2 专r 为超模函 数。 定义2 5 记x ，y 为r l 维随机变量，若对超模函数有e 【( x ) 】研厂( j ，) 】( 假 设其期望都存在) ，则称x 在超模序下大于j ，记作：x 册】，。 由于对固定的x ，函数纯= ，f ，叫和纯= f y 虫 都为超模函数，于是可得到如下 关系：z 。】，jx 咖】，。 引理2 1 ：对于双变元的随机变量x ，y ，下面两条件是等价的： ( 口) x 聊】， ( 6 ) 对于所以的超模函数矽：r 2 一r ，成立剧) e f t ( y ) ，假设期望都是存在 的。 下面引用文献 7 】中关于超模函数、超模序和增凸序的一些研究成果。 性质2 1 设( 五，置，。) 和( 巧，艺，) 是两个随机变量，若( 五，五，以) 。 ( x ，e ，k ) ，则对于具有相同单调性的函数吕：r j 砸= 1 z 一曲都有 ( 蜀( 五) ，( 砭) ，g 。( 鼍) ) r ，f = 1 ，2 则 缈( 五，x 2 ，) = 厂( 蜀( 而) ，9 2 ( x 2 ) ，( ) ) 也是超模函数，即证。 性质2 2o 是一个随机变量，若对 支撑上的所有秒，都有 【xio = 0 】。i v lo = 0 】，则x 。y ： 性质2 3 设x = ( 五，五，咒) 和】，= ( 巧，艺，k ) 是两个随机变量，若x 】， 则对任意的，g 1 ，2 ，l ，都有五。巧； 性质2 4 设x = ( 五，五，瓦) 和l ，= ( k ，匕，k ) 是两个随机变量，若x 。y ， 则对任意递增的超模函数：r ”jr ，都满足矽( x ) 妇矽( 】，) 。 此性质在排队理论中非常有用，可用例子描述如下： 记 4 ，i = l ，2 ，为一列随机变量，记c 为一常数。对于固定的g ，定义新序列： q o g ；q f = m a x ( o ，q + 4 一c ) ，f = l ，2 ，同样的，对于 4 7 ) ，f = 1 ，2 ，随机变量序列， 我们也定义有：q = g ；q + l = m a x ( o ，q + 4 7 一c ) ，i = 1 ，2 ， 若对v f ，有( 4 ，4 ，4 ) 。( 4 ，4 ，4 ) ，则q q ，f = 1 ，2 ， 打疗 特别的，可以得到：当x 跏y j 五妇i j = lf = l 性质2 5 记( 五，五) ，( 墨，砭) 为双变元的随机变量，若( 五，五) 毛( k ，e ) ，则 写一k 妇五一五； 证明：记为一单变量凸函数，定义函数9 ( 而，而) = 一( 而- x 2 ) ，则： 矽( 西+ s ，而+ 万) 一缈( 五+ 占，恐) 一矽( 毛，艺+ 艿) + 缈( 而，岛) = 一妒( 墨+ s 一屯一万) + ( 而+ s 一而) + ( 而一屯一万) 一( 五一恐) 作变量替换，令z = 飞- 6 ，可得到上式为 6 硕士学位论文 m a s t e r s1 h e s i s = 矽( 西+ 占+ z + 万) 一矽( + 占+ z ) 一( 而+ z + 艿) + 矽( 五十z ) 0 即证得c p 为超模函数。由前引理2 1 知当有x - 吃，届 尾，则x 毛y ； 详见文【4 】 引理3 1 3 对如匕描述的排队系统m g 1 ，假设系统开始在第一个顾客到达 9 硕士学位论炙 m a s t e r s1 i l e s l s 并进入服务t o = 0 ，因此厶= 0 ，则有结论： o ) 厶= 4 + 最一i r n 一1 ( 疗) 瓯，刀o 是随机游走，所以最一。- - m n q 与以一。同分布 ( i i i ) 若局 d 厶2 和互乞疋。 证明：在，中，记m ( f ) 为( o ，f 】时刻内到达的顾客数， 则m ( ) = s u p n u l + 甜2 + “。- - dk ，得l n 1 ) d 2 ( 屹2 ) ，即而：4 l 1 d4 l 。令以d = 4 i d - 1 ( f = 1 ，2 ) ， 我们得到鼍1 乞以2 仍1 ) 。记定义在以的分布函数上的随机游走为 鼠 ( f = l ，2 ) ，由引理3 1 1 得知成立 最1 乞 最2 ，进而有结论 厶1 萄 2 0 1 ) 。而 引理 3 1 3 告诉我们： 厶= 以d + & 一l 一一1 4 7 + 心一l n ，有上4 1 乙4 ，鸩1 乞鸠2 0 1 ) 及 4与 厶一l 相互独立， 即而得厶1 乞厶孙 。同样， p 缓 甩 = p 历。2 o ) 尸 m o ) = p 互 刀) 由序定义即得：夏乞互。 特别的对于m r 位，罗) i 系统，我们可得到如下几条推论： 推论3 1 1 若a 如，1 ，1 、- r ( a , ，屈) ，0 2 一r ( 口2 ，岛) 而q 吃，屈肛，则： 厶1 乞厶2 和互匕乏 1 0 硕士学位论炙 m 人s t e r st h e s l s 证明：由引理3 1 2 知n - r ( a , ，层) ，v ( 舶- r ( a ：，屈) 而q ，届岛时 屹( d f ，屹( ，由序关系知1 ，2 1 乞2 1 。而丑如得1 匀孙，由定 理3 1 1 得证厶1 乞厶2 和石乞互。 推论3 1 2 若五五， y 1 r ( q ，) ，v - r ( a 2 ，) 而q 吃则： 厶1 乙厶2 和互乞瓦 由上证明，由引理3 1 2 知v ( 1 ) r ( a l ，) ，v 1 r ( a 2 ，) 而口2 时可得知 f ，吒孙，即证。 推论3 1 3 若五如， 1 ，1 r ( a ，届) ，v 2 r ( a ，屐) 而屈屐，则： 厶1 乞厶2 和五乞互 由上证明，由引理3 1 2 知，1 r ( a ，届) ，2 r ，履) 而时可得知 屹1 1 f ，屹，即证。 在以上定理中描述的排队系统m g 1 ，由不等式五如知。比：有更多 的顾客到达，不等式屹m 毛( 2 ) 意味着。比：处理顾客的能力要差，因而，比 ：要更拥挤，就像结果证明的一样，不等式厶1 d 厶2 表示第甩次服务结束的时 刻，比：有更多的顾客在等待，因此从顾客的角度来说，确比z 更拥挤。 但是考虑，( 江l ，2 ) 的忙期持续时间垦，有骂= m + 吃o + n ，由假设 ( 1 彳v 一( 2 ) 和结果正正推出：马= v l 1 + v 2 ( 1 + h 1 d 岛= v l 2 + v 2 ( 2 + k 舢， 即。比：连续的忙期时间要长，忙期内。比：服务的顾客数要多，因此在 决策者的角度看。比：效率更高。 定理3 1 2 设第一个系统为m r ( a ，仂1 1 模型，第二个系统为m m 1 模型， 硕士学位论炙 m a s t e r 。st i l e s i s 若第io = 1 ，2 ) 个系统具有到达时间间隔“。e x p ( x ，) 和服务时间v 1 r ( a ，) ， ，2 e x p ( f 1 ) ，则：五如，a l ，对所有的r l ，厶1 d 厶2 1 。 证明：已知五五， u n 1 1 毛2 ；而1 ，1 r ( a ，) ，1 ，2 e x p ( f 1 ) r o ，) ， 可得当a l ，成立1 乞屹舢，由上定理3 1 2 得证对所有的，z ，厶1 芝d 厶2 1 。 3 2 g m 1 系统排队长度的随机比较 对于g m 1 排队系统： 系统描述：顾客到达时间间隔序列 乙，r 1 独立同分布；服务时间 ，刀1 为 独立同分布的指数序列且唯e x p ( u ) ；假设 吒，k 1 ) 与 唯，k 1 ) 相互独立，使用先 到先服务( f c f s ) 排队规则，服务机构只有一个。 乙：表示第疗个顾客的到达时刻，我们约定t o = 0 圾：记时间段【乙乙) 进入服务的顾客数 厶：第，1 个顾客到达前夕t n 一时刻系统内的顾客数 丁：记系统忙期所服务的顾客数，则r = m i n n 1 ：l n = o 最：记厶时刻系统中的顾客数 厶为队长的嵌) km a r k o v 链，容易验证， 厶仍1 ) 满足以下的递推关系： 厶+ 1 = r n a x ( o ，厶+ l 一见+ 1 ) ，刀0 从以上分析知，上述系统的基本过程为：随机游走 最) ，一= l 一见，且& 7 = o ， 最= 五+ 置+ + 以仰1 ) ，具有特征 乙n ，吩 ；因为以一一以，所以其结果与 前面叙述的m g 1 系统结果相类似。 引理3 2 1 假设系统开始在第一个顾客到达并进入服务t o = o ，因此厶= 0 ，则： 1 2 硕士学位论文 m a s t e r 。s1 1 1 e s i s ( f ) 厶鸠一最 何) s ，拧0 是随机游走，所以蹄广r n 一，与鸩一，同分布 ( 耐) 若岛 以) = p 坂2 o ) 毛尸 坂1 o = p 互 刀 ，由序的定义也可得：互乞e 特别的对于r ( a ，历m l 系统，我们可得到如下几条推论： 推论3 2 1 若f 1 r ( ，屈) ，f 2 r ( 吃，屈) ，u l ”2 ，而q ，届尾，则： 厶1 乞厶2 和巧乞正 证明：由引理3 1 2 知r n - r ( a , ，届) ，f 2 i ( 吃，履) ，而q ，层屐，时 吒1 氖气，由序关系知1 毛2 毛1 毛孙，nu l u 2 由定理3 2 1 得证 厶1 乞厶2 和五毛五。 推论3 2 2 若f n - r ( a , ，历，f 2 r ( a 2 ，) ，甜2 而q 哆则有结论： 厶1 毛2 和五乞疋 同上：由引理3 1 2 知f 1 r ( q ，) ，f 2 r ( a 2 ，) 而呸时有结论 硕士学位论文 m a s t e r st i t e s i s 吃1 毛乇2 1 ，即证 推论3 - 2 3 若f 1 r ( a ，屈) ，f 2 1 - f ( a ，屈) ，“l 而属履则由结论： 厶1 乞厶2 和巧乞五 同上：由引理3 1 2 知f n - f ( a ，届) ，f 孙f ( a ，屈) 而屈屐时有结论 吃1 毛吃孙，即证 在以上定理中描述的系统g m l ，由结论厶m d 厶2 知：从顾客的角度看。 比：要更拥挤。但考虑，系统中忙期服务的顾客数，显然z 等于m ，由 石z 知1 乞2 ，而u l ”2 表示屹1 毛屹2 1 ，因此忙期的持续时间骂，有结论 骂2 m 1 + v 2 1 + v i 1 乞岛= vc 2 ) + 屹2 + k 。即l 比2 连续的忙期时间要 长，忙期内t 比：服务的顾客数要多，因此在决策者的角度看，比：效率 更高。 定理3 2 2 设第一个系统为r ( a ，f 1 ) m i l 系统，第二个系统为m m 1 系统， 若第i ( f = 1 ，2 ) 个系统具有到达时间间隔f 1 r ( a ，) ，f ( 2 ) r ( 1 ，) 和服务时间 ，n - e x p ( u , ) ，- u 2 ，口l 则对所有的甩，成立厶1 乞乙孙。