（计算数学专业论文）抛物问题的各向异性变网格carey三角形有限元方法.pdf

郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违 反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法 律后果，特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) ；王健 2 0 0 5 年1 0 月日 摘要 传统的有限元方法通常要求对区域剖分满足正则性假设或拟一致假设，即要 求剖分满足 r p r c ，v k ， 或 。 。c ， 。，= 唧。k ， 一= 哩“k ， 其中，以是区域q 的某种剖分族，k 为一般单元， 。，p 。分别是k 的直径和最大 内切圆直径，c 是一个只与区域n 有关的常数。 然而，随着有限元方法应用的不断扩大，上述要求已成为严重的制约因素。 同时，有些问题的解可能呈现各向异性特征，即真解仅仅沿某一方向变化剧烈， 而在其他方向变化平缓，于是很自然的想法是绕开传统方法中对区域剖分满足正 则性假设或拟一致假设的限制，通过各向异性网格在离散化的过程中反映这种特 征，也就是在解变化剧烈的方向上使用较小的网格，而在垂直方向上使用较大的 网格。 本文主要讨论抛物问题的各向异性变网格c a r g v 非协调三角形有限元逼近。 利用该元的某些特殊性质，结合变网格思想，通过r f e ”投影技巧，导出了全离 散的变网格格式，给出了各向异性条件下能量模和r 一模的最优误差估计。从而 说明，正则性假设或拟一致假设对有些问题的单元来说并不是必要的，进一步拓 宽和丰富了有限元( 特别是非协调有限元) 的应用范围。 关键词：抛物问题；c 伽叫元；各向异性：变网格；最优误差估计 a b s t l a c t t h ec l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n ta p p r o x i t r 】a t i o nt h e o r yr e l i e so nt h er e g u l a ro r q u a s j u n if o ma s s 岫p t i o n ，i e ， t h e r ee x i s t sac o n s t a n tc o s u c ht h a tf o r a 1 1 e l e m e n 世，厅f ，p 茎c ，v 世j ，o r 。“。c ，= 峄而，k i 。= 哑n k ， w h e r eka n dp ra r et h ed i a j i l e t e r so fka n d t h eb i g g e s tc i r c l ec o n t a i n e di n 茁 r e s p e c t i v e l y h o w e v e r ，w i t ht h ed e v e l o p 【i e n to fa p p l i c a t i o no ff i n i t ee l e m e n t s ， a b o v ec o n d i t i o n sh a v eb e e ns e v e r er e s t r i c t i v ef a c t o r s a tt h esa i i l et i m e t h e s o l u t i o no fs o m ep r o b l e i i 】sm a yh a v ea n i s o t r o p i cb e h a v i o r t h a tm e a n st h a t t h es 0 1 u t i o nv a r i e ss i g n i f i c a n t l yo n l yi nc e r t a i nd i r e c t i o n i ns u c ht h a t c a s ei ti sa no b v i o u si d e at or e f l e c tt h i sa n i s o t r o p yi nt h ed i s c r e t i z a t i o n b yu s i n ga n is o t r o p i cm e s h e sw i t has m a l lm e s hs i z ei nt h ed i r e c t i o no f t h er a p i dv a r i a t i o no ft h es 0 1 u t i o na n da l a r g em e s hs i z ei nt h e p e r p e n d i c u l a rd i r e c t i o n i nt h i sp a p e r ，t h em a i nc o n t e n t sa r et h ea n i s o t r o p i cn o n c o n f o m i n gf i n i t e e l e m e n t m e t h o d sw i t hm 0 v i n g g r i df o rp a r a b o l i c p r o b l e m b yu s i n g ( k r 纠 e l e m e n t ss p e c i a lp r o p e r t i e sa n dc 0 n b i n i n gw i t ht h em o v i n gg r i dt e c h n i q u e s ，t h e p a r a b o li cp r o b l e m sa r es t u d i e d a tt h esa i i l e t i m e ，b yu s i n gt h er 把盯 p r o j e c t i o n ， t h eo p t i m a le r r o re s t j 盯】a t e si ne n e r g yn o 埘a n dr n o r mo f a r eo b t a i n e d t h u st h ec l a s s i c a lr e g u l a r i t yo rq u a s 卜u n i f o 珊a s s u 呻t i o ni sn o t n e c e s s a r i l yf o rs o m ee l e m e n t sa n dt h ea n i s o t r o d i cf i n i t ee l e m e n t se x t e n d st h e a p p l i c a t i o ns c o p eo ft h ea n i s o t r o p i cf i n i t ee l e r n e n t si se x t e n d e d ( e s d e c i a l l v t h en o n c o n f o r m i n go n e s ) k e yw o r d s ：p a r a b o l i cp r o b l e m ；o r 叫e l e i l l e n t ；a n i s o t r o p i c ；i i l o v i n gg r i df i n i t e e l d l l e n t ：o d t i m a le r r o re s t i m a t e s 第一章引言 有限元方法是古典变分方法和分片多项式结合的产物。1 9 4 3 年，r c o u r a l l t 首次用三角形网格剖分和分片线性多项式插值柬解决d i r i c h l e t 问题，随后，我国 数学家冯康教授和西方科学家各自在独立基础上奠定了有限元的数学理论，由于 越来越多的数学家加入发展有限元的行列，这种方法便由工程局限性中解脱出 来，形成了统一、严密的数学基础。自6 0 年代以来，该方法已成为解决物理、 工程、科学计算的重要工具，用这种工具可求解许多诸如椭圆方程、抛物方程、 双曲方程、流体中n a v i e r s t o k e s 问题等。 传统有限元方法要求对区域q 剖分满足正则性条件或拟一致条件，即要求剖 分满足 p 茎c ，v k t ， 或 。 。c ， 一= m x k 一= 哪n k ，具甲， j 。是区域q 的某种剖分族，k 为一般单元， 。，p 。分别是k 的直径和最大内切圆 直径，c 是一个只与区域q 有关的常数。 然而，随着有限元方法的日益深入和应用范围的不断扩大，正则性假设或拟 一致假设已成为有限元应用的制约因素。为了克服这一缺陷，人们提出了不要求 正则性假设或拟一致假设的各向异性元( 或窄边元) 。比如在实际应用中，许多 问题的解可能在边界层或区域的拐角里现各向异性特征，即真解仅仅沿某一方向 变化剧烈，而在其他方向变化平缓，于是很自然的想法是绕开传统方法中对区域 剖分满足正则性条件或拟一致条件的限制，通过各向异性网格在离散化的过程中 反映这种特征，也就是在解变化剧烈的方向上使用较小的网格，而在垂直方向上 使用较大的网格。另外，对有些物体表面具有很大各向异性曲率或不同材料的狭 长层( 例如飞机机翼的前部) 各向异性网格剖分也是必要和有益的。 近年来，对各向异性有限元的研究引起一些学者的兴趣和关注，发表了一系 列有关各向异性单元的研究结果 5 8 】、【1 9 】，例如，t a p e l 等学者在 5 中研究了 各向异性三角形元和各向异性矩形元的插值误差， 7 给出了各种区域上的插值误差， z e n i s e k 等在【1 9 】中采用特殊技巧，对窄边任意四边形进行了深入研究得到窄边任意 四边形上的插值误差定理。以上结果多数是关于l a g m n g e 型协调元的，并且很多 局限在二阶椭圆问题的讨论，而在各向异性网格上的非协调元的研究还不是太 多，因为这时的收敛性证明不仅考虑空间的逼近误差，还要估计相容误差，而 这正是难点所在。 最近，t a p e l 在 6 】讨论二阶椭圆问题时，给出一类改进的c 阳圯幻卜r 硎抽“ 单元，当单元长边平行x 轴或y - 轴时，采用印鲫n ，x ，n x 2 或妒口”口，x ，y ，y 2 形 式的多项式作为形函数空间，但该单元存在一个重要缺陷，即形函数空间不对称 且需要采用特殊的网格剖分。本文采用c 白r e y 元 1 3 、 2 2 2 】这一著名的非协调 元，讨论线性抛物问题。这单元的好处在于采用了任意的三角形网格剖分，并 且形函数空间也对称，从而克服了【6 】的缺点。 当我们求依赖时间的偏微分方程时，通常的做法是：对空间区域采用有限元 4 方法，而对时间轴采用差分格式。而由于实际的需要有时要对不同时间的空间 域采用不同的有限元鄹格，犹如有些方程解的正则性会随着时间韵推穆而变化， 象抛物型方程，剐开始的时候，可能由于解能光滑性较差，困丽采甩较低骱的插 值函数和较密的嚼格。过一端对阋后，解的光滑性变好，就采用较高阶黼落函 数和较粗的蹲格剖分，这就是变孵格_ 有限元的取懑。 在上述思想下，梁国平在 1 中对抛物型阔题进行了研究，毽采用盼是变网 格协调有鼹元方法。利用 1 ， 2 讨论了s l d k 格同艨 9 还对掩糖型褥透利用 变髓格非协调有限元方法避行了研究。但值得注意的是他们翡磷究工作帮是要 求豫格剖分满足正则性或缀一致馁设，丽对各向异性瞬播上应用交弼橇静有限元 方法还不多见。 最近。石东洋、张爝然n o 1 1 在对非定常魏哦鹪拇露垂睁研究中糨继给 出了变髓格五节点各向异性矩形元的误差估计，臼螨洳鳓酬潍痨异性矩形 元误差估计等。本文将利用如睁三角形元结合变礴格蒜辑。矮过霸e 站投影 技巧，导出了全离散韵嘲有艇元变网格格式并缭出了答翻舜蚀条件下能量 模和2 一模的最优误差估计，从褥谶明正则性假设或拟一致假竣对有些河愿韵单 元来说并不是必要的，进一步拓竟和丰富了有限元( 特期是非协请元) 钓应用范 围。论文撮供的方法具有一般控可用于其他类型酶秘鼍。 第二章预备知识 1 l a x - m i l g r a m 引理 设h 为肺f 6 p 一空间，日( “，v ) 是定义在日h 上的双线性泛函 如果满足： ( 1 ) 有界性：存在f 常数m ，使得旧( “，v ) l m ，v “，v 日， ( 2 ) 强制性：存在正常数c ，使得口( v ，v ) c 2 ，v v h ， 则对任意厂h7 ，存在唯一的“h ，使口( “，v ) = 厂( v ) ，v v 日 2 有限元方法中的一些定理 微分方程求解的有限元方法是将微分方程转化为与其等价的变分形式 设y 是肺f 6 p “空间，对一般的抽象变分问题口( “，v ) = ，( v ) ，v v 矿， 有限元求解的方法为：给定区域q 一个剖分以，一般为三角形或者四边形； 构造有限元空间圪，一般情况下为分片多项式；将变分问题离散化，在有限维 空间上求解 若k y ，则称有限元空间为协调元，否则称为非协调元 对于协调元，有限元求解变分问题的离散形式为： 求” ，使得口( “ ，v ) = ，( v ) ，v h k 协调元误差估计有以下c7 p 口引理： c 7 p 口引理：如果口( “，v ) ，( v ) 满足l a ) ( - m i l g r 锄引理的条件，则离散问题有唯 1 解，且犯一“一忆c 糕忙一v 一忆，其中，为能量模，州i 。= ( w ，w ) ) i 对于非协调元，可定义分片双线型巩( ，- ) ，变分问题的离散形式为： 求“ ，使得 ，v ) = ，( v ) ，v v 圪 非协调元误差估计有以下& 阳增引理： 胁口愕引理：设( ，) 是定义在s s 上的连续双线性型，并且满足强制性 厂s7 ，则离散问题有唯一解，并且有估计式 ”呲c 糕”v 一”黜 ! 其中0 w 忆= ( 口 ( w ，w ) ) 2 ，矿s ，以s 掣 第三章抛物问题的各向异性变网格o r 纠三角形有限元方法 3 1 c 矗r 砂元的构造和一些引理 设k 是一个三角形单元，口，= ( x 。，”) ，f _ l ，2 ，3 是它的三个顶点，丑，( f = 1 ，2 ，3 ) 是相应于顶点q 的面积坐标，= 丽，：= 丽，f 3 = 丽是的三条边，且记 ，2 = f ? + g + 瑶，s 是三角形足的面积，则单元k 的形函数可写成 ”= 玑 + f ( 甜) 妒，其中妒= 五：+ 如五+ 冯 ，“，表示“在顶点q 的函数值，参 数f ) 表示为：f ) = 专竽“出咖 显然，此元是一个非协调元，它在单元k 的顶点连续令万= 丑+ “：五：+ 虬 ， “1 = f ( ”) 妒，则“= 玎+ “1 ，其中，订和“1 分别是“的协调部分和非协调部分 设q 为多边形区域，以是q 的一个任意三角形剖分族，枷珊( k ) ，v k 以 对给定三角形单元ke 以，设石是k 的最长边，记 。= 。= 卅p 甜( 丽) 为其 长度 咄x 2 嚣，贝| j 它是单元k 在边丽上脯剐 在这罩假设单元k 满 足最大角条件和坐标系条件，但不需要满足网格剖分的正则性假设或拟一致假 设 最大角条件：存在一个与 和单元ke 以无关的常数y o ，这里和文中以后其他地方均表示与丝，v 耳，。，以及所考虑函 p 数无关的常数 引理3 1 2 3 v 守( h 1 ( k ) ) 2 ，v k l ， ，定义零次算子只如下： r 矿3 斋矿蚴则有卜异饥x c 叫吼 9 引理3 1 3 3 设甜和“。分别是连续问题( 3 1 1 ) 和离散问题( 3 1 2 ) 的解，则 无论剖分是否满足f 则条件，均有恤一扎c 话盹n ，怯一“一忆2 。 3 2 抛物问题的变网格c 缸纠有限元格式 考虑抛物问题： 对给定的，及，求“( x ，f ) 满足 詈“”，v ( 州) 曲( 0 ，孔 “l ，：。= “。， v 工q ， “( z ，f ) = 0 ，v ( x ，f ) a o ( o ，丁】 ( 3 2 1 ) ( 3 2 1 ) 的燹分形式为：求“y ，使得 ( 詈，v ) 蜘( ) = ( 厂，v ) ，“，( 3 均 m ：o = ， 帆q ， 其中矿= j ( q ) ，口( “，v ) = v “v 呦v “，v 矿，( l 厂，v ) = 出咖 不妨设q 为凸多边形区域，以是区域q 的三角形剖分族，可以不满足正则性 条件空间h ：( q ) 的逼近空间为矿“，双线性型口( ”，v ) 的逼近形式为( ，v 。) ，| | | i 。 的定义形式如3 1 节所取 则问题( 3 2 2 ) 相应的离散形式为：求矿“，使得 j 学，咖魄m = ) ( 3 2 _ 3 ) il ，。= 罐， 协q 其中“：是“。在矿6 中的一个适当逼近 现在用变网格方法来讨论上述问题，建立各向异性条件下变网格c 缸有限元 格式首先将时间轴区间 0 ，t 分成n 段，0 = fo f l f2 f = r ， r 。= f 一r 。，n = 0 ，l ，一1 对每一时刻，。，设i ，“是此时刻区域q 上的一个 三角形剖分族，此刻的有限元空间记为( 芷h j ( o ) ) ，取法与y 6 相同 我们按如下方式选取“( x ，f ) 的近似解空间瞄： 对每一时刻f 。，在空间区域q 上定义如上的有限元空间嘭空间上的函数 ”“( x ，f ) 以n + 1 个有限元插值函数“( x ， 。) 为卢f 。( n = o ，1 ，2 ，) 时的 节点值，在时问问隔t 。 o ， ( 矗：一“。，v ) = o ， v v k ，玎= o ， i ：”一舀：，v ) + d 一 ：+ i ，v ) 址”= ( + ；，”) ”，v ”圪w 其中心i = ；瞅+ “3 。) ，工q = ；u + ，“。1 ) ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 由( 3 2 4 ) 式不难看出， 当第n 层与第n + l 层有限元空间相同时( 即圪= k 。) ，有域= ： ( 3 2 4 ) 式可理解为： 当两层网格或插值函数不相同时，对初值( 即前一层) 的上：投影修改格式 ( 3 2 5 ) 式则为通常的梯形差分格式通过( 3 2 4 ) 式由“：求舀：，再通过( 3 2 5 ) 式由d ： 求“：+ 1 ，每一步解一个( 正定矩阵) 线性方程组，近似解显然存在唯一- 3 3 抛物问题的各向异性变网格c 缸纠元误差估计 下面我们讨论抛物问题变网格方法下c 伽纠元各向异性误差估计 由( 3 2 4 ) 、( 3 2 5 ) 两式算得的近似解“6 ( x ，r ) 与真解“( x ，f ) 的误差主要由三部分组 成：有限元插值误差，对时间轴t 的差分误差以及网格( 包括插值函数) 的变动误差 下面给出误差估计的关键引理 引理3 3 1 l 。蔓c m i 。，v v 。矿“ ( 3 3 1 ) n 证明：v e 矿6 ，有v 。= 瓦+ v ：，从而慨k 慨| | 。+ 怫 由引理3 川中( 3 1 6 ) 知，怫忆c 忆 因吒h ：( q ) ，从而1 陬n f r 8 c l 瓦1 ，又1 瓦1 。= f 1 瓦虬， 并且由引理3 1 1 中( 3 1 4 ) 知， l h 忆l i v 。忆，从而i 砖忆c i i v 一虬 综上知m 忆c 慨忆v v 。矿6 ，引理得证 对差分误差，有 引理3 3 2 方程( 3 2 1 ) 的真解u ( x ，t ) 满足下面关系式： ( 。+ l 一“。，v ) + 口 ( “。+ ! ，v ) f 。= ( 无+ ；，v ) ，。+ e 。( v ) ， v v e k + 】， ( 3 3 - 2 ) 其中， 旧( v ) 1 c 陋剐c r “斟斗忆c c r l 叱刮m ， s ， 证明：由( 3 2 1 ) 可得( 孚，v ) + ( 一幽，v ) = ( ，v ) ，v v 1 再利用格林公式得：( 詈，v ) + 吼( 地v ) 一莓l 詈、船= ( 1 厂，v ) ， 上式两边对t 从，。到，。积分得 ( 飞，v ) + 弘脚瑚一r 晖l 豢嗍出= ( j ：h l m ，v ) ， 该式同( 3 3 2 ) 式进行比较可得 e ( = ( r ( 厂一+ ；胁v ) 一r ( “叫懒+ r 晖l 笔呐加 由s c 向w 口不等式，一维线性插值理论及引理3 3 1 得 “拶恤川斜珈； 叫槲护忆池。声 b ，栅 同理 张“叫，v ) 抖。( 耻“哦) ，v ) l c ( 叫神 姒r 倒忆c 菇 n s 卸 眦阱a r “硼硼r “酬砷m 舻； + ”莓l ，罢v 蝴| 。q 对萎丘景v 幽，因v _ 从而v = 可+ v 1 由格林公式，并因为可c 。( 五) 有 阻豢山凼惟l 象v 1 刮 = i ( ”1 ) 十吼( 州1 ) i s l ( 1 ) h 吼( 刚1 ) 对i ( “，v 1 ) l ，有l ( 虬v 1 ) i h ：妙l l 。c a 川：。 ( 利用( 3 1 6 ) 式) 对k ( “，v 1 ) l ，设v “= 面，利用引理3 中( 3 1 t 3 ) 式，可得i v v l 出砂= o 因此 m ”1 ) l yf v “v v l 出咖l 乍七。l = 阢c 万一垌v v l 蚴l 驴一r 矶r k ， 再由引理3 1 2 知，i l 面一r 面忆。f 面i 川：，。 而| | v v l 晤。= 上 ( 芸) 2 + ( 豢) 2 】出痧= 川i 。c m 。， 因此h ( “，v 1 ) | 善乩。r h r ( 萎，。) i ( 莓m 。) js 。， 从而莓f 。嚣诎s ，故 k “c 莓l 景v 协) 击l l r 酮：。加l ( r 川，讲删i 。 c s 王， 由( 3 3 4 ) 积3 3 5 ) 、( 3 3 7 ) ，即氰3 3 3 ) 式 为了书写方便，引入以下记号 v o = o ， p o 宰o ， = “：一b “。， p 。= “。一b “。， = l ，2 ， 也= d ：一只。， h = ：( v 肿。瑚， 占。= “。一r 。+ l “。， i = i 哟， = o ，1 ，2 ，( 3 3 8 ) ”= o ，1 ，2 ，| v 一1 ， 其中r 。是何：( q ) 空间到k 有限元空间的r f p 犯投影算子 即w j ( q ) ，r 。w k ，并且( r 。w v ) = 吼( ，v ) ，v v ( 3 3 9 ) 引理3 3 3 ：对于r f p 船投影r 。，有下面性质 犯一直。“忆蔓 恍， 忙一r 。“扎鳓 ( 3 3 1 0 ) ， 怯一且。“忆2 乩， ( 3 3 1 1 ) ( 3 3 1 2 ) 证明：先证恤一五。“忆h ： | | “一月。“i l ：= 口 ( “一r 。“，“一胄。“) = a ( “一r 。“，甜一v ) + 口 ( “一胄。“，v 一胄。“) ，v k 由( 3 3 9 ) 知，口 ( “一r 。“，v r 。“) = o 故 | 扣一月。”e = a ( “一r 。“，“一v ) | | “一矗。“忆l 卜一v 虬，v e ， 从而恤一r 。“忆恤一v 取v = ，。“( ，。“为“在q 上的分片线性插值) ， 由文献 5 知肛一，。“忆西乩， ( 3 3 1 3 ) 从酬”一尼。“虬忱 再证| | “一月。“扎2 l “i ： 利用对偶技巧，设妒是如下椭圆问题的解 一筹囊基q ，由微舫醐的删圳礼卿刊。 因月。“，从而且。“= 巧+ ( r 。”) 1 由格林公式，并因为“，币c o ( 孬) ，有 i 卜一r 。“眩= ( “一r 。，一r 。“) = ( 一妒，“一r 。“) 鸹( 刚咄小莓l 等( 川棚出 鸭( 刚咄小萎i 警( 驯1 西 对( 仍一月。“) ，设。p 为p 在q 上的分片线性插值，则有 口 ( p ，“一r 。) = a ( 妒一l 妒，“一r 。甜) + 日 ( ， 伊，一r 。“) i 司， 尹k ，由( 3 3 9 ) 矢口，d ( ， 妒，“一只。”) = o 因此，i 口。( 妒，“一月。“) i = l 口。( 妒一。伊， 一月。“) i c | l 矿一 妒忆i k r 。”忆 2 忱盹 ( 利用( 3 3 1 0 ) 、( 3 3 1 3 ) ) 对莓l 豢( b 凼，设b ”一l “= ，其中l “为“在q 上的分片线性插值 因月。“k ， “，所以w 吒，则w = 瓦+ w ：，从而瓦= 巧一， “ 以= ( 凡。“) 1 ，由格林公式得， 障l 警( 删出| = | ( 舰( 删m 删删料觇w ：) 脚以) 对i ( 妒，w ：) i ，有i ( 妒，w j ) i 川：1 1 w 圳。c 例：l l w 。忆 ( 利用( 3 1 6 ) ) = c 协i 妒l ：j | r 。甜一，。“忆 c 嘞l 妒l ：( | | 。“一“忆+ l 陋一r 。甜i l 。) 函2 l 妒l ：卜l ：( 币0 用( 3 _ 3 1 0 ) 、( 3 _ 3 1 3 ) ) 对k ( p ，以) l ，类似引理3 _ 3 2 中k ( “，v 1 ) l 的估计， 有h ( 妒，以) 卜c 佟例：0 忆 从而h ( 伊，w ：) 卜批懈“一l “k5 忱( 慨“一“忆+ 恤一r 。“2 忱盹 1 5 故障l 警( 叫凼卜刚舭。 综上知：陋一月。“e 函2 川：h ：2 川：恤一胄。“得证陋一b “忆蔓 2 乩 下证恤一r 。“忆m 同样利用对偶技巧，设是如下椭圆问题的解 - 嚣囊基q ，由微分方程解的删蚓巩钟刊i 。 陋一b ”= 一b 虬“一“) = ( 一“一心“) = ( “一b “) + ；l 等( b 吖) 1 出 对( ，“一r 。“) ，有k ( 甜一心甜1 = 1 ( 妒一，。“一b “l c 炒一，一刎。恤一胄。“忆 对1 k 一月。”忆，因| 1 r 。“幢= a 。( r 。“，r 。”) = 口。( “，r 。“) s c l | ”忆l l r 。“0 。，从而 i 陋。“忆c 。= c ，再由三角不等式得，恤一r 。“忆s 。+ i i r 。“忆c m 故1 ( y ，“一胄。z f ) i ( 殖l j ：i “i 。 对；l 等( b 村) l 出，类似引理3 3 2 中；l 。景v 1 蕊的估计，有 陲l 。等( r 川1 凼i 川：忙刊i 。川。川， 综上知：忙一只。“畦c 话川：c 话怯一月。“得证恤一r 。“忆c 仰 对网格变动误差，有 引理3 3 4 对任何掌，o 善 l ，有估计式： ( 1 一驯v 。畦一怫e + ( 卜f ) 口。( v 州，v 科) ，。 忙。一e 。幢+ c 竖竺j 三量三_ + z 1 e 。c v 。+ ；，1 证明：由( 3 2 5 ) 和( 3 3 2 ) 知， ( 心，一钟，d + ( “，v ) ，。2 ( “。，一，v ) + 吼( “，i ，v ) 出。一瓦( v ) ，可k + ， 再由( 3 3 8 ) 和( 3 3 9 ) 知， 1 6 ( 3 3 1 4 ) ( “一；。，v ) + ( v 。+ ! ，v ) 出。= 0 一6 。，v ) 一e ( v ) ，v v + 令v2 v 。+ 代入一卜式，得 如。眦) 鸲( v 叫，v 叫) 出。= ( ，v 叫) 一e ( v 叫) ， ( 3 3 1 5 ) 而k 。t 一m 。t v 州忆 sc | | p 。+ ，一占。l | 。l l v 。+ 。 c 譬如。峭以一 将( 3 3 1 6 ) 代入( 3 3 1 5 ) 右端，得 i i v 。+ 。i l ：一ij 帚。o ：+ 口。( v 。+ ；，v 。+ ；) z 、r 。( ? l ! ：! ：j ；：! ：i + 2 1 e 。( v 。+ ；) i ( 3 3 1 6 ) ( 3 3 1 7 ) 由( 3 2 4 ) 式得 ( 口。一v 。，v ) = ( 0 。一p 。，v ) ，v v k + l ， 对上式取v = i 。，得 慨畦一( v 。，。) = ( 。一e 。，t 。) ， 再利用姗口”不等式有如小胁弧n 势。圳：， 从而( 1 一绯。n b 斗。飞d ( 3 3 1 8 ) 将( 3 3 1 7 ) 乘以( 1 一孝) ，再与( 3 3 1 8 ) 相加，即可得证( 3 3 1 4 ) 式 此夕 还有 p 。+ i 一0 。= ( “。+ l 一月。十】”。+ 】) 一( “。一五。i “。) = ( 一月。“) ( 材。+ l 一”。) 叫咄。j ：i 鲁西， 地r 引睁酬”瓤。 ( 3 s 舯) 由( 3 _ 3 6 ) 知： l 峨m “随鳓i + q 酬群鳓乒 1 7 + ：”莓l 瓢i 删l 高c r “i i 窘坝蚴4 + ：。一舰，_ 迎。 + 嵩c 圳窘动心+ ：。一弧c _ ，- 心 + 毒唑宰型扣伽小叫妒。 。， 1 一手 i l v 。+ ；| | i 6 。 7 。“。”+ ”+ ；。 ” 。 。 ( t 刮k 肛m 卜半姒v 嵋 + 烨* 刮：+ g 肌盱c 酬”k 嘲斑+ 毒阿c 酬推 掣哞掣鲥掣叫- 伽， j l v j + ；l ：r 。l f 匕+ i0 i r 。h 。 l 2 由引理s a s 中c s 3 - z ，式知忖一k 一鲁2 l | 詈| | ，从而 币1c i i斗u 2 肿胁栅2 酬静 z z ， 引理3 3 5v 厶1 三，则有下述估计式 卜刈：+ 三塾帆申v 呜皿。e m ( 吖+ 1 ) 。擀。峨训：+ 静 ， ( 3 ，) 1 8 23 o 甘 ( 衍 耐一 譬 h u 一 工k 其中e 是自然对数常数，m 为网格变动次数 证明：由( 3 3 2 1 ) 式得 m 1 ：+ 等州v 叫，v 叫) f 。茎南喊 其中= ：一掌琵彰 上式左端乘以小于等于1 的因子n 仇，得 尊仉h t k 一冉研e + 圭尊卯小叫一+ ；归。割毛一 + 或 对行求和得 如扯| l 知k 中_ 一皱h 。雌孙刊。2 + 霎姨 又v 0 = o ，丌矗= ( 1 一，则有 i i v zo ：+ 薹；( 匕+ ；，v 。+ ；) ( 1 一善) 一”掌一1 霎i 。一e 。l 。2 + ( ，一孝) 一”耋q 注意到当f = 面备时，f ( 1 一孝) ”在( o ，1 ) 上取得最大值 故取f = 面告，从而( 击) ”= ( 1 + 击) ”e ，故有 l l v 。l l ：r 薹三日。( v 。+ ；，v 。+ ) ，。! ；e c ，r ，茎l l a 。e 。l l ：- 薹q 。) 又蓑慨一惦蔓m 。婴隳，怫一艉，把它代入上式的右端，引理得证 下面给出近似解“与真解”的各向异性c 臼r 叫元误差估计 定理3 3 6 当( 3 2 1 ) 的真解“和右端顶，满足”c ( o ，t 日2 ( 9 ) ，“r ( o ，乃( 囝) ， 害r ( o ，乃1 ( 哟) ，字e r ( o ，；( 9 ) ，警r ( 。，t r ( q ) ) ，则近似解” 1 9 蓑吼( ；叫，“二；峭) f 。c 【m ( m + 啪4 + 明群h ：+ 2f ( 川：+ l 陆n 卉 郴矿f c 矧i + | | 辨引 。出， 及：模误差估计。 勰圳：蔓c 卜( m + 1 ) n 璎黔川：埘扣叫雠) 国 m f c 跚者 叫s ， 其中，= “( 。) ，“叫：；( 。+ ) ，出：。墨黔出。 证明：由三角不等式得， 飞峪一心吼+ 帆一r 以| i o = 川。 及( 咯。q ，“麓。+ ；) c h 叱q ) + 吼( p 。峙，p 。t ) 1 下面先证( 3 3 2 4 ) 式 由( 3 3 2 7 ) 有， 巩 知一“。+ ：，“知一“。t ) 出。c 【吼( k 一，匕一) 盘。+ 吼o 。t ，p 。一) & 。】 _ o = 0 n ：o 由( 3 3 2 3 ) 知， 一li 萎( v 叫，”叫) f 。孔 m ( m + 1 、。! ! 聚。怫 h = 0 。 【 1 又篓d 。c e 。+ ；，e 。+ ；，r 。! ；c 篓i 。+ ；l l i ，。 又吒( ；，；) 铎c 雌陋。 n # o n = 0 ” l l “ 从而， 嘞( “州，心；皿。 c 孙“”z e 删州鼢怍。飞| | ：+ 篓绒 又忙。+ 虻c ( 忙。i l ：+ 忙。暇) = 叫k + 。一r + ，k + i k k d 由引理3 3 3 中( 3 3 1 0 ) 式可得 ( 3 3 2 6 ) ( 3 3 2 7 ) ，【fj q + 2 o h b 以。雌饼h i ：蔓饼蚓“l ：，帆一凡。州 2 州西2 咧“b 从而胪。+ 虻2 器黪i ( 3 3 。2 8 ) 又慨一e 。畦c ( 川e + 蚓l ：) = c ( 怫一心n 帆一r 。n 再由引理3 3 3 中( 3 3 1 1 ) 式可得， 帆一b e 矾4 川： 4 璎剖“l ：，帆一k m e 4 川： 4 咧“1 ：， 从酬a 。一e 。眶 4 罂眦 ( 3 3 2 9 ) 出( 3 3 2 2 ) 式可知， 酬舛rc 酬卿舭n 国2m ：删卜 ，。o ， 由( 3 3 2 8 、( 3 3 2 9 、( 3 3 3 0 、知，( 3 3 2 4 ) 式成立 再证( 3 3 2 5 ) 式 由三角不等式忙：一0 。蔓一胄。k + 帆一b n = 慨| | 。+ 怫 从而一“。雌c ( 卜n 由( 3 3 ，2 3 ) 式可知， 滁m 陲e f m ( m + 1 ) 。燃胆 燃峥“c ( 勰融燃：) l l ：+ 静 ， 再由引理3 3 3 中( 3 3 1 1 ) 式可得， 燃州j ：= 勰忆一r 批胙鼢 4 川；。4 罂譬眦 由以上两式，再结合( 3 3 2 8 ) ( 3 3 2 9 ) 式可知，( 3 3 2 5 ) 式亦成立 注：以上我们所讨论的非协调c 砸y 元的最优误差估计，从离散的格式及证明的 过程，我们指出所得到的结果对一类可分离出协调部分和非协调部分，且通过 胁 s 分片检验的单元，例如矩形聃如d ”元等也有效 参考文献： 1 梁国平变网格的有限元法 j 计算数学，1 9 8 5 ，4 ：3 7 7 3 8 4 2 戴培良，许学军s t o k e s 问题的变网格非协调有限元法 j 高等学校计算数学 学报，1 9 9 5 ，3 ( 1 ) ：7 5 8 1 3 s c c h e n ，d y s h i ，y c z h a o ，a n i s o t r o p i ci n t e r p 0 1 a t i o na n dq u a s i _ w i l s o n e l e m e n tf o rn a r r o wq u a d r 订a t e r a lm e s h e s j ，i m a n u m e r a n a l ，2 0 0 4 ，2 4 ：7 7 均5 4 c i a r l e tp g t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o df o re 1 1 i p t i cp r o b l e m m n o r t h h o 儿a n d ，a m s t e r d a j n ，1 9 7 8 5 t ha p e l ，m d o b r o w o l s k i a n i s o t r o p i ci n t e r p 0 1 a t i o nw i t ha p p l i c a t i o n st ot h e f i n i t ee 1 锄e n t si i i e t h o d j c o 瑚p u t i n g ，l 2 ，4 7 ( 3 ) ：2 7 7 2 9 3 6 t ha p e l ，sn i c a i s e c r o u z e i x r a v i a r tt y p ef i n i t ee l e m e n t so na n i s o t r o p i c 】) e s h e s j n u m e r m a t h ，2 0 0 】，8 9 ：l9 3 2 2 3 7 t ha p e l a n is o t r o p i cf i n i t ee l e m e n t s ：l o c a le s t i m a t e sa n da p p l i c a t o n s m b g t e u b n e rs t u t t g a n ，l e i p z i g ，1 9 9 9 8 t ha p e la n dl u b eg a n i s o t r o p i cm e s hr e f i n e e n ti ns t a b l i z e dg a l e r k i n m e t h o d s j n u m e r m a t h ，1 9 9 6 ，3 ：2 6 1 2 8 2 9 戴培良变网格非协调有限元 j 苏州大学学报1 9 9 9 ，v o l 1 5 ，n o 1 _ 1 0 张熠然各向异性有限元分析的一些新进展博士学位论文i郑州大学，2 0 0 4 1 1 石东洋，张熠然非正常s t o k e s 问题的一类变网格各向异性有限元方法 j 数学物理学报，2 0 0 5 ，( 待发表) 1 2 张恭庆，林源渠泛函分析讲义 m 北京大学出版社， 1 9 9 9 1 3 d o n g y 孤gs h i ，s h a o c h u nc h e n c o n v e r g e n c ea n a l y s i sf o ran o n c o n f o 珊i n g m e m