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线性等式约束下有限总体中的条件线性m i n i m a x 预测 摘要 瞬 关键词：有限总体；二次损失；矩阵损失；线性可预测变量；条件线性m i n i m a x 预 测；可容许性 硕士学位论文 a b s tr a c t t h em i n i m a xp r e d i c t o ro nt h eg e n e r a ll i n e a rm o d e li st h ep r o b l e mw h i c h 、) l 懈s t u d i e d b ym a n ys c h o l a r sa l la l o n g m a n yp e r tr e s u l t sh a db e e no b t 撕n e di nt h i s6 e l d i nt i l i sp a p e r ，r ec o i l s i d e rt h ec o n d i t i o n 甜l i n e a ri o d e l 譬= x8 + h8 = q e ( e ) = 0 c o v ( ) = 沪y w h e r eei sa 礼1r a n d o me r r o rv l 圮t o r ，pi su n k n o w np d i i n e n s i o n a lp a r 舭e t e r ，矿 0 i sp 甜锄t e ra n dy 0 ，日i s 七pc o 璐t r a i n tm a t r 没c o n s i d e rt h ec o n d i t i o n a l ll i n e 越 m i l l i m a xp r e d i c t o ro ft h ep r e d i c t a b l ev 撕a b k f i r s t l y m l d e rq u 习d r a t i cl o 鼯f u i l c t i o ，t h ec o n d i t i o n a lu i l e a rm o d e li 8c h a n g e dt 0u 】叶 c o n d i t i o n a ll i n e a rm o d e lu s i n gp = ( ，一日+ 日) ，y = 舶7 a 鼯m l l i n gt h a tk 五蜥霹( j r 一 时k ) = o 锄dr a i s i i 唱ah o m o g e n e o u sl i n e 盯p r e d i c t o ra c c o r d i n gt o 陋一a 8 ) q 2 q ；k 0 = 噩q ；咒，t h es u 最c i e n ta n dn e c e s s a 碍c o n d i t i o n0 ft h ee n t i t yo ft h em i n 弧a xp r e d 珏 t o ro fa 可i sp u tf b r w a r d t h e n ，t h ec o n d i t i o n a ll i i l e a u rm i l l i m 旺p r e d i c t o ri i lt h ec l a 韶 o fh o m o g e i 啪u sl m e a u rp r e d i c t o ri sg i v e i nb yc m c u l a t i n ga n d8 i m p l i f i c a t i o na n di sp r o v e d u i l i q u ei nt h e 丘i l i t ep o p u l a t i o nw i t ha r b i t r a r yr a n k s e c o n d l y ，m l d e rq u a d r a t i cl o s s 劬c t i o na n dt h es a i n eh y p o t h e s e 8 ，l e tt h er a n d o m e r r o r0 b e yn o m a l 凼t r i b u t i o n ，t h a ti s 一( o ，仃2 y ) a tt b i 8p o i n t ，u s i n gs i i l g u l 茁v a l u e d e c o m p o s i t i o no ft h em a t r i 】c ，t h ec o n d i t i o n a ll i n e a rm i n i m a xp r e d i c t o ri nt h ec l a 黯o fa u p r e d i c t o r si so b t a i n e dt h r o u g ha d i r e c tc a j c u l a t i o ni i lt h ef i i l i t ep o p u l a t i o n d t h 缸b i t r 哪r r a r 山锄du s i r 培t h ec o n c l u s i o na b o u ta d m i s s i b i l i t y t h eu n i q u e n e s si sp r o v e d t l l i r d l y u n d e rt h em a t r i xl o 鼹f u n c t i o n ，t h en e c 豁s 奶rc o n d i t i o no ft h a tm b ea u p p e rb o u n do fv e n t u r ei 8o b t 砬n e da n dt h eu n i q u ep a r t i a lc o n d i t i o n a ll i i l e a rm i n i i l l a x p r e d i c t o r 洫t h ec l a s so fl i n e a rp r e d i c t o ri so b t a i n e di nt h ef i n i t ep o p u l a t i o nw i t ha r b i t r a r y r a n ki nt h ec a s eo fq 多托g 一= o ，饼k 一= oa n do 啊矩阵a 为对称正定方阵 a 0矩阵a 为对称半正定方阵 lal矩阵a 的行列式 a r矩阵a 的转置 厶 n 阶的单位方阵 让( a )矩阵a 的列向量张成的子空间 胁l k ( a )矩阵a 的秩 t r a矩阵a 的迹 u 册表示印中的n 维向量t p u ( a ) 的正交投影变换阵 a o b 矩阵a 和b 的k r o n e c k e r 乘积 v e c ( a )矩阵a 的向量化 e ( x )表示随机向量x 的期望 c o v ( x ，y )随机变量x ，y 的协方差 m i n i m a x 预测极小极大预测 t i 一( p ，)均值为p ，协方差为的正态向量让 v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：有谚日期：舻歹月陟日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密吼 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期：溯归f 月j 彦日 聃飞壮少 硕上学位论文 1 1线性模型 第l 章绪论 线性模型【l 】是一类统计模型的总称它包括了线性回归模型，方差分析模型， 协方差分析模型和混合效应模型( 或称方差分量模型) 等许多生物，医学，经济，管 理，地质，气象，工业，工程技术等领域的现象都可以用线性模型来近似描述，因此， 线性模型成为现代统计学中应用最为广泛的模型之一其中一元线性模型是本文 讨论的模型之一，其形式为 iy = x p + e e ( ) = o ( 1 1 ) 【c o v ( e ) = 盯2 y 这里p 舻，盯2 0 是参数，y 0 为n n 已知常数矩阵，矽为n l 维可观测向 量，为n 1 维不可观测向量，x 为n p 己知常数矩阵对于无约束线性模型中 ( 在二次损失和矩阵损失下) 的预测问题已经有较深入的研究，在实际中，由于种种 原因人们往往对参数有或多或少的了解，总有一些先验信息，换句话说，参数往往 带有某些约束，约束有很多种，常见的有线性约束，椭球约束，不完全椭球约束；等 式约束，不等式约束；对约束条件下的统计推断及其预测己成为当今统计分析中的 一个重要领域，对于带等式齐次线性等式约束日p = 0 的线性回归模型正是本文讨 论的模型之一 在实际问题中，往往不只包含一个因变量，而可能遇到含有多个因变量的问题， 因此我们考虑多元线性回归模型，其形式为 f y - 舳托 e ( ) = o ( 1 2 ) ic o v ( ) = 盯2 o 这里b 是p q 的矩阵，盯2 是参数，x 为n p 已知常数矩阵，y 为n 口可观测向 量，和分别为已知的口阶和佗阶非负定矩阵，e 为几g 不可观测向量，若其中 满足b 约束条件日b = 0 ，此带约束多元线性模型也是本文要讨论的模型之一 1 2线性m i n i m a x 预测的概念及进展 在现实生活中，我们对某一经济或社会现象进行分析和研究，关键是建立与 之相适应的模型，然后根据这些经济或社会现象的观察值对模型的参数进行估计， 最终确定模型，因此参数估计理论是研究线性模型的一个重要内容，在线性模型 参数估计理论与方法有很多，如：最小二乘估计，线性无偏最小方差估计，有偏估 计，m i n i m a x 估计等等，近年来，m i n i m a x 估计2 7 1 越来越受到人们的重视，而且， 理论也越来越成熟 线件等式约束下有限总体中的条件线性m i n i m a x 预测 假设要估计参数p ，设6 为待估参数向量口的一个估计，因为艿一般与真值臼 有一定的偏差，于是基于6 的统计决策相对于9 会产生一定的损失为了评价和比 较所采取的判决函数6 产生的后果，引进损失函数l ( 正p ) 和风险函数尉瓶p ) ，他们 分别表示当参数值为p 而采取的判决为6 时所遭受的局部损失和平均损失，两个 判决函数的优劣比较全基于风险函数损失函数有很多种，比如：二次损失，矩阵损 失，向量损失和平衡损失等等，我们常用的是前两种： 二次损失：l ( 正侈) = ( 6 一p ) t 一p ) ； 矩阵损失：l ( 正p ) = ( j 一口) ( 6 一p ) t 定义1 2 11 2 j 6 m 为p 的m i n i m a x 估计，若参数p 的估计6 m 极小极大化风险， 即满足 i i f s u p r ( 正口) = s u p r ( 6 m ，p ) 6 9口 对于模型( 1 1 ) 中y 为正定矩阵时，文献 8 】在正态情形下研究了可估函数的 m i 曲a x 估计，文献 9 1 0 】在损失函数下研究了参数在一切估计类中的m i i l i i n a x 估计，文献 1 1 】中研究了一般的可估函数在线性估计类中的m i n 妇a x 估计，文献 2 l 进一步研究了线性m 洫m a x 估计的性质，在此基础上，文献f 1 2 1 4 1 研究了一般 g 引】s 8 - m a r k o v 模型中线性可估函数在齐次线性估计类中的m i i l i m a x 估计及其条件 m i i l i m a x 估计如何来评价一个估计的好坏的一个标准就是看此估计是否具有可容 许性关于可容许性问题的研究，文献 1 5 一1 8 1 都有涉及，m i n i m a x 可容许性则是 针对m h l i m a x 估计提出来的，是可容许理论的深入和发展，文献【1 9 2 1 1 是在矩阵 损失下研究m i n 妇a x 估计的可容许性 定义1 2 2 【1 9 l 设矗和疋为口的两个估计，如果对于风险函数r ( ) 有( 1 ) r ( 6 1 ，p ) 冗( 如，p ) 对一切口成立，( 2 ) 至少存在一个品，使不等式成立，则称西关于 风险函数冠( ，) 一致优于如若在某个估计类中不存在一致优于6 的估计，则称j 在该估计类中关于风险冗( ，) 为p 的可容许估计，简称6 为p 的可容许估计，否则， 称j 为p 的不可容许估计 我们知道，采用各种估计方法对线性回归模型中的系数进行估计可以建立线 性回归模型，而建立线性回归模型的一个主要目的就是对所研究的现象进行预测 所谓预测，就是对给定的回归自变量的值，预测对应的回归因变量所可能取的值，这 是回归分析的重要应用之一，在线性模型中，自变量往往代表一组试验条件或生产 条件或社会经济条件，由于试验或生产等方面的费用或试验同期等方面的原因，在 我们根据以往积累的数据获得经验模型后，希望对一些感兴趣的试验，生产条件和 社会条件不真正去做试验，而是利用经验模型就对应的因变量的取值作出合理的 估计和分析，可见预测是普遍存在着的一个很有意义的实际问题因此，预测是概 率统计这门学科的一个重要内容在应用上，当有了样本之后，通常要对可的函数 进行预测，关于未来观察值的预测问题的研究也有一些文献 2 2 2 6 】近些年，学 一2 一 硕士学t ：7 ：论文 者们对这方面内容的理论研究越来越深入，越来越广泛，预测和估计一样，也有点 预测和区问预测之分，本文只对点预测进行讨论，在设计阵与协方差阵满足一定秩 的条件下，r o d r i g u e s ，p e r i e i r a ，z a c l ( s 等在相关文献2 7 3 2 1 中对堆有限总体的总 体总量和有限总体回归系数等的最优预测问题做了较系统的研究，先后得到了稳 健性线性预测，b a y e s 预测，自适应岭型预测以及最优线性无偏预测等等，m i i l i m a x 预测3 3 3 6 1 也是其中的一个新热点我们考虑模型( 1 1 ) 中总体是有限的且向量 可是部分观测的，因此在抽样调查文献中称其为超总体模型在抽样调查理论和应 用研究中，我们感兴趣的问题是对y 的函数口( y ) 进行有效的预测例如要预测总体 总量t = 玑【27 】和有限总体回归系数风= ( x t y 一1 x ) 1 x t y 1 1 ，【3 0 】等对于x 列满秩且y 为正定阵时，文献对有限总体回归系数等较特殊的可预测变量做了较 系统的研究一般地，对矩阵y 和x 不加任何关于秩的限制，考虑线性可预测变量 a ! ，的预测问题其中a 为后几的常数矩阵 定义1 2 3 吲对于以上模型，伽为可预测变量，若存在一个线性预测l 舶有 e ( l 蜘一a 。蜘一4 珈) = 0 成立 定义1 2 4 【3 3 】玑z 称为可预测变量在a 在z 中的m i n i m a x 预测，若对 任意其它中的线性预测l 蜘有9 ( l ) 夕( l + ) ，其中夕( l ) =s u p兄( p ，盯2 ；l ) 口舻，a 2 0 研究线性模型的预测时，在二次损失下比在矩阵损失下有较成熟的结果，在矩 阵损失下考虑m i n h n a x 预测时利用了可容许的相关结果，但可容许问题的结果仍 有限，所以此时主要限于误差服从正态分布的情况 在以前的研究中，给出了二次损失下任意秩有限总体中的线性m i n i n l a x 预测 中给出了在齐次线性预测类中线性可预测变量的唯一m i i l i m a x 预测，在正态假设 下给出了可预测变量在齐次线性预测类中的唯一m i n i r n a x 预测，并且这个m i i 岫a x 预测也是线性可预测变量在一切预测类中的唯一m i n i m a x 预测另外，在矩阵损失 下，给出了任意秩有限总体中的可预测变量在线性预测类中的唯一局部m i n i m a x 预测 1 3线性m i n i m a x 预测已有的基本结论 设z = 1 ，2 ，3 ，n 表示容量为礼的有限总体，z 的第七个元对应着 p + 1 个向量鲰，钆1 ，z 忉这里除胀外都是已知的，后= l ，2 ，n 记y = ( 可1 ，耽，) t ，x = ( ) ，1 ，j ，2 ，j 厶) t ，其中】= ( z 七1 ，z 七2 ，z 却) t ，七= 1 ，2 ，n 考虑如下线性模型 iy = x 卢+ e ( e ) = o ic o v ( ) = 仃2 y 其中s 为n 维随机误差向量，p 舻，盯2 0 为参数，y 0 一3 一 线性等式约束下有限总体中的条件线性m i n i m a x 预测 为了预测a y ，往往根据某个特定的抽样方案，从z 中抽取容量为s 的样本 磊，乞= z 一五是容量为r 的未被观察的部分，其中r = 讫一s ，取样后，可重新安排 耖的元素，使，x ，y 有一致的分块： y = ( ：) ，x = ( 耋乏) ，y = ( ：苎苌) 选取二次损失函数删 泸筹黜，： 把a 进行相应的分块：a = ( a ，4 ) ，则a y 可以写成a y = a + a 骆 设r a i l k ( k ) = 口，q = ( q l ，q 2 ) 为正交阵，满足 q 丁k q = ( 含：) 其中 人= d i a g ( a 1 ，入2 ，) ，九 0 ，l = 1 ，2 ，q ， 则有k = q 1 a 钾，盱= q t a 4 钾，q z 讲= j 一时k 牡( 霹) = 牡( 群q l + 砰q 2 ) 由 于a 玑+ 4 珈为线性可预测变量，所以存在矩阵五和丑，使得 a 墨= 噩钾咒+ 死班咒， 记夕( l ) = 冗( p ，盯2 ；l ) ， z = l 蜘：三为七s 的常数矩阵 ， 岛= 【l 舶：三为七s 的常数矩阵且满足( l 一也) q 2 q 多五= 死q 芗k ) 对矩阵( 互q j 巳一a k 。吁五) ( x ”x 。) + 群q a 1 2 作奇异值分解， 。何q 执一4 时咒，c 霹时五，+ 霹q a 。1 胆= ( 吾三) 砰 其中为七阶正交矩阵，兄为n 阶正交矩阵，f = d i a g ( ，厶，五) ， 丘 o ，= r a n k 【q 五一a 时k ) ( 霹时五) + 霹q l a - 1 2 】 记g = 妒+ ( 厶一五) 2 】1 2 ，i = 1 ，2 ，t ，m = m a x i ：c ： ，( i ) ) ，g g l c l = ldj ， d 2 + 贸 而一 意一扣 一种 一 j s e 汹妯 一心； 粥 石刊 百甜 硕上学位论文 可验证以为方程( z 一五) 2 = z 的一个解，其中为k 的前m 列 引理1 3 1 侧 a y 为可预测变量兮u ( 霹a 手) c 乱( 霹) 定理1 3 1 删若k 托霹( ，一时k ) = o ，则线性可预测变量a y 在岛中的 m i n i m a x 预测为l 玑，且 工箍。g ( l ) = 乃， 其中 三= a + 4 时+ 死q 多五f 霹( 卜- k 时) 咒】+ 霹( j k 时) + 尬( ，一以斤1 ) 砰 m q 咒一a 魄时五) ( 霹时五) + 霹时+ m ( 卜- k 时) ( j r ) ， m 为任一后s 矩阵 并且可以证明，a 可在z o 中的任意两个m i n i m a x 预测以概率为1 相等 在以上模型中加一正态假设，即5 服从正态分布( 0 ，盯2 y ) 对矩阵( 五q 瓦一a r k 。盱咒) ( 霹盱五) + 霹q - 人- 1 2 作奇异值分解， q 五一4 盱五) ( 霹盱五) + 霹q - a - 1 2 = k f 舻， 其中k 为七矩阵矩阵，r 为n t 矩阵矩阵，f = d i a g ( ，五，五) ， 五 o ，胪k = 舻r = 厶，亡= 呲【m q 五一a ，时五) ( 砰时咒) + 霹q - a - 1 2 】 定理1 3 2 删若k 五霹( ，一时) = o ，则在一切预测类中 ( 1 ) 若沪斤，则三1 y 是a 可在一切预测类中的唯一条件m i i l i r n a x 预测且 ，时夕( 三) = 毋， 其中 l l = 也+ a 时k + 正q 墨 霹( j k 时) 咒】+ w ( ，一k 时) + 凰，冗 a 一1 2 q ， 蜀和冗1 分别是k 和r 的前m 列 ( 2 ) 若萨 斤，则l 2 1 ，是a 可在一切预测类中的唯一m i n i m a x 条件预测，且 i i l f 夕( l ) = d 2 ， 其中 2 = a 。+ a w ，吁+ 噩锯x 。【x ( j k 时) x 爿+ x ( j 一时) 在矩阵损失下，关于a 可的线性m i n i m a x 预测也有相关的结论 选取矩阵损失函数f 3 4 j w 沪筹糕， 线性等式约束下有限总体中的条件线件m i n i m a ) 【预测 记2 = l 执+ 口：l 为南s 的常数矩阵，a 硭 定义1 3 1 【3 5 l 设l 骗+ 8 2 ，其风险函数为r ( 矽，矿，厶口) ，若存在一个非负 定阵m ，使得r ( p ，矿，ln ) m 对一切o 0 ，江1 1 2 ， 蜡，砖为a t a 的非零特征值 定理2 1 3 若矩阵a 有分解式a = p ( r ：) q ，则a + = q ( 1 ：) 矽 且唯一 对任意矩阵a 来说，广义逆有无穷多个，而其中的m o o r e _ p e i l r o s e 广义逆a + 是其中比较特殊的一个，因为它的唯一性，将给我们的论证带来很多方便 2 2矩阵的k r o n e c k e r 乘积 矩阵的k r o n e c k e r 乘积与向量化运算，它们在线性模型，多元统计分析等分支 一7 一 线性等式约束下有限总体中的条件线性m i n i m a ) 【预测 的参数估计理论中有特别重要的应用 定义2 2 1 设a = ( o 巧) 和b = ( 幻) 分别为m n ，p 口的矩阵，定义矩阵c = ( 啦，b ) 这是一个唧n 口的矩阵，称为a 和b 的k r o n e c k e r 乘积，记为c = ao j e i ， 即 ，、 ，n 1 1 b 口1 2 b n l n b a 。b ：i n 2 ：b。2 ：b? 一眈? b i i ： ： ： i o m l bq m 2 b 口m n 口 这种乘积具有下列性质： ( 1 ) ooa=aoo = 0 ( 2 )( a 1 + a 2 ) 圆b = ( a 1 圆b ) + ( a 2ob ) ，a ( b 1 + 岛) = ( a lob ) + ( a 2 b ) ( 3 ) ( a a ) o ( p b ) = q p ( a o b ) ( 4 )( a 1ob 1 ) ( a lqb 1 ) = ( a l a 2 ) 圆( 岛b 2 ) ( 5 ) ( aqb ) t = 俨。矿 ( 6 )( aob ) 一= a ob 一，其中a ob 一为( a o b ) 的广义逆，但不必是伞部广 义逆特别( aob ) + = a + 0b + 当a 和b 都可逆时，有0b ) 一1 = a 一1o b q 定理2 2 1设a 和b 分别为n n 和m m 的方阵，入l ，k 和p l ，p m 分别为a ，b 的特征值，则 ( 1 ) 丸脚，i = 1 ，2 ，n ，j = 1 ，2 ，m 为a b 的特征值，la o bi = la1 4 lb 卜 ( 2 )t r ( a 固b ) = t r ( a ) t r ( b ) ( 3 ) r a n k ( a 圆b ) = r a n k ( a ) r a n k ( b ) ( 4 )若以0 ，b 0 ，则aob 0 2 3矩阵的直和 定义2 2 2 设n = ( 口l ，眈，n n ) ，定义m 死l 的向量 f n 1 v e c ( a ) 2 嵯 这是把矩阵a 按列向量依次排成的向量，往往称这个程序为矩阵的向量化向 量化运算具有下列性质： ( 1 ) v b c ( a + b ) = 、，e c ( a ) + v b c ( b ) ( 2 ) v ( a a ) = o v ( a ) ，这里q 为常数 ( 3 )t r ( a b ) = ( v b c ( a t ) ) t v ( b ) 一8 一 硕上学位论文 ( 4 )t r ( a ) = t r ( a j ) = t r ( ，a ) = v 酏( 厶) t v b c ( a ) ( 5 ) 设口和6 分别为佗1 和m l 向量，则v e c ( n 扩) = 6o o ( 6 ) v ( a b c ) = ( 伊。 a ) v ( 口) ( 7 )设。= ( z l ，z 。) 为随机矩阵，且c o v ( 反，巧) = e ( 戤一e 而) ( 巧一e 巧) t = 记y = ( ) n n ，则c o v ( v 酏( x ) ) = yo ，c o v ( y e c ( x t ) ) = y ， c o v ( v e c ( 7 x ) ) = y ( t p ) ，这里t 为非随机矩阵 上面给出的定义，引理，定理均见参考文献f 1 1 一9 一 线性等式约束下有限总体中的条件线性m i n i m a ) ( 预测 第3 章有限总体中的条件线性m i n i m a d c 预测 3 1基于二次损失的有限总体中的条件线性m i n i m a x 预测 设z 表示容量为礼的有限总体，z 的第惫个元对应着舛1 个向量狐，z 妣，z 如 这里除鲰外都是已知的，七= 1 ，2 ，n 记y = ( 可l ，耽，) r ，x = ( 五，恐，) r ， 其中j & = ( z 七1 ，z 七2 ，z 知p ) t ，七= l ，2 ，佗 考虑如下线性模型 iy = x p + 嚣芒。 慨1 ， 1e ( e ) ：o p 上7 lc 0 v ( e ) = 仃2 y 这里y 为n 1 观测向量，x 为n p 设计矩阵，卢为p 1 未知参数向量，e 为n l 随机误差向量，盯2 0 是参数，y 0 为仃n 对称矩阵，日为七p 的约束矩阵 在不带约束条件日p = o 的情形，文献【3 3 1 得到了任意秩有限总体中线性可预 测变量的唯一线性m i n h a x 预测但在实际中，参数p 往往是带有约束条件的限制， 本文对带线性约束条件日卢= 0 的模型中的一般线性函数a y 的条件m i n i m a x 预 测问题进行了研究为了预测a ，往往根据某个特定的抽样方案，从z 中抽取容量 为s 的样本五，磊= z 一历是容量为r 的未被观察的部分，其中r = 凡一s ，取样后， 可重新安排可的元素，使可，x ，y 有一致的分块 y = ( ：) ，x = ( 三乏) ，y = ( 0 苎苌) ， 本文选取二次损失函数 w 加筹黼， 记 冗( p ，盯2 ；l ) = e ( ( 三玑，a 秒) ) ，夕( ) =s u p兄( p ，盯2 ；l ) ， z = l 玑：l 为七s 的常数矩阵 ， z o = 三蜘：l 为凫s 的常数矩阵且满足( 三一a 。) q 2 q 多咒= 正q 托蜥) ， 其中n h = i h + h 定义3 1 1a 秒为条件可预测变量，若存在一个线性预测l 玑有e ( 三舶一a 舶一 a ，价) = 0 对一切满足日p = 0 的p 成立 定义3 1 2l 玑z 称为z 中的条件m i n i m a x 预测，若对任意其它z 中的满 足条件日p = 0 的线性预测口如有夕( l ) s9 ( l ) 引理3 1 1a 可为满足h p = o 的可预测变量营u ( 霹a ) ct | ( 霹，日r ) 证明l 为a 可= a 蜘+ 4 珈的条件线性无偏预测函数 一1 0 硕上学位论文 营e ( 己。) = e ( a 协+ 小跏) 对一切日p = 0 成立 l x s 8 = ( a 8 x 8 + x 0 8 鼬一切h 8 = o 成立 今乱( ( l k a ，五一a ，* ) t ) ct 正( 日t ) 营u ( 霹群) cu ( 霹，矿) 设r a n k ( k ) = q ，q = ( q l ，q 2 ) 为正交阵，满足 q t k q = ( 含：) ， a = d i a g ( a 1 ，a 2 ，a 口) ，a i o ，i = 1 ，2 ，g ， 则有 k = q - a 钾，时= q 。a - 1 q ，q z q ；= j 一时k 由引理3 工1 可知存在矩阵( 芝) ，使砰群= c 霹，俨，( 茏) = 霹仉+ 日t 巩， 又因为 f = 砰( q - q + q z q ；) = 霹q - q + 霹q 。q ；， 于是 4 墨= 呼q - 钾五十呼q z q ；五+ 呀h ， 记昭q - = 五，四q z = 乃，呀= 乃， 所以 a 墨= 噩钾咒+ 正讲咒+ 死日 引理3 1 2 设三蜘z ，k 咒0 霹( ，一时k ) = o ，则 夕( l ) =s u p r ( p ，仃2 ；l ) p 月尹，矿2 0 ，月p = 0 存在且 夕( l ) = m a x d 2 + t r ( l a 。一a ，w 。时) k ( 三一a 。一a ，w 。时) t 】， 入 ( ( l a a ) q 1 一丑) t ( ( l a 。) q 1 一乃) a 1 7 2 r 一- 2 q x 。妇人1 7 2 】) 甘( l a 。) q 2 q ；墨= 正q ；咒， 其中入( ) 表示矩阵的最大特征值，d 2 = 打( a w 群一4 k 。吁k 。a ，) 证明” 舢) - 艘，嬲棚：。盟些笨簇器掣卢j 舻，口2 o ，邪= o u 一t - 一n - ；y s 。 5 p = m a 俨+ t r ( l a ，一a ，k 。时) ( l a 。一a ，k 。时) t 】， s u p 卢r p 矿2 o ，日p = o p t ( l x 。一a 。墨一a ，墨) t ( l x 。一a 。墨一a ，杆) p 一1 1 一 铲疆v x s 8 ) ， 线性等式约束下彳丁限总体中的条件线性m i n i ma ) 【预测 由日p = 0 得卢= ( j 一日+ 日) ，y = 7 ，y 为任意向量 由 可得 酽( l x 8 一a 3 x 3 一a ，x 了0 l x 3 一a s x 3 一a r x 0 8 口舻，嬲挪：o 两币才可- 一口舻，口2 0 ，卢= 0一 iy 5 。8 一 平n h l l x 3 一a 8 x 8 一a r x 了0 l x s a 5 x 5 一a r x o n h l 。，器 o _ 币酝孝声瓦而广一 ( l a 。) q z 霹咒蜥= 乃q 手五蜥， 她x 8 一a 3 x 8 一a r x o n h l = ( l 咒一a 咒一丑q 咒一死q ；五一死日) 蜥，y = ( l 一也一丑钾一乃q ；) 五- 蟊1 = ( ( 三一a 。) q l 一正) q 手五蜥，y ， 由文献 1 1 】引理2 1 的证明方法，可得结论成立 ”寺”设夕( 三) = 口j i ! i j 寸n h 嘻x 。一a 8 x 3 一x 汀q x s a s x s a t x r 、n h s 1 1 n h 趣v x 8 n h l 对一切，y 留成立即 7 t 蜥( ( l 五一a 。) ( q l q + q 2 q ；) 墨一死q k 一正q 墨) t ( ( l 咒一a 。) ( q 1 q + q 2 q ) 咒一五q 墨一正q 墨) h ，y s 种n h 越v x 8 n h f 对一切1 酽成立 取，y = 蜥霹q 2 ( 霹q 2 国；五) + ( ( 一a 。) q 2 一是) t ，t 硭，则 再由 ( ( l a 。) q 1 一丑) q 五蜥7 = ( ( 三一a 。) q 1 一丑) q i 盔砰q 2 ( 霹q 2 q ；x 。) + ( ( 三一a 。) q 一马) t 季， k 墨霹( j 一时k ) = o ， 得 q t x s n h x j q 2 = q ， 所以 ，y t _ 义子q 2 ( ( l 一4 。) q 2 一噩) 丁( ( 三一j 4 。) q 一是) q ；咒_ ，y = o ， 结论得证 由引理3 1 2 可知，a 可的条什线性m i n i m a x 预测只能在z o 中考虑 一12 硕上学化论文 引理3 1 3 若k 咒蜥砰( ，一时k ) = o ，则在z o 中存在可预测变量a 可的条 件线性m i n i m a x 预测 证明在岛中存在a 可的m i n i m a x 预测铮夕( 三) 有最小值 若 t r ( l a 。一4 k 。时) k ( l a 。一a ，w 。时) t 】= o ， 夕( l ) = m a x d 2 ，入【( ( l a ) q 1 一乃) t ( ( 三一a ) q 1 一噩) a 1 2 r t ：q i h 人1 2 】 显然有 最小值 若 t r 【( l a 。一a ，k 。时) k ( l a 。一a ，w 。时) t 】 o ， 由于9 ( 三) 关于三是正值连续函数，且 脚夕( 工) = + 。o ， o ( l l t ) _ + + 所以夕( l ) 有最小值，即在z o 中存在a 可的条件m i n i m a x 预测 设l 舶z o ，则l 可以表示为 工= a 。+ 疋q ；咒【日砰( j 一时k ) 咒】+ 霹( j r 一时k ) + ( ，一蜀) ， 其中 岛= ( j 一时k ) 恐阢霹( 卜盯k ) 五】+ 蜥砰( j 一时k ) ， 为任一尼s 矩阵于是 俨+ t r ( 三一a 一4 k 。”) k ( 三一a 。一a ，k 。时) r j = d 2 + t r ( 一a w 。时) k ( 一a ，k 。时) t 】， a ( ( l a 。) q l 一噩) t ( ( l a 。) q 1 一丑) a 1 7 2 p a 一- ：q f 托蜥a 1 2 】 = 州( q 1 一噩) t ( q l 一丑) a 1 7 2 p - 1 ：q j 墨蜥a 1 7 2 】， g ( l ) = m a x d 2 + t r ( l a 。一a ，k 。v 产) k ( l a 。一a ，k 。v ) t 】， a ( ( 三一a 。) q 1 一五) t ( ( 三一a 。) q 1 一五) a 1 7 2 r t 2 q x 。妇a 1 2 】) 铮( l a 。) q 2 q ；咒= 噩q 手咒 把夕( l ) 定义为，( ) 引理3 1 4 若使得，( ) 达到最小，则有 d 2 + t r 【( v a ，w 。时) k ( 一a ，k 。时) t 】 = a 【( q 1 一丑) t ( q 1 一互) a 1 7 2 r 叫：q i _ 柏人1 7 2 】 一1 3 线性等式约束下有限总体中的条件线性m i n i m a x 预测 证明若 萨+ t r 【( 一4 吁) k ( 一厶w 。”) t 】 a 【( q 1 一丑) t ( q 1 一乃) 人1 2 p 一- ：q 兄蜥a 1 2 】， 令1 = ( 1 一q ) + q 4 k 。时，q o 充分小，则 d 2 + t r ( l a ，w 。时) k ( 1 一a ，k 。时) t 】 = d 2 + t r ( ( 1 一a ) 2 ( 一4 k 。时) k ( 一4 ，k 。时) t ) 护+ t r ( 一4 k 。时) k ( 一a w 。时) r 】， 目 入【( l q l 一五) t ( 1 q l 一丑) a 1 2 p 一- 。q x 。h 人1 2 】 州( ( q 1 一噩) 一a ( 一a ，k 。时) q - ) ( ( q - 一五) 一q ( 一厶”) q 1 ) t a l 2 r - l ：钾弱妇a 1 2 1 入f ( q 1 一死) r ( q 1 一正) a 1 2 r 一- ：口f 兄 k a l 2 】 + q 2 a ( 一a k 。时) q 1 q ) ( 一4 k 。时) t a l 2 p a 一- ：q 置h a l 2 】 + d 入 ( 一a ，k 。盱) q 1 ( q l 一五) t a l 2 p a l 2 q 兄蜥a 1 2 一( q l 一五) q ( 一a ，k 。i ) t a l 2 p a 一- z q x 日a 1 2 】， 对充分小的a 。有 于是 a 2 a ( 一a r k a i ) q 1 q ) ( 一a r w 。盱) t a l 7 2 p a 一- ，。q f x 。h a l 7 2 】 + a 入 ( 一a r w 。i ) q l ( q l 一丑) 丁a 1 2 r t z q 兄日a 1 7 2 一( q 1 一乃) q ( 一4 k 。时) t 人1 7 2 p a 一- z 钾托日a 1 7 2 】 d 2 + t r ( 一4 k 。盱) k ( 一4 k 。时) ? 】 一入 ( q l 一正) t ( q l 一五) a 1 7 2 p a 一z q x 。蜥a 1 2 1 ， a 【( 1 q l