（运筹学与控制论专业论文）离散ts模糊控制系统稳定性分析与控制器设计.pdf

n o r t h e a s t e mu n i v e r s i 锣 j u l y2 0 0 8 一 1， ， j 学位论文作者签名：累夺箱 签字日期：如孵丁易 导师签名：期冬梅 答字醐：埘7 i 0 | t 艇 e ， 0 j ， 东北大学硕士学位论文摘要 离散t s 模糊控制系统稳定性分析与控制器设计 摘要 模糊控制系统的稳定性分析和设计方法是模糊理论的重要研究课题，其理论研究主 要是针对模糊系统提出相应的控制方法对其进行稳定性分析，从而保证控制系统的性 能。但是模糊系统本质上是非线性的，因而稳定性分析比较困难。到目前为止，虽然已 经存在许多种保证模糊系统稳定的理论，但仍未形成完善的理论体系，还有许多理论问 题有待进一步深入研究。 t - s 模糊模型的提出，给模糊控制理论研究及应用带来了深远的影响，使模糊系统 稳定性分析上升到新的理论高度，且有许多结果已经应用于实际对象中。t s 模糊模型 的优点在于它充分运用了l y a p u n o v 稳定性理论来进行系统分析和控制器设计，通过对 非线性系统进行t - s 模糊建模，然后提供一套系统化的方法来研究模糊系统的稳定性以 及控制器设计问题。本文主要讨论一类t - s 模糊控制系统的控制器设计及稳定性分析等 问题。 本文研究的主要内容如下： ( 1 ) 综述模糊控制的产生、发展、现状及t - s 模糊控制、模糊控制系统的稳定性 分析方法和模糊控制器的设计方法；给出了t - s 模糊系统模型的构建方法，并给出部分 全局l y a p u i l o v 稳定性分析理论。根据分段l y a p u i l o v 函数，将t - s 模糊系统相应的子系 统转变成等价的模糊交换系统，并给出分解实例； ( 2 ) 基于离散t - s 分段模糊交换系统模型，给出一种系统稳定性分析方法以及状 态反馈控制器的设计方法，通过m a t l a b 数值仿真实例说明本文方法较现有的稳定性判 断方法的优越性。对全文进行总结和展望，指出模糊控制系统的理论研究和应用所存在 的问题，并对下一步研究工作进行简述。 关键词：t s 模糊系统：稳定性：二次稳定；模糊交换系统；模糊控制器；线性矩阵不 等式 i u - 一 l ， 毫 。0 ， n o w ，s o m er e s u l t sh a v eb e e n 印p l i e di n t 0p r a c t i c a ls y s t e m s a ma d v a n t a g e0 fat s f u z z y m o d e l i sm a t i tc a i lf u l l yu s el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r yt o 锄a l y z es t a b i l i t yo fs y s t e m s 柚d d e s i 印c o n t r o l l e r 锄das y s t e m a t i cm e t h o di sp r o v i d e dt os t u d yt h ep r o b l e mo fs t a b i l i t yo f n o n l i n e a rs y s t e m sa i l dc o n t r o l l e rd e s i g nb yt - s f u z z ym o d e l l i n gf o rn o n l i n e a rs y s t e m s i nt h i s t h e s i s ，t h ec o n t r o l l e f sd e s i 印e da i l ds t a b i l i t y 锄a l y s i so ft - sf u z z yc o n t r o ls y s t e ma r e m a i n l y d i s c u s s e d t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) s u m m a r i z et h ed e v e l o p m e n to ff u z z yc o n t r o l ，a d a p t i v ef u z z yc o n t r o l ，s o m em e t h o d s 0 fs t a b i l i t y 锄a l y s i s ，锄dt h ef u z z yc o n t r o l l e r sd e s i g l l ；i n t r o d u c et h ec o n s t m c t i o nm e t h o do f t sf u z z ys y s t e mm o d e l ，a n ds o m em e t h o d so f l y a p u n o vs t a b i l i t ya n a l y s i s ；r e w r i t et h es y s t e m t ob ea ne q u i v a l e n td i s c r e t e t i m es w i t c h i n gf u z z ys y s t e ma c c o r d i n gt oq u a d r a t i cl y a p u n o v f u n c t i o n ，a n dt h e ng i v ea ne x 锄p l et oe x p l a i nh o ww ed i v i d et h es t a t es p a c ei n t 0t w ok i n d so f s u b r e g i o n sa n dw h y t h es w i t c h i n gf u z z ys y s t e mi se q u i v a l e n tt ot h e o r i g i n a ls y s t e m ； ( 2 ) p r o p o s ean e wr e l a x e ds t a b i l i z a t i o nc r i t e r i aa n dam e t h o do ft h es t a t ef e e d b a c k c o n t r o l l e r sd e s i g l lf o rd i s c r e t e 。t i m et l s f u z z ys y s t e mb a s e do nd i s c r e t e t i m es w i t c h i n gf u z z y s y s t e m ，a i l dt h e nu s i n gn u m e r i c a ls i m u l a t i o nt os h o wt h a to u rc r i t e r i o ni sm o r er e l a x e dt h a n t h ec u r r e n tc r i t e r i a 柚dt h ee 仟e c t i v e n e s so ft h ef u z z yc o n t r o l l e r s d e s 咖m e t h o d ；i nt h e v 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t c o n c l u s i o n ，t h et h e s i si n d i c a t e ss o m eu n s o l v e dp r o b l e m sa n dp r o s p e c t s0 ft h ef u r t h e rs t u d y k e yw o r d s ：t - sf u z z ys y s t e m ；s t a b i l i z a t i o n ；q u a d r a t i cs t a b i l i t y ；s w i t c h i n gf u z z ys y s t e m ； f u z z yc o n t r o l l e r ；l i n e a rn a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) v i 一 争 f 它 乒 目录 独创性声明i 摘要i i i a b s t 阻c t v 第1 章绪论l 1 1 研究背景1 1 2 模糊控制2 1 2 1 控制系统采用模糊控制方法的两个原因2 1 2 2 模糊控制的发展与现状4 1 2 3 模糊系统的稳定性5 1 3t - s 模糊控制系统6 1 3 1t - s 模糊控制系统的背景6 1 3 2 线性矩阵不等式( l m i ) 的发展与算法8 1 4 本文的主要内容9 第2 章模糊控制系统的描述1 1 2 1 基本概念1 l 2 1 1 模糊集合1 1 2 1 2 模糊运算1 1 2 2 模糊规则1 2 2 2 1 模糊规则的获取1 2 2 2 2f 。和g7 的隶属函数的确定1 3 2 2 3 模糊推理机1 3 2 3 模糊产生器与反模糊化1 3 2 3 1 模糊产生器1 3 2 3 2 反模糊化1 4 2 3 3t - s 模糊模型的构造1 4 2 4 稳定性的基本理论1 6 2 4 1l y 印u 1 1 0 v 稳定性理论1 6 2 4 2 并行分配补偿器( p d c ) 1 6 2 4 3s c h u r 补引理( s c h u rc o m p l e m e n tl e m m a ) 1 7 2 4 4 二次稳定1 7 第3 章基于离散t s 模糊交换系统的稳定性分析1 9 3 1 离散t - s 模糊系统模型及全局稳定性分析1 9 3 1 1t _ s 模糊系统基础模型1 9 东北大学硕士学位论文 目录 3 1 2t - s 模糊系统的公共l y a p 叽o v 函数稳定性2 1 3 2 离散分段模糊交换系统模型2 2 3 2 1 分段后的模糊交换系统模型。2 3 3 2 2 系统模型分解实例2 4 3 3 基于分段l y a p 蚰o v 函数的稳定性判据2 7 3 4 本章小结3 1 第4 章离散t _ s 模糊系统控制器设计3 3 4 1 模糊控制器3 3 4 2 模糊控制器设计方法3 4 4 3 本章小结3 9 第5 章数值实例分析4 l 5 1 稳定性判断与比较分析4 1 5 2 控制器设计实例4 4 5 3 本章小结4 5 第6 章总结与展望4 7 6 1 总结4 7 6 2 离散t - s 模糊系统的展望4 7 参考文献4 9 致谢5 3 论文发表情况5 5 - 7 丁 y 厂 、- 产 东北大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 研究背景 第1 章绪论 自2 0 世纪6 0 年代以来，现代控制理论己经在工业生产过程、军事科学以及航空 航天等许多领域都取得了成功的应用。例如极小值原理可以用来解决某些最优控制问 题，利用卡尔曼滤波器可以对具有有色噪声的系统进行状态估计，预测控制理论可以对 大滞后过程进行有效的控制。但是它们都有一个基本的要求：被控对象都需要建立精确 的数学模型。另一方面，随着现代科学技术的迅速发展，生产系统的规模越来越大，导 致了控制过程r 趋复杂。同时严重的非线性和不确定性，常常使得传统的控制理论和方 法显得无能为力。实际上，任何一个有效的控制方案的设计都不能由一种控制理论单独 完成，其中都隐含着人的直觉推理。经典控制理论和现代控制理论都不能处理有关控制 对象的一些模糊信息和运用人的经验知识、直觉推理，也就难以满足对复杂控制系统的 设计要求。因此在原有控制理论的基础上纳入智能控制理论就势在必行。模糊控制是基 于模糊推理，模仿人的思维方式，对难以建立精确数学模型的对象实施的一种控制策略。 它是模糊数学同控制理论相结合的产物，同时也是智能控制理论的重要组成部分。模糊 集理论的创立不仅开拓了经典数学的数学基础，而且为控制理论和方法引入人的推理和 经验知识提供了新的途径。 1 9 6 5 年美国加州大学l a z a d e h 教授i lj 开创性地创立了“模糊集合理论( f u z 巧 s e t s ，i n f o n n a t i o na n dc o n t r 0 1 ) 。他在深入探索和研究“大系统”、“模糊性 、“计算机” 和“人脑思维”问的关系中，从数学与人脑思维的分离处入手，结果发现c o n 幻r 所创建 的集合论实质上是剔除了模糊性而抽象出来的数学概念，是把思维过程绝对化，从而达 到精确和严格的目的。为此，他将模糊性和数学统一起来，并且不是让数学放弃其严格 性去迁就模糊性，而是让数学回过头来吸取人脑对于模糊现象认识和推理中的优点，于 是1 9 6 5 年在i n f o 咖a t i o na n dc o n 舶l 杂志上发表了第一篇开创性经典论文“f u z z ) ，s e t s ” 这就标志着模糊数学的正式诞生。而后，z a d e h 提出了一种将逻辑规则的语言描述转化 成相关控制律的思想【2 】，从而使对复杂系统做出合乎实际的、符合人类思维方式的处理 成为可能，为早期模糊控制器的形成奠定了基础。模糊集合理论为描述模糊信息，处理 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 模糊现象提供了新的数学工具。1 9 7 4 年英国学者m 锄d a i l i 把模糊语言应用到控制中【3 】 并获得成功，标志着模糊控制的诞生。 模糊控制是一种无模型控制，在处理那些对象的定义不完善或难以用精确的数学模 型来描述的复杂系统中取得了广泛的应用。自1 9 6 5 年l a z a d e h 首次提出一种完全不 同于传统数学与控制理论的模糊集合理论，到1 9 8 6 年世界上第一块基于模糊逻辑的智 能芯片在著名的贝尔实验室研制成功，其问只经历了短短的2 0 年。这一事实说明，模 糊系统理论这门新兴的学科具有强劲的生命力和十分令人鼓舞的应用前景。模糊理论之 所以能在信息时代获得如此迅速的发展是由于它为信息革命提供了一种新的工具与手 段，其具有以下优点： ( 1 ) 模糊理论给出了一套表现自然语言的理论和方法，使自然语言能够转化成为 机器可以理解和接受的信息，提高了机器的灵活性。 ( 2 ) 模糊理论给出了一套表现模糊逻辑和近似推理的理论和方法，用简洁的软硬 件可以使机器更聪明，智能化程度更高。已经实现的家电模糊控制产品和工业模糊控制 都说明了这一点。 ( 3 ) 模糊理论比一般数学理论应用面更广，除自然科学和工程技术领域外，也为 社会经济、哲学、心理、教育、管理等人文学科提供数学描述的语言和工具，将有力地 促进软科学的科学化、定理化的研究。 1 2 模糊控制 1 2 1 控制系统采用模糊控制方法的两个原因 控制系统采用模糊控制方法的理论方面原因：任何有效的工程控制方法应该能利用 各种可能的信息。在系统的数学模型难以得到时( 实际系统经常如此) ，此时重要的信息 来源主要有两个：( 1 ) 传感器，它提供关键变量的测量数据；( 2 ) 专家，他们提供系统 本身及其控制特性的某些语言描述信息。在模糊控制器的设计过程中，我们就可以系统 而有效地利用专家提供的语言模糊信息。然而，传统控制器的设计无法利用这类语言模 糊信息。在某些情况下，如果最主要的信息是专家提供的语言信息，那么采用模糊控制 器自然就是最佳的选择了。 模糊控制无需建模，即模糊控制无需知道被控系统的数学模型。目前工程师面对的 。， 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 系统越来越复杂，这些系统的数学模型也越来越难以获得。因此，无需建模的控制方法 在控制工程中显得越来越重要。传统控制中也存在一些无需建模的方法，如非线性自适 应控制和p i d 控制。然而，模糊控制完全属于另一类无需建模的方法。模糊控制是一种 非线性控制，关于这一点已在s t o n e w e i e r s 仃a u s s 万能逼近定理【4 1 中给出过充分的理论依 据，即模糊逻辑控制器是万能的，模糊逻辑系统( f l s ) 可以逼近任意非线性连续函数。 因此，如果我们仔细地选择模糊控制器的参数，就有可能设计出个适合被控非线性系 统的模糊控制器。 控制系统采用模糊控制方法的应用方面原因：在上述理论方面的原因中，模糊控制 是作为一种理论而加以评论的。我们知道理论和应用所强调的重点有所不同。例如，理 论强调一般性和严密性，而应用则强调解决具体问题的实用性和有效性。从实用的观点 来看，采用模糊控制有以下几方面的原因： ( 1 ) 方便易懂：由于模糊控制模仿人的控制策略，因此即使对非控制类专业人员 来讲，其控制原理也是不难理解的。在过去2 0 年里，传统的控制原理所用的数学工具。 越来越复杂。当然，要以严格的方式解决某些复杂的问题，这么做也是必要的。但是其 结果却导致懂得这种理论的应用型的工程师人数同趋减少，因而使得工作在商品设计第 一线的应用工程师们倾向于采用一些简便易懂的方法。模糊控制方法正是其中之一。 。 ( 2 ) 执行简便：模糊逻辑系统( 即模糊控制的主体) 具有高度的并行处理能力， 许多模糊超大规模集成电路芯片使得模糊控制器的执行快速简便。 ( 3 ) 开发成本低廉：从实用的角度来看，产品的开发成本是产品成功与否的重要 指标之一。由于模糊控制方法简便易懂，缩短了培训时间，即“软件成本”降低。同时 模糊控制执行简便，“硬件成本”也较低。另外，模糊控制器的设计已有现成的软件工 具。这样，模糊控制就成为一种高性能价格比的方法。 模糊控制的突出优点在于： ( 1 ) 控制系统的设计不要求知道被控对象的精确数学模型，只需要提供现场操作 人员的经验知识和操作数据； ( 2 ) 控制系统的鲁棒性强，适应于解决常规难以解决的非线性、时变及大滞后等 问题： ( 3 ) 以语言变量代替常规的数学变量，易于形成专家的“知识”； ( 4 ) 控制采用“不精确推理”。推理过程模仿人的思维过程。由于介入了人类的经 验，因而能够处理复杂系统。 3 - 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 1 2 2 模糊控制的发展与现状 模糊集理论已成为人工智能及控制应用中最为活跃的研究领域之一。到目前为止， 模糊控制已应用于热交换，水泥窑，水净化，核反应堆，自动车，集装箱自动装卸等复 杂的系统中。在控制领域，模糊控制的开发最早由英国、丹麦开始，1 9 7 4 年英国伦敦大 学的m 锄d a l l i 教授提出了可以把模糊理论用于控制领域，他把模糊推理用于蒸汽机的 、 自动运转中，通过实验取得了良好的结果。1 9 8 0 年丹麦的s m i d t h 、f 、l 公司发表了 第一个把模糊理论用于工业生产中的实例。该公司的水泥回转窑开始利用模糊控制自动 运转，使窑的运转率达到8 0 8 5 ，燃料消耗减少4 5 ，质量也有明显的提高。此 后，模糊控制作为一种有效的控制策略受到人们的普遍关注，并有大量的研究工作【5 ，6 1 相继问世。 1 9 7 9 年，m 锄d 撕和他的学生发现普通模糊控制并不具有自适应过程的持续变化 的能力。他们把自组织的功能引入到模糊控制的结构中，提出了自组织模糊控制器【_ 7 1 ， 在较高的起点上研究了一类语义自组织模糊控制器，能在较短的时间内学会控制好一类 过程。这一开创性的工作为后来的自适应模糊控制的研究奠定了基础。 八十年代起，模糊理论实用化的中心移到了日本，几乎所有把模糊理论用于工业生 产的实例都来自r 本。r 本己经把模糊控制用于自来水加氯控制，污水处理中溶解氧浓 度控制，汽车速度控制，集装箱吊车运转，电梯群管理，隧道挖掘装置的自动运转，锅 熔化炉的温度控制，雨水泵运转控制，钢板冷轧过程控制，核反应堆输出控制等许多方 面。此外，在同本利用模糊逻辑元件及其它先进计算机电路制成的新一代智能电视摄像 机拍出清晰度更高和图像更稳定的录像带，可以这样说，依靠日本科技工作者的努力， 模糊理论实用化才得以迅速发展【引。 在美国，模糊控制技术已有了实质性的进步，但是由于美国企业界谨慎的接受态度， 它的发展远不及日本迅速。几乎所有大的美国公司都正在调查模糊技术作为高技术或换 代技术的商业使用寿命。美国宇航局已在航天飞机计划中考虑使用模糊控制1 9 】。 在德国，模糊控制也有了长足的发展。最近，德国的科技工作者已经研制成功安装 在小汽车样机上的模糊控制器，它能够使小汽车处于极端情况( 例如汽车打滑) 时改变 汽车车轮的内压力，增强汽车轮胎与地面的摩擦，从而使小汽车能够重新运行j 下常。这 项技术若能实际使用于我国北方寒冷地区将会给交通运输和工农业生产带来巨大的益 处。德国著名的西门子公司己将“大力发展模糊技术并率先应用于欧洲市场”作为他们 4 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 的市场策略，他们已经在1 9 9 2 年底到1 9 9 3 年初推出一系列模糊控制芯片及应用软件【1 0 1 。 在我国，模糊数学的研究一直在世界上享有声誉，曾出现过重理论轻实践的倾向。进入 八十年代后情况大为改观，越来越多的科技人员注意到了模糊理论在工程上的应用，在 各方面取得了一系列可喜的应用成剁1 0 1 4 j 。 到了8 0 年代中期，模糊控制有了长足的发展，提出了模糊集的建模方法【”】和著名 的t - s 模糊辨识模型【l6 1 ，为后来模糊控制的应用和理论研究提供了重要的工具。并创刊 f u z 巧s e t sa n ds y s t e m s ，从1 9 8 4 年起每两年举办一次世界模糊系统联合大会。1 9 8 1 年，我国成立了中国模糊数学与系统学会，并创刊模糊数学，后改名为模糊系统 与数学，这些组织和学术活动都加速了模糊控制的发展。世界最大的工程师协会i e e e 从1 9 9 2 年起每年举办一届模糊系统年会，并于1 9 9 3 年创办i e e e 模糊系统会刊。与其 它比较成熟的学科相比，模糊控制理论还有一些重要的理论课题没有解决，如模糊系统 的稳定性，鲁棒性等。所以进入9 0 年代，国内外许多学者纷纷致力于这方面的研究【1 7 - 2 1 1 。 在这方面的理论研究工作中，从不同的角度对不同的模型研究了模糊系统的稳定性等问 母 题。 1 2 3 模糊系统的稳定性 众所周知，任何一个自动控制系统，首先必须是稳定的，否则这个系统就无法工作。 因此，在控制系统的分析与设计中，系统的稳定性研究占有重要的地位，模糊控制也是 如此。模糊系统本质上的非线性性和缺乏统一的系统描述，使得人们难以利用现有的控 制理论和分析方法对模糊控制系统进行稳定性分析和控制器设计，因此模糊控制理论的 稳定性分析一直是一个难点课题，仍未形成较为完善的理论体系，还有许多理论问题有 待于进一步解决。稳定性分析也是各类模糊控制器的一个基本问题：( 1 ) 模糊逻辑本身 难以表达传统意义下的稳定性；( 2 ) 非线性系统的分析和设计要比线性系统复杂得多； ( 3 ) 尚没有建立一套完整的模糊控制理论，模糊系统稳定性分析方法远没有传统的基 于精确数学模型的稳定性分析方法那样成熟。 正因为如此，近年来，关于模糊系统的稳定性分析己经成为众人关注的焦点，发表 的论文较多，采用了各种思想和分析方法，主要有：描述函数分析法、相平面法、关系矩 阵分析法、l y a p u n o v 稳定性理论、超稳定性理论、圆判据、基于滑模控制器的比较法、 模糊穴穴映射、数值稳定性分析方法以及最近出现的鲁棒控制理论分析方法和l m i 凸 东北大学硕士学位论文 第l 章绪论 优化法等。 在模糊控制系统的稳定性分析和设计中，采用的模糊逻辑系统大约有三种类型【2 2 1 ： ( 1 ) 纯模糊逻辑系统；( 2 ) t - s 模糊逻辑系统；( 3 ) 具有模糊产生器和模糊消除器的模 糊逻辑系统。 基于纯模糊逻辑系统的分析方法主要有：描述函数分析法、相平面法、圆判据法等， 是较早期的稳定性分析方法；基于t - s 系统的分析方法主要为l y a p u n o v 稳定性理论、 、 鲁棒控制理论分析方法和l m i 凸优化法；基于具有模糊产生器和模糊消除器的模糊逻 辑系统的分析方法主要为自适应控制理论方法；最近还出现了超稳定理论、l y a p u n o v 判据、基于滑模控制器的比较法、模糊穴穴映射、数值稳定性分析等方法。其中关系 矩阵分析法、l y a p u i l o v 稳定性理论、自适应控制理论占有很重要的地位。 l y a p u n o v 方法目前是模糊系统稳定性分析的主流方法。对于t - s 模型、f b f ( 模糊基 函数) 模型、模糊动态模型等的稳定性分析基本上都是采用这种方法。模糊控制多用于 控制对象模型不容易得到的情况下，运用l y a p u n o v 方法进行稳定性分析时，首先要建 立对象的模糊模型，然后基于模糊模型，构造控制器结构，选择l y a p u n o v 函数，得到 稳定性条件。这个过程实际上只分析了模糊控制器与模糊模型之间的稳定性。由于模糊 模型和实际对象存在误差，由此产生了模糊控制系统的鲁棒设计方法，如模糊控制器设 计，模糊滑模设计等。采用l y 印u i l o v 方法设计也便于找到模糊控制和传统控制的结合 点，很多模糊控制的设计思想都是受经典控制的设计思想启发的。近年来，l m i 的兴起， 使得许多基于l y 印u n o v 的模糊控制的稳定性问题转化为求解l m i 的问题，促进了模糊 控制器的系统设计。但是，l y a p u n o v 的稳定性条件是一个充分条件，通常比较保守，即 当稳定性条件不满足时，控制系统仍可能稳定，这限制了控制器设计的空间。 1 3t s 模糊控制系统 1 3 1t - s 模糊控制系统的背景 1 狄a g i 和s u g e n o 在1 9 8 5 年提出了一种建模非线性过程的方法t s ( 1 a k a g i s u g e n o ) 模糊模型【2 3 1 ，此后这种方法又被s u g e n o 和k a n g 进一步研究，因而此模型被称为t _ s 模 糊模型或t s k 模糊模型。该模型的提出为模糊稳定性分析提供了系统化框架，给模糊 控制理论研究及应用带来了深刻的影响，使得模糊系统稳定性分析上升到一个新的理论 东北大学硕士学位论文 第1 章绪论 高度，以后的模糊系统的稳定性分析主要是针对t - s 模糊系统进行的。因为t - s 模糊系 统把模糊逻辑理论与线性系统或非线性系统的严格的数学理论联系在一起，从而t - s 模 糊系统受到广泛地关注。t - s 模糊模型实际上是模糊规则及其推理的一种数学表达形式， 是对模糊规则及其推理的统一表达。基于局部线性函数的模糊模型，其规则前件是模糊 变量，而结论部分是输入输出线性函数，它以局部线性化为基础，通过模糊推理方法实 现了系统全局的非线性。由于这种模型使用了局部线性函数，能克服模糊系统的高维问 题，所以已成为人们广泛使用的模糊模型。一般t s 模糊系统模型是通过一些模糊规则 ( i f - t h e n ) 给出一个实际的非线性系统的局部线性表示。稳定性分析基本上都是采用 l y a p u i l o v 方法，首先要建立对象的模糊模型，然后基于模糊模型，构造控制器结构，选 择l y a p u n o v 函数，得到稳定性条件。基于l y a p u l l o v 直接方法，a l 【a 等人研究了t - s 模糊控制系统的稳定性问题【2 4 1 ，最后的稳定性判据归结为在所有的局部子系统中寻找 一个公共的正定矩阵尸。然而，在工程应用中对于实际控制对象，规则数一般较大，要 寻找一个适合所有规则的公共正定矩阵p 是非常难的。其后j o h a i l s s o n 【2 5 1 做了进一步的 研究，他们利用了输入变量隶属度的结构信息，但局限于所寻找的分段l y 印u l l o v 函数 的连续性，需在数量远大于模糊规则数的局部区域内分别寻找局部公共j 下定矩阵，研究 结果在一定程度上放宽了a k a 等人的稳定性判定条件。w e n j u n ew a n g 等人在此基础 上提出了一种交换模糊模型和分段l y a p u n o v 函数相结合的稳定性判据f 2 6 1 ，c h u n h s i u n g f a n g ，张松涛等人也提出了一种条件更宽松的全局稳定性判断方法【2 7 1 ，但也各自存在一 些不足之处。 这种模糊系统由毗a g i 和s u g e n 0 提出后，首先用于非线性系统的辨识，随后被用 于非线性系统控制，最初的t - s 模糊系统模型的数学描述为： r ：i f x ii s ，f la n d a n dx 。 i s m 埘， t h e n y 。i s 厂( x l ，x 。) ， 扛l ，2 ， 式中结论部分是输入变量的精确函数，通常取为 厂( 五，吒) = q o + q l 五+ + 口坍x 。 称之为一阶t - s 模型。m ，( = l ，z ) 是模糊集合，r 代表第f 条规则；y 为系统根据 规则尺所得的输出。 上式描述的模糊模型是一种最初的t s 模型，这种模型的特点是局部输出是输入的 线性组合，局部模型是静态的映射关系，模型辨识比较容易。t - s 模糊模型辨识的基本 东北大学硕士学位论文笫1 章绪论 方法是将辨识过程分为两个步骤：第一个步骤辨识模型条件部分，这包括对输入空间的 划分和一些参数的辨识，可以通过聚类分析等方法实现；第二个步骤辨识模型结论部分， 由于结论部分是线性的，所以可以通过线性回归等方法实现。随着研究的推进，c a o 等 又提出了模糊动态模型2 8 1 ( 模糊状态方程) 。模糊动念模型是对最初t - s 模型的推广，其 结论部分采用状态方程形式，是一种动态映射，所以可以描述更为广泛的被控对象，也 可方便地用于多变量控制系统。这也是其主要优点。 由于t - s 模糊动态模型的自身优点，其已经逐渐替代最初的t - s 模糊模型，成为了 研究的主流。在第二章，我们将详细给出一类离散t _ s 模糊系统的动态模型。 本文即采用t _ s 模糊动态模型作为模糊控制系统分析和设计的基础，为了叙述方便， 如无特殊说明，下文中的t s 模糊模型即指t - s 模糊动态模型，这也符合目前文献中大 多采用的提法。 1 3 2 线性矩阵不等式( l m i ) 的发展与算法 线性矩阵不等式，即l i n e a rm 撕xi n e q u a l 时，简称l m i 。在动态系统的分析中使用 线性矩阵不等式的历史可追溯到一百多年以前。1 9 8 0 年，l y a p u n o v 介绍著名的l y a p u i l o v 定理【驯时，他证明了满足如下线性微分方程的动念系统 戈( ，) = 叙( ，)( 1 1 ) 大范围渐近稳定的充分必要条件是存在j 下定矩阵满足 彳7 p + p 4 o 以及( 1 2 ) 式就具有l m i 的形式。同时l y a p 眦o v 指出矩阵不等式( 1 2 ) 可进行显式求解。实际上，我们可任选矩阵q ，q = q 7 ，然后解关于矩阵尸的线性方程 彳7 p + 削= 一q ( 1 3 ) 如果系统是稳定的，我们可以证明p 是正定的。 总的来说，用来分析动态系统稳定性的第一个矩阵不等式就是l y 印u n o v 不等式， 它可以得到解析解。 求解线性矩阵不等式的方法己有很长历史。早期对于简单的线性矩阵不等式问题可 以用手工的方法来求解，对二维的线性矩阵不等式问题则可以用图解法。对一般的线性 矩阵不等式问题，可将其列成一个凸优化问题，并采用凸优化技术来进行数值求解，椭 球法就是利用这一思想。1 8 9 0 年，出现了第一个l m i 【3 0 1 ，通过l y a p u n o v 方程可以得到 东北大学硕士学位论文 第1 章绪论 l y a p u i l o vl m i 的解析解。2 0 世纪4 0 年代，l y a p u i l o v 方法被应用于实际的控制工程问 题中，人们可以通过手算求解小型的l m i 。2 0 世纪6 0 年代初期，正实定理提供了用图 解技术求解另一些l m i 问题的基础。2 0 世纪6 0 年代后期，人们注意到同一类的l m i 可以通过解a r e 求解。2 0 世纪8 0 年代，人们认识到通过计算机这一工具，许多的l m i 都可以通过凸规划来求解。2 0 世纪9 0 年代，用于求解l m i 的内点法得到不断发展【3 1 】 近十年来，线性矩阵不等式( l m i ) 被广泛用来解决系统控制中的一些问题。随着解决 线性矩阵不等式的内点法的提出，针对l m i 问题的内点法己经被应用于控制理论中所 产生的各种特定的l m i 问题，线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们的注意和重视， 并被应用到系统和控制的各个领域中。许多控制问题可以转化为一个线性矩阵不等式系 统的可行性问题，或者是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题。由于有了求解凸 优化问题的内点法，使得这些问题可以得到有效的解决。1 9 9 5 年，m a t l a b 推出了求解 线性矩阵不等式问题的l m i 工具箱，从而使得人们能够更加方便和有效地来处理。求 解线性矩阵不等式系统，进一步推动了线性矩阵不等式方法在系统和控制领域中的应 用。现在利用线性矩阵不等式来解决系统与控制问题己成为控制领域中的一大热点。 1 4 本文的主要内容 本文主要是针对离散t - s 模糊系统，根据分段l y 印u i l o v 阎函数和模糊交换系统【3 3 】 得出一种新的离散t - s 模糊系统模型稳定的条件。首先，将可行性状态空间分成几个 子空间；其次，根据分段l y a p u n o v 方程将t - s 模糊系统相应的子系统转变成等价的 模糊交换系统；最后，在得到的模糊交换系统基础上，得到原系统的稳定性条件并给 出一种控制器设计方法，并通过计算机仿真实验验证了所提方法的有效性。 本文的主要内容如下： ( 1 ) 综述了模糊控制的产生、发展、现状及t - s 模糊控制、模糊控制系统的稳定 性分析方法和模糊控制器的设计方法；给出了t - s 模糊系统模型的构建方法，并给出了 部分全局l y a p 帅o v 稳定性分析理论。根据分段l y 印u n o v 函数，将t - s 模糊系统相应的 子系统转变成等价的模糊交换系统，并给出了分解实例； ( 2 ) 基于离散t s 分段模糊交换系统模型，给出了一种系统稳定性分析方法以及 状态反馈控制器的设计方法，通过m a t l a b 数值仿真实例说明了本文方法较现有的稳定 性判断方法的优越性。对全文进行了总结和展望，指出了模糊控制系统的理论研究和应 东北大学硕士学位论丈 第1 章绪论 用所存在的问题，并对下一步研究工作进行了简述。 1 0 东北大学硕士学位论文 第2 章模糊控制系统描述 第2 章模糊控制系统的描述 2 1 基本概念 2 1 1 模糊集合 定义2 1 设给定论域为u ，u 到闭区间【0 ，1 】上的一个映射。( “) 一( “) ：u 争【o ，1 】，“争一( 甜)( 2 1 ) 确定u 上的一个模糊集，爿 ) 称为“对于彳的隶属度。 定义2 2 支撑点、核和模糊单点集：模糊集胁( 甜) 的支撑点是所有的z f u 中满足 以 ) 0 的那些点组成的清晰集。模糊集儿 ) 的核是甜u 中使得心 ) 取得最大值的 点。如果模糊集合心 ) 的支撑集在u 上有且有一个点，则就称彳为模糊单点集。 定义2 3 设u 和矿是两个论域，模糊关系r 是积空间u 矿上的一个模糊集合，即 当“u ，v y 时，r 的隶属函数为r ( ”，) 。 2 1 2 模糊运算 定义2 4 丁范数和二范数：由| c 表示的r 范数是从【0 ，1 】【o ，1 】到 0 ，1 】上的二元运算， 它包括了模糊交、代数乘、有界乘和直积，定义如下： x j ，2 m i n x ，y ) 砂 m _ ，x + 一1 ( 2 2 ) x 矿y = 1 、 y 矿x = l o 圹o x ，y 。 亿 is ( z ) 7 r ( x ) i r 7 对于二次非线性矩阵不等式可以通过s c h l l r 补引理转化为l m i ，从而推广了l m i 存摔制理诊研究中的应用范闱。 2 4 4 二次稳定 如果存在矩阵k 和正定矩阵p ，若 q ，= ( 爿，一b ，f ) 7 尸( 彳，一e f ) 一p ，f = 1 ，2 ， g = ( 型掣归( 型掣，f o ，则模糊控制器 材( 七) = 一囊( x 妒x ( 尼) f - l 使得闭环系统x ( 后+ 1 ) = 办， ) 一似。一b 。c ) x ( 尼) 是二次稳定的。 1 7 - ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 东北大学硕士学位论文 第2 章模糊控制系统描述 证明：构造l y a p u i l o v 函数为：y ( x ( 七) ) = x r ( 七) ( 七) ，则有 矿( x ) = y ( x ( 后+ 1 ) ) 一y ( x ( 七) ) = x 7 ( 尼+ 1 ) 尸x ( 七+ 1 ) 一x7 ( 七) 尸：x ( 七) r r = 曩( x ) ( 彳i x ) + b 。“ ) ) ) 丁p 忽( x ) ( 4 x ) + e “ ) ) ) 一x r ( 七) ( 后) 口l p l ：主办，( x ) x ， ) ( 4 。一b 。) r 尸 窆厅。( x ) 0 ，一e ) 一尸) x ( 后) ：窆圭向，( x 地( x ) x r ) ( ( 彳。一b 。户p 0 ，一e c ) 一尸) x ( 七) ：主力? ( x 弦7 。g ) ( ( 4 ，一b 。) 7 1 尸( 彳。一e ) 一p x ) + 2 喜考向。( x ) 办，( x ) x7 ( 七) ( ( 二生二二! 三兰二) 7 1 尸( 二生二二! 至! 二掣) 一p ) x ( 七) = “( z ( 七) 鹚( z ( 七) ) x 7 ( 七) gx ( 七) = ：纂： 7 兰! ；兰 二：黧 一口 二 篓 7 1 ：篓 = 一口y ( 忌) x ( 七) j = i = 一o x ( 七) rx ( 七) 注2 1 ：系统二次稳定性条件的提出，降低了寻找公共的正定矩阵尸的保守性。 1 8 - m e n x ( 七+ 1 ) = 彳，x ) + e “( 七) ，f = 1 ，2 ，( 3 1 ) 其中x = g 。，x ：，x 。) r 尺”，“r ( 七) = ( | | ) ，甜：( 七) ，“p ( 七) 】r p ，m 。( = 1 ，2 ，刀) 是模 糊集合，r 代表第f 条规则彳，尺“”，e r “p ，4 ，墨为常数矩阵。给定一组 ( x ( 七) ，“( 七) ) ，由这，条规则构成t - s 模糊模型，通过中心平均反模糊化、乘积推理和单