（理论物理专业论文）多分散气溶胶粒子在远场的动力行为.pdf

ab s tr a c t ab s t r a c t d y n a m i c b e h a v i o r s o f a e r o s o l p a rt i c l e s i n a d i l u t e p o l y d i s p e r s e s y s t e m w e r e c o n s i d e r e d i n t h e f a r f i e l d . f i r s t l y , t h e d i s s e r t a t i o n s u m m a r iz e d t h e f a r - f i e l d a n a l 西c a l s o l u t i o n s o f t h e e q u a t i o n f o r t h e p a i r - d i s t ri b u t i o n f u n c t i o n a t d i ff e re n t p e c l e t n u m b e r s . s e c o n d l y , f o r m o re a c c u r a t e s o l u t i o n s , t h e n o n - d i m e n s i o n a l q u a n t i t i e s o f t h e e q u a t i o n f o r t h e p a i r - d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o b t a i n e d b y b a t c h e l o r a n d w e n w a s p e r f o r me d a n d c o m p l e t e l y e x p a n d e d 妙 t h e a l g o ri t h m f o r d i v e r g e n c e a n d g r a d i e n t i n t h e f a r fi e l d . w e f o u n d o u t t h e m i s t a k e n s e c t i o n o f z i n c h e n k o s p a p e r 1 9 1 . w ith t h e s te a d y s ta te , r e d u c i n g th e e q u a tio n f o r th e p a ir -d i st ri b u t io n f u n c t i o n i n t h e r a n g e o f t h e mi n u s f o u r t h p o w e r o f t h e m a g n i t u d e s o f t h e d i m e n s i o n l e s s c e n t r e - t o - c e n t r e v e c t o r , a n a l y z i n g t h e f o r m o f s e c o n d - o r d e r a n d t h i r d - o r d e r e x p re s s i o n o f t h e p a i r - d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n , w e o b t a i n e d t h e n e w a n a l y t i c s o l u t i o n s . l a s t l y , t h e e v e ry t e r n o f n e w s o l u t i o n s w e re s t u d i e d i n d e t a i l , s y n c h r o n o u s l y , c o m p a r i s o n o f t h e n e w s o l u t i o n s a n d t h e f o r m e r s o l u t i o n s a t d i ff e re n t p e c l e t n u m b e r s h a s s h o w n t h a t t h e n e w s o l u t i o n s i s c o m p l e t e l y c o n fi r m e d b y t h e i s o t r o p i c s o l u t i o n w h e n t h e p o l a r a n g l e e q u a l s t o z e r o ， k e y w o r d : a e r o s o l p a rt i c l e , k n u d s e n n u m b e r , e q u a t i o n f o r t h e p a ir - d i s t ri b u t i o n f u n c t i o n , p b c l e t n u m b e r , c o a g u l a t i o n r a t e 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、 保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子 版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版， 并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 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( 2 )四周 介质的 作用力， 包括两部 分: 流体作为连续介 质所形成的 流体动力， 以 及构成流体之个别分子对粒子无规律撞击的热动力; ( 3 )粒 子间 相互作用的势力， 如v a n d e r w a a l s 分子引 力、 库仑 静电 势力等。 气溶胶力学是研究在这些力的作用下，气溶胶的各种力学现象。其研究的 内容有:气溶胶粒子的各种力学问题;气溶胶体系的各种力学问题;粒子谱演 变 的 动 力 学。 其 中 第 一 部 分 构 成 气 溶 胶 力 学 的 主 要内 容 。 1 9 6 0 年 (, )y kc 1 2 在这 方面做了一个比较完整的总结。但并不包括上面指出的第二部分与第三部分， 更确切地说，它 应该叫气溶胶 粒子动力学。气溶胶粒子的 力学 行为，如 果从基 本过 程方 面考虑可分为三 类【 3 1 : ( 1 ) 粒子的 重力作用下的 沉降 过 程:( 2 ) 粒子 与粒子之间在三种力联合作用下的碰并过程:( 3 )粒子上的传质与传热过程。 粒子的沉降问题与 碰并问 题的 理论研究，有很大的应用价值， 在很多工 程中 有 广 泛的应 用背景， 近年来的 研究工 作对这两 种过程取 得了 很大的 进展。 在研究气溶胶粒子的力学现象时，我们引入了 k n u d s e n数。所谓 k n u d s e n 数 ， 二 是 介 质 分 ， 自 由 程 、 与 粒 子 半 径 。 。 值 一 ， 。 一二 普 一 。 源 。 麦物理学 家 m a r t i n k n u d s e n 的名 字，他是 从试验的 角度来 研究气体的分子自 由 程与其中悬浮的粒子大小关系的。由k n u d s e n数把介质的分成以下四类: 1 . ) k n 0 . 0 1 , p o u i s e v i l l e s 定 律完全 成立， 介质可以 看成连 续介 质( c o n t i n u u m ) ; 第一章 绪论 ii .) 0 .0 1 k n 0 . 1 ， p o u is e v il le s 定律 有 一 些 误 差， 连续 假设 ( c o n tin u u m a s s u m p tio n ) 仍 然 有 效 ， 但 是 要 有 滑 动 存 在( s lip - fl o w) ; i i i .) 0 . 1 k n 3 ， 被 成 为自 由 分 子 ( fr e e - m o le c u l a r ) 体 系。 当气溶胶 粒子的 半径大于空气分子自 由 层时， 介质体 系可以 用连续 介质近 似， 粒子 在介质中 运动服从流 体动力学规律， 本文 涉及的 低 k n u d s e n数就 是指 这种情况;反 之， 粒子半径接近或小于空气分 子自由 层时， 介质体系只能 采用 分子 体 系 近 似 . 在 分 子 体 系中 胶 体 粒 子 运 动 有 两 个 特点 14 1 ， 一是 ， 单 个 粒 子 所 受 的阻 力， 应该由 分子动力学的 m i l l i k a n公式 描述， 不再像连续介质中 的 s t o k e s 阻力公式 那样， 与粒子半径成正比 ，而是与 粒子半径平方成正比;二是， 它们 不会在介质中 产生扰动 流场， 也不会改 变介质的 分子运动的m a x w e l l 分布 特征。 因此，粒子对在分子体系中运动时，它们之间不会有流体动力相互作用，也不 会有分子动力 学的相互 作用。 在气溶胶研究过程中，我们通常把气溶胶分成单分散体系和多分散体系。单 分散体系是指所有胶体粒子的大小与密度完全相同;而多分散体系是指粒子的 大小和密度都不相同。单分散体系的气溶胶在自然界中比较少见，绝大多数是 多分散的。 第二节对分布方 程的 研究现状 气溶 胶粒子 沉降的 研究需要我们求 解反映 粒子群的统计分布问题， 在稀释 体系中则是求解双粒子相互作用下粒子统计分布即对分布函数问题。b a t c h e l o r 在1 9 8 2 年 1 5 1 使 用统 计描述法建立了 完整 的双 球对分布方 程即双 球概率方程。 之 后， b a t c h e l o r 和w e n 1 6 ,7 1 求出了 各种条件 下的 对 分布函数的严格 渐进解。 自 此以 后，很多学者都对方程进行了研究和求解。 对分布方程是一个二阶的、线性的、时空四维的偏微分方程。方程虽是线 第一章 绪论 性的，但是很难求其严格渐进解析解。因为它的三个输送项的系数，在双球间 的流体动力相互作用下， 都不 是常数，而 和 球距i 球的 距离和方位有关. 所以 它们是三个己 知的非均 匀场。 求解以非均匀 场为 系数的 线性二阶偏微分方程， 它的难度 其实 和求解非 线性的 二阶偏微分方 程相同1 9 1 . 对这种类 似于薪性流体 力学中的纳维一斯托克 斯方程的 对分布方程， 我们有两种处理方法，首先是各 种近似法，主要是流体力学中常用的微扰方法，包括奇异扰动法和规则扰动法; 其次是利用现代计算机技术，使用不同的算法对方程进行数值计算。依靠物理 思想去进行各种近似求得问 题的解析解，会使人们对问题中的物理图像有个清 晰、 深刻的 认识。 而求数 值解得方 法， 常不能 给人以 清晰的物 理图 像。 w e n 和b a tc h e lo r( 6 在1 9 8 2 年， 成 功 地 求 出 了 高p e 数 下 ， 忽 略 掉 弱 布 朗 运 动以后，粒子统计对分布方程的解析解。这是个一级近似解，它不能适用于整 个空间， 而只适合与双 球边界 层外的空间。 之后， w e n 和 b a t c h e l o r 又利用q, 变 换以 及m l b方法 ( 一种把偏 微分方程转变为 常微 分方 程的 方法) 求出了 边界层 内的对分布方程的解析解。1 9 8 5年以来，南开大学的温景篙教授和他的学生在 国家自然科学基金的支持下，陆续地完成了以 下研究成果:第一，在p e 数小于 1 情况下， 弱重力 和强 布朗祸 合碰并;第二， 在p e 数大于 1 的情况下， 强重力 和弱布朗 祸合碰并;第 三， 中p e 数的 情况 下，重 力作用和布朗 作用两者相当时 的 祸 合 碰 并。 z in c h e n k o ,a .z .和 d a v is ,r h . 1 9 牲 1 9 9 4 年 用 求 解 数 值 解的 方 法 求 解了对分 布方程，并得 到了 液 滴的重力与布朗 祸合碰并率随p e 数变化的 完整图 像。液滴 在粘性系数p 趋于很 大时，与我们 研究的硬粒子情况相同.南开大学 的张连众 副教授等人 ( 2 0 0 0 年一2 0 0 4 年) 研究了 高k n u d s e n 数 下气溶胶粒子的 碰 并 行 为 ， 并 求 出了 各 种 p e 数 情 况 下的 对 分 布 方 程的 解 1 0 ,11 ,12 1 。 王 浩 和 温 景 离 在 多分 散低p 6 c l e t 数稳 定具 势系统中 粒子的 沉降( 1 3 1 一文中， 对对分布方程 进行了有 益的展开 ( 附录a ) 。 他们考虑到问 题的 本身 对b 轴 ( 重力加速度方向) 的轴 对称性质， 把对分布函 数用l e g e n d r e 多项 式为基展开再 代入原方程来 进行 第一章 绪论 研 究， 并 求 得 了n 阶l e g e n d re 多 项 式 的 系 数 r , ( s ) 的 递 推 公 式 z in c h e n k 。 和 d a v i s ( 1 9 9 4 ) 19 1 也 用同 样的方法对对分布 方程进 行了 展开. 然而与王浩等不同 的是， z i n c h e n k o 他 们把展 式进行了 一系列复 杂的复 数变换， 利用数值计算的方 法求出方程的数字解图，同时在无流体相互作用及无势力下求解了方程的解析 解，并把此解析解与数字解进行了比较。 第三节现存的研究不足及本文的工作 气溶 胶粒子的 沉降问 题是胶体科 学中的 一个经典问 题， 具有广泛的 应用价 值及丰富的理论课题。在多粒子共存条件下，某一粒子的沉降速度与其它粒子 空间构形 有关，空间构 形不同 则该粒 子沉降 速度不同，问 题归结为求取 整个体 系的平均沉降问题，在平均过程中一般遇到以下两个基本困难: ( 1 ) 发 散 ， 由 于s to k e s 流 场的r - i 慢 衰 减 使 积 分 不 是 绝 对收 敛的 。 ( 2 ) 粒子的 统计分布， 对分 布方程的 求解. 第一个困难， 在单分散体系中，由b a t c h e l o r 在 1 9 7 2 年所解决;在多分散体 系中，是由b a t c h e l 。 和温景篙在 1 9 8 2 年所解决。而第二个困难，就是上节讨论 的对分布方程的解。虽然求解对分布方程获得了很大的突破，但是，我们一般 通过在稳态下忽略方程中某一项或两项输送项来简化方程，求得在某特殊条件 下的 符合物理事实的 渐进解; 或者把方 程中 的某 一输送 项当 成扰动项，以p 6 c l e t 数的一次方或p e c l e t 数的倒数的一次方作为微扰参数对方程进行展开， 从而逐级 求得方程得解析解。 上述各种求解方法始终无法 显示三种输 送同 时存在时的完 整物理图像。 一 本文的 主要内 容有“第一章绪论叙述了 气溶 胶的一些基 本知识， 介绍了 对 分 布方 程的 研究成果和现状以 及现存研究工作的 不足;第二章引入了 对分布方 程，并 作了 初步处理， 阐述了 气溶胶的各种动力 学参数和相关的物理量;第三 章分别阐述了不同p e c l e t 数条件下对分布方程的远场解析解; 第四章对对分布方 第一章 绪论 程在远场做了完整地展开，指出了 函数的二阶和三阶解析解。之后， 上的阐述:第五章是结论和展望。 论文中的 错 误， 并求得远场 对分布 对对分布函数的各阶解析解进行了物理意义 第二 章 基本理 论 第二章 基本理论 第一节 低k n u d s e n 数下的粒子 对的动力 参数 2 . 1 . 1刚性球孤粒子在无界空间中运动时受到的s t o k e s 阻力 一 个刚 性球在 无界静止流 体中 作低 r e 数定 常的 平移运动， 它在流体中 所产 生的 扰动流场分 布， 最早由s t o k e s 在 1 8 5 1 年求出 ， 亦名为s t o k e s 流。由 该 流场在 球上所产生的阻力，叫 s t o k e s阻力。这是在流体力学中为数不多的可以 求出其 严格渐进解的例子。 对坐标系的自 然 选择， 是使球极坐标系坐 标原点与球心 相吻合，在 无穷远 处的流场相对于该坐标系静止;在不可压缩流体的轴对称流场中有流函数 if 存 在，它和扰动流场关系由下式给出: _ . _ 1 a yl_ . _ 一 1 a w。， ， 、 u _ = 二 2 二 u , . = - - - 二 - 二 二 ( 2 . 1 . 1 ) r s i n b 0b，r s in b o r 由普遍内边界条件可知: u ,= u e=u co s b , 飞 - u s i n u , j ( r = a ) ( 2 . 1 . 2 ) 4 i 对 b 的依 赖关系， 必须仅仅是与s i 矿( 的成正比。 可以写成 w 二 u si n g 扑)( 2 . 1 . 3 ) 对于流函数取( 2 . 1 . 3 ) 式形状的流场，可以分解为径向分量与横向分量的和: 琴 = u - ( 2f ) , 1- :a 气 i df )x r2 j ( xi ) r w ) 一 ( 2 . 1 . 4 ) 求解流函 数 梦 中的待 定系数人 r ) t ( r 、 一 工 c r + l r “ 十 m r 2 2 ( 2 . 1 . 5 ) 第二章 基本理论 这里的c , l , m均为积 分常 数。 由 无穷远处边界 条件知m应为零。 由内 边界条件 可得 = 告 a 3 一 合 c a 以 及 “ 一 号 ( 2 . 1 .6 ) 这 样把c, l 代入到 ( 2 . 1 . 5 ) 式， 得到s t o k e s 流函数 * 一 w sw b r a ， 一 1 a 3a 4r 4r - j ( 2 . 1 乃 以及 s t o k e s 流场 _ . ( 3 a 1 a 3 ) x . u ( 3 a 3 a 3 ) u = 川丁 一 十 丁 3 i + x z i - - _ - 3 i 、 ，r 4r j r 4r，r ( 2 . 1 . 8 ) 物体在 流体中 运动所受到的 阻力， 乃是扰动流场在该 物体表面应力的总 和， 由 两部分组成， 第一部分是 未被扰动时 流体的 静压力， 第二部分来自 球运动时 扰动场中的动压力与粘应力之和。 f = 6 ) r a i u ( 2 . 1 . 9 ) 这就是著名的s t o k e s 阻力定律. 我们要处理的 气溶胶粒子 是1 0 -9 -1 0 -4 m 的 量级，粒 子的 惯性力 与介质 阻力相比 是小量，用流体力学的语言说就是 s t o k e s n u m b e r 远远小于 1 ，因而可 以 忽略粒 子惯性力， 在重力 场中 可以 认 为重力与阻力 二者大小相等， 方向 相反， 合力使粒 子平衡， 将重力f c = m 8 代入( 2 . 1 . 9 ) ，即 可以 得到粒 子平衡速度: v g 2( p r - p v8 9 ,u ( 2 . 1 . 1 0 ) 其 中p r 为 孤 粒 子 密度 ， 一 r为 介质 密 度 该 孤 粒 子 在 一 单 位 定 常 外力 作 用 下 所 获得的平衡速度被称该孤粒子的粒子迁移率。则得到粒子的迁移率为: b c 一 牛 o叼 a ( 2 . 1 . 1 1 ) 第二章 基本理论 2 . 1 . 2双球迁移率函数 流体 力学中， 孤粒子 s t o k e s 阻 力， 实际 上可视为 双球 相距无穷远时， 彼此 流体动力 相互作用已 忽略的 极限情况， 这类情 况可以 求出阻 力的解析解。当双 球靠得相当 近， 以 致它们之间归 一化无量纲间 距 分0 时， 结 果表明 它也可以 求 出严格的渐进展开，其中奇异项系数均可表为已知的解析函数。在纵向运动中， s t o k e s 阻 力 订 正 因 子 中 的 奇 异 项 为 e 1 ， 它 的 系 数 为 a 2 ( 1 十 a ) . 在 横 向 运 动 中 ， 相 应 的 奇 异 项 为 n e ， 它 的 系 数 为4 ( 2 + a + 2 a 2 ) / 1 5 ( 1 + a ) 对 动 球 ， ， 或 者 - 4 a ( 2 十 + 2 a 2 ) 1 1 5 ( 1 十 布( 对 静 球 ， 这 里 “ 是 两 球 半 径 比二 是 以 球 a 半 径 。 归一化的无量纲间距，即 b 元 二 一 口 二 _ 兰 ( 2 . 1 . 1 2 ) 上式b 为球b的半径， d 为两 球的球 面距离。 这 种简单的结 果是由于 双球靠 得很近时，润滑膜阻起了决定作用，显然对于一般情况，问题就要复杂得多。 由于距离不是太大，双球间流体动力相互作用不可忽略，又由于距离不是太近， 润滑膜没有形成。一般而言，这类解只能表示为一个无穷级数，级数中每一项 的系数都不能表为已知的解析函数，而只可通过数值计算决定。 气胶体 力学与低r e 数 流体力学的着眼点 不同。 前 者的 着眼点 在于， 粒子在 一定的外力 ( 也包括势力与布朗热动力) 作 用下， 它将如何 运动。在这个问 题 中一个基本物理量是粒子的迁移率，它被定义为粒子在一单位定常外力作用下 所获取的 平衡速度。但在流体力学中问题的 提法是相反的，即以一定常速度运 动的粒子，它所受到的来自介质的阻力有多大。介质对粒子的阻力与粒子对介 质的作用力 大小相等卜 一 方 向相 反， 一 但是阻力 与粒子所受外力 之间只有在平衡条 件下才会大小相等、方向相反。虽然如此，由于我们所考虑的粒子尺度很小， 粒子自 身 的惯性可以 忽略，所以 介质阻力与 粒子所受外力总是近似处于平衡。 此时， 粒子的迁移率就是它在 任何一种单位 外力作用下得到的 速度。对于稀释 系统里的双球问题，粒子在绝大多数情况下不受外力偶影响，所以它只会作平 第二章 基本理论 移 运 动 假 设 被 考 察 粒 子i 受 到 外 力f , 的 作 用 ， 其附 近 另 一 粒 子.1 受 到 外 力巧的 作用，那么他们的速度可以表示为 u , = f - ( b- f + b 12 f j ) 鱿= v 1 (b 2 , - f , + b 22 f j ) ( 2 . 1 . 1 3 ) 这里a n , b 1 2 , b 2 r 和b 2 2 是与 平移速度相 关的 四个 迁移率 张量， 它们是 二阶的。 不过每一 个张量的 九个分量并 不是彼此孤立的，而 是至多 可以由 两个无量纲标 量函数表示出: 1 r .， _ . 。 u = 3 7! ( a _ t a , ) i a 09 万十 - ,6 v 一 尸! 、“j j ，- ( 2 . 1 . 1 4 ) 其中: a .# 一 球fl 受 纵向 外 力 对 球“ 产 生 的 纵 向 无 量 纲 平 动 速 度， 称为 双 球 在低 r e y n o l d s 数粘性 流中 运动时的 纵向 迁移率标量函 数 3 . 1 4 , 1 5 1 b .ft 一 球, 受 横向 外 力 对 球“ 产 生 的 横向 无 量 纲 转 动 速 度， 称为 双球 在低 r e y n o l d s 数粘性 流中 运动时的 横向 迁移率标量函 数。 在 双 球 之 间 大 部 分 区 域 即 中 场 情 况 下 ， 与、 与可 以 由 j e ff e ry 和 。 n is h i( 1 9 8 4 ) 11 6 1 提供的 计算机子 程序计算。 在粒子表面附近即近场或粒 子相距甚远的远场则 需 由 各自 的 渐 进 展 开 计算. 令歹 为 无 量 纲 间 隙 ， 表 示为 f = 2 d / ( a , + a 2， 在 0 的 情况，g 和h的 渐进展式为: 。 _ (1+ . 2 + o ( 2in ) 。 = h o (a) + h - h o (a )e, (a.)in- ( 2 . 1 . 3 4 ) 上式中g的表 达式说明， 低k n u d s e n 数条 件下粒子b ro w . 热运动的扩散 纵向 标 量函 数 虽 然 为 一 函 数， 但 该 函 数 随 着 粒 子 间 隙 趋 于 零 而 趋 于 零 但是h ( 2 ,劝不 为 零， 当两球 接触时， 球2 中 心仍可 绕球1 中 心 作转动。 把流体力学引入b ro w n 热运动研究， 我 们认识到双球 相对b r o w . 扩散 系数不 是常数而与双球构形有关。 特别是当双球即将接触的时刻，由于润滑膜阻的限制作用，将使其纵向 b r o w n 扩散衰减为零。只有在两球相距十分远时，相对 b r o w n 扩散系数保持为常数。 第二节 对分布方程的引 入和初步处理 2 . 2 . 1引言 气溶胶粒子体系是=个多粒子体系， _ 因 此， _ 气溶胶粒子的沉降、碰并等力学 现象在大多数情况中 是多粒 子相互作用下 产生的 力 学现象。 在绪论里我们讲过， 粒子要受 到三方面的力作用，多粒子在这些力 作用下的力学现象， 研究起来 是 个很困 难的问 题， 作为研究的第一步，当体系 为极端稀释时 ，把体系的粒子 相 互作用简化为一个孤粒子的力学问题是容许的。但是随着体系的浓度增加，即 第二章 基 本理论 一般的 稀释体系， 粒子间的 流体动力 相互作用出 现，它是个长程力，我们不再 可以忽略粒子间的相互作用。所以研究双粒子及多粒子的相互作用是必须的。 因 为三粒 子及多 于三粒子的情况比 较复 杂，我 们先从双粒子着手。 在双粒子体系中，我们必须考虑 布朗 运动。由 于布朗运动引 起的粒子间的 相对位置和相对取向均是随机变量，原则上我们应该使用统计方法来处理，来 建立相应的概率方程。 在稀 释 ( 但非极端稀释) 体系中， 一个粒子附 近同时出 现两 个粒子的 概率 相对于只出 现一个粒子的概率是高阶 小量，因 此可以 只考虑粒子对之间的 作用 而 略 去 第 三 个 粒 子的 影 响。 取 体 系 中 半 径 分 别 为a 1 和o f 的 两 个 粒 子 为 研究 对 象， 那么体系的微 观结构可由 1 粒子中 心相 对于1 粒子中 心距离为r 处出现的 概率密 度， 即 对 分 布函 数p g 来 描 述。 对 分 布函 数 的 局 地 变 化由 双 球 相 对 重 力 对流 输 送、 相对布朗 输送和粒子间势力输送 造成.我 们拟首先分析这三种输送作用，然后 给出 决定 对分布函数的微分方程 对 分布方程。 下 图2 . 1 为 半 径 分 别 为a a 2 的 两 个 粒 子 相 对 运 动时 取的 坐 标 系 。 图2 . 1 半 径分 别 为 aa 的 双 球 相 对 运 动 坐 标 系 示 意图 第二章 基本理论 2 . 2 . 2双球相对重力对流输送 粒子 对在外 力即 重力作用下， 会产生输送作 用。 所以 双球相对重力对流通 量( v l,p y ) 是由 粒 子 重 力 沉 降 引 起 的 . 考 虑了 流 体 动 力 相互 作 用 的 重 力 相 对 对 流 速 度v y 可以 表 示为 v y - v i 一 v ,.(2 .2 .1 ) 把式 ( 2 . 1 .9 ) 代 入式 ( 2 . 1 . 1 3 )， 注意到所 有速度 矢量均为重 力方向 或者相 反，我们可以得到: v = f u - ( b y - 6 ) rp a j 刁 . + b , . 6 )rp a ;v ,(o ) ) (2 .2 .2 ) 凡 = p - 1 ( b i i * 6 z a a ;v ,( 0) + b .a * 6 ; rli a j 刁 。 ， )(2 .2 .3 ) 其 中 刁 01刁 0) 分 别 为 由 式 (2 .1 .10 ) 式 求 得 的 ， 、 ， 粒 子 在 重 力 场 中 的 孤 粒子重力平衡末速。 把式 ( 2 . 2 .2 ) 和式 ( 2 . 2 . 3 ) 代入 式 ( 2 . 2 . 1 ) 得到: v . _ 二_ _ 了 _ 二 、 1 长 务 ; = e , - 谧 l ( s ) - - + m( s ) 1 i 一 二 于1 卜2 .2 .4 玲 u， t”r”戈 r 把两个粒子看成孤粒子，即二者之间没有任何作用的双粒子的孤粒子重力 末速之差为: v n(o) 一 v , ) e . 一 i a z , 一 1 ) - u ,(0 1 (2 .2 .5 ) 上 式 中 ， 为 j 、 1 粒 子 的 半 径 比 五， 其 中 a j 和a , 分 别 表 示 j , 1 粒 子 的 半 径 : y 为 a , i 粒 子 与 介 质 的 密 度 差 之 比 旦 二 三 ，其 中 p ， 和 p ， 分 别 为 j , i 粒 子 的 密 度 ， p 为 两 = p 介 质 的 密 度 ; v (o， 是 v (” 的 代 表 性 速 率 ， u (o ， 是 粒 子 处 在 孤 粒 子 状 态 时 的 重 力 末 速 式( 2 . 2 . 4 ) 中 以s ) 和m ( s ) 分 别 为 重 力 相 对 对 流 速 度 中 的 纵 向 和 横向 标量函数: 第二章 基本理论 l ( s ) = r 2 y a ， 一 a ;2 ( 1 一 a y ) a # a 2 y 一 1( 1 + a x a 2 y 一 1 ) ( 2 .2 .6 ) . 1 2 y b 二 一 b : : m ( s ) =一 .二 ， 竺 - - - - 二 二 + ay一 1 2 ( 1 一 a y ) 凡 ( 1 + a x a y 一 1 ) ( 2 .2 .乃 将 迁 移 率 函 数 -4 .# - b o 的 近 场 展 开 式(2 . 1 . 巧 ) 、 ( 2 . 2 . 7 ) ， 我们得到l ( s ) 和h ( s ) 的 近场渐进 展开: l = h + l 1 z ln + l ,g 2 + o ( (i n )2) , ( 1 ( 2 . 1 . 1 6 ) 代入式 ( 2 . 2 . 6 ) 和 ( 2 .2 . 8 ) m = mn十 斌in 歹 一 ， + 从 + e , in 犷 ， + + o ( ( in g ) ,(; ，) ( 2 . 2 . 9 ) ，一几丫夕 厂，-杏 in-in 我 们看到， 作为 重力相 对对流速度的纵向 标量函 数的 l ( s ) 在近场以 正比 于f 的 形 式 趋于零， 它反映了 两 个粒子 极端靠近时流体 介质对粒子运动形 成的 所谓 “ 润滑 膜阻” 作用。 在液体介质中，介质密度p相对粒子的密度不可忽略. 而在气体介 质中，p由 于比粒子密度 相差三个数量级 左右， 因此可以 忽略， 此条件下 可以 认为: p; y = a ( 2 . 2 . 1 0 ) 2 . 2 . 3 b r o w n 扩散输运 气溶胶粒子的b r o w ”运动，是其基本特性之一。在 a i t k e n 核和大核范围内， b r o w n 运动所导 致的 粒子输 送不能忽略 b r o ”运动是由英国 植物学 家b r o w n 在 1 8 2 7 年 发现的 ，它是 悬浮粒子的 基本特性之 一。 物理学家e i n s t e i n 在 1 9 0 5 年 的工作奠定了b r o w n 运动的理论基础。进入 7 0 年代以后，以b a t c h e l o r 为代表 的一批流体力学家进入了这一领域，统计力学开始与流体力学相结合，由此又 第二章 基本理 论 产生了许多 新的 认识与 结果。 b r o w n 运动向 悬浮粒子 的运动中引 入了随 机性。 虽 然布朗运动是无规的，但当粒子非均匀分布时，这种无规的运动会产生定向的 通 量 流 一 帆叭) ， 它 由 i , j 粒 子 间 的 相 对 b r 二扩 散 系 数 张 量d , 和 ? p u 决 定。 根据 孤粒子布朗输 送理论， 我们可以 推广的 双球情况。 通过推导， 获得 球j 相对于球i 的相对扩散通量为 ( u , 一 u ; ) p ( x , x , ) = - k t p ( b , + b 。 一 b ， 一 b , ) -0 ( n ,- j p , ) = 一 州r).v( 叭动 ( 2 .2 . 1 1 ) 把b a e 的 表 达 式 (2 . 1 . 1 4 ) 代 入 上 式 中 ， 可 求 得 双 球 相 对b r o w n 扩 散 系 数 张 量 为 。 = 、 )g (s)- + h (s1i一 z )il s l s ( 2 .2 . 1 2 ) 上 式 中 d ,(,0 ， 是 两 粒 子 相 距 非 常 远 时 的 相 对 布 朗 扩 散 系 数 : _ “ k t 1 1 、 刀之 一 声 =! 一 +一! 6 r rd l a , a , ( 2 .2 . 1 3 ) 其中 k 为b o l t z m a n n 常 数 ， t 为 绝 对 温度 。 g ( s ) 和h ( s ) 表 示纵向 和横 向 双 球 b r o w n 扩散系数张 量中 的各向同 性标量函 数 ， 分别 有表达式 g (s)= az a,+ a, 一 4aayi+a (1+ ay h (s)= azb + b, 一 4aby1+ a (1+ a) z ( 2 .2 . 1 4 ) ( 2 .2 . 1 5 ) 将 迁 移 率 函 数 肠、 气的 近 场 展 开 式 ( 2 . 1 . 1 5 ) , ( 2 . 2 : 1 5 ) 一，以打 和川习 的 近 场 渐 进展 式 分 别 为 g = g , + o ( i n ) ( 2 . 1 . 1 6 ) 代入式( 2 . 2 . 1 4 ) 和 ( 2 .2 . 1 6 ) 第二章 基本理论 h =h o ( i n - ) + h , ( a ) 场 - + h z (协 一 )， + 。 “ 一，+ 。 + 0 ( (1 n ) ( 2 .2 . 1 乃 2 . 2 . 4 势力 作用引 起的 对流 输送 粒子的势力存在时 ( 例如分子引力 势、静电引力或 斥力势) ， 也可以 使粒子 对 产 生 相 对 运 动 对 于 球 形 粒 子 ， 这 力 只 可 能 产 生 平 移 运 动 。 因 此 ， 从 我 们 对 b ,6 的 知 识 就 足 以 计 算 势 力 产 生的 效 果 。 设 两 个 球 形 粒 子 间 势 为 。 e ( r ) ，则作 用 在 球.1 上 的 力 为d ( r ) ，作 用 在 球i 上的 力 为。 ， ( 小 则 由 粒子 势 造 成 的 双 球相 对 运动 速 度v y : v 9, 一 u o 一 u 卜， ( 丐 + b 一 纬 一 叼 o (d r ( r ) = - p m . 种， (r ) 一般而言， 粒子势是分子引力势与静电势力之和。 ( 2 .2 . 1 8 ) 前者是使粒子产生、 合并， 从而使体系不稳定因素， 后者则由粒子荷电性质决定。 粒子间分子引力势由分子 的范德瓦引力决定。这力本是短程的， 子浓 度 为4 j 球i 上有 一 个 体 积 元么 ， 为r 则两体积间引力势为 假 定 在 球.% 上 有 一 个 体 积 元d r j ， 其中 分 其 中 分 子 浓 度 为4 , . 假 设 两 体 积 元 距 离 d 4dy = - 4 r 6 ( 2 . 2 . 1 9 ) 式中 系数a m 为范德瓦常数。 该力 作用程极短，它按r 7 衰减到零. 但是 h a m a k e r ( 1 9 3 7 ) e s它证 明 ， 这力 的 球 形 粒 子 的 积 分 效 应 却 可 改 变 其 作 用 规 律， 使 在近场成为长程力。这时 第二章 基本理论 a. q ， “ = - 1 6 丁 代一 气 不 二 一 二 二 了 十 甲 几 丁 ， 燕 了 一 丁 刃 - 下2 + 叹 s - 4 ) k 1 + a ) s k 1 + a )一 4 k 1 一 沁 ) ， !( s ， 一 4 ) ( l + a ) z i s - k 1 + a ) 一 r k 1 一 a ) 1 ( 2 . 2 . 2 0 ) 在远场引力虽仍与s 一成正比，但在近场当s - 42 时，上式可化为 (d y = - a兄 3 ( 1 + a f ( 2 .2 .2 1 ) 此时引力