（计算数学专业论文）一类非线性发展方程的有限体积元方法.pdf

摘要 本文针对一类具有广泛实际应用背景的非线性发展方程，运用有限体积 元方法进行了分析。具体内容如下： 1 文中第一章对一类一维非线性发展方程进行了考虑，给出一次全离散 有限体积元方法，并给出l 2 估计和日1 估计，最后用数值例子验证该方法的有 效性； 2 文中第二章考虑了一个更为复杂的一类二维非线性发展方程( 也称非线 性热传导方程) ，采用交替方向有限元方法的离散思想，给出了交替方向有 限体积元方法来求解，并进一步给出了两种计算格式。文中对这两种格式进 行了误差估计，结果表明格式按离散l 2 模具有二阶收敛精度。最后通过数值 例子说明了这两种格式的有效性 关键词：非线性发展方程，有限体积元，2 估计，日1 估计，交替方向 a b s t r a c t 1 1 1 i sp a p e rc o n s i d e r st h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d ( f v e m ) f o rac l a s so f n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n 1 1 圮m a i nw o r ko ft h ed i s s e r t a t i o n 啪b es u m n l a l i z e d a sf o l l o w s ： 1 c h a p t e rlg i v e saf u nd i s c r e t ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o df o rac l a s so f o n e d i m e n s i o n a ln o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o nw h i c hb a s e s0 1 1ap i e o e w i s el i n e a re l e m e n t s p a c e t h ee r r o re s t i m a t e si nl 2a n d 日1n o r m sa r eo b t a i n e d a tl a s t , an u m e r i c a l e x p e r i m e n td 蹦l o n s h a t g st h a tt h em e t h o d i sv e r ye f f e c t i v e 2 c h a p t e r2d e v e l o p st h ea l t e r n a t i n gd i r e c t i o nf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d f o rac l a s so ft w od i m e n s i o n a ln o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ( i e t h en o n l i n e a rh e a t t r a n s p o r t e q u a t i o n ) b y u s i n g t h e d i s c r e t i z i n g i d e a a b o u t a l t e r n a t i n g - d i r e c t i o n f e m a n d f u r t h e rg i v e st w ok i n d so f c o m p u t a t i o n a ls c h e m e s i ta l s oa n a l y z e st h es c h e m e sw h i c h h a v es e c o n do r d e rc o n v e r g e n c ea c c u r a c yw i t hr e s p e c tt od i s c r e t e 驴n o i u lf i n a l l y , r e s u l t so f n u m e r i c a lt e s t sa r eg i v e n k e y w o r d s n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n , f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d , l 2e r - r o te s t i m a t e ，- 1e r r o re s t i m a t e ，a l t e r n a t i n gd i r e c t i o n 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 引言 本文第一章考虑一维区域n = 【0 ，l 】上非线性发展方程的初边值问题 t 一a m a u = ，( 钍) 饥+ 9 ( t )( z ，t ) q f 0 ，司 i , = 毗= 0 ( z ，t ) o 1 【0 ，t i u ( z ，0 ) = 石( z ) t k ( 。，0 ) = 可( z ) z q ( o 0 1 a ) ( o 0 1 b ) ( o 0 1 c ) 其中砚表示q 的边界，万( z ) 和硒( z ) 为已知光滑函数。假定，( u ) 、g ( ) 关 于满足l i p s c h i t z 连续条件，乱w 2 , o 。，地，u u ，t 忱l a o ( 0 ，w 2 , 。) 。 非线性发展方程组( o 0 n 在力学、生物学等许多数学物理领域有着广泛 的应用。例如：非线性弹性杆中纵向形变波传播，弱非线性作用下空间变换 离子声波传播及神经传播等问题，具有深刻的物理背景【l 】，是一类重要的非 线性发展方程，因而得到广大数学工作者以及工程技术人员的普遍关注和重 视，有必要在理论及数值分析上做深入的研究 2 ，3 】。对于这样一类非线性发 展方程组，其解的存在性、唯一性和渐近性已有比较成熟的研究成果 4 ，5 】。 由于其解析解很难得到，因此有必要进行数值求解。然而，由于这类非线性 发展方程含有时间和空间变量的混合导数项，建立高效的差分方法有一定难 度，而有限元在实现上难度也大。如何得到高效的计算方法成为我们所关心 的问题。为此，我们尝试运用有限体积元方法对这一问题进行分析。在满足 工程实际精度要求的前提下，降低其计算的复杂度并节约计算工作量。对 于饥这样重要的物理量同时也得到误差估计，避免先计算u 再计算毗而造成二 次误差的积累。 有限体积元法又名广义差分法 6 】，是偏微分方程的一种新的数值离散 方法，由李荣华教授于1 9 8 1 年提出。有限体积元方法的具体作法( 以二维为 例1 大致概括如下：首先，对所考虑问题区域作三角形( 或四边形) 剖分， 在这个原剖分的基础上再对区域作对偶剖分( 这里的对偶剖分的做法有很多 种，可参见 6 】) ，使每个网格点周围有一个控制体积g 其次，选取试探函数 空间为相应于原剖分的有限元空间，由于不要求检验函数空间上的函数具有 整体连续性，故选取检验函数空间为相应于对偶剖分的分片低阶多项式空 i云 间，一般地选为分片常函数空间，两个空间自由度是相同的；第三，在每个 控制体积上进行积分，并利用格林公式，即可得到和有限元类似的变分形 式，由此得出一组离散方程进行求解。从以上的做法可看出有限体积元法有 这样一些优点：剖分灵活，适合处理不规则区域和自然边界条件；试探函数 空间和检验函数空间选取的不同，它的变分形式在本质上与有限元的有差 别，这样的构造简化了计算，计算工作量比有限差分法高，比有限元法低， 计算精度比有限差分法高，但比有限元方法低：在各剖分单元上保持质量守 恒，可构造高精度格式，它的收敛性分析也可以在有限元方法的框架中得 到。现在在很多实际计算和理论研究中有限体积元方法越来越受到人们的重 视。 本文第二章进一步考虑更为复杂的二维区域q = 【0 ，l 】【0 ，1 】上非线性发 展方程的初边值问题 d u u b a u , 一a u + a m = ，( 正，y ，t ，缸，t 缸)( $ ，t ) q 1 0 ，刁 ( 0 0 z a ) u ( z ，y ，t ) = t “( z ，可，t ) = 0( z ，t ) o q i o ，刁( 0 0 2 b ) u ( z ，y ，0 ) = 予( 。，y ) t 衄( z ，y ，0 ) = 万( ，y ) ( z ，可) q ( o 0 2 c ) 其中d 、b 、a 是正常数，且满足d a b 0 。假定这里的u w a ，”，地，v e t ，u u t l ”( 0 ，e w 2 ，”) ，关于u 满足l i p s c h i t z 连续条件。 这个二维问题的应用背景来源于薄膜中的热传导，这在微技术应用中非 常重要 1 0 ，1 1 】。例如微电子装置中的重要组成部分金属薄膜、电解质薄膜是 由像s i 0 2 或s t 这类半导体构成的。因此微电子装置在微尺度上会缩减，虽然 该缩减一方面提高了转换速度，但另一方面却提高了发热速率，导致微电子 装置上产生很高的热负荷。这个带有初边值条件的热传导方程的解析解很难 得到，需要找到一种稳定的有效的数值方法来求解，这在理论上和应用上都 具有非常重要的意义。 第二章采用了交替方向的有限体积元方法来求解这个方程。交替方向法 首先起源于差分方法 1 2 - 1 5 1 ，随后，交替方向有限元方法也得到了发展和应 用 1 6 - 1 9 1 。它是将高维问题转化为一系列的一维问题，减少了计算量，所得 格式绝对稳定，且易于并行实现。本文具体做法是首先和第一章一样得到问 题的有限体积元格式，再使用d o u g l a sj j r 和t d u p o n t 1 6 关于交替方向有限 元方法的离散思想j 将有限体积元格式写成张量积形式，由此可将有限体积 引古 元格式转化为一系列的一维问题，并采用了差分方法中的d o u g l a s 格式 1 5 1 ， 最终实现了交替方向求解。本章还进一步给出了两种具体的计算格式，它们 分别是基于双线性插值的离散格式和基于双二次插值的离散格式。 第1 章一炎一绀非线性发腱育程的仝离散角限体积儿方法 第1 章一类一维非线性发展方程的全离散有限体 积元方法 1 1 引言 本章对一类一维非线性发展方程进行了考虑，给出一次全离散有限体积 元方法，并给出三2 估计和日1 估计，最后用数值例子验证该方法的有效性。 1 2 一次全离散有限体积元格式 先对方程组( o 0 1 ) 进行化简，设口= u t ，则化为： 仇一 一a u = ，( u ) + g ( t ) ，t ) qx 【o ，刁 口= t “ ( z ，t ) q 【o ，刁 = 口= 0 ( z ，t ) a q x 【0 ，刁 t ( z ，0 ) = 孑( z )u ( 。，0 ) = 万( $ ) z q ( 1 2 1 a ) ( 1 2 1 b ) ( 1 2 1 c ) ( 1 2 1 d ) 与文献【6 】类似构造一次有限体积元格式。先构造方程组( 1 2 1 ) 的等价 变分问题：设u ，口嘲n 王产是方程组( 1 2 1 ) 的解。任取t ，1 磁，将移l 乘以 式( 1 2 1 a ) 的两边，然后在q 上积分，并由分部积分得： f 0 1 唧) 1 如+ z 1 丽o v 瓦o r l + z 1 象鲁如= z 1 ( ，( 缸扣+ 雪( u m - 出( 2 2 ) 则设口( t ，铆) = 0 1 瓦o v 瓦o v l , ，。( 钍，t ，) = 0 1 凇o u o 抛v l d ；z 。 首先对时间区阿o ，t 】进行剖分，设时间步长是t ，记t 。= n a t ，n = 0 ，1 ，；其次对区域q = 【0 ，1 】作削分a ，节点为：0 = x 0 z 1 x j21 ，单元五= k 一1 ，戤】的长度2 如一z i 一1 记 2 l m t a x j h l 假定 网格满足适定性条件：旭p ( 1 t ，) ，其中肛为常数。取试探函 一d 一 絷l 章一炎维非线性发胜拧的仝商敞囱限体千 儿方法 数空间m hc 础( q ) 为相应于剖分死的一次元空间。对区间q = 【0 ，1 】再作 对偶剖分霸，节点为：0 = x o z z g 。j 一 0 ，使得： a ( u n ，稚t , h ) a l i 让 旧v u a m h 引理1 3 2 【6 】假定l | | 撕o = ( u h ，丌h u h ) 2 1 ，则在m i 中川o - - 与t 1 t l o 等价， 即存在与m h 无关的正常数口，c t ，使得： c 1 i i u h l l o i i l u h lj l o 岛i l 让h l l o 由上一部分可知，求解问题( 1 2 1 ) 即为求解钍，u 础( q ) f l h 2 ( q ) ，使得 础f 0 ，刃，y w 嘲( q ) 有 ( 饥，t j ) + o 扣， ) + d ( u ，埘) = ( f ( u ) v + 9 ( u ) ，t l j )( 1 3 1 ) 扣，叫) = ( 撕，t ，) ( 1 3 2 ) 离散格式为： ( 等m ) 州矿- ，岫州嵋川( ，( 札撇吲，叫( 1 3 1 3 ) ( 1 _ 3 4 ) 记p = 赡一7 f h u “，矿= 矿一砚钍”，俨= 口2 7 r h v “，矿= 俨一 ；r h v “， 则嚷一铲= p 一矿， 2 一俨= 俨一p n 。由插值理论【6 】得：i i 7 1 i o + h l b l l l m 2 l u l 2 ，l i p l l o + h l l p l h m h ：l v l 2 我们假设0 p 惦m ( h 2 + ( a t ) 2 ) ，i l 伊惦 m ( h 2 + ( t ) 2 ) 。 首先估计由式( 1 3 3 ) 减去式( 1 3 1 ) 所得的误差方程( 其中式( 1 3 1 ) 取为 在t ，i + 1 时间层时) ，得： ( 笃川+ n ( n ) = ( 坐一t o n + l _ , ) n + 矿- ，撕) + 。( 矿，蛳) + 口( 矿，嘲一。，虮) + ( ，( “z ) 畴+ g ( u z ) 一，( 矿+ 1 ) 口1 9 ( 矿+ 1 ) ，w h )( 1 3 5 ) 取叫 = 7 r ：扩+ 1 ，先逐项估计式( 1 3 5 ) 左端： ( 薯，吒= 击缈，吒) - ( h 渺) 】 刳| | 扩1 肛i ( i t l e l l l , 3 + 1 1 1 矿 + 1 1 1 1 = o ) 蕊1 ( i l i a + 1 i t l , 3 一i l l e “l l l 2 ) 又由引理1 3 2 可得： ( - 绀- e 1 一f 舻- ，畦矿1 ) 盖( 1 l e 州惦- l l e l l g ) ( 1 3 6 ) 由引理i 3 i - i r - ： o ( 俨+ 1 ，吒矿十1 ) m 0 俨+ 1 旧 ( 1 3 7 ) 现在逐项估计式( 1 3 5 ) 右端： ( t p n + l - - p n 一, v n + 瓦l _ 一v n + 矿1 ，姚) = ( 击f ”1 缈+ 壶f “( t - 蝴戤吒矿1 、 1 厂h + 1 s m o 壶厶 慨+ o k ) 魄) 出怕i l e - + l l l 。 腹( 去i l 砘| | 2 。( k 。伊) + t o 毗i l 羔：( t i ，k 。p ) ) + g j l 俨+ 1 惦( 1 3 8 ) ：霎。、p n + l ，w j an - + 1 ) ：釉警盱譬叫 口( 矿+ 1 ，撕) = 。、) = 嘶f 筹h 一等1 ，= 1，= 1 = 薹譬k 一一- ) m 矿1 ，撕胚( 差j = i ( 警k 扩) i ( 霎( 哟一哟_ 1 ) 2 诤 第1 牵炎一维非线发腱奇程的离散囱限体积儿方法 j - 1 j 一1 一 而( ( 嘶一嘶一1 ) 2 ) j 1 【乙- - i ( 嘶一屿一1 ) 2 ) = h 1 w h l lsm 钿叫 m j = l j = l 。 ( 百o p n + l 虬鲥( e 。l 蠹m 所以 同理 i 口( p 行+ 1 ，伽 ) i m h l l 叫 i i l 眨铲+ e i i 铲+ 1 崆 ( 1 3 9 ) l o ( q 计1 ，撕) i m h l l w h h l 尬舻+ 0 扩+ 1 旧 ( 1 3 1 0 ) 由有界性： i o ( p + 1 ，确尹冲1 ) l m i i 1 矿件1 i i o 幄| i p 件1 幅+ l l e “幅( 1 3 1 1 ) 在下面的分析中需要一个归纳假设为：陋0 0 0 m ，几= 0 ，1 ，一1 ， 其中s = 蛾，啄。同时已知，( u ) ，9 ( 珏) 满足l 徊s 曲t 幻条件，则 ( ，( 嵋) 2 + g ( u ：) 一，( 矿+ 1 ) 口时1 一g ( 矿+ 1 ) ，吒口n + 1 ) ( l l l 皖一矿+ 1 i - 赡+ ，( 矿+ 1 ) ( 嵋一 1 ) + l 2 l 镶一“叶1 i ，7 r ：口”+ 1 ) ，h + 1i t , h - i = ( l l l u ? , 一矿一u t c l t i 略+ ，( 1 ) ( 嵋一矿 v t d t ) j kj k + 岛i 峨一- 2 , r * 一毗出i ，靠矿+ 1 ) 尬( i l p i l 3 + i i 口”略+ 酽+ t ) + 0 伊叶1 幅 ( 1 3 1 2 ) 由式( 1 3 6 ) 到式( 1 3 1 2 ) ，取充分小，两边乘以2 t ，关于n 从0 到n 一1 求 一9 一 n - - i + a t ( 1 3 + | 3 ) ) + l l o o l l 3 0 3 1 3 ) n = o 其次估计由式( 1 3 4 ) 减去式( 1 3 2 ) 所得的误差方程( 其中式( 1 3 2 ) 取为 在0 i + 1 时间层时) ，得： 。 ( 警，吒= ( 竿一t p n + l + p n 一；础， + ( 譬笋一1 u n + l 广_ u n + 嵋+ 1 ，7 f 扩t ) ( 1 3 1 4 ) 取f f ) h = 礴p + 1 ，先估计式( 1 3 1 4 ) 2 e 端： ( - 印- + 1 - - a ? - - ”麻t ) 盖( 憾州静( 1 3 1 5 ) 现在逐项估计式( 1 3 1 4 ) 右端： 类似有： l t 0 n + 1 + 0 n ，硝f 1 ) ism o 竺= 旦o 膳t 卧1 i i 。 耽( 1 l 口1 幅+ 0 口”幅) + 0 f ”+ 10 3( 1 3 1 6 ) ( 型笋，靠p + 1 ) | 划 矿- 0 3 + i i p 1 1 2 0 ) 刊i p 3 m 。h 4 ( 1 l v + 1 l 攫+ i i v l l ；) + e 0 毒件18 3 ( 1 3 1 7 ) 鳓i 章一炎维非线性发胜乃程的仝离散向限体积儿方法 和 ( f 机1 出，靠f n + 1 ) i 1 | “1 饥d t l l 。| i 1 0 磊i | f 1 仇出惦+ e | l p + 1 惦 j kj kj k s 尬t | 【仇l i 兰：，t ，l + 。，p ) + 0 p + 1 幅 ( u n + 。l - - 。，7 n ，碟1 ) = ( 壶f “讯出，靠1 ) 篆i i 啦。参，“，伊) + e o p + 1 惦 ( 1 3 1 8 ) m t 5 h 4 2 。，“+ 。，日。) + i l f 肼1 略 ( 1 3 1 9 ) ( 矿1 一t u n + l _ u n ，吒1 ) 尬0 “矿1 一t u n + l - - u n l l 。2 + 0 幅 尥t 2 + 0 p 件1 幅 ( 1 3 2 0 ) 由式( 1 3 1 5 ) 到式( 1 3 2 0 ) ，取充分小，两边乘以2 出，关于n 从0 到一1 求 l | f 惦m ( h 4 - i - a t 2 + a t f l o 幅+ a t t l o “旧) + i 垮。幅 ( 1 3 2 1 ) 式( 1 3 1 3 ) 与式( 1 3 2 1 ) 式相加，利用g r o n w a l l 弓i 可得 1 1 7 , + i i o i i g + a t l i e + 1 旧m c h 2 + a t 2 ) ( l 3 2 2 ) 最后验证前面的归纳假设：设a t = d ( 九) ，当n = 0 时， i l u l l ) 。0 护0 。+ 0 p 6 。+ | 1 , 7 0 | i 。l i “0 0 。+ m h + m h 2 1 1 u 0 0 2 m 假设对礼= 1 ，n 一1 都成立，则n = 时， j t 搿0 l i u 0 。o + 8 f 0 + i i 叩i l o o l i u i i o 。+ m h 一1 + m h 2 l i u 1 1 2 m 所以得证。 定理1 3 1 设乱，u 是问题( 1 2 1 ) 的解，u h , 是方程组( 1 2 3 ) - ( 1 2 6 ) 的解，若初 值t 1 0 ，v 0 ，诹， 2 满足：l 怫一u 0 幅曼m ( 酽+ a t 2 ) ，2 一口。憾m ( h 2 + a t 2 ) ， f 1 a t = o ( ) ，则对充分小的和h ，下面的误差估计成立： n - 1 o u 一“i 1 2 0 + l i 谚一v n l 偿+ a t 乏二0 ”2 一 ”惦s m ( h 2 + 亡2 ) n - - - - 0 1 4h 1 估计 类似于三2 的误差估计，问题( 1 2 1 ) 在日1 中的误差方程也为式( 1 3 5 ) 和 式( 1 3 1 4 ) ，略有不同的是t i ， 的取法不一样a 首先估计式( 1 3 5 ) ，在式( 1 3 5 ) 中取嘶：业芸翌，并假训纠瞻 m ( h 2 + a t 2 ) ， 妒幡sm ( 舻+ a t 2 ) 。先逐项估计式( 1 3 5 ) 左端： ( o n + 。1 - ，监芸竣) 圳1 1 8 n + 1 广球n 储 ( 1 4 1 ) 妒，监：) 忐州嗍肚1 ：1 1 2 1 ) ( 1 4 2 ) 现在逐项估计式( 1 3 5 ) 右端，右端逐项记为g l ，g 2 ，g 3 ，g 4 ，g 5 ，有 类似于二2 的误差估计的结论： g 1s 耽( 瓦h 2m l 参舢。，纠+ 亡l l 魄慨t 竹，铒。) ) + 俨t + 1 一俨2 0 ( 1 4 3 ) i g 2 i _ m 圳1 0 n + l _ 广o n 肌删刊i 竺半旧 ( 1 4 4 ) 一1 2 侧s 尬h 2 - - e l l - 。竹- z 1 一t - - - 卵l h “ ( 1 蜘 ( 1 4 6 ) i c 5 fs 尥( j 陡“惦+ i i 目”惦+ 4 + t ) + “t 俨+ 1 一俨2 0( 1 4 7 ) 在式( l 4 1 ) 到式( 1 4 7 ) 中，取充分小，方程两边同乘以2 a t ，关 于n 从0 到一1 求和： _ 一1 m ( h 2 + a t 2 + , x t l l f i 1 0 2 + a t ( o “幅+ i i o “i i 0 2 ) ) + i i o 。l l i ( 1 4 8 ) n = 0 其次估计式( 1 3 1 4 ) ，式在( 1 3 1 4 ) 中，取埘 = 匿：= a 二t 互圭： 先估计式( 1 3 。1 4 ) 左端，即为： ( 乏，型芸监) 叫l 与幅 ( 1 。9 ) 现在逐项估计式( 1 3 1 4 ) 右端，右端逐项记为p 1 ，p 2 ，p 3 ，p 4 ，p 5 ，有类 似于l 2 的误差估计的结论： p 1 i - m ( i t e “+ z i 曙+ 1 1 0 1 1 3 ) + 州l ：去 0 3 ( 1 _ 4 1 0 ) p 2 l 尬 4 州蹦i ；+ i i v l i ；) 刊i 甓l 培 一1 3 一 m 脚 + 2 1 口 俐尬刨呲。( 刊i 笠乏与3 、 ( 1 4 1 2 ) 和： l p 4 i 尬面h 2 o 参( k m 埘。) + 圳竺之f 曙 ( 1 4 1 3 ) 在式( 1 4 9 ) 到式( 1 4 1 4 ) 中，取充分小，两边乘以t 2 ，关于n 从0 到n 一1 求 & 。参警幅洲州3 + a t 2 归l | 3 + t 2 n 到- 1 ( 1 4 1 5 ) t # ut # 2 u 式( 1 4 8 ) 与式( 1 4 1 5 ) 式相加，乖j m g r o n 叫越l 引理可得：记画俨= o n l + l ：_ _ f o n 一1 i 妒暇+ i k l f j 0 2 + l x t ( i i 也口”i j 0 2 ) m ( h 2 + ( t ) 2 ) ( 1 4 1 6 n = o 定理1 4 1 设u ， 是问题( 1 2 1 ) 的解，乱h ，v h 是方程组( 1 2 3 1 2 6 ) 的解，若初 值札o ，护，钍2 ，理满足：i i 醒一乱。惦m ( h 2 + a t 2 ) ，l i v o 一 o 瞻sm ( h 2 + t 2 ) ，r a t = o ( ) ，则对充分小的t 和危，下面的误差估计成立： 一l 0 谚一旧+ i l u 2 一t ，1 1 3 + a t e ( i i 也( 口2 一t ，”) 惦) m ( h 2 + 亡2 ) n - - - - o 1 5 数值实验 在本节中，通过具体的例子说明了一次有限体积元格式的有效性和稳定 性，并给出了误差比较表和图。 初边值问题( o 0 1 ) 中具体取值为：，( u ) = 7 r 2 + 2 ，9 ( t ) = ( 7 r 2 2 ) u ，虿( z ) = o ，( z ) = s i n7 r x ，满足该方程组的精确解为：= e s i n r x s i n t ，t ，= e t s i n7 r z ( s i n t + c o s ) 。考虑计算区域q = 0 ，1 】，t = 【0 ，o 5 】。空间步长 取为h = 0 0 1 ，时间步长分别取为a t = 1 0 ，a t = 5x1 0 ，a t = 5x1 0 一，a t = x1 0 一。利用有限差分显格式 8 ，9 】( f d ) 和上文给出的 一次有限体积元格式( f v m l ) 分别计算。定义绝对误差a e ( w ) = i 伽 一t 嘎f i ， 相对误差r e ( ) ：i - = ：- w g , j l 。下面给出两种格 ：在：t f f i o 5 时的最大绝 叫如 对误差( m a x a e ) ) 表1 和最大相对误差( m a x 冗e ) ) 表2 ，其 l g _ j - i ，n = n 、“ l g j - 1 ，n , f n 。 中i = i 】或v 。表中r = a t h 2 。 表1 1 ：两种格式在t r i o 5 时的最大绝对误差 t a b l e1 1 ：1 1 ”m a x i l l m l ma b s o l u t ec i r o r 5o f t w om e t h o d si nt = 0 5 f df v m lf d f v m l r = 1 0+ 0 0 0 6 2+ ( 3 00 0 3 0 5 r = 5- 6 ( 3 00 0 0 3 0- 6 0 00 0 1 4 8 r = ；1 9 6 3 5 e - 41 1 2 6 4 e 4o o o l 0 64 6 2 4 4 e - 4 r = 女2 0 2 3 9 e - 43 6 6 9 7 e - 6o 0 0 1 0 97 4 2 1 0 e - 5 表1 2 ：两种格式在t r i o 5 时的最大相对误差 1 捌el - 2 ：t h em a x i m u mr e l a t i v ce r r o r so f t w om e t h o d si nt = 0 5 v f d r = 1 0- 6 r = 5- 6 0 0 f v m l 0 0 0 7 9 0 0 0 3 9 f d + o o - 6 0 0 f v m l o 0 1 3 8 0 0 0 6 7 r = 2 4 8 4 1 e 41 4 9 4 9 e - 44 7 5 6 1 e 42 1 3 7 1 e - 4 1 三i 三：! ! 竺些! ：! ! 塑里：! ! ：! ! ! ! 兰兰! ：! 垄! 塑 从表1 1 、1 2 中可看出：f d 格式在0 r ；时才稳定，而f v m l 格式是 无条件稳定的，不受网格比变化影响。下面给出两种格式在t = 0 5 时的绝对 误差和相对误差比较图。由图可直观地看出： 一方面，对任一图1 1 、1 - 2 、1 3 、l - 4 从左至右观察，当r = 1 0 ，5 时， 因为f d 格式的误差趋于无穷大，所以图中未出现f d 格式的误差曲线， 当r 1 2 时才出现f d 的误差曲线，而f v m l 格式的误差曲线始终存在，说明 了f v m l 格式是无条件稳定的； 另一方面，无论对“或u ，f v m l 格式的绝对误差和相对误差随着网格的 变化都小于f d 格式的，说明了f 、礓d l 格式的有效性。 图1 - 1u 在t = 0 5 时的绝对误差曲线 f i gi - 1t h ea b s o l u t ee r r o rc h i v eo f ui nt = o 5 图1 = 2 u 在t = 0 5 时的相对误差曲线 f i g 1 - 2t h er e l a t i v ee r r o rc u r v eo f ui nt = 0 5 6 图l 一3v 在t = 0 5 时的绝对误差曲线 f i g1 - 3t h ea b s o l u t ee r r o rc u r v eo f vi nt - - - 0 5 圈1 - 4v 在t = 0 5 时的相对误差曲线 f i g1 - 4t h er e l a t i v ee r r o rc u r v eo f vi nt 印5 1 7 第2 章一类二维非线性发展方程的交替方向有限 体积元方法 2 1 引言 本章讨论了一类二维非线性发展方程，给出基于双线性插值和基于双二 次插值的交替方向有限体积元格式，并给出误差估计，最后用数值例子验证 该格式的有效性。 2 2 交替方向有限体积元格式 令 = a u + d u t ，则( o 0 2 a ) 化为： d v t b a y 一( d a b ) a u = d f ( z ，y ，t ，u ，口) ( z ，玑) q 1 0 i 卅( 2 2 1 a ) d u t + a u = 口 ( z ，可，t ) q 【0 ，t l ( 2 2 1 b ) 钍= 盯= 0 ( z ，) a qt 【0 ，2 1( 2 2 1 c ) “p ，y ，0 ) = 石0 ，! ，) v ( x ，0 ) = a - 庐( x ，y ) + d 石0 ，y ) ，可) q ( 2 2 i d ) 其o f ( x ，玑t ，t ，口) = f ( z ，y ，t ，u ，饥) 。 首先对区域q 作矩形剖分矾。为使以下的公式简洁起见，设q 为均 匀剖分，即在茁，口方向均将q 划分为等分，步长h = 1 ，节点( 甄，协) = ( i h ，j h ) ( i ，j = 0 ，1 n ) 。令黾一；= 戤一 2 ，。件；= 以+ h 2 ，珊一 = 盼一九2 ，始+ ；2 协- 4 - 2 ，那么2i 一；，z 件】【鲍一 ，的+ 】构成节 点，缈) 的控制体积。其次对时间区间进行均匀剖分，设时间步长为t ， 记护= n h t ( n = 0 ，1 ，) 。 在i t - ，叫上对方程( 2 2 1 0 ) 积分并利用g ，e e n 公式，得( 2 2 1 0 ) 的积 分守恒形式为：求矿，矿砩( q ) ，使得 。驴一脚一日仁。厶考抛- o - - ) 仁，厶考如出 ；d f ( x ，t ，u ，v ) d x d y d t 。 ( 2 2 2 ) 其中7 为a 的外法线方向。设研。c 瑶( q ) 为剖分q 上的有限元子空间，其 基函数采用乘积型插值得到。设 血k ( z ) ) ， 屈( ! ，) ( 七，z = 0 ，1 ) ) 分别为z ，可方 向的插值基函数，则 q 岛 为的插值基函数。对( 2 2 2 ) 中关于t 的积分采用 梯形公式离散，并用撕，嘶。代替t ，t ，得( 2 2 2 ) 的有限体积元格式为 。厶( 瞻唧1 黼一互1 础( 厶筹如+ z 育a v n - - 1 一i ( d - a b 煳厶筹如+ z 等蚴 = 。t 厶，p ；缸蚴 ( 2 2 渤 因为i a o ：o ，训a n ：0 ，所以蛳 = o , u n j ； o , v o i= 0 , v l v i =0 ( j = 0 ，1 ，) ：啦o = o , u n = o , v i o ：o , v i n = 0 ( i = 1 ，一1 ) ， 则令u 、v 表示离散解向量，即 u = u h , 1 1 ，t 正k 1 2 ，i , h ，1 一1 ，2 1 ，u h ，2 2 ，2 一1 ，u h ，一1 l ，t l , h ，一1 一1 】& 一1 ) ( 一1 ) v = o h , 1 1 ，v h ，1 2 ，v a , 1 一1 ， 0 h ，2 1 ，。2 2 ，。一? 3 h ，2 一1 ， 0 h ，v 一1 1 ，v h ，一1 一1 j 抽一1 ) ( 一1 ) 记g ：【黾“a k ( $ ) 出1 ( - 1 ) 。( n - 1 ) ，q ：l 广+ 5 反o ) 训( _ 1 ) 。( n - 1 ) ， j 黾一女。码一壬 a 。= f ( 瓤一；) 一q 2 ( 坼 ) 1 ( 一1 ) ( 一1 ) ， a = 【屏( 蚴一 ) 一屏( 吻十 ) 】( 一1 ) ( 一1 ) 利用以上记号，则( 2 2 3 ) 可表示为 d c z c 口( v “一妒一1 ) + 罢越( 如p q + g 。山) ( 妒+ 俨一1 ) 絷2 章一炎维非纯性篾胜乃程的交许方向钉限体积儿力戊 + 旦专竺t ( 也。q + q 。山) ( 咖+ 扩一1 ) = d g 。q p 一 ( 2 2 4 ) 其中f ”一= f ( 戤，珊，t “一 ，厅n 一1 ，矿n 一1 ) ，移n 一1 = u “一1 一i u n - 2 , 伊n 一1 = ；y ”1 一 y ”2 ，o 表示k r o n e c k e r 张量积，关于张量积运算，可参见 2 0 】。 对( 2 2 1 6 ) 采用梯形法进行离散 解得 d u n l _ i u n - 一1 + a u + 虿u 一- i = v n + i v n 一- 1 ( 2 2 5 ) 沪= ( d + 鲁t ) _ l ( d i a t ) 扩一1 将( 2 2 6 ) 代入( 2 2 4 ) 得 + 譬( d + a a ) 一1 ( 俨+ 矿一1 ) ( 2 2 6 ) a g 圆g ( 矿一矿一1 ) + 伤( 也o g + g o 如) ( 妒+ 伊一1 ) = 一( d a b ) a t ( a o g + g 圆a ) 旷1 + c , l x t c o c ；p 一 ( 2 2 7 ) 其中白= ( d + 虿a t ) ，岛= 譬( b + i a t ) 。 为实现交替方向求解，对( 2 2 7 ) g n _ h 扰动项，并进行矩阵分解得： ( 4 - c s , 。，+一u，u2laxi)(雨pq+-，-法以i。vv ) y “ o lu 1 = ( 佩。j 一蔫如。职何。q 一去1 ，。蛳旷1v u lv u + c l a t c = o q p 一一( d a b ) a t ( a x o q + q 圆如) 扩一1 ( 2 2 8 ) 使用有限差分方法中的d o u g l a s 交替方向格式的离散思想，将f 2 2 8 ) 两边 减去( 而g o j + 蔫也o d ( 0 霜o q + 羔，固如) 俨一，得以下交替 v u lv u l 方向格式 ( v o t c , 固罢也。州俨一一妒一1 ) = 一2 c 2 ( a x 。g + q o a ) 矿“ v u l 2 0 + t g g o q p i 1 一( d a e ) a t ( a o q + g o 也) 扩一1 ( 2 2 9 a ) ( 瓶j 圆q + 罢，p 如) ( 矿一y ”1 ) = 矿一j 1 一v “一1 v u l d u n - u tn - 1 + a u “+ i u h 一- = v n + f v n 一- i ( 2 2 9 b ) ( 2 2 9 0 以上格式中( 2 2 蚰) 实现对霉方向求解，得y 一；，( 2 2 9 6 ) 实现 对可方向求解，得y “，然后f l ( 2 2 9 c ) 得u n 。当计算第一时间层上 的 u 1 ，矿1 时，沪、伊处理如下+ 砚= 睨+ 互1 t ) 易= u 3 + 历a t lr 玎。一a 田) 弼= 功+ ；t ( 仇) 易= 叼+ 互1 t ( f ( 毛，协，t o ，嵋，叼+ b 后+ 痧o ) 其中吩= 万( v j ) ，叼= 邱( 翰渤) + d e ( x , ，珊) ， 和 死可由二阶 中心差分格式得到，例如：a h = ( 玩+ l j 一2 + 玩一1 + 观+ l 一2 西+ 一1 ) h 2 ，同理得h 死。 下面给出两种具体的格式： 第一：取为剖 函数取为：若z 。一l l 一罕；否则飙 分q 上的分片双线性插值函数，则z 方向上的一维基 z 甄，协( z ) = 1 一竺二；若黾$ - t i + l ，忱( z ) = ， 同理取哟( 可) 计算得三对角矩阵玩，已，瓦，瓦。 瓦= 玩= ； 1 ( 一1 ) ( 一1 ) 1 6 一 6 1 1 1 l 6 6 1 ，。一 瓦= 一a y ； 一1 i ，j ( 一i ) x ( n 1 ) l i i 。 i 12 21 l i 12 2 1 ( j v - - i ) x ( n - - i ) 差估计 对任意网格函数u ( 口i 舳= o ) ，定义其方向向前差商，c - 阶中心差商分别 为 、 疋= ( 钳1 j v , j ) l h ，磋= ( 如