（概率论与数理统计专业论文）维纳过程在加权线性组合下的若干结果.pdf

安徽大学硕寸学位论文摘要 摘要 本论文是对w i e n e r 过程在加权线性组合下的增量有多大和不可微分模两项 内容进行的研究。本文共分为三章。 第章为引言。乱这章节中，简要地介绍了w je n e r 过秤作为随机过程中重 要的一类，它与其他学科的密切联系，和关于此类随机过程一些已经取得的重 要成果，以及与本论文有关的一些工作。 第二章为准备知识。在这章节中，首先，给出了本论文所要用到的一些记 号和w i e n e r 过程i t ，s 】上的加权线性组合的定义。其次，给出了本论文在证明结 论中所要用到的一些重要的引理和命题。 第三章为定理的证明。首先，讨论了在第二章中定义下的w i e n e r 过程在加 权线性组合下的增量有大多，文章证明了在重新给定的正则化因子屏下有与文 献 3 中的定理1 2 1 有类似的结论，但本文的结论包含了文献 3 中的定理 1 2 1 ，可以看作把文献 3 中的定理1 2 1 做了进一步推广，当正则化因子岛和 加权线性组合兄。，中的d = l 时就是文献 3 中的定理1 2 1 。其次，本论文也对 加权线性组合下的维纳过程不可微分模定理给出了论证，它是文献 3 中的维纳 过程不可微分模定理1 6 1 的推广，与第一个结论类似当正则化因子和加权线 性组合墨。e e 的d = l 时就是文献 3 中的维纳过程不可微分模定理1 6 1 。因此 本论文的两个结论是对文献 3 中的两个重要定理1 2 1 和1 6 1 的推广和创 新。 总之，w i e n e r 过程中的增量的性质是研究w i e n e r 过程重对数律的基础。因 此本文的两个结论对w i e n e r 过程的样本轨道性质进行更深入的研究有很大帮 助。 关键词：w i e n e r 过程，增量，不可微分，相互独立。 叠 、 f 安徽大学硕七学位论文维纳过程存加权线件组合下的若干结果 a b s t r a c t t h i sp a p e ri st h ed i s c u s s i o no nh o wl a r g et h ei n c r e m e n t sa n dt h em o d u l u so f n o n d i f f e r e n t i a b i l i t yo f aw i e n e rp r o c e s s0 1 1t h ec o n d i t i o no f al i n e a rw e i g h t e dm o d e l i tc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri st h ei n t r o d u c t i o n i tb r i e f l yi n t r o d u c e st h ew i e n e rp r o c e s sa sa m o s ti m p o r t a n tc l a s si nt h er a n d o mp r o c e s s t h e ni ta l s or e f e r st h ei n t i m a t e a s s o c i a t i o n 、硝mo t h e rs u b j e c t sa n dt h ei m p o r t a n ta c h i e v e m e n t sw h i c hh a v eb e e ng o t i nt h i sf i e l do fr a n d o mp r o c e s s s o m ep r e p a r e dw o r k i n g sa r ea l s oi n c l u d e di nt h i s c h a p t e r t h es e c o n dc h a p t e ri st h ep r e p a r e dk n o w l e d g ef o rt h i sp a p e r i nt h i sc h a p t e r , w e f i r s t l ym e n t i o nt h em a r k su s e di nt h ep a p e ra n dt h ed e f i n i t i o no ft h el i n e a rw e i g h t e d w i e n e rp r o c e s so ni t ，j 】s e c o n d l yw em e n t i o ns o m ei m p o r t a n tl e m m a sa n d t h e o r e m sw h i c ha r eu s e di nt h ep r o o f so f t h ec o n c l u s i o n si nt h ep a p e r t h et l l i r dc h a p t e ri st h ep r o o fo ft h et h e o r e m f i r s t l y , w ed i s c u s sh o w l a r g et h e i n c r e m e n t so fal i n e a rw e i g h t e dw i e n e rp r o c e s sw h i c hh a sb e e nd e f i n e di nt h e s e c o n dc h a p t e r w ea l s op r o v et h es i m i l a rc o n c l u s i o nw i t ht h e o r e m1 2 1i n b i b l i o g r a p h y3o nt h ec o n d i t i o nt h a tw eg i v ean e wr e g u l a r i z i n gf a c t o r 屏b u tt h e c o n c l u s i o no ft h i sp a p e rc o n t a i n st h e o r e m1 2 1i nb i b l i o g r a p h y3w h i c hc a nb e c o n s i d e r e da st h ee x t e n s i o no ft h e o r e m1 2 1i nb i b l i o g r a p h y3o nt h ec o n d i t i o n d = li nt h er e g u l a r i z i n gf a c t o r 屏a n dt h ew e i g h t e dl i n e a r c o m b i n a t i o n & s e c o n d l y , w eg i v e t h e p r o o fo f t h et h e o r e ma b o u tt h em o d u l u so f n o n - d i f f e r e u t i a b i l i t yi nl i n e a rw e i g h t e dw i e n e rp r o c e s s , w h i c hi st h ee x t e n s i o no f t h e o r e m1 6 1i nb i b l i o g r a p h y3a b o u tt h em o d u l u so fn o n - d i f f e r e n t i a b i l i t yi n w i e n e rp r o c e s s a st h es a m et ot h ef i r s tc o n c l u s i o n , w ej u s tc o n s i d e ri ta st h e o r e m 1 6 1i nb i b l i o g r a p h y3a b o u tt h em o d u l u so f n o n - d i f f e r e u t i a b i l i t yi nw i e n e r 安徽大学硕十学位论文 a b s t r a c t p r o c e s so nt h ec o n d i t i o nd = 1i nt h er e g u l a r i z i n gf a c t o r 届a n dt h ew e i g h t e dl i n e a r c o m b i n a t i o ns s ot h et w oc o n c l u s i o n so ft h i sp a p e ra r et h ee x t e n s i o n sa n dt h e c r e a t i o n st ot h ei m p o r t a n tt w ot h e o r e m si nb i b l i o g r a p h y3 i naw o r d ，t h eq u a l i t i e so f t h ei n c r e m e n t si naw i e n e rp r o c e s sa r et h eb a s i so f t h e r e s e a r c ht ot h el a wo fi t e r a t e dl o g a r i t h mi naw i e n e rp r o c e s s s ot h et w oc o n c l u s i o n s i nt h i sp a p e rg i v eai m p o r t a n th e l pt ot h ed e e p e rr e s e a r c ho fs a m p l ep a t hp r o p e r t i e si n aw i e n e rp r o c e s s k e yw o r d s ：w i n e n e rp r o c e s s ，n o n - d i f f e r e n t i a b i l i t y , i n t e r - i n d e p e n d e n t f，1f 独创性声明 9 7 8 7 9 s 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得凌j 孙太酝其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 赵攀 签字日期：勰舌年乡月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墟j 歉戈咨有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阕。本人授权农骷太药以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：趣磬 签字日期：卿g 年岁月日 学位论文作者毕业去向： 。 工作单位： 通讯地址： 导黼：刎豆噬 签字日期：3 州么年j - 月2 日 电话： 邮编： 安徽大学硕十学位论文 第一章引言 第一章引言 w j e n e r 过程是一类非常重要的随机过程，它是基于对粒子b r o w n 运动的数 学刻画。w i e n e r 过程绎常被广泛地应用到经济学、管理学等其他应用学科之中。 例如，w l e n e r 过程的直接j m 简单的推广分数w i e n e r 过柙，在粮食产譬趋势预测、 新增固定资产分析、国民收入分析、股票收益、长程相关统计及口指数计算、 分数阶a r i m a 模型及其在价格指数预测的应用等领域中都起着重要的作用。因 此诸多专家和学者对w i e n e r 过程及其相关随机过程的轨道性质进行了深入的研 究。 早在2 0 世纪2 0 年代美国著名的数学家以及现代控制论创始人维纳 ( n w i e n e r ) 就从事b r o w n 运动的数学分析的研究。他指出，除去一个概率( 关 于w i e n e r 测度) 为零的集合外，所有b r o w n 运动的样本轨道是连续不可微的曲 线。 在2 0 世纪4 0 年代左右，p l 6 v y 证明了著名的连续模定理，即对b r o w n 运 动( w i e n e r 过程) 的几乎所有样本轨道建立了精确的连续性速度。它对一般的 g a u s s 过程和其他许多相关的随机过程样本轨道性质的研究有着重要的指导作 用。 2 0 世纪6 0 、7 0 年代，s t r a s s e n 对w i e n e r 过程样本轨道性质的研究得到了 重要的w i e n e r 过程的泛函重对数律。m c s g r 9 6 和p r 6 v 4 s z 等著名的数学家对 w i e n e r 过程的大增量作了系统的开创性的研究，并得到了关于w i e n e r 过程增量 有多大的一系列重要成果。除次之外，他们还研究了w i e n e r 过程的另一类样本 轨道性质，给出了w i e n e r 过程的不可微分模和增量有多小。自m c s g r 9 6 和p r 4 v 6 s z 的1 9 8 1 年专著发表以后，强逼近理论发展十分迅速，对w i e n e r 过程样本 轨道性质，进一步在对许多特殊的g a u s s 过程的轨道性质的研究有着一系列重 大进展。在m c s g r 9 6 教授的提议下，中国学者林正炎、陆传荣、邵启满等以及 一些匈牙利学者对某些特殊的g a u s s 过程和较一般的g a u s s 过程进行了深入的 研究。如：林正炎、陆传荣1 9 9 2 年的专著强极限定理综述了当时国内外有 塞塑查兰堡兰竺堡塞 丝塑苎里鱼塑墼垡堡丝垒! 塑萱王竺墨 关成果。在w i e n e r 过程和g a u s s 过程的样本轨道性质方面，完善了对w i e n e r 过程增量理论的研究，详细介绍了关于w i e n e r 过程增量的下极限结果，讨论了 w i e n e r 过程滞后增量及增最的一般形式，也讨论了滞后形式的f 极限结果及精 确收敛速度。将w i e n e r 过程增量在一定条件下推广到两参数w i e n e r 过程情形， 讨论了两参数w i e n e r 过程滞后增量及增量的一般形式。介绍了关于分数w i e n e r 过程增量的大小和连续模结果。丁f 创性地研究了无穷维o r n s t e i n b h e n b e c k 过 程导出的过程，如部分和过程、无穷级数及，2 模平方过程等的样本轨遁性质。 2 0 世纪9 0 年代，除了进一步对w i e n e r 过程增量作深入讨论外，而且对各 种有实际背景的g a u s s 过程增量的上极限与下极限的研究去得了一系列完美的 成果。 关于w i e n e r 过程的增量，在区间【o , r 1 ，长度为口r 的子区间上，当r 一。时 增量有多大的首要结果和w i e n e r 过程的不可微分模定理由著名数学家c s 6 r 9 6 m 和r 6 v 4 s z p 于1 9 7 9 年获得。本文是针对w i e n e r 过程中的增量有多大和不可 微分模的两个重要结论，首先，在增量区问上定义一种加权线性组合五( 定义 2 1 2 ) ，然后，重新构造w i e n e r 过程的增量有多大和不可微分模定理中的正则 化因子屏，最后利用w i e n e r 过程的定义和性质以及其他一些已获得的定理，对 上述问题进行了研究，得到了关于w i e n e r 过程在加权线性组合下的增量有多大 和不可微分模的的一些新的结论。 这些新的结论是对文献 3 中的两个重要定理1 2 1 和1 6 1 的推广和创 新，给w i e n e r 过程增添了新的活力，对经济学、管理学、金融学等其他应用学 科也有着积极的推动作用。 2 安徽大学硕卜学位论文 第二章准备知识 ( q ，a ，p ) 一 n ( t ，盯2 ) 第二章准备知识 2 1 一些记号和定义 一一一随机变鼋 概率测度空问 一期望值为口方差为盯2 分布 一属于或服从 上确界s p u i n f l i m i i m l i m ， 以，i 0 下确界 极限 上极限 下极限 的正态 属于无穷多个4 t 的点的集合 z f d 一一一独立同分布 随机变量x 的数学期望 砌r x 随机变量x 的方差 安徽大学颂十学位论文 维纳过程在加权线性组台下的若干结果 定义2 1 1w i e n e r 过程： 若一个随机过程 肜( f ；国) = ( r ) ，0 f o o ，具中珊q ，( q ，a ，尸) 足溉年 空间，满足一下三个条件： ( i ) ( ，) 一( j ) n ( o ，一j ) 对所有的0 s f o o 成立且( o ) = 0 ( 2 ) 渺( f ) 是独j 上增量过程，e 口r v ( t 2 ) 一v v ( t ，j ，w ( t 。) w ( t ，) ， w ( t 2 ，) 一w ( t 2 ，i ) 独立，x c n ：g f 拘。蔓 t 2 t 3 t 4 - t 2 ，l t 2 0 使f 曲小等式成立 p k 。舭。，i v 撕卜百c t e 一等 芟中v ，t 都是大丁0 的，且0 h o ，s 【u ) 与4 7 s , 4 、同分布 所以叱s u 洲p 。s u 。p s ( 埘i v q i 。一s u p 。恶叫嘞l v q = p 2 u g2 曼i s , ，i v q 由文献【l 】可得上式 _ cp 一磊 ：坚。一磊d v 2 其中：，= 手s = 手 。= 争 引理2 2 2 ( b o r e l - - c a n t e l l i 引理) ( i ) 若p ( 4 ，) o o ，则有p 4 i ，i 0 - - 0 ( i i ) 若事件序列 4 ) 相互独立，且p ( 4 i ) = o o ，则p 以，i - 0 = l 证明参见文献 2 。 引理2 2 3 若口，p o ) 是丁的非减连续函数，且满足条件： ( i ) 0 a 7s t 女徽大学硕十学位论文 维纳过程存加秘线忤组合下的若干结果 ( i i )三是连续非减的 o t ( i i i ) h l i m a r t = l 那么对任意r 都有a ，= t 。 e a r l ( 反证j 假如存在个t 使得d ，t 则有： 口， t ( 此因条件( i ) ) 现记： a r r _ _ 2 = p 则有p t 都有 冬蔓等：p x ) = f 击z 乞 6 安徽大学硕十学位论文 第二章准备知识 f 去( t + 舻；西 = r 去e 一：出+ r 。面1 吉e ：以 由分部积分可得= 去e ( 毋。 = 志e ： 又因为p ( x 工) = f 去z 一乞 f 去( 1 - 3 t - 4 ) z 1 出 ，2 = f 去z 乞+ r 击- 3 吖乞 由分部积分可得 = 去z 上t 3 卜x 土乒t 2 t4 2 x ! t l ? 2 石 = 去( 三一舭手 引理2 2 5 ( e l d v y 重对数率) 若随机过程杪( f ；奶= ( f ) ，o ， 0 则有： 而堕型：1。置 7 ”、2 t l o g l o g t 证明参见文献 3 。 引理2 2 6 设 ( f ) ，o 是w i e n e r 过程，则对任意的工 0 和r o 有下面不 等式成立 7 窒堡查兰堡! ：竺堡丝苎竺竺里堡垄塑坚垡生型鱼! 塑至王丝墨 昙e一：；昙fe一毒一!z；户。s。u；p3，( r ) 一；i 阡，( ，) x 1 s 昙e i ；i 万 乃lj 瞄，一“j 刀 吁明参见文献：3 ：。 引理2 2 7 设 ( ，) ，f o ) 是w i e n e r 过程，则对任意d 0 ，x 0 和t 0 有下 面不等式成立： 三丢p 万 证明由w i e n e r 过程的定义可知 i4 一三 x 二8 ， j 石 e s ( ，门2 0 c r 2 = 号 彳+ 2 + + z = 考 即 鼢一( o ，吾) 由引理2 2 6 可得 即 1 一 三8 ，2 p 石k 括b 丢 j 昙e 吾p 牌( 吾) 晦。，卜x 昙z 一毒 引理得证。 引理2 2 8 设 矿( f ) ，t o ) 是w i e n e r 过程，则有下式成立 呐l i m s u p 。怨( z g 舯帅删l = t a s 证明参见文献【3 】。 8 s 、， r d ，l罂 ，、l 、 r d ，l p 2 1u 三j 嗣畦 ，、l 安徽大学硕十学位论文 第三章定理的证明 第三章定理的证明 3 1加权线性组合下维纳过程增量有多大的若干结论 d 主要结果： 嫂d 为j f 整数，“，为实敛且“，2 = l ， ( f ) ，f o 是满足定义 = l 2 1 1 下的w i e n e r 过程，& m 为定义2 1 2 下的w i e n e r 过程在【f ，s 】上的 加权线性组合。 若仃o ) 是t 的非减连续函数，且满足条件： ( i ) 0 0 有： p ( 爿( 丁) 鬲) = p is u p s u 舱卜而l 、o ! ，“，o 二、二晰， ：p s u ps u p 水i 瓜阿b g 扣o s r 刑 母x 十掣 = 百c t 唧卜占 ( 崦t + l o g l o g t ) 吣。 1 ) 可得： 艺p瓜)s妻。面1k=l k = l 0 甲 q l l 鄙喜南 一c 喜南锄 注：本文中c 表示常数，可以为不同的常数以下不再说明。 因此对任意占 0 ，0 l 由引理2 2 2 ( b o r e l - - c a n t e l l i 引理) 可得： 丽a ( t k ) 0 存在使得瓦一。 兰， 当p l t - a d o 当p = 1 时，由引理2 2 3 可得： 占佤) = & 陆。) i 令锄 叹计矽叫托 嗄引一形( 剀一叫叫一矿( 掣刎 由目 堡， d ，这时有： t 瓦k + i = o d j k d 瓦 瓦 可得s ( o m 。)( k = l ，2 ) 相互独立，故有 驴牛 安徽人学硕十学位论文维纳过程存加权线性组合下的若干结果 e 轧) = 0 碱“，2 刮降一瓦心彰2 了t k + l 由引理2 2 4 ( 正态分白尾概率不等式) 可得： 嘲柑i 扣婶。) 簪( 2 l o g l o g t k + i 磅 pic。，t，lc+占， ( 2 l o g l o g t , + i ) _ 却( 0 ，1 ) l ( 1 叫啬( 2 l o g l o g t , + i ) 0 c c ( 2 1 0 9 l o 杀g t k (+ 。弦l 而1 ( 2 l o g l o g t k ( + 。弦 ( 2 l o g l o g t k + 1 ) 二 f j r i , l o g t k + lj 去l o g t k 厂南 + - j f l r l l o g 疋+ lj l 伍+ 1 ) “1 ( 1 0 9 0 ) 1 1 4 其中? = 薹 砰n 一 一 目一d 口一d ，l，。， 瓦 瓦 = 去 盏 p i 吖 一日 丁| d 一占 占 因比 安徽大学硕十学位论文第三章定理的证明 所以 喜p b 。l 砾儿，j | - 一占 砉( k + 0 - 上0 0 9 0 ) - 由引理2 2 2 ( b o r e l - - c a n t e l l i 引理) 町得 鬲既i 圳i l 又由引理2 2 5 ( p l 6 v y 重对数率) 可得 一l i m , o k j 甜。1 1 w ( 瓦+ 】：归面i 丽钆“ 所以又由 尻+ ，s ( o m ) = 以+ 。s ；儿。) + & 。o t ，矿( 矗) 可得 所以 因此 i & + 。s ( 0 轧) l 2l & + 踮) l - 慨。口。亿】 而i & 。s ( o 圳卜1 - 丽m p , 。陆圳五鬲& 1 1 w ( 瓦】 1 一些 q d ! = 生 1 丽占仃) = r 斗。 命题证毕。 注：在上述结论中如果令d = l ，则就是文献 3 0 0 的重要定理1 2 1 。 蒜一需弼 i 扣 s 屏 画 ，血徽大学硕十学位论文 维纳过程存加权线忭组合下的若干结果 3 2 加权线陛组合下的维纳过程不可微分模定理 主要结果：设d 为平擎数，口，为实数且口，2 = 1 ， ( f ) f o 是满足定义 2 1 1 下的w i e n e r 过程，s 。) 为定义2 1 2 下的w i e n e r 过程在【5 ，f 】上的 加权线性组合。 则有下面命题成立 。l i 。m 。i n f 。恐、蔬7 0 9 i h 一- m _ ，l = l a s 个不等式就可以了。即： 对任意的占 0 都有 孙l i r ai 。n f 。恶j 警i i s , l _ 占 a s 而m 一恶、荔 1 叫 乱& 觋i n + f 。恶拦笋h 阻占 a s 加o s j l 一6 0 9 玉v万 l 、v7 ( 注：上面两式中的占不一定是十i i n n ) 第一步：先来证对任意的占 0 都有 0 ) 一l i r a i n + f 。恶j 墅等芋阻占 a s 证明：取s ，= 访( 1 。g h 。) 。f = ( o ，l ，2 ，岛) 其中岛= jh - l ( 1 0 9 h 。1 ) 3i 可得 p k 恶脬k 一小0 = p ko 扯。k d n ) ) l ( 1 占) ( 爿1 1 6 室塑查兰丝! 兰堡丝苎 苎三! 塞里塑鲨婴 州，p 陋) i 卜占等 由引理2 2 7 得 嘲州昙唧 _ 南魄) 1 ( 1 。g h 。) 3 + l 抄神2 一f ) 2 1 ( - 。s 厅一1 ) 3 + 昙n ( 1 一p ) 一2 由于我们是考虑占充分小，故当o 占 l 时，令仃= ( 1 一c ) - 2 - | 由0 占 0 此时 故 所以当h 取吃= ，l 一 ：! “生生o , r e p 恶愁属# l o r 。则l i m b , = 0 ，由上式可得 h 瑚 磐破器乒i 小占 其中s ，= i h 。( 1 0 9 h 一1 ) 3 1 7 1 占l 鸟0 j a 噜s a s h r 矿 4一万4一疗 | | = )q 室墼查兰堡兰竺丝兰 丝塑塾堡生垫壑垡世丝鱼! 竺堇竺墨 考虑s - - s j + 令巧= 吃( 1 。g h ；) 4 则! 熟睇= o 可得 蔓s u ps u p l 0 5 e i o g j kl d ( 1 0 9 何1 ) 2 d ( 1 0 9 玎) 2 2 h 1 、j，【 一 、j ，( 形 ，。l 巾钆吼归 越饥 m pfj 所以 故 = 爿芈 ! ! m m 。巩a x 。s 。u 乱p 。l ( 3 ) 因为 d ( 1 0 9 吃 叮 眇( s ) 一( ) l l a s 画瞬恕( 掣加沪喇- 她 墼。感 勰 = l i r n 。i 蝉。s u p m o 如s l 一“0 9 s 虬 2 磐。鲤k 器 纠矿( 吲一( 什钏 i 陲a p ( 什纠一( 什孚，) + ( t + 号， _ ( s + 号，) + ( 耳+ 等f _ ( s + 等，) l 由 陲q ( ，+ 纠一酽( 一等， + ( 毋+ 纠一( 丑+ 纠+ 矿( 暑+ 等r 一矿( s + 等r 】 l 姜a p ( 一+ j ，) 一( 一+ 孚，) + 凳q ( s + j r ) 一( 一+ 别嘻q ( 一+ 孚，) 一( 一等r 1 1 9 一弘liij 脬孱脬 安徽大学颀七学位论文 维纳过程d 加权线件组合下的若干结果 书嚆dq 打矽( t 剞悸q 托+ 孚，) 一( 钏j - i l 墨。，l i 芸口， 彤( s + 寺r 一( 薯+ 号， l 一( s + 钏卟+ 等，刈 l 墨。，i 一萎【( s + 考， 一( 十三，) i 可得： 一静( s + 孚r ) 一矿( + 孚r ) l lira i n f 一“嚣、 雾s d l o g h - l 恶破器降 r 嵯m 剖一( 吲h 钏一形( + 铡1 l i l 1 1m 1 1 1s u p ；i o s l 5 o g 砜 2 磊l i r a 。m s s i n 。s s f u 矾p i ( s + 吾，) 一( 墨+ 号r ) i 钏一( 置+ 等，) l ( i ) 一再dm 脚磷潮( d ( 1 。：g h q fj 、| w 剞一矿( 吲l ( 畚于 2 0 降降 鲫。似 姒雠 觚钒 强钒丽画 。一。乏一 窒堂查兰堡! 兰垡堡苎 一兰三! 里里堕! ! 旦 一量, o l ! m 唆驾( 掣静( s + 等r p ( p 等r i ( 赤于 由( 2 ) 式可得对任意的o 占 l 有： ( i ) 式1 一 d ( 3 ) 式【】得 佃啡d 烛( 淼 j = 0 又因为( 1 i ) 式不可能是小于零的所以 ( i i ) 式= 0 同理 ( 1 1 1 ) 式= 0 所以对任意的0 s l 都有 凳。鲤翟 k ，i t 一占 成立。 令。 0 有 颥。飘戮v 砌h - 1 一s 归+ 占 证明：令i = i h ( f _ 0 12 1 ) 有w i e n e r 过程定义可知s ( 纠相互独立。 由 由引理2 2 7 恼删辱8 d i 8 瓦g o g h - i 艮。+ 0 = p 0 j k 阵h 一小占 ) 陶 雾8 dl o g h _ l 卜 。h 恶严雾陷枉占 降x p ( 1 + 占) 2崦一矿p ： t 一昙 c l + f 广r 1 1 一5 广r = ( 一昙乃盯) p 。1 唧r 2j j z 。 与。 矿_ 其中仃= 1 + 8 ) - 2 l 嘲- 1 孽 窒丝查兰竺堂堡笙塞 兰三兰室里塑堡望 。m f i n 恐v 雾丽- o g h - t 令h 。= 船1 又因为 l i m i n f s u p m o s ，e l 一“o 型s 扎 由( 6 ) 式可得 l i m i 蜒s u p n i 。0 岛i f0 鲥虬 取吃+ l h 0 有 甄。觋恶1 俘酬外占 甄蕊泌脬 1 + 占 即( 5 ) 成立 定理得证! 注：在上述结论中如果令d = l ，则就是文献【3 】中的重要不可微分模定理1 6 1 。 论 孽 安徽大学硕十学位论文 维纳过程存加权线性组合下的苕十结果 参考文献 张节松，沈照煊w i e n e r 过程增量的尾概率估计的推广 安徽大学学报 增刊( 自然科学版) 2 0 0 5 1 23 6 3 8 。 2 1 林正炎，陆传荣，苏中根 概率极限理论基础 高等教育出版 1 9 9 9 8 8 9 。 【3 1c s 6 r 9 6 m ，r e v d s z p s t r o n ga p p r o x i m a t i o ni np r o b a b i l i t ya n d s t a t i s t i e sn e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s 1 9 8 12 3 3 8 。 c s 6 r 9 6 m r d v d s z p h o w b i ga l et h ei n c r e m e n t so faw i e n e rp r o c e s s ? t h e a n n a l so f p r o b a b i l i t y 1 9 7 977 3 1 7 3 7 。 c s 6 k i e c s 6 r 9 6 m ，l i n z ya n dr c v 6 s z po ni n f i n i t e s e r i e so f i n d e p e n d e n to m s t e i n - u h l e n b e c kp r o c e s s e s s t o c h a s t i cp r o c e s s a p p l 3 9 2 5 4 4 。 【6 】c h u n g k l ac o u r s ei np r o b a b i l i t yt h e o r y a c a d e m i cp r e s s1 9 7 4 。 7 1 程士宏高等概率论北京大学出版社 1 9 9 6 。 【8 】 严士健，刘秀芳测度与概率北京师范大学出版社1 9 9 4 。 【9 】l 0 6 v e m p r o b a b i l i t yt h e o r y4 t he d i t i o n b e r l i ns p r i n g e rv e r l a g1 9 7 8 。 【1 0 】林正炎，陆传荣，张立新高斯过程的样本轨道性质科学出版社2 0 0 1 。 一 d 争 安徽人学硕十学位论文 参考文献 1 1 】c s d k i e r 6 v 6 s z ph o wb i gm u s tb et h ei n c r e m e n t so fw i e n e rp r o c e s s ? a c t a 、f a t h a c a d s c j h u n g a r 1 9 7 93 33 7 4 9 。 1 2 】c h c n g j ( 陈桂景) k o n g e ( 孔繁超) l i n z y ( 林正炎) a n s w e r s t os o m e q u e s t i o n sa b o u ti n c r e m e n t s o faw i e n e rp r o c e s s a j l l l p r o b a b 19 8 61 4 1 2 5 2 1 2 5 6 。 1 3 1 陆传荣两参数w i e n e r 过程的增量有多小? 数学学报 1 9 9 13 42 5 2 - - 2 5 9 。 【1 4 】 陆传荣张立新王尧弘两参数分数w i e n e r 过程的大增量中国科学 2 0 0 13 14 2 2 - 4 3 2 。 【1 5 】邵启满关于w i e n e r 过程增量的注记数学杂志1 9 8 661 7 5 1 8 2 。 【1 6 】刘坤会一个与w i e n e r 过程增量连续