（概率论与数理统计专业论文）arch模型族的参数估计及其应用研究.pdf

北京交通大学硕士学位论文中文摘要 中文摘要 摘要：二零零三年十一月，瑞典皇家科学院决定将二零零三年的诺贝尔经济学奖 授予美国纽约大学的r o b e r tf e n g e l 和美国加州大学的c l i v ew j g r a n g e r ，以表 彰他们在分析宏观经济和金融时序数据中所发明的统计方法，其中，e n g e l 教授提 出的自回归条件异方差( a r c h ) 模型 1 1 ，对描述金融时序数据波动的多变性提供 了一种简洁有效的分析方法。由于时序的方差及均方差随时间而波动是金融时序 的主要动态特征，a r c h 模型一旦进入了金融界，便像雨后春笋般的迅速发展起 来。各种类型的a r c h 模型层出不穷，a r c h 特征已成为金融时序分析中的最基 本特征，并构成金融学和金融管理学的研究重心l q 。 本文对a r c h 模型族的参数估计及其在测量金融风险中的应用进行了初步研 究，得出的主要结论有： 1 ，提出了基于g e d 分布的口一g a r c h 模型，给出了该模型的平稳遍历性和 高阶矩的存在条件，在g e d 下，将时间序列尾部的特征融入到p g a r c h 模型 的参数估计之中，给出了该模型估计的b h h h 算法。 2 ，提出了基于g e d 分布的混合自回归条件异“方差”模型，将时间序列尾 部的特征融入到混合条件异“方差”模型的参数估计之中，发现模型中的指标r 和 尾部厚度指标之间有有趣的对应关系。给出了该模型参数估计的e m 算法，并利 用b i c 准则对模型进行定阶。 3 ，用当前金融领域刻画条件方差最典型的g a r c h 模型及其衍生模型e g a r - c h 、p a r c h 等，分别在正态分布、t 分布和g e d 分布假设下，再结合上证指数、 上证综合指数、深圳成分指数和深圳综合指数进行实证分析，并对结果作了比较， 分析各种模型的优缺点、与分布假设的关系以及与指数序列数据的关系，得出一 些新结论，对研究分析我国的股票市场有一定的参考价值。 关键词：g a r c h ；e g a r c h ；p a r c h ：g a r c h - m ；混合a r c h ；口一g a r c 日； 厚尾性；参数估计；风险测量；v a r ；t 分布；g e d 分类号：0 2 1 2 北京交通大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t a b s t r a c t ： w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h em o d e mw o r l d e c o n o m yp l a yav e r yi m p o r t a n t r o l ei nw o r l ds t a g e a tt h em e a nt i m e ，t h er e s e a r c hf i e l do fs o c i a ls c i e n c ea n d n a t u r a ls c i e n c ew h i c ha r ea s s o c i a t e d 丽t he c o n o m yh a v eb e e nm a d eap r o f o u n d i m p r o v e m e n tc o n s e q u e n t l y a m o n gt h e s e ，i nt h e 缸l do fs t a t i s t i c s ，t h et o p i co f f i n a n c ea n de c o n o m yt u r nt ob et h em o s tp r e v a i l e do n e o w i n gt op r o p o s et h ec o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t ym o d e l ，e n g l ew a sa w a r d e d n o b e lp r i c eo fe c o n o m yi n2 0 0 3 f o rt h et i m ev a r y i n gv o l a t i l i t yi st h em a i nc h a r a c t e r o f f i n a n c i a ls e r i e sd a t a i ti sn od o u b tt h a ta r c hm o d e l sh a v eb r o u g h tam o m e n t o u s a n dp r o f o u n di n f l u e n c ei n t ot h ef i e l do ff i n a n c e t h ea r t i c l ee l e m e n t a r i l yd i s c u s s e st h ep a r a m e t e r se s t i m a t ef o ra r c hf a m i l y m o d e la n du s et h e mt oe v a l u a t ev a ro fc h i n as t o c km a r k e t i n gc o m p a r a t i v e l y t h e m a i nc o n c l u s i o u sa r ea sf o l l o w s ： 1 ，an e w 口一g a 冗c 日m o d e lw i t hg e d ，i sp r o p o s e df o rm o d e n i n gn o n l i n - e a rt i m es e r i e ss t a t i o n a r ya n de x i s t e n c eo fm o m e n t sc o n d i t i o n so ft h em o d e la r e d e r i v e d t h ee s t i m a t i o no ft h ep a r a m e t e r so ft h e8 一g a r c hm o d e lt a k et i m e s e r i e sh e a v y - t a i l e dn a t u r ei n t oa c c o u n t ，a n di tc a nb ee a s i l yd o n et h r o u g hb h h h a l g o r i t h m 2 an e wm i x t u r ea u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i cm o d e lw i t hag e n - e r a l i z e de r r o rd i s t r i b u t i o n i sp r o p o s e df o rm o d e l l i n gn o n l i n e a rt i m es e r i e s t h ee s t i - m a t i o no ft h ep a r a m e t e r so ft h em i x t u r ea u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c m o d e lt a k et h et i m es e r i e sh e a v y - t a i l e dm a t u r ei n t oa c c o u n t ，a n dd e t e c tt h a tt h e i n d e xrc o r r e s p o n d i n gt ot h et a i l - t h i c k n e s si n d e x ，t h ee s t i m a t i o no ft h ep a r a m e - t e r sp a t hb ee a s i l yd o n et h r o u g he ma l g o r i t h ma n dt h eo r d e rm o d e li sa l s oe a s i l y s e l e c t e db yb i cc r i t e r i o n 3 ，w ea n a l y z ea r c hf a m i l ys u c ha sg a r c h ，e g a r c h ，p a r c h ，a n dc o m - p u t e sv a ra b o u ti n d e xo fs h a n g h a is t o c ke x c h a n g e ，s h e n z h e ni nn o r m a ld i s t r i b u - t i o ns e p a r a t e l ya n dt - d i s t r i b u t e ，g e dd i s t r i b u t e w eg o ts o m en e wr e s u l t sa n dw e c a l lu s et h e mt oe v a l u a t ec h i n as t o c ke x c h a n g e k e y l v o r d s ：g a r c h ；e g a r c h ；p a r c h ； g a r g h - m ；p g a r c 日； m i x t u r ea r c h ；h e a v yt a i l ；p a r a m e t e re s t i m a t e ； v a r ；r i s km e a s u r e s ；t - d i s t r i b u r e d ；g e dd i s t r i b u t e d c l a s s n o ：0 2 1 2 北京交通大学硕士学位论文 图表清单 图表清单 图1t 分布密度函数图9 图2t 分布尾部的密度函数图9 图3g e d 密度函数图1 0 图4g e d 尾部的密度函数图1 0 图5 上证综合指数对数收益率曲线图2 6 图6 上证指数对数收益率曲线图，2 6 图7 深圳成分指数对数收益率曲线图2 6 图8 深圳综合指数对数收益率曲线图2 6 图9 上证综指在g a r c h 0 ，1 ) 一n 假设下的v a r 上、下置信线3 2 图1 0 上证综指在g a r c h ( 1 ，1 1 一t 假设下的v a a 上、下置信线3 3 图1 1 上证综指在g a r c h ( 1 ，1 ) 一g e d 假设下的v a r 3 = 、下置信线3 3 表1 指数序列统计性质描述2 7 表2 指数序列自相关性检验结果2 7 表3 指数序列平稳性检验结果2 8 表4 指数序列异方差性检验结果2 8 表5 上证综指在正态分布假设下的参数估计结果2 9 表6 上证综指在正态分布假设计算得到的v a r 值2 9 表7 上证综指t 分布假设下的参数估计结果3 0 表8 上证综指在t 分布假设计算得到的v 嘏值3 0 表9 上证综指在g e d 分布假设下计算得到的参数估计结果3 1 表1 0 上证综指在g e d 分布假设下计算得到的v a r 值3 l 表1 1 上证指数在正态分布假设计算得到的v i r 值3 4 表1 2 上证指数在t 分布假设计算得到的v a r 值3 4 表1 3 上证指数在g e d 分布假设计算得到的v a r 值3 4 表1 4 深圳综合指数在正态分布假设计算得到的v a r 值3 5 表1 5 深圳综合指数在t 分布假设计算得到的v a r 值3 5 表1 6 深圳综合指数在g e d 分布假设计算得到的v 椒值3 5 表1 7 深圳成指在正态分布假设计算得到的v a r 值3 6 表1 8 深圳成指在t 分布假设计算得到的v 抓值3 6 表1 9 深圳成指在g e d 分布假设计算得到的v a r 值3 6 致谢 首先非常感谢我的导师一柳金甫教授，本论文的各项工作都是存柳老师的悉心 指导和亲切关怀下顺利完成的。两年多来，无论是在基础课学习过程中，还是在 论文的选题，研究以及成文的过程中，柳老师自始至终都给了我大量的支持和帮 助。柳老师以渊博宽广的知识系统、严谨务实的治学态度和把握科学前沿的敏锐 洞察力使我受益匪浅；他谦虚正直、平易近人的长者风范和对学生无微不至的关 怀是给我的另一笔人生财富，在此特向柳老师表示深深的敬意和感激。 感谢关心我们成长的学校、学院领导，感谢给我以传道授业解惑和在生活学 习上支持帮助我的所有老师们。 感谢所有一路走来、互相勉励的同学和朋友，感谢他们在学习和生活中给予 我的关心和帮助。 对父母及家人的感激是无法用语言表达的，他们对我的无私支持和鼓励是我 前进的最大源泉和动力。 最后，诚谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文，诚恳接受您的宝贵意见 和建议，并期待您的批评和指导。 田晓兰 2 d d 拜j j 月 于北京交通大学理学院 北京交通大学硕士学位论文 第1 章引言 1 1 a r c h 模型简介 第1 章引言 经典的计量经济学模型是这样的：y = ，( x ) + e ，其中y 是因变量，解释变 量x 是引起y 变动的n 个主要变量。e 是随机干扰项。为了估计，( x ) 的模型形式及 其中的参数，传统计量经济学对随机项的分布做出一些假定。分别是： 1 e ( e ) = o ； 2 v a r ( z ) = d r 2 ，c o v ( e i ，白) = o ( i j ，i ，j = 1 ，2 ，) 其中n 是样本个数，该 假定表明岛是独立方差同分布的； 3 c o y ( e + ，玛) = o ( i = 1 ，2 ，) ； 4 懈释变量玛o = l ，2 ，) 之间不存在多重共线性； 5 进一步，还假定岛服从正态分布，即一n ( 0 ，d r 2 ) 然而越来越多的研究表明，遵从这些经典假定的经济问题只是少数。大多数 的经济问题由于违背了某个假定而不能套用古典回归模型的参数估计方法、假设 检验与经济预测。在违背经典假定的问题中尤以违背第2 个假定的经济问题最为 引人注目，因为违背这一条假定所引发的异方差、自相关等问题在金融风险、资 产定价、汇率分析、通货膨胀、宏观调控等领域普遍而大量地存在着，因此对其进 行广泛而深入的研究有广阔的应用前景。 异方差与自相关问题提出后，吸引了无数学者不遗余力地研究它。众多研究 成果中，e n g e l ( 1 9 8 2 ) 1 1 首创自回归条件异方差( a r c h ) 模型以其良好的统计性 能而得到广泛的应用。 在传统计量学模型基础上，e n g e l i ； k 条件方差来分析方差的变化，规定条件 方差0 2 是口期滞后扰动平方 。，e 0 2 ，i 。) 的线性函数，则有 珧= 胁+ e t ， 其中 缸= e t ( 砰) = 岛吼， 且 口 d r y , = o t o + o t 毫i = o t o + a ( l ) e 2 t t = l 这里e t i i d n ( o ，1 ) ，a ( l ) 是滞后算子多项式，砰是白的条件方差，且岛i 五一l i i d n ( o ，西) ，h 一1 表示已知信息集。为了保证条件方差砰以概率1 为正，又加了非 负的约束：o t 0 0 ，啦o ( i ；1 ，2 ，g ) 。同时为了保证玑的二阶平稳性，要求多 项式1 一a ( l ) 的特征根在单位圆外。满足上述条件的模型称为q 阶的自同归条件异 方差( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y , 简称a r c h ( q ) ) 过程。 l 北京交通大学硕士学位论文 第1 章引言 1 2 选题背景及意义 二零零三年十一月，瑞典皇家科学院决定将二零零三年的诺贝尔经济学奖授 予美国纽约大学的r o b e r tf e n g e l 和美国加州大学的c l i v ew j g r a n g e r ，以表彰 他们在分析宏观经济和金融时序数据所发明的统计方法，其中，e n g e l 教授提出的 白回归条件异方差( a r c h ) 模型，对描述金融时序数据波动的多变性提供了一种 简洁有效的分析方法。 a r c h 模型主要是采用方差的自回归来描述经济时序中所含的随机震荡信息 之动态特征。毋庸置疑，a r c h 模型是e n g e l 对计量经济学的最重要贡献。由于 时序的方差及均方差随时间而波动是金融时序的主要动态特征，a r c h 模型一旦 进入了金融界，便像雨后春笋般的迅速发展起来。各种类型的a r c h 模型层出不 穷，a r c h 特征已成为金融时序分析中的最基本特征，并构成金融学和金融管理 学的研究重心。e n g e l 对经济学发展的重要贡献在于他巧妙的将金融时序中具有重 要经济含义的动态特征用简洁的统计方法表达出来，从而促使了经济理论的实用 动态化。 a r c h 分析使金融经济学家认识到高频的金融时序中普遍存在的均方差之时 变特征的重要性。这种均方差的时变性表明，金融时序也含有长记忆特征。与宏 观经济时序不同的是，金融时序的长记忆性主要反映在均方差上，而不反映在均 值上。a r c h 模型不仅为应用金融学家模拟风险之动态过程提供了一种简洁有力 的手段，而且为理论金融学家解释a r c h 特征背后的行为规律开辟了一片新的世 界【2 】。 近二十年来，a r c h 模型的实际应用极其广泛。在金融市场分析中，资产收 益率、利率、汇率的动态特征性描述及预测，市场有效性的验证，市场风险的测 量与评估：在宏观范围内，通货膨胀不确定性的度量，汇率变动与外贸的关系研 究，g d p 增长率的变动分析，中央银行政策效应分析，宏观经济变量与证券市场 关系的研究等，都应用了a r c h 类模型。 众所周知，金融市场风险是个经济主体所面临的主要风险之一，同时它也是 其他类型金融风险的基础原因。如何对其进行恰当的管理，是全球工商企业、金 融机构、政府、学术界关心的焦点。近年来，理论界和务实界对此开展的大量分析 研究表明，金融市场风险的测量，是风险管理的核心和基础。基于市场价值测量 法( m a r k - t o - m a r k e t ) 的风险价值方法( v a l u ea tr i s k ，简称v a r ) ，成为金融市场 风险测量的主流方法| 3 】。目前，许多大的投资银行和金融机构都使用含有a r c h 模 式的风险值模型，来频繁监测金融资产之风险暴露程度，以便及时对任何重大风 险变动作出迅速反映。大金融企业的这种行为，突出反映了风险动态信号对金融 市场参与者行为决策的重要性。这样，a r c h 分析方法在金融学中的深远含义也 就不言而喻了。 2 北京交通大学硕士学位论文第1 章引言 1 3 论文的主要工作和创新点 1 在阅读文献的基础上，全面总结a r c h 族模型，并分别给出模型在正态分 布、t 分布和广义误差分布( g e d ) 下参数的最大似然估计。 2 提出了基于g e d 分布的卢一g a r c h 模型，给出了该模型的平稳遍历性和 高阶矩的存在条件，在g e d 下，将时间序列尾部的特征融入到口一g a r c h 模型 的参数估计之中，给出了该模型估计的b h h h 算法。 、 3 提出了基于g e d 分布的混合自回归条件异“方差”模型，将时间序列尾部 的特征融入到混合条件异“方差”模型的参数估计之中，发现模型中的指标r 和 尾部厚度指标之间有有趣的对应关系。给出了该模型参数估计的e m 算法，并利 用b i c 准则对模型进行定阶。 4 ，用当前金融领域刻画条件方差最典型的g a r c h 模型及其衍生模型e g a - r c h 、p a r c h 等，分别在正态分布、t 兮布和g e d 分布假设下，再结合上证指数、 上证综合指数、深圳成分指数和深圳综合指数进行实证分析，并对结果作了比较， 分析各种模型的优缺点、与分布假设的关系以及与指数序列数据的关系，得出了 一些新结论。 3 北京交通大学硕士学位论文第2 章一般a r c h 类模型 第2 章一般a r c h 类模型 2 1 几种常用a r c h 类模型 在对波动性的建模研究中，e n g e l 于1 9 8 2 年开创性的提出了自回归条件异方 差模型( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t y ) 模型，简称a r c h 模型，并 将该方法成功的应用于英国通货膨胀指数的波动性研究。在此后的二十多年时间 里，a r c h 模型的各种变化形式及各方面的应用成果不断涌现，并成为现代经济计 量学飞速发展的一个重要领域。综观a r c h 模型的发展，经历了一次大突破，它就 是文献1 4 1 提出的广义a r c h ( g e n e r a l i z e da r c h ) ，即g a r c h 模型。从此以后，几乎 所有的a r c h 模型新成果都是在g a r c h 模型基础上得到的。本章先介绍几种一般 的a r c h 模型以及其参数估计，接下来的第三章，将介绍几种最新发现的a r c h 族 模型及其各自的参数估计形式。 2 1 1 线形a r c h 模型 一般地，a r c h ( q ) 模型给出的是如下线形回归形式： 轨i 厶一l n ( x t 3 ，砰) 砰= 咖+ a l e ；_ 1 + + o l q 0 口 g t = y t x t 8 这里e 眦l = 五卢，其中五为外生变量行向量，p 为参数向量，表示y t 的均值是 外生变量的线性组合，而白一a r c h ( q ) 。对于a r c h ( 1 ) 过程的高阶矩，e n g l e ( 1 9 8 2 ) 给 出了其存在性定理l l 】a 定理2 1 对于a r c h ( 1 ) 刘i 程，e ( 2 t r ) 存在的充要条件是：嘶兀；：1 ( 巧一1 ) m a x 扫，口) 时，以将是衰减的。 5 北京交通大学硕士学位论文第2 章一般a r c h 类模型 下面给出g a r g 日，口) 过程是平稳过程的充要条件。 定理2 3g a r c h ( p ，q ) 过程是平稳过程的充要条件是 n ( 1 ) + p ( 1 ) 1 ) ，而排除了醒振 荡的可能。而且这种非负限制增加了估计g a r c 日模型的难度。g a 兄c 日模型的 第三个局限性是它很难判断引起条件方差波动源的持续性( p e r s i s t a n c e ) ，而这种 持续性在许多研究金融波动的时间序列时都是核心问题。 在实际研究中，人们发现g a r c h 模型的参数口与卢的和非常接近于1 ，在这 种情况下，条件方差函数具有单位根和单整性，于是人们把符合这种特征的模型 称作单整g a r c h 模型。当g a r c h 模型估计参数有 口p 啦+ 岛= 1 = 1 j = i 时，就称作单整g a r c h 模型，记为i g a r c h 模型。 这时 可以写作 中( l ) ( 1 一l ) e ；= 彻+ ( 1 一p ( l ) ) 地 其中西( l ) ( 1 一l ) i 为m 一1 阶滞后算子多项式，这是由于自回归多项式1 一o ( 工) 一 p ( l ) 有一个单位根，而t , t = ；一砰。 这时，任何对条件方差砰的影响都将持续下去，即砰具有“持续记忆”，而无条 件方差矿无穷大。因此，i g a r c h 模型描述了条件方差波动的持续性质。 2 1 3 均值g a r c h 模型 在金融应用中，人们很自然地会假定资产的预期收益率与资产预期风险是成 比例的，即通常所说的风险越大，收益也越大，所以人们将条件方差或条件标准 差作为外生变量引入到均值方程中。均值g a r c h 模型( 简记为g a r c h m ) 模型的 6 北京交通大学硕士学位论文 第2 章一般a r c h 类模型 定义如下【5 】： r t = 地+ a 巩+ g t 砖= a o + d 1 1 1 + + 唧e 乙+ 岛吐1 + + 岛吐口 ( o o 0 ，o l l ，0 ，岛，岛0 ) 其与一般g a r c h 模型的主要区别在于收益方程不同，考虑了风险。其中a 代表风 险系数。 2 1 4e g a r c h 模型 n e l s o n 提出了指数( e x p o n e n t i a lg a r c h ，e g a r c h ) 模型i 6 1 ，其条件方差为 h 霹2 蛳+ 善岛h 吐，+ 善啦l 蒿l + m 考考 式中岛0 = 1 ，2 ，) 和吼= 1 ，2 ，p ) 是非随机的实数标量序列。 e g a r c h 模型逐一克服了g a r c h 模型的三个局限性： ( 1 ) h 口 的新息随收益方程新息的正( 负) 而为负( 正) ，也就是说当收益比预 期增加时，l n 砰减小，反之亦然。这就弥补了a r c h 与g a r c h 的缺陷。 ( 2 ) 由于条件方差砰由指数形式表示，不论c g i ，岛取何实数，o 都是非负的，克 服了g a r c h 中对参数的非负限制。 ( 3 ) e g a r c h 模型同样解决了g a r c 日模型的第三个局限性。这是由于 e g a 兄g 日模型的条件方差函数是矗一 、瓦二i 的一次函数，可以比较好地判断波动 源的持续性。 2 1 5p o w e ra r c h 模型 d i n g ，g r a n g e r 和e n g l e 在1 9 9 3 年提出一种归纳性很强的p o w e ra r c h 模型简记 为p a r c h 模型n 它将多种a r c h 模型和g a r c h 模型作为其特例。p a r c h 模 型为： 艨搿札t l 西= 咖+ 竺l 嘶( b t l m e t i ) 6 + 凳，伤。 【q o o ，啦o ，岛0 ，一1 m 1 ，6 0 e 埘】和e k r 存在的充要条件是 忑1 q 础l 十+ ( 1 一科】2 警r ( 半) + 娄岛 1 7 北京交通大学硕士学位论文 第2 章一般a r c h 类模型 由此，矗二阶平稳的充要条件是，当6 2 时，满足上式。 p a r c h 模型所概括的模型分别有 ( 1 ) 当j = 2 ， y i = o ( i = 1 ，2 ，g ) ，岛= o ( j = 1 ，2 ，p ) 时，p a r c h 模型就 为e n g l e ( 1 9 8 2 ) 年提出的经典a r c h 模型。 ( 2 ) 当d = 2 ，m = o ( i = 1 ，2 ，口) 时，p a r c h 模型就为b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 年 提出的g a 兄c 日模型。 。 ( 3 ) 当6 = l ，乍= o ( i = 1 ，2 ，q ) 时，p a r c h 模型就为t s g a r c h ， i 塞时a t = o t o + q ( 三) “+ p ( l ) 口l 。 ( 4 ) 当6 = 2 时p a r c h 模型就为g j r g a r c h 模型，此时砰= o t o + a ( l ) + p ( l ) 砰+ ，y ( l ) 扩s ，其d e s 4 是二分变量，当- 1s0 时，s + e l ；否则s + = o a 该模型由s + 捕捉到波动与扰动负相关的信息。 ( 5 ) 当口一0 时，p a r c h 模型为l o g g a r c h 模型，这时l n 砰= 咖+ 口( l ) l n ；+ p ( l ) i n 砰。 ( 6 ) 当d = l 时为z a k o i a n ( 1 9 9 4 ) 年提出的t a r c h 模型。 ( 7 ) 当m = o ( i = 1 ，2 ，q ) ，岛= o ( j ；1 ，2 ，p ) 时，为m g g m s 与b e t a ( t 9 9 2 ) 年 提出的a 咒g 日模型。 2 2 几种厚尾分布 在金融市场中金融资产回报的分布最通常的假设是正态假设，金融经济学很 多模型都要求或隐含了这一假设。但是大量的实证结果表明，正态性假设和历史 回报数据性质并不一致，许多历史回报数据的分布比正态分布呈现出明显的厚尾 性。于是，人们考虑用某些具有厚尾性质的分布取代正态分布假设，本文主要对 比研究a r c h 模型族分别在正态分布、t 分布和广义误差分布( g e n e r a l i z e d e r r o rd i s t r i b u t i o n ，简记为g e d 分布) 下的参数估计及其应用。先简要介绍一下t 分 布： 一，t 分布 定义2 2 1 称随机变量。服从t 分布，若z 有下述密度函数的形式： i ( z , n ) = 丽r ( n + ( 帕1 ) 2 尹+ 芸) 一，一o 。 2 时，t 分布的方差存在，且为n n 一2 ； 当自由度较大( 如竹3 0 ) 时，分布可以用n ( 0 ，1 ) 分布近似。 下面介绍g e d 分布： 二，g e d 分布 定义2 2 2 称随机变量z 服从标准的广义误差分布i s l ，若z 有下述密度函数的 形式： 弛；r ) 2 万而唧 一；j ) 其中a = 【( 2 - 2 r ( 1 r ) ) ( r ( 3 r ) ) 1 1 2 ， r ( ) 为g a i i h n a 函数。记为z g e d ( o 1 r ) 当x = a z + “。则x 有述密度函数的形式： m ；肌r ) _ 南知 一互1 乓笋) ( 2 2 1 ) 为了简化记号，令o ( r ) = r ( a 2 c 1 + 1 r ) r ( 1 r ) ) ，b ( r ) = 1 2 a 一测( 2 2 1 ) 式可以记 为 他；m r ) - n ( r ) 扣 叫r ) 学) 称x 服从参数为( p ，矿，r ) 的广义误差分布，记为x g e d ( # ，矿，r ) 。 参数稠常称为尾部厚度指标( t a i l - t h i c k n e s si n d e x ) 。 特别的，当r = 2 时g e d 分布为正态分布； 当r = l 时g e d 为l a p l a c e 分布( 即双指数分布) 。 若0 r 2 ，g e d 的尾部比正态的薄。参见图3 及图4 。 9 北京交通大学硕士学位论文第2 章一般a r c h 类模型 图3g e d 密度函数图图4g e d 尾部的密度函数图 2 3 常用a r c h 类模型的参数估计 本节以g a r c h 模型为中心讨论常用的a r c h 类模型的参数估计。 以下从g a r c h 回归模型的最大似然估计方法出发进行讨论。取g a r c h 回归 模型： y t = x t b + e t 砰= o t 。十a t s 。2 一；+ 反正； 其中岛一i i n ( o 1 ) 且独立于五和观测向量k 。 定义 五= 【1 ，s i 。，s 乙。，s 乙，吐- ，罹。，吐p j t j = 【n o ，o t l ，o t q ，历，尾，纬1 r = 陋tj 臼t 】 口= 【6 t ，a t ，矿】t = ( b t ，扩) t 则以= 矿邑= z 丁6 一，在随机变量玑服从正态分布下，其条件密度函数为【9 】 地阢w ，= 南唧 毪产) 对于t 个观测值下的对数似然函数为 l ( e 1 = = 每沏，一；娄- n 砰一：t 嚣2 2 一百m l 2 丌，一j 2 n l o f j ；磊 参数向量目的最大似然估计为方程 警= o 1 0 t = 以k瓦玑 八 h r 龃 北京交通大学硕士学位论文第2 章一般a r c h 类模型 的解ax f f l ( o ) 求关于6 的一阶和二阶偏导，得 0 2 l ( o ) a 6 a , y r 警= ；砉毒等( 要一- ) = 乏1 斟r 磅1 ) 姚 壹t = l ( 筹一) 嘉( j 去等) 一：喜南等嚣( 筹) 互1 若t 岫警一韵2 1 、2 + 1 ) 其中， p g t = 磊( b ) + 屈鲰一 扛= l 五( = 【1 ，0 l ，乙2 ，0 。】t 相应于参数j 的信息矩阵为 厶；一；研鬻卜 且 e 船卜砉抽2 玑毋 由此，可取迭代式估计参数6 ： 弘删甜，+ 壹t = l 狰( 聊。1 壹t = li ( 尝) 叫 弘“，z 缈+ ；( 赛) ( 妥) t 。1 i ( 委) 蚍 对l ( 口) 再求关于6 的一阶和二阶偏导，得 警= 娄警+ ；喜( 去，( 警，c 善叫 = 砉警+ 互1 t ( 去m 式中画= a 西抛 瓣o l ( o ) = 一砉( 去) 五砰一。1 。2 e t 五印 1 1 一 巧 | 魄 盟笳 = 吼 卜 = 砰 ，f f或o | 中 陬 式 且 北京交通大学硕士学位论文 第2 章一般a r c h 类模型 其中 + i 1 若t 劬 警h ( 骞) ( 轫) qp 也= 一2 q 五叫t 。+ 成唾一t 相应于参数6 的信息矩阵为 厶= 一；e 【丽0 2 l ( o ) p y ， 且 叫4 ”r 丽0 2 l ( o ) j 1 一壹t = l ( 去) 五霹+ 互1 刁1 ) 2 也吲 同样可取迭代式估计参数6 ： 伊1 ，邻+ 喜【警+ 均( 新) 。1 = 触+ 砉【警+ 狰( 新) 百o l ( o ) a r c 日( 口) 模型的参数估计是g h r c 日0 ，g ) 模型参数估计的特例。 二，在随机变量玑服从t 分布假设下，其对数似然方程为： = t l n r ( 半) _ 1 n r ( ；) 一；l n 防( t ，一2 ) 】) i t ， 1 n ( 硝+ ( 1 + u ) l n ( - + 禹) 这里u 表示自由度，2 ”o o ，r ( ) 表示g a m m a n 数。 三，在随机变量纨服从g e d 假设下，其对数似然方程n l l o l ： l g e d = ， 1 n ( u k ) _ o 5 l 秽一( 1 + ：) h 2 一i n r ( 1 l u ) - o 5 1 n ( a ；) k t 。 ” vo 搜单 0 u 0 ，0 0 ，啦o ( i = 1 ，2 ，p ) ，巳0 u = 1 ，2 ，口) ， 仇) 为独立同分布的随机变量序列，而且有e 仇= 0 ，e i 卵, i = 1 ，另 外，我们假设 聊) 有处处为连续的密度函数，而且 仇) 与口( 咒，s t ) 相互独立， 当p ；1 ，r = 2 时，此模型就是b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 提出的经典g a r c h 模型，参见文 献【7 1 。 二，模型的平稳遍历性与高阶矩的存在性 1 ，模型的平稳遍历性条件 定理3 1 ：假设时间序列 五) 服从模型( 3 3 ) 且_ 8 = 1 ，那a x d 是模型( 3 3 ) 的 平稳遍历解 | - e x t l o o ，当且仅当：1 啦+ 乞1 乃 1 定理3 2 ：假设时间序列 五 服从模型( 3 3 ) j t o p 1 ，那么 x ) 是模型( 3 3 ) 的平稳遍历解。上述两个定理的证明方法分别和文献 1 0 1 中的定理3 1 ，3 2 类似，有 兴趣的读者请参见文献 1 3 】。 2 ，高阶矩的存在性 定理3 3 ：设时间序列 五) 服