（计算数学专业论文）非线性哈密顿系统的有限元法研究及比较.pdf

摘要 哈密尔顿系统是一种重要的力学系统，广泛的出现在物理、力 学、工程、纯数学与应用数学领域通常可以认为，一切耗散可忽略 不计的真实物理过程，都可以表示成哈氏方程的形式从而，对其数 值方法的研究无疑具有重要意义哈密顿系统有两个重要特性：守 恒性与辛结构，用数值方法求解时应尽量保持这些性质 但是任何离散算法，一般而言不能既保能量又保辛( g e - m a s d e n 定理) 回顾近二十年来的哈密尔顿系统的算法研究，重点多集中在 对其辛性质的研究，如：辛差分法( 冯康) 、辛r k 法等这些算法能很 好的保持辛性质然而在很多领域保能量更重要，因此我们转向研究 有限元法 本文重点研究非线性哈密顿系统经典问题一开普勒问题的数值 解法该问题有有两个重要的守恒量：能量( 哈密顿量) 、角动量因 此，我们认为评价该问题算法优劣有三个标准：保能量，保角动量， 长时间计算偏离小本文从传统非辛算法和传统辛算法中挑选有代 表性的方法，如：辛差分法、辛r k 法、辛p r k 法，与有限元方法进 行比较研究发现任意次有限元法始终是保能量的；首次发现有限元 法对角动量计算不仅精度高，而且误差与长时间无关，即：m 次元角 动量误差达到o ( h 2 m ) 精度；此外，长时间计算具有较好的稳定性及 高精度，有限元法轨道误差约为辛r k 法的1 3 关键词：哈密顿系统，连续有限元，能量守恒，辛性质，长时间，开 普勒 a b s t r a c t h a m i l t o n i a ns y s t e mi st h em e c h a n i c a ls y s t e mw h i c hi su s e d t od e s c r i b ed i s 8 1 p a t i o n l e s sp h y s i c a lp r o c e s sa n dp h e n o m e n o n ，a n di ta r i s e w i d e l yi nt h e 矗e l d s o ip n y s l c 8 ，m e c h a n i c s ，e n g i n e e r i n g ，p u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ，e t c i t i sg e n e r - a j l ya c c e p t e dt h a ta l lr e a lp h y s i c a lp r o c e s s e sw i t hn e g l i g i b l e d i s s i p a t i o nc o u l db e e x p r e s s e d ，i ns o m ew a y , b yh a m i l t o n i a nf o r m a l i s m ，s ot h a tt h er e s e a r c hw o r ko f c o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a lm e t h o d si so fg r e a ti m p o r t a n c ei n t e r e s t h 啪i l t o n i a n s y s t e m sh a v et w om o s ti m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i c s ： c o n s e r v e dp r o p e r t i e sa n d p r e s e r v es y m p l e c t i cs t r u c t u r e so ff l o w t h e s ec h a r a c t e r i s t i c sc a nb em a i n t a i n e d i nt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o ni so fg r e a ts i g n i f i c a n c e h o w e v e r ，m o s tn u m e r i c a lm e t h o d sc a nn o tm a i n t a i nt h et w op r o p e r t i e s s l m u l t a n e o u s l y ：s y m p l e c t i ca n de n e r g yc o n s e r v a t i v ei ng e n e r a l ( g e - m a s d e nt h e - o 。e m ) m u c ho ft h er e c e n tr e s e a r c hf o c u s h a sb e e no ns y m p l e c t i c , f o ri n - s t a n c e ，s y m p l e c t i cd i f f e r e n c em e t h o d s ，s y m p l e c t i cr km e t h o d s ，t h e s em e t h o d s c a nc o n s e r v es y m p l e c t i cp r o p e r t i e sw e l l b u t e n e r g yc o n s e r v a t i v ei sm o r ei m - p o r t a n ti nm a n yf i e l d s s ow et u r nt ot h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ln et o c u 8o ft h ee s s a yi so nt h et h e f o c u so ft h ee s s a yi so na l g o r i t h m s o ft h ek e p l e r p r o b l e m ，w h i c hi sai m p o r t a n te x a m p l eo fn o l i n e a rh a m i l t o - m a ns y s t e m t h ek e p l e rp r o b l e mh a st w oc o n s e r v a t i o n ：h a m i l t o n i a na n d a n g u j a rm o m e n t u m w h e nw ee v a l u a t en u m e r i c a lm e t h o d s ，t h e r ea x et h r e ev a r d - s t l c k s ： a n g u l a rm o m e n t u ma n dh a m i l t o n i a nc o n s e r v a t i o na n ds m a l ld e v i a t i o ni nb n gt i m ec o m p u t e w ec h o o s es o m er e p r e s e n t a t i v em e t h o d sf r o mt r a 广 d l t l o n a 上a l g o r i t h m s ，f o re x a m p l e ，s y m p l e c t i cd i f f e r e n c em e t h o d s ，s y m p l e c t i cr k m e t h o d s , e t c t h e nc o m p a r e dt h e mw i t hf e mf r o ma b o v et h r e ea u s p e c t 8 o u r r e s e a r c hs h a w st h a tt h ef i n i t ee l e m e n ta l w a y sc o n s e r v ee n e r g y f o r n o n l i n e a r h a m i l t o n i a ns y s t e m sa r ep r o v e dh i g ha c c u r a c y nc o n s e r v a t et h e i ra n g u l a rm o _ m e n t u m ，t h ee r r o ro fw h i c ho fmo r d e rc o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e 乇h o d s i so ( h ”m ) ，a n di t i s t i m e i n d e p e n d e n t w h a ti sm o r e ，f e mc a np r e s e r v e1 0 n g t e r ms t a b l l l t yp r o p e r t i e sa n dp r e c i s i o no ft h ec a l c u l a t e dp h a s e s p a c et r a c k i t ，s i i o r b i t a le r r o ri so n l yo n et h i r do ft h a to fs y m p l e c t i cr km e t h o d s k e yw o r d s ：h a m i l t o n i a ls y s t e m ，c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，e n e r g y c o n s e r v a t i o n ，s y m p l e c t i cp r o p e r t i e s ，l o n gt i m es u p e r c o n v e r g e n c e ，k e p l e r i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：搠童朱芳沙7 年汐月拶日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密叼。 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：窃微泳考 导师签名罾涨 4 5 莎月 莎月 汐日 8 日 年 年 冲7 期 期 日 日 非线性哈密顿系统的有限元法研究及比较 1 引言 经典力学包括牛顿力学、拉格朗日力学和h a m i l t o n 力学三种等 价的数学形式冯康院士曾阐述一种深刻的认识，“这些不同的数学 等价形式描述了同一个物理规律，但因外形上的差异，在求解过程 中将选择不同的计算方法，从而在实践上是不等效的”因此，从不 同的数学等价形式中作出合理明智的选择对于求解的难易成败是至 关重要的比较而言，哈密尔顿方程具有两个主要优点：1 哈密顿方 程具有非常对称的形式，运动的规律性表现得最明显；2 哈密顿方 程具有更广泛的适用范围，它覆盖了经典型的、相对论的、量子性 的、有限或无限自由度的一切真实的、耗散可忽略不计的物理过程 我国数学家冯康院士曾指出，一切真实的无耗散的物理过程都 可以表示成这样或那样的h a m i l t o n 形式，他们都是常微分或偏微分 方程组h a m i l t o n 系统有两个本质特性：守恒性和辛几何结构传统的 数值方法除少数外都不能保持h a m i l t o n 系统的辛几何结构，如经典 的r u n g e - k u t t a 法，a d a m s 多步法等大多数都有人为的耗散性，即长 时间计算会导致系统总能量的耗散随时间平方增长，最终导致长时 间计算结果的失真现代数值方法遵循的基本原则是尽可能地保持 原问题的本质特征，基于这一考虑，冯康院士于1 9 8 4 年在北京举行 的”双微”会议上系统的首次提出了保持一般h a m i l t o n 系统辛几何结 构的数值方法一辛算法这一算法的提出为h a m i l t o n 系统，甚至是微 分方程数值方法的研究开拓了一个崭新的领域 此后，辛算法的研究吸引了国内外许多的学者的关注，他们进 行了深入研究并取得丰硕成果j m s a n z - s e r n a 4 1 研究了h a m i l t o n 系统 的辛r u n g e k u t t a 格式；a a u b r y ，p c h a r t i e rf 5 利用根树理论构造了 拟辛的r u n g e - k u t t a 方法；s i m o ，g o n z a l e z 【6 等人研究了辛算法的稳 定性；m a r s d e n ，o r t i z ，k a n e 【7 等利用变分方法研究了力学系统的辛 能量动量守恒性；t j b r i d g e s ，s r e i c h s 8 】等利用l a g r a n g e 变换研究 h a m i l t o n 系统的多辛格式 硕士学位论文 辛算法的研究与结果在很多文献中已有阐述，虽然它在许多方 面具有优势，但在保能量方面却有欠缺由g e m a s d e n 定理：对一般 非线性情形，不存在保能量的辛格式它表明：保辛保能量不可兼得 因此所有辛算法对非线性h a m i l t o n 系统一般不能保能量，它们只能 在格式精度的意义下近似保能量a s t u a r t - a h u m p h r i e r 在专著( 1 9 9 8 年) 9 】中也曾两次( 5 8 3 5 8 4 页及2 - 6 4 4 页) 提出：“保辛和能量守恒是 哈密尔顿系统的两个重要特征，一种数值方法能继承这两个特征是 非常重要的，但一般不可能构造这样的格式，它同时拥有这两个特 征”“非常重要的是去分析它们的相对价值：保辛和保能量哪一 个更重要，没有简单的结论因为期望格式具有何种性质与人们所 要求的信息有关辛性质涉及轨道族，守恒适应于单个解轨道因此 保辛被认为是比保能量更强的约束，人们很喜欢但它很难解释单 个轨道的结果。反之，有许多例子表明保能量更重要”他们还具体 指出：“许多论文提出了令人信服的理由，在具刚性的结构动力学中 ( 有高频振动分量，分子动力学也如此) 保能量更重要”当然，他们 也指出，”没有辛性质的计算格式常可导致7 昆沌( c h a o s ) ”然而长期 以来人们对保能量的算法却研究甚少，因此陈传淼教授及其学生汤 琼开创了哈密尔顿系统的连续限元法 在求解微分方程时，有限元采用连续分片多项式表示未知函数， 用正交投影方法确定这个未知函数经过5 0 多年的发展，有限元方 法在理论研究与应用方面都已经比较成熟和完善，由于它对区域的 剖分比较灵活，对各种区域和问题的适用性较强，而且计算精度较 高，目前已是大规模计算和工程计算中应用最广泛、最重要的计算方 法之一本文讨论有限元法求解初值问题，着重研究其求解h a m i l t o n 系统方程时的基本性质 本文第一章简单介绍h a m i l t o n 系统的两大特性，然后综述国内 外现有的相关计算方法及其优劣性；第二章阐述利用有限元方法解 h a m i l t o n 系统的具体过程与相关结论；第三章研究h a m i l t o n 系统的 典型问题一k e p l e r 问题的数值解法，以它为例进行数值试验，我们 从传统非辛算法和传统辛算法中挑选有代表性的方法，如：辛差分 法、辛r k 法、辛p r k 法比较它们与有限元法在保角动量、保能 量、长时间计算偏离三方面的优劣性。研究发现对任意次有限元法 2 非线性哈密顿系统的有限元法研究及比较 始终是保能量的；在长时间计算中首次发现对角动量计算不仅精度 高( o ( 危2 ”) ) ，而且误差与长时间无关 3 非线性哈密顿系统的有限元法研究及比较 2 h a m i l t o n 系统和辛算法综述 首先叙述一下哈密顿系统的要素和记号 设有2 n 个自变量p = 1 ，p 2 ，欺) t ，q = ( q 1 ，q 2 ，q n ) t 以及时间 变量t ，其中p i = 矶( ) ，q i = 吼( t ) ，给定一个连续可微函数h = h ( p ，q ，t ) ， 则哈密顿系统可写成 d 扩p 一等州) ，d q 出= 筹) ( 2 - 1 ) 函数h 被称为哈密顿函数 当h 不显含时间t 时，即h = h ( p ，q ) ，称为自治哈密顿系统，本文 如无特殊说明均讨论自治系统 塞一篑g ) - ，( 舢) ，面d q = 面o h 咖) = ：咖，g ) ( 2 - 2 ) 或者 象= 一面o h ，g ) = ：胁，g ) ，面d q i = 丽o h ，g ) = ：驮( p ，g ) 1 i d ( 2 - 3 ) 方程( 2 - 2 ) 称为哈密顿正则方程 如果记 z = ，凰= 一 三计 可将方程( 2 - 2 ) 表示成更紧凑的形式 三= ：等一j 见( 2 - 4 )z 面2 一爿z 其中厶是n 阶单位矩阵，j 是反对称的2 n 阶辛阵，而且j 有如下基本 性质： ( 1 ) j 一1 = j t = 一zj 2 = 一2 。； ( 2 ) 对任意向量移r 飘，有v t j v 兰o ； ( 3 ) 如果a 是对称矩阵，b ：j a 则b t j + j b ：0 5 硕士学位论文 h a m i l t o n 系统有两个最重要的基本性质：辛结构和守恒性一类 是相空间内偶数维面积的不变性，如l i o u v i l l e p o i n c a r e 守恒律在辛算 法下都被自动保持；另一类是运动不变量，如能量，动量，角动量守恒 等 2 1 辛几何及其性质 定义2 1 以p l ，p 2 ，p n ，q l ，q 2 ，为坐标的2 n 维空间称为相空间，记 为冗2 n 定义2 2 相平面上的单参数变换群称为相流g ：( p ( o ) ，q ( o ) ) 一( p ( ) ，q ( ) ) ，p ( z ) ，q ( t ) 为2 - 2 的解 哈密顿系统研究的基础是辛几何，辛几何是相空间上的几何学 为了更好的理解辛几何，我们先引入熟悉的欧式几何与之比较 欧式空间研= xx = ( 钆，z 。) ) 的欧几里德结构取决于一 个双线性对称的非退化内积： ( 删) = ( z ，z y ) = x t i n y = 巧协，z ，y r n j = l 当x 0 时，( z ，x ) 0 ，我们可以定义长度恻i = 丽 辛几何r 2 n = 倒z = ( x x 。，z ”x 2 n ，) ) 是相空间中的几何 学，具有特定的辛结构，它取决于一个双线性反对称的非退化的内积 一一辛内积 【z ，y 】- ( z ，j y ) = x t j y = ( 奶y n + i x n + i y i ) 当n = 1 时，辛内积变为 r1 p ，y j2x l y 2 一x 2 y l 恰好是两矢量x = ( x ，x 2 ) ，y = ( y 。，y 。) 组成的平行四边形的面积由于 辛内积的反对称性，对任意向量z 恒有【x ，x 】= 0 ，因此不能由辛结构 导出长度的概念 6 非线性哈密顿系统的有限元法研究及比较 概括来说，欧式几何是研究长度的几何学，而辛几何是研究面积 的几何学，它们是两种完全不同的几何结构 下面简单讨论辛空间兄2 n 中的简单性质及变换理论 定义2 3 一个线性变换a 被称为是辛的，如果 【a z ，a y = 【z ，可】，y x ，y r 2 “ 或等价于 a t j a ：j 定义2 4 一个微分同胚w ：r 2 n _ r 2 “被称为在( p ，q ) r 2 ”是辛变 换绒正则变换) ，如果雅克比矩阵 掣 是辛的，即 掣掣卜 定义2 5 一个2 n 阶矩阵s 是辛的，如果 s t j s ：j 所有辛矩阵组成一个群，我们称之为辛群，记作：s p ( 2 n ) 定义2 6 称一个2 讫阶矩阵召是无穷小辛阵，如果 b t j + j b = 0 所有无穷小辛阵可对易运算陋，b = a b b a 组成一个李代数，记 作：s p ( 2 n ) 引理2 7 矩阵b 是无穷小辛阵的充要条件是b = j a ，其中a 是对称 矩阵 定理2 8e x p ( b ) s p ( 2 n ) 的充要条件是b s p ( 2 n ) 不难发现，可利用任何2 礼阶对称方阵a 生成无穷小辛阵了a ；另 一方面也可利用无穷小辛阵和下面定义生成一般的辛阵 7 硕士学位论文 定义2 9 若b s p ( 2 n ) ，且i j + b l 0 ，则 f = ( ，+ b ) ( ，一b ) 却( 2 n ) 此时我们称f 是b 的c a y l e y 变换 定理2 1 0 旷义c a y l e y 变换，设函数g ( z ) 具有以下三个性质? 砂在z = 0 的邻域h r 中解析的i 纠g ( z ) 9 ( - z ) = 1 j 彰g l ( o ) o j 则g ( c ) 跏( 2 n ) 充要条件是c s p ( 2 n ) 2 2h a m i l t o n 系统的辛结构和守恒性 由辛变换的定义可知一个重要的事实：在辛变换下哈密顿系统的 形式不变 设已知h a m i l t o n 系统z t = 一，也，在辛变换z = w ( x ) 下， 日( z ) = 日( 似( z ) ) = ：日( z ) ，魂= 筹耽 此时h 变为关于z 的函数 也= 筹 t 也= 筹 t ，魂= 筹 tj 筹 觑= 抽 由此可知，在新变量z 下，哈密顿形式凰= j 现仍然成立 任何初值问题的常微分方程组的解z ( t ) = z ( t ，t 。，名( t o ) ) ，总由初始 点t o ，初始值z ( 幻) 和当前时刻唯一确定，它可以写成一般的非线性变 换z ( t ) = a ( t ，t o ) z ( t o ) 对h a m i l t o n 系统有如下优美的性质 哈密尔顿力学的基本定理是：任何一个哈密尔顿系统的解是一个 单参数辛群对于任意哈密尔顿体系必定存在依赖h 及时刻t o ，t ，的 辛变换族( 即相流，g t l # 。，使得： z ( t 1 ) = g 2 乒o z ( t o ) 非线性哈密顿系统的有限元法研究及比较 即g 鲁# o 把t o 时刻的状态变为t ，时刻的状态当h 不依赖t 时，相 流只依赖于参数差t 。一t o ，则相流可记为9 备= a b 0 哈密尔顿系统的 相流保持相空间的辛结构 3 】在辛变换下，哈密尔顿方程的正则性不 变，故哈密尔顿动力系统的演化是辛变换的演化 在( 0 ，o o ) 上h 一系统的解z h 1 ( g ) ，对任何平方可积函数 l 2 ( g ) ，在g = ( 0 ，t ) 上满足 ( 魂+ ，g z ( z ) ) v d t = 0 ，z ( o ) = z o ( 2 - 5 ) 具体来说，z = ( p ，口) t ，上式可以写成 ( p t + h q ( z ) ) d = 0 ，( q t z i p ( 名) ) 7 7 d = 0 ，叼l 2 ( g ) ，z ( o ) = z o ( 2 - 6 ) 取 = q 。，叼= p 。，两式相减得 f g ( h a 咖t + 毗池= 么警_ o ( 2 - 7 )，g o 因此推出能量守恒日( z ( t ) ) = h ( z ( o ) ) 2 3 非线性哈密顿系统辛算法介绍 目前，针对h a m i l t o n 系统计算方法的研究已经引起了国内外许多 学者的广泛关注，他们对其进行了深入研究，并取得丰硕成果概括 起来主要有以下几种方法： a 辛几何算法 2 0 世纪8 0 年代以来，h a m i l t o n 系统的辛几何算法一直是我国科学 计算与工程计算的重点研究方向之一，冯康院士及他的研究小组经 过十多年的努力取得了国际领先地位的优秀成果他们提出了辛几 何算法，该算法的每一步都是辛变换，从而确保其最终计算结果也能 保持较好的辛结构性质，特别是在稳定性与长期跟踪能力上具有独 特的优越性 我们列举几个具体的辛格式，简单说明它们的辛性质，并为进一 步研究作参照之用 9 硕士学位论文 冯康首先证明e u l e r 中点格式 z j + 1 = + h j _ 1 见( z + ) ，z = ( z j “+ z j ) 2 ，( 2 - 8 ) 也是辛的事实上，对夕求导有 百o z j + l = ，+ h j 。刚纠( 丢筹+ 轨 解出导数 筹= ( i - c ) - 1 ( h 既c = l h j 一蹦纠， 其巾皿：是对称矩阵，故c 是无穷小辛阵，它是c a y l e y 变换，为2 阶 精度的对角p d d e 逼近 冯康，汪道柳，邬华谟【1 6 1 7 ，等利用生成函数法构造了哈密尔顿 形式的高阶正则差分格式4 阶辛差分格式( 我们简记为4 s s ) + 1 = z 惫+ j 一1 v h ( 2 ( z k + l + z k ) 一甄h 3 j - 1 v 。( ( v 日) ? j 见：j v h ) ( i ( z k + l - z k ) ) ( 2 - 9 ) b 辛r u n g e - k u t t a 法和辛配置法 在辛算法创始初期，一般认为传统算法均不可能是辛的但这一 观点在1 9 8 8 年前后被否定了s a n z - s e r n a ，l a s a g n i 和s u r i s 先后独立地用 不同方法证明了存在某些特定格式的r u n g e - k u t t a 方法为辛算法 为计算z t = 厂( 名) ，z ( o ) = z o ，在小区间( t j “t j ) 上取m 个分点t j i = t j 一1 + s i h ，0 s o 8 1 二b t g ( p i ，q i )( 2 1 0 b ) 其中a 谢，b l 等系数可表示成b u t h e r 阵列 一：a = ：a ( 1 ) 当a a 时，我们称上述方法为p a r t i t i o n e dr u n g e k u t t a 法 ( p r k ) ，这个方法是孙耿【2 9 3 0 ，y b s u r i s 等利用树根理论提出来的 判断p r k 法是否具有辛性质，我们有如下结论【3 1 】： 定理2 1 1 如果8 级p r k 法俾一l o ) 的b u t h e r 阵列参数满足下列关系? 玩= b i ，i = l ，s ，( 2 1 2 a ) 茂。巧+ 幻动t 一玩如= 0 ，i ，歹= 1 ，8 ， ( 2 1 2 b ) 则称该p r k 法是辛的p p 冗驯 例1 ：三级四阶s p r k 法，简记为：4 s p r k ，该方法的参数如下： ( 2 1 3 ) 硕士学位论文 ( 2 ) 当a = a 时，就为通常的r u n g e - k u t t a 方法，l a s a g n i 2 1 】与 s u r i s 2 2 】中给出了一个s 级r k 方法是辛的充分条件： 定理2 1 2 如果s 级r k 法俚一j 砂的b u t h e r 阵列参数满足下列关系? b i a o + 叼 = 玩幻，i ，歹= 1 ，s ， 则称该r k 法是辛的( s r k ) 例1 ：隐式中点法( 一级二阶辛算法) 例2 ：二级四阶辛r u n g e - k u t t a 方法，其b u t h e r 阵列： 一1 一近 三 一1 一近 2644 6 三上丛 1 一近 量 2 6464 l1 22 ( 2 1 5 ) c 多辛算法 单辛算法是对只有一个辛结构的h a m i l t o n 系统而言的若一个微 分方程有两个或多个辛结构的h a m i l t o n 系统，可认为也能构造出保 持它的所有辛结构的数值方法。我们称能够保持h a m i l t o n 系统的多 个辛结构数值方法为多辛算法 b r i d g e s ，r e i c h ，m a r s d e n ，以及秦孟兆、洪佳林、尚在久等在这一领 域做了许多创造性的工作 2 7 】 d 保体积算法( 尚在久) 17 【1 8 】 e 辛多步法( 唐贻发) f 有限元方法( 陈传淼、汤琼) 2 4 辛算法的分类和主要优势 辛算法的研究与结果在很多文献中已有阐述，泛而言之，常用的 构造辛格式的算法有以下几种【2 8 】： 1 2 非线性哈密顿系统的有限元法研究及比较 ( 1 ) f e n g 3 】的生成函数方法它是经典生成函数与h a m i l t o n j a c o b i 方程理论的推广其做法是选择一个适当类型的生成函数，其显式地 表达为b c f n - t 的级数形式，以某种方式截断或估计它，并取估计的生 成函数的梯度，这样便自然得到某一辛变换的隐式表达式，此辛变换 对应一个辛的数值差分序列，是原真解流的一个估计； ( 2 ) 传统的求解常微分方程的数值方法如r k ，r k n 方法等等， 这类方法只需要筹与等的函数估计，不用计算h 的高阶导数； ( 3 ) 可分h a m i l t o n 系统的显式辛格式对于一般的h a m i l t o n 系 统，不存在显式易于执行的辛格式，但对于可分的h a m i l t o n 系统，即 h ( p ，q ) = u ( p ) + y ( 口) ，存在易于执行且需要较少内存的显格式 辛算法对于求解h a m i l t o n 系统的优势主要体现在以下三个方面： ( 1 ) 由k a m 定理，辛算法能保持原h a m i l t o n 系统中大部分的不 变环；在原h a m i l t o n 系统中心型平衡点的领域，辛算法有类似的稳 定性质，这就在一定意义下说明辛算法能够保持相空间中轨迹的拓 扑结构；长期的数值计算是比非辛算法更为可靠的，而非辛算法把原 h a m i l t o n 系统变成一个耗散系统，将存在吸引子，长时间计算后破坏 系统的拓扑结构； ( 2 ) 辛算法对于周期h a m i l t o n 问题，周期t = t ( h ) 仅依赖h a m i l - t o n 函数日，例如k e p l e r 问题，相平面中轨迹的总体误差呈线性增长， 而非辛算法将会引起总体误差呈二次增长； ( 3 ) 辛算法的能量误差在指数长时间内以o ( h v ) 保持界定( p 是 辛算法的阶) ，而非辛算法的能量误差将呈线性增长 辛算法的这些性质都可以通过向后误差分析来加以解释：辛算法 的数值解精确地或非常接近地是一个扰动h a m i l t o n 系统的真解，而 对于非辛算法，其数值解对应的扰动系统不是哈密顿系统 1 3 非线性哈密顿系统的有限元法研究及比较 3 非线性h a m i l t o n 系统的有限元算法及其基本结论 3 1m 次有限元法计算格式s n 2 n 速技巧 考虑一般非线性h a m i l t o n 系统， z t = 一j h z ( z ) ，z ( o ) = z o 求它在t 时刻的解 首先对区间h = 【0 ，t 作剖分：z h ：t o = 0 t 1 t = t ，记单元 g j = ( t j ，t j + 1 ) ，半步长= ( t j + l t j ) 2 为简化起见，可用坐标变换t = u ( s ) = t j + t z + h i s ，将单元e j 变 换到标准单元【一1 ，1 】则z ( t ) = z ( u ( s ) ) ，仍记为z ( s ) 则存在导数关 系：眈z ( s ) = d z ( 、t 、a t = d t z ( t ) h j 在e = 一1 ，1 】上取m + 1 个分点s o = 一1 8 1 - 8 。= 1 ，作m 次 l a g r a n g e 插值 m z ( s ) = l 。( s ) z ( s ；) 其中厶是m 次l a g r a n g e 插值基函数如： 二次元： z ( s ) = 兰尹乃+ ( 1 - - s 2 ) 乙+ 。2 + 兰笋弓+ 。， 在g 上连续且分片仇次多项式函数组成有限元空间铲但是连 续有限元在每个单元上有一个自由度匹配的问题在每个单元上任 何m 次多项式p m 有m + 1 个参数，但起始点的值已知，因此只有m 个自由度定义h a m i l t o n 系统的m 次连续有限元在单元g j = ( t j ，t j + 1 ) 上，m 次连续有限元法满足m 组的正交关系： 厶( 五+ ，也) 俐= 。，吒乩即) 2 缅，( 3 - 1 ) 1 5 硕士学位论文 在标准单元上则满足： ( 磊+ h j j h z ) v d s = 0 ，j = 0 ，1 ，m 一1 ，u p m l ，z ( o ) = z o ， ( 3 - 2 ) je 由于z = p ，q r 2 n ，上面得到的是2 咒个方程组，又影有m 个不同 的选择，共得到仇x2 n 个方程，联立求解得到乙+ 1 重复上述过程，一 步步往前推进，最终求出z ( t ) 在上述算法中不难发现，一般非线性h a m i l t o n 系统的求解可归 结到求解一个非线性方程组上求解非线性方程组一般都要使用迭 代法，其中n e w t o n 法是最古老最经典的，至今仍是非常重要的计算 方法，本文中仍采用该迭代方法。 由于n e w t o n 法的迭代过程巾要多次对不同值的u ，计算其切矩 阵，其工作量很大。提供一个好的初值就能减少n e w t o n 法的迭代次 数，从而减少计算时间，下面提供两种为n e w t o n 法提供较好初值的 方法。 法一：插值系数有限元法提供初值 插值系数有限元法是传统有限元法的一种简化算法，在求解非 线性方程组时，其计算量相对传统有限元较小。利用这一性质提出 了改进的有限元算法 基本思想：利用插值系数有限元法为求解非线性方程组提供较 好初值，然后回到原方程组用牛顿法求解。较好的初值能减少牛顿 迭代的次数，达到节约计算时间的目的。 法二：用已知节点构造插值函数提供初值 基本思想：在计箅本单元节点值时，利用前面一个或多个单元的 已知节点值构造一个插值函数，为本单元的牛顿迭代提供较好初值。 以四次插值函数为例，利用前面两个单元的五个已知节点值( 包括 中点) 构造一个四次插值函数，用该插值函数求得本单元节点及中 点初值，为进一步迭代求解提供较准确的初值。 1 6 非线性哈密顿系统的有限元法研究及比较 3 2 非线性h a m i l t o n 系统有限元算法的若干结论 在h a m i l t o n 系统有限元算法这一个领域，陈传淼教授及其学生汤 琼已做了深入的研究，已得到下面结论【l o - 1 2 】： 定理3 1 3 能量守恒) 用任意次连续有限元求解哈密顿系统，能量始 终守恒，即在任何节点t j 上有h ( z ( t n ) ) = 日( 2 ( o ) ) 证明：h a m i l t o n 系统的m 次连续有限元z s h 在单元上满足m 个 正交条件 ， ( 互+ ，也( z ) ) v d t = 0 ，秒p m 一1 ，z ( o ) = z o ( 3 - 3 ) jk t 若将z = ( p ，q ) t s 分开，上式也可写为 rf ( 只+ ( z ) ) f d = 0 ，( q 一埤( z ) ) y d t = 0 ， ，7 一1 ，z ( o ) = z o jk jjk 4 ( 3 4 ) 由于这里，7 7 是任何m 一1 次多项式，特别地可取导数= q ，7 7 = r ， 两式相减仍有 j h a z ) p , + h 。( z ) q 洳江fd h m _ ( z ) d 江o ， 并推出能量守恒h ( z ( t 。) ) = 日( z ( o ) ) 此定理表明，连续有限元解z = ( 尸 q ) 在相平面( 尸 q ) 的轨道总 是不变的，这是有限元最可贵，最重要的特性，它也为以后大量的数 值实验所证实剩下的事情主要是研究辛性质及轨道的偏离 注推导能量守恒时要取检验函数v = ( ，7 7 ) t 为z = 0 ，q ) 的导数 而在研究有限元解z = ( p ，q ) 丁时，由于连续有限元在每个单元上少 一个自由度，其导数五i m 一。正好符合了这一要求，因此可导出能量 守恒性应当提到，研究动量守恒时，要取检验函数u 为名本身，也有 自由度匹配问题，这只能是间断有限元我们已发现一种平均间断有 限元z ，在每个节点上左右极限值的乘积z + z 一是守恒的 命题3 1 4 做道偏离，在长时间计算中，物理平面上的轨道仪周期，) 偏离在节点上有最高阶超收敛性， i e ( 。) i = iz z ) ( t 。) i c t 。h 2 m ，( 3 - 5 ) 1 7 硕士学位论文 即轨道偏离与时间线性增长 我们称时间t 。为长时间，若如危2 = c 0 ，c o 是某固定的常数在这 种时刻，轨道的误差i e ( t ) l c t 。h 2 = c c o 已可能是一个固定的数，更 长时间的计算已不准确，因此进一步的计算和估计已没有意义，上面 定理表明，误差在节点上有最高阶超收敛性，并随时间t 。线性增长 此性质在数值试验中已得到验证，但理论证明存在困难在研究 连续有限元法的轨道偏差时，对于一次元，二次元可用代数方法证明， 但此方法难以推广到高次元的轨道偏离证明因此要另外寻找证明 出路 这个结论的证明非常困难目前，陈传淼教授利用单元正交展开， 单元合并消除技巧和单元正交修正等超收敛研究方法，证明了中长 时间t 。 c h m 轨道偏离的性质 定理3 1 5 儆性情形夕对线性系统，m 次连续有限元z 在节点t 。是辛 的，且解有最精致的超收敛估计 ( z z ) ( 岛) i c t 。 b i ( i b i h ) 2 ”i z o l ，b = 一j 也：，( 3 - 6 ) 它对长时间t 。 c h 2 ”成立，这里常数c 与i b i ，z ，h 无关 证明概要：在单元k = ( t j ，t j + ，) 上，先用c r a m e r 法则将有限元的节点 值乙+ ，表示为矩阵h b ( 1 7 己穷小辛阵) 的分式多项式， 乙+ 1 = q 。( 硒) 一p m ( h b ) z j ， 这里q 。，p m 是m 次多项式由有限元在节点的超收敛估计( 1 1 ) ，当 取t 。为第1 个节点时，此估计有更高阶jz z ) ( t 。) i c ( h i b i ) 2 m + - ，因 此z ( t - ) 是真解z ( t 。) = e x p ( h b ) z o 的2 m 阶p a d e 对角逼近，故也是辛 的 此结果与冯康等对线性系统直接用p a d e 逼近构造的辛差分格式 一致因此两者是同一个格式，只是构造的方式不同因此对线性系 统，辛差分格式和有限元相同，都是保辛又保能量我们将看到，对非 线性系统，两者的差异很大 1 8 非线性哈密顿系统的有限元法研究及比较 定理3 1 6 体质保手，非线性h a m i l t o n 系统的解z 和m 次连续雨艮 元解z 分别对初值乃一- 和乙一的导数的偏差有最佳阶估计 翟慧忡) 卜m 删a x ，i 瓦d z ( t ) 一五d 厶z h ( t ) i c 九州+ c 。一 它在节点白上有最高阶超收敛性 b ( t j ) l = id z ( t i 3 ) 一掣( 1 炉肼1 这里常数c 与z ，h ，t 。无美此估计对上时间t 。有效 定理3 1 7 停偏离j 对非线性系统，m 次连续有限元法不是辛的，但对 每一次步进在节点t j 上是高精度o ( h 2 ”+ 1 ) 意义下近似保辛的 ( 器一( 器h 删t n h 2 r e + 1 ) ( 3 - 7 ) 证明概要：此结论的证明强烈地依赖于有限元的超收敛分析【1 3 】，由 定理3 4 ，m 次有限元解在节点t m 上有超收敛估计 dz(t#)一型lco+枷2州dz # 一1 d z j 一1 。一 一“7 记不等式右端的高阶小量为p ，容易推出 ( 轰) t j ( 蔫) - ( 掣刊t j ( 掣刊一p 定理得证 此结论表明，长时间计算中当轨道已有小偏离6 时，而轨道的辛 偏离是高阶小c h 5 因此我们有限元实际上是本质保辛的 以上几个定理深刻的刻画了有限元法的特点，它从严格保能量和 本质保辛这两个侧面对辛算法做了重要补充 我们认为评价h 系统算法有三条标准：1 是否保辛；2 是否保能 量；3 长时间轨道偏差 下面从这三个性质入手，比较有限