（运筹学与控制论专业论文）球形区域上反应扩散方程的边界控制.pdf

k 钿 l t 摘要 a b s t r a c t 目录 i i i i iii ii t l lil l i i i iiii 18 810 7 0 第1 章绪论 1 1 分布参数系统控制概述 1 2 国内外研究现状 1 3 本文的主要研究内容和意义 第2 章预备知识 2 1 基本概念与符号 2 2 基本不等式 2 3 一维反应扩散方程的稳定性 第3 章球形区域上反应扩散方程的温度控制 3 1 问题提出与分析 3 2 模型 3 3 状态控制器 3 3 1 目标系统 3 3 2 核函数的确定 3 3 3 状态反馈控制 3 4 输出反馈控制 3 4 1 观测器设计 3 5 增益的确定 3 6 输出反馈控制器设计 3 7 仿真模拟 参考文献 攻读硕士学位期间的工作 致谢 ； 一 1 1 1 2 4 4 4 6 8 8 8 9 9 n ”坫m 坞坞俎 船 疗 勰 耐 西南大学硕士学位论文摘要 球形区域上反应扩散方程的边界控制 学科专业：运筹学与控制论 指导教师：谢成康教授 研究生：白艺昕 摘要 近年来，偏微分方程的边界控制问题引起了控制界的普遍关注。边界控制是 分布参数控制的一种，由于其理论和方法与其它学科领域相互渗透，目前已成为 一大研究热点，有着巨大的应用前景。 本文研究了球形区域上反应一扩散方程的边界控制问题。从该方程的结构出 发，结合带积分器的b a c k s t e p p i n g 设计思想，设计了状态反馈控制器和基于观测 器下的输出反馈控制器。首先通过球面坐标变换及中心对称的假设条件，将原系 统转化为一维的反应一扩散方程。再通过适当选取边界条件，找出一个包含核函数 的可逆变换，将原系统转化为目标系统，可用l y a p u n o v e 稳定性理论，证明该目 标系统是指数稳定的。该可逆变换的核函数满足一个k l e i n g o r d o n 双曲型偏微分 方程，然后将该双曲型偏微分方程转化为与之等价的积分方程，再利用级数迭代 法，可证明核函数方程具有唯一解，进而得到闭环系统的状态反馈控制器与输出 反馈控制器。最后，由变换的可逆性，最终得出原系统的指数稳定性。 关键词：指数稳定；反应扩散方程；三维球体；观测器 西南大学硕士学位论文a b s t r a c t r e a c t inb a l l m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s s u p e r v i s o r ：p r o f c h e n g k a n gx i e n a m e ：nb a i a b s t r a c t i ti so n eo ft h eh o tt o p i c si nt h e 丘e l do fc o n t r o lt h e o r yt h a tt h eb o u n d a r yc o n t r o l p r o b l e m so fp d ei nt h ep a s tf e wy e a r s d u et ot h em u l t i d i s c i p l i n a r yp e r v a s i o ni n t h et h e o r ya n dm e t h o d s ，b o u n d a r yc o n t r o l ，w h i c hi saf o r mo fd i s t r i b u t e dp a r a m - e t e rc o n t r 0 1 i sah o tt o p i ci np r e s e n tw i t hw i d ea p p l i c a t i o np r o s p e c t t h i sp a p e r f o c u s e so nb o u n d a r yc o n t r o lp r o b l e m so fr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o ni ns p h e r i c a lr e - g i o n b a s e do nt h es t r u c t u r eo ft h ee q u a t i o n s ，s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra n do u t p u t f e e d b a c kc o n t r o l l e ro no b s e r v e ra r ed e s i g n e di nt h i sp a p e rb yt h em e t h o do fb a c k - s t e p p i n gw i t hi n t e g r a t o r f i r s t ，t h eo r i g i n a ls y s t e mi st r a n s f o r m e dt oo n ed i m e n s i o n r e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o nb yt h em e t h o do fs p h e r i c a lc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n a n dt h ea s s u m p t i o no fc e n t r a ls y m m e t r i c t h e n ，t h eo r i g i n a ls y s t e mi st r a n s f o r m e d t ot a r g e ts y s t e m ，b yt h em e t h o do fi n v e r t i b l ec o o r d i n a t et r a n s f c i r i nw i t ha k e r n e l ， o ns u i t a b l eb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h i st r a n s f o r m e ds y s t e mc a nb ep r o v e dt ob e e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yb yl y a p u n o v ea n a l y s i s i ti sc a nb ep r o v e dt h a tt h ek e r n e l o ft h et r a n s f o r m a t i o ni st h es o l u t i o no fk l e i n - g o r d o nh y p e r b o l i cp d e s ，t h e nt h e s e h y p e r b o l i cp d e sa r et r a n s f o r m e dt oe q u i v a l e n ti n t e g r a le q u a t i o n s a n di ta l s oc a n b ep r o v e dt h a tt h ek e r n e le q u a t i o nh a sau n i q u es o l u t i o nb yt h em e t h o do fs u c c e s - s i v ea p p r o x i m a t i o n s w h i c hg e n e r a t e ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra n do u t p u tf e e d b a c k c o n t r o l l e ri nc 1 0 8 e d - l o o ps y s t e m a tl a s t ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h eo r i g i n a ls y s t e m c a nb ep r o v e db yt h ei n v e r t i b l eo ft h et r a n s f o r m a t i o n k e y w o r d s ：e x p o n e n t i a ls t a b i l i z a t i o n ；r e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ；t h r e e - n k t i r 西南大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1分布参数系统控制概述 控制问题是指考虑一个用o d e ( 常微分方程) 或p d e ( 偏微分方程) 来描述的演 化系统。选择适当的控制器作用于系统，对给定的时间区间，可以找到一种控制 使得系统的解同时满足初始值和终点值。 分布参数系统是相对于集中参数系统而言的。集中参数系统是指由有限个变 量描述的系统，一般用常微分方程来描述，分布参数系统是指状态变化不能仅仅 只用有限个参数而必须用一维或多维空间变量的函数来描述的系统，通常用偏微 分方程来描述。简称为d p s ( d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s ) ，也称之为无限维系 统i d s ( i n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s ) 。集中参数控制理论发展较早，研究也较为 深入，然而现实世界中我们经常需要知道各种现象的内部变化，如地下水渗流、 物体温度变化、弹性振动系统、电磁场、核反应堆以及化学反应器中物质分布状 态等。此时，集中参数系统控制的局限性就凸显出来了，这就要求研究人员把目 光从对集中参数系统的控制转向对分布参数系统控制的研究。 分布参数系统的控制方式主要有三种类型：分布式控制，即将控制加在被控 对象的几个区域内；点控制方式，即将控制加在被控对象的几个孤立点处；边界 控制，即将控制加在被控对象的边界上。 边界控制是分布参数控制中研究最为广泛的一种。在工程技术上，很多时候 由于技术与成本等原因，只能把控制加在被控对象的边界上。近十年来，由于 边界控制在工程上广泛的应用性，在控制界已经吸引了越来越多学者的目光， 女i m k o s l a vk r s t i c 与a n d r e ys m y s h l y a e v p , 经做出了许多重要的研究成果。 吣 1 2国内外研究现状 分布参数系统控制作为现代控制理论的重要研究课题之一，既有其复杂性又 有其特殊规律性。早在上世纪六十年代初，由于集中参数分布控制理论的发展和 实际问题的需要，现代控制理论的一个新的分支分布参数系统的控制就已经开始 发展。边界控制方法作为分布参数系统控制中应用最为广泛的方法，于近十几年 提出，已经成功地应用到热方程、波动方程与k d v 等方程的研究中。 分布参数系统的控制问题在国内最早由钱学森于1 9 5 4 年在工程控制 论一书中提出来的，在该书中，他引用了无穷阶传递函数的概念，主要 1 k p 西南大学硕士学位论文1 3 本文的主要研究内容和意义 讨论了热传导过程的分布参数系统问题。在同一时期，b u t k o v s k y 对分布参 数系统的控制问题进行了更加深入的研究( 见【1 一 4 ) 。接着，b a l a k r i s l m a n 建 立了分布参数系统控制的基本理论体系，并且首先把半群方法引入到这一 的问题研究之中( 见【5 1 f 7 1 ) 。n l e d m a n 建立了b a l a k r i s h n a n 方法和应用之间的联 系，并将该方法应用于某些特殊类型偏微分方程( 见 8 】) 。在分布参数系统 的实际应用方面，h u l l e t t 作出了较大贡献( 见 9 】) 。很多学者在抛物型偏微分 方程镇定问题的研究中作出诸了多的贡献，其中包括：l a s i e c k a 和t r i g g i a a i 率 先引入了半群理论( 见 1 0 ，【1 1 】) 。n a m b u 设计了观测器，实现了利用输出反 馈控制来镇定系统( 见 1 2 】) ；h a m a n n 运用半群理论使准线性系统实现镇定 ( 见 1 3 1 ) 。随着研究的深入细化，对抛物型偏微分方程的一个分支热方程的 研究取得了较多的成果，如l i uw e o i u 和g r a h a mh w i l i a m s 研究了半线性热传 导方程的精确初值问题( 见【1 4 ) ，a d o u b o v a ，e f e m a n d e z - c a r a 和m g o n z a l e z - b u r g o s 对非线性边界f o u r i e r 条件下的热方程的边界控制做了一系列的研究 ( 见 1 5 】) 。z h a n gb i n g y u 研究了k d v 方程的精确边界控制问题( 见【1 6 】) 。在k d v b 方 程方面，b i l e r r a s s e l 和z h a n gb i n g y u 对周期边界条件下的k d v b 方程进行了研究 ( 见17 1 一1 9 1 ) ；l i uw e i j i u 和k r i s t i c 对k d v b 方程在一有限区域中的边界反馈稳定 性问题( 见f 2 0 1 ) 。而在b u r g e r s 方程方面，j a b u r n s 等学者对b u r g e r s 方程进行了 研究( 见【2 1 一 2 3 ) ；b y m e se t a l 研究了 b u r g e r s 方程的局部指数稳定性；m i r o s l a v k r i s t i c 对b u r g e r s 方程的全局稳定性进行了研究( 见f 2 4 1 ) 。 近年来，m i r o s l a vk r s t i c 和a s m y s h l y a e v 等人建立了可实现分布参数系统边界 稳定的b a c k s t e p p i n g 方法，该方法大大减少了以往解决此类问题所需的计算量。 突破了求解过程过于复杂的局限性( 见f 2 5 】) 。在此基础之上，m i r o s l a vk r s t i c 等人 又建立了分布参数系统的输出反馈控制理论，取得了一系列颇有价值的研究成果 ( 见【2 6 卜 2 8 1 ) 。但是，由于大量的非线性及高维的偏微分方程的边界控制问题还没 有解决，因此关于分布参数系统的边界控制问题的研究讨论还远远没有结束，仍 需要大批的研究人员投入到这一领域的研究中去。 1 3本文的主要研究内容和意义 本文主要研究了反应扩散方程在球形区域上的边界控制问题。从该方程的结 构出发，结合带积分器的b a c k s t e p p i n g 设计思想，设计了状态反馈控制器和基于 观测器下的输出反馈控制器。具体做法是首先引入球面坐标变换，将原系统转换 2 西南大学硕士学位论文1 3 本文的主要研究内容和意义 为比较简单的一维反应扩散方程。然后通过v o l t e r r a 可逆变换将该不稳定的系统转 换为目标系统，可用l y a p u n o v e 稳定性理论，证明该目标系统是指数稳定的。再 运用b a c k s t e p p i n g 设计方法，设计出可以使不稳定系统实现指数稳定的状态反馈控 制器与输出反馈控制器，并对在变换过程中产生的核函数的解的存在唯一性和闭 环系统的稳定性给予了证明。 全文分为三章： 第一章简述了分布参数系统的发展概况、研究现状以及本文的主要研究内 容。 第二章主要介绍了本文所涉及的基本概念和重要的不等式，为后面的研究证 明做准备。 第三章球形区域上反应扩散方程的边界控制设计，该设计对于解决在三维区 域上的反应扩散方程的边界控制问题具有一定的理论意义和参考价值。 3 西南大学硕士学位论文 第2 章预备知识 第2 章预备知识 本章主要介绍文章中涉及到的基本概念与几个重要的不等式。 2 1 基本概念与符号 分布参数系统稳定性定义 定义2 1 1 令空间变量z 0 ，1 】，在l 2 范数意义下，如果存在正常数a 和 m ，使得分布参数系统伽( z ，t ) 满足 叫( z ，o i i m e a l i 叫( z ，0 ) 其中i i 叫( z ，亡) j | = ( f 0 1 w ( z ，亡) 2 d x ) 5 ，则称系统伽( z ，t ) 5 - l 。意义下是指数稳定 的。 l e i b n i t z 求导法则及相关符号 ( l e i b n i t z 求导法则) 对于一阶可微函数尼( z ，y ) 满足以下等式 乏z 霉忌( z ，秒) d y = k ( z ，z ) + f o z ( z ，耖) d y 为方便计算，本文引入以下表示符号 ( 舭) = 杀，训鄙 坼，z ) = 南，训卿 k 乏地，z ) = ( 叩) + 坼，z ) i | ：l 2 2 基本不等式 本节将介绍几个基本的不等式。 y 0 n g 不等式对a ，b 0 ，入 0 ，以及 三+ 三：1 pq 以下不等式成立： 妪菩扩+ 击泸 4 西南大学硕士学位论文2 2 基本不等式 c a u d l y 不等式( 、r o n g 不等式的特殊形式) 令p = q = 2 ，a 2 = 7 ，则不等式变为 曲 2 y a 2 + 瓦1 6 2 p o i n c a r e s 不等式对 0 ，1 】上任意的连续可微函数w ( x ，t ) ，有 特别的，当系统的边界值含零的情况时，有 1 w 2 ( 础) d x g 4 1 吼牡 证明：应用分部积分法，有 厂1伽2(z，t)dx=(z一1)叫2(z，t)162厂1(z一1)w(xd0 j 0 ，亡) ( z ，亡) 出 伽2 ( z ，= ( z 一1 ) 叫2 ( z ，6 一( z 一 ，亡) ( z ，亡) 出 = 叫2 ( 。，亡) 一2 0 1 ( z 一1 ) 叫( z ，t ) 叫z ( z ，亡) 如 对上式应用y o n g 不等式，得： 1 , w 2 ( z ，亡) 出叫2 ( 。，) + ：lf o l 叫2 ，t ) 如+ 2 0 1 ( z 一1 ) 2 叫：( z ，亡) d z 移项整理，得 因为 故，有 同理可证 三1w 2 ( z ，亡) 出叫2 ( 。，t ) + 2 0 1 一1 ) 2 近( z ，) 如 一1 ) 2 1 三1w 2 ( 叫) 如叫2 ( 。，亡) + 2 0 1 以( 叫) 如 z 1 吡t ) d x g 2 讯讣4 0 1 咖如 5 z z d d 亡 亡 z z 2 z 2 z 叫 彬 z z 4 4 + + 、l，、l， 亡 亡 0 1 2 2 2 2 一 丌2 时，该系统是不稳定的； 当入 7 2 时，引入可逆变换： r w ( x ，t ) = 钆( z ，t ) 一k ( x ，y ) u ( y ，t ) d y ( 2 3 2 ) j 0 可将系统( 2 3 1 ) 转化为指数稳定的目标系统： w t ( x ，t ) = t 扛，t ) w ( o ，t ) = 0 w ( 1 ，t ) = 0 6 ( 2 3 3 a ) ( 2 3 3 b ) ( 2 3 3 c ) 融 西南大学硕士学位论文2 3 一维反应扩散方程的稳定性 证明考虑如下的l y a p u n o v 函数： 呻) = 三z 1 比牡 函数v ( t ) 对时间求导得： 矿= 1 w ( z ，亡) 毗( z ，亡) 出 =1 w w x ：e 出 = 伽蚍1 5 一0 1 谚如 = 一l 如 一三z 1 抛 所以，系统( 2 3 3 ) 在l 2 范数意义下是指数稳定的p 再由变换( 2 3 2 ) 的可逆性，可得出原系统( 2 3 1 ) 也是指数稳定的。 口 若u ( t ) 0 ，即在有控制输入的情况下，则需要用b a c k s t e p p i n g 方法找出核 函数后( z ，y ) ，从而设计出闭环系统的控制器： ) = 叩= z 1 m ，咖( 则) 匆 ，0 7 西南大学硕士学位论文第3 章球形区域上反应扩散方程的温度控制 第3 章球形区域上反应扩散方程的温度控制 3 1 问题提出与分析 在化学和生物工程中，很多时候反应容器是一个球形容器，经常需要使球状 反应扩散容器中的温度保持一定的稳定性。故对于球状容器里扩散方程的温度的 边界控制是一个很重要的研究课题。偏微分方程中的反应扩散方程描述了这一反 应过程，而温度的边界控制则是实现温度稳定性的比较经济有效的方法。 一维反应扩散方程描述的是一维空间变量情况下的温度变化。目前，已有 不少学者研究通过边界控制来实现温度的稳定，并且取得了一系列成果( 见2 9 1 _ 3 3 ) 。然而，当扩散方程在二维区域时，边界控制只能在一些特殊的区域才能实 现。例如在环形区域( 见 3 4 】) 。对于三维区域( 例如球形区域) 上的反应扩散方程的 边界控制的研究，目前还没有一些突破性的结果。但是，在实际工程中，更多的 情况是需要对三维区域的研究。 3 2模型 考虑到控制成本，我们假定球体表面区域是绝热的，而控制器则安放在球的 中心区域。不失一般性，令球体的半径为1 ，设是很小的正常数，记 q 1 = ( z ，y ) r 3 l x 2 + y 2 + z 2 = 9 2 ) q 2 = ( z ，y ) r 3 i x 2 + y 2 + z 2 = 1 ) 那么，我们所考虑的三维反应扩散方程的控制系统为 饥= 乱船+ u 删+ u = 名+ a u ，s 2 x 2 + y 2 + z 2 o 是常数。 引理3 3 1 目标系统p 3 矽在l 2 范数意义下是指数稳定的。 证明考虑l y a p u n o v 函数 啡) = 三1 毗归 对函数( 亡) 求关于时间t 的导数 即 哳= w ( r ，t ) w 。( r ，亡) 打 = 1 w ( r ，t ) ( ( 叫) + 要坼( r ，亡) 一入叫( r ，t ) ) 打 = 一1 砰c n 亡，咖一1 ( a 一刍) 伽2 c n t ，咖 + w 2 ( 1 ，亡) 一1 砰c n 亡，打一1 ( 入一刍) 叫2 c n 亡，咖 + ( 1 一) j f e l 叫r 2 ( r ，亡) 打 。 一e 砰( r ，亡) 打 一主1 毗归 一三 ( 亡) ( o ) e 一暑 所以，目标系统( 3 3 2 ) 在l 2 范数意义下是指数稳定的。 1 0 ( 3 3 2 a ) ( 3 3 2 b ) ( 3 3 2 c ) 口 西南大学硕士学位论文3 3 状态控制器 3 3 2 橛函数趵悯疋 对( 3 3 1 ) ，求关于时间t 和空间变量r 的导数可得 ，上 w t ( r ，t ) = u t ( r ，t ) 一七( r ，s ) 饥( s ，t ) d s ：饥( r ，亡) 一厂1 七( 邵) 钆。( s ，亡) d s 一1 七( r ，s ) ；2 牡。( s ，亡) d s 一厂1 七( 邵) n 札( 刚) d s = u t ( r ，t ) + 尼( r ，r ) 乱r ( r ，t ) + 。( ，1 ) 乱( 1 ，t ) 一( r ，r ) 乱( r ，t ) 一2 k ( r ，1 ) “( 1 ，t ) 一1 。( r ，s ) 仳( s ，t ) d s + k ( r ，r ) 詈( r ，) + 1 ( 庇。( ns ) ；2 一忌( r ，s ) 墨) 乱( s ，亡) d s f l k ( r ，s ) 。札( s ，亡) d s( 3 3 3 ) 以乃 嘶( r ，t ) = u r ( r ，t ) + k ( r ，r ) u ( r ，t ) ，1 一( r ，s ) u ( s ，t ) d 8 归州删+ 掣u 卅地u 小 ，- 1 + ( r ，r ) u ( r ，t ) 一kr ，s ) 让( s ，t ) d 8 将( 3 3 3 ) 和( 3 3 4 ) 代x ( 3 3 2 ) ，可以得到核函数后( r ，8 ) 必须满足 o = ( ( n 删一2 掣d k ( r , ) “亡) + 1 ( ( r ( r ，s ) 一。( r ，s ) 一( a + 口) 七( r ，s ) + 詈k ( r ，s ) ) 如 + 1 ( 詈也( r ，s ) 一吾尼( r ，s ) ) u ( s ，亡) d s + ( ( r ，1 ) 一2 k ( r ，1 ) ) 乱( 1 ，t ) ( 3 3 4 a ) ( 3 3 4 b ) 西南大学硕士学位论文3 3 状态控制器 因对所有w ( r ，8 ) 都需要满足( 3 3 2 ) ，所以核函数k ( r ，8 ) 需要满足如下双曲型偏微 分方程组 其中r s 1 经变换 可得 k ( 邵) 一南。( 邵) = ( n - 4 - a ) k ( r ，s ) 一言( r l s ) r 一知，s ) + 知，s ) 辟r ，8 ) k ，r ，8 ) ( r ，8 ) 七( 7 ，s ) = 詈忌( r ，s ) 一砉地s ) + 詈弧s ) 考是( 邵) 一2 8 坼- ，s ) + ( 邵) 吾忌( 邵) + 昙芯( 邵) 。( r ，s ) = 詈魂( r ，s ) + 詈魂。( r ，s ) 故关于是( r ，8 ) 的双曲型偏微分方程组如下 或者 r ( 7 ，8 ) 一。r ，s ) = ( a + 入) k ( r ，8 ) n d k ( r , r ) z 五厂 一( 入+ a ) = 0 ( r ，1 ) 一k ( r ，1 ) = 0 ( 3 3 5 a ) ( 3 3 5 b ) ( 3 3 5 c ) ( 3 3 6 a ) ( 3 3 6 b ) ( 3 3 6 c ) 定理3 3 1 当e r 8 1 时，p 舅砂有唯一的解，且该解是二阶连续可导 证明引入变量 r = 宇，s = 学 = r s + 1 ，刀= r + s 一1 1 2 + 掣 西南大学硕士学位论文 3 3 状态控制器 令 有 g 归硇，s ) = 露( 宁，掣) ( r ，s ) = 嚷( ，r ) + g 卵( 荨，r ) 忌。r ，s ) = g 7 ( 善，叩) 一g e ( 荨，叼) 爵r ( r ，s ) = g 鼍e ( ，叩) + 2 g 叩( 毒，叩) + g 聊( ，叩) k ( r ，s ) = g 骶( 毒，7 7 ) 一2 g 轫( ，叩) + g 聊 ，叩) 将之代入( 3 3 6 ) ，则( 3 3 6 ) 转化为 吲钿) = 字g ( 锄) g f 7 ( 1 ，叩) = t a + a g ( 专，) = 0 在区间( ，1 ) 上，对( 3 3 7 a ) 关于关于变量积分 z 1g a t i ( m 打= q ( f m 培= 字z 1 g ( 吼叼) 打 即 岛( 1 砌一岛( ，功= 半z 1 g ( a 叩) 如 所以 ( 3 3 7 a ) ( 3 3 7 1 3 ) ( 3 3 7 c ) g 庶，萨g 棚，沪z 1 丁a + a g ( 哪) 打 = 字一t a + a f 。1g i ( 叫) 如 ( 3 3 8 )= ir 盯i 门，ri 1 - 44 r 。 、v 吖 在区间( ；7 ，) 上，对( 3 3 8 ) 关于关于变量叩积分 肛州r = z ( 字一字珈叩蚓d 丁 = 字乒一字肼g 丁打 1 3 西南大学硕士学位论文3 3 状态控制器 即 g 沪g 他栌字( ) 一半z f l g ( 洲仃打 g 萨g 沪字( ) + z f 1 字咖打 = 一学( ) + z 1 字咖打 ( 3 3 9 ) 首先假设g ( ，7 7 ) 初始值为 g o ( ，叩) = 0 令夭于( 3 3 9 ) 的递归公式为 g 旅朋= 一z f 字打+ z z 1 字帕 相邻两项的误差表示为 g ( ，叩) = c k + 1 ( ，r ) 一g n ( 荨，7 7 ) 则有 a g 。( 钿) = 一字( 刊 蚓钿) = z z 1 字崛“丁川批 佗= 1 ，2 ， 令 m = a + a 易得 l a g 。( 钿) i 三m ( 一r ) m i a g l ，叩) i m 2 ( 1 一) ( 1 一r ) i a g 2 ( l 筹( 1 瑚1 刊2 1 4 ( 3 3 1 0 ) ( 3 3 1 1 ) ( 3 3 1 2 a ) ( 3 3 1 2 b ) 西南大学硕士学位论文3 4 输出反馈控制 经归纳推导，不难得到 a t l + 1 l g n ( 洲i 蕊( 1 一洲1 一叼) ，n = 3 川4 一 该估计式说明级数g ( ，叼) = ：oa g n ( 专，叩) 在区间2 s 一1 叩1 内是绝对 且一致收敛的，所以和g ( ，叩) 是( 3 3 7 ) 的唯一解。 继而说明( 3 3 5 ) 也有唯一解为 南( r ，s ) = 詈露( 7 ，s ) = 昙g ( r s + 1 ，r + s 一1 ) ( 3 3 1 3 ) 口 3 3 3 状态反馈控制 由于核函数可由( 3 3 1 2 ) 一( 3 3 1 3 ) 获得，因此由( 3 3 1 ) 和( 3 3 2 c ) , - - 设计出状态 反馈控制器 u ( ) = u ( e ，亡) = f 1 后( ，s ) u ( s ，亡) d s ( 3 3 1 4 ) ， 因为变换( 3 3 1 ) 是可逆的，其可逆变换可表示为 时= 嘶+ 1 洳 s ) 吣如 基于此，在控制器( 3 3 1 4 ) 的作用下，u ( r ，t ) 系统在l 2 ( e ，1 ) 范数意义下实现指数稳 定。 定理3 3 2 系统p 2 彳) 在控制器p 只j 彳肿用下是l 2 指数稳定的。 证明由匕述分析不难证明该定理成立。口 3 4 输出反馈控制 在状态控制器( 3 3 1 4 ) 中要求r 陋，1 】的状态变量u ( r ，亡) 都可测。但是在实际 工程中往往不是每个状态变量都可以测量得到的，在边界处测量状态变量更符合 现实情况。本节中，假定在r = 1 端状态变量可以测量，即u ( 1 ，t ) 可测来设计观 测器实现系统的稳定。 1 5 西南大学硕士学位论文3 4 输出反馈控制 3 4 1 观测器设计 观测器设计如下 祝( 7 i ，亡) = 研r ( 7 ，亡) + 罟饵( r ，亡) + 。色( r ，亡) + 轨( r ) ( 乱( 1 ，亡) 一色( 1 ，亡) ) ( 3 4 1 a ) 诉( 1 ，t ) = p l o ( u ( 1 ，t ) 一f i ( 1 ，亡) ) ( 3 4 1 b ) 砬( ，t ) = u ( t )( 3 4 1 c ) 其中p l ( r ) ，p a o 分别是要设计的增益函数和增益。它们由通过在区域 q = r ，s 1 6 7 8 1 ) 求解满足一定条件的核函数p ( r ，8 ) 获得，接下来我们先 确定核函数。 定义误差信号为 f i ( r ，t ) = 让( r ，t ) 一也( r ，t ) 则豆( r ，t ) 满足= - v n 方程 面。( r ，芒) = 诉，( r ，t ) + 呈r 也，( r ，t ) + 口面( r ，t ) 一p 1 ( r ) 豇( 1 ，芒) 西( 1 ，t ) = - p l o u ( 1 ，t ) 舀( e ，t ) = 0 通过, - - j 逆变换 = 的一1 p ( r ，s ) 郇d s 可以把误差系统( 3 4 2 ) 变为稳定的目标系统 矾( r ，t ) = 西，( 7 ，亡) + 呈i 砚( r ，舌) 一天西( r ，亡) 研( 1 ，t ) = 0 面( ，t ) = 0 其中天1 。 ( 3 4 2 a ) ( 3 4 2 b ) ( 3 4 2 c ) ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 a ) ( 3 4 4 b ) ( 3 4 4 c ) 西南大学硕士学位论文 3 4 输出反馈控制 对( 3 4 3 ) 关于时间t 和空间变量r 的求导数得 砚( r ，t ) = 砚( r ，t ) 一p ( r ，s ) 砚( s ，亡) 如 = 觑( r ，孟) 一1 p ( r ，s ) 以。( s ，亡) 幽一1 p ( r ，s ) i 2 识( s ，孟) 如 + p ( r ，8 ) 天西( s ，亡) d s = 西t ( r ，t ) + p ( r ，r ) 西( r ，t ) + p 8 p ，1 ) 面( 1 ，t ) 一p ，r ) 面( 7 ，t ) 一p s s ( r ，s ) 面( s ，亡) 如一2 p ( r ，1 ) 西( 1 ，亡) + 1 。( r ，s ) 兰一p ( r ，s ) ) 西( s ，亡) d s + p ( 1 ，r ) ；2 面( r ，亡) + 1 p ( r ，s ) 天而( s ，) d s( 3 4 5 a ) 姒哪) = 引叫) 州川的一1 晰，s ) d s 缸r r ( r ，t ) = 西r ( r ，亡) + 而dp ( r ，r ) 面( r ，亡) + p ( r ，r ) 诉( r ，) + 肼( r ，r j 西( r ，芒) 一，1 “r ( r ，s ) 砀( s ，t ) 如 将( 3 4 5 ) i 9 1 ( 3 4 6 ) 代f l , ( 3 4 2 ) ，, - - i 以得剑核函数p ( r ，8 ) 必须满足方程 o = ( 一a - - a - - 2 掣) 的，卅q ) 一狮 1 ) 咱( 州叩，芒) + 1 慨灯，s ) 咱鼢，s ) + ( 天+ 口) 卅，s ) ) d s + 1 ( 孔s ) + 如s ) 一知s 帆幽 因此核函数必须满足下列方程 鼽，( r ，s ) 一乳。( r ，s ) = 一( 天+ 口功( r ，s ) 一昙p 8 ( r ，s ) 一；p r ( r ，s ) + 墨p ( r ，s ) ( 3 4 7 a ) 2 知( v ) = 一( 天+ 。) ( 3 4 7 b ) p ( n1 ) = 0( 3 4 7 c 1 这里r s 1 。 1 7 a b c 害 胁 4 4 3 3 利用边界条件( 3 4 2 b ) f t t i ( 3 4 2 c ) ，并注意到西( 1 ，) ：缸( 1 ，亡) 。 易得观测器的增益为 p 1 ( r ) 2 仇( r ，1 ) ，p 1 0 - 夕( 1 ，1 ) ( 3 4 8 ) 接下来，来解方程( 3 4 7 ) 。一旦有方程的解p ( 7 ，s ) 确定，根据( 3 4 8 ) 观测器的增 金- j r t - 也, 睫r h - t _ 乙- a 确定。 3 5 增益的确定 引入变换 鼽( r s ) = 一砉痧( r ，s ) + 署露( r ，s ) p r r ( r ，s ) = 2 s p _ ( r ，s ) 一万2 s 肼_ ( ，s ) + 署西，( ，- ，s ) 熟( 邵) = s ) + ( 邵) 仇。( r ) s ) = 每( 邵) + 氧( 邵)r 、7r 、7 则核函数痧( r ，s ) 满足方程 西r ( r ，s ) 一霭s ( r ，s ) = 一( 天+ 口) 痧( n s ) 2 争( v ) ：一( 天+ 口) 多( r ，1 ) = 0 由( 3 5 2 ) 和( 3 3 6 ) 是同一类方程，通过变量变换 ，= 字，s = 半 或者 并设 毒= r 一8 + 1 ，r = r + s 一1 脚s 脚( 字，芈) 1 8 ( 3 5 1 ) ( 3 5 2 a ) ( 3 5 2 b ) ( 3 5 2 c ) 西南大学硕士学位论文3 6 输出反馈控制器设计 事实上，令 眯，萨半( 刊 蚓钿) - - 学r 1 嘶如撕，n = 1 , 2 , 3 - - - 可以得到 因此 讹s ) = f ( ，叼) = r ( ，7 7 ) n = 0 p ( r , 8 ) - - 詈庐( r ，s ) = ；f ( r - 8 + 1 ，r + s 一1 ) 在r s 1 上绝对一致收敛。 3 6 输出反馈控制器设计 ( 3 5 3 a ) ( 3 5 3 b ) 足理3 6 1 君七( r ，8 ) 是万程他舅纠的解，- i i - p l ( x ) ，p l o 走万程f 3 彳纠和似4 纠的 解，输出反馈控制器设计为 即) = u ( 叫) = ，1 谁，s ) 郇d s ( 3 6 1 ) 观测器为p 彳砂，则系统p 2 砂的解钍( r ，亡) 在l 2 ( ，1 ) 范数意义下是稳定的。 证明事实上，变换 西( r ，亡) = 色( r ，t ) 一1 忌( r ，s ) 也( s ，亡) d s ( 3 6 2 ) 可将( 3 4 1 ) 变为 姒哪) = 站( 喇) + 要西r ( 叫) 一圳叫) ( p ，( 巾1k ( r , s ) p 1 ( s ) d s ) 泖毗( r ，亡) = 西北t ) + 考西r ( r ，亡) 一a 西( r ，亡) r ) - 正1 ( s ) d 8 ) 西( 1 ，亡) 诉( 1 ，t ) - - p l o w ( 1 ，t ) 西( ，亡) - 0 1 9 ( 3 6 3 a ) ( 3 6 3 b ) ( 3 6 3 c ) 西南大学硕士学位论文3 6 输出反馈控制器设计 系统( 3 4 4 ) 和系统( 3 6 3 ) ( 如果面( 1 ，t ) = o ) 具有相同结构。要证级联系统 ，砀) 是稳定的，考虑取l y a p u n o v 备选函数 其中 k ( 亡)= 鲁1 面2 ( r ，t ) d r + j 1 1 国2 ( r ，亡) d r a = 2 ( 譬+ 譬) 肚州m a 。州x 纵小，1 附，咖，( 踟s ) 对( 3 6 4 ) 关于时间t 求一阶导数，得 吃= a 1 仍( r ，) 也( r ，亡) 咖+ 1 西( r ，亡) 也( r ，亡) d r = 一a ( 1 面；( nt ) 咖+ 1 ( 天一去) 西2 ( nt ) 咖) + 舻( 1 ，沪1 咖打 + 仍( 1 ，t ) 1 仍( r ，亡) p 1 ( r ) 一 + p l o j i b ( 1 ，亡) 西( 1 ，t ) 1 ( 入一刍) 西。( 州) 办+ 西。( ) k ( r ，s ) p 1 ( s ) d s ) 咖 由y o n g 不等式和p o i n c a r e s 不等式，显然有 p ，。z b ( 1 呻丢西2 ( 1 ，卅元西2 ( 1 ，芒) ：1 i 而；( r ，t ) 办+ 衍。1 面；( r ，t ) 咖 西( 1 ，亡) i 西( r ，亡) p t p ) 一1k ( r ，s ) p ，( s ) d s ) d r 丢1 而；( n 亡) 咖+ b 2 1 仍；( n t ) 办 通过这些估计，不难验证 晚( 了b 2 + 譬一a ) 1 珊打一( e 一主) 1 吼归 0 ( 3 6 4 ) 因此，级联系统( 砀，西) 在l 2 范数意义下是稳定的。而系统( 也，矗) 和系统( 西，面) 是通过一个线性可逆变换转化的。故闭环系统( 让，砬) 也是稳定的。 口 厂上。 西南大学硕士学位论文3 7 仿真模拟 3 7 仿真模拟 为了更加有效地说明上述所建立的理论结果，我们通过计算机分别对球坐标 变换下的开环系统和加入控制器的闭环系统做出数值仿真，仿真的结果由以下图 像表示出来。考虑如