（运筹学与控制论专业论文）闭模糊拟阵的超平面公理.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 本文在现有理论的基础上研究了模糊拟阵秩函数、模糊拟阵闭集和模糊拟阵 超平面的结构和性质，现分述如下： 1 ) 研究了模糊拟阵秩函数的子模性，研究并证明了模糊拟阵与秩函数之间的 充要条件。 2 ) 通过对模糊拟阵的相关性、闭包算子和模糊闭集的研究，得到了模糊闭集 和模糊闭包算子的几个重要性质。 3 ) 通过对拟阵的超平面公理的深入分析，利用模糊闭集与模糊拟阵超平面研 究和探索了闭正规模糊拟阵的模糊超平面的充要条件：提出并证明了一般模糊集 族成为闭模糊拟阵的模糊超平面族的充要条件，得到了一个闭模糊拟阵的模糊超 平面公理。 本论文研究的模糊拟阵秩函数、模糊拟阵闭集和模糊拟阵超平面等几个方面 都是模糊拟阵的重要内容，丰富了模糊拟阵理论。它对进一步研究拟阵和模糊拟 阵之间的关系提供了重要的理论基础。同时，闭模糊拟阵的超平面公理给出了研 究闭模糊拟阵的一种手段和途径。 关键词：模糊集，拟阵，模糊拟阵，超平面，模糊超平面 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t t h es t r u c t u r e sa n dp r o p e r t i e so fr a n kf u n c t i o n s ，c l o s es e t sa n dh y p e r p l a n e si n f u z z ym a t r o i d sa r ei n v e s t i g a t e db a s e do nt h ee x i s t e dt h e o r y s p e c i f i c a l l y , t h em a i n c o n t r i b u t i o n so f t h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： 1 ) t h es u b m o d u l a r i t yo ff u z z yr a n kf u n c t i o ni ss t u d i e d m o r e o v e r , an e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nb e t w e e nf u z z ym a t r o i da n dr a n kf u n c t i o ni sa l s oe x p l o i t e d 2 ) s e v e r a li m p o r t a n tp r o p e r t i e so ff u z z yc l o s es e t sa n df u z z yc l o s u r eo p e r a t o ra r e d e r i v e db ya n a l y z i n ga n di n v e s t i g a t i n gr e l a t i v i t y , c l o s u r eo p e r a t o r sa n df u z z yc l o s e s e t si nt h ef u z z ym a t r o i d s 3 ) i nc l o s er e g u l a rf u z z ym a t r o i d s ，an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a ta f u z z ys e ti st h ef u z z yh y p e r p l a n eo faf u z z ym a t r o i di se x p l o i t e dw i 血t h eh e l po f h y p e r p l a n ea x i o mi nc r i s pm a t r o i d f i n a l l y , a l la x i o mo ft h ef u z z yh y p e r p l a n e si n c l o s ef u z z ym a t r o i d si sd e r i v e d t h ec o n t e n t si n t h i st h e s i sa r ea l lt h ei m p o r t a n tt o p i c si nt h er e s e a r 出f i e l d so f f u z z ym a t r o i d s ，a n dt h e r e f o r ee n r i c ht h et h e o r yo ff u z z ym a t r o i d s o nt h e8 a n l et i m e ， t h ep r o p o s e dr e s u l t sa n da d o p t e da p p r o a c h e sp r o v i d eas e r i e so fv a l u a b l es o b r e e sf o r t h ef u r t h e rr e s e a r c h k e y w o r d s ：f u z z ys e t s ，m a t r o i d s ，f u z z ym a t r o i d s ，h y p c r p l a n e s ，f u z z yh y p e r p l a n e s 重庆大学硕士学位论文 符号说明 e 非空有限集合 m 拟阵( 模糊拟阵) i 拟阵的独立集族 掣模糊拟阵的独立集族 西空集 符号说明 p 秩函数 h 超平面集 口闭包算予 v 任取 重庆大学硕士学位论文 绪论 绪论 拟阵理论起源于2 0 世纪3 0 年代。1 9 3 5 年，w h i t n e y 在“关于线性相关的抽 象性质”一文中首次提出了拟阵的概念，将拟阵作为向量线性相关关系的推广， 并在上述文章中叙述了拟阵的公理系统。1 9 4 2 年，r a d o 提出了有关拟阵理论的一 些定理。b i r k h o i f , m a e l a n e 和d i l w o r t h 等人研究了拟阵的几何方面的问题以及拟 阵与格论的关系等等。直到6 0 年代t u t t e 发表了“关于拟阵的讲演”一文，才使 拟阵理论得到了进一步的发展。之后，r a d o 、f u l k e r s o n 、p e r f e c t 和e d m o n d s 等人 也研究了拟阵理论，使拟阵理论有了迅速的发展。特别是e d m o n d s 和m i n t y 等人 把图论的算法推广到拟阵，使拟阵在组合优化、整数规划、网络流及电网络理论 等方面有了广泛的应用。 拟阵理论为联系图论、线性代数、格论及其他数学领域的许多基本思想提出 了相当简单却非常有用的方法。在最近几十年，人们对拟阵的研究产生了很大的 兴趣，而拟阵理论也成为了许多现行研究的焦点。1 9 8 8 年，g o e t s c h e l 和v o x m a n 首次提出了模糊拟阵的概念，开始了模糊拟阵理论的研究，并得出了模糊拟阵的 部分基本特征。在之后的数年里，他们研究了模糊拟阵的性质和结构，并给出了 模糊秩函数公理、模糊拟阵的模糊基和模糊圈的性质，并推广了拟阵的g r e e d y 算 法，讨论了模糊拟阵的对偶和模糊拟阵的运算等等，从而建立了模糊拟阵的理论 框架。此后，许多学者更深入地研究了模糊拟阵理论及其应用。1 9 9 3 年，y u a n g - c h e h h s u e h 在“o nf u z z i f i c a t i o no fm a t r o i d ”一文中提出一种可行的拟阵模糊化方 法。1 9 9 4 年，我的导师吴德垠老师开始了模糊图拟阵的研究，已得到一些重要的 突破，先后发表了闭正规模糊拟阵的模糊基集特征、准模糊图拟阵、模糊图 拟阵等数篇文章。 本文在现有理论的基础上研究了模糊拟阵秩函数、模糊拟阵闭集、模糊拟阵 超平面；讨论了模糊拟阵秩函数公理、模糊拟阵闭集的一系列性质以及模糊拟阵 超平面的重要性质，特别是闭正规模糊拟阵的模糊超平面性质；最后，得到了闭 模糊拟阵的模糊超平面公理。这些工作，丰富了模糊拟阵理论，为进一步研究模 糊拟阵理论及其应用打下了基础。同时，提供了研究闭模糊拟阵的另一条途径。 重庆大学硕士学位论文 l 预备知识 i 预备知识 本章内容是本文的理论基础，包括模糊集的基本概念、拟阵的定义及其基本理论、 模糊拟阵的基本理论。 1 1 模糊集的基本概念 定义1 1 1 “”设有集合a ，a 的所有子集所组成的集合称为a 的幂集，记 为p ( a ) ，即p ( a ) = bb g a 。 定义1 1 2 0 ”设a p ( e ) ，具有如下性质的映射u ，u ：e 啼 o ，1 ，称为集合 a 的特征函数： 】z a ( x ) = 1 0工萑一 定义1 1 3 “”设e 是论域，u 是映射u ：e _ o ，1 ，x ( z ) 【0 , i 】，则说u 确定了e 上的一个模糊集合，u 叫做模糊集合的隶属函数。e 上的模糊集合简称模 糊集。e 上所有模糊集所组成的集合称为e 模糊幂集。记为f ( e ) 。 设f ( e ) 是所有映射：u ：e _ 0 ，1 的集合。f ( e ) 的元是定义在e 上的模糊集。 下面的二元关系和运算是定义在f ( e ) 上的： 定义1 1 4 “”设u 宦f ( e ) ，0 s r 1 ，则有： 1 ) c ( ) = 仁x i ( z ) r ) 称为模糊集u 的r 弱截集或r 一水平集。简称 r 一截集。根据需要，有时也表示为c ，( 弘) = ( u ) 。 2 ) c ( ) = 扛剖( x ) r 称为模糊集的r 一强截集。 定义1 1 5 “s u p p u = 红e e i 卢( x ) 0 ) 称为的支撑集。若s u p p u = ，则 称为模糊空集，仍记为庐。 定义1 1 6 【l ”如果e 是论域，e 斗 0 ，1 任，v f ( e ) ，有下列概念和记法： m ( u ) = i n f ( 斗( x ) x e s u p p p ； r + ( u ) = p ( x ) l 肛( x ) 0 ，x e e 。 定义1 1 7 “”非负实数iui = x 。e u ( x ) ，称为模糊集l l 的势。 定义1 1 8 “1 1 人v = m i n p ，v ，称为模糊集l i 和v 的交 uvv = m a x p ， v ) ，称为模糊集u 和v 的并。 定义1 1 g n 帕对任意的x a e ，如果u ( x ) = v ( x ) ，则称模糊集“等于模糊集 v ，记为= v ：任意的x a e ，有u ( x ) v ( x ) ，则称模糊集u 被包含于模糊集v ， 记为v ；如果u v ，且存在x e ，使u ( x ) v ( x ) ，则称模糊集u 被真包含于 模糊集v ，记为弘 v 。 2 重庆大学硕士学位论文 1 预备知识 定义1 1 1 0 n 5 1 x c e 。u x 表示模糊集： 删= 渺掣x 定义1 1 1 2 “”v x c e ，vr a ( 0 ，1 ) ，( x ，r ) 表示模糊集： 埘嘶胁骺露妻 称为x 上的水平为r 的初等模糊集。 定义1 1 1 3 “8 对于r ( o ，1 ，c ，( 1 i ) 称为模糊集u 的一个r - 水平。 定义1 1 1 4 “”i r + c u ) 1 的模糊集ue f ( e ) 称为一个基本模糊集。 定义1 1 1 5 “”。v _ c f ( e ) 称( e ，甲) 为一个模糊集系统。对于每个，( 0 ，1 ) ， 将一个模糊集系统( e ，1 壬，) 的r 水平定义为一个传统集系统( e ，甲，) 。其中 一= c ，o ) 户哪。 1 2 拟阵的基本理论 定义1 2 1 “1 设e 是有限集，i 是e 的子集族。若i 满足下列条件： | 1 西e i ： 1 2 若x e i ，y 曼，则y i ； 1 3 若x ，y e i ，i x l i y i ，则有w i ，使： xcw x u y 则称对偶( e ，i ) 为e 上的一个拟阵。记为m = ( e ，i ) 。任意的x _ e ，若x i ，则称 x 为m 的独立集，否则称为x 的相关集。 定义1 2 2 设m = ( e ，i ) 是一拟阵，若b i ，但不存在b 。d b ，使b 。e i ，则 称b 为拟阵的基。即基是拟阵的极大独立集。我们用b 或b ( m ) 表示拟阵m 所有基 的集合。 定义1 2 3 “1 设m _ ( e ，i ) 是一拟阵，若c 芒i ，但任意的c c c ，都有c i ， 则称c 为拟阵的圈。即圈是拟阵的极小相关集。我们用c 或c ( m ) 表示拟阵m 所有 圈的集合。 定义1 2 4 设m = ( e ，i ) 是一拟阵，若s e 且s 含m 的一个基，则称s 为拟 阵的支撑集。 设e 是有限集，对每个在e 上的拟阵m ，可以证明有在e 上以b + 为基集合族的 拟阵矿。其中b 定义为： b = x e l e x b ) ，其中b 为拟阵 i 的基集合。 定义1 2 5 “上述拟阵圹，称为m 的对偶拟阵。 重庆大学硕士学位论文1 预备知识 通常称m 的基和圈等为m 的反基和反圈等。 拟阵的定义还有许多等价的表述方式，常见的就是以卞几个公理： 定理1 2 6 ”1 ( 基公理) 设e 是有限集，b 是e 的非空子集族。则b 是关于e 的个拟阵的基集当且仅当满足下列的条件： b 1 若b 。、b 。b ，贝l b ，l = l b ：i b 2 若b 。、b 2 b ，且v x eb 。，则存在y b 。使得( b 。( x ) ) u y ) b 。 定理1 2 7m ( 圈公理) 设e 是有限集，c 是e 上的非空子集族，则c 是e 上某拟阵的圈集当且仅当下列条件成立： c 1 若c ，、c 2 c ，且c 。靶：，则c 。西：； c 2 若c 。、c 。e c ，c l c ：，且z e c n c 。则存在c 。使得 c 3 9 ( c - u c ：) z ) 。 另外，拟阵还有几个重要的公理，如秩公理、闭包公理、超平面公理等，我 们将在后面章节中加以介绍。 下面介绍拟阵的几个重要性质。 定理1 2 8 “设m _ ( e ，i ) 是一拟阵，t _ c e ，令i ( m 1 t ) ： x i x 三t ，x i ) ，则i ( m t ) 是关于t 的一个拟阵的独立集族。 用m r 表示这个拟阵，称它为m 在t 的约束。 定理1 2 9 “设m = ( e ，i ) 是一拟阵，t e ，令i 删t ) = ( xj x c t ，x u y i ，y 是e t 的极大独立集) ，则i ( i t ) 是关于t 的一个拟阵的独立集族。 用m t 表示这个拟阵，称它为m 到t 的收缩。 定理1 2 1 0 “1 设m 。是关于e 的拟阵，i = 1 ，2 ，1 7 2 ，i ，是拟阵m ，的独立集 族，令i = x l x = x 1t a x 2u u x ，x ，i 。，l i m ) ，则i 是e 上一个拟阵的 独立集族。记这个拟阵m = m 。v m 2v v m ，称它为m i ，m 2 ，m 。的并。 定理1 2 1 1 叫设m 。，m ：是关于e 的两个拟阵，s l ，s 2 分别是m ，m 2 自q 支撑集族。 令 s = s l s 2 = x l n x 2 i x l s l ，x 2 s 2 ， 则s 是关于e 的某拟阵m 的支撑集族。记这个拟阵为m = m ： m 。，称它为m 。与m 2 的 交。 拟阵的秩函数、闭包算子、闭集和超平面等重要概念和性质将在后面相关章 节中给出。 1 3 模糊拟阵的基本理论 定义1 3 1 【2 设e 是一个有限集合，w _ c f ( e ) 是一个满足下列条件的非空模糊 集族： 4 重庆大学硕士学位论文 i 预备知识 ( 、壬，1 ) 若i 、王，。f ( e ) ，且v u ，贝0v 甲； ( y 2 ) 若u ，v 甲，js u p p ui ls u p pvl ，则存在w 、壬，使 ( a ) u _ m i n ( m ( n ) ，m ( v ) 则称对偶m = ( e ，是e 上的模糊拟阵，甲称为m 的模糊独立集族。 若u f ( e ) 但u 萑甲，则称p 为m 的模糊相关集。 模糊拟阵还有以下的等价定义： 定义1 。3 2 设e 是一个有限集合，w _ c f ( e ) 是一个满足下列条件的非空模期 集族： ( 、王，1 ) 若u 甲，ve f ( e ) ，且v u 。贝0v 甲； 憎2 ) 若p ，v 、壬f ，lul ( 1v1 ，则存在w 掣使 ( a ) 1 1 w ， ( b ) i u l l w l s i v l ， ( c ) w 归v 肛。 则称对偶m ( e ，甲) 是e 上的模糊拟阵，甲称为m 的独立模糊集族。 定义1 3 3 。1 在初等模糊集上，如果模糊集系统( b ，满足下列性质： ( 甲10 ) 若p 甲，v f ( e ) ，r + ( 肛) = r + ( v ) = ( r ) ，且v ，则v 甲； ( 甲2 0 ) 若肛，v 甲，r + ( = r + ( v ) = r ) ，且川 i v l 则存在e 甲使得 r _ ( d = r ) 且p 号p vv ； c e 3 p 、壬，当且仅当斗e f ( e ) 且对任意r e 0 ，1 ，有p ，掣。其中p ，定义为： ，、 i ， ，x c ，o ) p r u 卜t o 其它 。 则称模糊集系统m = ( e ，是e 上的模糊拟阵，、王，称为模糊拟阵m 的独立模糊集族。 定理1 3 4 “1 设有模糊拟阵m = ( e ，d ( 0 ，1 】，令i n - ca ( u ) 1 v u 州， 易证m 。= ( e ，i a ) 都是e 上的拟阵。但e 是有限集，所以只有有限个不同的拟阵。 由此，我们可以得出结论，存在一个有限序列r 。 r 。 r 。，使 1 )r o = 0 ，r 。s l ： 2 ) 当0 r 。时，i 暑：； 3 )若s ，t e ( r i ，r i 十1 ) ，贝n i s = i t ( o s i s n 一1 ) ： 4 )若r j s r 川 t r i + 2 ，则i 窖d t ( 0 i 如一2 ) ， 我们称序列r o r 。 r 。为m 的基本序列。 定理1 3 5 设m = ( e ，v ) 是一个模糊拟阵，r e ( 0 ，l 】，令 i r = c ，( u ) l v u 甲) ， 容易证明舻( e ，i 。) 都是e 上的拟阵。令f = ( pe f ( e ) lc ，( 弘) ei 。r e ( o ，l 】) 。则 重鏖查堂堡主堂竺笙塞 ! 塑鱼塑塑 甲= 、，。 定义1 3 6 脚设m = ( e ，甲) 是一个模糊拟阵，则称u f ( e ) 为m 的一个模糊圈 如果u 硅甲，但对任意的a e s u p p l l 都有肼口e 甲。其中小d 定义为： 坝加茗：。 而且，如果脏m 的模糊圈，那么当t ( p ) = m a x nj 不是m 的圈) 时， 称中( p ) = 0 ( 肛) ，m ( p ) 】为p 的圈区间。其中定义为： 聃= 盔量三 定理1 3 7 脚设m = ( e 甲) 是一个模糊拟阵，ue f ( e ) 。如果i l 萑甲，则存在m 的一个模糊圈v ，使得v u 。 定义1 3 8 嘲设m = ( e ，、壬，) 是一个模糊拟阵，称i t 、壬，为m 的一个模糊基，如果 v v 、l ，岖v 都有“：v 。即模糊拟阵m 的模糊基是m 的极大模糊独立集。 定义1 3 9 嗍设m = ( e ，是一个模糊拟阵，r o r i 厶为 l 的基本序列。 如果对任意的，。( 0 s isn ) 都有 ，：，( 其中，i 。如定理1 3 4 所定义) 则称模糊拟阵m 是闭的。 定义1 3 1 0 ”设m _ ( e 、王，) 是一个模糊拟阵，r 0 r 。 “为m 的基本序 列。如果对任意的l ，且b 是( e ，j 。) 的基，有( e ，。) 的基a ，使得必，贝称m 是正规的。 定理1 3 1 1 设m = ( e ，掣) 是一个模糊拟阵，则m 是闭正规的当且仅当m 的基 有相同的势。 定义1 3 1 2 删设壮( e 甲) 是闭正规的模糊拟阵，b 是m 的模糊基集。令 j ：e _ o ，1 为一模糊集，使对v e , e ，有l ( e ) = l 。设p f ( e ) ，令辟1 p 。则 b = p 。j d b ) 是某闭正规模糊拟阵m 的基集，并称此拟阵为m 的模糊对偶拟阵。 定理1 3 1 3 “”设m = ( e ，是闭正规的模糊拟阵，m 为它的模糊对偶拟阵， 则下列命题成立： ( 1 ) 若b 和b 分别是m 和犷的基集，则【b | = ib ； ( 2 ) ( m ) = h l 。 ( 3 ) 若p 和p 分别是m 和m 的秩函数，则对v p f ( e ) ，令p = 1 一，则 p ( p ) = l p i + p ( 旷) - p ( j ) 。 定理1 3 1 4 “”设忙( e 、壬，) 是一个模糊拟阵，a e f ( e ) 。令 、p f p l p r ，且“e 甲) 。 则是关于模糊集a 的一个模糊拟阵的独立集族。设该模糊拟阵为m 爿e ，、壬，。) ，称 重庆大学硕士学位论文 1 预备知识 为模糊拟阵m 在模糊集旺的约束。 定理1 3 1 5 “”设m - ( e ，是一个模糊拟阵，t c e ，令 、妒= p s u p p l a _ t ，存在p e _ ，满足 ( 1 ) s u p p l 3 c e t ； ( 2 ) p v p 甲； ( 3 ) p ( c o ( e t ，1 ) ) = o ( 1 3 ) ) 。 则妒是关于t 的一个模糊拟阵的独立集族。我们用m t 来表示这个模糊拟阵，并称 它为m 到集合t 的收缩。 重庆大学硕士学位论文 2 模糊拟阵秩函数 2 模糊拟阵秩函数 秩函数是拟阵和模糊拟阵的基本概念和基本理论。本章内容主要是将拟阵秩 函数的概念和性质推广到模糊拟阵。并对模糊拟阵秩函数的子模性进行了的研究， 得出了模糊拟阵秩函数公理。 2 1 秩函数的基本概念 在代数中，我们知道一个向量组中极大线性无关组中向量的个数称为这个向 量组的秩。我们将这种性质推广到拟阵，进而推广到模糊拟阵，得到拟阵和模糊 拟阵的秩的概念。 定义2 1 1 “设e 是有限元素的集合，帖( e ，i ) 是拟阵。则m 的秩函数是一个 函数p ：2 8 _ + z ，使对任意的a g e 有 p ( a ) - - - m a x ( 1x li x 出，x i 】 其中，2 表示e 的所有子集的集合( 也称为e 的幂集) ，z + 表示非负整数的集合。 p ( e ) 称为拟阵m 的秩，通常记为p ( e ) = p ( m 。 我们也可从拟阵基的角度等价地得出秩函数的定义。 任意取定个子集x _ c e ，据基公理的( b 1 ) ，对不同的8 - 、b 。b ( m x ) ，恒有 i b t i l l b 。 。我们把b ( m lx ) 中一个基b x 的元素个数定义为x 的秩，记作p ( x ) = b x l 。 因而从拟阵基的角度等价地得出拟阵秩函数的定义： 口( x ) = r l l a x y l1y e x ，y i ) 类似地，我们得到模糊拟阵的秩函数的定义。 定义2 1 2 ”设擀( e 是一个模糊拟阵，m 的秩函数是一个映射 p ：f ( e ) _ 0 ，+ ) ，使得对任意的ue f ( e ) ，有 p ( u ) = s u p lvv p ，v 甲) 。 其中iv1 ：l 鄯v ( x ) 。 特别注意此处的“s u p ”。这是因为模糊拟阵的基可能不存在，也就可能存在 甲的无穷序列v 。 72 v 。 u ，所以只好用“s u p ”取代“m a x ”。 2 2 模糊拟阵秩函数的子模性 我们首先介绍拟阵秩函数的两个薰要公理。 定理2 2 1 ( 秩公理1 ) 一个函数p ：2 5 _ z + 是关于有限集e 的拟阵的秩函 数当且仅当对任意的x 三e ，y ，z e e ，下面的条件成立。 数当且仅当对任意的x 三e ，y ，z e e ，下面的条件成立。 r io p ( x ) = 0 。 8 重庆大学硕士学位论文 2 模糊拟阵秩函数 2 模糊拟阵秩函数 秩函数是拟阵和模糊拟阵的基本概念和基本理论。本章内容主要是将拟阵秩 函数的概念和性质推广到模糊拟阵。并对模糊拟阵秩函数的子模性进行了的研究， 得出了模糊拟阵秩函数公理。 2 1 秩函数的基本概念 在代数中，我们知道一个向量组中极大线性无关组中向量的个数称为这个向 量组的秩。我们将这种性质推广到拟阵，进而推广到模糊拟阵，得到拟阵和模糊 拟阵的秩的概念。 定义2 1 1 “1 设e 是有限元素的集合，m = ( e ，i ) 是拟阵。则m 的秩函数是一个 函数p ：2 8 _ z + ，使对任意的a c e 有 p ( a ) = m a x f i x li x a ，x e i ) 其中，2 8 表示e 的所有子集的集合( 也称为e 的幂集) ，z + 表示非负整数的集合。 p ( e ) 称为拟阵m 的秩，通常记为p ( e ) = p ( 螂。 我们也可从拟阵基的角度等价地得出秩函数的定义。 任意取定个子集x c e ，据基公理的( b 1 ) ，对不同的b - 、b 2 e b ( m j x ) ，恒有 1 b t | ：i b z l 。我们把b ( m 1 x ) 中一个基b x 的元素个数定义为x 的秩，记作p ( x ) = l b x l 。 因而从拟阵基的角度等价地得出拟阵秩函数的定义： p ( x ) = m a x i y i iy g x y e i 类似地，我们得到模糊拟阵的秩函数的定义。 定义2 1 2 嘲设m ：( e ，、壬，) 是一个模糊拟阵，m 的秩函数是一个映射 p ：f ( e ) 一 0 ，+ ) ，使得对任意的p f ( e ) ，有 p ( u ) = s l i p lv v p ，v 、壬，) 。 其中ivi = x 乍ev ( x ) 。 特别注意此处的“s u p ”。这是因为模糊拟阵的基可能不存在，也就可能存在 、壬，的无穷序列v 。 v ： v 。 i j ，所以只好用“s u p ”取代“m a x ”。 2 2 模糊拟阵秩函数的子模性 我们首先介绍拟阵秩函数的两个重要公理。 定理2 2 1m ( 秩公理1 ) 一个函数p ：2 5 - + z + 是关于有限集e 的拟阵的秩函 数当且仅当对任意的x c _ e ，y ，z e ，下面的条件成立。 r 1 0 p ( x ) = 0 。 8 重庆大学硕士学位论文 2 模糊拟阵秩函数 r 2 。p ( x ) p ( x u ( y ) ) p ( x ) + 1 。 r 3 0 若p ( x u y ) ) = p ( x u ( z ) = p ( x ) ，则 p ( x u y u z ) ) = p ( x ) 。 定理2 2 2 。1 ( 秩公理2 ) 一个函数p ：2 5 呻z + 是关于有限集e 上的拟阵m 秩函数当且仅当下面的条件成立。 ( r 1 ) 对任意的x e ，o p ( x ) s l x l 。 ( r 2 ) 对任意的x s - y e ，p ( x ) sp ( y ) 。 ( r 3 ) 对任意的x c y c e ，p ( x u y ) + p ( x n y ) 蔓p ( x ) + p ( y ) 。 该公理中的性质( r 3 ) 称为函数的子模性，它是秩函数最重要的性质。 我们接下来讨论子模函数与拟阵的关系。 、 定义2 2 3 设e 是有限元素的集合，r 是实数集合。一个函数u ：2 5 _ r 若满足对任意的a 。b _ e 有 u ( a u b ) + u ( a n b ) u ( a ) + u ( b ) ， 则称u 是一个子模函数。若对任意的a 曹适e 有l l ( a ) u ( b ) ，则称l i 是非减的函 数。 定理2 2 44 1 设e 是有限元素的集合，u ：2 5 一z + 是非减的子模函数且具 有性质：对任意的x c _ e 有u ( x ) l x l ，则i ( 斗) = a ac e ，“( a ) = l a i ) 是关于e 的某个拟阵的独立集族且这个拟阵的秩函数为u 。 定理2 2 5 设e 是有限元素的集合，u ：2 5 斗z + 是非减的子模函数且 ( 庐) = 0 ，则i ( m ( u ) ) = x l x _ e ，对任意的a c x ，l l ( a ) l a l ) 是关于e 的某个拟 阵m ( u ) 的独立集族且m ( 斗) 的秩函数9 满足：对任意的x c z e 有 p ( x ) = i 里( ( 彳) + l x a 1 ) ，其中i 1 1 f 表示下确界。 对于一个模糊拟阵，我们参照拟阵秩函数的概念得出了模糊拟阵秩函数的定 义。类似地，我们也很容易得出模糊拟阵秩函数的下列两个性质： 定理2 2 6 嘲设m = ( e ，甲) 是一个模糊拟阵，p 是m 的秩函数，则p 满足下列 性质： ( a ) 对任意的ua f ( e ) 。0 p ( u ) sl | li 。如果u 、壬，p ( u ) = il l1 。 ( b ) 如果u ，v 、壬，且l i v ，则p ( p ) sp ( v ) 。 在模糊拟阵中，对于秩函数子模性的证明是非常困难的。下面我们将对模糊 拟阵秩函数的子模性进行讨论和研究。 定义2 2 7 。1 设m = ( e ，甲) 是一个模糊拟阵，o = r o r l g l 是m 的基本序 列，对于任意的r ( 0 ，1 ，i 。= ( c ，( u ) l1 le 甲) ，设i ，= ，其中r i 1 r r 。，i ，= i 。) 。令 y = ue f ( e ) l c ，( p ) i ，o r 1 9 重庆大学硕士学位论文 2 模糊拟阵秩函数 则称吖= ( e ，甲) 为模糊拟阵m 一( e ，甲) 的闭包。 定理2 2 8 蜘如果m = ( e ，是一个模糊拟阵，那么m _ 的闭包砺= ( e ，孓) 也 是一个模糊拟阵。 如果模糊拟阵m 是闭的，那么它的闭包也是闭的。实际上，它是包含m 的最 小的闭模糊拟阵。 引理2 2 9 设丽= ( e ，可) 是模糊拟阵m = ( e ，掣) 的闭包，石和p 分别是面和 m 的秩函数，则；= p 。 设m - ( e ，是一个闭的模糊拟阵，其秩函数是d 。为了证明p 满足子模性， 我们定义另外一个函数二：f ( e ) 哼 o ，) ，p 是满足子模性的，我们只要证明 p = 二即可。下面我们将对此进行进一步的探讨。 设r 0 ( 是模糊拟阵m 的基本序列，p e f ( e ) ，o ( 屈 殷 a 是肛的非 零范围。设口。 口2 ( 口，且f q ，口2 ，口。) 2 ，) u ( 屈，屈，反) ， 令d 。= o ，对0 n i n n ，我们用吒表示，用且。表示拟阵嵫2 ( e ，) 的秩。 对每个整数j ，1 s j sj n ，有一个相应的整数i ( 1 s i s n ) ，使得 吒一。q _ 1 乃 我们称序对锄) 为一个相应对( c o r r e s p o n d e n c ep a ：i r ) 。令 州舻”7 曼 挑q 鼠毛力肛伸耐 偿， 注意到对任意的j ，1 _ j n m ，任取a ，口，l c t n 口j ，有c 。( 一) = c 。，( ) 。 我们现在定义函数刍：f ( e ) _ o ，。 ， p ( ) = g ，) 。 我们在下一个引理中对g ，6 u ) 的进行定义 弓l 理2 2 1 0 设0 d i d 2 西s 1 ， 口l ，口2 ，口，) d l ，以，d t ， 其中q 口2 如上所定义。对1 s i s n ，令吨= ，如果噍一。屯 那么对于任意u e f ( e ) ， 窖，) = g ： ) 。 定理2 2 1 1 嘲设m _ ( e ，甲) 是一个模糊拟阵，r o 1 是m 的基本序列， 重庆大学硕士学位论文 2 模糊拟阵秩函数 如果p ：f ( e ) _ o ，。) ，多) = q ，) ，那么占满足子模性。 j - i 。 定理2 ，2 。1 2 设m ：( e ，是一个模糊拟阵，p 是m 的秩函数，p 如上所定义， 即p ( u ) - - s u p lv v u ，v 甲 ，刍) ：妻g ，) ，那么p = 刍。 证明：通过引理2 。2 9 ，假设m 是一个闭模糊拟阵，u f ( e ) ，且p ( p ) o 。 要证该定理成立，只需证明下面两个命题成立： ( a ) 存在v 甲，使得v i i ，且p o * ) = f v ( b ) 如果m y ，u ，贝0 i i - p c u ) 。 首先证明( a ) 。设吒 ，l 0 是m 的基本序列，屯( 5 ： 以是u 的非零范围。 j 殴口1 口2 口，且 口l ，口2 ，口，) = ( ，1 ，1 2 ， u j l ，s 2 ，s i ) ，对 1 i 如，口 = 。取0 匹1 ，令 掣= a l1 a c 。l u ) ) 口= s u p 口1 学矿 根据定义1 3 4 、定理1 3 5 以及口，的定义，存在a ，使得口= 4 ，其中 巳。f 口l ，口2 ，) 。显然 巳。厶 刍) ：圭冒，l u ) i - 1 v 的范围iv u ，v 甲j o ， 对任意的j j ，令气矽，使得 i 如 足( ) 其中i 满足。乃- l qs 吒，r 。是拟阵( e ，) 的秩函数，吒2 。 显然，i 正，i ia 叩i s a q 我们利用有限集合序列 如 在e 上定义一个有限的子集合序列 口， ，使得 玩= a a ；，并且 b 1 b ，b o ，：b o , ( 2 2 ) 重庆大学硕士学位论文2 模糊拟阵秩函数 r ，i b o i = i 以。i _ - - f a l 。，l i i i ：i 其中一：卜如下所定义，设口，和一叩是拟阵( e ，i t _ ( a ) ，) 的独立集，设 ib。ii，i，设气是拟阵【e，j乎!，j的一个独立集，使i正，i=it- i - i 正，- l ，j ，o ，1，一 b 1 正，_ i ( 由拟阵的传递性可得) 。 照此继续进行，对每一个整数j ，1 卸，有 ( i ) b 。是拟阵( e ，：；：，) 的最大独立集， ( i i ) ib 。，i = r i ( c 。，( p ) ) ，其中i ，j 的关系满足一。s 町l a j 。 对1 匀，设”j 是被定义在s u p p v j = b q 和单非空集合 a 上的模糊集。令 y = vy j ( 2 - 3 ) 显然，vs 弘，v 矿( f 如定理1 3 6 所定义) ，由定理i 3 6 有ve 甲，且 i l ，卜( 口厂口川) i b o 。i ( 2 4 ) 根据( i i ) 和( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 4 ) 有p ) = lvl 再来证明( b ) 。设s u ，、壬，如果瑾o ，c 。( ) 庐，那么曼口，因此， 存在j ，l j j ，使得口- l o ，使得p ( j ：) = o ， 那么对任意的k ，o s k 1 ，都有p ( j ! ) = o 。 ( v ) 如果u f ( e ) ，h m ( u ) ，那么p ( s ：) 一p ( d 0 ，h ) 。 我们根据以上五个性质得出下面的模糊拟阵秩函数公理。 定理2 3 2 设e 是一个有限集，函数p ：f ( e ) - + o ，+ 。c ) 满足上列性质( i ) 、 ( ) 、( ) 、( i v ) 、( v ) 。令 y = u f ( e ) ip ( u ) = iui 则帖( e ，奶是一个模糊拟阵，且其秩函数为o 。 证明