物理学第三版刘克哲11章习题解答.pdf

图11- 11-1 如果导线中的电流强度为8.2 a，问在15 s内有多少电子通过导线 的横截面？ 解 设在t秒内通过导线横截面的电子数为n，则电流可以表示为 , 所以 . 11-2 在玻璃管内充有适量的某种气体，并在其两端封有两个电极， 构成一个气体放电管。当两极之间所施加的电势差足够高时，管中的气 体分子就被电离，电子和负离子向正极运动，正离子向负极运动，形成 电流。在一个氢气放电管中，如果在3 s内有2.81018 个电子和 1.01018 个质子通过放电管的横截面，求管中电流的流向和这段时间内 电流的平均值。 解 放电管中的电流是由电子和质子共同提供的，所以 . 电流的流向与质子运动的方向相同。 11-3 两段横截面不同的同种导体串联在一起，如图11-7所示，两端 施加的电势差为u。问： (1)通过两导体的电流是否相同？ (2)两导体内的电流密度是否相同？ (3)两导体内的电场强度是否相同？ (4)如果两导体的长度相同，两导体的电阻之比等于什么？ (5)如果两导体横截面积之比为1: 9，求以上四个问题中各 量的比例关系，以及两导体有相同电阻时的长度之比。 解 (1)通过两导体的电流相同， 。 (2)两导体的电流密度不相同，因为 , 7又因为 , 所以 . 这表示截面积较小的导体电流密度较大。 (3)根据电导率的定义 , 在两种导体内的电场强度之比为 . 上面已经得到 ，故有 . 这表示截面积较小的导体中电场强度较大。 (4)根据公式 , 可以得到 , 这表示，两导体的电阻与它们的横截面积成反比。 (5)已知 ，容易得到其他各量的比例关系 , , , . 若 ，则两导体的长度之比为 . 11-4 两个同心金属球壳的半径分别为a和b(a)，其间充满电导率为 的材料。已知是随电场而变化的，且可以表示为 = ke，其中k为 常量。现在两球壳之间维持电压u，求两球壳间的电流。 解 在两球壳之间作一半径为r的同心球面，若通过该球面的电流 为i，则 . 又因为 , 所以 . 于是两球壳之间的电势差为 . 从上式解出电流i，得 . 11-5 一个电阻接在电势差为180 v电路的两点之间，发出的热功率 为250w。现将这个电阻接在电势差为300 v的电路上，问其热功率为多 大？ 解 根据焦耳定律，热功率可以表示为 , 该电阻可以求得，为 . 当将该电阻接在电压为u2= 300 v的电路上时其热功率为 . 11-7 当对某个蓄电池充电时，充电电流为2.0 a，测得蓄电池两极间 的电势差为6.6 v；当该蓄电池放电时，放电电流为3.0 a，测得蓄电池两 极间的电势差为5.1 v。求该蓄电池的电动势和内阻。 解 设蓄电池的电动势、为内阻为r。充电时，电流为i1 = 2.0 a，两 端的电压为u1 = 6.6 v，所以 . (1) 放电时，电流为i2= 3.0 a，两端的电压为u2= 5.1 v，所以 . (2) 以上两式联立，解得 , . 11-8 将阻值为3.6 的电阻与电动势为2.0 v的电源相联接，电路中的 电流为0.51 a，求电源的内阻。 解 在这种情况下，电路的电流可以表示为 . 由此解得电源的内阻为 图11-8 图11-9 . 11-9 沿边长为a的等边三角形导线流过电流为I，求： (1)等边三角形中心的磁感应强度； (2)以此三角形为底的正四面体顶角的磁感应强度。 解 (1)由载流导线ab在三角形中心o(见图11-8)产生的磁感应强度b1的大 小为 , 式中 , . 于是 . 由三条边共同在点o产生的磁感应强度的大小为 , 方向垂直于纸面向里。 (2)图11-9 (a)表示该四面 体，点p就是四面体的顶点。 载流导线ab在点p产生的磁感 应强度的大小为 , 式中b是点p到ab的距离， 显然 图11-10 . 1 = pad = 60 ，2= pbd = 120，于是 , b*处于平面pcd之内、并与pd相垂直，如图11-9 (b)所示。由图11-9 (b)还可以看到，b*与竖直轴线op的夹角为，所以载流导线ab在点p产 生的磁感应强度沿该竖直轴的分量为 . 由于对称性，载流导线bc和ca在点p产生的磁感应强度沿竖直轴的分 量，与上式相同。同样由于对称性，三段载流导线在点p产生的磁感应 强度垂直于竖直轴的分量彼此抵消。所以点p的实际磁感应强度的大小 为 , 方向沿竖直轴po向下。 11-10 两个半径相同、电流强度相同的圆电流，圆心重合，圆面正 交，如图11-10所示。如果半径为r，电流为i，求圆心处的磁感应强度 b。 解 两个正交的圆电流，一个处于xy平面内， 产生的磁感应强度b1，沿z轴正方向，另一个处于 xz平面内，产生的磁感应强度b2，沿y轴正方向。 这两个磁感应强度的大小相等，均为 . 圆心o处的磁感应强度b等于以上两者的合 成，b的大小为 , 方向处于yz平面内并与轴y的夹角为45。 图11-11 11-11 两长直导线互相平行并相距d，它 们分别通以同方向的电流i1 和i2。a点到两 导线的距离分别为r1 和r2，如图11-11所 示。如果d = 10.0 cm , i1 = 12 a，i2= 10 a，r1 = 6.0 cm，r2= 8.0 cm，求a点的磁感应强 度。 解 由电流i1和i2在点a产生的磁感应强度 的大小分别为 和 , 它们的方向表示在图11-11中。 r1和r2之间的夹角，在图中画作任意角，而实际上这是一个直角， 原因是 , 所以b1与b2必定互相垂直。它们合成的磁感应强度b的大小为 . 设b1与b2的夹角为，则 , . 11-14 一长直圆柱状导体，半径为r，其中通有电流i，并且在其横截 面上电流密度均匀分布。求导体内、外磁感应强度的分布。 解 电流的分布具有轴对称性，可以运用安培环路定理求解。 以轴线上一点为圆心、在垂直于轴线的平面内 作半径为r的圆形环路，如图11-12所示，在该环路 上运用安培环路定理： 图11-12 图11-13 在圆柱体内部 , 由上式解得 (当 时). 在圆柱体外部 , 由上式解得 (当 时) . 11-15 一长直空心圆柱状导体，电流沿圆周方向流动，并且电流密度 各处均匀。若导体的内、外半径分别为r1和r2，单位长度上的电流为i， 求空心处、导体内部和导体以外磁感应强度的分布。 解 电流的这种分布方式，满足运用安培环 路定理求解所要求的对称性。必须使所取环路 的平面与电流相垂直，图11-13中画的三个环路 就是这样选取的。 在管外空间：取环路1，并运用安培环路定 理，得 , . 在管内空间：取环路2，并运用安培环路定理，得 , 即 图12-15 , . b2的方向可用右手定则确定，在图11-13中用箭头表示了b2方向。 在导体内部，取环路3，ab边处于导体内部，并与轴线相距r。在环 路3上运用安培环路定理，得 , 整理后，得 , 于是可以解得 , 方向向左与轴线平行。 12-16 有一长为l = 2.6102m的直导线，通 有i = 15 a的电流，此直导线被放置在磁感应强度大 小为b = 2.0 t的匀强磁场中，与磁场方向成 = 30角。求导线所受的磁场力。 解 导线和磁场方向的相对状况如图12-15所 示。根据安培定律 , 导线所受磁场力的大小为 , 力的方向垂直于纸面向里。 11-17 有一长度为1.20 m的金属棒，质量为0.100 kg，用两根细线 缚其两端并悬挂于磁感应强度大小为1.00 t的匀强磁场中，磁场的方向 与棒垂直，如图11-16所示。若金属棒通以电流时正好抵消了细线原先 所受的张力，求电流的大小和流向。 解 设金属棒所通电流为i。根据题意，载流金 图11-16 图11-18 图11-17 属棒在磁场中所受安培力与其重力相平衡，即 , 所以 . 电流的流向为自右向左。 11-18 在同一平面内有一长直导线和一矩形单匝线圈，矩形线圈的 长边与长直导线平行，如图11-17所示。若直导线中的电流为i1 = 20 a， 矩形线圈中的电流为i2= 10 a，求矩形线圈所受的磁场力。 解 根据题意，矩形线圈的短边bc和da(见图 11-18)所受磁场力的大小相等、方向相反，互相抵 消。所以矩形线圈所受磁场力就是其长边ab和cd所 受磁场力的合力。ab边所受磁场力的大小为 , 方向向左。cd边所受磁场力的大小为 , 方向向右。矩形线圈所受磁场力的合力的大小 为 , 方向沿水平向左，与图11-18中f1的方向相同。 11-19 在半径为r的圆形单匝线圈中通以电流i1 ，另在一无限长直导 线中通以电流i2，此无限长直导线通过圆线圈的中心并与圆线圈处于同 一平面内，如图11-19所示。求圆线圈所受的磁场力。 解 建立如图所示的坐标系。根据对称性，整 个圆线圈所受磁场力的y分量为零，只考虑其x分量 就够了。在圆线圈上取电流元i1 dl，它所处位置的 方位与x轴的夹角为，如图所示。电流元离开y轴 的距离为x，长直电流在此处产生的磁场为 图11-19 . 电流元所受的磁场力的大小为 . 这个力的方向沿径向并指向圆心(坐标原点)。将 、 代入上式，得 . 其x分量为 , 整个圆线圈所受磁场力的大小为 , 负号表示fx沿x轴的负方向。 11-20 有一10匝的矩形线圈，长为0.20 m，宽为0.15 m，放置在磁 感应强度大小为1.5103 t的匀强磁场中。若线圈中每匝的电流为10 a，求它所受的最大力矩。 解 该矩形线圈的磁矩的大小为 , 磁矩的方向由电流的流向根据右手定则确定。 当线圈平面与磁场方向平行，也就是线圈平面的法向与磁场方向相 垂直时，线圈所受力矩为最大，即 . 11-21 当一直径为0.020 m的10匝圆形线圈通以0.15 a电流时，其磁 矩为多大？若将这个线圈放于磁感应强度大小为1.5 t的匀强磁场中，所 受到的最大力矩为多大？ 解 线圈磁矩的大小为 . 所受最大力矩为 . 11-22 由细导线绕制成的边长为a的n匝正方形线圈，可绕通过其相 对两边中点的铅直轴旋转，在线圈中通以电流i，并将线圈放于水平取 向的磁感应强度为b的匀强磁场中。求当线圈在其平衡位置附近作微小 振动时的周期t。设线圈的转动惯量为j，并忽略电磁感应的影响。 解 设线圈平面法线与磁感应强度b成一微小夹角，线圈所受力 矩为 . (1) 根据转动定理，有 , 式中负号表示l的方向与角加速度的方向相反。将式(1)代入上式，得 , 或写为 . (2) 令 ,(3) 将式(3)代入式(2)，得 (4) 因为是常量，所以上式是标准的简谐振动方程，立即可以得到线 图11-20 圈的振动周期，为 . 11-23 假如把电子从图11-20中的o点沿y方向以 1.0107 ms1 的速率射出，使它沿图中的半圆周 由点o到达点a，求所施加的外磁场的磁感应强度b 的大小和方向，以及电子到达点a的时间。 解 要使电子沿图中所示的轨道运动，施加的外 磁场的方向必须垂直于纸面向里。磁场的磁感应强 度的大小可如下求得 , . 电子到达点a的时间为 . 11-24 电子在匀强磁场中作圆周运动，周期为t = 1.0108 s。 (1)求磁感应强度的大小； (2)如果电子在进入磁场时所具有的能量为3.0103 ev，求圆周的半 径。 解 (1)洛伦兹力为电子作圆周运动提供了向心力，故有 , 由此解出b，得 . (2)电子在磁场中作圆周运动的轨道半径可以表示为 , 图11-21 将 代入上式，得 . 11-25 电子在磁感应强度大小为b = 2.0103 t的匀强磁场中，沿半 径为r = 2.0 cm的螺旋线运动，螺距为h = 5.0 cm。求电子的运动速率。 解 电子速度垂直于磁场的分量 可如下求得 , 所以 . 电子速度平行于磁场的分量v/ 可根据螺距的公式求得 , 所以 . 于是，电子的运动速率为 . 11-26 在匀强磁场中叠加一匀强电场，让两者 互相垂直。假如磁感应强度和电场强度的大小分别 为b = 1.0102 t和e = 3.0104 vm1 ，问垂直于磁 场和电场射入的电子要具有多大的速率才能沿直线 运动？ 解 根据题意，电场、磁场和电子的运动速度v 三者的相对取向如图11-21所示。要使电子沿直线运 图11-14 动，速度v的大小应满足 , 所以速度的大小应为 . 11-29 半径为r的磁介质球被均匀磁化，磁化强度为m，求： (1) 由磁化电流在球心产生的磁感应强度和磁场强度； (2)由磁化电流产生的磁矩。 解 (1)取球心o为坐标原点、z轴水平向右建立如 图11-14所示的坐标系。根据 , 可以确定介质球表面的磁化电流的大小为 , 磁化电流的方向如图所示。在球面上取宽度为dl的环，环上的磁化 电流在球心o产生的磁感应强度可以表示为 . k是z方向的单位矢量。将 、 和 代入上式积分，得 , 或写为矢量 . 磁场强度为 图11-15 . 这表明，球内的磁场强度的方向与磁化强度的方向相反。 (2)上一问所取的表面环的磁矩为 , 式中 是圆环所包围的面积，代入上式并积分，得 , 或写为矢量 . 可见，整个磁介质球由磁化电流产生的磁矩等于磁介质的磁化强度 与体积的乘积。从磁化强度的定义看，这个结论是显而易见的。 11-30 半径为r、磁导率为1 的无限长磁介质圆柱 体(做内导体)与半径为r ( r )的无限长导体圆柱面(做 外导体)同心放置，在圆柱体和圆柱面之间充满磁导 率为2的均匀磁介质(做绝缘体)，这样就构成了一根 无限长的同轴电缆，如图11-15所示。现在内、外导 体上分别通以电流i和i，并且电流在内、外导体横截 面上分布均匀，试求： (1)圆柱体内任意一点的磁场强度和磁感应强度； (2)圆柱体和圆柱面之间任意一点的磁场强度和磁 感应强度； (3)圆柱面外任意一点的磁场强度和磁感应强度。 解 电流和磁介质的分布都满足轴对称，可以用普遍形式的安培环路 定理求解。在垂直于轴线的平面内，作三个同心圆，它们分别处于圆柱 体内、圆柱体