（数学专业论文）hilberthuang变换理论与应用研究.pdf

国防科学技术人学研究生院硕十学位论文 摘要 h i l b e r t h u a n g 变换( h h t ) 是1 9 9 8 年由美国工程院院士、美籍华人n e h u a n g 提出的一种新的时频分析理论，它的核心是对信号进行经验模式分解( e m p i r i c a l m o d ed e c o m p o s i t i o n ，e m d ) 得到有限个固有模式函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ， i m f ) ，并对每个i m f 进行h i l b e r t 变换，这样就可以得到有意义的瞬时频率，从 而给出频率随时间变化的精确表达。h h t 基于信号的局部特征，具有完全的自适 应性，适合于分析大量频率随时问变化的非线性非平稳信号。本文介绍了h h t 时 频分析方法的基本原理，给出了算法实现，利用仿真信号对比分析了h h t 方法， 说明了h h t 方法的有效性和优越性。作者从理论依据、算法设计和应用中出现的 若干问题三个方面详细探讨了h h t 方法，提出了算法改进方案，针对停止准则提 出了变化形式的s d 准则和6 准则，基于镜像法原理给出了两种端点延拓方法的算 法实现。关于采样率对e m d 的影响问题，作者提出了利用抛物线插值估计局部极 值点，对比分析了改进算法和原算法的分解误差和时频分析效果，验证了改进算 法的优越性。 关键词：h i l b e r t h u a n g 变换；经验模式分解；固有模式函数；理论依据；采 样问题 第i 页 国防科学技术人学研究生院硕+ 学位论文 a b s t r a c t a ni n n o v a t i v et i m e - f r e q u e n c ya n a ly s i st h e o r y ，h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m ( h h t ) ， h a sb e e nf i r s td e v e l o p e db yn o r d e ne h u a n g ，a na m e r i c a nc h i n e s ea n dam e m b e ro f t h en a t i o n a la c a d e m yo f e n g i n e e r i n gi na m e r i c a n t h em a i ni n n o v a t i o no f t h i sm e t h o d i st h ei n t r o d u c t i o no ft h ee m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ( e m d ) ，w i t hw h i c hc a nw e d e c o m p o s eas i g n a li n t oaf i n i t en u m b e ro fi n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n s ( i m f ) t h ee x a c t t i m e f r e q u e n c yd e s c r i p t i o nc a nb ea c h i e v e db ym a k i n gt h eh i l b e r tt r a n s f o r mt oe a c h i m fw h i c hl e a dt op h y s i c a l l ym e a n i n g f u ld e f i n i t i o n so fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y t h e a d a p t i v ed e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，w h i c hi s s u i t a b l ef o rn o n l i n e a ra n dn o n s t a t i o n a r y s i g n a la n a l y s i s ，i sb a s e do nt h el o c a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h es i g n a l t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h eb a s i cp r i n c i p l eo ft h eh h t t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s m e t h o dw h o s ea l g o r i t h mr e a l i z a t i o ni sg i v e n t h ec o m p a r a t i v ea n a l y s i so ft h eh h t m e t h o du s i n gs i m u l a t i o ns i g n a ls h o w st h ev a l i d i t ya n dp o w e r f u l n e s s t h eh h tm e t h o d i sd i s c u s s e di nd e t a i lo nt h r e ea s p e c t sa b o u tt h e o r e t i c a lb a s i s ，a l g o r i t h md e s i g na n ds o m e p r o b l e m se n c o u n t e r e d i n a p p l i c a t i o n s o m ei m p o r t a n ti m p r o v e da l g o r i t h m s a r e i n t r o d u c e d ，t r a n s f o r m e ds dc r i t e r i o na n d6c r i t e r i o ni sp r o p o s e d ，t w ok i n d so f e x t e n d i n gm e t h o db a s e do nm i r r o re x t e n d i n gm e t h o di sg i v e n p a r a b o l i ci n t e r p o l a t i o ni s p r o p o s e db yt h ea u t h o rf o r t h ee s t i m a t i o no fl o c a le x t r e m u mp o i n t sa b o u tt h ei n a c c u r a c y o ft h e d e c o m p o s i t i o n c a u s e d b ys a m p l i n gr a t e c o m p a r a t i v ea n a l y s i s o ft h e d e c o m p o s i t i o ne r r o ra n dt i m e f r e q u e n c yr e s u l t sb e t w e e nt h ei m p r o v e da l g o r i t h ma n dt h e o r i g i n a la l g o r i t h mv a l i d a t e st h es u p e r i o r i t yo ft h ei m p r o v e da l g o r i t h m k e yw o r d s ：h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m ；e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ； i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ；t h e o r e t i c a lb a s i s ；s a m p l i n gr a t e 第i i 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 表目录 表4 - 1e m d 分解评价指标对比4 4 第1 i i 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 图目录 图2 14 0 2 ，4 1 时的瞬时频率。8 图2 2 4 。- 1 2 ，4 = 1 时的瞬时频率8 图2 3h i l b e r t 变换的相位函数和瞬时频率_ 1 1 图2 4e m d 分解图和h i l b e r t 谱1 7 图2 5 三维h i l b e r t 谱图1 8 图2 - 6m o r l e t 小波变换时频图。1 8 图2 7 两个三角波和一个正弦波1 9 图2 8e m d 分解图1 9 图4 1 l 3 6 0 h z 时e m d 分解结果及其h i l b e r t 谱3 6 图4 2l 。8 0 h z 时e m d 分解结果及其h i l b e r t 谱3 6 图4 3 厂。7 5 h z 时e m d 分解结果及其h i l b e r t 谱3 7 图4 4 厂10 0 h z 时e m d 分解结果及其h i l b e r t 谱3 7 图4 5 包络均值随采样率的变化3 8 图4 6 正弦波e m d 分解误差图。3 9 图4 7s i n c 函数重构信号。4 0 图4 8 原始算法( 左) 和改进算法( 右) 的e m d 分解图4 3 图4 9 原始算法( 左) 和改进算法( 右) 的h i l b e r t 谱4 3 图4 1 0 改进算法e m d 分解误差图4 4 图4 1 1f ；5 0 0 h z 时原始算法( 左) 和改进算法( 右) 的e m d 分解图4 5 图4 1 2l 一5 0 0 h z 时原始算法( 左) 和改进算法( 右) 的h i l b e r t 谱。4 5 图4 1 3 原始算法( 左) 和改进算法( 右) 的误差图4 6 图4 1 4 原始算法( 左) 和改进算法( 右) 的e m d 分解图4 6 图4 1 5 原始算法( 左) 和改进算法( 右) 的h i l b e r t 谱4 7 图4 1 6 第一阶i m f 原始算法( 左) 和改进算法( 右) 的e m d 分解误差图4 7 图4 1 7 第二阶i m f 原始算法( 左) 和改进算法( 右) 的e m d 分解误差图4 7 图4 1 8 原始算法( 左) 和改进算法( 右) 的e m d 分解图4 8 图4 1 9 原始算法( 左) 和改进算法( 右) 的h i l b e r t 谱4 9 图4 2 0 原始算法( 左) 和改进算法( 右) 的e m d 分解误差图4 9 第1 v 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：旦i ! 垒曼! ! 二旦望垒旦g 变逸堡途鱼廑周盟究 学位论文作者签名： 丛筮列 日期： 2 矿矿f # - 坦月弓日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文作者签名：奎：i 坌益玉 作者指导教师签名：霎堑叠 日期：2 - o q 尹年组月弓日 日期：2 。吁年胗月汐日 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 第一章绪论 1 1 引言 信号分析与处理的目的就是要表征信号的基本性质和特征，例如通过某些变 换来更清楚地显现信号的某种特征。从数学的观点来看，通过在函数的完备集中 展开信号，就可以实现信号的不同表示，而且可以有无数种情况。一种特别表示 的重要性就在于：用哪种表示可以更好地理解信号的特征。在信号处理中，最重 要也是最基本的两个变量就是时间和频率。 我们称一个信号x o ) 为广义平稳的，如果它满足以下三个条件 e ( 1 x ( t ) 2 ) e ( f ) ) = m = 常数 c ( x ( q ) ，z ( 乞) ) = c ( x ( q + f ) ，石( f 2 + f ) ) = c ( t a - t 2 ) ( 1 1 - 1 ) 其中，e ( ) 为信号的数学期望，c ( ) 为协方差函数。广义平稳也称为弱平稳， 协方差平稳或二阶平稳等。如果一个信号是严格半稳的，那么对所有的t 和z ，都 满足 f x ( t 1 ) ，z ( 乞) ，x ( 乙) 】= f x ( t l + f ) ，x ( t 2 + r ) ，z ( 乙+ f ) 】 ( 1 1 2 ) 其中，f 【】为联合分布函数。式( 1 1 - 2 ) 意味着分布相对于时间移位是不变的。 严格平稳也称为狭义平稳，严格平稳也是广义平稳的，但是反之不成立。如果一 个信号不是广义平稳的，则称它是非平稳信号。 传统的信号分析与处理都是建立在傅里叶分析的基础上的，它将一个函数表 示成正弦函数的加权和。由于这些正弦函数的频率是固定不变的，其波形无始无 终，因此，傅里叶分析只适用于分析信号组成分量的频率不随时间变化的平稳信 号，但不能给出任何有关这些正弦波何时出现何时消亡的信息。而自然界中许多 天然和人工的信号，譬如语音、生物医学信号、音乐、雷达和声纳信号、机械振 动和动物叫声等，都是典型的非平稳信号，其特点是持续时间有限，而且是时变 的。因此，传统信号中处理中的三个基本假设：线性、高斯性和平稳性在实际应 用中有局限性，信号的非线性、非高斯性和非平稳性，是现代信号处理需要进一 步研究的课题。 对于非线性非平稳信号的分析，我们常常需要了解在某一时间的频率成分， 或者某一频率成分的时间分布情况，因此，时频分析具有很大的意义。人们对 第1 页 国防科学技术人学研究生院硕十学位论文 f o u r i e r 分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发腱了一系列新的信号分析理 论，如短时f o u r i e r 变换、w i g n e r v i l l e 分布、小波变换等等。虽然这些时频分析 方法能一定程度地表示出频率变化的规律，但它们的最终理论根据都是傅里叶分 析理论，都是采用积分分析方法，因而也容易遭受傅旱叶分析理论分析非线性非 平稳信号的局限，如出现虚假信号和假频等，而且受h e i s e n b e r g 不确定原理的限 制，不能精确描述频率随时间的变化。 1 2 时频分析方法回顾 一般将时频分析方法分为线性和非线性两种i l l 。典型的线性时频表示有短时傅 里叶变换( s t i 唧、g a b o r 展开和小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ，w t ) 等。非线性时频 方法是一种二次时频表示方法，最典型的是w i g n e r - v i l l e 分布和c o h e n 类。 1 2 1 短时傅里叶变换 短时傅里叶变换( s m 【2 】将非平稳信号假定为分段平稳的，通过采用一个滑动 窗截取信号，一次次地对截得的信号进行f o u r i e r 变换，从而得到任意时刻信号的 频谱，这些频谱的总体就表示了频谱在时间上是怎样变化的，即 s t f t ( t ，厂) = 卜o 涉o z 弦。新n d v ( 1 2 1 ) 其中j i l o ) 为窗函数，与此对应的能量密度频谱( s p e c t r o g r a m ) 为 s p e c ( t ，厂) 一i s t f t ( t ，i ) t 2 ( 1 2 2 ) 对于每一个不同的时间，都可以得到一个不同的频谱，这些频谱的总体就构 成了一个时频分布，即频谱图。 短时f o u r i e r 变换依赖于传统的傅立叶谱分析，必须认为信号是分段平稳的。 这种假设在处理非平稳信号时并非总是有效的，因为很难保证窗口的尺寸和平稳 时间比例相吻合。根据测不准原理，短时傅罩叶变换时频表示的时间分辨率和频 率分辨率是相互制约的，不可能在时间和频率两个方向同时获得高的分辨率，而 且窗的选择带有一定的主观性。 1 2 2 小波分析 在分析信号时我们总希望时频窗口具有自适应性而不是固定不变，即可自动 改变时宽和频宽的大小，高频时频窗大，时窗小：低频时频窗小而时窗大。小波 变换继承了册的局部化思想，具有可调时频窗，因而符合高频信号的分辨率较 第2 页 国防科学技术人学研究，i i 院硕十学何论文 高的要求。 若信号x ( t ) e l 2 ( r ) ，则它的小波变换定义为： 1tk w ( a ，6 ；x ，缈) = i a jr 。x ( t ) v ( ! 砂 ( 1 2 3 ) ，一田 口 其中，妒( ) 为小波基函数，它满足一定的条件：a 为尺度因子，其作用是将基 本小波妒( - ) 作伸缩；b 为时移因子，反映位移信息。 与s t f t 谱图一样，小波变换的模平方称为尺度图，也称为小波谱。 与s t f r 不同的是，小波变换具有可调的时频窗，对信号的高频成分，小波变 换采用窄的时间尺度窗，因此具有较好的高频特性，相反，对低频成分，采用较 宽的时间尺度窗。由于它可以有效地提取信号的局部时频特征，被人们视为分析 和处理非平稳信号的理想的工具，并且在图像处理和模式识别、地震工程等众多 领域获得了广泛和成功的应用1 3 蚓。 小波分析也存在着难以克服的缺陷。首先，小波变换是线性的，其次，小波 基函数的有限长度将引起信号的能量泄漏。有时，对小波的解释是违背直觉的。 例如，为了确定事件局部发生的具体位置，我们必须在高频段来寻找，因为频率 越高，小波基越局部；假如一个局部事件发生在低频段，仍需到高频段寻找它的 影响，这种解释容易造成混淆而难于让人接受。小波分析的另一个困难是非自适 应性。在小波变换中小波基一经选择，在整个分解和重构过程中，我们都用它来 分析所有的待分析信号，从而该小波的频谱结构便完全确定，不会根据信号的特 性自适应地调整以改善分析的效果。目前在工程上影响小波变换应用的一个重要 原因就是小波基的选择，不同的小波基具有不同的性质，对信号的分析能力也不 同，对同一信号采用不同的小波基得到的结果基本没有可比性。 1 2 3w i g n e r - v i l l e 分布 w i g n e r v i l l e 分布( w v d ) 又称为h e i s e n b e r g 小波，最早是由w i g n e r 于1 9 3 2 年在量子力学中弓i a 7 j ，1 9 4 8 年v i l l e 将它应用于信号处理。二十世纪八十年代， c l a s s e n 和m e c k l e n b r a u k e r 8 j 首次介绍w v d 的离散算法以后，掀起了w v d 在信号 探测和故障诊断中的应用热潮。信号x ( f ) 的w i g n e r v i l l e 分布定义为： w 1 0 9 ( f ，) = f x ( f 一三) x o + 三弦一2 ， d f 它可以理解为信号x ( t ) 的中心协方差函数 c c ；x ( r 一弘+ 第3 页 4 5 一 一 2 2 1 1 ， 国防科学技术人导：研究生院硕十学位论文 的傅里叶变换 w v d x ( t ，厂) 一f c 。0 ，f 声一。h d r ( 1 2 6 ) w v d 是最早被广泛研究的，真f 意义上的时频分析方法，其它所有分布都可 以看成是它的加窗形式，都是在此基础上发展起来的，所以w v d 被视为所有时频 分布之母。它具有很高的时频分辨力，而且还具有许多吸引人的性质，如对称性、 时移性、频移性、可逆性、归一性等，同时它的一阶矩就是相位的导数，即瞬时 频率。 由于w v d 采用了双线性变换而不是线性变换，因此对于多分量信号会产生严 重的交叉项，即两个信号的w v d 并不是每一个信号的w v d 之和，而是多了一个 附加项，致使能量集中将出现在意想不到的地方，从而有虚假频率产生。交叉项 的产生影响了对非线性、非平稳信号的精确分析，使其谱分布难以解释，严重限 制了它的广泛应用。w v d 的另外一个缺点是它不能保证非负性，分布出现了负值， 使得一些频率范围存在负能量，这与理论相矛盾，而且二阶矩或更高阶矩没有明 确的解释。 1 3h h t 方法背景 1 9 9 8 年，n e h u a n g 等人提出了一种新的信号分析理论一h i l b e n h u a n g t r a n s f o r i l l ，简称h h t l 9 1 。它的核心是对信号进行经验模式分解( e m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n ，e m d ) 得到有限个固有模式函数( i n t r i n s i c m o d ef u n c t i o n ，i m 聊，并对 每个i m f 进行h i l b e r t 变换，这样就可以得到有意义的瞬时频率，从而给出频率随 时间变化的精确表达。信号最终表示为时频平面上的能量分布f 时间频率幅度的 三维分布) ，称为h i l b e r t 谱，进而可以得到边际谱。它的主要创新表现在固有模式 函数的引入，它的引入使得瞬时频率具有实际的物理意义。h h t 是自适应的，它 基于信号的局部特征信息，非常适用于分析现实生活中普遍存在的频率随时间变 化的非线性、非平稳信号。h h t 具有重要的理论价值和广阔的应用前景，已经在 各个学科和领域得到了广泛应用。 目前，关于h h t 的研究主要包括h h t 方法的理论研究和应用研究。理论方 面，e m d 算法中的重要概念i m f 只有描述性定义，2 0 0 2 年，钟佑明l l o j 等人借助 振动信号模型，提出了i m f 的本征条件，建立了i m f 的数学模型，并论证了i m f 局部对称性的要求和用极值点拟合i m f 信号包络线的合理性。文i l l j 提出了h t 局 部乘积定理，初步论证了h h t 的统一理论依据。虽然这些结果丰富了h h t 理论， 但要在学界形成共识还需要进一步深入的研究和更多实践的检验。2 0 0 4 年，p f l a n d r i n1 1 2 - 1 3 j 通过对分形噪声e m d ，结果表明e m d 近似为二进滤波器。同年z 第4 页 国防科学技术大学研究生院硕十学何论文 w u 和n e h u a n g 1 1 4j 通过对白噪声e m d ，也得出了类似p f l a n d r i n 的结果。2 0 0 5 年，r c s h a r p l e y 和v v a t c h e v1 1 5 ，1 6 】给出了i m f 与自伴常微分方程解的联系， 说明i m f 第一个条件与自伴常微分方程的解具有等价性。2 0 0 6 年，q c h e n 等人 采用b 样条代替包络均值的方法，得到了e m d 较好的解析表达式子1 17 。，为e m d 的理论分析和精确数值计算提供了可能。为了满足h i l b e r t 变换中b e d r o s i a n 定理的 条件，利用归一化h h t 1 8 】和直接正交( d i r e c tq u a t u r e ) 方、法1 1 9 l 求取瞬时频率，推动 了h h t 方法理论和应用的进一步完善。算法的改进方面，g r i l l i n 9 1 2 0 】给出了一种 新的停止准则，1 2 1 - 2 s j 对e m d 的端点效应进行了对比研究并提出了相应的改进方 法。e m d 方法从一维推广到二维的研究方面也取得了许多成剿2 9 ，3 j 。 相对于理论和算法，h h t 在应用方面取得了更快的发展，在地震波、海洋环 流1 9 1 、结构健康监测【3 l 】、生物医学信掣3 2 1 、海洋遥感信息图像分析和纹理分析【2 9 删 等方面取得了大量研究成果。 1 4 论文内容及结构安排 本文的主要工作是介绍h h t 时频分析方法，并给出了算法实现；详细探讨 h h t 方法的理论依据和算法问题，结合近年的理论进展和研究热点给出自己的理 解，引进和提出了一些改进算法；针对采样问题对h h t 方法的影响，提出了利用 抛物线插值的解决办法，并进行了对比研究。 本文结构安排： 第一章，绪论，简要回顾了信号的时频分析方法，指出了传统时频分析方法 的不足，介绍了h h t 方法的背景和研究现状，以及本文的内容和结构安排。 第二章，介绍了h h t 方法的基本理论，总结了e m d 的基本性质，利用仿真 信号对比分析了h h t 方法，说明了h h t 方法的有效性和优越性。 第三章，从理论依据、算法设计和应用中出现的问题三个方面详细探讨了h h t 方法，给出了自己的理解，并引进和提出了一些改进算法。 第四章，介绍了采样率对e m d 的影响，提出了解决采样率不足造成e m d 分 解不准确的各种方法，并利用抛物线插值估计局部极值点，对比分析了改进算法 和原算法的分解误差和时频分析效果，证明了改进算法的优越性。 第五章，结论，对全文进行了总结，并对今后工作做了展望。 第5 页 国防科学技术人学研究生院硕十学位论文 第二章h h t 方法 2 1 瞬时频率 在平稳信号的分析和处理中，当我们提到频率时，指的是傅里叶变换的参数， 即频率或角频率，它们与时间无关。非平稳信号的频率是时变的，傅里叶频率不 再是合适的物理量，这就需要研究瞬时频率这个重要的物理量。然而，让人们接 受与了解清楚瞬时频率这一概念却存在如下两个困难。一个是受傅里叶分析根深 蒂固的影响带来的困难。在传统的傅里叶分析中，频率是为那些以恒定幅度穿过 整个数据长度的正弦或余弦函数定义的。作为这一定义的扩展，瞬时频率的概念 也必须与正弦或余弦函数相关，这样，至少需要一个周期的正弦或余弦波才能定 义局部频率值。因此，少于一个波长的数据长度无法给出频率的定义。显然，这 个定义对于非平稳信号是没有意义的，因为非平稳信号的频率是随时间改变的。 另一个是目前瞬时频率的不同定义带来的困难。 目前，通过h i l b e r t 变换将实信号变为解析信号，然后对解析信号的相位求导 来定义信号的瞬时频率是比较得到认可的一种定义。设x ( f ) 为实信号，可得到它的 h i l b e r t 变换y o ) ： ) ，( f ) ；三p 广”蚴f ( 2 1 1 ) 其中p 表示柯西主值。将x ( f ) 与y o ) 组成如下复信号： z ( f ) 一x ( t ) + i y ( t ) = a ( t ) i e 谮 ( 2 1 - 2 ) z ( f ) 称为x o ) 的解析信号，其中 嘶) = 丽州f ) - - - a r c t a n 吲( 2 1 - 3 ) 定义瞬时角频率为 “) ；d o ( t ) ( 2 1 4 ) 一 d t 瞬时频率为 ，( f ) = 磐= i 1 掣a t ( 2 1 5 ) 己兀己冗 按照( 2 1 1 ) 定义的h i l b e r t 变换实际上是x o ) 与一i t 的卷积，因此强调了x ( f ) 的 局部特性。由( 2 1 - 4 ) 可知，对于给定的时刻，仅有唯一的瞬时频率值与其对应， 因此这个定义不能让人完全满意，仍有很大的争议，会产生一些悖论【3 3 l ： 第7 页 国防科学技术人等研究生院硕十学位论文 1 瞬时频率可以不是频谱巾的频率之一： 2 如果有只由少数明显的频率组成的一个线状频谱瞬时频率可以是连 续的，而且在无数个值范田内变化； 3 虽然解析信号的频谱对于负频率为零，但瞬时频率可以是负的： 4 对于一个带限信号，它的瞬时频率可以在频率之外。 例如，考虑信号 s ( t ) 一j ( f ) + j ：( f ) = e 。”+ 4 ”一a ( t ) e ”“ ( 2 1 6 ) 其中4 和4 是恒定的，q 和吐为正值。信号s ( t ) 的频谱为 s ( 甜) - 4 d 一q ) + 呜6 扣一吐) ( 2 1 - 7 ) 因为啦和屿是正的，所以信号s o ) 是解析的。直接求解相位和幅度得 ：a n 尘坐型尘咝 ( 2 1 8 ) 4 c o s 叫+ 4c o s 咄 a 2 0 ) = 彳+ 箕+ m 4c o s ( 一q ， ( 2 1 9 ) 取相位的导数，有 - 警一；( n 训+ ；( 屿训每鲁 ( 2 “0 ) 显然，( 2 1 1 0 ) 式的结果不但与q 、屿有关，也与4 和4 有关，且其结果 可能为负。当取越。1 0 和虬= 2 0 两个频率成分时，通过取幅度的不同值，其孵时 频率有很大的不同。图2 - 1 中， - 0 2 ， - 1 ，瞬时频率是连续的。图2 - 2 中， 1 2a = 1 ，瞬时频率是负的。已知信号的频率是离散的和正值的，而得到 的结果却与已知信号特性截然不同。 i _ 0 2 一2 2 1 1 国2 - 1 - 0 2 ，4 1 对的瞬时颧翠囡2 - 2 = 一1 0 ，4 ；1 对的瞬时颤犟 如今大多数观点认为瞬时频率只在特定的条件下存在c o h e n p 3 l 在1 9 9 5 年 第8 页 一w 蕊一 即101气引习中 国防科学技术人学矽f 冗生院五贞十学位论文 引入单分量信号的院法，单分量信号足指信号在任f 町时刻只有一个频率值，只有 单分量信号于有瞬时频率，相应的，多分量信号是指在某一时刻具有多个不同的 频率值。b o a s h a s h l 3 4 1 给出了信号的多分量信号数学模型 s ( f ) = 酗( f ) + 刀( f ) ( 2 1 - 1 1 ) 其中& o ) 为单分量信号，刀o ) 表示一个噪声信号，n 表示单分量信号的个数。 & ( f ) 可表示为 & ( f ) = 吼( f 弦慨 ( 2 1 1 2 ) 其瞬时频率为 a ( o = 去掣( 2 1 - 1 3 ) 然而对单分量信号依旧缺乏精确的定义，因此在计算信号的瞬时频率时往往 限定信号为窄带信号，以使瞬时频率有意义。 关于带宽有两种定义【9 1 。若信号是平稳与高斯的，那么带宽可按如下方法定义： 信号单位时间内过零点的数目为 o ：土( 竺) ”2 ( 2 1 1 4 ) 单位时间内极值点的数目为 l ：三( 马m ( 2 1 1 5 ) 刀m 2 其中，m ；是第i 阶谱距。参数v 可以由下式定义 析一孵= 1 坠薏2 1 矿( 2 1 - 1 6 ) 式( 2 1 1 6 ) 给出了带宽的一个标准测量方法。对于一个窄带信号v = 0 ，意 味着极值点数目和过零点数目相等。 另一个关于带宽的定义也是基于谱距的，对于信号 z p ) = a ( t ) e 诅 ( 2 1 1 7 ) 设该信号的谱为s ( ) ，那么平均频率为： ；r i s ( ) l d w 2 f z ( t ) l d z ( f 渺 ( 2 1 - 1 8 ) = 腓) - f 鬻矿出 = f b ( t ) a2 ( t ) d t 第9 页 国防科学技术大学研冗生院硕十字何论文 基于这个表达式，c o h e n 指出用a ( f ) 代表瞬u 寸频率。带宽由此被定义为 v 2 ：业警：去r ( 一 ) 2i s ( ) 1 2d ：= 一= 一i ，j 一f ，7 f ，j lf f ， 。， = 未妒叫等 ) z z ( t ) d t 9 ， 4 去沪2 ( t ) d t + f ( o q ) “渺) 2 a 2 0 ) d t 】 对于窄带信号，v 2 必须足够小，这就导致( 2 1 1 9 ) 式中的口o ) 和口o ) 必须是 渐变函数。然而以上两种定义仍是全局意义上的带宽，过于严格而又缺乏精确性。 为了得到有意义的瞬时频率，我们应该对信号施加更多的限制条件，文献【3 4 】讨论 了更加严格的条件：任何一个函数要得到一个有意义的瞬时频率，其f o u r i e r 变换 的实部必须只有正的频率分量。这个限制条件虽然可以在数学上被证吲3 5 1 ，但仍 为一个全局性的定义。全局性的定义对于频率时刻变化的非平稳信号将没有任何 意义。因此，为了得到有意义的瞬时频率，必须把基于信号全局性的限制条件修 改为局部限制条件，并且把这些条件转换为物理上可实现的步骤，并用一个简单 的方法加以实现。 为了探索这些局部限定条件，n e h u a n g 等人给出了一个简单又有代表性的 例子。信号x ( t ) = s i n ( 2 ：r f t ) 的h i l b e a 变换为y ( f ) = 一c o s ( 2 兀t ) ，其中厂= 5 。x y 平 面的相点是平面上的一个单位圆，相位函数是一条直线，瞬时频率是正如所料的 一样为一个常数( 如图2 - 3 a ) 。如果改变x ( f ) 的均值，如加上一个常数，则： x o ) ts i n ( 2 r r f t ) + 口 ( 2 1 2 0 ) 此时它的h i l b e r t 变换仍为一c o s ( 2 x 归) ，通过变形，我们得到 0 ) 一口) 2 + y 2 0 ) = 1 ( 2 1 2 1 ) 上式说明x y 的相点仍然是一个单位圆，但是圆的中心移动了口。如果a 1 时，中心在圆外，这时相位函数与瞬时频率都会出现没有物理意义的负值 ( 图2 - 3 c ) 。这两种情况，其瞬时频率都没有真正表征信号的物理意义。这个简 单的例子从物理上说明，对于像正弦函数这样简单的信号来说，只有当我们限制 函数局部关于零均值对称的情况下，瞬时频率才有合理定义。 第1 0 页 国防科学挫术人学研究生院硕十学位论文 t州目t椭恤l 图2 - 3h i l b e r l 变换的相位函数和瞬时频率 对于普通的信号数据，那些“骑”在其他波形上的局部骑波可等价于上例口，1 的条件的情形；那些非对称的局部波形可等价于上例nt 1 的情形。上述使瞬时频 率有意义的条件或对信号数据的约束，就启示一种方法，即把信号分解为瞬时频 率有意义的各个组份此即为本文要论述的经验模式分解方法。受上面的例子启 发，ne h u a n g 定义了一类函数，叫做固有模式函数，基于这类函数的局部特性， 使之在函数的任何一点瞬时频率都有意义。经验模式分解的最大贡献是：使信号 符合c o h e n 所说的单分量要求，进而使式( 2 1 4 ) 定义的瞬时频率有意义。 2 2 固有模式函数 为了通过h i i b e r t 变换得到物理意义明确的瞬时频率，n e h u a n g 等人进行了 深入的研究将传统的全局限制条件发展为局部限制条件，得到了使得瞬时频率 有意义的必要条件：函数关于局部零均值对称，而且过零点的数目与极值点的数 目相同，并提出了基于信号局部特性的固有模式函数的概念其定义如下【9 = 定义2 1 固有模式函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ，i m n 是指满足如下两个条件 的函数： ( 1 ) 在整个数据范围内，局部极值点的个数与过零点的个数相同或至多相差 为1 ： ( 2 ) 在任意点处，由所有局部极大值点确定的上包络和由所有局部极小值点 所确定的下包络的均值为零。 第一个条件的意义是明显的，它类似于平稳高斯过程所要求的窄带条件，其 直观意义是；在i m f 中不能出现大于零的极小值，也不能出现小于零的极大值。 第二个条件则是保证波形局部对称，可去除由于波形不对称而造成的瞬时频率的 第1 1 页 【口|暑】口i*cl 国防科学技术人学研究生院硕十学位论文 波动。理想情况下，该条件应该是数掘的局部均值为零。对于非平稳信号，局部 均值的计算涉及到局部时问尺度，但这却是无法确定的。因此，在这里使用由极 大值和极小值定义的包络的均值来逼近信号的实际均值，以保证每个固有模式函 数的局部对称性。这种处理方法可能会因信号的非线性变形而引入一些偏差，但 对于所研究的非平稳、非线性系统束说，这种定义计算得到的瞬时频率符合系统 原始的物理意义。 2 3 经验模式分解和h i l b e r t 谱 为了根据定义2 1 来计算信号的瞬时频率，首先必须把这个信号序列分解成多 个固有模式函数，以通过h i l b e r t 变换求得符合物理意义的瞬时频率。而把信号分 解成固有模式函数的过程就称为经验模式分解( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ， e m d ) 。 设待分解信号为x o ) ，通过对x ( f ) 的局部极大值点和极小值点分别用三次样条 插值得到上下包络线，分别记为“( f ) 和1 ，( f ) ，则上下包络的平均曲线m l ( t ) 为： 1 m 。o ) = 妄阻o ) + y o ) 】 ( 2 3 1 ) 二 用x o ) 减去m 。( f ) 得到剩余部分h a ( t ) ： x o ) 一，o ) = h a ( t ) ( 2 3 2 ) 理论上，h a ( t ) 应该是一个i m f ，但是由于三次样条插值的过冲和俯冲作用， 会产生新的极值点影响原来极值的位置和大小，而且包络均值只是实际局部均值 的近似，依旧会产生非对称波形。用| i l l ( f ) i 代替x ( f ) ，m 。( f ) 表示h a ( t ) 的包络均值， - 记h a ( t ) 和m ，。o ) 的差为h a 。o ) h a ( t ) 一_ ，l l 。o ) ；h a 。o ) ( 2 3 3 ) 对上述步骤重复进行k 次，直到k o ) 为一个i m f ，即 j i l l t - d ( f ) - m n ( f ) = k o ) ( 2 3 - 4 ) 记 c 1 ( f ) ；h a 。o ) ( 2 3 - 5 ) 上述得到c 1 0 ) 的过程即为一次“筛分 过程( s i f t i n g p r o c e s s ) 。把c 1 0 ) 从信号 中分离出来： x o ) - q ( t ) = r a ( t ) ( 2 3 6 ) ( f ) 一般还包含i m f 分量，把o ) 看作新的信号继续进行筛分，直到r n ( t ) 是 单调分量或者很小的时候可以停止筛分过程，即： 第1 2 页 国防科学技术人学硼f 究生院硕十学位论文 ( f ) 一c ：( f ) = 厂2 ( f ) ，r 一。( f ) 一c 。( f ) = o ) ( 2 3 - 7 ) 把( 2 3 6 ) 和( 2 3 7 ) 加起来，得到： x ( t ) - - c i ( f ) + ( f ) ( 2 3 - 8 ) 我们从x ( f ) 中分解出了n 个i m f 和一个趋势项( f ) 。对每个i m f 分量0 0 ) 进 行h i l b e r t 变换得到解析信号： z , q ) ；c ：f o ) + j 研c f o ) 】= a i q ) e x p ( j o ；( t ) ) ( 2 3 9 ) 其中 啪，= 丽 一n ( 鬻) ( 2 3 - 1 0 ) 由下式计算相应的瞬时角频率w i ( t ) ： q ( f ) 。d o i - ( t ) ( 2 3 1 1 ) 由此信号可以表示为： 石o ) = r e q o ) e x p ( 叮q ( f ) a t ) ( 2 3 - 1 2 ) 上式中略去了余项( f ) 。可以看出，与傅罩叶变换相比，( 2 3 - 1 2 ) 式用可变 的幅度和瞬时频率对信号进行分解，是对傅里叶变换的一种推广。由( 2 3 1 2 ) 式， 可以把信号幅度表示成三维空间中时问与瞬时频率的函数，记为h ( w ，f ) ，称为 h i l b e r t 谱，如下式： 日( ，f ) = b ( ，f ) ( 2 3 _ 1 3 ) 其中 h ，c ，r ，= 口) ，, t o - - q w i o ( t ；( 2 3 - 1 4 ) 根据h i l b e r t 谱还可以定义边际谱，如下 j i l ( ) 2 j ：( ，f 渺 ( 2 3 - 1 5 ) 在h i l b e r t 边际谱中，某一频率上存在的能量表明了该频率的振动存在的可能 性，该振动出现的具体时刻由h i l b e r t 谱给出