概率论与数理统计PPT教学课件-第18讲.ppt

,概率论与数理统计第十八讲,北京工业大学应用数理学院,从前面两节的讨论中可以看到:同一参数可以有几种不同的估计，这时就需要判断采用哪一种估计为好的问题。另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大似然法即使得到的是同一个估计,也存在衡量这个估计优劣的问题。估计量的优良性准则就是：评价一个估计量“好”与“坏”的标准。,7.3估计量的优良性准则,设总体的分布参数为，,对一切可能的成立,则称为的无偏估计。,7.3.1无偏性,对于样本X1,X2,Xn的不同取值，取不同的值)。,如果的均值等于，即,简记为是的一个估计(注意!它是一个统计量，是随机变量。,参数，有时可能估计偏高，有时可能偏低，但是平均来说它等于。“一切可能的”是指：在参数估计问题中，参数一切可能的取值。我们之所以要求对一切可能的都成立，是因为在参数估计问题中,我们并不知道参数的真实取值。自然要求它在参数的一切可能取值的范围内都成立,说明：无偏性的意义是：用估计量估计,例1：设X1,X2,Xn为抽自均值为的总体X的随机样本，考虑的如下几个估计量：,例如：若指的是正态总体N(,2)的均值,则其一切可能取值范围是(-,)。若指的是方差2，则其一切可能取值范围是(0,)。,定理1：设总体X的均值为,方差为2,X1,X2,Xn为来自总体X的随机样本，记与分别为样本均值与样本方差，即,即样本均值和样本方差分别是总体均值和总体方差的无偏估计。,证明：因为X1,X2,Xn独立同分布，且E(Xi)=,所以,另一方面，因,于是，有,注意到,前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法分别求得了正态总体N(,2)中参数2的估计,均为,很显然，它不是2的无偏估计。这正是我们为什么要将其分母修正为n-1，获得样本方差S2来估计2的理由。,例2：求证：样本标准差S不是总体标准差的无偏估计。,证明：因E(S2)=2，所以，Var(S)+E(S)2=2，由Var(S)0，知E(S)2=2-Var(S)2.所以，E(S).故，S不是的无偏估计。,用估计量估计，估计误差,II.均方误差准则,是随机变量，通常用其均值衡量估计误差的大小。要注意:为了防止求均值时正、负误差相互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其为均方误差，记成，即,哪个估计的均方误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计优劣的准则为“均方误差准则”。,注意：均方误差可分解成两部分:,证明：,上式表明，均方误差由两部分构成：第一部分是估计量的方差，第二部分是估计量的偏差的平方和。,注意：如果一个估计量是无偏的，则第二部分是零，则有:,如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估计的方差小，哪个估计就较优。这种判定估计量优劣的准则称为方差准则。,例3：设X1,X2,Xn为抽自均值为的总体,考虑的如下两个估计的优劣：,我们看到:显然两个估计都是的无偏估计。计算二者的方差：,这表明：当用样本均值去估计总体均值时，使用全样本总比不使用全样本要好。,前面讨论了参数的点估计。点估计就是利用样本计算出的值(即实轴上点)来估计未知参数。,7.4正态总体的区间估计(一),其优点是：可直地告诉人们“未知参数大致是多少”；,缺点是：并未反映出估计的误差范围(精度)。故，在使用上还有不尽如人意之处。,而区间估计正好弥补了点估计的这一不足之处。,例如：在估计正态总体均值的问题中,若根据一组实际样本，得到的极大似然估计为10.12。,一个可以想到的估计办法是：给出一个区间，并告诉人们该区间包含未知参数的可靠度(也称置信系数)。,实际上，的真值可能大于10.12，也可能小于10.12。,也就是说，给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区间包含参数。,这里的“可靠度”是用概率来度量的，称为置信系数，常用表示,置信系数的大小常根据实际需要来确定，通常取0.95或0.99，即,根据实际样本，由给定的置信系数，可求出一个尽可能短的区间，使,为确定置信区间，我们先回顾前面给出的随机变量的上分位点的概念。,书末附有2分布、t分布、F分布的上侧分位数表可供使用。需要注意的地方在教材上均有说明。,现在回到寻找置信区间问题上来。,7.4.1置信区间的定义,定义1：,实际应用上，一般取=0.05或0.01。,7.4.2正态总体参数的区间估计,根据基本定理(见定理6.4.1)，知,也可简记为,于是，的置信区间为,例1:某厂生产的零件长度X服从N(,0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度测量值如下(单位:毫米):14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求:的置信系数为0.95的区间估计。,解：n=6，=0.05，z/2=z0.025=1.96，2=0.22.,所求置信区间为,当方差未知时，取,的区间估计,于是，的置信系数为1-的区间估计为,也可简记为,2的区间估计,例2：为估计一物体的重量，将其称量10次,得到重量的测量值(单位:千克)如下:10.l,10.0,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,10.3,9.9.设它们服从正态分布N(,2)。求的置信系数为0.95的置信区间。,解:n=10,=0.05,t9(0.025)=2.2622,例3(续例2):求2的置信系数为