中考总复习（九）——图形的变换及三视图.doc

中考总复习（九）图形的变换及三视图 二. 教学目标： 1. 复习图形变换及三视图的相关概念及性质 2. 应用相关概念及性质解答问题 3. 提高应用变换思想解题能力 三. 教学重点、难点： 深入理解并应用相关概念及性质解答问题 四. 教学过程： 知识点： （一）平移变换 1. 平移的概念：平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平 移 注：平移变换的两个要素：移动的方向、距离 2. 平移变换的性质 （1）平移前后的图形全等即：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： （2）对应线段平行（或共线）且相等； （3）对应点所连的线段平行（或共线）且相等 如图所示， BB/AA ，且 CCBB, BBAA与 共线，且 CCBB 3. 用坐标表示平移： （1）在平面直角坐标系中，将点 )y, x( ： 向右或向左平移 a 个单位点 )y, ax( 或 )y, ax( 向上或向下平移 b 个单位点 )by, x( 或 )by, x( （2）对一个图形进行平移，相当于将图形上的各个点的横纵坐标都按（1）中的方式 作出改变 （二）轴对称变换 1. 轴对称的概念：把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那 么这两个图形关于这条直线对称或轴对称这条直线就是对称轴两个图形中的对应点 （即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点 如图所示， CBAABC与 关于直线 l 对称，l 为对称轴 2. 轴对称图形：把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这 个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴 一个图形的对称轴可以有 1 条，也可以有多条 3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别联系 轴对称轴对称是指两个图形的对称关系 轴对称 图形 轴对称图形是指具有某种对称特性的 一个图形 把轴对称的两个图形看成一个 “整体”（一个图形），则称 为轴对称图形；把轴对称图形 的互相对称的两个部分看成 “两个图形”，则它们成轴对 称 4. 轴对称的性质： （1）关于某条直线对称的两个图形全等； （2）对称点的连线段被对称轴垂直平分； （3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上； （4）轴对称图形的重心在对称轴上 如图 CCBBAA, CBAABC、 被直线 l 垂直平分 5. 轴对称变换的作图： 举例说明： 已知四边形 ABCD 和直线 l，求作四边形 ABCD 关于直线 l 的对称图形 作法： （1）过点 A 作AEl 于 E，延长 AE 到 A，使AEEA ，则得到点 A 的对称点A； （2）同理作 B、C、D 的对称点 DCB、 ； （3）顺次连结 DCBA、 则四边形 DCBA 为四边形 ABCD 关于直线 l 的对 称图形 6. 用坐标表示轴对称： 点 )y, x( 关于 x 轴对称的点为 )y, x( ； 点 )y, x( 关于 y 轴对称的点为 )y, x( ； *点 )b, a ( 关于直线mx 的对称点为 )b, am2( ； 点 )b, a ( 关于直线 ny 的对称点为 )bn2 , a ( ； 点 )b, a ( 关于直线 xy 的对称点为 )a, b( 点 )b, a ( 关于直线 xy 的对称点为 )a, b( （三）旋转变换 1. 旋转变换的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点 O 沿某个方向（逆时针或顺时针） 转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转这个定点 O 叫旋转中心，转动的角称为旋转 角 注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角 2. 旋转变换的性质： （1）旋转前、后的图形全等 （2）对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分 线上） （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 3. 旋转变换的作图： （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； （2）找出能确定图形的关键点； （3）连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角， 得到此关键点的对应点； （4）按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形 5. 旋转对称性：如果某图形绕着某一定点转动一定角度（小于 360）后能与自身重合， 那么这种图形就叫做旋转对称图形 6. 中心对称：把一个图形绕着某个定点旋转 180，如果它能和另一个图形重合，那么 这两个图形关于这个定点对称或中心对称这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫 做关于对称中心的对称点 7. 中心对称的性质： 中心对称是一种特殊的旋转，因此，它具有旋转的一切性质，另外，还有自己特殊的 性质 （1）关于中心对称的两个图形全等； （2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平 分（即：对称中心是两个对称点连线的中点）； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）； （4）中心对称图形的重心在其对称中心；且过对称中心的直线平分该图形的面积 如图所示，若 CBAABC与 关于点 O 中心对称，则对称中心 O 是线段 CCBBAA、 共同的中点， BA/AB 且BAAB， CB/BC 且 CAACCA/AC, CBBC且 ；反过来，若线段 CCBBAA、 都经过点 O 且 O 是 它们的中点，那么 CBAABC与 关于点 O 中心对称 8. 中心对称的作图： 以上图为例，作 ABC 关于点 O 的对称图形： （1）找出能确定原图形的关键点，如顶点 A、B、C； （2）分别作出原图形的关键点的对称点如：连结 AO，并在 AO 的延长线上截取 OAOA ，则点 A为点 A 关于点 O 的对称点； （3）按原图形的连结方式顺次连结各关键点的对应点，即点 CBA、 所得的图 形 CBA 即为求作的对称图形 9. 中心对称图形：一个图形绕着一个定点旋转 180后能与自身重合，这种图形称为中 心对称图形这个定点叫做该图形的对称中心 中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形（旋转角等于 180） 10. 中心对称与中心对称图形的区别与联系 区别联系 中心对称 中心对称是指两个图形的对称 关系 中心对称图 形 中心对称图形是指具有某种对 称特性的一个图形 把中心对称的两个图形看成一个“整 体”（一个图形），则称为中心对称 图形；把中心对称图形的互相对称的 两个部分看成“两个图形”，则它们 成中心对称 11. 关于原点对称的点的坐标 点 )y, x( 关于原点对称的点的坐标为 )y, x( （四）位似变换 （1）如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫 做位似图形，这个点叫做位似中心 （2）如果两图形 F 与 F是位似图形，它们的位似中心是点 O，相似比为 k，那么： 设 A 与A是一双对应点，则直线AA过位似中心 O 点，并且 k OA OA 设 A 与A，B 与B是任意两双对应点，则 k BA AB ；若直线 AB、BA不通过位 似中心 O，则 BA/AB （3）利用位似，可以将一个图形放大或缩小 （4）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位 似图形对应点的坐标的比等于 k 或k （五）生活中的几何体 1. 常见的几何体的分类：在丰富多彩的图形世界中，我们常见的几何体有长方体、正方 体、棱柱体、棱锥体、圆柱体、圆锥体、球体、台体等 2. 点、线、面、体的关系：（1）点动成线，线动成面，面动成体； （2）面面相交成线，线线相交成点 说明：体体相交可成点，不一定成线 3. 基本几何体的展开图 （1）正方体的展开图是六个正方形； （2）棱柱的展开图是两个多边形和一个长方形； （3）圆锥的展开图是一个圆和一个扇形； （4）圆柱的展开图是两个圆和一个长方形 （六）投影 1. 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线， 投影所在平面叫做投影面 2. 由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做 中心投影 3. 投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影 说明：正投影是平行投影的一种 （七）物体的三视图 1. 当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图像叫做物体的视图 2. 我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做 水平面，右边的叫做侧面 3. 一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图， 叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的 由左向右观察物体的视图，叫做左视图 说明：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的三个图像 4. 画三视图的要求 （1）位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图 （2）长度的规定：长对正、高平齐，宽相等 说明：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和 宽 【典型例题典型例题】 例 1. 下列各组图形，可经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 分析：分析：根据平移的概念可知，平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置选 项 B 的两个图形不是全等形；选项 C、D 中两个图形的方向发生了改变 解答：解答：选 A 例 2. 下列图形中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 分析：分析：根据定义，如果一个图形是轴对称图形，那么沿对称轴折叠后两部分应该能完 全重合；或者根据轴对称的性质，对称点的连线段应该被对称轴垂直平分所以解决此题 的关键是看能否找到满足上述条件的对称轴 解答：解答：选 D 例 3. 如图所示，111 CBAABC与 关于直线 l 对称，将111 CBA 向右平移得到 222 CBA 由此得出下列判断：22B A/AB ；2 AA ；22B AAB 其中正 确的是（ ） A. B. C. D. 分析：分析：由于222 CBA 是从111 CBA 平移得来的，故2211 BA/BA ，但 ABC 与 111 CBA 关于 l 成轴对称，不一定有11B A/AB ，故不一定正确；平移和轴对称变换都 是全等变换，故和正确 解答：解答：选 B 说明：说明：要严格根据图形变换的定义和性质进行判断，不能凭感觉 例 4. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为 1，111 CBAABC与 构成的图 形是中心对称图形 （1）画出此中心对称图形的对称中心O； （2）画出将111 CBA 沿直线 DE 方向向上平移 5 格得到的322 CBA ； （3）要使21222 CCCCBA与 重合，则222 CBA 绕点2 C 顺时针方向旋转；至少要 旋转多少度？（不要求证明） 分析：分析：（1）在中心对称的问题中，可根据“对称中心为对称点连线段的中点”来确 定对称中心；（3）可根据“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”来确定旋转角 的大小画出图形后，可以看出，点2 B 与点1 C 是旋转变换的一组对应点，则122 CCB 等 于旋转角 解答解答 （1）如图，画出对称中心点 O （2）画出222 CBA （3）至少需要旋转 90 例 5. 如图所示， CBA 是 ABC 绕某点逆时针旋转后得到的图形，请确定旋转中心， 并测量出旋转角的大小 分析：分析：可根据旋转变换中对应点与旋转中心的特殊位置关系来确定旋转中心 解答：解答：如图，连结AA、 CC，分别作AA和CC的垂直平分线，交于点 O则点 O 即为旋转中心连结OA、 OA，测量得120AOA ，故旋转角等于 120 例 6. 如图所示，直线 1x 3 3 y 分别与 x 轴、y 轴交于 B、A 两点 （1）求 B、A 两点的坐标； （2）把 AOB 以直线 AB 为轴翻折，点 O 落在平面上的点 C 处，以 BC 为一边作等 边 BCD 求 D 点的坐标 分析：分析：图形的折叠实际上就是作轴对称变换，因此可知 AOBC,AOAC,BOBC 90，从而求出 C 点的坐标，进而可知CBO60，最后求出 D 点的坐标 解答：解答：（1）令 0 x ，由 1y1x 3 3 y得 ， 令 3y1x 3 3 y, 0y得由 B点的坐标为 )0 , 3( ，A 点的坐标为（0，1） （2）由（1）知 1OA, 3OB 30OBACBA, 3BOBC ABABOABC 30OBA 3 3 OB OA OBAtan 成轴对称关于和 60CBO ， 过点 C 作 xCM 轴于 M，则在 BCMRt 中， 2 3 2 3 3BMOBOM 2 3 60cos3CBOcosBCBM 2 3 60sin3CBOsinBCCM C 点坐标为 ) 2 3 , 2 3 ( 连结 OC， 60CBO,CBOB BOC 为等边三角形 过点 C 作 x/CE 轴，并截取 CEBC，则BCE60 连结 BE，则 BCE 为等边三角形 作xEF 轴于 F，则2 3 BMBF, 2 3 CMEF ) 2 3 , 2 33 (E 2 33 2 3 3BFOBOF 坐标为点 点 D 的坐标为（0，0）或 ) 2 3 , 2 33 ( 例 7. 画出下面图中各几何体的三视图： （1）（2）（3）（4） 分析：分析：主视图是通过正面观察物体的形状，左视图是从左面去观察物体的形状，俯视 图是从上往下观察物体的形状（1）是三棱柱，从正面和左面看是矩形，从上面看是三角 形；（2）是圆锥，从正面和左面看都是三角形，从上面看都是圆和圆心；（3）是圆台， 从正面和左面看都是梯形，从上面看两个同心圆；（4）是一个圆柱和一个长方体组合而成 的图形，从正面看是两个矩形，从左面看是两个矩形（但大小不同），从上面看是一个圆 和一个矩形 解：解：如图 主视图 左视图 主视图 左视图 主视图 左视图 主视图 左视图 俯视图 俯视图 俯视图 俯视图 说明：说明：画三视图时要注意（1）位置的规定和长度的规定；（2）分别用点和线段来描 述几何体的尖端和交界处 例 8. 如图所示的是由几个小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形的数字表示该位 置小正方体的个数，请画出该几何体的主视图和左视图，并且同样在小正方形中标出该位 置小正方体的个数 1 2 2 3 分析：分析：根据几何体的俯视图和小方格的数字，可以抽象出几何体的形状，再根据物体 的形状作出它的主视图和左视图，最后标出数字 解：解：如图是该物体，再根据此图画出主视图和左视图 小结：小结：本部分内容基本概念和性质较多，要求同学们准确记忆并应用图形的变换和 三视图都要围绕着图形进行，对同学们的识图能力要求较高，要求在读题看清题目要求后 结合性质认真识图，并发挥想象能力 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 下列图形中只有一条对称轴的是（ ） 2. 下列图形中，旋转 60后可以和原图形重合的是（ ） A. 正六边形B. 正五边形 C. 正方形D. 正三角形 3. 已知两条互不平行的线段 AB、AB关于直线 l 对称，AB、AB所在的直线交于点 P，下面四个结论：BAAB；点 P 在直线 l 上；若 A、A是对称点，则直线 l 垂 直平分线段 AA；若 B、B是对称点，则PBPB 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在平面直角坐标系中，A 点坐标为（3，4），将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 90得到 OA，则点 A的坐标是（ ） A. )3 , 4( B. )4 , 3( C. )4, 3( D. ) 3, 4( 5. 下列图形中， CBA 是由 ABC 平移之后得到的是（ ） 6. 已知AOB30，点 P 在AOB 内部，1 P 与 P 关于 OB 对称，2 P 与 P 关于 OA 对 称，则21P OP 等于（ ） A. 45B. 50C. 60D. 70 7. 如图两个全等的正六边形 ABCDEF，PQRSTU，其中点 P 位于正六边形 ABCDEF 的 中心，如果它们的面积均为 3，那么阴影部分的面积是（ ） A. 0.5B. 1C. 2D. 3 二. 填空题 8. （1）轴对称、平移、旋转、中心对称变换的共同特征是：变换后的图形与原来的图 形_，对应角_，对应线段_ （2）不同的是：成轴对称的图形的对应点所连线段被对称轴_；平移变换 中，对应线段不但相等，而且_，对应点所连的线段也_ 旋转变换中，对应点到旋转中心的距离_；中心对称是特殊的旋转对称，成 中心对称的对应点所连的线段都经过_，且被_ 9. 点 M 关于 x 轴对称的点的坐标为（3，9），则点 M 关于 y 轴对称的点的坐标为 _ 10. 如图所示，已知 DE 由线段 AB 平移而得，ABDC4cm，EC5cm，则 DCE 的 周长是_cm 11. 如图所示， ABF,ACE 均为等腰直角三角形，BAFEAC90，那么 AFC 以点 A 为旋转中心逆时针旋转 90之后与_重合，其中点 F 与点 _对应，点 C 与点_对应 12. 如图所示，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O，其直径 CD、EF 均和 x 轴垂直， 以 O 为顶点的两条抛物线分别经过点 C、E 和点 D、F，则图中阴影部分的面积是 _ 13. 如图所示，已知正方形纸片 ABCD，M、N 分别是 AD、BC 的中点，把 BC 边向上 翻折，使点 C 恰好落在 MN 上的 P 点处，BQ 为折痕，则PBQ_ 三. 解答题 14. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点间连线为 边的三角形称为“格点三角形”，图中的 ABC 是格点三角形在建立平面直角坐标系后， 点 B 的坐标为（ 1, 1 ） （1）把 ABC 向左平移 8 格后得到111 CB