有限元分析PPT课件-第4章_等参数单元.ppt

第4章等参数单元,4.2等参数单元概念,4.3平面等参数单元,4.1自然坐标和插值函数,第三章有限元分析的思路，十分严谨、明确，但是过于繁琐。对于常应变三角形单元还可行。,如二维8节点四边形，16个待定系数，人工几乎难以完成；三维20节点单元，203个待定系数。,解决途径：,形函数是单元位移的插值函数，可以利用数学中的“插值函数”直接给出形函数。,4.1自然坐标和插值函数,（局部）自然坐标,取22正方形（母单元）的两对边中点作为该正方形的局部坐标系，以O表示，并且规定，的坐标值有效取值范围在0到1之间。,坐标值：在中心点（原点）：=0；正方形的各边：=1，=1；各角点：=1或-1，=1或-1；正方形内部的任一点：由局部坐标来定义，、在1之间，即P（,)。,任意四边形单元（子单元）：定义同上。,二者具有相互映射的关系。,自然坐标：这种基于四边形形状而定义的坐标系，是同任意四边形的自然形状相关的，故称之为“自然坐标”。,如果在四边形的各边中点增加节点，即构成更高精度的单元。,曲边8节点四边形单元，相应的自然坐标,轴也呈曲线形。同样与母单元具有相互映射的关系。,以此类推，更多节点的任意四边形（12节点，16节点等）也具有同样的特性。,高精度四边形单元：,自然坐标的优点：1.无论四边形的大小和形状如何，其坐标特性是相同的，因此可以用统一的表达式来描述，这有利于推导统一的有限元公式；,2.以自然坐标导出的有限元公式，有利于实现数值积分运算，这就克服了高精度单元的刚度矩阵、等效节点力矩阵等因无法导出显式而必须进行积分所遇到的困难；,3.高精度（8节点及以上）单元，单元边界可以是直边或曲边，就可以更好地逼近实际物体复杂的几何形状。,拉格朗日插值:若函数F(x)在m个点上有已知值，则可以用在这些点上的已知值构造一个不超过n=(m-1)阶的代数多项式来近似。该函数f(x)在所有已知点处均满足f(xi)=F(xi)。记为：,拉格朗日插值,式中,称为n阶拉格朗日插值函数，也叫“拉格朗日乘子”，可由下式求得：,可简写为,上标n表示函数的幂次，下标i表示对应的已知点（或节点）。,1.一维拉格朗日插值,两点插值：,三点插值：,高次的拉格朗日插值，均可由最简单的线性插值的某种组合来表示。,如采用自然坐标系，取则可以把拉格朗日插值函数的公式表示如下：,两点插值：,三点插值：,2.二维拉格朗日插值,m,p分别为两个坐标方向上的插值点数目。,n=m-1,q=p-1，为插值函数的幂次。,通常都在两个坐标方向取相同数目的点。,若在,方向均取两点插值，则：,4.2等参数单元的概念,平面问题的单元，最简单的是三节点三角形单元，其次是四节点矩形单元。,三角形单元适应性强，较容易进行网格划分，能应用与曲折的几何边界，但精度较低。特别是在应力集中部位容易产生较大误差。,矩形单元精度较高，形状规整，但适应性差，不便用于曲线边界和非正交的直线边界。应用不多。,等参数四边形单元：将整体坐标系（x,y)中的四边形（4节点、8节点，12节点等）单元，变换为局部(自然）坐标系（,）中的规则正方形，运用插值函数，建立位移模式，进行有限元分析，其坐标变换式和位移模式采用同样的形函数和相同的参数。,等参数的思想，由易到难，由规则单元的特殊情况推广到不规则单元的一般情况。,等参数单元应用最广，至今国际上流行的大型结构分析软件中，几乎都包含有等参数单元库。应用实践表明，采用等参数单元离散结构，可以达到更高的计算精度，而且结构离散和数据准备工作量相对减少。,等参数三角形单元应用不多。,等参数单元的基本思想：首先导出规则单元（母单元）的形函数，然后进行坐标变换，导出对应的不规则单元的形函数和单元刚度矩阵。,等参数单元的优点：,1.应用范围广。在杆件结构、平面和空间连续体和板壳中都可应用。,2.将不规则的单元变换成规则的单元后，易于构造位移模式。,3.在原结构中可以采用不规则的单元，易于适用边界的形状和改变单元的大小。,4.可以灵活地增减节点，容易构造各种过渡单元。,5.推导过程具有通用性。一维、二维和三维的推导过程基本相同。,4.3平面等参数单元,四节点四边形是最简单的四边形单元。通过增加节点（从而也就增加了节点自由度及位移函数的幂次），可以构成8节点、12节点、16节点等高精度单元。,四边形等参数单元应用最为广泛。高精度三角形单元,由于其自身的某些不足,应用不够方便,相对较少。,利用拉格朗日插值方法，直接选定相应的形函数来构造位移模式非常方便。,四边形单元的类型,利用局部自然坐标来建立单元特性，可以避开繁琐的数学推演。,特别是对于高次的单元，由于不可能导出显式，单元刚度矩阵及外力等效节点力的计算都必须进行积分计算，利用自然坐标更便于利用数值积分。,1.4节点四边形单元,位移模式可参考帕斯卡三角形，写成以局部自然坐标表示的多项式形式：,符合插值函数的概念，可以直接利用拉格朗日插值写出单元的位移模式：,其中形函数为：,把形函数写成统一的形式：,(i=1,2,3,4),i,i表示该节点的相应局部坐标值。,坐标变换,母单元可以按照前面讲述的有限元分析的步骤，直接进行分析。但母单元形状规整，难以适应实际工程中出现的各种结构的复杂形状。,为解决这个问题，需要用坐标变换的方法，将形状规整的母单元转换成具有曲线边界、形状复杂的子单元。,这样，对于一个实际结构，就可以采用各种复杂形状的子单元，在整体坐标系中进行划分来逼近其复杂的曲线或曲线边界；每个子单元，通过坐标变换，都可以映射成一个局部坐标系下的规整单元（母单元），计算比较简单。,为了使母单元的四个节点与等参数单元的四个节点互为对应点，利用形函数，建立局部坐标（,）和整体坐标（x,y)之间的对应关系：,显然，上式在四个节点处给出了节点整体的坐标值。把形心=0,=0带入得：,单元上每一点的两种坐标值都是一一对应的。,由此，确定了平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式。,整体坐标和局部（自然）坐标的特点：,1.整体分析在整体坐标中采用，单元分析在局部坐标中采用。,2.由（,)推算（x,y）时，可以直接采用坐标变换式；反之，由（x,y)推算（,),则需反解（,)，得出逆变换式，逆变换式比较复杂，不便应用。这是单元分析采用局部坐标的一个原因。,3.局部坐标边界线方程简单，而且不同的单元具有相同的形式；反之，整体坐标等参数单元的边界线方程形式较复杂，而且其形式随着单元而异，不便于应用。,由上可知，在单元分析中，采用局部坐标（,）比采用整体坐标（x,y)更为方便，更为自然。,应变,将位移模式写成矩阵形式：,求应变：,其中：,(i=1,2,3,4),形函数是局部坐标的函数，需要进行偏导数的变换。,根据复合函数的求导法则，有：,写成矩阵形式：,求逆，得：,其中，J称为雅可比（Jacobian)矩阵,J-1为雅可比矩阵的逆矩阵。,雅可比矩阵J和其逆阵J-1是容易求解的。式中m表示节点的数目，4节点、8节点、12节点等的等参数单元都可以运用。,由矩阵求逆