（凝聚态物理专业论文）ct迭代重建算法的研究.pdf

j，ji，j兰 r r _ 。| at h e s i si nc o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s l i l llli lli l ll ui i ilu i 18 4 13 4 8 r e s e a r c ho ni t e r a t i v er e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m so fc o m p u t e dt o m o g o r a p h y b yl i h u aw u s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rp i n gg e n g p r o f e s s o rz h i k u a nc h e n n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 8 t；-”r。；，；。、， ，ari 卜 ，piii _ ，1 色 f ? 誊 畸h 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表 或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：羡厉埠 日期：2 g 6 t 口 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年一一年半口两年口 学位论文作者签名： 羡确等 签字日期：3 乡；o 导师签名： 签字日期： 职于 捌苫，弓q - i 墨 - o，lp ，fifi ， 东北大学硕士学位论文 摘要 c t 迭代重建算法的研究 摘要 目前，c t 图像重建算法主要包括解析法和迭代法。解析法以卷积反投影算法最为 常用，该算法的重建速度快，成像质量较好，但是，它要求完全的、等间距的投影数据， 积分路径( 射线) 要为直线，而且重建图像有伪影。代数重建算法是迭代法的典型形式， 它适用于不同方式的采样数据，对不完全数据也可重建图像，但是计算量大、重建速度 慢，影响了算法的应用范围。 本文对c t 扇束扫描方式下的图像迭代重建算法进行了研究。首先，从算法的物理 及数学原理出发，研究了代数重建算法( 简称a r t ) ，主要针对经典的a r t 算法收敛速 度慢或不收敛的缺点，分析了影响它收敛的关键因素。其次，研究了联合代数重建算法 ( s a r t ) ，并对其进行了改进，改进后的重建算法( m s a i h ) 很好地解决了s a r t 算法的边 缘问题。同时还研究了有序子集算法( 0 s ) ，并给出选取子集序列的一般方法，分析了不 同迭代算法对图像重建速度及图像质量的影响。对有序子集方法在不同投影顺序和不同 子集水平下的收敛情况进行分析，得出非顺序方式收敛速度及重建质量都明显变好，但 子集水平高时图像会发散。针对这一情况，适时的引入了先验值和滤波器，大大提高了 图像质量。为了提高计算速度，我们又结合对称网格技术，引入了一种快速求解投影系 数的方法，获得一种改进后的投影系数的求法。 本文使用m a t l a b 软件进行计算机仿真，并对实验得到的结果进行了比较和分析。 实验结果表明在重建过程中，松弛系数、投影顺序、初值的选择都影响了图像重建的速 度和图像的质量。在松弛系数取o 5 、投影方式为非顺序投影、初值取投影平均值时图 像收敛最快，图像质量最好；在有限角重建过程中，m s a r t 算法解决了边缘问题，可 以很好地应用到少数投影重建中。 关键词：迭代重建；代数重建；联合代数重建；改进的联合代数重建；有序子集； 扇束c t 1 d l 1 冷 - 、 i一n参 尹，iij- k ， j 1 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t r e s e a r c ho ni t e r a t i v er e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m so fc o m p u t e dt o m o g r a p h y ，一一1一一 ， a b s t r a c t a tp r e s e n t ，t h ea n a l y t i c a lt e c h n i q u ea n dt h ei t e r a t i v et e c h n i q u ea r et w oo ft h em a j o r i m a g er e c o n s t r u c t i o nm e t h o d si nc t c o n v o l u t i o nb a c k - p r o je c t i o na l g o r i t h mi sc o m m o n l y u s e di na n a l y t i c a lt e c h n i q u e t h er e c o n s t r u c t i o ns p e e do ft h i sm e t h o di sf a s t t h eq u a l i t yo f r e c o n s t r u c t e di m a g ei sb e t t e r , b u tw i t hh e a v ya r t i f a c t s i na d d i t i o n ，i tn e e d sc o m p l e t ea n d e q u i a n g u l a rp r o j e c t i o nd a t a s e t s ，a n dt h ei n t e g r a lp a t h ( t h el i g h t ) m u s tb el i n e a r t h et y p i c a l f o r mo fi t e r a t i v em e t h o di sa l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nm e t h o d i ti sa v a i l a b l et oe i t h e rc o m p l e t e o ri n c o m p l e t ep r o j e c t i o nd a t a t h em a j o rd i s a d v a n t a g eo fa r ti si t sl o wc o n v e r g e n ts p e e da n d l a r g e n e s so fi t sc a l c u l a t i o nw h i c ha f f e c t st h ea p p l i c a t i o ni np r a c t i c e t h i sp a p e rm a i n l yr e s e a r c h e si t e r a t i v em e t h o do fc ti m a g i n g f i r s t ，b a s e do nt h e p h y s i c a la n dm a t h e m a t i cp r i n c i p l e s ，w es t u d i e dt h ea l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n o l o g y ( a r t ) a n dp a r t i c u l a r l ya n a l y z e dt h em a i nf a c t o r st h a ti n f l u e n c eo nt h ec o n v e r g e n c es p e e do r d i v e r g e n t o fr e c o n s t r u c t i o nm e t h o d s e c o n d l y ，w es t u d i e dt h es i m u l t a n e o u sa l g e b r a i c r e c o n s t r u c t i o nm e t h o d ( s a r t ) ，a n di tw a si m p r o v e d t h ei m p r o v e dm e t h o d ( m s a r t ) s o l v e d t h em a r g i n a li s s u e sb ys a r t m e a n w h i l e ，w es t u d i e do r d e r e ds u b s e t sm e t h o da n dg a v et h e m e t h o do fs e l e c t i n gt h es e q u e n c eo fs u b s e t s w ea n a l y z e dt h ei n f l u e n c eo nc o n v e r g e n c es p e e d a n di m a g eq u a l i t yb yd i f f e r e n tm e t h o d s t h e nw ea n a l y z e dt h ec o n v e r g e n c eo fd i f f e r e n t p r o je c t i o no r d e r sa n ds u b s e tl e v e l si no r d e rs u b s e t s w ec o n c l u d et h a ti ti sb e t t e rw i t hd i f f e r e n t p r o j e c t i o no r d e r s w ei n t r o d u c et h et r a n s c e n d e n t a lv a l u ea n df i l t e r sw h e no s s a r tm a y n o t c o n v e r g e n c ea t t h es i t u a t i o no fh i g hs u b s e tl e v e l i no r d e rt oi m p r o v et h es p e e do ft h e a l g o r i t h m ，w i t hs y m m e t r i c a l 酣dm e t h o d ，w ei n t r o d u c e af a s tm e t h o da b o u tp r o j e c t i o n c o e f f i c i e n t t h e nw eg o ta ni m p r o v e dm e t h o da b o u tp r o j e c t i o nc o e f f i c i e n t i nt h i sp a p e rw eu s et h es o f t w a r eo fm a t l a bt os i m u l a t i o na n da n a l y z e dt h er e s u l t so f t h o s ee x p e r i m e n t s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h es p e e da n dq u a l i t yh a db e e ni m p a c t e db yt h e c h o i c eo fr e l a x a t i o np a r a m e t e r , t h ef a s h i o no fd a t aa c c e s sa n dt h ec h o i c eo ft h ei n i t i a lv a l u e t h ec o n v e r g e n c es p e e da n di m a g eq u a l i t yi sb e t t e rw h e nt h er e l a x a t i o np a r a m e t e ri s0 5 ，t h e i i i 东北大学硕士学位论文a b s t r a c t p r o j e c t i o nf o r mi sd i s o r d e r , t h ei n i t i a lv a l u ei st h em e a nv a l u eo fp r o j e c t i o n s m s a r tc a nb e u s e di ni m a g er e c o n s t r u c t i o nw i t hl i m i t e dv i e w sf o rt h a ti th a da l r e a d ys o l v e dt h em a r g i n a l l s s u e s k e yw o r d s ：i t e r a t i v er e c o n s t r u c t i o n ；a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o n ；s i m u l t a n e o u sa l g e b r a i c r e c o n s t r u c t i o n ；m o d i f i e ds i m u l t a n e o u sa l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o n ；o r d e r e d - s u b s e t s ；f a n b e a mc t i v 1 f r 0 0 1 i - 、 p ，。p 目录 声明i 中文摘要i i a bs t r a c t i i i 第1 章绪论l 1 1c t 发展历史l 1 2 论文的研究背景2 1 3 本文的主要工作3 第2 章图像重建的基本原理5 2 1x - r a y 成像的物理基础一5 2 1 1x 射线产生过程及原理5 2 1 2x 射线的性质6 2 1 3x 射线诊断8 2 1 4x 射线与物质的相互作用8 2 1 5x 射线的衰减规律9 2 2x r a y 成像的数学基础1 1 2 3 图像质量评价方法12 第3 章迭代重建算法1 3 3 1 图像和投影13 3 1 1 图像的定义1 3 3 1 2 图像的投影表示“14 3 1 3 投影系数的计算1 5 3 1 4 投影方程的求解“2 4 3 2 迭代重建算法2 7 3 2 1a r t 迭代法2 7 3 2 2m a r t 的迭代方法3 7 v 堑! 垄堂塑主堂堡垒查 一 璺是v 3 2 3s a r t 的迭代方法3 7 3 3 仿真结果及其分析”3 9 3 3 1 模拟常用模型3 9 3 3 2 结果及分析4 0 第4 章有限角重建4 9 4 1 概述“4 9 4 2m s a r t 算法4 9 4 2 1m s a r t 公式4 9 4 2 2 图像误差改进5 1 4 3 仿真结果及分析“5 1 第5 章迭代算法中有序子集的研究5 5 5 1 有序子集5 5 5 2 子集的划分与顺序5 6 5 2 1 子集选择准则5 7 5 2 2 子集的划分5 7 5 3 仿真结果及分析5 7 第6 章总结与展望。6 3 参考文献6 5 致谢6 9 v i 争 ，睾 - 1 冷 扩 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 1 1c t 发展历史 第1 章绪论 计算机层析成像技术( c o m p u t e dt o m o g r a p h y ) 简称c t ，是指通过从物体外部检测到 的数据来重建物体内部( 横截面) 信息的技术，也称为层析成像技术。它由测量到的穿过 人体横截面沿着许多直线的x 射线衰减的数据来重建人体横截面的图像，是一种获取人 体内部信息的有效手段，极大地增强了人类观察物体内部结构的能力。它广泛应用于医 学诊断、射电天文学、电子显微和雷达等领域，影响最大的是在诊断医学方面，它为诊 断疑难疾病提供了一种无损害诊断的极好方法，已经引起了诊断医学方面的一场革命。 1 8 9 5 年，德国人伦琴在研究阴极射线管中气体放电现象时发现了x 射线，三天以 后，伦琴的夫人偶然看到了手的x 射线造影。从此开创了用x 射线进行医学诊断的放 射学- x 射线摄影技术，同时也开创了工程技术与医学相结合的新纪元。c t 理论的早 期研究可以追溯到上个世纪初，1 9 1 7 年奥地利数学家j r a d o n 1 】首先开展了由投影重建 图像的研究，他提出了二维物体分布与一维投影之间相互联系的积分方程，给出了它们 之间的变换关系( 即r a d o n 变换和r a d o n 反变换) ，从而奠定了图像重建的理论基础，但 是限于当时的技术条件而未能实现。1 9 5 6 年美国物理学家b r a c e w e l l 与a m c o r m a k 确 立了投影图像精确重建的理论【2 j ，并将图像重建原理应用于射电天文学，用以重建太阳 微波发射的图像【3 l 。早期的图像重建理论建立以后，由于当时技术条件的限制，发展比 较缓慢。 到上个世纪五、六十年代，随着电子技术的发展，特别是计算机技术的飞速发展， 图像重建理论才成为研究的热点并开始应用于实际的科学研究中。c o r m a k 于1 9 6 3 年 9 月及1 9 6 4 年1 0 月先后发表了两篇用线积分表示函数的方法及其在放射学上的应用 的系列文章，首次提出了射线计算机层析摄影基础理论。比c o r m a k 晚1 0 年，英国 e m i 公司中央实验室的电子工程师g n h o u n s f i e l d ，从实验的角度解决了吸收值问题。 1 9 8 5 年，g t h e n n a n 在他的专著中更加系统地阐述了c t 的理论基础【4 1 。最先把投影 图像重建技术应用于医学领域的是o l d e n d o r f ，他在1 9 6 1 年研制了伽马射线进行透射 型成像的初级装置。k u h l 与e d w a r d s 在1 9 6 3 年独立地研制了发射型成像装置。这些 装置均采用类似于反投影的算法进行图像重建，所得图像不够清晰。 第一台临床用的计算机断层成像扫描装置于1 9 6 7 年至1 9 7 0 年间由英国e m i 公司 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 的工程师g h o u s f i e l d 研制成功，并于1 9 7 1 年9 月正式安装在伦敦的a t k i n s o nm o r l e y 医 院1 5 j 。1 9 7 2 年利用第一台c t 首次为一名妇女诊断出脑部的囊肿，并取得了世界上第一 张c t 照片。同年，c t h o u s f i e l d 与医生j a m b r o s e 在英国放射学会上发表了第一篇关于 c t 的论文。 从此之后，人们才真正实现了人体断层成像。放射诊断医学进入了c t 时代，c t 技术在医学上有了成功的应用，并在短期内获得极大发展。 1 2 论文的研究背景 c t 的基本原理是由投影重建图像，关于重建算法，许多研究人员已经进行了大量 研究。目前已提出了许多新的算法，其大致可以分为两大类1 6 , 7 1 ，一类是以r a d o n 变换 为基础的直接数学反计算，之后b r a c e w e l l 与c o r m a k 各自未能利用r a d o n 变换独立获 得求逆公式，但它们的结果可以从r a d o n 变换中导出。这些方法逐渐形成了图像重建的 一大类算法一解析法 8 , 9 1 ，具有代表性的算法是卷积反投影算法，其重建速度快，空间分 辨率高，广泛应用在医用c t 中，但对采集数据的方式要求苛刻，必须对投影物体进行 3 6 0 。范围内的全方位扫描，需要长时间采集大量数据，在数据采集不完全的情况下不 能直接成像，对噪声较敏感，重建图像伪影较重，使得其应用受到严重限制。 另一类是将区域离散化并采用一系列迭代过程求解，称为迭代法，也有称之为级数 展开法【m 1 3 】。其特点是一开始就把连续的图像离散化，把整个图像区域划分为有限个像 素，每个像素内部为常数，这样就构成了一个未知的图像矩阵，然后利用测量到的投影 数据建立一组未知向量的代数方程，通过方程组求解未知图像向量。虽然这一方法在概 念上比解析法简单，但是计算量大，收敛速度慢。然而在不能获取大量投影数据或投影 不均匀分布时，即表现为非完全数据重建的问题。在此情况下，解析法不能提供正确的 图像结果，但可采用迭代法。其中经典的方法有：r g o r d e n 等提出的代数重建算法( a r t ) 及联合迭代重建法( s i r t ) 。其后发展的多种算法大致可以分两类：一是对两种经典迭代 公式的修正；二是引入优化理论为基础的迭代算法。 研究意义：在实际医学应用中，有时由于物体的形状和体积可能无法大量采集到投 影数据，或者无法均匀分布在1 8 0 0 或3 6 0 0 范围内。比如一个细长的物体，很难在横向 方向测到投影数据，甚至无法测到等等。此外，在有衍射和折射场合，射线无法保证始 终沿着直线传播。上述卷积反投影重建算法无能为力的场合，均可采用迭代法解决。虽 然迭代法速度很慢，但是近年来人们在采用各种方法改进传统算法的同时，也在不断的 探索新方法，希望能够提高重建速度和精度，并针对不同的测量目的，大量运用先验知 2 蕾 p 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 识，改善重建图像的质量。并且随着计算机速度的提高，迭代法所需重建时间较长的缺 点将逐渐变成次要矛盾，因此具有很大的发展空间，能更广泛地应用在医用c t 中。 1 3 本文的主要工作 本论文主要通过理论分析与计算机仿真实验相结合的手段来进行研究，研究内容主 要包括以下几个部分： ( 1 ) c t 的理论基础； ( 2 ) 迭代重建算法的原理及算法分类； ( 3 ) 影响重建速度和图像质量的因素； ( 4 ) 加快重建速度、提高图像质量的方法； ( 5 ) 有限角重建方法。 3 - 舟 l i 冷矿 东北大学硕士学位论文 第2 章图像重建的基本原理 第2 章图像重建的基本原理 本章将从物理和数学两个角度对c t 成像的原理进行研究。首先介绍了x 射线的物 理基础，然后介绍了r a d o n 变换，它从数学上对c t 成像过程中x 射线投影的概念进行 了定义。接着对成像中涉及的重要物理参量及其性质进行了表述。最后介绍图像质量评 价的几种方法。 2 1x r a y 成像的物理基础 图像是用来描述一个物体或物理系统的某些特性分布的。最常见的图像是那些由可 见光反射或透射后经光学仪器直接形成的。然而在许多图像的应用中，我们只能采用不 可见的辐射探测物做间接测量，x 射线便是这方面的一个典型例子。 众所周知x 射线是一种不可见的高能电磁波，它对各种物质都具有不同程度的穿透 能力。当一束x 射线通过人体时能量会由于吸收与散射而衰减，射线被吸收的总数取决 于它穿过的物质的密度、原子组成及x 射线的光能频谱。由于存在这种差别，当x 射 线透过人体各种不同的组织器官时，它被吸收的程度不同，所以从不同角度不同方位到 达x 射线探测器上的x 射线量有差异。对x 射线的吸收或散射越多，则图像质量越差。 在普通x 射线照片上，往往可以从中看到骨质部分，就是因为骨头部分的物质密度大， 它对射线的吸收量大( 衰减大) ，在照片上感光弱而呈现浅的影像。因此，利用投影数据 和断层衰减图像的数学关系，c t 系统能够重构出探测器截面的断层图像。最后的c t 图像是以不同的灰度来反映器官和组织对x 射线的吸收程度，黑影表示低吸收区，如肺 部；白影表示高吸收区，如骨骼。这样就能把不同的组织器官区分开来。 x 射线成像的物理基础，一方面是x 射线的特性，即穿透性、荧光效应和摄影效应； 另一方面是人体组织有密度和厚度的差别。但是相等强度的x 射线束，如果一束通过一 个具有均匀密度的物质，另一束通过一个非均匀密度的物质，探测器记录的两个总衰减 值可能相等，在这种情况下探测器不能决定两束射线之间的差别，因为这两束射线的衰 减总值相等。所以传统的x 射线装置对组织的分辨率较低，只能区分密度差别大的脏器。 要想得到一幅清晰的图像，最好的办法就是能找到一种物理参量，而且对于不同的组织 这个参量的值不同，这样就能把不同的组织区分开来。 下面介绍x 射线产生过程、原理、性质、及其衰减规律等。 5 - 东北大学硕士学位论文 第2 章图像重建的基本原理 2 1 1x 射线产生过程及原理 如图2 1 所示，x 射线管中的阴极灯丝被电流加热而发射电子，由于阴极与阳极的 电位差，使得电子因获得很大的动能而去撞击阳极的钨靶，进入一个很小的深度后，就 图2 1x 射线管剖面示意图 f i g 2 1c r o s ss e c t i o no fx r a yt u b e 。 被阳极面板材料的原子所阻挡而丧失动能。大部分动能变成热能，通过变压器油和冷却。 水散掉了，仅有1 左右转为x 射线。使用常规的x 射线管产生的x 射线波长在0 1 a 2 0 a 之间。其中产生的x 射线包括： ( 1 ) 特征x 射线 它是高速运动的电子与钨靶的原子核内层电子作用产生的。当作用足够强的时候会 通过移动内层电子使钨靶的原子电离，外层电子退级到空位，伴随着光子的释放即为特 征x 射线。在经典的玻尔原子模型中，电子占据具有特定量子能级的轨道。特征x 射 线的能量是两个壳层的能级差。 ( 2 ) 连续韧致辐射x 射线 高速运动的电子打到原子核附近，由于库伦力的作用减速，动量发生变化，释放出 x 射线，此即连续韧致辐射x 射线。 在实际射线检测中所用的x 射线源是特征x 射线和连续x 射线同时存在的。高速 “ 运动的电子直接打到原子核上，所有动能全部转化为x 光释放出来，即为x 射线能量 谱的上限。 2 1 2x 射线的性质 。 科学总是在不断发展的，经伦琴及各国科学家的反复实践和研究，逐渐揭示了x 射， 线的本质，它和普通光一样，是一种电磁波，但它是一种波长极短，能量很大、穿透力 很强的电磁波。它的波长约在0 0 0 1 l o o n m ，医学上应用的x 射线波长约在0 0 0 1 0 1 n m 6 东北大学硕士学位论文第2 章图像重建的基本原理 之间，它的光子能量比可见光的光子能量大几万乃至几十万倍。因此，x 射线除具有可 见光的一般性质外，还具有自身的特性，如物理效应、化学效应及生物效应等等。 ( 1 ) x 射线的物理效应 穿透作用： 穿透作用是指x 射线通过物质时不被完全吸收的能力。x 射线能穿透一般可见光所 不能透过的物质。可见光因其波长较长，光子具有的能量很小，当射到物体上时，一部 分被反射，大部分被物质所吸收，不能透过物体；而x 射线则不然，因其波长短，能量大， 照在物质上时，仅一部分被物质所吸收，大部分经由原子间隙而透过，表现出很强的穿 透能力。x 射线穿透物质的能力与x 射线光子的能量有关，x 射线的波长越短，光子的能 量越大，穿透力越强。x 射线的穿透力也与物质密度有关，密度大的物质，对x 射线的 吸收多，透过少；密度小者，吸收少，透过多。利用差别吸收这种性质可以把密度不同 的骨骼、肌肉、脂肪等软组织区分开来。这正是x 射线透视和摄影的物理基础。 电离作用： 物质受到x 射线照射时，使核外电子脱离原子轨道，这种作用叫电离作用。在光电 效应和散射过程中，出现光电子和反冲电子脱离其原子的过程叫一次电离，这些光电子 或反冲电子在行进中又和其它原子碰撞，使被击原子逸出电子叫二次电离。在固体和液 体中电离后的正、负离子将很快复合，不易收集。但在气体中的电离电荷却很容易收集 起来，利用电离电荷的多少可测定x 射线的照射量，x 射线测量仪器正是根据这个原理 制成的。由于电离作用使气体能够导电，某些物质可以发生化学反应，在有机体内可以 诱发各种生物效应。因此，电离作用是x 射线损伤和治疗的基础。 荧光作用： 由于x 射线波长很短，因此是不可见的。但它照射到某些化合物如磷、铂氰化钡、 硫化锌镉、钨酸钙等时，由于电离或激发使原子处于激发状态，原子回到基态过程中， 由于价电子的能级跃迁而辐射出可见光或紫外线，这就是荧光。x 射线使物质发生荧光 的作用叫荧光作用。荧光强弱与x 射线量成正比，这种作用是x 射线应用于透视的基 础。在x 射线诊断工作中利用这种荧光作用可制成荧光屏，增感屏，影像增强器中的输 入屏等。荧光屏用作透视时观察x 射线通过人体组织的影像，增感屏用作摄影时增强胶 片的感光量。 热作用： 物质所吸收的x 射线能大部分被转变成热能，使物体温度升高，这就是热作用。 此外，干涉、衍射、反射、折射这些作用与可见光一样，在x 射线显微镜、波长测 - 7 东北大学硕士学位论文第2 章图像重建的基本原理 定和物质结构分析中都得到应用。 ( 2 ) x 射线的化学效应 同可见光一样，x 射线能使胶片感光，当x 射线照射到胶片上的溴化银时，能使银 离子沉淀而使胶片产生“感光作用”。胶片感光的强弱与x 射线量成正比。当x 射线通 过人体时，因人体各组织的密度不同，对x 射线量的吸收不同，致使胶片上所获得的感 光度不同，从而获得x 射线的影像。这就是应用x 射线作摄片检查的基础。 ( 3 ) x 射线的生物效应 当x 射线照射到生物机体时，生物细胞受到抑制、破坏甚至坏死，致使机体发生不 同程度的生理、病理和生化等方面的改变，称为x 射线的生物效应。不同的生物细胞， 对x 射线有不同的敏感度。因此，x 射线可以治疗人体的某些疾病，如肿瘤等。另一方 面，它对正常机体也有伤害，因此要做好x 射线的防护。 由于x 射线具有如上作用，因而在工业、农业、科学研究等领域获得了广泛的应用， 如工业探伤，晶体分析等。在医学上，x 射线技术已成为对疾病进行诊断和治疗的专门 学科，在医疗卫生事业中占有重要地位。 2 1 3x 射线诊断 x 射线应用于医学诊断，主要依据x 射线的穿透作用、差别吸收、感光作用和荧光 作用。由于x 射线穿过人体时，受到不同程度的吸收，如骨骼吸收的x 射线量比肌肉吸 收的量要多，那么通过人体后的x 射线量就不一样，这样便携带了人体各部分密度分布 的信息，在荧光屏上或摄影胶片上引起的荧光作用或感光作用的强弱就有较大差别，因 而在荧光屏上或摄影胶片上( 经过显影、定影) 将显示出不同密度的阴影。根据阴影浓淡 的对比，结合临床的表现、化验结果和病理诊断，即可判断人体某一部分是否正常。于 是，x 射线诊断技术便成了世界上最早应用的非创伤性的内脏检查技术。 2 1 4x 射线与物质的相互作用 x 射线与物质相互作用时，产生各种不同的复杂过程。就其能量转换而言，一束x 射线通过物质时，可分为三部分：一部分被散射，一部分被吸收，一部分透过物质继续 沿原来的方向传播。在c t 成像的能量段内，x 射线与物质的主要作用方式有光电效应、 康普顿效应和电子对效应。 ( 1 ) 光电效应 x 射线与物质的原子相互作用时，x 射线的全部能量转移给原子中的束缚电子，使 这些电子从原子中发射出来，x 射线本身消失，这个过程即为光电效应。光电效应里， 8 东北大学硕士学位论文 第2 章图像重建的基本原理 电子的射出方向不是完全定向的，只是大部分都垂直于金属表面射出，与光照方向无关， 虽然光是电磁波，但是它是高频震荡的正交电磁场，振幅很小，不会对电子射出方向产 生影响。如果外来x 射线的能量全部传给内层电子使该电子飞出，则其带有的能量为光 子能量减去k 层电子的结合能，即x 射线全部被吸收了。 ( 2 ) 康普顿效应 1 9 2 3 年，美国物理学家康普顿在研究x 射线通过实物物质发生散射的实验时，发现 了一个新的现象，即散射光中除了有原波长的x 光外，还产生了波长 1 0 的x 光，其波长 的增量随散射角的不同而变化。这种现象称为康普顿效应。也即入射x 射线与原子的核 外电子发生非弹性碰撞，光子的一部分能量转移给电子，使它反冲出来，而x 射线的运 动方向和能量均发生了变化，失去部分初始能量，成为散射射线，散射射线以任何角度 发生偏转。之后散射的x 射线与束缚力不大的外层电子或自由电子碰撞时使电子获得一 部分动能成为反冲电子，尽管x 射线没被完全吸收，但x 射线离开原来方向，能量减小， 波长增加，因此在中间能量段康普顿散射占主导地位，并随着单位质量的原子数而变化。 ( 3 ) 电子对效应 x 射线与原子核附近的电子云发生强烈作用突然消失，产生正负电子对，但电子对 生成只有在x 射线能量超过1 0 2 2 m e v 才占主导地位。在工业和医学c t 成像中所用x 射线 的能量段范围为0 k e v - - 4 5 0 k e v ，起主要作用的是光电吸收和康普顿散射，而康普顿散射 是引起图像质量降低的一个主要因素，严重影响图像细节和对比度。 由于x 射线与物质相互作用时发生光电效应和康普顿散射，使得出射的x 射线发生 衰减。因此在数学上可以把线性衰减系数写成： ( e ) = p ( e ) + 心( e ) ( 2 1 ) 其中( e ) 为总线性衰减系数，u p ( e ) 为光电效应引起的衰减系数，从( e ) 为康普 顿散射引起的衰减系数。这些过程依赖于物质的原子序数、密度及x 射线能量，而且在 一定的能量范围内，可以用下面的公式近似： ( e ) - - a ( e ) p z ”( e “a ) + b ( e ) p z a ( 2 2 ) 其中e 表示能量，p 是吸收体的密度，z 是原子序数，a 原子质量，m ，n 均为依赖于 能量和原子序数的常数。 2 1 5x 射线的衰减规律 当射线穿过物体时，由于吸收和散射，射线将产生衰减。射线的衰减程度取决于物 体的密度、原子组成以及射线的能量谱。当一束单色x 射线通过一个密度均匀的小物体 时，由于散射和吸收的作用使其透射方向上的强度衰减。按b e e r 定理，衰减规律由下面 9 东北大学硕士学位论文 笫2 章图像重建的基本原理 的方程决定。 ， ，= i o e - l 蛳乩( 争) 亿3 ， 式中： 厶为x 射线的入射强度； ，为射线穿过物体衰减后的x 射线强度； l 为射线穿过均匀密度物体的长度； - 就是物体对射线的衰减系数。 在式( 2 3 ) 的两边同时取对数，则该式可改写为以下形式： ： h l 粤 ( 2 4 )1 ll 、。 通常沿着x 射线束路径上的物体密度是不均匀的。假设将物体分隔为很小的段，每 段长度为z ，是足够小的，以至每段中的密度可设想为均匀的。如果我们假定每个 段内的衰减系数是均匀的，而长度为，的第一段的射线入射强度为厶，从第- - , j , 段穿出 的射线强度为厶，从第二小段穿出的射线强度为j ：，以此类推，则： q 厶= o e 一朋虬 ( 2 5 ) 厶= i , e 一胁址 ( 2 6 ) 将( 2 6 ) 代入( 2 5 ) 得 厶= o e 一”鲍她 ( 2 7 ) 继续以上过程，可得厶，即最后一段求出来的衰减强度。 厶：厶p 一( 朋+ 鲍+ 肋+ + “) 址：厶p - e 删址 ( 2 8 ) 其中以为第托小段的衰减系数值，将未知系数放在左边，上式可写成： m + 鲍+ 鸬+ + 以= 面11 1 1 厶- o ( 2 外 。， 当玎无穷大时，可以推导出： 一i 硅一l i = , r o e o ( 2 1 0 ) 更一般的情况，当物体在拶平面内都不均匀，即衰减系数= ( x ，y ) ，则在某一方 向z ，沿某一路径三的总衰减为： p 乩( 争) 亿 。 此即射线投影。 ， 式( 2 9 ) 表明：在x 射线束的路径上，如果已知a i ，厶及厶，物体的衰减系数总和 “+ 段+ 鸬+ + i n 是可以计算的。但是不可能用单一方向的投影值求得所有分段的衰 东北大学硕士学位论文 第2 章图像重建的基本原理 减系数。因为未知的系数太多，而已知的方程太少。如果能从不同的方向取得多个视图， 就可能得到足够的数据去求这些未知系数。 2 2x r a y 成像的数学基础 用f ( x ，y ) 表示某一物理量的二维空间分布，并假设其在二维平面的有限区域中有 定义。设( 工，y ) 定义了平面上的坐标，f ( x ，y ) 是定义于r 2 ( 欧式空间) 中域d 内的任意数。 则f ( x ，y ) 沿直线的线积分： p = i ，f ( x ，y ) d l ( 2 1 2 ) 此式定义为f ( x ，y ) 沿着直线三的投影。设定如图2 2 的坐标，直线三可由两个参量 确定，一个是离开原点的距离占，另一个是其法线的幅角目，即有 j x = s c o s 秒一s l n p ( 2 1 3 ) i y = s s i n 秒+ ，c o s 0 jii z 声 r 测黝 - 5 01 x一 t 、 射线方向 向 图2 2r a d o n 变换二维坐标系 f i g 2 2t w o d i m e n s i o n a lc o o r d i n a t e so fr a d o n t r a n s f o r m 于是上式的积分可写成关于，和目的函数形式 巴 p ( t ，0 ) = i ，厂( x ，y ) d l = if ( ( t e o s o - s s i n o ) ，( t s i n 0 + s c o s t ，) ) d s ( 2 1 4 ) 为了便于表示，引进向量记号o = ( c o s 0 ，s i n 0 ) 和o 上= ( - s i n 0 ，c o s 0 ) 。并设标量f 和 s 可以使( x ，y ) = t o + s o 上，则由( 2 1 4 ) 有： 巴 p ( t ，臼) = i ，f ( x ，y ) d l = if ( t o ，s o 上油 ( 2 1 5 ) r 东北大学硕士学位论文 第2 章图像重建的基本原理 在二维空间里s oi 表示垂直方向向量臼的量，而d s 表示在此方向上即0 。上的增量， 所以上式还可以表示成 p ( t ，口) = i 厂( f o ，s o 上) a s = r f ( t ，o ) ( 2 1 6 ) 亩 由此可见，在二维平面中函数厂沿着直线的线积分等于r a d o n 变换。若p ( t ，0 ) 对 所有，和口已知，则p ( t ，乡) 为f ( x ，y ) 的二维r a d o n 变换。 对于任意0 ，0 ) 及( 一f ，0 + 万) ，他们在平面上表示同一直线，因此 p ( t ，臼) 2p ( 一，o + z c ) ( 2 1 7 ) 2 3 图像质量评价方法 c t 图像重建的目的在于能够最大限度地、真实地再现物体内部结构，对于一个有 原始图像的测试模型，可