（应用数学专业论文）一类二阶常微分方程组边值问题解的存在性.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以。求实、戗新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取褥的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均悬真实的。 4 、本论文中除引文翱致谢的内容外，不包含其他人或其它机掏已经发 表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名；i 2 峻 日期：绝蠡缸 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并肉国家主管部门躐其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的文的内容缡入有关数据库进行梭 索：有权将学位论文的标厥和少量复制并允许论文进入学技图书馆被套嬲； 有权将学位论 摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名；立2 涟 日 期：勉 一类二阶常微分方程组边值闯题解的存在性 摘要 本文研究了一类二阶常微分方程组s n m n l i o u v i l l e 边傻问题闯题解的存在 性。 全文包括三大部分：第一章介绍了基本的背景、研究进程及目前的研究进 展、文章主要采用的方法和预备知识；第二章研究了如下形式的二阶常微分方 程组s t u 工m l i o u v i l l e 边值问题： 一“”= ( x ，“，v ) _ v = g ( x ，“) “( 0 ) = “( 1 ) = o v ( o ) = v ( 1 ) = o 其中厂c ( 0 ，1 】胄+ x 点+ 皿+ ) 落c ( o ，l 】r + 擅+ ) ， 且，0 ，o ，o ) s o 髫g ，0 ) ；0 通过把该方程组转化为积分方程并且利用拓扑方法和锥理论证明了边值问题正 解的存在性。 第三章讨论了如下形式的非线性二阶常微分方程组s t u i m l i o u “l l e 边值问 题： f 一三“= ，( 工，“，v ) l 一上v = g ( z ，“，v ) 最1 ( “) = 磁斟( o ) + c b p ( o ) “( o ) = 盖2 ( “) = 届“( 1 ) + 岛p ( 1 ) “( 1 ) = o l 胄i ( v ) = v ( o ) + 吒p ( o ) v ( o ) 拳盖2 ( v ) = 届v ( 1 ) + 岛p ( 1 ) v7 ( 1 ) = o 其中 三“= ( p ( x ) “) + g ( 工) “，v = ( p ( x ) v ) + g ( x ) 口。2 + 口2 2 o ，层2 + 廖2 0 ，p o ) c ( o ，1 】，( 0 ，+ 。) ) ，窜 ) c ( 0 ，1 】，( 一，o ) ) 厂c ( o ，1 】胄r 皿) 培c ( 0 ，1 】r r 皿) 皿= ( 娟，+ 。) 令e ：c o ，l 圳u | | = 懋卜( 划，则( e ，川) 为实b a n a c h 空间。 同样通过把该方程组向积分方程组等价转换的方法以及格林函数的运用给出了 解的表达形式。 关键词：常微分方程组，边值问题，积分方程，不动点，g r e e n 函数 t h ee 矗s t e n c eo f t h es o l u t i o n so f ac l a s so f b o u n d a l yv h l u e p r o b l e m sf o rs y s t e m so fs e c o n do r d e ro r d i n a r yd i 饿r e n t i a l e q u 8 t i o n s a b s t r a c t t m sd i s s e r 恤o ni sd e v o t e dt o也ee x i 或e n c eo fs 0 1 u t i o n so fac l a s so f s t u m l i o 州1 l e b o u n d a r yv a l u ep r o b l 胤sf o rs y s t 锄so fo r d i n a r yd i 髓r e 面a l e q u a t i o n s t h ed i s s e r t 撕o nc 0 赡l i n st h r c ep a n s ：i nc h 印t e r1 ，t h eb a s i ca p p h c a d o n b a c k 舀o u n d ，p r o g e s eo ft h es t u d ya n da d v a n c e ds t u d i e s ，m ei 工l a i ni d e ao f 也i s d i s s e r t a t i o n 柚d 也ep r e p a r ek n 。w l e d g ea r ei 曲州u c e d i nc h 印t e r2 ，ic o i l s i d e rt h e s t u r m l i o u 、，i i l e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs y s t e m so fs e c o n do r d e ro r d i i l a 【r y d i 腩r e n t i a le q u “o i l s ： f 一“”= ，( 工，“，v ) i v 。= g ( x ，材) l 拼( o ) = ”( 1 ) = o l v ( o ) = v ( 1 ) = o w h e r e 厂c “0 ，l 】月+ r + ，五+ ) 名c ( o ，1 胄+ 皿+ ) ， a n d 0 ，o ，o ) ；0 髫0 ，0 ) z o i 订a n s f e rt h ee q 吼t i o n si n t o 也ei n t e g r a le q u a t i o n 趾d 印p l y 也et o p o l o g i c a l m e t l l o da n dt 1 1 ec o n e 也e o r yt oo b t a i n 也ee x i s t l m c eo fp o s i t i v es o h n i o n so f 证1 e b o u n d a r yv a l u ep r o b l 锄s i nc h a p t e r3 ，ic o n s i d e r 吐l es t 咖一l i o u v i l l eb o l | 丑崎v a l u ep r o b l e m sf o r s y s t e m so fn o l l l i l l e a rs e c o n do r d e ro r d 主i l a r yd i 丘e r e n d a le q 删o n s ： f 一上“= ，( z ，“，v ) l 一三v = g ( 算，“，v ) l 墨 ) = q “( o ) + p ( o m ( o ) = 岛 ) = 届甜( 1 ) 十岛p ( i 姐7 ( 1 ) = o 【蜀( v ) = 啦v ( o ) + a 2 p ( o ) v ( o ) = 胄2 ( v ) = 届v ( 1 ) + 展p ( 1 ) v ( 1 ) = o w 办e ，它 上“= ( p ( x ) 甜) + 口( z ) “，三v = ( p ( x ) v ) 7 + g ( x ) 口1 2 + 口2 2 0 ，a 2 + 岛2 o ，p 0 ) c ( 【o ，1 】，( o ，+ ) ) ，g o ) c ( 【o ，1 】，( 一，o ) ) 厂c ( o ，1 】x r r 皿) 髫c ( 【o ，1 】矗r 嘏) 皿= ( ，+ ) l e t e = c o ，1 ，州i = 目搿卜( x ) l ，也e n ( e ，) i s m e r e a l b 蠲a c h s p a c e ， 3 ia l s o 廿a 工l s f e rt h ee q u a t i o n si n t o 血ei n t e g r a le q u 砒i o ne q u 主v a 王e n t l ya n da p p l yt 1 1 e o r e e nm n c d o nt oo b t a i n 也em e t h o do fg e 砸n g 也ef 0 玎no f 吐l es o l u t i o n s k e yw o r d s ：s v s t e m so fo r d i l l a r yd i 拭e r e n t i a le q 谢o n s ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i n t e g r a le q 删o i l s ，f i x e dp o i m s ，g r e e n 矗m c t i o n 4 第一章绪论 边值问题是常微分方程领域中的一个重要研究谋题，一直受到国内外专家学者的广泛关 注，关于这方面的研究内容已经十分丰富见文献 1 】_ 【3 2 。这不役在于其理论内窖的多样性， 也因为这类问题更能反映某些物理、化学或生物学的实际。 1 1 应用背景 在常微分方程理论的定解问题中，边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉，它 是常微分方程学科的重要组成部分之一。而两点边值问题有着极为重要而广泛的理论和实蕲 背景。这一问题被深入而广泛的研究，旱在一百多舞以前的所谓s t ur 豇】和l i o u v i e 时期就 已经开始了。自1 8 9 3 年p i c a r d 运用遮代法讨论非线性二阶常微分方程两点边值问题解的存 在性和唯一性之后，常微分方程两点边值问题的研究就获得了蓬勃的发展，取得了系统而深 刻的结果。 在描述许多重要的力学和电学现象的过程中一般要给方程 “”( ，) 譬，( f ，h ( f ) ，“。( ) ) ，f ( 0 ，1 ) 附加下列一缝定解条件： b i r i c h el 边值条件： “( 0 ) = 0 ，“( 1 ) = 0 ； r o b i n 边值条件： “( 0 ) = o ：( 1 ) ；o ； n e u m a n n 边值条件： “( 0 ) = 0 “( 1 ) = 0 ； 周期边值螽件： “( 0 ) = “( 1 ) ，“( 0 ) = ( 1 ) ： s n 】m l i 叫v i l | e 边值条件； 口”( 0 ) 一卢“( 0 ) = 0 ，手( 1 ) + ，俐( i ) = o ： 毫无疑闻，以上闻题的解将给出对实际现象更加精确的描述。 这类边值问题对于物理、化学、生物、工程科学、数理经济等等现实世界的应用有着重要 这类边值问题对于物理、化学、生物、工程科学、数理经济等等现实世界的应用有着重要 的实际意义。至今，随着各个领域研究的需要，不论在问题的深度和广度方面还是在研究方 法上都有了很大的发展。 1 - 2 边值闯题的研究进程 在过去的几十年里，许多数学家都在研究如下形式的方程边值问题： 三“= 窖( x ，“) f q u = oo na q ( 1 1 ) 其中上“= 一吩( x ，+ 6 l o ) “，q 为胄”中具有光滑边界的有界域。 这方面的研究成果旱已经加深了我们对边值问题的理解，见文献【l 】- 1 5 。 随后的研究中在( 1 1 ) 的基础上做了进一步改进。1 9 6 9 年s e m n 给g ( z “) 这 函数中又增加了一个变量v ”，见文献 1 6 】、【1 7 ，让( 1 1 ) 变为 上“= g ( z ，“，v “) f n qu = 0o na q t 1 2 ) 他证明了给定任意光滑域且存在光l 爝数据时问题( 1 2 ) 没有解。 在接下来的几年中，“+ ，( r ，“) = o 这种形式的边值问题开始被普遍的研究。 1 9 8 8 年j a 0 a 士i c a v l a d i m j r o l i k e r 和p a u l w 砒吼a n 研究了如下的边值问题 f y ”+ ，0 ，y ) = o 掣( o ) 一缈( o ) = o ( 1 3 ) i ( 1 ) + 印( 1 ) = o 并给出了一个新的锥上不动点定理。 随后又有很多文章给函数f 做了一些小小的变动。 1 9 9 4 年l h e ，b e 和h a i y 托w a n g 就讨论了这样一个二阶边值问题 fu a ( t ) f ( u ) = 0 o t 1 岔u ( o ) 伽，( o ) 2 0【1 4 1 i 川( 1 ) + 乱( 1 ) = o 在函数f 的前面多加了一个系数a ( t ) ，得出了新的正解存在 生的结论。 6 1 3 目前的研究进展 近几年来对边值问题正解的研究多是利用g r e e n 函数构造与方程等价的积分算子方程 来讨论正解豹存在性。有时也需要用到拓扑的方法和锥上不动点理论对正解的存在性进行 讨论。 其中有很多对边值问题( 1 3 ) 进行了深一步的讨论。 如2 0 0 0 年王宏洲、邓立虎、葛渭高f 2 1 】就讨论了以下形式的二阶微分方程边值问题正 解的存在性： l 文p ) + 厂( f ，x p ) ，寞0 ) ) = o ，0 f l ， x ( 0 ) = l ( 1 ) = o 该方程对( 1 3 ) 中的函数f 又增加了一个变量t p ) ，运用了锥上的不动点理论和渐避逼 近方法得出了正解存在性的较好的结果。 同年赵增勤也研究了类似问题： f “”( f ) + 厂( f ，。，o ) ) = o ， o t 1 口“( o ) 一卢k ( o ) = o i 叫( 1 ) + 锄( 1 ) = o 而对于边值问题( 1 4 ) 很多的研究都是针对f 是非受函数的情况，2 0 0 1 年程建纲f 2 3 】在不 对f 作出非负假设和单调性假设的条件下研究了以下二阶边值问题： f y ”+ g ( f v ( y ) = o ，f ( o ，1 ) ， l 口l y ( o ) 一啦y ( o ) = o = 魄y ( 1 ) + 岛y ( 1 ) ， 使用了将包括延拓与截断、边值问题的估计、极值原理、拓扑度理论等多种方法结合的新 方法采考虑正解的存在性，绘出了正解存在的充分必要条件。 2 0 0 1 年孙伟平和葛渭高把( 1 4 ) 中的“。替换成丸( “) ( 其中丸( s ) 为p ，l a p l a c i a n 算 子) ，给出了以下方程正解存在的充分条件： i ( 纯( “) ) + 口( r ) ，( ) = o ，o o 和g ( 0 ，0 ) o 时得出了多重结果。 随后马如云又把条件改为，( o ，o ) o 和g ( 0 ，0 ) o ，并且通过举例说明得到了新的 结果。 2 0 0 4 年杨志林和孙经先2 8 1 又对如下二阶非线性常微分方程组s 啪l i o u v i l l e 边值问题 的存在性和个数作出了研究： f 一“”= 厂( 矗v ) ， 熙锯鼎，n ( 1 ，) f “( 0 ) = “( 1 ) = o ， 、 【v ( 0 ) = v ( 1 ) = o ， 利用锥上不动点定理得出了结果。 1 4 主要结果及方法 由于对二阶非线性常微分方程边值问题的讨论已经很多，所以本文的兴趣在于讨论形如 ( 1 5 ) 的二阶非线性常微分方程组s t u m l i o u “i l e 边值问题，首先在( 1 5 ) 的基础上把函数 f 中的变量增加一个u 变为： f 一“”= ，( x ，甜，v ) i v = g ( 工，“) f “( o ) = “( 1 ) = 0 【v ( o ) = v ( 1 ) = o 进而重新讨论正解的存在性和个数。利用前文章中的假设条件、引理及所得结果给出更多 的假设条件得到自己新的结果； 接着又把( 1 5 ) 中的算予改为最一般的形式，并且把函数g 中的变量也增加了一个v ， 修改了边值条件，变为： 一上“= ，( x ，“，v ) l 一三v = g ( 工，“，v ) j 蜀国) = “( o ) + 盘2 p ( o 净( o ) = 垦国) = 层“( 】) + 易p ( 1 ) “( 1 ) = o 【r ：( v ) = 吼v ( o ) + 口2 p ( o ) v ( o ) = 足( v ) = 屈v ( 1 ) + 恳p ( 1 ) v ( 1 ) = o 并通过两个例子说明得出了新的结果。 在两个章节中采用的方法都是把微分方程组首先转化为积分方程组，进而再转化为积分 方程，利用g r n 函数结合不动点理论给出正解的个数。 1 s t 啪一l i a w i l l e 边值问题【2 9 】 一般所谓n 阶方程 “= ，( z ，“，一，“一1 ) 1 - 5 预备知识 的边僵问题就是：求这个方程的一个非零解，使之在某区间 咖 上有定义并在区间端点 曲处满足某些附加条件或边界条件。 这一问题，特别是二阶线性方程的边值问题在数学物理甑及许多工程技术问题中都具 有广泛的应用。事实上，在数学物理中的一些法剩的数学插绘大多数都可写成二阶偏微分 方程，而求得这些方程又往往归结为求解一个常微分方程的边值阔题。 在物理学中常遇到方程 窘彳窘一0 1 0 0 ，记 吃= 扣ee 1 o ，“a n p ，则必有 f ( 4 ，岛n p ，) = o 。 引理2 1 3 1 设：a ：酝n 尸啼，为全连续， “l l ，v u 稿。n p ， 则必有i ( a ，b j n p ，尸) = l 在a 酶n p 上没有不动点。存在线性隈射 若存在“。p ，使得 在强n 户上没有不动点。若 全连续算子的概念见文献 2 9 的第一章第1 节的有关内容。 第二章一类二阶常微分方程组边值问题正解的存在性 本章主要研究下列形式的二阶常微分方程组边值问题： f 一甜”= ，( x ，“，v ) l 一，= g ( z ，“) l “( o ) = “( 1 ) = 0 【v ( o ) = v ( 1 ) = 0 其中厂c ( o ，1 】r + r + 皿+ ) 培c ( 0 ，1 x r + 皿+ ) 且厂。c ，0 ，0 ) z0 名0 ，0 ) t o 2 1 假设条件及辅助引理 首先列出本文f ，g 所满足的假设条件( 下列条件中的p = “丽) ： 条做凰) ： 1 ) l i m i n f 鱼兰竺尘 万2 ，关于( x ，v ) “o ，1 r + 一致成立， 特别地 l i m i n f 鱼! ! 盟：+ 。，关于( x ，v ) o ，1 月，一致成立； 2 ) 存在p ( o ，1 ，使得l i m i n f ! 譬盟：+ 。，关于( x ，“) o ，1 。r + 一致成立，且 1 i 蝉墨铲 o 关于州o 1 卜致成立； 3 ) 存在p ( o ，1 ，使得l i m i n f 堡学盟 o ，关于( x ，“) e o ，l 】。月+ 一致成立，且 l i r n i n f 墨笔掣：+ 。关于x o ，1 一致成立； 1 r 4 ) 存在p ( 1 ，+ 。) 使得1 i m i n f 掣 o 关于工e o ，1 一致成立； 5 ) 存在，( o ，1 ，使得u m i n f 壁等盟 o ，且l i m i i l f 墨笔掣：+ o 。，关于x o ，1 一致成 p _ 。c 广一。 “ 立： 2 6 ) 存在州o ，1 ) 使得炒毪掣堋，且1 蝉拶 o 关于州o 1 一致 p o ，r“1 成立。 条件( 仃2 ) ： 1 )l i m s u p 墨竺盟 见，l i m s u p 堕型盟 严i _ 亏，关于工 o 1 】一致成立，特别地 - 斗o + “ p _ + o 户、，l + 五 u n l s u p 丛型 佃，胁婶丛竺盟：o ，关于x “o ，1 卜致成立 _ r 龆 p mp 2 ) 存在矧0 1 1 ) j 使得h 警等铲删警掣 帆关于州o ，1 卜致成 立： 3 ) 存在州0 1 凇得1 呀等等 训i 字掣扎关于州o ，l 】一致成 正： 4 ) l i m s u p 鱼! 竺二堕：o ，关于o ，v ) 【o ，1 】【o ，1 】_ 一致成立 呻0 + “ 5 ) 存在p ( o ，+ ) ，使得l i m 跚p ! ! ! ；盟：o ，关于 ，“) o ，1 】【o ，l 】- 一致成立，且 v 呻旷 矿 h 紫铲 帆关于州o ，1 一致胜 6 ) 存在p ( o ，栅) ，使得1 i m 唧掣 + ，关于( 工，“) o ，1 【o ，1 一致成立，且 v _ + 0 +y 1 警掣地关于州o ，1 一致魁 条件( 马) 1 3 脯在o p 1 ，恻磐等乩且粤警撕 0 1 1 一致 2 ) 存在o p 1 ，使得l i i n s u p 掣 + ，关于( x ，v ) o ，1 r 一致成立： 3 ) 存在p ( o ，悯) ，使得l i i s u p 掣 + ，关于( x ，“) o ，1 】r 一致成立且 l i 罂掣= o 关于川o ，1 卜致魁 4 ) 存在p ( o ，+ ) ，使得l i m s u p 掣= o ，关于( x ，“) o ，1 r + 一致成立，邑 l i 黧u p 掣 忡关于州0 1 1 】一致拙 5 ) 存在p ，g ( o ，1 ) ，p + q 1 ，使得1 舞宝? 鼍考掣 十吼荚于( x ，v ) 鸭1 】矗+ 一致成”“y 立，且l j m s u p 曼延盟 佃关于x o ，1 一致成立 “ 6 ) 存在p ( 0 1 ) ，使得1 粤等掣( 螅关邗，v ) 0 ，1 m + 一致成立，且 n ms u p 墨垒塑：o 关于x o ，1 一致成立 “ 7 ) 存在矧o ，i ) 使得1 粤等寄趣关邗删m 一致成立，虽 l i m s u p 墨垡盟 嘲关于x o ，1 】_ 一致成立 “ 8 ) 存在p ，g ( o ，1 ) ，p + q 1 ，使得l i i n s u p 竖警型 o 1 i 皆掣喇，关于蚓o ，1 】一致成 立： 4 ) 存在p ( 0 1 1 ，使得紫毪掣崭，关于( x ，v ) r o 1 o l 卜致眦 5 ) 存在p ( 0 ，1 ，使得唧毪掣= 帆关于( x ，v ) o ，1 o ，1 j 一致成立，且 1 i 掣掣 蛾子州o ，1 卜致魁 6 ) 存在p ( o ，1 ，使得l i n l 耍f 掣 o ，关于( z ，v ) o ，1 】 0 ，1 】一致成立，且 v - + 0 伊 一 1 警秽= 椰，关于州o ，1 _ 致成立。 定理2 2 1 若( q ) 条件之一和( 坞) 条件之一满足，则边值问题( 2 1 ) 至少有一个正解。 定理2 2 2 若( 马) 条件之一和( 日) 条件之一满足，则边值问题( 2 1 ) 至少有一个正解。 定理：工s 对于甜。只若8 熙监! ! ! 兰掣 石2 和b 0 ，使得： f ( x ，u ，v ) 岔u 一口，v ( x ，u ，v ) o ，1 x r + r + 于是对v “p ，有 彳“ ) = f t o ，y ) ， ，“) ，f 膏( y ，j ) g o ，“o ) ) 幽) 砂 e ( x ，y ) ( c r 甜( y ) 一) 砂 口i 七 ，y ) “( y ) 咖一卢 由常微分方程边值问题理论可知s i n 石x 是线性积分算予b 的对应于特征值万2 的特征函数， 刨宿 s i n 硝= 万2f 七( x ，y ) 血到咖 因为m = 拙_ p k = 4 “+ 五s i l l 万x ，五0 ) ，对v 甜m ，可推得 f s 血万z “( x ) 出= f s i n 麒( 4 “ ) + 五s i n 万x ) 出 f s i n 觚口“ ) ) 出 r s i i l 默扭r 七o 。y 姐( y ) 砂一芦 威 = 口f f k ( x ，y ) s i n 删( ，) d x d ，一警 = 参扣删啪一等 所以 f s i n 舢啪导 由 ，的定义及引理知 ，有界。 若2 ) 成立时必存在货，卢， o ，使得： ( g ( x ，v ) ) 9 口v 一声， ( x ，v ) o ，1 r + ， 厂o ，v ) 三! ：v p 一托0 爿，v ) 【o ，1 显+ r + ； 再根据j e n s 不等式( 注意到p o ，1 ，o s o ，) ，) 蔓1 ) ，我们可推出 爿f 蹦等( f 地s 培。舳r 一，协 f 七( x ，y ) 手 ( f ( y 一 越( s ) 一) 出) 一r 】方 等f k ( x ，y ) ( f j j 。一( 搿“( s ) 一所幽) 痧一y 2 万4ff | j ( x ，y ) _ j o ，s ( 。) 幽方一8 其中 p ：鲨+ y o 口 于是，对v u m ，由s i n 万盖= 石2f 七( 马y ) s i n 窟肋可推得 f s i n 万x “( x ) 出= f s i l l 雕( 4 “( z ) 十艇n 玎x ) 疵 f s i l l 刀x 口“) ) 出 2 万4f s i n 肼 ff 七o ，y ) 七( y ，s ) 妫协一p = 2 f s i n 万x u ( x ) d x 一8 所以 f s i n 万x u ( x ) d x e 由m 的定义及引理知 f 有界。 若3 ) 成立时，必存在口，届， 0 ，使得： ，。c ) 倒一卢，0 一，v ) 【o ，1 r + r + ， ( g ，v ) 尸兰生v 一几( 工，v ) 【o ，1 尺+ ； 于是对v p ，由j e i l s e n 不等式及0 ( x ，y ) s 1 ，可推出 4 “o ) f i o ，y ) 口( f j ( ) ，j ) 占o ，“o ) 凼) p 一坳 f 七( 薯y ) 口 f 七( n 顶( 笔二( s ) 一y ) 西y 一 方 口似朋风瑚( 手训丞胁一 2 万4fft ( w ) i ( ”) 甜( s ) 西痧一8 其中 e = a y + 8 重复2 ) 的证明过程，可得 fs i n 万x “o ) 西c = f s i n 嬲( 4 村( x ) + 兄s i n 万x 造 f s i n 肼( 爿”) o ) 出 2 石4f s i n 玎x ff t ，y ) j j ，s ( y ) 西矽孓扛一e 一2e s i n 石x u ( x ) d x p 所以 f s i i l 万x ”( x ) 出e 由m 的定义及引理知 彳有界。 若4 ) 成立时，必存在口 o ，使得： f ( x ，u ，v ) 2 万2 “一，( x ，“，v ) o ，1 x 月+ r + 那么对v u p ，由j e n s e n 不等式及o s k ( x ，y ) s l ，可推出 a u ( x ) f k ( ) ( 2 万2 “( y ) 一声) 咖 2 万2f 七( w 砂一声 于是，对v “村，由s i i l 万x = 万2 f 七o ，y ) s i n ，r 劝可推得 f s i n 雕“o ) 出。f s i n 删( 彳”( x ) + 五s i n 嬲) 出 f5 i n 嬲( 爿材) o ) 出 f s i n 硝( 2 开2f 七y 如砂一皿 2 ，r 2ff l j ( 工，y ) s i n 丌x “( _ y ) 蚴 = 2 f s i n 刀u ( y ) d y 一卢 所以 f s i n 石x u ( x ) d x 冬。 由 彳的定义及引理知肼有界。 若5 ) 成立时，存在口，p ， 0 ，使得： ，0 ，“，v ) q 矿一声，白，v ) 0 ，1 】x r + 月+ ， ( g ( x ，“) ) 户呈苎二v ，( 工，v ) o ，1 足+ ； 那么对v u p ，由j s 不等式并注意p e o ，1 j ，及o k ( x ，y ) 1 ，可推出 a u ( x ) 睇f 七( z ，力( 叫j i i ：= _ l i i ；：；i i ；：而方一 口f 七( z ，) ( fj j ，j ) g ( 删( s ) ) ) 9 痧书 口ff 七( x ，y ) 七( y ，j ) g o ，“( j ) 广( 卿一 2 万4ff 七( 训) 七( ”) “( j ) 庙咖一口 其中 e = e f y + 8 o 重复3 ) 的证明过程可得 f s i n 丌糊( x ) 凼e 由l 彳的定义及引理知且f 有界。 若6 ) 成立时，存在岱，卢，y o ，使得： f ( x ，u ，v ) 呈! p ，一6 ，o ，【o ，1 】。五+ 。r + 口 ( g ( 工，甜) ) 9 a “一y ，( 工，“) o ，1 五+ ： 重复5 ) 的证明过程司得出肘有界。 综上所述，当条件( q ) 中任一个成立时， f 有界。 于是存在g 充分大，g 0 ，使得 “( x ) 爿“( 芏) + 五s i n 刀x ，v “a n p ，五o 由引理2 1 2 可得： f ( 爿，n 尸，p ) = o ( 2 6 ) 下面证明若( 马) 中任一条件满足，都有悄u | f o ，使得 g ( z ，“) 丑甜，( x ，甜) o ，1 】【o ，f 】 另取占满足： l i m s u d z 壁型史2 s ；三一 p 斗o p1 + 五2 则存在o 占 f ，使得p 巧时，确 厂o v ) 印= 占汀，p 爿，v ) 0 1 x o ，司“o 纠 对v “硼p ，有 ( a ”) ) 占f 女o ，y ) 国o ) ) 2 + ( f 七c y ，s ) g o ，“ ) ) 幽) 2 妙 s f 膏( 石，力( 盯) ) 2 + 彳2 ( f 七( 弘j 弦o ) 蠡) 2 方 蔓占正虿 所以 怕“忙s 1 + 五2 ，e 船。n j d 若2 ) 成立时，令，= s u p 墨幽1 0 ，“) 【o ，1 f o ，1 ) o ，使o f 。，捌必存在万( o ，i ) ，使得： g ( x ，u ) s y u ， ( x ，u ) o ，1 j x o ，占 ， f ( x ，u ) 占u 9 v 1 叩，( x ，u ，v ) o ，1 o ，占j ：o ，占j ： 则对v u b j n p ，有 ( a “) 。) 占f 女o ，y ) c y ) ) 一( f i ，s 培( s ，“o ) ) 办) 1 方 ss f 意( 五，) ( 越( y ) 广( ，f 七( 只j 扭) 西) 1 ”矽 s 8 y 押矧 所以 f 陋掰| f c 7 扣 泌牡r a 酴n p 若3 ) 成蛳令y = s u p 等v ) 【o ，1 m 1 x 【o ，1 ) 0 ，使0 ( f 卜。 1 y ，则存在占( o 。1 ) ，使得。 0 ，1 ) 川“9 ， ( x ，u ，v ) 乍：0 ，1 0 ，占 ：o ，规 g ( x ，u ) 蔓s u ， ( x ，u ) o ；1 1 0 ，占 ； 则对可“酮p ，有 ( 4 “) 伍) y f 后o ，y ) ( y ) r ( f 后 ，j 涫o ，“ ) ) 出) 1 v 咖 y f 七( t y ) ( ”( y 矿( s f ( y ，j ) “( j ) 出) 1 一一咖 y f 脚 所以 忙“忙，s 。9 ，讹e 船，n j p 若4 ) 成立时，取s = 昙，则存在占( o ，1 ) ，使得： ，缸，v ) s 知，。c ，v ) o ，1 o ，j 】 o ，j 则对v “_ n ，有 ( a u ) ( x ) 寻f k ( x ，y ) u ( y ) d y 丢i “i l 所以 脚0 s 寺 e 砚n p 若5 ) 成斌令脚u p 拶胁) o ，1 【o j l 】) 0 ，使0 s 1 矿，刚存在j ( 0 ，1 ) ，使得。 ，( 石，“，v ) 外，( z ，“，v ) f 0 ，1 】【o ，d 【o ，占 ， g ( x ，“) s 牡，( x ，“) o 工】 0 ，d ； 则对v u i n 只有： o “) o ) sf o ，y ) ( f 七( y ，s ) g o ，h o ) ) 出) p c 抄 s f 七( x ，y ) ( ，f 七( 儿s ) ( “( s ) ) 1 扫凼) p 咖 s 矿占 所以 牡“忙矿f 圳 ，讹秘。n 尸 若6 ) 成巍令脚u p 芦笋m ，v ) 【o ，1 【o ，i ( o 1 】) 0 ，使o 矿 1 y ，则存在占( o ，1 ) ，使得： ( 石，“，v ) s v ，( z ，“，v ) 【o ，1 【o ，占】【o ，j ， 占 ，“) 翱妇，0 ，“) 【0 ，i j x o ，川； 则对v u 瓦n 只有： “) ) y f 女 ，y ) ( f 七( y ，j ) g o ，“o ) ) 出广方 ，f 女( e _ y ) p f ，s ) ( “( j ) ) 1 ”西) 方 s ，圳“| | 由此推得： 忙“忙，矿 ，讹e 船。n p 综上所述，当条件( h z ) 中任一一个成立时，都有忙“| | o ，使得 忙“| | g 时，有 j i ：了i ；( | | “| | 2 + ( 口| | “i 巾+ ) 2 y ”+ ， ；i “l | 怕| | | 协髋n p 。 若2 ) 威立时，存在正常数口，卢，使得： 厂0 ，v ) 倒9 + ，伍刘，v ) o ，1 月+ r + 于是，对v “p ，由o 七( 工，y ) 1 ，我们有 口“) ) gf _ j o ，y ) o p ) y 方+ p 酬“l ，+ 因为o g 时，有 却卜协扣j 从而可得： 忙“ o ，使褥： ，v “睨n 户。 若5 ) 成立时，存在正常数口，层，p ，使得： 厂0 爿，v ) 倒9 + ，0 剐，v ) o ，1 月+ r ， g ( x ，“) 川+ e ，( 工，“) 【o ，1 】矗+ ； 于是对v “只由0 七0 ，y ) 1 ，我们有 叫“) ) 口f i o ，y ) o ( y ) ) p ( f 七c y ，j 涫o ，“o ) ) 出y 印+ p 口f 七( 工，y ) ( “( y ) 广( f 七( y s ) ( 刖( j ) + f ) 舔y 咖+ 口眦( y + p ) 9 + 因为o p + g g 时，有 口( ，+ e ) 9 + 芦 g 时，有 删r ( 去+ 厂) 1 + 种j o ，使得： 州| c ，v “s 强n r 若8 ) 成立时，存在正常数g ，芦，弘e ，使得： f ( x ，u ，v ) 蔓d u 9 v + 卢，( x ，“，v ) o ，1 五+ r + ， g ( z ，“) y 计9 + f ，( x ，“) e o ，1 】x 胄+ ； 二于是对v “，由u 七( 工，y ) l ，我们有 “) o ) 口f j o ，y ) o ) ) 9f 七抄，s ) 占o ，”o ) ) 凼痧+ 声 s 货f ( t 力( ”( 力y ( f k ( 弘d ( 。( “( s ) y + e ) 出) 咖+ 卢 s 口i l “( y 陋i + e ) + 因为o g 时，有 口9 ( ，娜十e ) + 寺f j “j | 从而可得： | a u | i o ，使得 ，v “e 璐n r 由引理2 1 3 可得 i ( a ，b g n 尸，尸) = l 。 ( 2 8 ) 下面证若( 日。) 中任一条件满足，都存在相应的线性映射l ：尸斗p ，使得 4 “l “，妇a 日d n 尸，且工”。“。( 其中u 。( x ) = s i n 嬲j p 目 ) 。 事实上，若1 ) 成立时存在常数9 2 万2 和充分小的，7 ( 0 o ，使得 ，。f ，v ) 口 2 - w2 尸舱，臼一，) 【0 ，1 o ，即 o ，玎 ， ( g ( x ，“) ) ! ! 一“，( x ，“) 【o ，1 】【o ，吁 ； 于是对v “e a 岛n p ，x 【o ，1 ，并利用j e m 不等式可得 ( 爿“) o ) 口f ，少) ( ) ) 2 + ( f 膏( y ，j 培o ，“o ) r ) 2 ) 7 协 口f _ j ( 五y ) ( f 七( _ y ，j ) g o ，“( s ) ) 出广方 af 七( w ) ( f ( 露( ”矿( g ( 刚( s ) ) ) p 凼协 万4f f ( w ) 后( ，s ) ”( j ) 蛐 = ( l ： ) ( x ) 其中岛：p p 是由( l ) ( x ) = 万4ff 七( x ，y ) 七( 弘j ) ”o ) 西方定义的线性映射a 利用七( 五y ) = 七( y ，z ) 和s i n 刀x = 石2f ( x ，y ) s i n 万磅可得： ( 岛) ( z ) = 芹4ff 七( t y ) 七( ”) s i n ，r s 出方。s i n 石x 。u 。( x ) 。 若3 ) 成立时，重复2 ) 的证明过程可得： 存在充分小的彳 o ，使得对v “a 岛n p ，z o ，1 ，有 ( 爿”) 0 ) 犯2 “) 0 ) ，且( 上2 “。) 0 ) 2 s i n 万x 2 u 。0 ) 。 若4 ) 成立时，重复1 ) 的证明过程可得： 存在充分小的即 o ，使得对v “峨n p