（运筹学与控制论专业论文）（aΓ）小波的存在性问题.pdf

摘要 小波分析是除了f o u r i e r 分析和g a b o r 分析以外一种新的时频分析工具。它被应 用在信号处理、图像处理以及许多其他领域。小波分析的一个基本问题是什么样 的( a ，r ) 对，使得存在单函数( a ，r ) 小波。 1 我们填补了i o n a s c ua n dy a n gw a n g 关于单函数小波存在性问题在二维情形 论证中的漏洞。 2 我们给出了一些新的非扩展矩阵a 和一些满秩格r ，使得存在单函 数( a ，r ) 小波。 关键词：扩展矩阵、格、( a ，r ) 小波 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si san e wt o o lo ft i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sb e s i d e sf o u d e ra n a l - y s i sa n dg a b o ra n a l y s i s i th a sb e e na p p l i e di ns i g n a lp r o c e s s i n g ，i m a g ep r o c e s s i n g a n dn u m e r i c a la n a l y s i s ab a s i cp r o b l e mi sw h i c hp a i r so f ( a ，r ) e x i s tw a v e l e t s ， e s p e c i a l l yt h o s ew h i c h 盯ee x t r e m e l yu s e f u l i np r a c t i c a l 印p l i c a t i o i l s 1 w bh a f i l l e dag a pu s i n gt h et e c h n i q u e se m p l o y e db ys p e e g l e ，i ni o n a s c u a n dy a n gw a n g sp r o o fi nt h ep a p e rc o n c e r n i n gt h ee ) ( i s t e n c eo fs i n g l ef h n c t i o n w a e l e t s ，a n ds e t t l e dt h eq u e s t i o ni n 佃一d i m e n s i o n a lc a s e 2 w e 百v es o m en e wn o n - e x p a 璐i v em a t r i c e saa n d s o m el a t t i c e srs u c ht h a t ( a ，r ) s i n g l ef u n c t i o nw a v e l e t se x i s t k e yw o r d s ：e x p a n s i v em a t r 没，l a t t i e e ，( a ，r ) w 暑l v e l e t s 1 1 1 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表 或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作 了明确说明并表示谢意。 作者签名： 稗眺衅 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 保密的学位论文在解密后适用本规定。 讹做储鹕：噼 刷磴钰 日期：日期： 第一章概述 小波分析足继f 0 u r i e r 分析和g a b o r 分析之后的一种新的时频分析工具。它是 在f o u r i e r 分析的基础上发展起来的，但小波分析与f o u r i e r 分析存在极大的不同。 作为时间频率分析方法，小波分析比f o u r i e r 分析有着许多本质性的进步。它具有 多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，因而能 有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度 细化分析，解决了f 0 u r i e r 分析不能解决的许多困难问题，所以被誉为分析信号的 显微镜。 小波分析是2 0 世纪8 0 年代后期形成的一个新兴的数学分支。它的发展历史最早 可以追溯到2 0 世纪初。1 9 1 0 年，h 跏构造了紧支撑的正交函数系一h 撇函数系， 后来这就被人们当作是规范正交小波基思想的起源。人们真正研究小波是在8 0 年 代。1 9 8 4 年，m o r l e t 和g r o s s m a n 首次提出了小波的概念，给出了按一个确定函 数妒的伸缩平移系展开函数的新方法和进行信号表示的新思想。随后，m e ”r 构造 出了具有一定衰减性质的光滑小波函数。1 9 8 6 年， ，n f f n 删提出了多分辨率分析 的理论框架，为小波基的构造提出了一般的途径。多分辨率分析的思想足小波的 核心，它足理论与应用的结晶。至此，小波分析才真正成为一门学科。之后，人 们构造出了大量的小波。其中比较引人注目的是d o u 6 e c 耽e s 【3 】在1 9 8 8 年构造的一 类具有紧支撑的有限光滑正交小波函数，该小波得到了非常广泛的应用。 目前，小波分析的理论和应用都得到了快速的发展。它在图象图形处理，通信 技术，地震勘测，生物医学，机械震动，计算机视觉等领域都有很好和广泛的应 用。小波分析是目前国际上公认的信号信息获取与处理领域的高新技术，是信号 处理的前言课题，是多学科关注的热点。 小波分析的一个基本问题是怎样的( a ，r ) 对，存在单函数( a ，r ) 小波。下面我们 将简单的介绍一下这方面的进展情况。 箢一章概述 1 1基本概念及已有结果 首先介绍一下一维的小波。 定义1 1 1 ：设函数妒l 2 ( r ) ，如果 1 【2 妒( 2 j z z ) ：歹，z z ) 构成l 2 ( r ) 的标准正交基，那么称砂为正交小波，其中2 被称作放缩因子。 在一维情况下，我们也可以一般地讨论放缩因子为q 的小波。在文献【1 】中d a l i ，l a r s o n 证明了当放缩因子口 1 时，都是存在正交小波的。在文献【2 】中，c h u i ，s h i 进 一步指出当放缩因子口 1 为无理数，满足对任意的正整数7 ，都有为无理数 时，此时存在的正交小波不具有很好的时频局部特性。从定义可知，在一维情况 下我们考虑的足l 2 ( r ) _ l 2 ( r ) 的两种变换，即放缩变换和平移变换： d ：，_ 厨( 2 ) ，于：，_ ，( 一1 ) 在高维情况下，类似地我们进一步可以考虑放缩因子a 为礼阶可逆实矩阵的情形， 而平移变换可以进一步考虑r n 的可数子集r = u 矛的情形。因此在定义l 2 ( r n ) 中 的小波之前，先给出格的概念： 定义1 1 2 ：设1 ，耽，所是舻中线性无关的向量，如果有r = ：1 吼魄，毗 z ，则称r n 中的子集r 为格。若存在n 阶可逆实矩阵u ，使得r = u 劢，则 称r 为舯的满秩格。设rcr n 是一个格，如果r 7 = z r “i 即z ， r ，那么称r 7 为r 的对偶格。 如果1 ，地，是r n 中线性无关的向量，r = 【：1q t ，口i z 】- ，那么上述 的= h ，忱，】a 对于满秩格r ，都存在有界的集合f ，满足u 1 r f + ，y = r n 。另外对于对偶格r 7 ，特别地当r = 刀时，我们有r = 乃。注：在后面的叙述 中，r = ：1o 耽，口 z ) 都记为r = 5 p n 礼z l ，忱，耽) 。 定义1 1 3 ：设a 是n 阶可逆实矩阵，r 为腿n 的满秩格，记皿= 矽1 ，砂) c l 2 ( r n ) ，如果 j 如z a i 2 扩( 以j z + 7 ) ：i = 1 ，歹z ，7 r 】构成厶2 ( r n ) 的标 准正交基，那么称皿为多函数( a ，r ) 小波。当= 1 时，皿只包含一个函数矽，如 第一章概述 果 i d e a l 2 妒( z + ，y ) ：j z ，7 r ) 足l 2 ( r n ) 的标准正交基，那么称妒为单函 数( a ，r ) 小波。 在很长时间内人们对于高维情形下是否存在单函数小波持怀疑态度。后来在 文献【8 】中d a i ，l a r s o n ，s p e e g l e 论证了这种小波的存在性。他们证明了当放缩因 子a 为任意扩展矩阵，r 为任意满秩格时，都存在单函数( a ，r ) 小波。此外高维情 形下的小波存在性问题在文献 6 】，【1 3 】，【1 4 】都有提及。 定义1 1 4 ：设矩阵a 是n 阶可逆实矩阵，如果矩阵特征值的模都大于1 ，那么 称a 是扩展矩阵。 经研究发现，对于某些扩展矩阵a 所构造出的小波有很好的光滑性，这在应用 方面是非常有用的。然而人们对于非扩展矩阵是否存在小波还是未知的。后来在 文献【1 2 】中s p e e g l e 指出了对于某些非扩展矩阵以以及特定的满秩格r ，也足存在单 函数( 4 ，r ) 小波的，具体结果将在后面给出。此外郭凤城推广了s p e e 9 1 e 的结论， 刻画了一些新的非扩展矩阵，使得存在单函数( a ，z n ) 小波，其结果也将在后面给 出。在文献 1 6 】中i o n a s c u 和y a n gw 抽g 似乎解决了二维所有的情形，但由于在论 证中存在漏洞，因此本文将填补二维情形论证中的漏洞，这也足本文的重要成 果。另外本文在他们三人的基础上，又刻画了一些新的放缩矩阵a 和满秩格r ，当 满足一定条件时使得存在单函数( a ，r ) 小波。注：以下本文中的( a ，r ) 小波都是单 函数( a ，r ) 小波。 定义1 1 5 ：傅立叶变换是一个l 2 ( r ) _ l 2 ( r ) 的连续双射，当，l 1 ( 瓞“) n l 2 ( r ”) 时，傅立叶变换为 ，( ) = ，( z ) e 一2 矾 出 ，r n 一般构造的小波其实足m s f 小波，即小波的选取满足i 矽i = ) ( e 。通常情况 下，m s f 小波定义如下： 定义1 1 6 ：若函数矽l 2 ( 融) 足( a ，r ) 小波，且存在可测集ec 舯，使得= ) ( e ，其中) ( e 为r ”中可测子集e 的示性函数，那么我们称矽是( a ，r ) 最小频率支撑 第一章概述 小波，即( a ，r ) m s f 小波。此时的可测子集e 称为( a ，r ) 小波集。 在文献【8 】，【9 】中，已对m s f 小波的性质进行了研究。在文献【1 0 】中，m b o w n i c 已经证明了当对任意的非零整数j ，都满足( 舻) n 矛= o 时，若存在( a ，即) 小 波则只能是( a ，z n ) 最小频率支撑小波。另外在文献【1 4 】中，x i 酬i a n gy u 进一步 推广了文献 8 】中的结论，指出若a 是礼阶扩展矩阵，则存在有界的( a ，矛) 小波 集。到目前为止( a ，r ) 小波存在性证明一般都是通过构造小波函数来完成的。由 于m s f 小波的结构较为简单，因此研究者们通常首先考虑m s f 小波的构造。文 献【1 1 】中y a n gw r a n g 给出了( a ，r ) m s f 小波的刻画： 引理1 1 7 【1 1 】：设a 是礼阶可逆实矩阵，r 是r ”的满秩格，e 是舭的可测子集， 若矽l 2 ( r n ) 且i 妒i = x e ，那么矽是小波当且仅当 u z ( ) 驰) = r n u 1 r ，e + 7 5r n 其中，u 代表集合的不交并，a 丁是a 的转置，r 7 是r 的对偶格。 有了这个充要条件，于是( a ，r ) m s f 小波的存在性就转化为满足以上两个条件 可测子集e 的存在性，即小波集的存在性。这是本文证明的主要思想。 下面这个引理是郭凤城文章中一个重要的命题，为小波集的构造做了重要铺 垫。从文献 1 1 】中y a n gw a n g 对( a ，r ) m s f 小波的刻画知，构造小波集只要满足上 面两条即可。而当r = 即时，下面的引理又告诉我们，满足上面两条，只需找到 这样的，使得满足u 七z ( 1 t ) 七( ) = r n ，u 1 弘u + 7cr “即可。另外更重要的 是，本文将对以下引理中采用的整点格邪进一步推广到任意的满秩格r 。 引理1 1 8 17 】：设4 足n 阶实矩阵， 展矩阵，月1 ，4 2 的阶分别足几1 ，n 2 ， a = ( 三1 三) ，i d e t c a ，l 1 ，a 是n 阶扩 尬是有界的( 1 1 ，矛- ) 小波集。如果有时的可测 子集ucu 七一1 ( 4 ) ( m 1 ) r 肋，满足u 七z ( a r ) 七( u ) = r n ，u ，y 加+ 一ycr “， 那么存在r ”的可测子集，满足u 1 z 。w + 7 = r ”，u 知z ( a t ) 南( w ) = r n 。 下面这三个引理足本文定理证明的重要铺挚，在介绍之前先来定义两个 第一章概述 映射1 - 和d 。设a 为n 阶可逆实矩阵，r 为r n 的任意满秩格，设集合以g 为r n 的可 测子集，满足u 知z a 七( ) = r n ，u r r g + ，y = 舭。由于对任意的z r ”， 都有唯一的也r 与之对应，使得满足7 ( z ) = z + 也g ，因此我们可以 定义7 - ：r n _ g ，使得对任意的z r n ，7 ( z ) = z + g 。又由于对任意 的z r n ，都有唯一的m z z 与之对应，使得满足d ( z ) = a 仇z z u ，因此我们 又可以定义d ：r n u ，使得对任意的z r n ，d ( z ) = a m z z u 。最后介绍一下 对称差的定义：对于两个集合a ，b ，a b 全( aub ) ( anb ) 。 引理1 1 9 1 7 】：设a 为n 阶可逆实矩阵，r 为r n 的任意满秩格，若r n 中的可测子 集以g ，满足u j c z 小( u ) = r 他，u ，r g + ，y = 舻，r 和d 如上所定义，w 是胀中 的可测子集，则： ( 1 ) u ，r w + ，yc 础兮7 - l 是单射。 ( 2 ) u 知z a 南( w ) cr ”d l w 是单射。 引理1 1 1 0 【17 】：设a 为n 阶可逆实矩阵，r 为r ”的任意满秩格，若r n 中的可测子 集以g ，满足u 詹z a 七( ) = 碾n ，u ，r g + 7 = r “，7 - 和d 如上所定义，是r n 中 的可测子集，则： ( 1 ) 若露( ) = 且d l w 是单射，则u z ( 彤) = r n 。 ( 2 ) 若7 - ( ) = g 且7 1 w 足单射，则u ，r w + 7 = r n 。 引理1 1 1 1 1 2 】设a 为n 阶可逆实矩阵，r 为黔的任意满秩格， 玩) 足r “中可测 子集的序列，e 足r ”的可测子集满足i 玩e i o ，则： ( 1 ) 如果u 1 r 既+ ，ycr n ，那么u ，y r e + ，ycr “。 ( 2 ) 如果u j z ( e n ) cr n ，那么u z ( e ) cr n 。 由于在前人的结果中平移变换有的采用任意格，有的采用整点格驴，有的采 用某个特定格，不统一，因此运用以下这个引理可以把平移变换全部翻译成整点 格办，这样就可以把前人的结果和本文的结果是否彼此交差或重叠看清楚。 引理1 1 1 2 1 2 】：设a ，是n 阶可逆实矩阵，r 是r n 的任意满秩格，若存在r n 的可 第一章概述 测子集e ，满足 u j z ( e ) = u ，r e + ，y = r n 那么存在r “中的可测子集f ，使得 u z ( 纱以。1 ) ( f ) = r n u 1 u r f + ，y = r n 下面两个引理是文献【1 6 】中i o n a s c u 和y a n gw a n g 的两个结论，他们用引 理1 1 1 3 似乎“解决了二维的所有情况一。由于引理1 1 1 3 的论证运用了引 理1 1 1 4 ，而引理1 1 1 4 中的论证存在漏洞( 至于具体什么漏洞将在第三章第二节 中说明清楚) ，因此在解决二维情形时由引理1 1 1 3 得出的结论都存在问题。 引理1 1 1 3 【1 6 】：设a 是凡阶实矩阵，i 如( 月) i 1 ，r 是p 的任意满秩格，如果 对r 竹的任意有界集s ，有无限多个n n ，满足u 1 r a n s + 7cr “，那么存 在瞅的可测子集，使得u 七z a 七( ) = r “，u 1 r + ，y = 。 引理1 1 1 4 【1 6 】设a 是n 阶可逆实矩阵，i d e ( a ) i 1 ，r 是的任意满秩格，如 果存在p 的有界集s ，满足u 1 r s + 7cr n ，u 七z a 屉( s ) = r n ，那么存在r n 的可 测子集，使得u 七z a 七( ) = r n ，u ，r i 矿+ 7 = r n 。 本文将采用引理1 1 1 5 中s p e e g l e 的论证方法，证明引理1 1 1 3 中当a ：f ao o a 2 a l 是扩展矩阵的情形。而此时的结论已经足以填补i o n a s c u 和y a n gw a n g 在论证二 维情形中的漏洞。 引理1 1 1 5 【1 2 ： 形rcr 2 ，如果 兰) ，l n 6 l l ，r 为r 2 的任意满秩格，对任意的矩 当一 1 ，其中a 1 是扩展 o月2 矩阵，a 1 ，a 2 的阶是n l ，n 2 ，r 是融的任意满秩格。如果对船的任意有界集s ，有 无限多个m n 满足u 1 r ( 4 t ) 一m s + 7cr n ，那么存在r n 的可测子集，满 足u 挺z ( a t ) 七( ) = r n ，u 1 r + ，y = r n 。 定理3 3 1 ：设a 是三阶实矩阵，a ：f ao 1 ，i 如( a ) i 1 ，其中a l 是扩展 oa 2 矩阵，a 1 ，a 2 的阶是扎l ，他2 。如果a r 的特征值有l a l i i 入2 l l a 3 i = 1 ，且满足a 3 没 有有理的特征向量，那么存在( a ，z 3 ) 小波。 定理3 3 2 ：设a 是三阶实矩阵，a 1 l 入2 i i 入3 i ，r = 5 p o n z ( 、乞，o 波。 o o 、 i a 2 o i ， l q h 1 ，1 ，0 ) t ，( o ，0 d e ( a ) i 1 ，其中l 入1 i ，1 ) r ) ，勇5 么存在( a ，r ) j 、 0 o 卜，一r，、l ， = 一 第二章结论比较 因为s p e e g l e ，郭风城和本文的一些结果采用的不是统一的平移格，所以这些 结果是否彼此覆盖或是相互交叉难以判别。因此在本芎将根据引理1 1 1 2 把已有的 一些结果转化成统一的整点格舻，这样就可以把这些结果作个清晰的比较。 2 1 结论比较 式给出。其中引理2 1 2 和引理2 1 3 是s p e e g l e 的结果，引理2 1 1 是郭凤城的结果。 引理2 1 1 7 】：设a 是n 阶实矩阵，a = ( 吉三) 或a = ( a 。：a 22 ) ( 麓卜= ( ：二兰2 乏二黔黼搬 矩阵，a z 是孔2 阶行列式不为零的幂等阵，a 3 是任意礼1 n 2 阶矩阵，则都存 在( a ，弘) 小波。 引理2 工2 【1 2 】：设肛( 三二卜i 列，r 加2 的任意满秩格棚i j 存在( 引理2 1 3 【1 2 】设a = 1 ) t ) ，z 为任意无理数， o i l 1 6 i ，1 0 6 i 1 ，r = s p n n z ( 1 ，o ) t ，( z ， ，r 7 ) 小波。 由于郭凤城的结果已经是( a ，舻) 小波，因此现将s p e e g l e 的两个结果翻译 成( a ，舻) 小波。引理2 1 2 中r = u z 2 是r 2 的任意满秩格，于是有u 一1 r = z 2 。又 由于当特征值满足i a l i i a 2 l = 1 时，任意二维矩阵a 都可对角化，即存在一个满 秩矩阵u ，满足【，- 1 a u = ( ：三) ， 引理2 1 4 ：设a 为任意二阶实矩阵， 因此引理2 1 2 即等价于引理2 1 4 ： 其特征值满足i a lj i 入2 l = 1 ，则存 ， 4 、l0 0 6 在 口 。席 贝 第二章结论比较 在( a ，z 2 ) 小波。 接下来把引理2 1 3 翻译成( a ，舻) 小波。 9 引理2 1 5 ：设a = ( n z 二缸兰) ，川 1 j 6 | ，j 。6 j 1 ，z 为任意无理数， 则存在( a ，z 2 ) 小波。 证明：因为r = s p 口n z t c l ，。，c z ，1 ，所以u = ( 三：) ，由引理1 工1 2 可 得，z 2 = u _ 1 r 。而- 1 = ( 三了) ，因此有 妙一1 a = u 一1 ( 三：) = ( 三口z ：6 正) = ( 凹二6 z 兰) 2 引理2 1 6 ：设a = ( 击：击墨三) ，i d e t c a ，l - ，l a t i 1 i 入。i i a 。i ， 证明：因为r = s p 。几z t c互，。，。，t，cl，1，。，t，c。，。，1，t，所以v=(、孑j1；)， 第二章结论比较 由引理，工- 2 可得，z s = 1 r 。而- 1 = ( 毒耄三) ，因此有u - 1 a 【，= u 一，( 专1 ；1 三) ：( 言携吾击三) ：( 携：击墨三) t 第三章定理的证明 本文主要是在s p e e g e l ，i o n a s c u 和、r a n gw a n g ，郭凤城的基础上做的新研究。 本章第一节是本文主要定理的论证部分，其中定理3 1 4 是本文的重要定理，它 是解决我们所提出问题的关键，而定理3 1 1 ，3 1 2 ，3 1 3 都是导出定理3 1 4 的重 要步骤。本章第二节将讨论二维情形，也是本文的重要成果，将用定理3 1 4 填 补i o n a s c u 和、r a n gw a n g 在解决二维情形时的漏洞。本章第三节将刻画一些新的非 扩展矩阵a 和满秩格r ，使得存在单函数( a ，r ) 小波。 3 1 主要定理的论证 定理3 1 1 ：设a 是n 阶实矩阵，a ：f ao 1 ，i d e ( a ) i 1 ，其中a 1 是 oa 2 扩展矩阵，a 1 ，a 2 的阶是仡l ，n 2 ，五是有界的( a 1 ，z n ) 小波集，r 是瞅的任意满秩 格。如果对r n 的任意有界集s ，有无限多个仇n 满足u 1 r ( a t ) 一m s + 1cr “， 那么存在r n 的可测子集cu k l ( a ) 七( n ) r 砌，满足u 七z ( a t ) 七( ) = r n ，u r r w + 7c r “。 证明：设d ：= 五r ”，那么u 七z ( a 丁) 七( d ) = r n 。由于对任意的z r n ，都 有唯一的m z 与之对应，满足( a t ) m z d ，因此我们可以定义映射d ，对任意 的z r ”，有d ( z ) = ( 4 t ) m 2 d 。设与r 相对应的一个基域为f ，即有u ，r f + 7 = r n 。同理我们可以定义映射7 - ，对任意的z 融，有7 - ( z ) = z + 匕f 。 由引理1 1 9 知，定理假设的条件就等价于：对时的任意有界集s ，有无限多 个m n ，满足7 - h t ) _ 。s 是单射。 令= 五 铊，纯】m ，n l 。令n 1 = 1 ，选取m 1 满足丁h 7 ) 一m ，阮足单射， i ( a t ) 一m - 仉i n l 。现在假设已经选取了n 1 ，n 七一l 和m 1 ，m k l ，那么我们 取n 七 世三上；掣，然后取m 老满足7 - j ( a ? ) 一。阮足单射，l ( a 丁) 一m t 巩i 强七。对 于这样的m j ，q ，我们有 螋等型 等力 2 j 第三章定理的证明 刍警 11 西而哩掣 刍吾刍几。 因此我们可以得到下面证明中需要用到的的两个结论： 码 j掣，1 i 歹 刃 一一。 a 0o o 码 j = kj = k i ( i 丁) 一唧一一l l ( a t ) 一巩一l i = 一 2 七一1 1 2 现在我们来定义圪。令h = ( a t ) 一m - 阢，= ( a t ) 一m 。，如= 7 一1 ( 丁( ) n 7 一( ) ) n ，再令= ( a t ) 一m 。( 仉) u ( a t ) 一m z ( ( f ( 如) ) u ( 如) 。若z 如， 则z 且丁( z ) 7 一( k ) n7 一( 吃) ，因此ij f 2 i = i7 - ( j 2 ) i 1 7 ( ) nr ( ) i l7 - ( ) i = l l 佗2 ，即l ，2 i i i n 2 。 一般地设： 以= ( a t ) 一- 仉 氏= 下1 ( 下( k 一1 ) n7 - ( 以) ) nk 一1 k = ( a t ) 一m t ( 仉魄一1 ) u ( a t ) 一m * ( d ( 厶) ) u ( k 一。厶) 同理有 厶i f f 祝七。接下来我们将证明圪有以下四个事实。 结论1 ：d ( 饩) = 仉和( f i k 是单射。事实上( f ( k ) = ( 仉仉一1 ) u ( f ( j r 七) u ( f ( 圪一1 ) d ( 几) = ( 魄仉一1 ) u ( i ( k 一1 ) 。因为( f ( k ) = u 1 ，所以由递推得d ( 圪) = 仉。又因 为厶c 皈一1 ，( f ( 圪一1 ) = 巩一1 ，仉一1c 仉，所以d ( 几) cd ( k 一1 ) = 魄1c 魄，故 有d ( ) ，( 仉巩一1 ) ，d ( 圪一) d ( 几) 是彼此不交的，又由于d 在组成饩的三个部分上 都足单射，因此d i 也足单射。 结论2 ：7 i 足单射a ( 1 ) 当f = 1 时显然7 i 足单射。( 2 ) 假设当f = 惫一1 时7 - i 足 单射，则当f = 七时，由于氏ck 一1 ，d ( j 七) c 巩一1c 魄，因此7 - 在( 4 t ) 一m - ( 魄 牮 ：! 箢三章定理的证明 1 3 仉一) u ( a r ) m t ( d ( 厶) ) 是单射。接下来我们说明丁( 一1 厶) nr ( ( a r ) 一m t ( 魄 巩一1 ) u ( a t ) m - ( d ( 厶) ) ) = d 。因为d ( 厶) c 巩一- c 巩，所以7 _ ( ( a r ) 一m t ( 酞 巩一1 ) u ( a r ) m - ( d ( 厶) ) ) 7 - ( ( a t ) 一t ( 仉) ) = 7 _ ( ) 。因此要证明7 ( 圪一1 厶) n 下( ( a r ) 一m t ( 魄巩一1 ) u ( a r ) 一m - ( d ( ) ) ) = 0 ，只要证明下( 圪一1 厶) n7 - ( ) = o 即 可，而这又是显然的。这是因为厶= 丁1 ( 丁( 饩一1 ) n7 ( ) ) nk 一1 ，所以厶c 圪一1 ，7 ( 厶) = 7 一( k 一1 ) n7 ( ) ，故当然有7 一( k 一1 如) n 丁( ) = ( 7 - ( k 一1 丁( k ) ) n 丁( ) = d 则结论成立。因此当f = 七时d l 垤也是单射。故由归纳法得丁l 是单射。 结论3 ：i 皈坛一l l 3 死七。事实上，l 坛坛一1j i 厶i + i ( a r ) 一m - d ( k ) i + ( a t ) 一价t ( 巩巩一。) i i 厶i + i 以l + i i 3 n 七。 结论4 ：i n 芒z k i l i - 鲁l + 1n k 。我们先来证明n 罂f k ) ( u 是f + 1 ) 厶， 1 。设z ( u ；爿+ 1 厶) ，那么显然z m ，又因为zg 厶+ 1 ，所以z + lc + l ，故有n 函圪) ( u 函+ l 厶) a 这表明z n 函皈。因此有 故结论4 成立。 in 芒lk i i ( u 茫f + 。 ) i l l i 一i 厶 七= f + l r 一几七 膏= f + 1 现在继续我们的证明，由结论3 和 o 。现 取= y ，因此原命题成立。 口 定理3 1 2 ：设a 是n 阶可逆实矩阵，a = ( 吉三) ，其中a 是扩展矩阵，月，a z 的阶是n 1 ，n 2 ，n 足有界的( a 1 ，即) 小波集，r 是r n 的任意满秩格。那么当m 充分 大以后，存在r ”的可测子集c ( a ) ”( 乃) r m ，满足u 七z ( a t ) 七( ) cr ” ，u 1 r + 7 = 舯。 证明：设满秩格r = s 脚扎z u 1 ，l 一，】，作 ：1o t 虢h = o ，1 ，i 1 ，n ，这样就可以得到2 “个向量，即r “空问中菱形的2 n 个顶点。接下来先两 两作这2 拜个向量的差，然后再分别取这些向量在每一维上的最大值，记 为m 1 0 ，m 2 0 一，o 。令m = m n z 舰o ， ) ，因此有集合f = 1 【：1 屯 恢【0 ，1 】，i l ，咒) ，满足fcp 1 一m ，z l + m 】k 2 一m ，z 2 + m 】 k 。一m ，z n + m 】，使得 u 1 r 尸+ ，y = r n 其中方体的中心记为z = ( z 1 ，z 2 ，z n ) 。 由文献【8 】小波的构造知，五肯定有一内点，而当a 1 是扩展矩阵时，我们有这 样的事实：( a ) m ( 乃) 可以包含任意大小的方体。现在我们取m 充分大以后，满 足【剪1 2 m ，y 1 + 2 m 】一2 m ，沈+ 2 m 】。一2 m ，。+ 2 m 】c ( a ) 仇( 正) ，其 中( a ) m ( 乃) 内方体的中心记为y = ( 可。，沈，。) 。因此当m 充分大以后，取向 量口= ( 玑一z 1 ，可2 一z 2 ，一z 。) ，就有f + oc ( a ) m ( 丑) 瓞”。令= f + n ， 则有 u 何+ ，y = 舯 菊三章定理的证明 1 5 又由于c ( a ) m ( n ) r 抛，则显然有u 七z ( a t ) 凳( ) cr n 。 口 有了定理3 1 2 ，于是我们就可以把引理1 1 8 中郭风城采用的平移格驴进一步 推广到任意的满秩格r ，即有定理3 1 3 。由于这个定理只是在原论证上的小修 改，因此具体的论证将在附录里给出。 定理3 1 3 ：设a 是n 阶实矩阵，a = ( a 1 三) ，i 如t c a ，i 1 ，其中a 是m 阶 扩展矩阵，a 1 ，a 2 的阶分别是n 1 ，n 2 ，五是有界的( a 1 ，驴- ) 小波集，r 是f 的任意 满秩格。如果有鼢的可测子集ucu 七1 ( a ) 七( 兀) r ”，满足0 七z ( a t ) 七( u ) = p ，u 1 r v + 7c 舻，那么存在辩的可测子集，满足u 1 r w + 7 = r “，u 挺z ( a t ) 七( ) = 础。 由定理3 1 1 和定理3 1 3 即可推得： 定理3 1 4 ：设a 是孔阶实矩阵，r 足r n 的任意满秩格，a = ( 吉羔) ，l 如。c a ，l 1 ，其中1 1 足扩展矩阵，以1 ，1 2 的阶足 ，1 ，n 2 。如果对酞n 酌任意有募集s ，有无 限多个m n 满足u 1 r ( a ? ) 一仇s + ，yc 辩，那么存在舻的可测子集，满 足u 七z ( a t ) 七( w ) = r n ，u 1 r w + 7 = r n 。 3 2二维情况讨论 对于n 维可逆实矩阵a 来说，如果存在( a ，r ) 小波，那么一定存在( a ，r ) 小 波。因此不失一般性我们只需讨论i 如t ( a ) i 1 即可。在文献 1 5 】中l a r s o n ，s c h u l z ， t a 归r 已经得到： 引理3 2 1 1 5 】：若l 如( 1 ) l = 1 ，则不存在融的可测子集丁，满足u 七z 1 南( 丁) = r “，u z 。丁+ 7 = r n 。 小波存在性在二维情形下的完全解决一直足悬而未决的事，一直到文 献f 16 】中i o n a s c u 和y a n gw a n g 的文章的出现。下面足1 0 n a s c u 和y a n gw 抽g 的四个 第三章定理的证明 结果。 1 6 引理3 2 2 【1 6 】：设a 是2 2 阶实矩阵，其特征值满足i a l l i a 2 i = 1 ，如果a 2 没有 有理的特征向量，那么存在r 2 的可测子集，满足u 挺z a 七( w ) = r 2 ，u 1 z 。+ 一y = r 2 引理3 2 3 【1 6 】：设a 是2 2 阶实矩阵，其特征值满足l a l i i a 2 i = 1 ，如果a 2 有一个 有理的特征向量，那么存在r 2 的可测子集w ，满足u 七z a 七( w ) = r 2 ，u 1 z 。+ 一y = r 2 。 引理3 2 4 【1 6 】设a = 出n 9 ( 入1 ，入2 ) ，其特征值满足l 入1 i 1 i 入2 i ，l 入l 入2 i 1 。 设u = u l ，乱2 1 t ， = 【t ，1 ，u 2 】t ，r = 印口n z u ，秒) 为肽2 的任意满秩格，如果有u 1 口1 r q ，那么存在r 2 的可测子集，满足u 知z a ( ) = r 2 ，u 1 r + ，y = r 2 。 引理3 2 5 【1 6 】设a = 出口夕( a 1 ，a 2 ) ，其特征值满足i a l i 1 i 入2 i ，l 入l 入2 i 1 。 设u = 【u 1 ，u 2 】t ，u = p l ，现】t ，r = 印n n z 【让，u ) 为r 2 中的任意满秩格，如果有u 1 u 1 q ，那么不存在r 2 的可测子集，满足u k z a 七( ) = r 2 ，u 1 r w + 7 = r 2 。 由引理3 2 1 知，对于二维的非扩展矩阵就只剩下特征值满足i a l i i 入2 i = 1 和i a l i l i 入2 i ，l 入1 入2 i 1 这两种情形了。而对于这两种情形，总存在尸 g l ( 2 ，酞) ，满足p 一1 a p = 出口夕( 入1 a 2 ) ，这也是二维情形与三维以上的高维情形的 本质区别。因此在讨论这两种情形时，对于任意的二维实矩阵a ，讨论( a ，z 2 ) 小 波和对于a = 出n g ( a 1 ，a 2 ) ，任意的满秩格r ，讨论( a ，r ) 小波是一样的。因此由 上面五个引理知，i o n a s c u 和y a n gw a n g “解决了二维所有情形 。而对于前 人s p e e 9 1 e 而言，由引理2 1 1 和引理2 1 2 可知，s p e e g l e 讨论了二维中所有特征值满 足i a l l i a 2 i = 1 的情形和某一些特征值满足i a l l 1 l a 2 i ，i a l a 2 i 1 的情形。而 对于郭风城的结果，显然他的结论不是任意的可逆实矩阵。因此他们都没有完全 解决二维的所有情形。 在文献【1 6 1 中，引理3 2 2 和引理3 2 4 的论证运用了引理1 1 1 3 ，而引理1 1 1 3 在 论证中运用了引理1 1 1 4 ，而引理1 1 1 4 的论证难以保证所做集合的可测性，故 第三章定理的证明 1 7 而引理1 1 1 3 的结论也足存在问题的，因此i o n a s c u 和y a n g 、a n g 在解决二维情形 时存在漏洞。至于引理1 1 1 4 的漏洞具体的说就是出现在论证中运用s c h r o d e 卜 c a n t o 卜b e r n s t e i n 选择公理这一地方，而这一定理并不能保证集合形的可测性。 接下来为了说明这一问题，下面引用一段引理1 1 1 4 的证明：假设l d e ( 4 ) i 1 ， 由文献 1 5 】可以找到一个内点非空的集合岛cr n ，满足u k z a 七( 岛) = r ”。现在 令s = n & ，对于某个足够大的n ，当然有u 七z a 七( s + ) = 郧。因此存在一个f ， 满足f 矿，u 1 r f + 7 = r n a 又因为u ，y r s + ，yc 舻，所以存在一个p ，满 足s f 和u 1 r f + + 7 = r ”。 现在由于只f 都满足u 1 r f + 7 = r ”，u 7 r p + 7 = r n a 那么存在一个双 射j d ：f 一f ，满足p ( z ) = z + q ( z ) ，q ( z ) r 。因为s ，s 都满足u 七z a 七( s ) = r n ，u 七z a 七( 酽) = r 竹，所以7 ：扩_ s 也是个双射。令= p l s ，妒= 佰l f ，那 么咖：s 只矽：f s 都是一对一的。 由s c h r o d e r c a n t o r - b e r i l s t e i n 定理得，存在一个可测的双射 ：s f ，对于某 个e s 有如下的形式： ，l ( z ) ： ( z ) z e i 妒一1 ( z ) z s e 显然对于v z s ，都存在唯一的n ( z ) z 和唯一的q ( z ) r ，满足 ( z ) = 印( 。) z + ( z ) 。令w = a ”( 。) z ：z s ) ，显然有u 奄z a 2 ( ) = r n 。此外和f 可 以通过平移r 而重合，因此u 1 r w + 7 = r n a 接下来我们来填补二维论证中的漏洞，由于在引理3 2 2 和引理3 2 4 的论证 中运用了引理1 1 1 3 ，故有两处地方存在问题。而对于引理3 2 2 和引理3 2 3 而 言，由引理2 1 4 可得，这两个引理的结论总和就是文献 1 2 】中s p e e g i e 已经 讨论的引理2 1 2 的情形。而对于引理3 2 4 ，由于i o n a s c u 和y a n g 、v a n g 讨论的 是a = 出8 夕( a 1 ，a 2 ) ，而当a = 攻叼( a 1 ，a 2 ) 时，本文的定理3 1 4 已经足以填补引 理1 1 1 3 的漏洞，因此用本文的结果作相对应的修改，引理3 2 4 仍成立。至此二维 情形论证的漏洞得以完全填补。 第三章定理的证明 1 8 3 3 其他结论的论证 定理3 3 1 ：设a 是三阶实矩阵，a = ( 吉量) ，i d e c c a ，i 1 ，其中a 是 扩