（运筹学与控制论专业论文）基于cvar的有交易费用的投资组合问题.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 投资组合选择是现代金融理论的核心问题之一，它主要解决的问题就是如何把一 定数量的资金分配到不同的资产中，使得在小于某给定风险水平下最大化收益或者在 收益一定的情况下最小化风险另一方面，交易费用是实际的市场中比较常见的一种 摩擦因素交易费用对投资组合的影响是显著的，不考虑交易费用可能会导致无效的 投资组合，交易费用对投资组合份额的选择也有影响因此，本文考虑有交易费用的 情况下研究基于c v a r ( 条件风险价值) 的投资组合同题，取得的结果如下： 第2 章介绍了预备知识，主要是c v a r 的定义以及应用比较广的关于a ，a r 的定 理和性质 在第3 章中，在文献【4 0 】的基础上，考虑投资过程有交易费用的情况建立了带有 交易费用的均值一c 帆瓜模型，利用辅助函数将其转化为一个约束含有期望函数的随 机凸规划问题。并证明了转化后的问题和原来的问题是等价的当资产收益率是连续 型随机向量时，厢m o n t ec a r l o 方法将此随机凸规划转化为确定性凸规翅闻题，而且 用光滑化方法和线性化方法对模型中非光滑部分进行了处理，将模型转化为确定性非 线性规划问题和线性规划问题进行了数值试验，发现用线性化方法与光滑化方法相 比，得到的结果误差较小，但是它的规模会随着抽样次数的增多而变大，而且得出的 结果资产非零值很少，不能给投资者很好的参考结果数值试验也比较了没有交易费 用和交易费用逐渐增大时投资组合的结果，发现随着交易费用的增大，投资组合的收 益和资产份额都会有较大的提高 在第4 章中，建立了基于c v a r 的带有交易费用的投资组合模型，模型是单目标 的，在总的资本不变的约束下，考虑最小化风险和负利润的和当资产收益率是离散 型随机向量时，利用辅助函数和线性化技术将模型转化为线性二阶段有补偿问题，并 基于b e n d e r s 分解方法和l - s h a p e d 方法的思想求解此问题进行了两项数值试验：通 过改变交易费用分析了在这种模型下交易费用对投资组合的影响，资产份额和利润都 有了很大的改变；并给出了置信水平和风险的关系图 经过对上面两种不同模型的分析，发现交易费用对小规模投资组合的影响是显著 的，投资组合资产份额的选择和利润都有着很大的改变 关键词；投资组合；交易费用；条件风险价值；m o n t ec a r l o 模拟；二阶段有补偿随 机规划 基于c v a 凰的有交易费用的投资组合问题 p o r t f o l i op r o b l e m sw i t ht r a n s a c t i o nc o a t sb a s e do ncp a 冗 a b s t r a c t p o r t f o l i os e l e c t i o ni so n eo ft h ec r i t i c a lp r o b l e m so fm o d e r nf i n a n c et h e o r y t h em a i n p r o b l e mw h i c hp o r t f o l i os o l v e si sh o wt od i s t r i b u t es o m ea m o u n to fc a p i t a li n t od i f f e r e n t k i n d so fa s s e t st om a k es u r et h a tt h er e t u r ni st h em a x i m u mu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h e r i s ki sb e l o ws o m es c a l a ro rt h er i s ki st h em i n i m u mu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h er e t u r ni s g r e a t e rt h a nt h eg i v e nc o n s t a n t o nt h eo t h e rh a n d ，t r a n s a c t i o nc o s t sa r ep o p u l a rk i n d so f f r i c t i o n si nt h er e a lm a r k e t t h ee f f e c to ft r a n s a c t i o nc o s t st ot h ep o r t f o l i oo p t i m i z a t i o ni s d o m i n a n t i tw i l ll e a dt oi n v a l i dp o r t f o l i oi ft r a n s a c t i o nc o s t sa r en e g l e c t e da n dt r a n s a c t i o n c o s t sa l s oh a v ea g r e a te f f e c tt ot h ep o r t f o l i os e l e c t i o n t h i sp a p e rc o n s i d e r st r a n s a c t i o n c o s t si n t op o r t f o l i op r o b l e m sb a s e do nc v a r ( c o n d i t i o n a lv a l u ea tr i s k ) ，a n dg a i n sr e s u l t s a sf o n o w s ： i nc h a p t e r2 t h e r el i s t ss o m ep r o p a e d e u t i e sm o s t l ya b o u tt h ed e f i n i t i o no fc v 狃 a n ds o m eo fi t sc h a r a c t e r i s t i c sw i d e l yu s e d i nc h a p t e r3 ，t r a n s a c t i o nc o s t sa r ec o n s i d e r e di n t ot h ep r o c e s so fp o r t f o l i ob a s e do n t h ed o c u m e n t4 0a n dt h em e a n - c 眦m o d e lw i t ht r a n s a c t i o nc o s t si sc o n s t r u c t e d t h e m o d e li sc h a n g e di n t oas t o c h a s t i cc o n v e xp r o g r a m m i n gw i t he x p e c t e df i m c t i o ni nt h e c o n s t r a i n tb ya 3 1a u x i l i a r yf u n c t i o ns u b s t i t u t i n gf o rt h ec v a rf u n c t i o na n dt h ec h a n g e i sp r o v e dt ob ee q u i v a l e n tt ot h ef o r m a lp r o b l e m m e nt h er e t u r nv e c t o ro ft h ea s s e t s i sc o n t i n u o u s l yd i s t r i b u t e d m o n t ec a r l om e t h o di su s e dt oc h a n g et h es t o c h a s t i cp r o - g r a m m i n gi n t ot h ed e t e r m i n i s t i cp r o g r a m m i n g t h e nu s i n gt h es m o o t h i n gt e c h n i q u ea n d t h el i n e a r i t yt e c h n i q u et od e a lw i t ht h em o d a l sn o n - s m o o t hp a r t ，t h em o d e li st r a n s l a t e d i n t ot w op r o b l e m s ：t h en o n - l i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e ma n dt h el i n e a rp r o g r a m m i n g n u m e r i c a lt e s t sa r ep e r f o r m e da n dw ef i n dt h a tc o m p a r e dw i t ht h es m o o t h i n gm e t h o d t h ef i n e a r i t ym e t h o dh a st h ea d v a n t a g eo fs m a l le r r o rb u ta l s oh a sd i s a d v a n t a g e ss u c h a st h es c a l eo ft h el i n e a rp r o g r a m m i n gi n c r e a s e sw i t ht h es a m p l i n gn u m b e r ，t h en o n - z e r o n u m b e ro ft h ea s s e t si ss os m a l lt h a tc a n tg i v ee n o u g hi n f o r m a t i o nt ot h ei n v e s t o ra n d 8 0o n n u m e r i c a lt e s t s 幽c o m p a r et h er e s u l t sw h e nt h et r a n s a c t i o nc o s t sa r ef r o mz e r o t og r a d u a l l yi n c r e a s i n gv a l u ea n dd e m o n s t r a t et h a tt h es e l e c t i o n ，t h er e t u r na n dt h er i s k o ft h ep o r t f o l i om o d i f yal o ta f t e rt h et r a n s a c t i o nc o s t sa c ec o n t a i n e di nt h em o d e l i nc h a p t e r4 ，p o r t f o l i om o d e lw i t ht r a n s a c t i o nc o s t si sc o n s t r u c t e d ，w h i c hi sas i n g l e o b j e c t i v ea n dc o n s i d e r sm i n i m i z i n gs u mo ft h er i s ka n dt h em i n n sr e t u r nu n d e rt h ec o n - i i 大连理工大学硕士学位论文 s t r a i n to ft h et o t a lm o n e yu n c h a n g e a b l y w h e nt h er a n d o mv e c t o ri sd i s c r e t ed i s t r i b u t i o n ， t h em o d e li sc h a n g e di n t oal i n e a rt w os t a g ep r o b l e mo fr e c o u r s eb yu s i n gt h ea u x i l i a r y f u n c t i o na n dt h el i n e a r i t yt e c h n i q u e b a s e do nt h ei d e ao fb e n d e r sd e c o m p o s i t i o na n d t h el - s h a p e dm e t h o d w es o l v et h ep r o b l e m n u m e r i c a lt e s t sa r ea 蹴u t e di nt w oa s p e c t s t h ee f f e c to ft r a n s a c t i o nc o s t st ot h ep o r t f o l i oi nt h i sm o d e li sa n a l y z e db yc h a n g i n gt h e t r a n s a c t i o nc o s t s t h ep r o p o r t i o n so ft h ea s s e t sa n dt h er e t u r nh a v em o d i f i e dv e r ym u c h n u m e r i c a lt e s t sa l s og i v et h eg r a p ho ft h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec o n f i d e n c el e v e la n d t h er i s k t h r o u g ht h ea n a l y s i so ft h ea b o v et w od i f f e r e n tm o d e l ，r e s u k sc a nb ef o u n dt h a t ，i n t h es m a l ls c a l e ，t h ee f f e c to ft r a n s a c t i o nc o s t st ot h ep o r t f o l i oo p t i m i z a t i o ni sd o m i n a n t a n dt h er e t u r na n dt h ep r o p o r t i o n so ft h ea s s e t so ft h ep o r t f o l i ob o t hh a v eal a r g ea m o u n t o fc h a n g e k e yw o r d s ：p o r t f o l i o ；t r a n s a c t i o nc o s t s ；c o n d i t i o n a lv a l u e - a t r i s k ；m o n t ec a r l o s i m u l a t i o n ；t w os t a g es t o c h a s t i cp r o g r a m m i n gw i t hr e c o l l r s e i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：聱酶拯 日期：2 盟五：型 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解。大连理工大学硕士、博士学位论文版权使 用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或枧构送交学位论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编学位论文 作者签名 塑鲢毖 导师签名嫡。穴萨 c o r a 鱼糍黼秽懈 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 l 1 投资组合问题的进展 在市场中，理性投资者都希望以最小的风险获得最大的收益，然而高收益必然面 临高风险，因此投资必然有所选择投资组合选择( p o r t f o l i os e l e c t i o n ) 是现代金融理 论的核心问题之一，它主要解决的问题就是如何把一定数量的资金分配到不同的资产 中，使得在小于某给定风险水平下最大化收益或者在收益一定的情况下最小化风险， 由此可见如何精确的度量风险是投资组合选择分配的关键问题，因此它也是金融研究 中备受关注的热点问题 1 1 1 风险的定义 由于对风险的理解和认识程度不同，或对风险的研究角度不同，不同的学者对风 险的定义有着不同的解释，m a r k o w i t z l l j 等认为未来收益的不确定性即为风险，这是 对风险的最早的理解随后，m a r k 0 而t z 【2 i 提出了下方风险( d o w n - s i d e - r i s k ) 的概念， 即实际收益率低于期望收益率的部分才为风险朱淑珍【3 | 把风险定义为在一定条件 下和一定时期内，由于各种结果发生的不确定性而导致行为主体遭受损失的大小以及 这种损失发生的可能性大小，风险是一个二位概念，风险以损失发生的大小与损失发 生的概率两个指标进行衡量王明涛1 4 】定义风险为在决策过程中，由于各种小确定性 因素的作用，决策方案在一定时间内出现不利结果的可能性以及可能损失程度它包 括损失的概率、可能损失的数量以及损失的易变性三方面内容，其中可能损失的程度 处于最重要的位置 1 1 2 风险模型 1 9 5 2 年m a r k o w i t z 基于。风险为投资收益率的易变性和不确定性”的概念1 1 , 2 1 ， 提出了以投资组合中资产收益率的方差度量风险的指标，创立了著名的m a r k o w i t z 模 型m a r k o w i t z 认为证券价格的变化往往表现为频繁的连续性波动，这种波动虽然不 能预先知道，但是也具有一定的统计特性均值一方差模型是衡量波动性的基本数理 统计方法假定某种资产的收益服从某种概率分布，那么这种资产的预期收益就是所 有可能取得的收益的数值的加权( 依出现的次数) 平均数，即均值，也就是该资产收益 的数学期望资产收益率的实际值与其期望值的偏离程度用方差或标准差来度量方 差或标准差( s t a n d a r dd e v i a t i o n ) 反映了资产收益率的波动情况，方差或标准差越大， 说明收益率的变动幅度越大，则投资该资产的风险也越高，反之风险较低此理论打 破了以前对于风险只能定性研究的缺陷，开创了金融量化分析的先河，也标志着现代 金融学的开端以方差度量风险使得风险与收益的权衡有了精确的表达方式，但均值一 方差模型在实际应用中受到较多限制，只有当投资者的效用函数是二次的，或者收益 1 基于c v a r 的有交易费用的投资组合问题 满足正态分布的条件时，均值一方差模型才与效用理论完全相合，这些条件在实际中 常常难以满足；其次，该模型在资产规模比较大时要求解一个带有稠密协方差矩阵的 大规模二次优化问题，导致了计算上的高复杂性另外由于投资者对风险的理解是不 尽相同的，有人认为实际收益低于期望收益的那部分才是风险，因此有人提出了下半 方差( l o w e rs e m i v a r i a n c e ) ，即相对于均值的负偏差的平方的期望值 m a r k o w i t z 2 l 讨论了均值下半方差模型当然，在收益分布对称的情况下，这种改进意义并不大， 因为该情况下的下半方差刚好是方差的一半，均值一方差有效前沿与均值- 下半方差 有效前沿完全一致k o n n o 和y a m a z a k i l s , 8 提出了均值一绝对偏差( m e a n - a b s o l u t e d e v i a t i o n ，简称m a d ) 模型，均值绝对偏差模型与经典的均值方差模型的最大区 别是用绝对偏差代替方差这一模型可以转化为线性规划来求解，可以解决大规模问 题，因此受到了人们的普遍关注在绝对偏差的基础上，c a i t m 提出了f 。风险函数， 用各种资产的绝对偏差的最大值作为风险度量标准随后，t e o i s 进一步提出了日三 函数，考虑投资者在估计风险时将历史数据划分为t 个时段来估计余湄等1 9 】定义 了平均绝对偏差风险函数，用资产绝对偏差的平均值作为整个投资组合的风险控制标 准 但是不管是方差还是绝对偏差，都是以收益的波动程度来度量风险的，而投资者 关心的是具体的损失究竟能达到什么样的水平，风险价值v a r ( v a l u ea tr i s k ) 就很好 的解决了这个问题v a r 最先由j pm o r g a n 公司提出 1 0 l ，它表示在一定的置信水平 和时间期限内的投资组合的最大损失，它是一个分位数，由于v a r 可以将不同的市场 因子，不同市场的风险集中在这个分位数，较好的适应了金融市场的不确定性，复杂 性和全球整合性趋势，因此，v a r 风险度量广泛应用在金融市场中的风险管理 1 1 - 1 3 ， 1 9 9 6 年巴塞尔委员会还推出了一个关于市场模型扩展的建议，允许银行使用他们自 己的v a r 模型来决定其资本要求f 1 4 j 2 0 0 1 年1 月巴塞尔银行监管委员会利用v a r 指 标作出3 项资本充足性的规定【1 嗣我国学者对v 日d ：t 方法的研究最早始于1 9 9 7 年郑文 通的金融风险管理的v a r 方法及其应用一文【，主要介绍了v a r 方法产生的 背景，计算原理及应用，并分析了v a r 方法在中国的现实意义接着，牛昂1 1 7 1 、姚 刚【圳、刘宇飞f 1 9 】等探讨了v a r 的定义及其在风险管理中的意义，对测量v a r 的三 种基本方法一历史模拟法、方差协方差法和m o n t ec a r l o 模拟法做了介绍；顾乃康 、詹原瑞【2 l 】从理论上探讨了v a r 的度量问题9 0 年代后期开始有学者将v a r 应 用在具体的投资组合问题中，范英 2 2 1 和陈守东将v a r 具体的应用在了我国的股 票市场研究中2 0 0 1 年，王春峰出版专著金融市场风险管理，第一次全面系统地 介绍了以v a r 为核心的风险测量方法，将国内v a r 的研究推向了一个薪的高度俐 任何一种风险度量都不能肯定完美的，v a r 也存在很多缺点文献 2 5 】给出了 风险度量的公理化定义，指出一个行之有效的风险测量方法必须满足正齐性，次可加 性，单调性及过渡不变性，满足这些性质的风险测量方法被称为致风险度量在非 2 大连理工大学硕士学位论文 正态分布的情况下，v a r 不满足次可加性，即将一定的资金投资在两种资产上的v a r 比将这笔资金单独投资在每一种资产上的v a r 的和还要大，这是不符合分散资产降 低风险的原则的，因此v a r 不是一致风险度量；v a r 不能考虑到超过它的那部分损 失，厚尾现象出现后对风险的控制是不确切的，可能远远小于实际的风险m e c k a y 2 6 】 认为在进行投资组合优化时，由于v a r 不能表示为各种组合资产头寸的函数，因此无 法对其进行直接优化；而且在收益率离散分布时，v a r 是不凸的，这些都导致了计算 的难度于是r d d 洲l a r 嘲提出了条件风险价值c v a r ( c o n d i t i o n a lv a l u e - a t - r i s k ) ， 给出了c v a r 的定义，描述了c v a r 的性质，并给出了线性投资组合在收益率正态 分布下c v a r 风险价值的基本计算方法在随机变量连续分布时，c v a r 表示超过 v a r 那部分风险的数学期望c v a r 具有许多v a r 所没有的优点，c v a r 考虑了 超过v a r 的那部分损失，厚尾现象时仍然能够很准确的估计风险；由c v a r 的定义 知c v a r 的值肯定不小于v a r 的值，因此在控制c v a r 的同时也控制了v a r ；而且 r o c k a f e l l a r 在文献f 2 7 1 还给出了一个辅助函数，证明了最小化c v a r 等价于最小化 那个辅助函数；文献f 2 8 证明了c v a r 是一致风险度量，具有次可加性和凸性等性 质；k r o k h m a l 2 。i 指出在满足一定条件时以c v a r 为风险度量的投资组合优化闯题可 以将c v a r 用r o c k a f e l l a r i 2 7 1 的辅助函数来代替，得到的问题与原问题等价，并且这 个辅助函数也是凸的，整个问题变为一个凸规划，使得在一定条件下，对c v a r 做定 量研究变得容易n i k o l a s 3 0 1 利用c v a r 对资本配置进行了分析与实证研究，同时还 与m a d ( m e a n - a b s o l u t ed e v i a t i o n ) 进行了比较r o c k a f e l l a r a 1 j 还对损失服从一般分布 的c v a r 模型进行了研究c v a r 作为一种风险度量已经被应用在保险业【3 2 】和信 用风险f 3 3 ，酬以及衍生产品的投资组合中国内的学者也对c v a r 做了研究，王 建华在度量与控制金融风险的新方法一文中指出了v a r 的缺陷并首次介绍了 c v a r 的概念，阐述了c v a r 的优点和作用及在证券组合优化中的应用刘小茂，李 楚霖【3 7 ，3 剀给出了使用c v a r 风险度量在收益率正态分布下的投资组合问题的有效前 沿；陈剑利，李胜宏，潘霁，金洪飞将c v a r 应用在具体的投资组合模型中， 从金融的角度来考虑，主要对其进行数量计算来得到可以供投资者参考的信息高全 胜，李选举 4 1 】和刘小茂i 啦! 对投资组合问题中c v a r 的敏感性进行了分析研究，指出 c v a r 作为风险测度标准可以使投资者的在资产选择时更加谨慎和稳健，同时也有利 于对于风险进行分散和监管 1 1 3 交易费用 在实际的交易市场中，总是存在着如交易费用。税收，红利等摩擦，人们通常都 会忽略这些摩擦，在交易量很大时，这种忽略是合理的，但对于较小的交易量，这些 摩擦对于投资者在做投资决策时有着不可忽视的影响很多学者对交易费用进行了探 讨【船一卅，例如a r n o t t 和w a g n e r 发现，忽略交易费用会导致无效的投资组合；刘海 龙，樊治平，潘德惠l “】等讨论了固定交易费的投资组合问题；埃德温等| 4 5 】也指出交 3 基于c v a r 的有交易费用的投资组合问题 易成本是市场的重要因素之一，交易成本的大小关系到观察到的价格错位需要多大才 能导致投资者改变投资策略，也影响着一个投资组合是不是最优的问题综合以上因 素可知将交易费用考虑到投资组合模型中是必要的 投资组合风险研究中涉及到的收益率是随机的，r o c k a f e l l a r 在文献 27 中也指出 c v 掘是一个随机凸规划问题的最优值，因此下面我们介绍随机规划的一些知识 1 2 二阶段有补偿问题和l - s h a p e d 方法 在现实世界中，经常能碰到偶然现象的发生，它们一般是不确定的，可能会产生很 多的结果，这样的现象被称作是随机现象描述和刻画随机现象的量叫做随机变量， 含有随机变量的数学规划问题称为随机规划问题 当数学规划问题中出现随机变量时，处理这些随机变量很直观的方法就是用这些 随机变量的概率平均值( 数学期望) 来代替随机变量，从而形成一个确定性数学规划 问题然而许多例子表明，这种处理方法往往导致不合理的解【档1 在实际问题中处理 数学规划阅题中的随机变量一般采用两种方法：一种是等待观察到随机变量的实现以 后再解出相应的规划问题( 作决策) ( w 越ta n ds e e ) ，由此而产生分布问题；另一种是在 随机变量的实现之前藏作决策( h e r ea n dn o w ) ，但这时就需要考虑所作决策可能产生 的后果，应该采取什么样的方法来弥补，弥补方式的不同就产生两种问题：二阶段有 补偿问题和概率约束规划问题分布问题，二阶段问题和概率约束问题是随机规划中 三类最重要的问题 1 2 1 二阶段有补偿问题 二阶段有补偿问题的研究已趋于成熟，对它的讨论见文献f 4 9 ，5 0 ，5 1 r o c k a f e l a r 2 7 1 中对模型进行的离散近似，就是采用的二阶段有补偿问题的思想，尤其是平均抽样近 似方法( t h es a m p l ea v e r a g ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d ) 5 0 , 5 1 , 5 2 近年来，开始有学者研究 将以c v a r 风险度量的投资组合问题化为两阶段有补偿问题，则用来求解两阶段有补 偿问题的方法就可以用来求解投资组合问题文献 5 3 1 中为了保持稳定的收益，在投 资组合过程中，给出一个规定的数值，如果收益超过了某个值，就停止进行投资，由 于收益率等的不确定性，根据收益是否超过规定值来划分阶段，将其建模成一个两阶 段有补偿问题文献f 5 4 1 从计算的角度对带有c v a r 的投资组合问题进行了研究首 先将投资组合问题经过一定的转化变成一个两阶段线性有补偿问题，并利用l - s h a p e d 方法 5 5 1 和b e n d e r sd e c o m p o s i t i o n 5 6 的思想，给出了求解这个问题的一个具体算法 二阶段有补偿闯题( t w o - s t a g ep r o b l e mw i t hr e c o u r s e ) 的特点是在观察到随机变 量的实现之前作决策这样选择的决策变量所可能导致的结果是，对某些或全部的样 本点不能满足约束条件而约束不能被满足又可能产生两种效应：招致惩罚和不招致 惩罚对于招致惩罚的情况，决策者希望惩罚量最小，这样又引入一个新的决策变量， 4 大连理工大学硕士学位论文 r a i n c r x + 。q ，p 。， i z o q z 掣2 薹害篓i = c 可，一r c 可，z ， c ，z ， ( 一 其中鲰( 后= 1 ，) 是随机变量y 的可能取值，p k 0 ( k = l ，) ，且满足 拓n 1 p k = 1 我们不必求解q ( x ) 的显式表达式，当y 是离散分布随机变量时，可直接将上面 的二阶段线性有补偿问题转化为一个线性规划问题来求解王金德在文献1 4 s 给出了 下面的定理1 1 定理1 1 a a 上述的二阶段线性有补偿问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 等价于下面的线性规划问 题： 啦马c t x + n 脯v k q ( v k ) t z oj s t a x = b ， w ( y p = h ( y ) 一t ( y k ) z k ，= 1 ，n ， ( 1 3 ) z 0 ， 0 ，k = 1 ， 5 基于c v a r 的有交易费用的投资组合问题 这里的等价性是指两个问题的最优值相等，且若( _ ，虿z ，乏) 是线性规划问题( 1 3 ) 的最优解，则虿是问题( 1 1 ) 的最优解且- 1 ，狐是茹= z 时相应的问题( 1 2 ) 的最 优解反之，若z 是问题( 1 1 ) 的最优解，瓦( k = 1 ，) 是对不同的时问题( 1 2 ) 的最优解，则( 万，虿1 ，- ) 是线性规划问题( 1 3 ) 的最优解 二阶段线性有补偿问题为带有不确定因素的问题提供了一个合适的框架，而且最 重要的是它可以用比较简单的方法来求解求解二阶段线性有补偿问题的比较有效的 方法是v a ns l y k ea n dw e t s 5 5 l 的l - s h a p e d 方法，简称l 广s 方法 1 2 2l - s h a p e d 方法 对于上面的二阶段线性有补偿问题，如果我们通过对每个z 和k 来求解问题( 1 2 ) 然后再赋值给q ( x ) 来求解问题，将需要大量的计算，是相当繁琐的，一般不这样求 解l - s h a p e d 方法的主要思想就是首先利用上面的定理1 1 ，将二阶段线性有补偿 问题化为线性规划问题( 1 3 ) ，如果可的离散分布过于分散的话，即的数值很大 时，转化后的线性规划问题( 1 3 ) 的规模将会很大，在实际的求解中受一些条件的限 制可能会有困难，而l - s h a p e d 方法并不直接求解这个闯题( 1 3 ) ，而是利用b e n d e r s d e c o m p o s i t i o n 5 6 1 的思想将其进行分解，从求解简单的优化问题入手，如果得出的最优 解不是二阶段问题的最优解，则通过可行性和最优性这两个方面来增加约束，逐步迭 代最终产生最优解，这样以来我们求解的问题的规模就是逐渐增大的，就不用直接求 解一个大规模问题 l - s h a p e d 方法考虑的是w ( y ) 的取值与随机变量! ，无关的情况，将其简写为w r ( 纨) ，危( 纨) ，q ( y k ) 简写为瓦，h 幻吼 l s h a p e d 方法的算法如下： s t e p0 ( 初始化) 令r = s = = 0 s t e p1 令= | ，+ 1 求解下面的问题( 1 4 ) m i n c t x + 目 ( z ，一) s t ，a x = b d t x d l ，z = 1 ，r ， 蜀z + 口e l ，2 = 1 ，8 o 0 ，日r 1 ( 1 4 ) 设( 矿，矿) 是( 1 4 ) 的最优解，当( 1 4 ) 第三个约束不存在时，酽= 一o 。，故不予考虑 转s t 印2 6 大连理工大学硕士学位论文 s t e p2 令k = 1 ，求解下面的线性规划( 1 5 ) ( 1 5 ) 其中e = ( 1 ，1 ) t 直到在某个k 时满足加 0 停止停止后，令矿为相应的单形 乘子，定义 d 外l = ( 矿) 7 夏( 1 6 ) d 卧l = ( ) t h k( 1 7 ) 来产生与( 1 4 ) 中第二个约束类似的约束( 称为af e a s i b i l i t yc u t ) 令r = r + 1 ，将约束 加到( 1 4 ) ，转s t e p l 如果对所有的k ，钟= 0 ，转s t e p3 ， s t e p3 令k = 1 ，求解下面的线性规划 心， 五+ t = 乳( 哟t t k 知= l n e 蚪z = 以( ) t h k ( 1 8 ) ( 1 9 ) 令 t o ”= e 件1 一忍+ 1 z ”若0 ”，则停止，矿是最优解；否则令s = s + 1 ，将其加 到( 1 4 ) 的第三个约束，转s t e p1 可以证明这种迭代只需要有限步就终止，详细的说明见文献 4 9 】 求解随机规划的一种有效的方法是蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 模拟，i 广s h a p e d 方法 也必须用蒙特卡罗模拟将线性有补偿二阶段问题转化成确定性线性规划才能求解，因 此下面对蒙特卡罗方法进行简单介绍 1 3m o n t ec a r l o 方法 蒙特卡罗 5 7 - 8 1 j ( m o n t ec a r l o ) 方法，又称随机模拟方法，它是在本世纪四十年代 中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的蒙特卡罗方法的基本原理及思想 7 k 0 ： 、i 一 ： z 圹 一 | t 良 六 m 仉 + + 铲 胪 旷 e c 筇 独 矿 眦 基于c v a r 的有交易费用的投资组合问题 如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时， 它们可以通过某种”试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的 平均值，并用它们作为问题的解蒙特卡罗方法利用数学方法来加以模拟，即进行一 种数字模拟实验它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模 拟实验的结果，作为问题的近似解 假设所要求的量z 是随机变量的数学期望e ( ) ，那么近似确定$ 的方法是对 进行次重复抽样，产生相互独立的序列 - ，知，并计算其算术平均值： ， v b = 毒已 i = 1 根据柯尔莫哥罗夫( k o m o g o r o v ) 加强大数定理有 。1 ，i mp g = z = 1 因此，当充分大时，下式 r e 馐) = $ 成立的概率等于l ，亦即可以用 ，作为所求量z 的估计值 用m o n t ec a r l o 方法求解时，最简单的情况是模拟一个发生概率为p 的随机事件 a 考虑一个随机变量亭，若在一次试验中事件a 出现，则f 取值为1 ；若事件a 不出 现，则亭取值为0 ，令q = 1 一p ，那么随机变量f 的数学期望e ( f ) = 1 p - 4 - 0g = p ，此 即一次试验中事件a 出现的概率 的方差e 篮一e 篮) ) 2 = p - - p 2 = p q 假设在次 试验中事件a 出现z ，次，那么观察频数也是一个随机变量，其数学期望e ( v ) = n p ， 方差盯2 ( ) = n p q 令芦= 表示观察频率，那么按照加强大数定理，当n 充分大 时，下式 p = 吾e ( ) = p 成立的概率等于1 因此，由上述模型得到的频率多= 一近似地等于所求量p 这就 说明了频率收敛于概率，而且可用样本方差 盯2 ) ：p 可( 1 - 丁p ) 作为理论方差0 2 ) 的估计值 蒙特卡罗解题三个主要步骤： 构造或描述概率过程：对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运闯题，主要 是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定 积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，即要将不具有随机性质的问题转化为随 机性质的问题 8 大连理工大学硕士学位论文 实现从已知概率分布抽样；构造了概率模型以后，概率模型看作是由概率分布构 成的，因此产生已知概率分布的随机变量( 或随机向量) ，就成为实现蒙特卡罗方法模 拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因最简单最基本、 最重要的一个概率分布是( 0 ，1 ) 上的均匀分布( 或称矩形分布) 随机数就是具有这种 均匀分布的随机变量随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子榉，也就是 一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列产生随机数的问题，就是服从这个分 布的抽样问题在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，而且不能重 复，对于某些需要重复使用的情况不方便另一种方法是用数学递推公式产生这样 产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列经过 多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它 作为真正的随机数来使用由此可见，随机数发生器是我们实现蒙特卡罗模拟的基本 工具 建立各种估计量：一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟试验 后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计建 立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解 m o n t ec a r l o 模拟被广泛的应用在科学研究的各个领域，用来模拟事物的发展过 程好多学者在对金融市场研究中，对随机过程的处理也采用了m o n t ec a r l o 方法， 见文献【6 2 ，6 3 1 4 本文的主要工作 基于以上分析，本文的主要工作可概括如下： 1 第2 章介绍了预备知识，主要是c v a r 的定义以及应用比较广的关于c v a r 的定 理和性质 2 第3 章首先简单介绍了关于交易费用的研究进展，接着具体的列出了v a r 和c v a r 的定义和一些性质，然后建立了一个带有交易费用的均值一c 确i r 模型，考虑随机 变量是连续分布的情形，用m o n t ec a r l o 方法对随机变量进行模拟抽样，并利用 r o c k a f e l l a r 2 7 1 给出的辅助函数，对模型进行了转化，并证明了这种转化是等价的； 对转化后的非光滑模型进行光滑化和线性化处理，得到两个确定性的非线性规划 和线性规划问题；通过数值试验比较了两种处理方法的效果差异，并分析了加入 交易费用后对投资组合选择的影响 3 第4 章我们建立了带有交易费用的一般的均值一c v a r 模型，考虑极小化负利润和 风险的和利用辅助函数将模型转化为线性两阶段有补偿问题，详细阐述了求解 这类问题的算法，并利用此算法求解我们的问题最后，我们通过两个数值试验 显示了加入交易费用后对投资组合的影响以及风险厌恶程度对投资组合风险的影 9 基于c v 娥的有交易费用的投资组合问题 4 最后的结论部分总结了本论文所得出的研究成果 1 0 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 2 1c y a r 的定义 假设有n 种资产，令x = ( x l ，