（计算数学专业论文）高振荡微分方程的magnus展开方法.pdf

学位论文版权使用授权书 ilyllllllll781llllllllllllllllltlllllllllllllll401 5 帅y 1 7 8 1 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 提供阅览服务，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。 同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位敝储躲研抽l 签字同期：钞莎年6 月；铜 导师签名：拉平福 签字同期：凹io 年b 月3 口 中图分类号：0 2 4 1 8 1 u d c ： 学校代码：1 0 0 0 4 密级：公开 北京交通大学 硕z l ：学位论文 高振荡微分方程 的m a g n u s 展开方法 m a g n u se x p a n s i o nm e t h o d sf o r h i g h l y - o s c i l l a t o r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 作者姓名：邢淼 导师姓名：赵平福 学位类别：理学 学科专业：计算数学 学号：0 8 1 2 2 1 2 5 职称：副教授 学位级别：硕士 研究方向：动力系统保结构算法 北京交通大学 2 0 1 0 年6 月 f l p - 致谢 本论文的工作的顺利完成，首先要感谢我的导师赵平福老师。从专业课的学 习过程到论文的选题，从开题报告到论文的写作过程，赵老师都倾注了大量的心 血。一遍又一遍的指出我稿中的具体问题，严格把关，循循善诱，在此特向赵老 师表示深深的敬意和感激! 两年来，赵老师严谨的治学态度、科学的工作方法和精益求精的工作作风深 深的感染和激励着我。从赵老师身上，我不仅学到了许多专业知识，而且懂得了 做人的道理。通过赵老师细心地讲解，使我对知识有了更深入的理解，为今后学 习和工作打下坚实的基础，在此再次向赵老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意! 感谢师兄师姐和各位同学在这两年的读研生涯中给予我极大的关心和帮助， 感谢两年来在生活中给予我帮助的老师和朋友，正是由于你们的帮助和支持，我 才能克服一个一个的困难，直至本文的顺利完成。 感谢我的家人，是你们的鼓励和支持，给了我一个舒适安定的学习环境，使 我能够专心的在学校完成学业。 最后感谢北京交通大学理学院给我这样一个学习深造的机会! - l 北京交通人学硕十学位论文 中文摘要 中文摘要 摘要：高振荡微分方程是其解具有高振荡性的一类微分方程，它广泛应用于诸如 分子动力学、天体力学、量子化学以及原子物理等方面。因此，研究其数值解法 具有重要意义。 对高振荡微分方程给出一种好的数值解法是一件非常困难的事情。近年来， i s e r l e s 利用m a g n u s 展开方法详细研究了形如y + g o 砂= 0 的线性高振荡微分方程 数值解法问题，并给出了计算结果较好的数值算法。 本文介绍了h a m i l t o n 方程的性质、辛几何算法、m a g n u s 展丌、修正的m a g n u s 展开和n e u m a n n 展丌方法。主要研究了形如y7 + a y = b ( f ，r ) r 的高振荡微分方程。 首先，利用p i c a r d 迭代法推出了线性高振荡方程的修正n e u m a n n 展丌形式；然后， 利用修正的m a g n u s 展开方法给出了形如该式的线性高振荡方程的数值解法。由于 构造出的数值解法涉及高振荡函数的积分，我们分别用f i l o n 方法和分段线性插值 方法进行计算，给出了两种不同的数值解法。实验显示，这两种方法都可以给出 较好的数值结果。最后我们将该方法推广到了求解非线性问题上来，例如将f p u 问题变形为上述形式，考虑用修正的m a g n u s 展丌方法进行求解。 关键词：高振荡微分方程；h a m i l t o n 方程；m a g n u s 展开方法；修正的m a g n u s 展 开方法；f i l o n 方法；分段线性插值方法；f p u 问题 分类号：0 2 4 1 8 1 l 北京交通人学硕十学伊论文 a b s t r a c t a b s t r a c t a b s t r a c t ：h i g h l y - o s c i l l a t o r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eak i n do fe q u a t i o n sw h o s e s o l u t i o n sa r eh i g h l y - o s c i l l a t o r y i ti s e x t e n s i v e l ya p p l i e d i nm o l e c u l a rd y n a m i c s ， c e l e s t i a lm e c h a n i c s ，q u a n t u mc h e m i s t r y , a t o m i cp h y s i c sa n ds oo n t h e r e f o r e ，i ti s s i g n i f i c a n tt os t u d yi t sn u m e r i c a lm e t h o d s i ti sv e r yd i f f i c u l tt og i v eag o o dn u m e r i c a lm e t h o df o rh i g h l y - o s c i l l a t o r yo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s r e c e n t l y ，u s i n gm a g n u se x p a n s i o ni s e r l e sh a ss t u d i e dn u m e r i c a l m e t h o d sw h i c hc a l ld e a lw i t ht h el i n e a rh i g h l y o s c i l l a t o r ys y s t e m sy ” g ( t ) y = 0i n d e t m la n dg i v e ng o o dn u m e r i c a lm e t h o d s i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c et h ep r o p e r t i e so fh a m i l t o n i a ne q u a t i o n s ，s y m p l e c t i c g e o m e t r i ca l g o r i t h m s ，m a g n u se x p a n s i o n ，m o d i f i e dm a g n u se x p a n s i o na n dn e u m a n n e x p a n s i o nm e t h o d s w em a i n l yd i s c u s sak i n do fh i g h l y - o s c i l l a t o r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw h i c ht a k et h ef o r my7 + ay = 曰q ，j ，沙f i r s t ，u s i n gp i c a r di t e r a t i o nm e t h o d w ec a ng e tm o d i f i e dn e u m a n ne x p a n s i o nf o r mo fl i n e a rh i g h l y - o s c i l l a t o r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h e n ，w eg i v ean u m e r i c a lm e t h o dt od e a lw i t ht h e s ee q u a t i o n sb yu s i n g m o d i f i e dm a g n u se x p a n s i o nm e t h o d f o rt h en u m e r i c a 1m e t h o d sw h i c hw ec o n s t r u c t c o n c e r n st h eh i g h l yo s c i l l a t o r yi n t e g r a l s ，w ec o m p u t et h e mw i t hf i l o nm e t h o d ，a n d p i e c e w i s el i n e a ri n t e r p o l a t i o nm e t h o d a n dt h e nw eg i v ed i f f e r e n tn u m e r i c a lm e t h o d s e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o w t h a tt h e s em e t h o d sc a n g i v eb e t t e rn u m e r i c a lr e s u l t s f i n a l l y , w ep r o m o t et h i sm e t h o dt od e a lw i t hn o n l i n e a rp r o b l e m s f o re x a m p l e ，t h ef p u p r o b l e m sc a nb ew r i t e na st h i sk i n do fe q u a t i o n s w ec o n s i d e rm o d i f i e dm a g n u s e x p a n s i o nm e t h o d sf o rt h i sp r o b l e m k e y w o r d s ：h i g h l y - o s c i l l a t o r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；m a g n u se x p a n s i o nm e t h o d ； m o d i f i e dm a g n u se x p a n s i o nm e t h o d ；f i l o nm e t h o d ；p i e c e w i s el i n e a ri n t e r p o l a t i o n m e t h o d ；f p up r o b l e m s c l a s s n o ：0 2 4 1 8 l l v 北京交通人学硕十学位论文 目录 目录 中文摘要i i i a b s t r a c t i v 1 引言1 2h a mi it o n 系统的辛算法3 2 1h a m i l t o n 系统3 2 2h a m i l t o n 系统的辛算法4 2 3共轭算法一5 2 4 组合方法7 3 高振荡微分方程9 3 1 线性高振荡微分方程9 3 2 非线性高振荡微分方程9 4 线性高振荡方程的m a g n u s 展丌方法和n e u m a n n 展丌方法1 3 4 1指数映射的导数及其逆映射1 3 4 2 线性高振荡方程的m a g n u s 展丌方法1 4 4 3 修j 下的m a g n u s 展开方法1 6 4 4 线性高振荡方程的n e u m a n n 展开方法1 7 5 形如】，7 + 么y = b ( f ，】，矿的高振荡微分方程1 9 5 1 形如】，+ 彳】，= 8 ( t ) r 的高振荡微分方程的p i c a r d 迭代法1 9 5 2 修正的m a g n u s 展开方法求解线性高振荡方程2 0 5 2 1 修正的m a g n u s 展开方法2 0 5 2 2 基于f i l o n 方法的数值格式2 1 5 2 3 基于分段线性插值的数值格式2 3 5 3 修f 的m a g n u s 展开方法求解f p u 问题2 6 6 论文小结3 0 参考文献31 作者简历3 3 独创性声明3 4 学位论文数据集。一3 5 7 北京交通大学硕十学何论文 1 引言 1引言 高振荡微分方程是其解具有高振荡性的一类微分方程，它广泛存在于许多领 域，如分子动力系统，电路仿真系统，柔性体系统，甚至可以应用到太空中卫星 天线的折叠情形，以及车辆悬轴导向系统的定位过程中。因此，系统地研究其数值 解法具有重要的现实意义。 高振荡微分方程的数值求解一直是微分方程数值计算问题中比较难解决的问 题之一。经典数值算法效果甚微，这也激励人们探讨新颖而富有创造性的数值方 法( e 1 - 2 ) 。最早采用大步长求解振荡问题始于g a u t s c h i ( 3 ) ，给出了形如 y ”+ 缈2 y = g ( t ，y ) ( 其中缈为固定频率) 的微分方程的三角函数积分方法；他的方法 很快推广到形如：y ”+ a y = g ( t ，y ) 的微分方程，其中a 为对称、半正定的常矩阵。 g a r c i a a r c h i l l a ，s a n z s e m aa n ds k e e l ( 4 ) 基于对脉冲方法的修正，研究了高振荡 微分方程的一些辛方法。而h o c h b r u c ka n dl u b i c h ( 5 ) 研究了g a u t s c h i 型方法。 对于线性高振荡微分方程的数值求解问题，近年来，i s e r l e s 利用修j 下的m a g n u s 展 开和n e u m a n n 展开方法，给出了较好的数值解法。 m a g n u s 展丌式已经有效地用于数值求解李群上的微分方程。用m a g n u s 展开 式求解李群上的微分方程，其优点在于适当的截断展丌式仍能保持方程精确解的 部分几何性质( 6 、 7 ) 。i s e r l e s 在 8 中用修正m a g n u s 展开式求解线性高振荡 微分方程，得到了比传统数值方法( 如r u n g e k u t t a 法) 更好的结果，使计算更加 精确、有效。在文 9 中，i s e r l e s 介绍了n e u m a n n 展丌方法。 在论文第二部分，我们先介绍h a m i l t o n 系统的基本概念及其具有的一些性质， 然后介绍了h a m i l t o n 系统的辛几何算法，最后介绍了共轭算法及组合方法。 第三部分，我们分别介绍了形如y ”+ g ( t ) y = 0i l i mg ( t ) = 佃j 的线性高振荡微 ，o rt 、 分方程组和形如戈+ q 2 x = g g ) lg g ) = 一半l 的一类非线性高振荡微分方程。最后 o ， 介绍了f p u 问题，并给出了其h a m i l t o n 形式。 第四部分，介绍了m a g n u s 、修正的m a g n u s 和n e u m a n n 展开方法，并分别给 出用修正的m a g n u s 展开方法和n e u m a n n 展开方法构造线性高振荡微分方程的数 值解法。 最后一部分，我们研究了形如y - i - a y = b ( t ，y ) y 的一类高振荡微分方程，首先 用p i c a r d 迭代法推出了线性高振荡方程的修诉n e u m a n n 展丌式；然后用f i l o n 方 法和分段线性插值方法来处理高振荡函数积分，利用修j 下的m a g n u s 展丌方法求解 北京交通人学硕十学何论文 1 引言 形如y + a y = b o ) y 的线性高振荡微分方程；最后我们将该方法推广到求解形如 y + a y = b “，y ) y 的非线性| u j 题，如f p u 问题。 2 o r l，。- 北京交通人学硕十学位论文 2h a m i l t o n 系统的辛算法 2h a mi lt o n 系统的辛算法 2 1h a m - it o n 系统 对于h a m il t o n 系统，它可以动态表示为 毫= 和a _ h _ h 扣1 ，2 ，勘 ( 2 1 1 ) 其中，结构矩阵为标准的辛矩阵，即，= 匕， ，是疗维单位矩阵，h 是关 于工的光滑函数。 珏， h a m i l t o n 系统对应有标准的p o i s s o n 括号 ， ，即 伊，g ) = 巧g p 一髟g 。 ( 2 1 2 ) 式中，f 和g 是关于g 和p 的光滑函数，p ，q r ”，f ：r 2 ”专r ，g ：r 2 ”专r 。 h a m i l t o n 系统也可写成 利用p o i s s o n 括号，h a m i l t o n 系统( 2 1 3 ) 又可以写成 毫= 扛，h ) ，汪1 , 2 ，2 ，l ( 2 1 4 ) 对任意函数f ：r 2 ”一只，有 夕= 杪，h ( 2 1 5 ) 进一步引入微分算子d g ，g ：r 孙专r 如f = f ，g ( 2 1 6 ) 那么，又可以把式( 2 1 4 ) 写为如下形式： 文= d h x ( 2 1 7 ) 它的解可以形式的写为 石( f ) = e x p ( t d b o ( 2 1 8 ) 定义2 1 1如果一个线性映射a ：r 2 “寸r 2 ”满足a7 j a = j ，则称它为辛映 射。 定义2 1 2一个可微映射g ：u 专r 2 ”( u r 2 ”是一个开集) ，如果它的 3 办一一一 塞印 l ， - 北京交通人学硕十学位论文 2h a m i l t o n 系统的辛算法 j a c o b i 矩阵g ( p ，g ) 处处是辛的，即满足g ( p ，g ) 7 磨( p ，g ) = j ，则称该映射为辛映 射。 h a m i l t o n 矢量形式( 2 1 3 ) 的一个非常重要的性质，即是对于足够小的t ， e x p ( t d ，) 是一个典则映射，也就是说它是一个辛映射( 1 0 ) 。文 1 5 、 1 6 中更详 细的介绍了h a m i l t o n 系统的相关性质。 2 2h a miit o n 系统的辛算法 对于h a m i l t o n 系统，e x p ( t d ，) 是一个典则映射，设计数值解法时，我们也希 望数值解法具有类似性质，由此产生了辛算法( 1 1 卜 1 4 ) 。 设h 锄i l t o n 方黼数值解巩：( 驯扣( p n + l ，q n + 1 ) ，若等等为辛矩 阵，则该方法为辛的。下面，我们来看一下辛方法。对于一阶方法 可以验证其为辛方法，我们称其为辛e u l e r 方法。 求解h a m i l t o n 方程的隐式中点格式为 工。+ l = x n + h j 。1 阳“彳。+ l + x 。) 2 ) ( 2 2 2 ) 它是二阶辛格式。 下面我们简单介绍自治微分方程组的r u n g e k u t t a 方法( 详见 1 7 1 9 ) 。 对于方程组y = 厂) ，r u n g e - k u t t a 方法的一般形式是 y 川= y 。+ 五妒( 吒，y 。，h ) ， ( 2 2 3 ) 其中够有如下形式： 妒( yh ) = 6 f k ， ( 2 2 4 ) k 。= 厂( 乇，y 。) ， 墨= 厂( + q 五，夕。+ 办荟i - i 口扩巧 ， 其中c f ，岛，a q 均为常数，整数s 1 ，称( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 为s 一级显式r u n g e k u t t a 方法( 简称r k 方法) 。选取适当的c f ，岛，a i ，r k 方法可给出解的高阶逼近。 4 ) 一 ) 一 盟 盟 幽垃印 塑 塑 北京交通人学硕 学位论文 2h a m i l t o n 系统的辛算法 h a m i l t o n 方程组( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) 口】以写成 妄寸1 以= 几) 此时，一个一般的单步j 一级r - k 方法为： x “= x 。+ b i f ( v i ) ， = x k + 五窆口口眈) ，1 f s ， ( 2 2 5 ) j = l 其中h = t k + 。- t k ( k 0 ) ，6 f ，a ( f ，j = 1 , 2 ，s ) 是实的参数。选取不同的参数，可 以得到不同形式、不同性质的r k 格式。例如当j i ( 1sf s ) 时，a ，= 0 ，则格 式( 2 2 5 ) 为显式r k 格式；当j i ( 1 f 0 ，1 ，i m 。g ( t ) = + o 。，o g 7 ( t t g ( t ) w 1 若令y7 = p ，y - - ( y ，p ) 7 ，则方程( 3 1 1 ) n - - 劂 y 7 = 彳o ) y ，彳( r ) = 一二，) 三 ，y ( 。) = k ， ( 3 2 ) 特别的，当g o ) = t 时，我们得到a i r y 方程 y ”+ t y = 0 ，y ( o ) = y o ，y ( o ) = y ： 当g o ) = l o g o + f ) 时，得到l o g 振荡方程 y ”+ l 0 9 0 + f ) y = 0 ，y ( o ) = y 。，y7 ( o ) = 夕： i s e r l e s 研究了利用m a g n u s 展开方法构造线性高振荡微分方程的数值解法，并 提出了修正的m a g n u s 展开方法以改进数值结果。数值实验显示，修正的m a g n u s 展开方法具有较好的数值结果，在本文的第四部分我们将给出详细的说明。 3 2 非线性高振荡微分方程 h a i r e r 和l u b i c h 在文 2 1 中研究了一类形如 的高振荡微分方程组，其中 戈+ q 2 x = g ( x ) 9 ( 3 2 1 ) 北京交通人。学硕士学伉论文 3 高振荡微分方科 r o q = l l o c o 1 ， 非线性部分g ( x ) 为光滑函数，且满足 g ( x ) ：一掣 o 设戈= y ，痧= 1 2 x7 q 2 x + u ，则方程组( 3 2 1 ) n - i 耐 e 萼 方程组( 3 1 3 ) 的h a m i l t o n 函数为 日= 互1y r j ，十互1 x7 q 2 x + 【， 则有 f ，y 、 v h = la 痧1 i 瓦j 则( 3 2 1 ) 可写成h a m i l t o n 方程组形式 此时有 萎 = z j ” 唼 = ，一1 v 日 ( 3 2 2 ) 日( x ，戈) = 圭( i 贾。1 2 + i 量：1 2 ) + 三1 缈2 l x ：1 2 + u ( x ) ， ( 3 2 3 ) 其中x = ( z 。，而) 与q 的分块相对应。 软性非线性振子与刚性谐振子交替振子序列链的f p u ( f e r m i p a s t a - u l a m ) i h - j 题 可以表示为( 3 2 1 ) 的形式，也可以写成h a m i l t o n 方程组形式。 对于，z ：3 的f p u 问题，h a m i l t o n 函数h 表示系统总能量，其形式如下： 1 0 北京交通人! 学堡主堂堡堡茎! 壶堡塑垡坌塑矍 - _ - _ ，- - _ - _ - _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ - _ - _ _ _ 一一一 日= 三善3 2 叫2 芝k 善3k 砀一。) 2 其中= 石，= 0 ，七为常数。 对应于h a m i l t o n 函数( 3 2 4 ) 的h a m i l t o n 方程为 对( 3 2 5 ) 作如下变换 可得 x l x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 石l x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 k ( x ：一五) 一4 x ? 一尼( x ：一x 1 ) + 4 g ，一工：) 3 j | g 。一z ，) 一4 g ，一x ：) 3 一尼g 。一x 3 ) + 4 g ，一x 4 ) 3 日 ，v ，妇，口) ：i 1 3g ；+ 帚? ) + 二i = 1 其中“o = y o = “4 = 1 ，4 = 0 其中 x l x 2 工3 x 4 x 5 x 6 一兰! ! 二兰! 塑 一一 4 2 相应的h a m i l t o n 方程组形式为 一如) 4 ，国2 = 2 k ，i = 1 , 2 ，3 i = 0 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) g 川一v 川一“，一v ，) 4 ( 3 2 6 ) j - i v 日g ，t ，甜，v ) ， 1 l +2 x ，j_、 ，瑚 + 吖吣k 卜h 飞飞眠 眠一 1 4 + 母 瑚 一2 ：甜 一y 甜 y ，f。一 、 其中 五= g 。，西：，西，) r ，t = 。，矿：，移，) 7 ，“= 。，“：，“，) 7 ， ，= “，v 2 ，y 3 ) 7 ， j = 一? 。0 此时，对于以= 3 的f p u 问题，光滑函数g ( “，v ) 可表示为 g ( u ，v ) - - ( g g gg 。gg 。) 7 ， g 。= 一( “。一v 。) 3 + ( “：一v 2 - - u l _ ) 3 ，g ：= 一( “：一v 2 一“。一v 。) 3 + ( 甜，一v 3 - - 1 2 一v ：) 3 ， = 一( “，+ 屹) 3 一( “，一屹 1 2v 2 ) 3 ， g 。= ( “，一v 1 ) 3 + ( “：一吃一“。一v 。) 3 ， = ( “：- - v 2 - - u l v 。) 3 + ( u 3 - v 3 一：一v z ) 3 ，g 。= 一( “，+ 匕) 3 + ( “，一v 3 - - u 2 一v ：) 3 由于日是h a m i l t o n 方程组的守恒量，我们在设计数值解法时，也希望数值解 法具有较好的能量保守性。 北京交通人学硕十学何论文4 线性- m i t j l ，k _ - 2 沏, j 下千iw 的m a g n u s 展开方法和n e u l n a n n 展开方法 4 线性高振荡方程的m a g n u s 展开方法和n e u m a n n 展开方法 4 1 指数映射的导数及其逆映射 下面我们简要介绍指数导数( 2 2 一 2 3 ) 的知识，推导m a g u s 展丌需要用到 相关知识。 对于任蒽两个矩阵q 和彳，定义 q ，彳】= q 4 一彳q 如果 q ，a 】= 0 ，则称q 和么是可交换的，否则为不可交换的。 由式( 4 1 1 ) 可以定义一个线性算子彳h 【q ，彳】，即 a d q ( 彳) = q ，a 】 称为伴随算子。 为了计算指数映射的导数，下面首先计算q 的导数。 ( d - - - 生n ) h = j 7 r 2 一i + d i - i q 一2 + + ( 2 。一1 j 7 如果q 和日可交换，那么 ( 基q 卜h 一般情况下，q 和h 不可交换。当k = 2 ，k = 3 时，有 d _ j - + h f 2 = 2 h q + a d o ( 日) ， ( 4 1 1 ) 如果固定q ，那么 ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) h q 2 + 凹q + q 2 h = 3 日q 2 + 3 ( a d n ( h ) ) q + a d 2 ( h ) 其中，口以( ) 是伴随算子的复合，而口( h ) = 日。对于q 。= q q ，应用l e i b n i z 法则及恒等式q ( 口( h ) ) = ( 口d 盘( h ) ) a + a d i n + 1 ( h ) ，可得 ( 而d 群卜粼k ，炯( 帅m 1 ， 定理4 1 - 1 指数映射e x p q 2 乏扣的导数为 1 3 一一一 北京交通人学硕十学位论文4 线性高振荡方稃的m a g n u s 展开方法和n e u m a n n 展开方法 ( 面de x p q ) h = p e x p n ( ) ) e x p q ( 4 - 6 ) 式甲 咖q ( h ) 2 丢南靠k ( ) ( 4 级数式( 4 1 7 ) 对于所有的q 矩阵收敛。 证明：在式( 4 1 5 ) 的两边同乘 ! ) 一，将各项取和，记= 七一i 一1 ，不难得到 ( d - 塞e x p f 2 ) h = 丢面1 刍k - il f ，+ k 。 矗) ) q h = 丢丢石击场g ) b ， 因为i l a d q f l 2 l i q f f ，所以前述级数收敛。 定理4 1 2 如果线性算子a d q 的特征值不等于2 l z i ， l ，2 ，) ，那么 de x p q 是可逆的，当0 q l i 万时，它的逆为 掀p ：) = 萎务日 ( 4 1 8 ) 膏0 ； 式中以为由丢( 鲁) 扎南定义的伯努力数。 证明：d e x p n 的特征值是= 名( 尼+ 1 ) ! = ( p 。一1 ) 以，其中，五是砜的特 o 。- - 一 、， 、， 一 3 征值。根据假设可知0 ，所以de x p q 可逆。根据伯努利数的定义，由( 4 1 7 ) 可得( 4 1 8 ) 。再根据i l 口靠0 26 q l l 并考虑衫( 矿一1 ) 的级数的收敛半径为2 万，可知 当0 q 0 0 是个常数。我们考 虑计算如下积分 l h f = r 厂( x 户”出= f 厂( 舨户h d x ( 5 2 3 ) 在区间 o ，1 上选择v 个不同的点，满足c l c 2 t c 5 3 ) 我们可以写成 。 夕二二i 咖， 2 6 一 对于3 2 节中讲的，l = 3 的f p u 问题，光滑函数g g ，y ) 可表示为 g ( u ，v ) - - b ，g ：，g ，g 。，g ，g 。) 7 ， 其中 g 。：一( “，一v 。) 3 + ( “：- - v 2 - u i v 。) 3 ，g ：= 一( “：一屹一一h ) 3 + ( 3 - - 匕一“：一心) 3 ， g ，= 一( “，+ 匕) 3 一( “，一b - - u 2 一吃) 3 ，g 。= ( “。一_ ) 3 + ( “：一屹- u i - v i ) 3 ， g ，：( “：- - v 2 - - u 1 一_ ) 3 + ( u 3 - - 匕- - u 2 - - v 2 ) 3 ，g 。= 一( “，+ 匕) 3 + ( “，- - v 3 - - “：一屹) 3 其中 设x = 。，“：，“。，y 。，y ：，v ，) 7 ，我们可以对g ( x ) 做如下分解 g ( x 1 = a ( x ) x ， 彳( x ) = 4 la 1 2a 1 3a 1 4a 1 5a 1 6 a 2 la 2 2a 2 3a 2 4a 1 5a 2 6 么3 1 以2 彳3 3 么3 4a 3 5a 3 6 彳4 la 4 2a 4 3a 4 4a 4 5a 4 6 彳5 ia 5 2a 5 3 a 5 4a 5 5a 5 6 a 6 1a 6 2a 6 3a “a 6 5a 6 6 a l l = ( u l v i ) 2 - ( u 2 - v 2 一u l v i ) 2 ；a 1 2 = ( u 2 - v 2 u 1 - v 1 ) 2 ；a 1 3 20 ； a 1 4 = ( u 1 v 1 ) 2 一( u 2 - v 2 一u l v i ) 2 ；a 1 5 = - ( u 2 - v 2 一u l vl ) 2 ；a 1 6 2 0 ； a 2 l = ( u 2 一v 2 u i v i ) 2 ；a 2 22 一( ( u 2 - v 2 - u l - v 1 ) 2 + ( u 3 v 3 u 2 v 2 ) 1 a 2 3 = ( u 3 - v 3 - u 2 一v 2 ) 2 ；a 2 42 ( u 2 。v 2 u l 。v 1 ) 2 ； a 2 5 = ( u 2 - v 2 u l - v i ) 2 - ( u 3 - v 3 。u 2 。v 2 ) 2 ；a 2 6 。( u 3 v 3 。u 2 。v 2 ) 2 ； a 3 i = 0 ；a 3 2 = ( u 3 - v 3 - u 2 - v 2 ) 2 ；a 3 32 一( ( u 3 + v 3 ) 2 + ( u 3 。v 3 。u 2 。v 2 ) 。) ； a 3 4 = 0 ；a 3 5 = ( u 3 - v 3 u 2 一v 2 ) 2 ；a 3 62 ( u 3 。v 3 。u 2 v 2 ) 2 ( u 3 + v 3 ) 2 ； 北京交通人学硕十学忙论文 5 形如y + a y = 口( ，r ) r 的高振荡微分方程 a 4 l = ( u l v 1 ) 2 一( u 2 - v 2 - u l v 1 ) 2 ；a 4 25 ( u 2 一v 2 一u i v 1 ) 2 ；a 4 3 2o ； a 4 4 = ( u l v i ) 2 - ( u 2 一v 2 一u l v 1 ) 2 ；a 4 52 一( u 2 一v 2 一u l v 1 ) 2 ；a 4 6 2o ； a 5 l = 一( u 2