（计算数学专业论文）关于log3的无理测试的研究.pdf

、 一 摘要 a b s t r a c t 目录 洲ii it ll llll ut lt li i i l u | u , | l l u l y 18 8 2 3 8 9 第1 章引言 第2 章预备知识 2 1 线性规划 2 2 l l l 算法 2 3 整超限直径， 第3 章l o g3 的无理测度的相关理论知识 3 1 问题的来源 3 2 关于理想的理论知识 3 3 关于线性无关测度的理论知识 第4 章关于1 ，l 0 9 2 ，l 0 9 3 的线性无关测度的研究结果及方法 4 1 研究结果 4 2 研究方法 4 2 1 线性无关测度与整超限直径的关系 4 2 2 线性规划问题的创建 4 2 3 半无限线性规划方法 4 3 研究结果的证明 结 语 参考文献 致 谢 l 1 1 2 8 3 0 1 4 4 5 8 9 9 9 2 9 9 9 0 0 3 5 7 1 1 1 2 2 2 2 掣 k 西南大学硕士学付论文摘要 关于l 0 9 3 的无理测度的研究 计算数学专业硕士研究生王利红 指导老师吴强教授 摘要 设o t 为无理数，称实数弘是o t 的无理测度，若对于任意的 0 ，存在9 0 ( ) 0 ， 使得对所有满足q g o ( e ) 的数组p ，g ) z 2 ，我们有 l o t p l 口一p r i口 我们的主要工作就是研究l 0 9 3 的无理测度，对于这个问题有很多人进行了研 究最后的两个计算结果分别是1 9 8 7 年r h i n 计算得到的# ( 1 0 9 3 ) = 8 6 1 6 和2 0 0 7 年s a l i k h o v 计算得到的# ( 1 0 9 3 ) 5 1 2 5 在本文中我们利用整超限直径的理论，借助改进后的l l l 算法和半无限线性 规划法计算得到p ( 1 0 93 ) = 5 1 1 6 3 关键词：无理测度；线性无关测度；整超限直径；l l l 算法；半无限线性规划法 - l ， 茜南大学硕：l学位论文abstract o nt h ei r r a t i o n a l i t ym e a s u r eo f l o g3 m a j o r ：c o m p u t a t i o nm a t h e m a t i c s n a m e ：w a n gl i h o n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rw uq i a n g a b s t r a c t l e tqb ea ni r r a t i o n a lr e a ln u m b e r i ff o ra n y 0 ，t h e r ee x i s t sq o ( ) 0 ， s u c ht h a 土 l q 一言l g p 一 f o ra l li n t e g e r spa n dqw i t hq g o g ) ，t h e nt h er e a ln u m b e rp 0i ss a i dt ob ea n i r r a t i o n a l i t ym e a s u r eo fq i nt h i sw o r k ，w em a i f a yp r o v et h ei r r a t i o n a l i t ym e a s u r eo fl o g3 m a n yp e o p l e a l es t u d y i n gt h ep r o b l e m t h em o s tr e c e n t l yr e s u l t sa r e # ( 1 0 93 ) = 8 6 1 6b yr h i n i n1 9 8 7a n d # ( 1 0 93 ) 5 1 2 5b ys a l i k h o vi n2 0 0 7 i nt h i sp a p e r ，w eg e t # ( 1 0 93 ) = 5 1 1 6 3 o u rc o m p u t a t i o nu s eam e t h o dc o n - c e r n e dt h ei n t e g e rt r a n s f i n i t ed i a m e t e r ，l l la l g o r i t h ma n ds e m i - i n f i n i t el i n e a rp r o - g r a m m i n g k e y w o r d s ：i r r a t i o n a l i t ym e a s u r e ；t h el i n e a ri n d e p e n d e n c em e a s u r e ；t h ei n t e g e r t r a n s f i n i t ed i a m e t e r ；l l la l g o r i t h m ；t h es e m i i n f i n i t el i n e a rp r o g r a m m i n g 1 1 西南大学硕士学位论文 第1 章引言 第1 章引言 无理测度和线性无关测度是计算数论领域中的重要内容，一直是被人们广泛 关注的对象，其研究结果对计算机科学中的用整数正确表示实数的理论和算法研 究具有重要的指导意义 设a r q ，称实数p 是a 的无理测度，若对于任意的e 0 ，存在q o ( ) 0 ， 使得对所有满足q q ；o ( ) 的数组p ，q ) z 2 ，我们有 l q 一言l g p 一 若g o ( ) 可以明确计算，则称我们有一个明确的无理测度 设q o ，o t l ，q 。为q 上线性无关的实数，称秒为q o ，q 1 ，q 。的线性无关 测度，如果对任意的 0 ，存在凰( e ) 0 ，使得对所有的 p ，q l ，q n ) z 叶1 ，h = m a x ( i q l i ，1 9 2 l ，l 1 ) 日o ( ) ， 我们有 l 艘o + q l o q + + q n o l n l h u 一8 若凰( ) 是可以明确计算的，则称我们有明确的线性无关测度 注意：将关于q 的所有的无理测度中最小的记为p ( q ) ，将关于( n o ，n 1 ，q n ) 的所有的线性无关测度中最小的记为v ( a 0 ，q 1 ，q 。) ，显然我们有p ( q ) = v ( 1 ，q ) + 1 对于无理测度，有很多人进行了研究特别是针对7 r ，l 0 9 2 ，l 0 9 3 等重要的无理 数例如 关于l 0 9 2 的无理测度，有 # ( 1 0 92 ) t 2 5 ( 1 0 6 4 年，a b a k e r 1 ) ； p ( 1 0 92 ) 4 6 2 2 ( 1 9 7 9 年，a v a nd e rp o o r t e n 2 ) ； 上( 1 0 92 ) 4 2 6 9 ( 1 9 8 2 年，g v c h u d n o r s k y ，d v c h u d n o r s k y 3 ) ； 比( 1 0 92 ) 4 0 7 6 5 ( 1 9 8 7 年，g r h i n 4 ) ； 卫( 1 0 9 砧3 9 9 t ( 1 9 9 3 年，f a m o r o s o 5 ) ； # ( 1 0 92 ) 3 8 9 1 3 9 9 ( 1 9 8 7 年，e a r u k h a d z e 6 ) ； f , 0 0 92 ) 3 5 7 4 5 5 3 9 1 ( 2 0 0 9 年，r 。m a r e o r e c c h i o 7 ) ； ： 硒南大学硕士学位论文第1 章引言 关于丌的无理测度，有 p ( 丌) 3 0 ( 1 9 5 3 年，k m a h l e r 8 d ； p 何 2 0 ( 1 9 7 4 年，m m i g n o t t e 9 ) ； p ( 7 r ) 1 9 8 8 9 9 9 4 4 ( 1 9 8 4 年，g v c h u d n o v s k y 1 0 d ； p ( 7 r ) 1 3 3 9 4 ( 1 9 9 3 年，m h a t a 1 1 ) ； p ( 7 r ) 8 0 1 6 1 ( 1 9 9 2 年，m h a t a 1 2 d ； p ( 7 r ) 8 0 1 6 0 4 5 ( 1 9 9 3 年，m h a t a 1 3 ) ； p ( 7 r ) 7 6 0 6 3 ( 2 0 0 8 年，v h s a l i k h o v 1 4 ) ； 关于的l 0 9 3 无理测度，也有许多的学者进行过研究由于有u ( a ) = v ( 1 ，口 + 1 ， 所以我们可以通过讨论1 ，l 0 9 2 ，l 0 9 3 的线性无关测度来讨论l 0 9 3 的无理测度例 如我们可以在区间【2 ，4 】上，考虑以下积分 a3 ( x - 2 ) - ( x - 3 ) 2 - ( x - 4 ) - 妇； 以4 坚避掣电 其中a 为一整数选择适当的整数a 可使第一个积分变为z + z l 0 9 3 2 的形式， 同时使第二个积分变为z + z l 0 9 4 3 的形式，从而由h a t a 1 3 的引理3 1 我们就可 以得到关于1 ，l o g2 ，l o g3 的线性无关测度 1 9 8 7 年，r h i n 4 1 在上式的基础上添加了多项式q 1 = 5 1 1 2 ，q 2 = 1 7 1 2 1 0 2 x + 1 4 4 ，q 3 = 1 9 1 2 1 0 8 x + 1 4 4 ，通过讨论积分 a 厂3 坠型垫竺坐垫掣竺型鲨兰妇 ，2 z ”1 和 a 厂4 坠型唑蔓坐垫掣坠螳氓 j a z 1 其中q 1 = 0 5 5 2 4 ，q 2 = o 7 0 4 3 ，q 3 = 0 4 4 7 5 ，o t 4 = 0 1 0 4 0 ，q 5 = 0 0 3 8 9 ，q 6 = 0 0 5 4 3 ，a z ，得到 ( 1 ，l 0 9 2 ，l 0 9 3 ) = 7 6 1 6 ，因而得到了# ( 1 0 9 3 ) = 8 6 1 6 这 一结果保持了很多年，直到2 0 0 7 年被s a l i k h o v 1 5 1 改进 s a l i k h o v 在区间 3 5 ，4 2 l 上，考虑积分 a r 丽筹斋虹 2 a 2 两筹知妣 西南大学硕士学位论文第1 章引言 其中a 为整数，得到关于1 ，l 0 9 2 ，l 0 9 3 的线性无关测度，即v ( 1 ，l 0 9 2 ，l 0 9 3 ) 4 1 2 5 ， 从而得到# ( 1 0 9 3 ) 5 1 2 5 ，其中n ( x ) = 一2 8 ) ( x 一3 0 ) ( x 一3 5 ) 2 一4 0 ) 一4 2 ) r h i n 主要是应用算术的方法，通过对积分中被积函数的优化，即添加多项式 以及重新分配多项式的指数来改进被积函数在积分区间上的最大值，从而改进 原有结果，但在当时r h i n 没有给出对添加多项式q l ，q 2 ，q 3 的理论证明；w u 1 6 t 在其文章中对相应的理论进行了完整的讨论，并因此获得了1 ，l 0 9 2 ，l 0 9 3 ，l 0 9 5 和 l ，l 0 9 2 ，l 0 9 3 ，l 0 9 5 ，l 0 9 7 的线性无关测度 而s a l i k h o v 则是应用解析法，通过重新选取积分区问和构造更有效的被积函 数，并巧妙的应用被积函数的对称性，改进了r h i n 的结果 我们的主要工作是在s a l i k h o v 的基础上，结合算术的方法，改进了s a l i k h o v 的 结果但是，相对于r h i n 的算术方法，我们给出了寻找多项式的一套更为完善的理 论知识和计算方法；在具体的算法上，由于被积函数的形式发生很大的变化，所以 与w u 1 6 的方法相比，又会有较大的差异 在这篇文章中我们将l 0 9 3 的无理测度改进为5 1 1 6 3 我们将在第二章中介绍 研究过程中所需要的基础知识；第三章中介绍研究理论；第四章中阐述研究结果及 方法 3 西南大学硕士学位论文第2 章预备知识 第2 章预备知识 本章主要介绍我们在研究过程中所需要的一些预备知识主要包括线性规划 法，l l l 算法和整超限直径的基础知识 2 1线性规划 这里我们介绍线性规划的一些基本术语 线性规划问题的标准形式为 ( i ) 目标函数 m a xz = c j x j j = l ( i i ) 约束条件 奶0 歹= 1 ，2 ，几 j 一一 ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 定义2 1 满足约束条件( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 的解x = x l ，x 2 ，z n f ，称为线 性规划问题的可行解，所有可行解的集合称为可行域 肚a l i a12。aln。) b = a l la 1 2 - - - a i m = ( b ，岛，) 4 m21 | i o 一 玩酞 = 叻一u n n 坶 西南大学硕士学位论文2 2l l l 算法 令所有的非基变量z m + 1 = x m + 2 = = x n = 0 ，再利用高斯消元法求解方程 组b x b = b ，可得到一个解 x b = x l ，x 2 ，z 仇，0 ，0 ，o 】r 这个解称为基本解 定义2 4 满足非负条件( 2 1 3 ) 的基本解称为基本可行解，否则称为基本不可 行解 定义2 5 对应于基本可行解的基称为可行基 利用单纯形法我们可以求解线性规划问题单纯形法的基本思想是：先找到一 个初始可行基，得到一个初始基本可行解然后判断该解是否最优如果不是最优 解，则施行基变换，找到一个新的可行基，使新的基本可行解比原来的要好这样跌 代下去，直至找到最优解为止 关于线性规划更详细的介绍可参考文献【2 2 1 和 2 3 1 2 2l l l 算法 计算数论中最常用的独立算法就是l l l 算法【1 7 1 ，即格基归约算法，格基归 约算法是计算数论领域中的重要工具尽管g a u s s 和b v e l l d e 分别找到n = 2 和n = 3 情况下约减基的方法，但在很长一段时间内，没有一个真正令人满意的 算法可以在有效的时间内找出仡 3 情况下的一组约减基1 9 8 2 年a k l e n s t r a ， h k l e n s t r a 和l l o v 矗s z 提出了著名的l l l 算法这个算法虽然不能保证给出格 的最短向量，但却成功地在多项式时间内找到了不超过最短向量的2 _ 1 ) 2 倍的短 向量，而且往往在实际应用时效果很好 l l l 算法思想源于l a g r a n g e ，g a u s s ，h e r m i t e ，k o r k i n e - z o l o t a r e f f 等的二次型 理论及m i n k o v s k i 的数的几何理论在数的几何理论中，格的问题一直是研究的热 点问题我们希望找到格l 中某组约减基，这组基包含较短的元l l l 算法能通过 格的一组给定的基，计算出新的一组由短向量构成的l l l 约减基，并且具有某些良 好的性质 更重要的是，l l l 算法在我们的研究工作中起到了很重要的作用我们用l l l 算法来寻找较多较好的多项式 定义2 6 线性无关的向量b l ，5 2 ，k 生成的格三就是一些向量的集合， l = 啦现，z t = 1 5 西南大学硕士学位论文 2 2l l l 算法 我们称向量组b l ，5 2 ，k 为格l 的一组基 数论中的许多问题是通过在一定的格中寻找一些最短的( 短的) 向量来解决 的“短”是通过内积给出的范数而言的通常，我们用的范数是欧氏范数或2 2 范 数，即对一个实向量q = 【o t l ，q 2 ，o t n 】，其范数是 1 2 ( a ) = i | q l l = 析习耳面万f _ _ 瓣 在格中寻找长度最短的非零向量是比较困难的，对不同的n ，这是一个n p 难题， 即通常情况下，解决这类问题的多项式时间算法是不存在的不过l l l 算法能够 找到最短向量的一个近似值l l l 算法确切做的事情是通过格的一组已知基，返回 一组新基这组新基是在严格意义上推导出来的，它包含有相对短的向量这样一 组基就称为l l l 约简基，其定义如下： 定义2 7 ( l l l 约简基) 令b l ，b 2 ，k 是格三的一组基，蜒= 6 i 一 i f - ：1 l 胁j 哆，其中d i , j = ( b i b j ) l l b 3 1 1 2 我们称向量组b l ，b 2 ，k 为l l l 约简 的，如果它们满足一下两个条件： ( i ) i p i , j j 1 ，l j is n ( i i ) i t b * + p 钳一1 6 0 1 i f 2 i l i 啦l l l 2 ，1 i n 或l i b ；1 1 2 ( i p 乙一1 ) l | 6 0 1 1 1 定理2 8 令b 1 ，6 2 ，k 是格三的一组l l l 约简基，则 仃，) i f 6 l | | 2 ( - 1 ) 2 i z i i ，v z l ，z o j 例l 幻i | 2 “一1 ) 2 i i b t l l ，1sj i n i 例对任意线性无关向量组z 1 ，勋l 有 i i “2 ( - 1 ) 2m a x ( 1 l x l i i ，l l z 。l ) ，lsj t 由定理2 8 中的结论( 1 ) 可知，格的一组约减基中的b 1 的长度不超过其中 最短向量长度的2 ( n - 1 ) 2 倍在实际计算中我们看到向量b 1 接近格三中最短的非 零向量事实上，它往往是最短的向量，即使不是，在大多数情况下我们都可以用它 近似代替最短向量来使用而且，我们观察到维数越低，所得的结果越好 下面我们用最简洁的方式描述l l l 算法假设向量b 1 ，6 七一1 已经是l l l 约减的( 即是它们所产生的格的l l l 约减基) ，其中k 2 向量饥需要s i z e - 约 减，即使得i i z k ，i 1 2 对所有歹 k 成立，这可以通过下面的方法将b 詹换成 k 一j 后a j b j ( a j z ) 达到假定i p 幻l v 2 ( 由z = k 开始) 对： j z ，p 幻没有改变( 因为对所有z j ，蝣与b t 正交) ，而肛七，l 被p 七，j q 替 6 西南大学硕士学位论文2 2l l l 算法 换( b t 6 f = w 叼) ，并且l p 七，l q i i 2 ，则改变后的l 比k , j 对z 一1 2 ，对所有1 j5k 一2 ，交换弘七， 和纵一1 j 再设置肛卜纵，一1 ，b 卜风+ p 2 b k 一1 ，p ，奄一l 卜p b k 一1 b ，b 卜6 ；一1 ， 蜒一1 卜畦+ 加，壤卜- # k ，七一1 蜒+ ( b k b ) b ，b k 卜b k 一1 b k b ，b k 一1 卜b 最后对所 7 ， 西南大学硕士学位论文2 3 整超限直径 有i = 后+ l ，k + 2 ，k 黻，设置t 卜胁，k ，胁，k 卜胁，k 一1 - - p t ，纵詹一1 卜t + p 七，k a # i ，k ， 结束子算法 算法的第一- - 步是依照定义2 7 来计算肛奄，醛和风，k 是一个变量，满足向量 b l ，b k 一1 是约减的在第二步中，算法试图修改巩，使得b 1 ，b 知是约减 的，其中子算法r e d ( k ，1 ) 是适当的修改向量6 知，使得i 纵，i ，并对1 i l l ， 更新触j 子算法s w a p ( k ) ，是针对若i = k 不满足定义2 7 中的条件( i i ) ，则交 换向量k 和k 一1 ，并更新月k 对应的参数此时k 也减少1 ，因为我们只能保 证b 1 ，k 一2 是约减的更深入的分析表明，l l l 算法的算术运算数至多为 0 ( 佗6 i n 3 b ) ，若i b , 1 2 b 对所有i = 1 ，2 ，佗成立 2 3 整超限直径 定义2 9 设x 是复平面上无限的紧集，q 为复系数多项式，记d e g ( q ) 为q 的次数，i q i ，x 为q 的范数，且i q ，x = m a x q ( s ) 1 若q 为首1 的复系数多项式，且d e g ( q ) 0 ，我们就定义超限直径t ( x ) 为 l q i ：妒q 的下限即 t ( x ) = i n f ( i q i l j ) 丽而 q e c m 、一 针对我们的具体问题一线性无关测度，即结合在理想( z ，) ”z m 中的多项式， 我们扩展超限直径为： 定义2 1 0 设x 为一实区问，为正整数，为x 上的连续函数，y ：x 一冗+ ， 我们定义( ，) 一整超限直径为： t z ，( ，) ( x ) 2 p ( 。i ，n p fz m 鼍发( 囟 ) 1 1 7 加， ) ) 其中d e g ( p ( x ) ) = 2 n ( ，a ) 一整超限直径对线性无关测度的研究很重要，详见【1 6 1 8 西南大学硕士学位论文 第3 章l 0 9 3 的无珲测度的栩关理论知识 第3 章l 0 9 3 的无理测度的相关理论知识 3 1问题的来源 本章将详细介绍关于线性无关测度的理论知识首先介绍所研究问题的来源， 然后重点说明解决该问题所需的理论知识，其中包括关于理想的相关理论基础和 与线性无关测度的计算相关的理论知识 定义3 1 设q r q ，称实数p 是o t 的无理测度，若对于任意的 0 ，存在 口o ( e ) 0 ，使得对所有满足q q o ( s ) 的数组0 ，q ) z 2 ，我们有 i q 一翌i 口一p s ig i 若q o ( e ) 可以明确计算，则称我们有一个明确的无理测度 定义3 2 设q o ，o l l ，o t n 为q 上线性无关的实数，称u 为0 1 0 ，o t l ，o t n 的线性无关测度，如果对任意的e 0 ，存在上如( ) 0 ，使得对所有的 ，q 1 ，q n ) 刀“，h = i n a , x ( 1 口1 l ，l q 2 l ，i 1 ) h o g ) ， 我们有 l p a o + q l a l + + q h q n i h p 一6 若凰( ) 是可以明确计算的，则称我们有明确的线性无关测度 注意：若将关于o t 的所有的无理测度中最小的记为p ( q ) ，将关于( o t o ，o t l ，o t n ) 的所有的线性无关测度中最小的记为u ( q o ，o t l ，o t n ) ，显然我们有p ( q ) = ( 1 ，o t ) 十1 所以我们可以将研究l 0 9 3 的无理测度问题转化为研究1 ，l 0 9 2 ，l 0 9 3 的线性无 关测度问题研究方法主要是以s a l i k h o v 的解析理论为基础，结合算术的方法，通 过寻找一些有效的多项式对被积函数进行优化，进而改进s a l i k h o v 的关于l 0 9 3 的 无理测度的相关结论在具体计算过程中，我们还应用l l l 算法为我们提供备选的 多项式，然后应用半无限线性规划法确定可用多项式并同时给出这些可用多项式 好的指数，最终达到改进测度的目的 3 2关于理想的理论知识 正如引言中介绍的一样，在具体的研究- 1 - 作中，我们主要通过讨论积分 a i 器a z 。 9 西南大学硕士学位论文3 2 关于理想的珲论知识 其中a 为一整数，q ，p 为有理数， ) ，9 ) 为整系数多项式，再利用h a t a 1 3 1 中的 引理3 1 来计算相应的无理测度或线性无关测度那么，为了保证该积分能够得到 类似于z + z l o g b a 这样的形式，我们将被积函数乘以一个足以使上式成立且又尽 可能小的整数a 为确定此整数a ，我们需要讨论以下内容 在参考文献 1 8 】中有下列关于理想的性质 引理3 3 设p 1 ，沈，肼是r 个互不相同的素数，设 其中1 i s , f 7 j ( 1 歹7 ) 和q 巧都是非负整数，设鼠 ) ( 1 i s ) 为s 个次 数为h i 的整系数多项式，且甄( a i ，z p ，这里( a ，z ) 是指由z 和i 生成的理 想，即a i z z 】+ x z x ，设对所有的i 有“，且钆，n i 为正整数，若n in ，则 日( z ) = 日i ( z ) ( ，。) n 证明：由吼( a i ，z 卜知：存在q 巧( z ) z k 】，使得 鼠( z ) = q 魄( z ) 毋鸳， 所以 日( z ) = 1 7 鼠( z ) = n ( z ) z 筇一 = 。三( i l i = 1 眠( 矿衅咄)o k t n t 、 = 。蠹k ；( 讹i = 1 水，) 1 + 聃一( 垂1 华岛) o t s t l i 、 扛： 又有 。 1 1 r ：1 1 ( ，r 艿- ，) m 一：血亭嘶“ 蛐， t = 1l = l 、j = l 7 j = l 由已知a ”in ，即o q j n i 岛他( 1 j r ) ，q 巧岛( 1 j n1 i s ) ， 所以有 骞q 幻c 一，岛n 一妾q 巧忽岛( 几一喜砬) ， 1 0 一u a巧 ，n 皿 = 氆 妒 ，n 问 l | 。 从而对所有的 i = 1 即证得 s 觑咒都有 i = 1 ：血茅啦“：血参忙圭) q j = a c n - i 妻= 1 岛，q ( q z ) j = l j = l h= 0 h s n i l o o 佗n _ o o 几一 其中仃，7 ( ( 1 i m ) 都是正数 设7 - 。1 m i i 0 ，都存在一个正整数h o ( s ) 使得 i p - i - q 1 7 1 + + g 。7 m i h 一詈一5 对所有的整数弘吼( 1 i m ) 成立，其中日= 1 m 、。a 、x 。( i m l ) h o ( e ) 西南大学硕士学位论文 3 3 关于线性无关测度的理论知识 当m = 1 时，引理3 6 即为h a t a 1 3 1 中的引理3 1 现在我们的工作就是在s a l i k h o v 的基础上开展的，即通过在原有多项式的基 础上添加新的多项式，并为这些多项式因子重新分配指数来优化被积函数在积分 区间上的最大值，从而达到改进原有结果的目的而这种方法w h 在【1 6 l 中已提出 一套较为完善的理论知识，但是由于s a l i k h o v 的被积函数有一个很重要的特点，即 对称性，所以相对于w u 的方法又有较大的不同 设 1 1 危( z ) m 、n 硪2 ( 、赫) 其中d 为偶数，r ( z ) z 纠，且0 d e g r ( x ) 2 ，忍( z ) 肌t ( a i ，z ) 帆，若兄( z ) 满 足r ( d z ) = 兄( z ) ，贝0 有 讹m + 壹i = l ( 含+ 南) ， 其中p ( x ) z x l ，d e gp ( x ) = 佗啦d e gr ( x ) 一2 n ，a q 由此我t f - - i i $ 得如下 结论 引理3 7 a = n 鼠，b i z ，n j = 礼( r t i o t i j 一岛) + ( 岛一7 j ) i ，1 is s ，1 j 7 - ，其中，岛，同推论3 名中的定义 证明：由 徘，：( 翳) n 有：a i = o n i ( r ) 护) ，将所有的尼( z ) 排序，使得当1 i t l 时， 甩( z ) = ( a i x + 玩) ， 当t l + 1 i t 时， 冠( z ) = ( a i 矿+ a i d x + 玩) ， 且d 2 b i ，又当t + 1 i s 时， 忍( z ) = ( a i x 2 + a i d x + 玩) ， 且妒lb i 又 d k ( u l u 2 牡，) = d k 。( 乱- ) d 乜( 钍2 ) d k ，u ，) ， k l + b + + k = 七 1 4 其中u i ( 1 i r ) 为多项式所以 a = d n 一 ( r ( z ) z n ) = ( i i 巩( a i x + b i ) 彻t k l - f k 2 - f + b + l = n - - i i = 1 骢，刚aix2-t-aii=tl蚺”m ( 扎矿n ) ， + 1 其中0 k i 礼扎i ，1 i s ，k 1 + 如+ + + l ：礼一i 从而 其中 a = t l 、t 莩铲1 - i n i 。i i = 1i = t + 1 q 岛 1 + 而沙妒一b = d 乜( r ( z ) n n t ) o + 1 i s ) ，q 乜霹“t 一：d h ( r ( z ) n n t ) ( 1 + 1 i t ) 由引理3 5 知：仇( t + 1 i s ) ，q ( z 1 - t - 1 i t ) 都为整数，故 椎z k 则a =b i1 - 7 ip ， j = l 。 其中鼠z ，且 = ( n 他一k d o j + i = 1 i = t + l 壹i = 1 啪旷一( m + ( 一n 一+ 1 ) 慨一i = 宴t1 + 竹) n ( 壹n i o t i j - - j ) 一( 岛一) ( 佗一z )h = n ( 壹i = 1 叩巧一岛) + ( 岛一协 、 定理3 8 设d 为偶数，且1 d 2 0 1 o m d ，n 1 ，n m 为仇个正 整数，a = d l c m ( a l ，d 一口1 ，0 2 ，d 0 2 ，a md 一，田， 毗，= 希 z ”i d z ) t 1 5 另设 + 七 一n d矿 k n 醪 。讲 t n n i l p 。谢 垤 仇，。讲 。 谢 其中r r i ( z ) 2t 1 ：- i ，( 尼( z ) ) 彻，n 为足够大的偶数，n m z + ，咒 ) 为整系数多项式， 且r ( z ) ( 厶，z ) z f z j ( 1 i s ) ，r ( z ) = r ( d z ) ，设对所有的吩，1 j m 有 设 且 则 州忍班厶希n 风= c m ( 1 ，2 ，m a x ( n ，d e 9 r ( z ) 一2 钆) ) ，仉= 方勰。n 岛一釜- 蚋j ， j = l l i m _ n _ 1l o g h n = k l i r a 。- n 1l 。g 骗：g ， 风队枷2 ) ez + z l o g ( 盏) ，1 1 时，有 凡( ) = 一 a ( ) + 人t ( ) = 1 刍( 刍一d d )( 一z ) - 1 q a = 一一 d 2 i 1( 寿 南d) ( 一) 扛1 由尼0 ) ( t ，z ) ( 1 i s ) ，知：r ( z ) ( ，z ) n z k 】，且r ( z ) = r ( d z ) ，于是 由引理3 7 知：q 。人 ( q ) z 1 6 ( 3 ) 当i = 1 时，有 州小a 厶( 三一两1 ) d x = a i1 0 s 去l ：2 = a 1l o g 蕊a 兰 由引理3 7 知：凰q 。a l z 综上有： 以( d 2 ez + z l o g ( 去) 由参考文献 1 8 l 中的引理3 5 ，我们可以得到以下结论，即： 6 1 理3 9 设毫( 1 i m ) 为r ( x ) 在区间f d 2 ，8 m 】上的极值点，并使得 d 2 f l a l 已 0 ，使得 丁( 0 ) = 。l ，i m 。元1 o g ( m a ：x p 等黪) 若7 = 1 0 ，都存在一个正整数凰( ) ，使得 j 、1 m v 、一，7 一 j p + g 山g ( 去) + + 讪g ( 惫) l 胪叶 对任意的整数p 和劬，1 歹m ，且日= 1 m 、。a x 。( i q j i ) h o ( ) ，肛为一个正实数，且 7 - ( o ) + k + 口 胪了石 7 一 一0 证明：由定理3 8 的证明过程知，存在下列关系式： 风“厶( 2 ，) = 风饥a ( ) + 风骗似) + 风q n a 1l o g ( 盎) i - = 2” 且 所以有： - n q n a ( ) + 风骗凡( ) = 磴) z ， i = 2 玩刚，2 ，风矾州2 蚓= 0 ) , ) , j = l o g d - a j - ) ， 又由引理3 9 可得到： 忙刍t ( 苍等) 志， 竹l 。i m 。- n 1 1 。gi r n l = 7 _ ( 0 + k + g ， 。l 。i m 。1 几1 。gi 妒l = 一丁+ k + g 若0 ) 满足定理条件，即对所有的丁u ) 严格为i e ，并且两两不同，且丁： 1 罂骤( 7 ) k + q 则由引理3 6 知：对任意 0 ，存在一个正整数h o ( e ) ，j 、 气m 一， 使得 h 山g ( da l a l ) + + 讪g ( 去) l h - t t _ e 对所有的p ，吼，日21 笔器( 1 劬f ) h o ( ) ，且有 7 ( o ) + k 十q p2 了而。 丁一瓜一口 我们的计算工作就是以定理3 8 以及定理3 1 0 作为理论基础的 第4 章 关于1 ，l o g2 ，l o g3 的线性无关测度的研究结果 及方法 4 1 研究结果 对于1 ，l 0 9 2 ，l 0 9 3 的线性无关测度我们有以下结果，若取 r ( z ) = ( z 一2 8 ) 【q 1 川( z 一4 2 ) 陋l 川( z 一3 0 ) 【q 。叫( z 一4 0 ) 【n ：n ( 1 l x 一4 2 0 ) q 3 川 ( 1 l x 一3 5 0 ) f 口3 叫( z 一3 5 ) 【a t n l ( 3 x 2 2 1 0 x + 3 6 4 0 ) 1 a s 川 ( 1 1 3 x 2 7 9 1 0 x + 1 3 7 2 0 0 ) 1 6 q ( 7 1 x 2 4 9 7 0 x + 8 6 2 4 0 ) n 7 嵋 其中0 1 = 0 4 9 9 4 6 1 ，0 2 = 0 4 9 9 6 9 8 ，n 3 = 0 0 0 0 8 4 1 ，0 4 = 0 9 9 5 0 3 4 ，q 5 ：0 0 0 0 6 0 4 ( 2 62 0 0 0 1 4 0 6 ，0 7 = 0 0 0 0 4 7 3 ，风= c m ( 1 ，2 ，n ) ，q n = 2 0 4 9 0 9 7 4 n ，n 为足够大的 偶数，则有 定理4 1 对于任意 0 ，存在一个正整数凰( ) ，使得 i p + q al 0 9 2 + q 2l 0 9 3 l h 一4 1 1 6 3 5 对所有整数p ，9 1 ，9 2 成立，h2 跫鉴( i 1 ) h o ( ) 由于p ) = v ( 1 ，q ) + 1 ，我们由定理4 1 可以得到下面的推论 推论4 2 对于任意的 0 ，存在口o ( e ) 0 ，使得对所有满足g g o ( e ) 的数组 ，q ) z 2 ，我们有 | l 0 9 3 一脊g _ 5 1 1 6 3 _ e 4 2 研究方法 我们研究的目的就是为了使线性无关测度越小越好，令定理3 8 中的 则由定理3 1 0 知： p = 一 怂：( f ( z ) ) n x n ( d 一。) ” rr 川 。l i m o o1 。g 丽1 外：p 巩q 。f ”( z ) 夏墨西 n 1 i m 。! n1 。gh n q n + 1 。g ( m ，a x _ = j m 囊垂a x 囊厕 f ( x ) 1 ) 1 9 西南大学硕士学位论文4 2 研究方法 我们研究的目的就是要优化函数f ( z ) ，使其在满足定理3 8 中的条件下，获得 更小的线性无关测度具体来说，我们需要对被积函数f ( x ) 在整个积分区间上的 最大值最小化这里，我们通过两种方法优化f ( z ) 第一，寻找f ( z ) 的有效多项式 因子；第二，为f ( x ) 的多项式因子配最佳的指数，而这两种方法都需要借助线性规 划实现 令 ，= n l i r a 。元* l o g h n q n + 1 0 9 ( 珂尹d 趱qi p ( z ) ) ， n o o ，l 、 jd 2 2 0 且肛值越小越好，只须使9 越小，( 一，) 越大，所以我们考虑创建关于9 和( 一，) 的多目标线性规划问题 4 2 1线性无关测度与整超