（运筹学与控制论专业论文）几类非线性系统的稳定与控制研究.pdf

几类非线，陛系统的稳定与控制研究 摘要 本文针对线性定常测度型脉冲大系统和离散非线性系统，分别研究了线性定 常测度型脉冲大系统的不稳定性以及一类离散i 。i p s c h i t z 非线性系统降维观测 器设计和一类带有时滞的离散非线性系统的次优控制问题全文共包括以下四 = 匕 罩 第一章介绍了测度型脉冲大系统和非线性离散系统的研究背景及数学描述， 简要地回顾了测度型脉冲大系统和非线性离散系统的研究进展情况主要包括测 度型脉冲系统的概念、与其他不连续常微分系统的区别、研究现状以及非线性系 统的发展和研究方法，并且说明了这些研究方法的局限性最后指出了测度型脉 冲大系统和非线性离散系统这两个领域存在的一些问题 第二章讨论了线性定常测度型脉冲扰动大系统的不稳定性在实际工程中， 一个运动或工作的系统总是不可避免的存在着各种干扰，干扰的后果如何是我们 必须要考虑的，因此对运动不稳定性的研究具有重要意义文中利用l y a p u n o vv 函数和比较原理的方法证明了线性定常测度型脉冲大系统的不稳定性定理，丰富 了线性定常测度型脉冲大系统的理论 第三章研究了一类离散l i p s c h i t z 非线性系统的降维观测器设计问题针对 一类离散l i p s c h i t z 非线性系统，通过引入l y a p u n o v 稳定意义下观测器存在性 的概念，在保证观测误差渐近稳定的条件下，讨论了其降维观测器的存在性对 该离散l i p s c h i t z 非线性系统，给出了一特别形式的l y a p u n o v 函数，若在 l y a p u n o v 稳定意义下存在全维观测器，则必存在降维观测器，并给出了降维观 测器的设计方法 第四章研究了一类带有时滞的非线性离散系统的次优控制问题提出了次优 控制转化法，当系统的控制步数不超过系统的时间滞后时，利用微分动态规划的 方法将带时滞的非线性离散系统的次优控制问题转化成了无时滞的非线性离散 系统的最优控制问题，从而给出了该系统的次优控制器设计方案 关键词：线性定常测度型脉冲大系统；稳定性；离散l i p s c h i t z 非线性系统；降 维观测器；时滞非线性系统；次优控制 s t a b i l i t ya n dc o n t r o lr e s e a r c ho fs e v e r a lt y p e so f n o n l i n e a rs y s t e m s a b s t r a c t h lt h i sp a p f o rl i n e a rt i m e i i l v a r i a i l tm e a s u r ei m p u l s el a r g e - s c a l es y s t e m sa i l dd i s c r e t en o n l i i l e a r s y s t e m s ， t h ei n s t a b i l i t ) ro fl i i l e a rt i i n e - i n v a r i a i l tm e a s u r e i m p u l s el a r g e s c a l es y s t e m s ， r e d u c e d - 0 r d e ro b s e i v e rd e s i g no fo n ec l a s so fd i s c r e t el i p s c h i t zn o n l i n e a rs y s t 啪sa i l ds b o p t i l n a l c o n 仃do fac l a s so fd i s c r e t et i m e d e l a yn o n l i n e a rs y s t e r i l sa r es t u d i e ds 印a r a t e l yt h em ut e x t i i l c l u d e st h ef o l l o 、) l ，i n gf o u rc h a p t e r s c h a p t e rii n t r o d u c e sr e s e a r c l lb a c k 伊o u n da n dt h em a m 锄a t i c a ld e s c r i p t i o no ft h em e a s u r ep u l s e 1 a i g e s c a l es y s t 锄sa n dn o n - l i n e a rd i s c r e t es y s t 锄s i t 酉v ab r i e fr e 啊e wo fr e s e a r c hp r o 孕璐so f t h em e a s u l 陀i i 】1 p u l s el a r g e - s c a l es y s t e m sa n dn o n - 1 i n e a rd i s c r e t e - t i m es y s t e m s i tm a i n l yi i l c l u d 嚣 t l l ec o n c 印t 雒w e l la st l l er e s e a r c hs t a t i l so fi m p u l s em e a s u r es y s t 锄s ，t h ed i s t i n c t i o n 谢t l lo t l l e r n o n _ c o n s e c u t i v eo r d i i l a i yd i 珏b r e n t i a l s y s t e m s ，a n dt h ei i e v e l o p m e n tt o g e t h e rw i mr e s e a r c h m e t l l o d so fn o n l i n e a rs y s t e m s ，a n di l l u s 乜a t e st l l el i m i t a t i o n so ft h e s em e t l l o d s f i m l l 弘i ti n d i c a t e s s o m ei s s u 嚣e x i ti nt l l ea r e 勰o f m e a s u r ep u l s el a r g e s c a l es y s t e m sa n dn o n 1 i n e a rd i s c r e t e t i m e s y s t 蹦l s c h 印t e r d i s c u s s e st h ei i l s t a b i l i t ) ，o ft h el i n e a rt i m e i n v a r i a n tm e a s u r ei l p u l s es y s t e i n s h l p r a c t i c a le n g i i l e 舐n g ，av a r i e t ) ro fu n a v o i d a b l ei l l t 酬f 醯e 1 1 c ea l w a y se x i s ti na 驴r t so rw o r k s ) r s t e m s ，a i l dw r h a tt h ec o n s e q u e i l c e so fn 刮f 打c ei sw r h a tw eh a v et oc o l l s i d e r s o ，i ti so fg r e a t s i 印i f i c 锄c et o 碱 e a r c hi 1 1 s t a b i l i 何t h ei i l s t a b i l i 够n l e 0 嘲no ft h el i i l rt i l n e - i n _ v a r i 锄tm s u i m p u l s el a 昭e - s c a l es y s t 伽略i sp r o v o db yi 卿u n o vv 矗m c t i o n 觚dc o m p a r i s o np r i n c i p l e ， 酬c h i i l gt h eo r i g i i l a lt 1 1 e o c h a p t e ri i is t i l d i 髓t h er 。d u c e d - o r d e ro b s e n ，e rd e s i 印p r o b l 锄o fac l a s so fd i s c r e t el i p s c h i t z n o n l i i l e a rs y s t 锄s f o rac l a s so fl i p s c h i t zn o n l i i l e a rd i s c r e t es y s t e m s ，a r e rt l l ec o n c e p to fm e e x i s t e n c eo fo b s e r v e ru n d e rt l l em e a n i n go fi 御u n o vs t a b i l i t ) ri si n 仃o d l l c e da n dm ea s y m p t o t i c s t a b i l 时o fo b s e r v e re n - 0 r si sg i l a r a n t e e d ，t l l ee x i s t e i l c eo fr e d u c e d o m e r0 b s e r v c ri ss t u d i e db a s e d o nt h ei n t r o d u c e dc o n d i t i o n t h ec o n c l u s i o ni si e a c h e dt h a ti ft h e f ei sa 如l l o r d e ro b s e r v e ru n d e r t h em e a n i n go fl y a p u n o vs t a b i l i 哆谢n lr e s p e c tt ot h es p e c i a l 【弘p u n o v 向n c t i o n ，t h e r ea l s oe x i t sa r e d u c e d o r d e ro n e 谢t ht h es a n 1 e 鹊s 硼叩t i o n s a n dt h ed e s i g no fr e d u c e d - o r d e ro b s e r v e ri s 西v e l l i i lc h a p t e ri vs u b o p t i m a lc o n t r o li sc o n s i d e r e df o rac l a s so fn o n l i i l e a rd i s c r e t es y s t e m sw i t h t i m e - d e l a y as u b 叩t i m a lc o n 仃o lc o n v e n i i l gm e t h o di sp u tf o r w a r d w h e nt h ec o n t r o ls t e pi s n o tm o r em a nt h et i m e d e l a yo f 吐l es y s t e m s ，s u b 叩t i m a lc o n t r o lp r o b l e mc a nb ec h a n g e di i l t 0 o p t i m a lc o n 仃o lp r o b l 锄埘t h o u tt i m e d e l a yb yd i f f e r e n t i a ld y n a m i cp r o 伊a m m i n g a n dm e d e s i g ns c h e n l eo fs u b o p t i m a lc o n t l i o l l e ri s 西v e i lf o rm es y s t e l i l s k e y w o r d s ： 1 i n e a rt i m e i n v 撕a n tm e a s u r ei m p u l s el a 玛e s c a l es y s t 锄s ； s t a b i l i t y ； d i s c r e t el i p s c h i t zn o n l i n e a rs y s t e m s ；r e d u c e d o r d e ro b s e r v e r ；t i m e d e l a yn o n l i n e a r s y s t e m s ；s u b o p t i m a lc o n t r o l 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 或 其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息 研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公 众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者虢昼妄桕 签字日期：卅 刚同 导师签字： 一期7 1 夕一 徊乏 1 年厂月肜日 第一章绪论弟一早三百i 匕 1 1大系统研究概述 在现代科学的许多领域汇总，微分系统是描述和刻画客观时间的最基本和最 常用的工具，譬如在控制系统中就是如此就一般意义而言，实际系统的模型往 往归结为隐式的微分方程： f ( f ，x ，x ) = o ( 1 1 1 ) 其中x = “，毛) t ，= 冬，f ：q 2 r ”为刀维向量值函数，了= k ，佃) ，q 为 口f 含原点的酶”中的开域 在方程( 1 1 1 ) 中，若笔o ( 即f 关于，的j a c o b i a n 行列式不为o ) ，且f 具 有一定的光滑性，如c ，髟连续可微，则( 1 1 1 ) 式可写成显式微分方程，如 ，= ( ，彳) ( 1 1 2 ) 其中厂：q 专r ”为刀维向量值函数 若笔= o ，则微分系统( 1 1 1 ) 往往被称为隐式系统或奇异系统，广义系统等 等 在系统( 1 1 2 ) 中，若，石) 在相应的区域连续，则系统( 1 。1 2 ) 称为连续系 统若厂，工) 不连续，则系统( 1 1 2 ) 称为不连续系统对于不连续情形，根据( f ，工) 不连续性的不同提法，可以得到不同的连续性系统，总的概括起来，大致可分为 四类不连续性系统【 i 型：在点或点集上不连续当o ，工) 关于x 连续，而在关于f 的点或点集上 不连续时，则认为此时系统( 1 1 2 ) 属i 型不连续系统 i i 型：在曲线或曲面上不连续当( f ，x ) 关于f 连续，而在关于x 的曲线或 曲面上不连续时，则认为系统( 1 1 2 ) 属i i 型不连续系统 i i i 型( 混合型) ：在点集和曲面上均不连续即当厂( f ，工) 对f ，x 均不连续时， 称系统( 1 1 2 ) 为i i i 型不连续系统 除前面已列举的若干典型的不连续系统外还有一类描述和刻画脉冲与瞬动 性态的微分系统一测度型脉冲系统，它一般形如 i x = p ( f ，x ) + q ( f ，x ) d 掰 ( 1 1 3 ) 这里脚和d “分别表示x 和掰的分布导数( 连续线性泛函) ，通常对尸，q 假设： 几类非线性系统的稳定与控制研究 p ( f ，x ) 为可积，q ( f ，x ) 关于测度砌可积，砧为有界变差函数，此时其解亦为有 界变差函数，如测度型脉冲系统的初值问题 d x = 神甜，x ( 气) = ( 1 1 4 ) 这里取函数撑( f ) = f + 6 ( 吐日( f ) 为h e a v i s i d e 函数日( f ) = o ，f 耋0 不难得到d “= l + 施( f ) ( 艿( f ) 为d i r a c 测度) ，而方程( 1 1 4 ) 的解为 川h e 楸训， t + 急叫 - + 志r m ， 眦删时叫归 。2 篙凇，等 孙。时叫惦 而篙篡装曲x ：三兰 易见，方程( 1 1 4 ) 右端在f = o 处出现脉冲干扰，相应的解( 1 1 5 ) 在该时刻瞬动 由此可见，测度型脉冲系统是一类较广泛的不连续系统因此，对这类系统 进行研究具有一定的普遍意义此外，由于测度型脉冲系统的导数是分布导数， 解一般是有界变差函数，且脉冲跳跃度并不明显知道( 隐含在系统中) ，用经典理 论和方法来研究其瞬动脉冲性态会碰到一些困难因而对这类问题从理论上进行 探讨是十分必要的 如所周知，当一个用常微分方程描述的系统受到扰动时，假如扰动函数是连 续或可积的，则扰动后的系统仍是常微分方程，解仍是连续的但是如果扰动是 脉冲的，那么扰动后系统的状态就不是随时间而连续变化，而是呈现出一种瞬动 性态这类脉冲瞬动现象在物理、生态、最优控制、经济、工程、以及神经网络、 机器人、通讯等众多领域中普遍存在这类脉冲瞬动现象的数学模型已不为传统 的连续型微分方程或离散型差分方程所包含，而测度型脉冲系统为这类现象的研 究提供了有力的工具 例生物种群的生长模型【l 】 考虑水库养鱼问题某鱼种在放鱼塘内生长，在一定时间间隔，乞，上分 别将一部分长大了的鱼从池塘里捞走，同时放进一定数量的鱼苗通常按m a l t h u s 种群增长规律，假定鱼群数目x ( f ) 增长速度与同一时刻的x ( f ) 成正比，即 鲁= 唧) 但实际上在时间，乞，存在间断的扰动，因此鱼群的增长不再是连续变化 的，而是瞬动的其数学模型应为m = 瓤( f 1 d “ 2 几类非线性系统的稳定与控制研究 其中，眈和d “分别表示x 和“的分布导数，“为有界变差函数，其形式可取为 “( f ) = f + 吼巩( f ) ，式中峨( f ) 为h e a v i s i d e 函数气 f o ，而为常数显然， 七= l 若口。是正数，表示投入鱼种，若口。为负数，表示捕走一批鱼 类似地，还可用测度型脉冲系统描述l o t k av 0 1 t r r a 捕食与被捕食模型、竞争 型、共生型及食物链方面的模型总之，用测度型微分系统描述的含脉冲扰动的 实际例子不胜枚举，而大多数研究的是大型的测度脉冲系统，因而更具有一般性 关于国内外测度型脉冲系统的研究概况，早期的主要著作有p a n d i t 和d e o 编著的脉冲微分系统( 1 9 8 2 ) 1 2 j ，徐远通编著的泛函微分方程与测度微分方 程( 1 9 8 8 ) p j 专著脉冲微分系统总结了前人在这一领域的研究成果，该书 介绍了测度微分方程的级别理论，包括解的存在性，最终稳定性，渐近等价性， 李雅普诺夫第二方法等专著泛函微分方程与测度微分方程除系统地介绍了 测度微分方程的基本理论外，还给出了一些应用举例之后许多研究者对测度型 脉冲系统进行了研究，但是直到1 9 9 2 年关于测度型脉冲大系统的稳定性的方面 的研究非常地少自1 9 9 2 年以来，关治洪、刘永清对测度型脉冲大系统，包括 线性、非线性、时滞、区间、奇异测度型脉冲大系统的稳定性和镇定理论进行了 研究文献 1 】系统地总结了这一研究成果，对测度型脉冲大系统的理论与应用 的发展起到了一定的推动作用 测度型脉冲大系统的稳定性理论是许多学者多年来一直研究的热点，到目 前，其稳定性理论的研究已经取得了一定的成果文 1 4 给出了线性定常测度 型脉冲大系统的稳定性文 5 】给出了测度型时变区问脉冲大系统的稳定性文 献 6 - 8 】利用线性矩阵不等式，l y a p u n o v 稳定性理论和r i c c a t i 方程等方法讨论 了三类组合大系统的稳定性分析；文献【9 】 1 0 】应用l y a p u l l o v 方程以及标量和的 l y a p u n o v 函数法给出了两类离散广义大系统的稳定性分析；对于时滞大系统， 文献 1 1 - 1 5 通过非线性l y a p u n o v 泛函和矩阵不等式等方法讨论了几类带有时 滞的不同大系统的稳定性然而，关于测度型脉冲大系统的不稳定性问题，目前 的研究报告尚不多见 本文第二章仅就线性定常测度型脉冲大系统利用l y a p u l l o vv 函数和比较原 理给出了不稳定性的定理，并加以证明，然后用例子说明了其结果的可行性，在 理论上丰富了线性定常测度型脉冲大系统的原有结果 1 2 非线性离散系统研究概述 离散控制理论的形成和发展，从1 9 3 2 年奈奎斯特发表关于反馈放大器稳定 性的经典论文开始，到现在为止已经经历了经典控制理论阶段和现代控制理论阶 段经典控制理论阶段所涉及的对象是线性单回路系统，现代控制理论的研究重 点是多变量系统目前对于线性系统的分析与设计已形成了一套完整的理论体 系，这些理论及方法在工程上得到广泛的应用，并获得了巨大的成就但严格地 3 几类非线性系统的稳定与控制研究 讲，几乎所有的控制系统都是非线性的，线性是在一定的范围内和一定程度上对 系统的近似描述而在当时，由于对控制系统的精度和性能要求较低，当系统的 非线性因素被忽略，或者局部线性化后，在一定的范围内可以满足对控制的要 求因此，非线性系统没有形成像线性系统那样完整、系统的理论体系 控制理论发展到今天，面临着一系列的挑战最明显的挑战是对象的本质非 线性，而且近代控制对象的运动是大范围的，例如卫星的定位与姿态控制，机器 人控制，精密数控机床的运动控制等，这些都不可能采用线性线性模型对于这 类非线性系统的控制问题，不能通过泰勒展开，用线性化的方法化为一般的线性 系统问题，必须采用非线性控制方法 最近几年，非线性控制理论的研究受到了控制理论界空前的关注同时，计 算机技术的飞速发展和数学工具的突破，也为发展一般的非线性控制理论提供了 可能性早在五十年代，由于数字计算机在工程和科学上应用的增加，离散控制 系统的研究已经引起了人们的注意，当时的工作主要是应用z 变换研究采样数据 系统近三十年来，离散控制系统的研究已经有了较大的发展尤其是近十几年 来，世界范围内的微电子技术革命浪潮，极大地推动了微处理机和微型计算机在 控制系统中的应用由于数字计算机进行计算时在时间上是离散的，因此当一个 系统用数字计算机进行控制或用数字计算机模拟、分析、设计控制系统时，需要 把时间交量考虑为离散变量，研究的系统要考虑为离散系统由于这些原因，近 来离散控制系统的研究再次引起了控制理论界的特别重视 控制理论中研究的离散控制系统主要有以下几个方面：某些工程系统、生物 系统、经济系统的动态很自然的描述为离散控制系统 例多级萃取系统【i 刨 。 图1 2 1 级萃取过程示意图 化工中的多级萃取过程的功能是从含有某物质么的混合物溶液中提取出物 质彳其多级萃取装置由个萃取器连接而成，如图1 2 1 所示含有物质彳的 混合物溶液以流速v 进入萃取器l ，以相同的流速1 ，离去并进入下一级萃取器2 ， 同时某种溶剂或洗液以流速进入萃取器l ，它可由混合物中带走物质彳记而 为进入萃取器1 的混合物溶液中含物质么的浓度，五为流出萃取器1 进入萃取器 2 的混合物溶液中含物质4 的浓度气为单位量的溶剂所带走的物质么的量一 般地，对扛2 ，记书五分别为以流速y 由第f 一1 级萃取器进入第f 级萃取 器的混合物中含物质彳的浓度和以流速，由第f 级萃取器流出的混合物中含物质 彳的浓度咋一，为流入第f 级萃取器的溶剂的流速，刁一。为在第f 级萃取器中被单 4 几类1 f 线性系统的稳定与控制研究 位量溶剂带走的物质么的量 假设溶剂和混合物之间既不发生化学变化又不互相混合，并且在每一级萃取 器中物质彳被带走的量刁一与它在流出该萃取器的混合物中含么的浓度薯之间有 某种平衡关系： z _ 。= ，所是某个常数 ( 1 2 1 ) 那么，在对第f 级萃取器的物料平衡关系 ，( 毛一l 一毛) = 咋一i 乏一l ( 即在第f 级萃取器中每单位时间内物质么的减少量等于溶剂提取的物质彳的量) 中将式( 1 2 1 ) 代入就得到 由此可解出 y ( 薯一i 一玉) = 嘶一i ，甄， ，e r 2 = i 。：，刀噻= = ! ! 孑，f = = 1 ，2 ， ( 1 2 2 ) 方程( 1 2 2 ) 是级萃取过程的状态方程，五是状态变量，是控制变量 如果我们用口表示所提取的物质彳的单价，用表示溶剂的单价那么，在 单位时间内，多级萃取过程的收益为 1 p = 口y ( 而一h ) 一吩 f = 0 注意到在而，y ，朋，口，为己知常数的前提下，h 的值完全由，“i 一，一。所确 定，因此我们追求的目标是：求控制变量，”l 一，“一。使收益p 达到最大为了 讨论方便，考虑如下目标函数： - ，= 三= 而一h 一曰召= 等，口1 ，石万 z 1 ， 这样我们的问题就化为求控制嘶o = o ，l ，一1 ) 使，最大这是一个离散控制系 统的最优控制问题 非线性控制系统的发展几乎是与线性系统平行的这是由于非线性系统本身 所包含的线性十分丰富，迄今对它的了解还不够例如线性系统的稳定性只有稳 定、渐近稳定和不稳定，而非线性系统原点稳定性的描述需要很多类型至于系 统本身的稳定性，由于孤立平衡点可以任意多，就更复杂了此外是数学分析工 具问题对线性系统已有完善的数学工具，但对于非线性系统，发展合适的数学 工具是一个相当困难的问题t a y l o r 级数线性化的方法对有些情况是完全不能适 用的，其他方法也都有相当大的局限性因此需要建立一些非线性方法 5 几类非线性系统的稳定与控制研究 非线性控制系统的研究方法，是从针对一个个具体的非线性控制系统而发展 起来的，由简单到复杂，由特殊到一般可以历史地讲非线性控制理论分为以下 几部分 ( 1 ) 古典理论 主要针对二阶系统发展了“相平面法；针对含有一个非线性元件的高阶项 系统发展了“谐波平衡法”( 描述函数法) 这一近似方法；针对含有一个非线性元 件的系统，今后称之为“l 耐e 系统”，由l y a p u n o v 理论发展出绝对稳定性理论 这些理论都是针对一些特殊的系统，不具有普遍实用性 ( 2 ) 综合方法 由于非线性系统的研究缺乏系统的、一般的理论及方法，而实际上又迫切要 求对非线性对象建立自动控制系统，于是直接建立综合方法的研究获得较大的重 视，取得了不少成果 综合方法的主要方向有：l y a p u n o v 方法，变结构控制，系统的变换，微分 几何控制理论，微分代数控制理论等其中，l y a p u n o v 方法是迄今为止最完善、 最一般的非线性方法这是由于这种一般性，无论用来分析稳定性，或用来镇定 综合，都欠缺构造性，需要应用研究在这几种理论中，以微分几何方法为代表 的现代方法所取得的成就是显著的为飞机和用来研究非线性控制是现代数学发 展的必然产物早在1 9 3 9 年周炜良似l c h o w ) 就得到了非线性系统解流形方面 的最基本的结果由于h e n n q l l i l ，l o b r y ，b r o c k e t t ，i s i d o r i 等学者的积极创导， 非线性系统的微分几何控制理论得以形成，并在近2 0 年的非线性控制研究中成 为主流它的内容包括基本理论和反馈涉设计两大部分然而，微分几何控制理 论在涉及到非线性系统的可逆性质和动态反馈下的结构性质时呈病态现象 ( 3 ) 非线性系统理论新发展 自2 0 世纪8 0 年代以来，非线性科学越来越受到人们的重视，数学中的非线 性分析、非线性泛函，物理学中的非线性动力学，发展都很迅速与此同时，非 线性系统理论也得到了蓬勃发展，有更多的控制理论专家转入非线性系统的研 究，更多的工程师力图用非线性系统理论构造控制器，非线性系统理论的研究取 得了一定的成就，产生了一些新方法例如逆系统方法、神经网络方法、非线性 频域控制理论、混沌动力学方法等这些方法为非线性控制系统的研究注入了新 的活力，促进了非线性系统理论的发展 但总的来说，由于非线性控制系统所包含的现象十分复杂，这些方法都有其 局限性，不能成为分析和设计非线性系统的通用方法非线性控制系统理论的研 究目前还处在发展阶段，还有许多问题有待于进一步探讨 然而，目前关于非线性系统的研究大都针对连续系统关于离散非线性系统 的研究还不多文献 1 7 中给出了离散时间非线性时不变系统的l y a p u n o v 稳定 性定理及其判据；文献 1 6 】中分别用变分法和微分动念规划对离散非线性系统的 最优控制问题进行了求解；文献 1 8 】通过v o l t e m 级数理论构造了非线性离散时 间系统的频域以控制器；文献【1 9 2 8 】分别针对不同的连续和离散非线性系统利 用不同的方法设计了相应的非线性系统的观测器由于离散非线性系统本身的复 杂性，这方面还有一系列的问题有待研究，仍有大量的研究工作要做 本文第三章针对一类离散l i p s c h i t z 非线性系统，通过引入l y a p u n o v 稳定意 义下观测器存在性的概念，在保证观测误差渐近稳定的条件下，讨论了其降维观 测器的存在性第四章研究了一类带有时滞的非线性离散系统的次优控制问 6 几类非线性系统的稳定j 控制研究 题提出了次优控制转化法，当系统的控制步数不超过系统的时间滞后时，利用 微分动态规划的方法将带时滞的非线性离散系统的次优控制问题转化为无时滞 的非线性离散系统的最优控制问题，从而给出了该系统的次优控制器设计方案 7 第二章线性定常测度型脉冲大系统的不稳定性 2 1引言 在自然科学与工程技术中，运动稳定性的研究是人们普遍关心的问题因为 一个实际运动或工作的系统，总是不可避免的存在着各种干扰，干扰的后果如何， 是必须要考虑的例如：天体运动的稳定性；控制系统、电力系统、生态系统、 神经网络系统的稳定性；信息的传播具有“死区”；生命的运动具有不可测的因 素扰动；等等因此，系统运动的稳定性和不稳定性的研究具有重要的理论意义 与实际意义 迄今为止，常微分方程中的l y a p u n o v 稳定性理论业已推广到了用差分方程， 微分方程，泛函微分方程，随机微分方程，偏微分方程等数学模型描述的各种动 力系统近年来，对于用测度微分方程描述的脉冲大系统的稳定性研究也有了一 定的发展 本章介绍线性定常测度型脉冲大系统的稳定性结果包括线性定常测度型脉 冲扰动大系统的稳定性和不稳定性的相关定理这些结果是综合运用测度型微分 积分不等式、l y a p u n o vv 函数、比较原理等方法而得到的 本章第一部分给出了有关定义和引理，介绍了稳定性等方面的预备知识，为 第二、三部分的展开奠定了基础第二部分介绍了线性定常测度型脉冲扰动大系 统的最终稳定性和全局指数稳定性；第三部分给出了线性定常测度型脉冲扰动大 系统的不稳定性，并且用数值例子加以说明 2 2 相关数学基础 2 2 1 数学概念和定义 设皿= o ，佃) ，四“为，l 维实向量空间b y ( 皿，四”) 为定义在皿取值于四” 的全体有界变差函数所构成的函数空间 设一般的测度型脉冲扰动大系统性如 挑= 鼻( f ，薯) + g ：( f ，而，) d ， 再( 气) = 薯o( 2 2 1 ) 其中，观和d 分别表示鼍和甜，的分布导数 f = l ，x = ( ，t ) 7 ，x 酞”，五酞吩，岛o ；曩：r + s ( 肛) 哼r 吩，q ：r + s ( 力 一r 嘶，s ( 仍) = 毛i 鼍酞吩，8 0 o ，s ( p ) = s ( n ) s ( 辟) cr ”，p o ； 甜，b 矿( r + ，r ) 且右连 续 ，不连续点为孤立点 乙 气，七= 1 ，2 ，乇 o ，存在正数万= 万( 占) 和f = f ( 占) ，使当i 确l 万 时， 有 l x ( f ，f o ，) i o ，存在正数磊，及r = r ( 7 7 ) ，使当l 而f 磊， 气 时有 l x ( f ，气，而) l 0 ；存在正数名，万= 艿( g ) 和f = f ( 占) ， 使当 l i 万时，有l x ( f ，乇，黾) i g e 以“。”， f 气f 定义2 2 3 函数“：皿专四称为属于f 类，若 ( i ) “是右连续的，它在皿的每个紧子区间上是有界变差的； ( i i ) 不连续点 乞 是孤立点，当七一佃时，气专佃，且乇皿( o 是常数，则 川，卅，j ， 。 ( 2 3 2 ) 其中么力= ( 4 。，4 ：，如) ，弓和勺由( 2 3 2 ) 式给出，岛由条件( i i ) 给出， 锄= t 峄丸( 只) ，如2 唧n 如( 只) 记 甜，( 气) 一吩( 气一) = 口膻 b = j l 一彳i l 口l i 一彳2 i 口i i 一彳1 2 口2 i j 2 一彳2 2 口2 i 一彳l ，口成 一彳2 ，口睹 一么r i 口娃一彳r 2 口2 女 j r 一彳r r 口畦 ( 2 3 3 ) 砧= m 只) ，厶2 呼n 屯( 只) ，孱5 瓦瓦赫 il彳彳 hl 则有结论： ( a ) 当g 屈c 暑c 。n s t ，七= 1 ，2 ，) 时，脉冲扰动大系统( 2 3 1 ) 的零解全 几类非线性系统的稳定与控制研究 局指数稳定 ( b ) 当展c 三c o n s t ，且c 1 ，气一气一l 万 o ，( 尼) 时，皇芋一口 o ，( 七) 时，警一口 o ，存在正定矩阵霉，使得 霉4 + 4 t 置= 一q ，f = l ， ( 2 3 7 ) 这里为吩阶单位矩阵 ( i i ) 埤( f ) 由式( 2 2 2 ) 给出； c i i i ，口= 呼n 去c q 一厂喜吉l l 弓以+ 衫只l e ) ) 。，其中q ，只由式c 2 3 7 ，给出， = m 驿丸( ) ，则有结论： 几类非线性系统的稳定与控制研究 ( a ) 当n 屈c 三c o n s t ，后= 1 ，2 ，) 时，脉冲扰动大系统( 2 3 1 ) 的零解全局指 l = i 数稳定 ( b ) 当展c 三c o n s t ，且c 1 ，一气一l 万 o ，( 尼) 时，警一口 0 ，存在正定矩阵只，使得式( 2 3 2 ) 成立； ( i i ) i “；( f ) i 匆，f “靠巾乓) ，岛为正常数； 帅冲融叫喜峄， 0 ，一厶妨一附 ( 2 3 2 ) 式给出，6 由条件( i i ) 给出，= m 丸( 只) ； ( i v ) “，( 气) 一吩( 气一) 厥p ”t 嘞，尾为常数，口由( i i i ) 给出； ( v ) 以 o ，存在正定矩阵只，使得式( 2 3 7 ) 成立； 伍，口= 叩 击c q 一，喜吉忙以+ 衫剖三) ) 。，其中) = c 4 ：，以， 弓和巳由( 2 3 7 ) 式给出，= m 厶( 霉) ； ( i i i ) ( f ) 由式( 2 2 2 ) 给出，且i i 厥口叫。一，这里尾为常数，口由( i i ) 给出； ( i v ) o ，存在正定矩阵，使得 只4 + 4 。霉= 2 q q f ，i = 1 ， ( 2 4 1 ) 其中，q 为阶对角矩阵，它的其中一个元素为1 ，其余元素为任意小的负数或 零特殊地，取q ! f = l0 q q 2 0o 0 o 。： 氟 ，其中，9 2 ，任意小，9 2 ，o ( i i ) i “如) i 6 ，f 气，气) ，岛为正常数； ( i i i ) 由g ：，任意性，了0 o 时， 蕴涵脉冲扰动大系统( 2 3 1 ) 的零解不稳定 证因“：在【气中乓) 上存在，由( 2 3 1 ) 式可得 薯= 4 鼍+ 4 _ 叶7 ，f 气中气) ，f _ 1 ， ，= l 注意到( 2 4 3 ) 式，今取孤立子系统 x ：= a i x i 的l y a p u n 0 v 函数为k ( 誓) = # 只薯，于是 刑= 2 q # 薯 i ( s ) 现对( 2 4 4 ) 取l y a p u n o v 函数为 贝i j 对于f 气一。，气) ， ， 矿= 巧 f = l ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 警i ( 2 “，2 事 ( ，+ 嘉彳扩_ 叶，) t 只薯+ # 只( 4 誓+ 喜彳扩t “，： 。2 4 8 ， = l # ( 鼻+ 只4 ) 一+ ( # 鼻4 “，7 _ + 芎笱“，只誓) l 因为q ，： l0 0 o 9 2 o oo g 。= ，又由劬，吼的任意性，jo 亏 0 为充分小的正数，在上式中令办专o + ，则有 薯( 气，气，) 一_ ( 气一，乇，) = 圭4 t ( 气) “，( 气) 一叶( 气一) = 壹4 一( 气弦弦 产l，= l 1 6 ( 2 4 1