四边形新题型.doc

与四边形有关的中考新题型黑龙江省绥化市育才学校 王国仁 152000（2004年宁波市备用卷）在菱形ABCD中，BAD=，AEF为正三角形，E、F在菱形边上 (1)如图，当=时，证明不论E、F在BC、CD上如何移动，总有BE=CF； (2)操作，探索：当分别满足下列条件时，能否作出菱形的内接正三角形AEF(E、F分别在菱形边上)?请填写下表(不必说明理由)满足的条件内接正AEF 个数 (以上图形供操作、探索用）（答案：（1）无；（2）无数个；（3）1个；（4）无数个；（5）3个）例1 将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设A，P两点间的距离为x。 当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； 当点Q在边CD上时，设四边形PBCD的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； 当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形;如果可能,指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。 ABCD图(3)ABCD图(2)图(1)DCBA（图、的形状大小相同，图供操作实验用，图和图备用）例1. 如图所示，ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN/BC，设MN交的平分线于点E，交的外角平分线于F。 （1）求让：； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。 （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且=，求的大小。 分析：这是一道结论存在型探索题，综合性较强，对于第（1）小题，可以从CE平分和平行线的性质定理证EO=CO。同理FO=CO，从而EO=FO。 对于第（2）小题，由EC、FC是的内、外角平分线知ECF=900，若四边形AECF为平行四边形，则问题得到解决。由（1）知动点O在AC边上不管怎样运动，总有EO=FO，因此，让动点取在AC的中点上，则有OA=OC。这样根据矩形的判定可知四边形AECF是矩形。 解：（1） 同理可证： （2）CE、CF分别是的内角、外角平分线 即ECF=900，所以还需四边形AECF是平行四边形，又OE=OF 当O点运动到AC中点时，OA=OC。 四边形AECF是矩形。 （3）四边形AECF是正方形 例2. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。 （1）试判断四边形PQEF是正方形并证明。 （2）PE是否总过某一定点，并说明理由。 （3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？ 分析：（1）易证四边形PQEF是正方形 （2）小题是动态问题，紧紧抓住运动过程中的不变量，即，四边形APCE是平行四边形，易知PE与AC平分于O点。 （3）小题中显然当P、Q、E、F分别运动至正方形ABCD各顶点重合时面积最大，分析最小情形时可根据S正=PE2，而PE最小时为，此时。 解：（1）证明：在正方形ABCD中 ， 易证：_。 四边形PQEF为正方形。 （2）连结AC交PE于O， 四边形APCE为平行四边形 又O为对角线AC的中点 对角线PE总过AC的中点 （3）当P运动到B重合时，四边形PQEF的面积最大，等于原正方形面积。 当时，四边形PQEF的面积最小，等于原正方形面积的一半。 例3. （1）已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，交的平分线于N（如图所示）。MD与MN的大小关系怎样？ （2）若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变（如图所示），MD与MN的大小关系发生了变化吗？ 思考：观察图形知MD和MN分居在两个不同的三角形中，其中ADM为直角三角形，不可能证明它们全等，于是设法根据已知条件构造与BMN全等的三角形。 猜想：在（1）中MD与MN的大小关系是MD=MN，考查（2）和（1）的联系，类比得到MD=MN。 发现：（1）在如图所示中取AD中点H，连结MH M为AB中点，AB=AD （2）在AD上取AH=AM，连MH，则易得DH=BM，类比（1）可证得DHMNBM， 结论：无论M点在AB上的位置怎样，结论DM=MN总成立。（2005年黑龙江省中考试题）已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：SPBC=SPAC+SPCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点图l SPBC+SPAD=BCPF+ADPE=BC（PF+PE）=BCEF=S矩形ABCD又 SPAC+SPCD+SPAD=S矩形ABCD SPBC+SPAD= SPAC+SPCD+SPAD SPBC=SPAC+SPCD 请你参考上述信息，当点P分别在图2、图3中的位置时，SPBC、SPAC、SPCD又有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明图2 图3猜想结果：图2结论SPBC=SPAC+SPCD； 图3结论SPBC=SPAC-SPCD(2分)证明：如图2，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点 SPBC=BCPF=BCPE+BCEF=ADPE+BCEF=SPAD+S矩形ABCDSPAC+SPCD=SPAD+SADC=SPAD+S矩形ABCD SPBC=SPAC+SPCD（2005年大连）如图，正方形ABCD和正方形BEFC。操作：M是线段AB上一动点，从A点至B点移动，DMMN，交对角线BF于点N。探究：线段DM和MN之间的关系，并加以证明。说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。注意：选取完成证明得9分；选取完成证明得6分。M是线段AB的中点；M、N分别是线段AB、BF的中点。附加题如图12，当M是线段AE延长线上一动点，DMMN，交对角线BF延长线于点N，探究线段DM和MN之间的关系，并加以证明。 （2005年河北）已知线段AC=8，BD=6。已知线段AC垂直于线段BD。设图131、图132和图133中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1= ，S2= ，S3= ； 如图134，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；当线段BD与AC（或CA）的延工线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？24，24，25； 3分对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24。4分证明如下：ACBD，6分顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积仍为248分（2005年河北）如图141，142，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F。如图141，当点E在AB边的中点位置时：通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；请证明你的上述两猜想。如图142，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。解：DE=EF；NE=BF。2分证明：四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，DN=EBBF平分CBM，AN=AE，DNE=EBF=90+45=135NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEFDNEEBF DE=EF，NE=BF6分在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略） 7分此时，DE=EF8分已知ABC的高AE=5，BC=，ABC45，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围（图2供思考用）（第23题）解：(1)点G与点E关于点F对称，GF=FE 1分HIBC，GIF=EJF，又GFI=EFJ，GFIEFJ，GI=JE 2分同理可得HG=EK ，HI=JK, 四边形HIKJ是平行四边形 3分(注：说明四边形HIJK是平行四边形评1分,利用三角形全等说明结论的正确性评2分)（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5 4分 如图1，AE过平行四边形HIJK的中心F,HG=EK, GI=JE.HG/BE=GI/EC.CEBE,GI HG, CKBJ. 当点F在AE上运动时, 点K、J 随之在BC上运动, 图1如图2，当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上.6分（这里为独立评分点，以上过程只要叙述大体清楚，说理较为明确即可评2分，不说明者不评分，知道要说理但部分不正确者评1分） 设EFx，AHGABC45，AE5，BE5GI，AGHG52x ,CE5.7分AGIAEC，AGAEGICE. 图2(52x)55(5) 9分 x1，AF5x4 AF4.（临沂市）如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F(1)求证：OE=OF；(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 )证明：四边形ABCD是正方形 BOE=AOF90OBOA 又AMBE，MEA+MAE90=AFO+MAE MEAAFO RtBOE RtAOF OE=OF (2)OEOF成立 证明：四边形ABCD是正方形， BOE=AOF90OBOA 又AMBE，F+MBF90=B+OBE 又MBFOBE FE RtBOE RtAOF OE=OF （浙江绍兴）E、F为ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图（1） 在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图，试用刻度尺在图、中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表长度单位：cmAQ长度BQ长度AQ、BQ间的关系图中图中 由上表可猜测AQ、BQ间的关系是_（2） 上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？（3） 若将ABCD改为梯形（ABCD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）如图10，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（E点不与B、C两点重合），EFBD交AC于点F，EGAC交BD于点G.求证：四边形EFOG的周长等于2 OB；请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，ADBC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.（重庆）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MNAD，EFCD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设PMPE，PNPF，解答下列问题：（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断与的大小关系，并说明理由；（2）当四边形ABCD是平行四边形，且A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）在（2）的条件下，设，是否存在这样的实数，使得？若存在，请求出满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由。解：（1）ABCD是矩形，MNAD，EFCD四边形PEAM、PNCF也均为矩形（1分）PMPE，PNPF又BD是对角线 PMBBFP，PDEDPN，DBADBC（2分） ， （3分）（2）成立，理由如下： ABCD是平行四边形，MNAD，EFCD 四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形 仿（1）可证过E作EHMN于点H，则（5分）同理可得 又MPEFPNA（6分）PMPEPNPF，即（7分）（3）方法1：存在，理由如下： 由（2）可知， 又，即，而，即（9分），故存在实数或，使得方法2：存在，理由如下：连结AP，设PMB、PMA、PEA、PED的面积分别为、，即，即 即，故存在实数或，使得（无锡）已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.图1（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.图2（2）若k=2，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）.（1）12次 （2）24次；12次（3）当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k.北京丰台）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF。请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。 （1）连结_； （2）猜想：_=_； （3）证明：23. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF。请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。 （1）连结_； （2）猜想：_=_； （3）证明： 说明：（1）连结线段正确给1分（连结的线段画成虚线或实线均给分）；（2）猜想正确给1分；（3）证明过程正确给4分。 （3）证法一：（连结AF，猜想AF=AE） 连结AC，交BD于O 四边形ABCD是菱形，于O，DO=BO2分 3分 垂直平分EF 4分 说明：于O，DO=BO各给1分 证法二：四边形ABCD是菱形，1分 ， 2分 在中 3分 4分ADFGC（H）ENBM图112 图111（河北）对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图111所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图111中的四边形BNED。从拼接的过程容易得到结论：四边形BNED是正方形；S正方形ABCDS正方形EFGHS正方形BNED。实践与探究（1）对于边长分别为a，b（ab）的两个正方形ABCD和EFGH，按图112所示的方式摆放，连接DE，过点D作DMDE，交AB于点M，过点M作MNDM，过点E作ENDE，MN与EN相交于点N。证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；在图112中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图111，用数字表示对应的图形）。（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由。解：（1）证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形。在RtADM与RtCDE中，ADCD，又ADMMDCCDEMDC90，DMDE，四边形MNED是正方形。，正方形MNED的面积为；过点N作NPBE，垂足为P，如图2可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等。所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED。（2）答：能。理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，依此类推。由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n1）次拼接，得到一个正方形。绵阳市）如图9，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，A=60，BDAD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD .(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求APE的面积；(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿ABC的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QNPM. 设点Q运动的时间为t秒(0t10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 . 求S关于t的函数关系式； (附加题) 求S的最大值.(1) 当点P运动2秒时，AP=2 cm，由A=60，知AE=1，PE=.2分 SAPE=. 4分(2) 当0t6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=. 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=. 8分当6t8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=，而BD=，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.10分当8t10时，点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=. 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.14分故S关于t的函数关系式为(附加题)当