（计算数学专业论文）矩阵逆的无穷大范数上界和最小奇异值的下界估计.pdf

摘要 对角占优m 矩阵，严格双对角占优矩阵和广义严格双对角占优矩阵是科学计 算中重要的特殊矩阵类本文主要针对这三类特殊矩阵，采用预处理的办法，给 出i i a - 1 | | o 。的上界估计，得到的结果在某些情况下比现有结果更精确，并拓宽了已 有结论中矩阵a 的使用条件本文还对上述三种特殊矩阵的最小奇异值的下界估 计进行了研究，给出了新的估计界文中分别通过数值例子展示了所得结果的有 效性 关键词：对角占优m 矩阵；严格双对角占优矩阵；广义严格双对角占优矩阵； 范数；奇异值 a b s t r a c t d i a g o n a ld o m i n a n tm m a t r i c e s ，s t r i c t l yd o u b l ed i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i c e sa n d g e n e r a l i z e ds t r i c t l yd o u b l ed i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i c e sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nm a o t r i xa n a l y s i s t h i st h e s i si sf o c u s e do nt h e s et h r e es p e c i a lm a t r i c e s f i r s t l y , w eo b t a i n e d t h eu p p e rb o u n do fi i a - 1i l o ob yt h ep r e c o n d i t i o n e dt e c h n i q u e t h er e s u l t sa r es h a r p e r t h a nt h ek n o w nb o u n d s s e c o n d l y ，w ee s t i m a t et h e l o wb o u n do ft h es m a l l e s ts i n g u l a r v a l u eo ft h ea b o v em a t r i xc l a s s e sa n dp r e s e n ts o m en e wb o u n d s i na d d i t i o n ，s e v e r a l n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt os h a r eo u rr e s u l t s k e yw o r d s d i a g o n a ld o m i n a n tm m a t r i c e s ；s t r i c t l yd o u b l ed i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i c e s ；g e n e r a l i z e ds t r i c t l yd o u b l ed i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i c e s ；n o r m ；s i n g u l a r v a l u e 2 c h n 兄m 佗 c c n a t a + a 1 i d i a g ( d l ，如) r i ( a ) 龟( a ) 忍( a ) g ( a ) k o o ( a ) m i n m a x 入( a ) 入m o z ( a ) 入m 讯( a ) a ( a ) a l ( a ) a n ( a ) 1 i a i l l i i a i l 2 | i a i i o o i a i ( n ) v a ( ) b a b = ( o 巧b ) 符号表 所有mx 佗阶复矩阵的全体 所有m n 阶实矩阵的全体 复数域 复数域上n 维列向量 矩阵a 的转置 矩阵a 的共轭转置 矩阵a 的逆 单位矩阵 对角元为d 1 ，的对角矩阵 矩阵a 的第i 行行和 矩阵a 的第i 列列和 矩阵a 的第i 行去掉a 瓿的绝对行和 矩阵a 的第i 行去掉a 扰的绝对列和 矩阵a 的关于无穷大范数的条件数 最小 最大 矩阵a 的所有特征值构成的集合 矩阵a 的最大特征值 矩阵a 的最小特征值 矩阵a 的所有奇异值构成的集合 矩阵a 的最大奇异值 矩阵a 的最小奇异值 矩阵a 的l 范数 矩阵a 的谱范数 矩阵a 的无穷大范数 复数a 的模 从l 至l j n 的连续正整数集合 1 ，2 ，n ) 任意给定的 元素属于 a b 为非负( 正) 矩阵 k r o n e c k e r 积 3 _-l- 月l j吾 随着计算机技术的发展和科学技术的进步，科学计算的研究受到科学技术人 员的极大重视，其应用范围己渗透到许多科学领域矩阵计算的理论与方法和数 值范数的估计是数值代数的主要研究方向之一，已成为生物学，物理学，数学和社 会科学等领域处理数学问题的不可缺少的强大工具，成为计算理论的一个重要组 成部分 对角占优m 矩阵，严格双对角占优矩阵和广义严格双对角占优矩阵是计算 数学中的重要特殊矩阵类，它们在生物学，物理学，数学和社会科学等领域中都 有着广泛的应用例如实际问题中所得到的线性方程组，系数矩阵常常是m 矩阵 和h 矩阵经济价值模型矩阵和反网络分析的系数矩阵以及解某类微分方程的数 值解( 例如偏微分方程中的有限元方法) ，经济学中的投入一产出分析和增长模型， 最优化中的线性互补问题，概率统计中的m a r k o v 链，控制稳定性分析等问题，经常 会用到m 矩阵和h 矩阵h 矩阵自1 9 3 7 年由o s t r o w s k i zam 提出，至今已有七十多 年它的优美性质引起了许多学者的浓厚兴趣特别是近十多年，随着电子计算 机技术的迅猛发展，h 矩阵本身的数学性质，简捷判据，迭代算法，不等式及奇异 值估计，以及与它有关的迭代矩阵谱半径的估计理论也都得到了很好的研究严 格双对角占优矩阵和广义严格双对角占优矩阵是h 矩阵中的两种情况，在生物学， 经济学，智能科学，物理方法，计算数学等许多学科中都有着及其重要的应用 对于矩阵逆的无穷大范数下界的估计一直以来都受到很多学者的关注，很多 学者在这方面已经做出了很多很好的结果，见文3 ，1 1 1 3 ，1 7 ，1 8 ，2 0 2 4 ，3 0 ，4 2 ，4 3 ， 4 7 ，4 9 ，5 0 ，其中文 1 1 】研究了弱对角占优矩阵逆的无穷大范数，l 范数上界的估计 以及最小奇异值的下界估计文f 3 ，1 7 ，1 8 ，2 0 ，2 1 ，4 3 ，5 0 研究了严格对角占优矩阵 逆的无穷大范数上界的估计文 1 3 主要针对严格对角占优的分块h 矩阵，采用矩 阵分块分析的技术，得到其逆的无穷大范数的上界估计式文 3 0 研究了满足一定 条件的弱连对角占优矩阵逆的无穷大范数上界估计文【1 2 改进了文 3 0 的结果，并 在其基础上，得到了更好的上界估计文 1 8 ，2 0 】针对等对角优势m 矩阵，给出了 其逆的无穷大范数的估计式文 2 1 针对对角占优m 矩阵，提出一种逐次逼近矩阵 逆无穷大范数的方法，可求出矩阵逆无穷大范数或非常近似于其逆无穷大范数 文3 1 针对广义等对角优势m 矩阵，给出了其逆无穷大范数的计算式，针对等对角 优势h 矩阵给出了其逆无穷大范数的估计式文 4 3 针对m 矩阵，得到了其逆任意 范数的下界估计式，对于具有严格行对角占优或严格列严格对角占优矩阵，得到 了其逆的无穷大范数和1 范数的上界估计式，并在此基础上对最小奇异值的下界 进行了估计我们将在这些已有文献的基础上，受文5 1 0 ，1 4 ，1 5 ，2 6 - 3 2 ，3 4 - 4 1 ，4 4 4 6 ， 4 4 8 ，5 1 ，5 2 的启发，对此问题做进一步研究，得到一些新的结果 论文共分四章： 第一章主要介绍本文用到的一些相关概念 第二章主要针对对角占优m 矩阵，在前人结果的基础上，利用预处理的办法， 得到其逆的无穷大范数和1 范数的上界估计式，以及在此结果的基础上得到最小 奇异值的下界估计式所得结果较文 1 s ，2 4 ，4 3 ，4 9 】中相应结果使用条件更宽，界 也更精确 第三章采用与文【1 1 类似的办法，得到了双对角占优矩阵逆的无穷大范数和1 范 数的上界估计式，同时也得到了最小奇异值的下界估计式 第四章在第三章的基础上，将结果进行了推广，得到了广义严格双对角占优 矩阵逆的无穷大范数和l 范数的下界估计式，同时也得到了最小奇异值的下界估 计式 5 第一章概念介绍 定义1 1 1 6 ，2 5 设a = ( a i j ) r n 舰则 ( 1 ) 称a 为z 矩阵，如果a i j o ，v i ，j ( 几) ，i j ( 2 ) 称a 为m 矩阵，如果a 为z 矩阵，且a 一1 0 定义1 2f 1 6 ，2 5 】设a = ( a i j ) c n 煳则 ( 1 ) 称五为a 的比较矩阵，如果五= ( 翰) ， fi o 缸i ， v i = j ， 2t l a t j l ，v i 缸 ( 2 ) 称a 为h 矩阵，如果a 的比较矩阵彳为m 矩阵 定义1 3 1 6 ，25 设a = ( a i j ) c n 她则 ( 1 ) 称a 为行对角占优矩阵，如果l o 托l 忍( 4 ) ，v i ( 礼) ( 2 ) 称a 为行严格对角占优矩阵，7 2 h 果l a i i i r ( a ) ，v i ( n ) ( 3 ) 称a 为列对角占优矩阵，如果i o 托i c i ( a ) ，v i ( n ) ( 4 ) 称a 为列严格对角占优矩阵，如果l o 瓠i c i ( a ) ，v i ( 礼) 定义1 4 1 6 ，3 3 】设a = ( a i j ) c 竹黼则 ( 1 ) 称a 为严格双对角占优矩阵，如果l o 埘1 1 j i 昆( a ) r j ( a ) ，v i ，j ( n ) r i j ( 2 ) 称a 为广义严格双对角占优矩阵，如果存在正对角矩阵d = d i a g ( d 1 ，d 2 ，如) ， 使得a d 为严格双对角占优矩阵 定义1 5 3 3 设a = ( a i j ) c 似n 则 ( 1 ) 称a 为严格q 一对角占优矩阵，如果存在0 1 0 ，1 ，使得 i a i i i a r i ( a ) + ( 1 一q ) g ( a ) ，v i ( 佗) ( 2 ) 称a 为严格o l 一链对角占优矩阵，如果存在q 【0 ，1 】，使得 i n “l 砰( a ) 四一a ( a ) ，v i ，j ( n ) ，i j ( 3 ) 称a 为严格双q 链对角占优矩阵，如果存在o l 【0 ，1 ，使得 l a i i l l a z l 霹( a ) 四咄( a ) 骘( a ) 四- q ( a ) ，v i ，j ( 礼) ，i j r 定义1 6 【1 6 ，1 8 ，2 0 设a = ( a i j ) c 似亿则称a 为等对角优势矩阵，如果 i o “i 一忍( 4 ) = 7 - 0 ，v i ( 几) 丁为等对角优数 定义1 7 1 6 ，1 8 ，2 0 】设a = ( a i j ) c 竹黼分块如下 a ：悸a 1 a 1 2 a 1 n a 2 2 a 2 佗 a k 2 a k k 其中a i i # j r i 阶非奇异方阵，1 i k ，且1 1 n = 礼 ( 1 ) 称a 为按”i i 块严格对角占优矩阵，如果 i l a a l 一 i i & j i i ，v i ( 几) 匆钉 ( 2 ) 称a 为按| i 块h 矩阵，如果存在z = ( z 1 ，x 2 ，x k ) r 0 ，使得 x i l i a 磊i 1 一 巧i i 如l i ，v i ( n ) 睁0 定义1 8 1 6 ，1 9 】设a c n n ( n 2 ) 称a 为可约矩阵，如果存在置换矩阵p 伊舰，且存在适合1 r n 一1 的某个整数r ，使得 p t a p = ( 言暑) 其中b c n r ，c g 帆( 竹一r ，d c ( 几一r ) 一r ) 且0 c 一r ) x r 否则称a 为不可约 矩阵 定义1 9 【1 6 ，1 9 设a c 竹舰如果存在a c 和非零向量x c n 使得a x = 妇， 则入叫做a 的特征值，z 叫做a 的属于特征值入的特征向量 定义1 1 0 1 6 ，1 9 设a 俨黼( m n ) a + a 的n 个特征值的非负平方根叫 做a 的奇异值 7 定义1 1 1 1 6 ，1 9 设a c m 几( m n ) 则 1 - 州m a x z ：1 l | ； t a l l 2 = v a m a x ( a * a ) ； 2 鞴著m 8 第二章对角占优m 矩阵逆的无穷大范数上界和最小奇异 值下界估计 2 1 引言 在许多理论和实际应用中，往往要估计一个可逆矩阵a 的无穷范数的范围例 如：数值代数中求解线性方程组的条件数为仡o 。( a ) = i i a i i 。i i a 一1i l 。o ，可逆矩阵a 的 最小奇异值的下界 ( a _ 六而葡赢 其中就用到了悄一1 怯然而，对一般可逆矩阵而言，a 一1 难于计算，n i i 七对i i a 一1 进 行估计是很有必要的在这方面已经有许多很好的结果( 见文【3 ，1 1 。1 3 ，1 7 ，1 8 ，2 0 2 4 ， 3 0 ，4 2 ，4 3 ，4 7 ，4 9 ，5 0 1 ) 设a r n n ，i ，j ( n ) ，令 魂= i a i i l r i ( a ) ，白= l a j j i c j ( a ) ， k i n 2 勰魂，如眠= m 酬a x 6 i ， 6 n 旷胁m i n ) 白， 缸a x2 j m a i 几x ) c j 在6 0 年代，d o u g l u s 对行严格对角占优三对角矩阵a 和任意的矩阵b 给出了估 计式 1 。”1 怯去， i i a - 1 b i i 。訾 1 9 7 5 年，v a r a h 4 9 对此结果进行了推广，当a 为行严格对角占优矩阵时，他给 出了 忖1 志 ( 2 1 ) 后来，胡家赣【1 7 ，1 8 对行严格对角占优m 矩阵a 和任意的矩阵b ，给出了更一 般的结果 i i a - 1 b 鞴 裂) 最近，m o r a c a 4 3 对歹u 严格对角占优矩阵a c 似n 得剑 i i a i i 。熹( n 一婴荽鱼) 对行严格对角占优矩阵a 俨n 得到了 i i a 。熹( n 一婆尝垒) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 然而在实际应用中，a 常常是非严格对角占优矩阵，甚至没有对角占优的性 质，也就是说不满足文【1 7 ，1 8 ，4 3 ，4 9 d p 结论成立的条件，故上述结果不能直接使 用针对这一点，本章主要考虑满足一定条件的对角占优m 矩阵，给出了i l a - 1 i i o o 新 的上界估计，以及在此基础上的一些应用 2 2对角占优m 矩阵逆的无穷大范数上界和最小奇异值下界估计 引理2 1 1 7 ，1 8 如果a = ( ) 为行严格对角占优m 矩阵，v b c n 跏，则 i i a - 1 b 怯鞴 掣) ( 2 4 ) 引理2 2 1 6 如果a 为z 矩阵，且存在一个礼维列向量z 0 ，使得a z 0 ，则a 为m 矩 引理2 3 设a = ( n 巧) 为行对角占优m 矩阵，a i i 。o ( ig 皿) ，则a ( a ) = p ( q ) a 为行严格对角占优m 矩阵，其中p ( q ) = j + q q e t 。，q = ( o t l ，2 ，a 礼) t ，皿= i l l r i 。( a ) = m 啦( 竹) n ( a ) ) ，i o ：= m i n i l i m ) ， fo ， j 皿， 2 t 一盟a 。o z 0 ，j 彰皿 证明：令a ( q ) = ( 五巧) ，由a ( q ) = p ( q ) a 得 一 ia 讶+ o e i a i o j ， a o = 【a i j , ig 皿， i 第一步，先证五( a ) 为z 矩阵，事实上，只要考虑a ( q ) 的非对角元 当i 皿时，a i j = a i j 0 ( j i ) 1 0 当zg 皿时，1 ) 若歹= i o ，由o o 得 a i i o = a i i o + o e i a i o t o a i i o 一羞嚣a i o i o = 0 2 ) 若j i ，且j i o ，a i j = a i j + 锄o o j 0 恒成立 由定义1 1 得a ( q ) 为z 矩阵 第二步，证a ( 口) 满足引理2 2 ，即证存在z 0 ，使得五( q ) z 0 因为当i 皿时，r i ( a ( a ) ) = r i o ( a ) 0 当ig 皿时，n ( a ( q ) ) = r i ( a ) - + - o l i ? i 。( a ) 0 所以只要取z = e = ( 1 ，1 ，1 ) r ，就有a ( q ) z o 成立 综上，由引理2 2 可得a ( 8 ) 为行严格对角占优m 矩阵 定理2 1 设a 为行对角占优m 矩阵，且v i 莹霍有a i i 。0 ，则 i i a - 1 1 1 。跫瑟瓦矿1 瓦+ o 忑。i 丽 其中 f 0 ， i 皿， a 2 1 一监，i a g 皿i l o i 0 7 证明：设a = ( a 1 ，a 2 ，蕊) t 满足 ，f 0 ， i 皿， q t2 1 一监一e ，i a g 皿 l z 0 0 1 其中0 e 去昆( 日( 删，z ( 佗) 的矩阵a ，其中日( a ) = ( a + a + ) ，文 2 1 中给出了 o n ( a ) 呼n 讹t | - 三忍( 日( a ) ) 卜 文 2 4 】对上式进行改进得到 ( 2 5 ) ( 2 6 ) a n ( a ) 哮n 丢 再万币丽刁丽一【昆( a ) + g ( 伽， ( 2 7 ) 盯n ( a ) m 洋i n j 主f r e 。“+ r e 一、( r e n “一p e a j j ) 2 + r ( a + a + ) r j ( a + a + ) 】( 2 8 ) a = 封 则a 为行严格对角占优矩阵，由引理2 3 以及定理2 1 - 可得：皿= 2 】- ，从而有 = ( 2 5 , 0 , 2 5 ) r , 跏，= ( i | ；) 于是由定理2 i ni i a 一1 ；而由直接计算可得：i i a 一1 l i o 。= ；0 7 7 8 ，i i a 1 1 1 = 于 2 1 】中逼近结果o 7 8 3 和【4 9 中( 2 1 ) 式估计值1 ，而由于a 不是严格列对角占优， 4 3 马b ( 2 3 ) 式 不能用类似地，由推论2 2 可得悄一1 1 1 1s0 8 0 5 6 ，上界估计等于惮1 1 1 ，优于【4 3 中( 2 4 ) 式 1 3 由本例不难看出，对某些特殊严格对角占优矩阵，本文对其逆矩阵无穷范数 上界估计效果比较好 肚旧茎封 显然b 为行对角占优m 矩阵，但不是行严格对角占优矩阵，也非列严格对角占优矩 阵，所以( 2 1 ) ，( 2 2 ) 式和( 2 3 ) 式都不适用但根据本文定理2 1 和推论2 2 可得：j i s - 1 i i o 。 0 5 1 5 6 ，i i b 一1 | | 1 0 4 5 8 3 而由直接计算可得：旧- 1 i i 。= 0 4 3 5 0 ，i i b _ 1 1 1 1 = 0 4 3 9 0 由此可看出，本文所提出的估计方法可适用更广泛的一类矩阵 210 0 瓯：l - 【 21 02 ： 0o o 0 - 2 ，( 几5 ) 则g 为对角占优m 矩阵，但不是行严格对角占优矩阵，故不能用( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式 估计l i 1 i i o 。，但由定理2 1 可知 q t = 2 墓：1 i i 簖1 黼丽丽而1 + 瓦a i 万丽= 3 ，( n 5 ) 而由直接计算可知：当几5 时，2 5 | i 簖1 i i o 。 忍( a ) ) ，( n ) 一( a ) = i ( 几) ：j n 谢j 尼( a ) ) ， 耐( a ) = j ( n ) + ( a ) ，判 a i j ，耳( a ) = 邑( n ) 一( a ) ，ti n 扎 文【1 1 中给出了如下结果 a 一1 | i o 。u ( a ) ，i i a 一1 | | l u ( a t ) ， ( a ) 而而1 面 ( 3 5 ) 、u ( a ) u ( a r ) 其中( 4 ) = m a x ( w l ( a ) ，眈( a ) ) ， ，i a i i i r 产( a ) + r 于( a ) 1(a)。(n)+(am)，ajx(他)一(a)i仁云习_二_云孛=-i：j：j_k弓if!：jji手i：i!：j；亍丽， 2ca，=。n，+。二冀?悉。n，一。a，i=云习_二-=云孛i兰；占jj；兰j；：主吾；兰 。=9 3 5 ) ，皇= 6 3 1 ) ， f = ( 茎重立) ，g = ( 三薹i ) 为了方便比较，我们采用与文【4 3 】相同的矩阵d ，e ，f ，g 作为数值例子显然，四 个矩阵都为行严格对角占优矩阵，也为严格列对角占优矩阵，同时也是严格双对 角占优矩阵，利用定理3 1 对i i 一1l i o 。进行估计，结果如表3 1 所示，其中l i 一1i | o o 为精 确值从中不难看出，本文的估计一致优于文【4 3 和 4 9 给出的估计 表3 1 矩阵d ，e ，f ，g 的逆的无穷范数的上界估计结果 例5 ：设 日= ( 兰 f1 00 i q = l4 2 i 11 为了方便比较，其中矩阵日，q 全部取自于文【1 2 】，显然，它们都不是行严格对角占 优矩阵，因此文 4 3 中结果不能用，但日，日t ，q ，q t 都为严格双对角占优矩阵应 用不同的方法进行估计，结果如表3 2 所示容易看出，不同的方法对不同的矩阵 的最小奇异值的下界估计的效果不一样，在某些情形下，本文的方法要优于已有 的一些方法 表3 2 矩阵h ，q 的最小奇异值的下界估计结果 1 8 第四章广义双对角占优矩阵逆的无穷大范数上界和最小 奇异值下界估计 4 1广义双严格对角占优矩阵逆的无穷大范数估计及其应用 广义对角占优矩阵是一类特殊的h 矩阵，对这类矩阵的研究已经进行的比较 深入比如文 4 ，6 ，4 8 对于广义对角占优矩阵给出了简捷判据文 3 3 对于广义双 严格对角占优矩阵给出了j o r 迭代矩阵谱半径的上界估计以及迭代法的收敛性 定理受这些文献的启发，本章将在上一章的基础上进行拓展，得到广义双对角占 优矩阵逆的无穷大范数，1 范数上界估计以及最小奇异值的下界估计 引理4 1 【1 9 】若a 为广义严格双对角占优矩阵，则a 为h 矩阵 定理4 1 设a 为广义严格双对角占优矩阵，则 iia-111。_im。anx，di。jm。na，x，。，i：磊：jiii量i；!雩i；i!i毫i：主 证明：因为a 为广义严格双对角占优矩阵，则由定义知存在正对角矩阵 d = d i a g ( d 1 ，d 2 ，厶) ，使得a d 为严格双对角占优矩阵所以由定理3 1 知 i i ( a d ) _ 1 i i 。，j m ( 几a ) x ，确瓦瓦面d 乒jl a j 忑j 瑟t - 琰五= 瓦1a i k d k 舀面i 而 1 i i ( a d ) i l o o = l i d 。1 旷1 i l o o m m 熹西l l a i l o o ， 故 i i a - 11 1 。m ( a n x ) d i 。，j m ( n a ) x ，。句瓦石而d j f l a z 忑l + 吾e 瓦 2 = l 万a i k 曩d k 丽 成立 推论4 2 如果a t 为广义严格双对角占优矩阵，则 i i a - 1 | | 怂。m ( a n x ) d i 。，j m ( 几a ) x ，哟瓦石而d j f l a j j 曷l + i i n 忑la 程i k d 磊i 百鬲 证明：在定理4 1 中，把a 换成a t ，结合推论3 2 即可 定理4 3 如果a 和a t 都为n 阶广义严格双对角占优矩阵，则 ( a ) 1 、o ( a ) o 一( a t ) ( 4 1 ) 其中p ( a ) 和p ( a t ) 分别定义如下 口( a ) p ( a t ) i i a - 1 i i o 。罂努也洲m n a ) x ，。j 面再两d j l a j j j l 粟- t - 琰忑= 瓦1a i k 露d ki 磊， i i a - 1 l | ，蹇蕊奶锄m ( n a ) x ，i 向面历万瓯d 丐j l a 二j j + 粟戮i i = i 1a 忑i k 习d i 磊 证明：推理过程与定理2 3 类似 定理3 1 是定理4 1 中取d = i 的特殊情形定理2 1 和定理4 1 使用的条件各不相 同，二者彼此独立，互不包含 本章在第三章的基础上将结果进行了拓展，本质也是将一个矩阵作了预处理， 矩阵a 右乘以正对角矩阵d ，使a d 为严格双对角占优矩阵 下面用数值例子验证我们结果的精确性 4 2 数值例子 a = ( | | ) 一) 一= ( 疑封 肚2 81 3 b 。= 1 6 28 0 1 拈1 6 21 3 设b t = c ，则i c 3 3 c 4 4 i = 4 5 ，r 3 ( b ) r 4 ( b ) = 6 0 ，所以矩阵c 不是双对角占优矩阵，故 第三章的结果不能用取正对角矩阵f = d i a g ( 1 ，1 ，1 ，4 ) ，则 1 6 i， b t f ：l 上 l 4 i f 0 2 1 2l 1 2 、 l 8l4 l 194 i j 3 72 0 l 由 c 1 1 c 2 2 1 f l f 2 = 1 2 8 ，i c l l c 3 3 1 f l ，3 = 1 4 4 ，i c l l c 4 4 1 f , f 4 = 3 2 0 ， i c 2 2 c 3 3 c 2 c 3 = 7 2 ，i c 2 2 c 4 4 1 ，2 ，4 = 1 6 0 ，i c 3 3 c 4 4 1 ，3 y 4 = 1 8 0 又 r i ( c f ) r 2 ( c f ) = 9 0 ，冗1 ( c f ) r 3 ( c f ) = 1 3 5 ，r i ( c f ) r 4 ( c f ) = 1 5 0 ， r 2 ( c f ) r a ( c f ) = 5 4 ，r 2 ( c f ) 风( c f ) = 5 4 ，r 3 ( c f ) r 4 ( c f ) = 9 0 所以c f 为严格双对角占优矩阵，从而g 为广义严格双对角占优矩阵即b t 为广 义严格双对角占优矩阵利用定理4 1 可估计得i i a 一1 怯2 2 0 3 而由定理4 3 可 得( b ) o 5 3 8 ，通过实际计算可得矩阵b 的最小奇异值为0 7 5 4 由此可见定理4 3 的 有效性 2 2 结束语 对角占优m 矩阵和h 矩阵及其相关矩阵类有着广泛的应用背景，且与非负矩 阵，正定矩阵有着密切联系近年来对它们的研究都比较深入，比如现有参考文献 中，对m 和h 矩阵及其相关类的特征值和奇异值的估计，对m 和h 矩阵及其相关类 的判别法，应用m 矩阵及其相关类研究线性方程组的迭代法及收敛性分析等 本文主要针对对角占优m 矩阵，双对角占优矩阵和广义双对角占优矩阵这三 类特殊矩阵逆的无穷大范数，1 范数上界和最小奇异值的下界进行了探讨，每章末 尾都通过数值例子给出了我们结果的优越性，但系统的理论证明有待于进一步研 究对于严格q 一对角占优矩阵，严格q 一链对角占优矩阵，严格双q 一链对角占优矩阵， 块对角占优m 矩阵和块对角占优h 矩阵是否会有类似结果，有待进一步研究 2 3 参考文献 1 】 安国斌，郭希娟双对角占优与非奇m 矩阵的判定燕山大学学报，2 5 ：1 0 7 - 1 0 9 ，2 0 0 1 2 】a b e r m a na n dr j p l e m m o n s n o n n e g a t i v em a t r i c e si nt h em a t h e m a t i c a ls c i e n c e s s i a m p r e s s ，p h i l a d e l p h i a ，1 9 9 4 【3 】g h c h e n ga n dt z h u a n g a nu p p e rb o u n df o r i i a - 1 o fs t r i c t l yd i a g o n a l l yd o m i n a n t m - m a t r i c e s l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s ，4 2 6 ：6 6 7 6 7 3 ，2 0 0 7 【4 陈神灿广义严格对角占优阵的判定程序高等学校计算数学学报，1 9 ：3 2 4 3 2 9 ，1 9 9 7 【5 陈焯荣，黎稳迭代矩阵谱半径的上界估计数学物理学报，2 1 ：8 1 3 ，2 0 0 1 【6 逢明贤广义对角占优矩阵的判定及应用数学年刊，6 a ：3 2 3 3 3 0 ，1 9 8 5 7 干泰彬，黄廷祝非奇异h 矩阵的实用充分条件计算数学，2 6 ：1 0 9 1 1 6 ，2 0 0 4 8 高益明广义对角占优矩阵和m 矩阵的判定数学研究与评论，1 9 ：7 3 3 7 3 7 ，1 9 9 9 9 郭清伟广义严格对角占优矩阵与非奇m 矩阵的充要条件合肥工业大学学报，2 4 ：1 3 2 1 3 5 ，2 0 0 1 1 - 0 t z h u a n g ，j s l e n ga n dy y t a n g c h a r a c t e r i z a t i o no fh m a t r i c e s c o m p u t e r sa n d m a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s ，4 8 ：1 5 8 7 - 1 6 0 1 ，2 0 0 4 。 【1 1 t z h u a n g e s t i m a t i o n o fi i a - 1 a n dt h es m a l l e s ts i n g u l a rv a l u e c o m p u t e r sa n d m a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s ，5 5 ：1 0 7 5 1 0 8 0 ，2 0 0 8 12 】t z h u a n ga n dy z h u e s t i m a t i o no fi i a _ 1 f o rw e a k l yc h a i n e dd i a g o n a l l yd o m i n a n t m m a t r i c e s l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s ，4 3 2 ：6 7 0 6 7 7 ，2 0 1 0 【1 3 黄廷祝块h 阵| i a 一1i | o 。的上界和最小奇异值的下界电子科技大学学报，2 5 ：4 4 1 4 4 4 ， 1 9 9 6 14 】t z h u a n ga n dc x x u b o u n d sf o rt h ee x t r e m ee i g e n v a l u e so fs y m m e t r i cm a t r i c e s z a m m j o u r n a lo fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dm e c h a n i c s ，8 3 ：2 1 4 - 2 1 6 ，2 0 0 3 1 5 t z h u a n g ，w z h a n ga n ds q s h e n r e g i o n sc o n t a i n i n ge i g e n v a l u e so fam a t r i x l i n e a r a l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s ，1 5 ：2 1 5 2 2 4 ，2 0 0 6 1 6 】黄廷祝，杨传胜特殊矩阵分析及应用北京科学出版社，北京，2 0 0 6 1 7 胡家赣m 一1 特征值模的上下界估计计算数学，7 ：4 1 - 4 6 ，1 9 8 6 2 4 18 】 【1 9 2 0 2 1 】 【2 2 2 3 】 2 4 2 5 2 6 2 7 【2 8 2 9 3 0 】 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 李庆春广义严格对角占优矩阵的判定高等学校计算数学学报，2 1 ：8 7 - 9 2 ，1 9 9 9 f 3 6 1 李阳非奇异h 矩阵的简洁判据辽宁石油化工大学学报，2 5 ：9 0 - - 9 3 ，2 0 0 5 2 5 3 7 】李继成，张文修h 矩阵的判定高等学校计算数学学报，1 9 ：2 6 4 2 6 8 ，1 9 9 9 3 8 】李良，黄廷祝非负不可约矩阵谱半径的估计应用数学学报，3 1 ：2 7 1