（应用数学专业论文）矩阵方程axb的一类反问题.pdf

摘要 矩阵反问题首先由，b k e l l e ，由此引起国内外学者极大兴趣，并且取得丰富的成果 许多研究在经济、自动控制、振动理论中有着广泛的应用戴华教授将矩阵特征值反问题分 为：加法问题和乘法问题，含参数的特征值反问题，j a c o b i 矩阵和实对称带状矩阵特征值 反问题，线性( 谱) 约束下矩阵的最佳逼近问题，极点配置问题和矩阵广义特征值反问题 本文对以下几个问题进行了讨论： 首先，设x ，b c ”“，c b + + ( c b + ) 日 0 ，考虑问题：找正定矩阵彳c “”，使得 a _ x = b 本文给出了趔= b 之反问题有正定解的充要条件，并在同时给出了通解表示 其次，设x ，b r “m ，s r n n ，找a s ，使似= b 当s 是所有反对称矩阵的 集合时，本文证明了其解的存在性 再次，设x ，b r “o ，本文讨论了矩阵方程以x = b 反对称正交对称矩阵解存在的充 分必要条件 最后，本文讨论了矩阵方程翩= b 扰动分析的相关问题 关键字：反问题，反对称矩阵，反对称正交对称矩阵，扰动分析 a b s t r a c t f i r s to fa l la n t i - m a t r i xp r o b l e m sr a i s e db yt l l e ，b k e l l e r 眦sc a l l s e d g r e a t i n t e r e s tt os c h o l a r sa th o m ea n da b r o a d ，a n da c h i e v e dr i c hr e s u l t s m a n ys t u d i e sh a v e aw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n si nt h ee c o n o m i c ，a u t o m a t i cc o n t r o l ，v i b r a t i o nt h e o r y p r o f e s s o rd a ih u ae i g e n v a l u e sp r o b l e mo fa n t i d i v i d e di n t ot h e f o l l o w i n gi s s u e s ： a d d i t i o na n dm u l t i p l i c a t i o np r o b l e m s ，i n c l u d i n gp a r a m e t e r so ft h ec h a r a c t e r i s t i c so f a n t i 。v a l u e si s s u e s ，j a c o b lm a t r i xa n di ss y m m e t r i c a lw i t h - e i g e n v a l u ep r o b l e mo f a n t i 。l i n e a r ( s p e c t r u m ) m a t r i xu n d e rt h er e s t r a i n t so ft h eb e s ta p p r o x i m a t i o np r o b l e m p o l ep l a c e m e n ta n dc h a r a c t e r i s t i c so fa n t i m a t r i xg e n e r a l i z e dp r o b l e m i nt h i sp a p e r , t h ef o l l o w i n gi s s u e sw e r ed i s c u s s e d s e c o n d l y , l e tx ，b c ，c b + + ( + ) 日 0 ，t h i sp a p e rc o n s i d e r st h ep r o b l e m ： f i n dt h ep o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xae c 。 , s u c ht h a ta x = b t h i sp a p e rg i v e st h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ri n v e r s ep r o b l e mo fa x = bh a s p o s i t i v e d e f i n es o l u t i o n f u r t h e r m o r e ，t h ee x p r e s s i o no f g e n e r a ls o l u t i o n sa r eg i v e n l e tx ，b r “，s r “8 f i n d a ss u c ht h a t ：a x = b w h e ns i sa l l a n t i s y m m e t r i cm a t r i c e ss e t ，t h ep a p e rp r o v e dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rt h e p r o b l e m a g a i n ，l e tx ，b r “，t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ep r o b l e mo fa n t i s y m m e t r i c o r t h o 。s y m m e t r i cm a t r i c e s i e t h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h e s o l v a b i l i t ys o l u t i o n st oa x = b f i n a l l y , t h ep a p e rd i s c u s s e ss o m ei n t e r r e l a t e dp r o b l e mo fp e r t u r b a t i o na n a l y s i s f o rm a t r i c e se q u a t i o na x = b k e y w o r d s i n v e r s e p r o b l e ma n t i - s y m m e t r i c m a t r i c e s a n t i s y m m e t r i c o r t h o - s y m m e t r i cm a t r i c e sp e r t u r b a t i o na n a l y s i s i i 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名：团臼室 日 期：塑耋：厶! ! l 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名：囤目垦 日期：2 监：厶：u 南京信息工程大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 矩阵方程趔= b 的反问题的概念及其研究问题 反问题( i n v e r s ep r o b l e m ) 是相对正问题而提出来的按照j b k e l l e r 3 的提法，若在 两个问题中，一个问题的表述或处理涉及到或者包含了有关另一个问题的全部或者部分的 知识，我们就称其中一个问题为正问题，另一个问题为反问题进而我们称一个先前被研究 得相对充分或完备的问题为正问题，而称与此相对应的研究较晚的另一个问题为反问题通 常情况下，反问题的研究要比正问题复杂的多，但是在实际的工程中确有非常广发的应用 反问题在振动理论，结构设计，分子光谱学与线性系统理论等领域有着广泛的应用 d o w n i n g 和h o u s e h o l d e r 【4 】在1 9 5 6 年首次提出了矩阵反问题的加法问题( 即给定矩阵 a ，求一个对角矩阵d 使a + d 具有事先给定的特征值) 和乘法问题( 即给定矩阵a 求一个对 角矩阵d 使d a 具有事先给定的特征值) ，十二年后h o c h s t a d t 表了关于j a c o b i 矩阵特征值反问 题的研究论文随后，b r o c kj e 提出了含参数的逆特征值问题，蒋尔雄对多自由度弹簧质点 系统的物理参数识别提岛j a c o b i 矩阵特征值反问题随着问题的深入，特征对逆问题或约束 矩阵方程问题引起了许多专家学者关注1 9 8 2 年湖南大学李森林教授在文献 7 】中研究直接 控制系统绝对稳定充要条件时，提出了关于线性方程组似= b 的反问题：对给定的n 维 列向量x ，b r ”一 0 ) 满足条件x 。b 0 ，是否存在a r “”使得么正定且满足魃= b 文【8 【9 】对丘x = b 的反问题在对称正定矩阵中的解做了大量有成效的工作特别是近十几 年，由于实际的需要，矩阵反问题已经成为当今计算数学中一个非常活跃的研究课题矩阵 反问题涉及的领域有结构动力学，固体力学，物理，生物学，电学，分子光谱学，量子力 学，结构设计，参数识别，自动控制理论，振动理论，非线性规划，动态分析等等例如在 电学或自动控制中，通过对系统输入和输出的信息关系的分析，以考察线性系统建立数学模 型，认识或推测该线性系统内部的构造特性，即构造一低通滤波器，这实际上是一个黑箱问 题，例如设输入数据为a ，输出数据为b ，确定该系统的状态x ，从而也确定了一个线性流形 s = x s r ”，黝= b ，b xr “”) 文 1 2 中对线性流形上的逆特征值问题做了一些研究，后来文 5 7 把研究线性流 形也归结为特征值反问题，后来又推广到线性谱约束下矩阵束的最佳逼近问题，即关于矩阵 南京信息工程大学硕士学位论文 方程反问题但是由于矩阵方程的反问题就是在一定的限制条件下，如何根据给出的x 和b 的信息决定矩阵的元素因此矩阵方程的反问题由于所给的条件不同或应用背景不同，这样 对不同的矩阵所应用的方法也必然不同，而且即使是相同的矩阵，方法不同，难简程度也 不一样因此矩阵方程的反问题已引起国内外学者的极大兴趣，中外学者对此做了深入研 究，获得了一系列成果。 1 2 国内外的研究发展情况 根据所给的条件或者应用背景的不同周树荃，戴华教授在专著 1 及综述 4 4 中将矩阵 的特征值反问题分为：加法问题和乘法问题，含参数的特征值反问题，j a c o b i 矩阵和实对 称带状矩阵特征值反问题，线性( 谱) 约束下矩阵的最佳逼近问题，极点配置问题和矩阵广 义特征值反问题等。 目前国内研究矩阵特征值反问题的专家，学者主要从事一下几个方面的研究： l 线性( 谱) 约束矩阵方程的最佳逼近解问题 2j a c o b i 矩阵的逆特征值问题及实对称带状矩阵的反问题 3 矩阵的广义特征值反问题等 线性方程组似= 召反问题方面 1 9 8 2 年，李森林 7 在研究一类直接控制系统绝对稳定性的充要条件时提出了一个关 于线性方程组的反问题，即给定x ，b e r ，求对称正定矩阵a ，使得h x - - b 的问题；1 9 8 4 年， 张磊 8 在正定矩阵集合类中就反问题a x = b 进行了研究，得到了问题可解的充要条件及解 的一般表达形式；1 9 9 3 年，左光纪和郭忠 9 在m 阵和s 阵集合类中进行了讨论 谱约束下的矩阵最佳逼近问题方面。 1 9 7 7 年，b o l e y 和g o l u b 1 2 提出并讨论了由谱数据构造实对称带状矩阵的问题；1 9 8 8 年孙继广 4 5 和1 9 9 0 年张磊 3 0 分别用不同的方法在对称矩阵集合类中讨论了特征值反 问题及其最小二乘解：1 9 9 1 年，周树荃、戴华 1 概括了矩阵特征值反问题1 9 9 1 年前的研 究成果；1 9 9 5 年戴华 4 4 介绍了矩阵特征值反问题的若干进展；1 9 9 8 年m t c h u 评价了 特征值反问题在1 9 9 8 年前的研究结果：1 9 9 8 2 0 0 4 年胡锡炎，张磊，谢冬秀，周富照，邓 远北等研究了双对称矩阵、双反对称矩阵、中心对称矩阵、对称次反对称矩阵及可对称化 矩阵等的特征值反问题。 矩阵方程的约束解及其最佳逼近方面 1 9 5 1 年b j e r h a m a r 1 3 利用广义逆得到了a x = b 有一般解的充要条件和通解表达形式； 2 南京信息工程大学硕士学位论文 1 9 8 8 年，戴华 1 4 讨论了矩阵反问题及其解的稳定性问题；a l l w r i g h t 用凸分析的方法对 对称半正定矩阵类给出了a x = b 的最小二乘解存在的条件，但解的表达式的给出较困难； 1 9 9 6 年，w o o d g a t e 在两种情况下给出了对称半正定矩阵解的表达式及数值方法；吴雷和 b r g a nc a i n 利用秩分解在特殊情形下研究了半正定矩阵类约束下的矩阵方程；胡锡炎，张 磊，谢冬秀等1 9 9 9 年对双对称矩阵约束反问题进行了讨论e 1 6 ，1 7 ：2 0 0 0 年研究了非负定 双对称矩阵约束反问题及双对称矩阵反问题的最i b _ - - 乘解 1 8 ：2 0 0 2 年盛炎平等讨论了 双反对称矩阵反问题解存在的条件及最t b _ _ - - 乘解；戴华研究了对称正交反对称矩阵反问题 解存在的条件； 2 0 0 3 年戴华 1 9 3 研究了对称正交对称矩阵反问题的最小二乘解。 有关h e r m i t e 矩阵的反问题 2 0 0 2 年张忠志等研究了h e r m i t e - - 广义h a m i l t o n 矩阵特征值反问题；2 0 0 4 年，张忠 志等 2 0 利用矩阵的奇异值分解研究了h e r m i t e 一广义h a m i l t o n 矩阵反问题的最t j 、_ - - 乘解； 2 0 0 3 年，z h e n g - j i a nb a i 讨论了h e r m i t i a n - 广义s k e w - h a m i l t o n i a n 矩阵逆特征值问题可 解的条件及其最佳逼近。 近二十几年来，约束矩阵方程的研究在约束范围及约束形式方面不断扩展，包括：线 性流形上矩阵反问题、子空间上或广义矩阵反问题、子矩阵约束下的矩阵反问题( 矩阵扩充 问题) 等。 在电学或自动控制中，常常通过对系统输入和输出的信息关系的分析来考察线性系统， 建立数学模型，认识或推测该线性系统内部构造、特性这实际上是一个黑箱问题例如， 设输入数据为z ，输出数据为y ，确定该系统的状态a 由于在实际问题中获得的数据是测 量而得到的，它们不一定满足要求的线性关系( 如a z = y ) 如果统一按照最小二乘问题来处 理，所得结果可能会与需要的结果相差很远，因此有必要考虑线性流形上的特征值反问 题对于满足线性关系的那部分按线性关系来处理，不满足线性关系的按最小二乘问题处 理 2 1 近年来线性流形上的特殊矩阵的反问题逐渐引起研究者的重视。 1 3 本文的主要工作 矩阵( 特征值) 反问题在科学技术许多领域有应用背景，在矩阵理论与方法研究上具有 重要意义近十几年来，经过国内外专家、学者的不断努力，取得了一系列重要成果约 束矩阵方程问题涉及的约束矩阵集合类包括：( 反) 对称矩阵、次( 反) 对称矩阵、( 非) 对称 半正定矩阵、正交矩阵、非负矩阵、双( 反) 对称、( 反) 中心对称矩阵、对称次反对称矩阵、 反对称次对称矩阵、j a c o b i 矩阵、实对称带状矩阵、( 反) 对称正交( 反) 对称矩阵、若干广 3 南京信息工程大学硕士学位论文 义矩阵、t o e p l i t z 矩阵、h e s s e n b e r g 矩阵、可对称化矩阵、h e r m i t e - 广义h a m i l t o n 矩阵、 四元数矩阵等矩阵的广义特征值反问题涉及的约束矩阵集合类有j a c o b i 矩阵、三对角矩 阵、双对称矩阵、反中心对称矩阵等使用的方法有s c h u r 分解、c h o l e s k y 分解、谱分解、 极分解、正交分解、奇异值分解( s v d ) 、广义奇异值分解( g s v d ) 、标准相关分解( c c d ) 及商 奇异值分解( q s v d ) 等但是，还有许多重要问题没有涉及或研究得不够深入系统。 本文所做的工作如下： l 在第二章，我们讨论了满足某些条件的矩阵方程a x = b 之反问题有正定解的充要条 件及通解表示。 2 在第三章，本文讨论了4 为反对称矩阵的时候，矩阵方程a x = b 有解的条件的和通 解表达式。 3 在第四章，本文讨论了反对称正交对称矩阵反问题解存在的条件。 4 在第五章，本文讨论了矩阵方程肚= b 扰动的相关问题。 1 4 记号 本文采用记号c “”表示所有n m 阶复数集合，用r “”表示所有n x m 阶实矩阵集合， r ”= r “”，剧“”表示其中秩为r 的子集；o r “表示所有n 阶正交阵全体艘“”表示所 有n 阶实对称矩阵的全体；a s r “”表示所有n 阶实反对称矩阵的全体；01 1 2 表示向量2 一 范数或者矩阵谱范数，f 表示矩阵的f r o b e n i u s 范数，厶表示k 阶单位矩阵，a h 表示 矩阵4 的共轭转置，而么r 表示矩阵么的转置，彳+ 表示么的m o o r e - - p e n r o s e 逆， 只= a a + ，黠= ，一州+ 设彳，b 为h e r m i t e 矩阵，则么 b 表示么一b 为正定矩阵， 而a 0 表示a 正定。 4 南京信息工程大学硕士学位论文 第二章矩阵方似：b 有解的充要条件及通解表示 2 1 预备知识 设位= f l ，i ， 1 ，2 ，) 掣，口1 = n a ，a ( a ，a 1 ) 表示么的行序在仅， 歹0 序在a 1 的子矩阵，特别地，当a = a 时，a ( a ，a 1 ) 2 彳( 口) 当彳( a ) 非异时，矩阵 a ( a 1 ) 一a ( a 1 ，a ) 叫 ) 一a ( a ，a 1 ) 称为彳的子矩阵4 ( a ) 之s c h u r 一余嘲，用表示对 于a = a 胃c ，显然存在置换矩阵尸使 n 尸= 治：，篙) ) 且 k ( a l ，a ) r = 4 ( a ，a 1 ) 引理2 1 设彳= 彳日c ，则么 0 的充要条件是彳( a ) 0 及 0 ，其中 a = f l ，f ，) sn = 1 ，2 ，玎) 证明不妨设 么= ：，锱) ) 令 q = ( 一4 。口。，三；。么。a ，一。，三，) 则 删= 地。m 。a 僦k 刚讹叫宅脚) 】- 1 龛 南京信息工程大学硕士学位论文 显然么 o 彳( a ) or 0 证毕 2 2 主要结论 定理2 1 设e = ( 主置) c 职，其中么。为，- 矩阵，b = e + e h 0 , e 的子块 a l ，a 2 ，a 3 满足 群( 4 + 群) 叫4 2 以( a i + 管) 叫 ( 2 1 ) 令 。= a l + a 1 n ，2 a 。么2 。+ + 2 a 彳f ， 则d 0 证明设口= 1 ，2 ，) ，则由b = e + e 日 o ，及引理知b ) = 4 + 4 o ， o 由( 2 1 ) 式 = 2 ( 4 。+ 彳f ) 一( 么夕+ 2 a 3 ) ( 4 + 彳( 么：+ 2 a h ) = + 4 + 群一4 ( 4 + 矸) 。1 ( 4 + 笸) 一( 管+ 4 ) ( 4 + 群) q 一4 ( 4 + 砰) 。1 簧= + ( 4 + 钟) 一( 笸+ 4 ) ( 4 + 砰) 一1 ( 4 + 管) + 管( 4 + 掣) 一1 4 - 2 木4 ( 4 日+ 4 h ) 一1 4 日 = 2 + a 2 h ( a i + a i h ) 。1 4 2 4 ( 4 + 群) 。1 o 又因为 d ( 位) = 彳l + a l = b ( a ) 0 故由引理2 1 即得d 0 注l ：由b = e + e 片 o 推不出( 2 1 ) 式成立 例如： 6 南京信息工程大学硕士学位论文 i2 i e = l l 一1 0 1f ，4 l ，e + e 日= l 1 jl 一1 但 笱( 4 + 群) 一4 = o o ，彳日= 彳，么x = b ) 和 7 ( 2 2 ) 、l， o 2 l、， 2 ，-一； 之 2 31 一，) 叭_ _ 叫 南京信息工程大学硕士学位论文 g = 丁ib x + + ( 劭f + ) h 一( 丑x + ) 片p x + 砖z 砖，t 席- t 0 ，t c ”x ” ，则当且仅当b 和x 满足 峨= b ，( p 工b x + ) 日= 匕鲋+ ( 2 3 ) 时，k 驴，并且当k 时，有k = g 证明设k 咖，则拟a 满j g _ a 珂= 彳且左y = b ，从而 a x = b 暇= b x + x = a x x + x = a x = b ( 肘x ) 圩= ( x + ) 日b h 己= ( x + ) 日( 删) 厨+ = + ) 日x 日a x x + = ( x x + ) 日( a x ) x + = 最以+ 即( 2 3 ) 式成立 反之，设x ，b 满足( 2 3 ) 式，因为 ( 以+ ) 日r r = p 2 ( b x + ) = & 以+ = ( p x b x + ) 日 = ( b x + ) 片最 所以 ( b x + ) 圩乓+ 足( b x + ) = ( b x + ) 日最+ ( 鲋+ ) 日足= 2 ( b x + ) 日 即 ( b x + ) 日足= 互1e ( b x + ) 乓+ p j ( b x + ) 取 a = b x + + ( 以+ ) 日一( b x + ) 日名 则 么日= 彳 且由于 u 胃a u = u 片( b x + ) u + u 日( b x + ) u 一圭 u 片( b x 甲uu 日( x x w + u h ( 必+ ) u u 日( b x w 】 8 南京信息工程大学硕士学位论文 ( 置主) + ( 荔筹) 一去 ( 筹三 + ( 吾台) = f ，4 + r4 + 管1 1f ，4 + 砰4 1 一 l 4 + 管4 + 群2i 管0 ，j 阻+ 群) l + 鸽4 + 群j 1 1 ( 4 1 + 4 x 。2 a ( 4 2 + + 2 4 管n ) 由定理2 1 得u 日a u 0 又 即证 其次 则 反之 则 其中 显然 么= 以+ + + 尸一+ 尸匕 o 翩：k + + 陋+ 尸一澉+ 尸足k = b x x + x + hb hx x + hb h 毅+ x = b x + x + x + hb hx x + hb hx = b x + x = b k 西 v 彳k a = b x + x hb h x ht t hp x + p ；a p ；g 设么g a = b x + b x + 、 一b x + 、 p x + p ；t p ； 丁= t 圩0 4 日：彳 9 ( 2 4 ) 南京信息工程大学硕士学位论文 又由 砖硪0 及( 2 4 ) 式 得 再由 及 得 所以 b x + + + ) h 一澉+ 尸只o a 0 p ；x = 0 丘x = b a k k = g i o 南京信息工程大学硕士学位论文 第三章反对称矩阵反问题解存在的条件 3 1 问题的提出 3 1 定义：若彳= q ，) 尺，满足：m - = - a t 则称彳为反对称矩阵对所有n 阶反 对称矩阵的全体记为a 5 r ” 我们讨论如下问题： 问题3 1 给定x ，b r “”，a a s r “”，使得似= b 特别，当b = x a ，a = 西昭( ，九九) ，则上述问题是一类给定部分特征值和相应特 征向量的反问题 3 2 问题3 1 解的存在性 定理3 1 设b r “”，x 磷”( 其中群”表示r “”中秩为m 的子集) ，且有分解： x = u l o ) = c u ；，( 暑) = u r ，q r “” c 3 ， 其中u 为n 阶正交矩阵，r 为m 阶非奇异上三角矩阵，则问题3 1 有解的充分必要条件是： x r b = 一b r x ( 3 2 ) 且问题3 1 解的通式可表示为： 4=【厂(墨黧：一(【，；br-1)rug ) 【，r ，v g a s r 。一。，。，。， 。3 3 ， i ：引叫j ，v “ ”一” ( 3 3 ) 证明令 砌叫豺乐” ( 3 4 ) 必要性：设有解彳a s r “”，即有彳= a r ，觚= b ，因此有：x r 似= x 7 b ，所以 x 7 b = 一x r 4 7 x = 一( 似) r x l l 南京信息工程大学硕士学位论文 = 一矿x 所以式( 3 2 ) 成立 用【，r 做乘似= 召，并利用式( 2 1 ) ，式( 2 4 ) 以及彳= 一么r 有： 4 。= 一互。= w 歙以 互。= 孵b r 。1 4 ：= 鬈= 一( 晖歙一) r ： 互：= 一砭 因此问题( 3 1 ) 的解的通式可以表示为( 3 3 ) 的形式 充分性：由式( 3 1 ) 和( 3 2 ) 有 w 础= ( r 。1 ) r x r b r 。1 = 一( 足。1 ) 丁b7 x r q = 一( 歙_ ) 7 1 x r 卅 = 一( b r 。) r u 因此式( 3 3 ) 所确定的矩阵a a s r “” 而且直接验证知a 满足方程似= b 所以式( 3 3 ) 所确定的a 是问题( 3 1 ) 的解 定理3 1 考虑的是x 为列满阵的情况，下面将结果推广到一般的情形 引理3 1 设b r “，x r ? ”( 其中r ? ”是r “”中秩为r 的子集) ， 且有分解： x ：u f o l v t l l ，u 电棚 5 ， = u r 玎 1 2 南京信息工程大学硕士学位论文 其中u ，v ，r 分别是n 阶，m 阶正交阵和r 阶非奇异上三角阵，u r “7 ，k r “7 令 j = u ( 三 ，西= b 巧 则以下两组条件等价： ( i )x r b = 一b r x 。 ( i i ) b k = o ，x r b = 一b r x 定理3 2 ：设b r “”，x r ? “，则问题3 1 有解的充分必要条件是： x r b = 一b r x ( 3 6 ) 且问题3 1 有的解的通式可表示为： a = b x + 一( b r + ) r ( l 一捌+ ) + u 2 g u r ( 3 7 ) v g a s r ( ”一”) 。( ”) 其中r “”7 为单位列正交阵且尺( ) = n ( x r ) 证明设x 有正交三角分解( 3 5 ) 则有 x + = k r w ，x x + = u w u ；= l 一+ ，v y , r = l 一嘭 ( 3 8 ) 令 量= u b 。= b v k o j x = i i = 则容易证明：方程a x = b 等价于方程么x = b ，b 砭= 0 ，由于x 是满秩的 则由引理3 1 和定理3 1 即可得本定理的的充分必要条件并且问题3 1 的通解也可以用定 理3 1 中的式( 3 3 ) 表示，其中只需要将x ，b 分别代替x ，b 先将其分块相乘并展开可 得： a = b k 尺1 w u r r k r b r 叼+ g 叼 ( 3 9 ) 1 3 南京信息工程大学硕士学位论文 因为 x = u , r v , r ，彳+ = k w 代入式( 3 9 ) ，即得式( 3 7 ) 由x 的正交分解式( 3 5 ) 可知是单位列正交阵，且 r ( ) = n ( x 7 ) 证毕 现在将上述结果应用到部分特征值和相应特征向量的反问题： 设x r “”，若记b = x a ，人= 疣昭( ，九丸) ，以薯表示x 的第i 列 a = 历昭( a ，九丸) 则 等价于： 等价于 x tb = 一b 1x x txk = 一般tx z x , = - z f , 所以有： 推论：设x r “”，b = x a ，人= d i a g ( 2 h ，九丸) 则问题3 1 有解的充分必要条件 是：( , a , i + , a , j ) x r x j = 0 ，i ，j = l ，2 ，m 其中薯是x 的第i 列 3 3 算法分析及数值计算 根据定理3 2 1 和3 2 2 ，我们可以给出问题3 1 1 解的算法如下： ( 1 )对于给定的x r ”“，b r ”“，计算x r b ，x ，若x r b = 一b r x ，则转入 ( 2 ) ，否则转入( 5 ) ( 2 ) 计算x 的广义逆矩阵x + ( 3 ) 按式( 3 1 ) 计算u ，和r 1 4 ( 4 ) ( 5 ) 例如： 经计算，得 满足 且 最后，算得 南京信息工程大学硕士学位论文 ，1 x r b ：i 1 l o b t x = f ，2 f 伊 u = x r b ：一b 7 x x + = ，= i r - - i 10 ( 1 5 4 算汁、， 73 ，l 式止 按停 一 0 o 2 o o ，i、-、 o 1 1 1 2 0 ，。，。_ 扒- _ 叫 o 之 ，一， 、l o o 2 o o ，一 、 o l 2 1 、 乞o 0 2 ，。l 一、i， 0 1 1 1 2 o ，。一 ， 一 1一 l一 1 l 一3 5 6 1 6 1 2 j 1 1 ) l 一3 一 m 5 3 击 三瓜上如上瓜 2巫5 因为g a s r m ，所以 彳：仁 【 1 南京信息工程大学硕士学位论文 * 一删 一小睁 1 6 1 o 0 、_、 l o 1 o 0 南京信息工程大学硕士学位论文 第四章反对称正交对称矩阵反问题解存在的条件 4 1 问题的提出 问题4 1 给定x ，b r “”，p 是给定的n 阶正交对称矩阵矩阵，求4 a s o s r ；”， 使得似= b 定义4 1 设尸是给定的n 阶正交对称矩阵，既p r “”，p7 = p ，p 2 = 1 ，若a r 职”， a r = 一a ，( p a ) r = ( p a ) ，则称么为反对称正交对称矩阵所有n 阶反对称正交对称矩阵 的集合记为a s o s r ；” 先讨论n 阶反对称正交对称矩阵的结构与性质由定义4 1 得如下结论 引理4 1 a a s o s r ；”的充分必要条件是： a 7 = 一a ，彳尸= 一p a( 4 1 ) 引理4 2 若彳是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵q ，使得 a = q 击口g ( - ，九，九) q 2 ( 4 2 ) 其中厶，九，九是矩阵a 的实特征值 引理4 3 对n 阶正交对称矩阵尸，存在正交矩阵u ，使得 ( 台圳 旺3 ， 证明由于尸是实对称矩阵，故其特征值是实数，又p 是正交矩阵，故其特征值的绝对值 是1 ，从而p 的特征值是1 和一1 有引理4 2 即得式( 3 3 ) 一攀取m 尚礅肌u 三卜有u 1 i 陋量) 1 7 南京信息工程大学硕士学位论文 当n 2 2 n ，时，p = u 童三曼 u r ，有u = 弓； 多导羔 彳= u ( 一f 0r 吾) u r c 4 4 ， n u = 磊) 汪5 ， 其中 铝a s r 七x ，雒a s r 押_ 弘阳。，f r 奴加“ 由彳尸= 一p a 可得 ( u r 彳u ) ( u r p u ) = 一( u r p u ) ( u r au ) 由( 4 3 ) 和( 4 5 ) 式得 ( 篓：f ) i i o 一厶0 一。) = 一( 台一点一。 ( 篓：磊， 从而可得4 7 = o ，4 ：= 0 ，因而( 4 4 ) 式成立 ( 充分性) 由( 4 4 ) 式可得a r = 一a ，由( 4 3 ) 和( 4 4 ) 可得a p ：一p a 4 2 问题4 1 有解的条件及其解的表示 引理4 5 矩阵方程a x = c ，x b = d 有解的充分必要条件是 1 8 南京信息工程大学硕士学位论文 以c = c ，d b b = d ，a d = c b( 4 6 ) 且通解为 x = a + c + d b + 一a + a d b + + ( ，一a + a ) z ( i - b b + ) ( 4 7 ) 其中z 任意 定理4 1 给定x ，b r 默”，给定的n 阶正交对称矩阵p 有如( 3 3 ) 所示的分解式，- i 5 内= 召= 住8 ， 其中五，e r h 删，五，b 2 r ”一“。则似= b 有解么a s o s r ；”的充分必要条件 置墨鼍= 置，b 2 冒墨= b 2 ，x r 蜀= - b r x ： ( 4 9 ) 此通解可表示为 刎0 抛冒) 孙佴叫7 絮扒。t 喝硼p 其中 ( 4 1 0 ) v z r 奴”，磊= 一矸，霹+ ( 厶一群r 砰) 置墨 ( 4 1 1 ) 证明由引理4 4 可知，a a s o s r ”可以表示成( 4 4 ) ，故a x = b 有解 a a s o s r ；”时有 u ( 一f 0r 言) u r r = b 由( 3 8 ) 和( 3 1 2 ) 可得 x ；f = 一酸f x 2 = b l 由引理3 5 和( 3 1 3 ) 式有解的充分必要条件是 x j x + 1 卜雹、) = 一碜，b 毒j x 2 = b 。，x j b 。= 一琏x 2 此时( 3 1 3 ) 式的通解可表示为 1 9 ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 南糸信息工程大学硕士学位论文 = x ；t 卜琏、) 七b 。x j - x , t x ；b 洋：+ u t - x , t x ；、) z u 枞一x ：、) = 一x ? 酸+ 心。一x ；1 x ；、) b 叠：七u 。- x ；t x ；、) z q + 一。一x x ；) = y o + ( 五一墨r 霹) z 旺i 一萎墨) ，v z er h ( n ( 4 。1 4 ) 这里磊= - x , f 霹+ ( 五一嚣r 墨) 墨墨为( 4 。1 1 ) 式 从砥即可缛到问题4 。l 有解时，解可以表示为( 4 。1 0 ) 式。 南京信息工程大学硕士学位论文 第五章线性方程a x = b 向后扰动分析 5 1 相关引理 零l 理5 1 设a ，b c 州是绘定矩阵，记： 嚣= 妇c ：h 拦= h ，h b = c 纛 踞= c 搬+ + 露+ 耳c 一b * z c 岛+ e t r p t ：r 片= f 岜c ” 则 h 国的充要条件是： q 封= e 秘慨+ ) 榉= 弓+ ( 5 。1 ) 并且当h 囝对，有h = r 证甓容易证明，( 5 。1 麴两个关系茂是h 国的必要条件 下证，由条件( 5 。1 ) 可以导出h = r 假定h h ，则可以表示成 h = c b + + h c h b h c hp b + p ；h p ； 这表示对于任一h h ，存在一个h e r m i t e 阵r ( = 日) c 删”，使得日可以表示成 h = c 8 + + b + c 一艿+ c b + e z 譬 ( 5 2 ) 因此，h = o 爱之，假定he r ，并设抒可以表示畿( 5 。2 ) ，其中t c 是h e r m i t e 阵，剔( 5 2 ) 帮( 5 1 ) 蕴含封露= 和h b = c ，郎h h 因此，珂h 所以有h = 叩 引理2 设舅是对称线性方程组a x = b 的一个近似解，其中a r “”，a r = a ，令 2 1 南京信息工程大学硕士学位论文 则 ，7 ，( z ) - - m i n e i l f ：0 + e ) 彭= b ，e r = e 怕) 2 高 并且7 7 ，g ) 之值在下述矩阵e 叫达到： 其中芦- b - a 舅 e 叫2 搿r + 盼7 2 2 一箬褡r ： 证明令，町= 忙：0 + e 弦= b , e7 1 = e ，则v e 叼，有瓜= 6 一皇f ， 故由引理( 5 1 ) 故 弘耐疗- ，珊+ + 砖噼2 箐一斋科+ 砖噼 = e 叫+ 砖砖，其中r 为任聆n 实对称矩阵 ； 2 南护焐胁扮r ) 一峨胁和7 + 鼢矽7 譬一譬中槲譬卜训 护k r 芦) 2 峒咿炉仁r f ) 2 + 婀卜g 丁f ) 2 2 高咿忡训 ef 又在e 的表达式取2 1 = o ，则 上州 r 上 南京信息工程大学硕士学位论文 m l f 2 击 5 2 主要结论 。 耐r + 秽r 譬r 芦一r 2 百一丽黜1 帏) 2 赢 定理1 设z 0 是对称线性方程组az = b 的一个近似解，其中a r n x na r = a 令 则 叼= 埏，厂) ：0 + e 声= b + 厂，e r = e ) ，7 a ( ) = ( 器鸭l l 仁，铲肌 r i o g ) = 2 i02 仁j 歹) 2 2 + 0 2 ：i + 日2 i 妇+ a 2 例；， 其中f = b 一瓜，而0 是一个正的参数 证明令7 7 ，= 忙：0 + e 声= 6 + 厂，e r = e ) ，则 7 7 ；g ) = 阶m i 纠ni i i e i f 2 + a2 i ) = 爨毋m ei n 0 e 旺+ 92 l e r l ，尺“ y ”“：) = 翼驴h m i n i 引 却洲卜静训：一铬 ( 由引理2 ) 斗杪幢+ 幽型一 毋砷州i +： ( 5 3 ) 令c = ( 2 z7 舅) ，一祷r ，则c 对称由于r a n k (7 ) = 1 ，且丑陋r ) = a ，p r 舅) = 譬r 岩，因 南京信息工程大学硕士学位论文 而允：陋r ) = a 。橛r ) = = a 。陋r ) = 0 ，故存在正交阵q 使 q 丁临r ) q = 访昭仁7 z ，0 ，o ) ，从而得q r c q = 2 仁r z ) ，访昭每r z ，0 ，0 ) = ；魄( 1 纠2 ”，2 ) ，所以 p 2 ；+ 南 + ) ，捌i + ) = 臼2 ；r ( + 厂汗q r 【2 仁r z ) ，一瓣r b q r ( + 厂) 】 =臼刈厂幢+币末7芦+qr厂厂主 | ( q r 芦+ q r 厂) j 令q r 芦= g ，r 2 ，) r ，焉= ( 0 ，吃，厶y ，巧= g ，0 ，o y r ”； q r 厂= ( 6 。，6 ：，b 。) r ，o = ( 0 ，b i ，b ：) r ，石= ( 6 。，0 ，o y r ”，则 ( 5 4 ) q r 芦= 瓦+ 巧，q r f = + 石，焉和厶分别与巧和石正交，且焉+ 厶与巧+ 石正交从 而8 q r 芦眨= i v o l ：+ 惊幢，i i q7 卅仨= s li = | i 兀眨+ 0 s , l l i 故得 日2 ；喃 + 盼) 彰i + 厂) ：a ：6 ： +ll石幢)+币南手k磊+厶，+(+zr主 = h m 静州h 叫州 2