（光学专业论文）部分相干光在传输过程中的光谱位移及光谱开关.pdf

摘要 因为激光具有高功率，高密度等特点，目前激光在物理学领域中的研究是 一个热点。由于从激光器中得出的激光基本是部分相干光，目前学者们对部分 相干光做了大量的研究。在某些应用中，部分相干光比完全相干光更具有优越 性，部分相干光在大气中传输不易受到大气扰动，光强分布也比较均匀并且有 消除或降低散斑等优点。 光谱分析被广泛的应用在冶金、地质、高精度测量、天体物理等方面，所 以光谱分析是科学分析方法中比较重要的一种。以前人们认为光在自由空间传 输中，其光谱是保持不变的。直到1 9 8 6 年著名的美国光学专家w o l f 教授证明： 当光源的光谱相干度满足定标定律时，从光源发出的光在传输中才保持光谱不 变。反之，从违反定标定律的光源发出的光在传输过程中，其光谱将会发生变 化。这种现象称为相关诱导的光谱变化。之后研究者发现，当满足定标定律的 部分相干光被光缆衍射的时候，在衍射光场也会出现光谱变化。这种光谱变化 有时也称为衍射诱导的光谱变化。 以前大多数的研究者所利用的部分相干光都是高斯一谢尔模型光束。最近 p o n o m a r e n k o 引入了一类新的部分相干光模型，该光束可由拉盖尔高斯光束相 叠加而成，称为部分相干修正贝塞尔高斯光束简称( m b g b ) 。 本文从理论出发介绍了部分相干光在通过光学透镜，光阑一透镜分离系统， 杨氏实验远场及部分相干光经球差透镜聚焦后的光谱特性和光谱开关。并研究 了所取的参数不同，光谱开关的数量和位置会发生变化。应用部分相干光和矩 阵光学的理论对部分相干修正塞尔高斯光束通过光阑一透镜分离系统的光谱变 化进行了深入了研究，基于部分相干光的传输理论，研究了部分相干光修正贝 塞尔高斯光束( m bg b ) 通过光阑一透镜分离系统后的光谱位移和光谱开关。理 论分析和数值计算结果表明，光谱开关主要与截断参量，光束菲涅耳数，光谱 相干度及光阑和透镜之间的距离有关。所取的参量不同，光谱开关的数量和位 置会随之发生变化。 关键词：部分相干光；m gg b ；光阑透镜分离系统；光谱开关； a b s t r a c t b e c a u s et h el a s e rh a sh i g hp o w e r , h i g h d e n s i t yc h a r a c t e r i s t i c s ，t h ec u r r e n tf i e l d o fl a s e rp h y s i c sr e s e a r c hi sah o ts p o t d e r i v e df r o mt h el a s e ri sb a s i c a l l yap a r to f t h ec o h e r e n tl a s e rl i g h t ，t h ec u r r e n ts c h o l a r so fp a r t i a l l yc o h e r e n tl i g h to fa s u b s t a n t i a la m o u n to fr e s e a r c hd o n e i ns o m ea p p l i c a t i o n s ，t h ep a r t i a l l yc o h e r e n t l i g h tt h a nt h em o r ef u l l yt h ea d v a n t a g e so fc o h e r e n tl i g h t ，p a r t i a l l yc o h e r e n tl i g h ti n t h ea t m o s p h e r et r a n s m i s s i o nl e s ss u s c e p t i b l et oa t m o s p h e r i cd i s t u r b a n c e s ，l i g h t i n t e n s i t yd i s t r i b u t i o nm o r eu n i f o r ma n dt h e r ei st oe l i m i n a t eo rr e d u c et h ea d v a n t a g e s o fs p e c k l e s p e c t r o s c o p y i s w i d e l y u s e di n m e t a l l u r g y ,g e o l o g y , h i g h p r e c i s i o n m e a s u r e m e n t s ，t h ea r e a so fa s t r o p h y s i c s ，s os p e c t r a la n a l y s i si sas c i e n t i f i ca n a l y s i s o fam o r ei m p o r t a n t p r e v i o u s l yt h o u g h ti naf r e es p a c eo p t i c a lt r a n s m i s s i o n ，t h e s p e c t r u mi s t om a i n t a i nt h es a m e u n t i lt h eu n i t e ds t a t e s i nl9 8 6 t h ef a m o u s p r o f e s s o r 肠i fo p t i c a le x p e r t sp r o v e d ：纬仍e l lt h es p e c t r ao fc o h e r e n tl i g h ts o u r c e st o m e e tt h es c a l i n gl a wd e g r e e sf r o mt h el i g h ts o u r c ei nt h et r a n s m i s s i o ns p e c t r u mt o m a i n t a i nu n c h a n g e d i n s t e a d ，f r o mt h es c a l i n gv i o l a t i o no ft h el a wo ft h el i g h ts o u r c e d u r i n gt r a n s m i s s i o n t h es p e c t r u mw i l lc h a n g e t h i sp h e n o m e n o ni sk n o w na s c o r r e l a t i o n i n d u c e ds p e c t r a lc h a n g e s a t i e rt h er e s e a r c h e r sf o u n dt h a tw h e ns c a l i n g t om e e tt h el a wo fp a r t i a l l yc o h e r e n tl i g h td i f f r a c t i o nb yf i b e ro p t i cc a b l e ，t h el i g h t f i e l di nt h ed i f f r a c t i o ns p e c t r ao ft h ec h a n g e sw i l la l s oa p p e a r t h i si ss o m e t i m e s r e f e r r e dt oa ss p e c t r a lc h a n g e si nt h ed i f f r a c t i o n i n d u c e ds p e c t r a lc h a n g e s r e s e a r c h e r sp r e v i o u s l yu s e db yt h em a j o r i t yo ft h ep a r t i a l l yc o h e r e n tl i g h ta r e g a u s s i a n s h e l lm o d e lb e a m p o n o m a r e n k oh a sr e c e n t l yi n t r o d u c e dan e wc l a s so f p a r t i a l l yc o h e r e n tl i g h tm o d e l ，t h eb e a mc a nb el a g u e r r e g a u s s i a nb e a m sb y s u p e r p o s i t i o np h a s e ，k n o w na sp a r t i a l l yc o h e r e n tb e s s e l - g a u s s i a nb e a m sr e f e r r e dt o a sa m e n d e d ( m b g b ) t h i sp a p e ri n t r o d u c e dt h et h e o r yo fp a r t i a l l yc o h e r e n tl i g h tt h r o u g ht h eo p t i c a l l e l l s ，a p e r t u r e 1 e l l ss e p a r a t i o ns y s t e r n ，y o u n g se x p e r i m e n ta n ds o m ef a r - f i e l d c o h e r e n tl i g h tf o c u s e db yt h es p h e r i c a la b e r r a t i o na f t e rl e n ss p e c t r a lc h a r a c t e r i s t i e s a n ds p e c t r a ls w i t c h e s a n dt oc h e c kt h ep a r a m e t e r so ft h ed i f f e r e n ts p e c t r ao ft h e n u m b e ra n dl o c a t i o no fs w i t c h e st oc h a n g e a p p l i c a t i o no fp a r t i a l l yc o h e r e n tl i g h t a n dt h et h e o r yo fm a t r i xo p t i c a lc o h e r e n c eo nt h ep a r to ft h ea m e n d m e n ts a l e g a u s s i a nb e a m sp a s s i n gt h r o u g h 锄a p e r t m e l e n ss e p a r a t i o ns y s t e mc h a n g e si nt h e s p e c t r ao fa ni n d e p t hs t u d yr e s u l t ss h o wt h a tt h es a l eo fp a r t i a l l yc o h e r e n tg a u s s i a n b e a mt h r o u g ha m e n d m e n t sa p e r t u r e 1 e n ss e p a r a t i o ns y s t e mw i l ls w i t c hs p e c t r u m k e yw o r d s ：p a r t i a l l yc o h e r e n tl i g h t ；m gg b ；a p e r t u r e - l e n ss e p a r a t i o ns y s t e m ； s p e c t r a ls w i t c h ； i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者娩锦硪 签字日期：妒7 年多月涉日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：锪海 ；又 签字日期：沙乡年钥修日 导师签 签字日 日 部分相干光在传输过程中的光谱位移及光谱开关 1 1 研究工作的背景 第一章引言 目前全世界各个国家对部分相干光的光谱特性都在做不停的研究。 1 9 6 0 年m a i m a n 发明了世界上第一台红宝石激光器，使得产生高功率、高密度 的光束的愿望成为现实【l 之1 ，因此激起了许多相关工作者对激光的研究兴趣，使 得激光技术得到了高速发展，并且随之也推动了相关基础学科和应用学科研究的 进展。 实际上，从激光器中得出的激光往往都属于部分相干光【3 1 ，所以学者们对部 分相干光进行了大量的研究。在某些应用中，部分相干光比完全相干光更具优越 性，部分相干光在大气中传输不易受大气扰动，光强分布也比较均匀并具有消除 或降低散斑等优点【5 j 。研究并开拓部分相干光在光学互连技术的应用是一件非常 重要的研究工作。 光谱分析是最重要的科学分析手段之一【纠，光谱分析法主要有原子发射 光谱法、原子吸收光谱法、紫外一可见吸收光谱法、红外光谱法等。物质吸 收波长范围在2 0 0 7 6 0 n m 区间的电磁辐射能而产生的分子吸收光谱称为该 物质的紫外一一可见吸收光谱，利用紫外一一可见吸收光谱进行物质的定 性、定量分析的方法称为紫外一一可见分光光度法。其光谱是由于分子之 中价电子的跃进而产生的，因此这种吸收光谱决定于分子中价电子的分布 和结合情况。其在饲料加工分析领域应用相当广泛，特别是在测定饲料中 的铅、铁、铅、铜、锌等离子的含量中的应用。荧光分析也是近年来发展 迅速的痕量分析方法，该方法操作简单、快速、灵敏度高、精密度和准确 度好，并且线形范围宽，检出限低。在光谱分析中人们一般认为光在自由空间 传输中，其光谱保持不变，这样的假定由于科学发展道路的曲折，一直就这样墨守 陈规的承认并应用着，例如，十九世纪五十年代k i r c h o f f 和b u n s e n 等人为了研 究化学元素的性质，应用光谱分析方法分析发光火焰中的荧光光谱1 他们深信 不疑地假定探测器探测到地不同成分地光谱分别对应于原子结构中不同地共振 跃迁这个被称为光在自由空间传输中光谱不变的假定在许多情况下被证明是正 确的1 9 8 6 年美国r o c h e s t e r 大学w o l f 教授首次证唰4 1 ，当准均匀光源的光谱相 干度是变量函数时，从该光源发出的光在传输中，光谱保持不变。k = c d c ，为圆 频率，c 为真空中的光速。这种情况下，光源被称为是满足定标定律( s c a l i n g1 a w ) 的光源。从满足定标定律的光源发出的光在传输时保持光谱不变：而从违反定标 硕上学位论文 定律的光源发出的光在传输时，其光谱将会发生变化。即使光在自由空间中传输， 其光谱也将发生变化。这种由于光源的光谱相干度违反定标定律而产生的光谱变 化称为相关诱导的光谱变化( c o r r e l a t i o n i n d u c e ds p e c t r a lc h a n g e s ) 。近十多 年来，许多研究者对相关诱导的光谱变化进行了许多理论和实验研究。之后，理 论与实验还发现，满足定标定律的光源发出的光照射到一光阑时，在衍射光场观 测到的光谱也会发生变化。这种光谱变化有时称为衍射诱导的光谱变化 ( d i f f r a c t i o n i n d u c e ds p e c t r a lc h a n g e s ) 相关诱导的光谱变化( 或衍射诱导的 光谱变化) 这种新现象对高精度光谱测量的影响引起许研究者的关注。1 9 8 9 年， k a n d p a l 等人在测量光谱时发现f l3 1 ，当改变光学透镜之前的光阑的大小时，用单 色仪观测到的光谱会发生变化，他们把这种光谱变化归结为相关诱导的光谱变 化。相关诱导的光谱变化这一新现象可以用来解释一些未能得到解释天文现 象，w o l f 等人还利用相关诱导光谱变化原理设计了一种新型的光谱滤波器，称为 空间相干光谱滤波器。相关诱导的光谱变化现象还可以用于解释光谱定标的差 异。 1 9 8 6 年w o l f 证明，当部分相干光源的光谱相干度不满足定标定律时，从光源 发出的光在传输过程中，其光谱将会发生变化，衍射场的光谱峰值频率比入射光 谱峰值频率小时称为“红移 反之，称为“蓝移”这种光谱移动现象称w o l f 效 应【8 1 。此后人们对这类的光谱变化已经作出了比较深入的研究。 1 9 9 9 年，蒲继雄等人研究被光阑衍射多色部分相干光的光谱时发现在一定条 件下，伴随着光谱移动的临界点会出现光谱突然由蓝移快速的变为红移或由红移 快速的变为蓝移的现象，称这种现象为光谱开关旧。当空间完全相干光被光阑衍 射的时候，在衍射场中振幅等于零的点就是“奇点 。研究这些“奇点”附近光 波相位的奇异现象形成了光学的一个分支“奇点光学( s i n g u l a ro p t i c s ) f o l e y 教授和w o l f 教授企图用“奇点附近光谱的奇异性解释光谱开关现象。光谱开 关是在观测点探测其光谱位移在一定的条件下出现的快速变化。光谱开关出现 后，众多的研究者对光谱开关展开了一系列的深入的研究。2 0 0 2 年冯建武和赵 建国发现部分相干光通过光阑透镜分离系统的时候会出现光谱开关f i 舯。部分相干 光在经过光阑一透镜系统时，在近场和远场光谱都会发生变化。与光阑处的光谱 相比有着明显的不同，s ( z ， ) ) 会分裂成两个峰，一个主峰，个次峰随着 z z 。的增大或减小，主峰和次峰会交替变化，当z z 。到了某个特定的值时，次峰光 谱会突然涨到与主峰光谱相同的一个值，这个时候，我们说这就产生了光谱开关， 它是红移( 蓝移) 向蓝移( 红移) 转换的标志。2 0 0 3 年吕百达发现部分相干光通过 杨氏双缝远场实验的时候也发现了光谱开关【1 9 l 。2 0 0 4 年蒲继雄等人又发现部分 相干光被色差透镜聚焦后会发生光谱开关1 2 0 j 。光谱开关是光通讯系统以及光学互 连技术的一个重要部件，在光谱测量和光谱选择方面也有重要的应用价值。研究 2 部分相干光在传输过程中的光谱位移及光谱开关 部分相干光束经过实际光学系统传输而引起的光谱变化，还有助于我们解决光谱 测量中的有关争议。有些研究者把光谱测量中的测量误差归因于相关( 或衍射) 诱导光谱变化；另一些研究者则归因于光学系统的色差等。到目前为止大多数的 理论研究所用的部分相干光都是高斯一谢尔模型光束。最近，p o n o m a r e n k o 引入了 一类新的部分相干光模型，该光束可由拉盖尔一高斯光束相干叠加而成，称为部分 相干修正贝塞尔高斯光束简称【2 3 1 ( m b g b ) 。2 0 0 6 年王莉等人利用部分修正贝塞 尔高斯光束通过光阑透镜后也出现了光谱开关【2 6 】。高阶m b g b 光束可以很好的描 述空心光束并具有非常好的传输稳定性。目前在国内外部分修正贝塞耳高斯光束 和光谱开关都是非常热门的话题。 1 2 本论文内容安排 l 引言 简要介绍部分相干光通过光阑透镜和光阑一透镜分离系统及杨氏双缝远场试 验的光谱特性和光开关的研究目的、意义和研究进展。回顾了国内外在光谱特性 和光谱开关方面的研究。 2 数学基础 介绍了光传输所用到的基本的数学理论。 3 基础理论 介绍了光传输的研究方法以及部分相干光的基本理论和数学一物理模型。 4 部分相干光传输过程中的光谱异常 介绍了部分相干光通过光阑，光阑一透镜分离系统，杨氏装置等出现的光谱 开关。 5 部分相干修正塞尔高斯光束通过光阑一透镜分离系统后的光谱特性 从理论上研究以零阶贝塞尔函数形式的部分相干修i f 塞尔高斯光束通过光 阑一透镜分离系统后的光谱特性和光谱开关。分析了光谱开关受光束的相干性， 光阑的菲涅耳数，以及光阑和透镜之间的距离所影响，所取的系统参量不同，光 谱开关的位置和数量也会随之发生变化。 6 结语 详细归纳本论文的重要结论和创新点，并对尚未完成的工作加以补充，为以 后的继续研究提供理论基础。 3 硕士学位论文 2 1 贝塞尔函数 第二章数学基础理论 1 贝塞尔函数的定义 v 阶贝塞尔函数的定义是 也( x ) = 薹蒜( 争y + 2 i 其中v 0 ，而f ( x ) 是r 函数。 v 阶诺伊曼函数的定义是 m ( x ) ：互垦生罢竺三三盟 当v 取整数m 时，得m 阶诺伊曼函数 “：l i mn ，( x ) ：l i m 丛坐掣竺生盟 = 知詈旧厶一昙萋等产c 尹” 一三茎n 专云兰嘉c - + 1 2 + + c 兰2 ，一所+ 2 h 万急! ( ，z 一朋) ! 、 力“7 一昙耋嚣与c 1 2 + + 去庸2 棚 乃惫：；：刀! ( ，2 一朋) ! 、 疗一脚7 、7 当m = 0 时没有罗项 ：； 第一种和第二种汉克尔函数的定义是 五e u ( x ) = , i v ( x ) + 口l ( x ) e 2 ( x ) = 山( z ) 一i n , ( x ) 虚宗量贝塞尔函数的定义是 l ( x ) = i - v 山( 扭) ；【，( x ) = f 1 ，( 扫) 它们是实变量函数。 定义虚宗量汉克尔函数为 k v ：冬e f 三e t ，( 魂) ：要地掣 当v 取整数m 时，得m 阶虚宗量贝塞尔函数为 k = ! 鳜等p f 三硝( 妫= 詈丛学 4 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 部分相干光在传输过程中的光谱位移及光谱开关 注意，存在以f 关系 ，= ( - 1 ) “厶 i m = i m 疋，= k v 半整数阶的贝塞尔函数 半整数阶的贝塞尔函数常用以下几种形式， 球贝塞尔函数 ( x ) = 三+ ， “班氟扣 球诺伊曼函数 吣) 2 怯， 球汉克尔函数 h i ( ( 垆任噬 ( 加麽2 x ( 1 + n ； 2 实例： ( 1 ) 磊，l 譬嚣的曲线如下 5 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 硕士学位论文 图( 2 1 ) ( 摘自文献3 0 ) ( 2 ) 诺伊曼函数，的曲线如下 j 。j ： ：。 。、f l ： 弘 参 彰 s 图 i 。，一傀飞 趣岛= ? 铅咖| j 瓿。j 瓤io ， * j2 毪j 4 飞j 。| 一 i t 、j 蠹，一l 一， ： ( 2 2 ) ( 摘自文献3 0 ) ( 3 ) 虚宗量贝塞尔函数而，- 的曲线如下 6 部分相干光在传输过程中的光谱位移及光谱开关 j 毽麓f 。强：一嗨蟹篇7 够7 期端乖毒? ：= ? 挚砘气? ? 妒$ 。一i 薅t 。钳一 。嚼慨栅* ? 甓i 强? 鲤i 蠹“氇一笆：；。j 。崎翳穗移 。 ；z 。；轧，五7 一一一 图( 2 3 ) ( 摘自文献3 0 ) ( 4 ) ，l 的曲线如下 ? 鼍tf 。，t 。秽 87 荔巍；痨；鞔秀 ；羲一。谚：勿 兹，躏j ；巍一磁劫，彩凌彗h 积参，豢。j 菇彘n 尊瓣叛糍 ( 2 4 ) ( 摘自文献3 0 ) 2 2 交叉相关函数和复相干度 在经典理论的框架里，光源和广场的涨落可用几率分布或相关函数表征。假 定q ( r ，) 表示在光源点r 在某一时刻t 涨落光源的变量，v ( r ，f ) 表示由光源产生 7 黼缳影q屯0。“硝，01搿“秀“兹“肿增强q|、r一。；鹳铝k埘o，一气葛谨屯q彪，：、甜鬈强懈确礁z矿嘞缈荔 ，。坼和一z。竹舅_，臻彬韶殇谢=嚣努轳粥渤崩兹珊馕需一一褊w7哿!磋缓以为搿钰虢钟扔够一锄篷 硕士学位论文 的场。为了讨论方便，我们忽略光源和光场的矢量性质，认为q ( ，f ) 和v ( r ，f ) 是 标量，在两个时空点( r l , f ) 和( r 2 , f + f ) 光源涨落的交叉相干函数为 r q ( ，j ，r 2 ，f ) = ( q + ( ，) q ( 吒，t + q ) ， ( 2 1 2 ) 式中，角括号表示对光源可能实现的系综取统计平均，星号表示复共轭。同样在 两个时空点，光场的交叉相关函数可按类似的方式定义为 r y ( ，吃，f ) = ( v + ( ，t ) v ( r 2 ，f + f ) ) ， ( 2 1 3 ) 上式的角括号表示对光场可能实现的系综取统计平均。 光源的平均强度易( ，) 和光场的平均强度0 ( ，) 由下列公式定义： 乇( ，) = f e ( v ，o ) = ( 矿( ，) q ( 彬) ) ， ( 2 1 4 ) 1 矿( ，) = r 矿( 厂，o ) = ( 矿。( ，f ) y ( ，) ) 。 ( 2 1 5 ) 在描述光源和光场的相干件时，常引入归一化的相关甬数 咖一。揲端v 2 ，、f 1 9 l ，1 9 ， 椭巾拱v 铬2 。 、f 1、l ，1 矿、。， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) y o ( r , ，吃，f ) 和九( ，i ，吃，f ) 分别称为光源和光场的复相干度。这两个量的绝对值的 最大取值为1 ，它们的最小取值为零。当( ，r 2 ，f ) 和肋( ，吒，f ) 的绝对值取值 为1 时，代表着光源或光场是完全相干的；而当它们取值为零时，光源或光场为 非相干的。 2 3 交叉谱密度和光谱相干度 函数r 口和l 表示时空域中光源和光场的相关函数。在许多情况下，尤其 是分析光源和光场的光谱性质，应用空间一频率域的函数来表征光源和光场的相 干度更加方便。这些空间一频率域的函数可由f 口和r y 的傅里叶变换而得到，即： ( ，国) = 去，r 口( ，2 ，f 弘衙d f ， ( 2 1 8 ) - ， ( ，r 2 ，国) 2 去n ( ，f 广抚 ( 2 1 9 ) 8 部分相干光在传输过程中的光谱位移及光谱开关 式中w o 为光源的交叉谱密度，而为光场的交叉诸密度。引入任意的与频率有 关的系综 ( ，缈) 和 叽( ，缈) ，我们由 ( ，吒，o o = ( u o ( ，缈) ( 吃，国) ) 。， ( 2 2 0 ) 和 ( ，吃，缈) = ( u 矿( ，j ，缈) u 矿( 乞，国) ) 。k 。 ( 2 2 1 ) 在上两式中角括号的下标缈表示对所有可能出现的频率的函数取系综平均。必须 指定的是，r ，甜) 和( 厂，缈) 并非变量u ( ，) 和v ( r ，t ) 的傅里叶变换。因为在 一般的函数理论范畴内，稳定的任意过程的取样函数不具有傅里叶变换。 光源和光场的光谱s qr ，彩) 和品( ，国) 可分别表示为： ( ，缈) = ( ，彩) = ( u ( 7 ( ，缈) ( ，缈) ) 。， ( 2 2 2 ) 研( ，国) = 既( 厂，缈) = ( u p ( 厂，缈) ( ，) ) 。 ( 2 2 3 ) 根据交叉谱密度，可以定义光谱相干度： 砒办小耐耥， 他2 4 ， 砒而小耐端。 缇2 5 ， 由上可见，我们由l l 心i o 和l l 脚i o 。心和膨可以用来表征光源或光场的 相干度。当 心| 和i 所l 等于零，表示光源或光场在频率彩的分量为非相干的；而 当i 心l 和i 所l 等于1 ，表示光源或光场在频率国的分量为完全相干的。相干度厂和 给出了不同的物理信息。 因为在自由空间中的光场满足非均匀波动方程，我们可以得到光场中的交叉 谱密度与光源的交叉谱密度的关系由下式给出： ( v ；+ 七2 ) ( v ；+ 七2 ) ( ，；，吒，缈) = ( 4 万) 2 ( ，眨，国) ， ( 2 2 6 ) 式中，v ；( = l ，2 ) 为对点，i 坐标的拉普拉斯算符： k = 缈c( 2 2 7 ) 是与频率缈相关的自由空间中的波数。光源的交叉谱密度与光场中的交叉谱 9 硕士学位论文 密度之间的线性关系。但是，光源的光谱与光场的光谱却没有这样的关系。 为了确定光场的光谱，必须先从光源的交叉谱密度，推出光场的交叉谱密度，从 而得到光场的光谱。 l o 部分相干光在传输过程中的光谱位移及光谱开关 第三章光束传输的基础理论 众所周知，基于麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组的经典电磁场理论是光传输变换 研究的主要理论基础，在数学上归结为如何求解波动方程或衍射积分方程，在本 章中，将详细阐述几种重要的研究激光光束传输的方法。另外，部分相干光的经 典理论是以光场的统计特性为基础。在空间一时间域中我们采用互相干函数 r ( 岛，岛，f ) ，在空间一频率域中我们采用交叉谱密度函数矽( 岛，岛，国) 来描述光场 的相干性，其具体内容也将在本章中详细阐述。 3 1 光传输的主要研究方法 基于麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组的经典电磁场理论是激光传输变换研究的主 要理论基础，在数学上归结为如何求解波动方程或衍射积分方程。对于不同的实 际情况有多种方法研究光束的光束传输变换特性，比较常用的有：几何光学方法、 矩阵光学方法、波动方程方法、广义衍射积分法、算子光学方法、傅立叶光学方 法、哈密顿光学方法以及w i g n e r 分布函数方法。 3 1 1 几何光学方法 在研究光束传输的多种方法中，以几何光学方法最为直观。当波长兄一0 时， 几何光学近似成立，光的波动性不起主要作用，可用几何光学方法把光看成光线 来处理。迸一步，若光线的传输方向与光轴夹角秒非常小，使得近轴近似( 亦称 傍轴近似) s i n0 t a n o 乡，c o s o 1 ( 3 1 ) 成立，则问题归结为研究近轴光线的传输。 几何光学用几何学的方法来研究光线的运动轨迹，以光的直线传输定律，界 面反射定律和折射定律三大实验定律为基础。几何光学的基本原理是费马原理。 按照这一原理，沿光线真实路径上光程的变分为零，即 8 1 n d l = o ( 3 2 ) 式中7 为传输介质折射律，d - 为空间路径元。 从费马原理出发，很容易导出几何光学三大定律。不仅如此，还可得到描述 稳态光传输的程函方程 硕上学位论文 和光线方程 ( v l ) 2 = n 2 ， ( l 为程函数)( 3 3 ) 鱼d l ( 甩塑d 1 ) 珈 l一， ( 3 4 ) 其中，p 为从某点到光线上一点的矢量。在近轴近似下d l = d z ( z 为光轴方向) ， 式( 3 4 ) 简化为 芝( 刀鲁) 珊 慨5 ， 光线方程，基于几何光学三大定律的光线追迹方法和透镜几何成像的高斯公 式以及牛顿方程等是激光中常用的几何光学方法。 3 1 2 矩阵光学方法 矩阵光学，即用矩阵代数运算方法来研究光学问题，最初本质上并未超出几 何光学的范畴，随着激光器的问世和激光科学技术的发展，矩阵光学方法大大扩 展了它的研究范围，使其具有了丰富的内涵7 嘲4 5 1 ，它将激光束通过光学系统的 行为用一个变换矩阵( 即a b c d 矩阵，亦称传输矩阵) 来描述，激光束通过光学 系统的变换则服从著名的a b c d 定律。 由解析几何学知道，任意空间直线的位置和方向一般需要四个独立变量才能 完全确定。例如，可选定一个垂直于釉的毋，平面做参考面，那么空间光线可由 它与面交点的坐标( 五力和光线对五瑚的方向余弦( o x ，仇1 来完全确定。空 间光线经过任意光学系统变换后的位置和方向也可用这四个量来表示。对近轴光 线鼠，p ，都很小，选择适当的坐标系统可使这种变换是线性的，于是可用一个4 4 的变换矩阵来表示为 y 吃 g 4 ，4 ：e ，马： 4 ，4 ：垦，垦： g ， c i ：日， q ： g 。c 2 ：岛。d 2 ：刳 ( 3 6 ) 式( 3 6 ) 为用几何光学方法研究空间近轴光线变换的基本方程。矩阵光学中研究 的光学系统主要是一阶光学系统，包括自由空间、折射和反射二次曲面、剃度折 射率介质等。变换矩阵一般为4 x 4 的，但对于轴对称光学系统，x ，或) 和( 少，髟) 经历的变化相同，只需用一个2 2 矩阵( 称为轴对称光学系统的变换矩阵或a b c d 1 2 部分相干光在传输过程中的光谱位移及光谱开关 m = 曙三) 7 ， 来描述这一变换 ( ；： = ( 矧 慨8 ， 即 艇叙c x ：篙 慨9 ， i 1 hj 【q =7 + d 。 可简写为 x = m x ( 3 1 0 ) 式中 x = ( 夏) ，x = ( 主 c 3 t ， 式中( 3 8 ) 、( 3 9 ) 、 ( 3 1 0 ) 都是近轴光线a b c d 定律的数学表示式。若光线顺次 通过变换矩阵为 肘。= ( 三盖) ，m ：= ( 乏差 c 3 2 ， 的光学系统，利用矩阵乘法规则得到 ? 盼( 矧 式中 ( 三硝乏爰盖) 简写为 m = m 2 m 。 ( 3 1 4 ) 式( 3 8 ) 可简写为 x - - m 2 。m l x = 似 ( 3 1 5 ) 柯格里克从高斯光束复参数口 ! ：! 一f 乓( 3 1 6 )一= 一一j 7l j qr舢2 硕上学位论文 ( 式中r ，w 分别为高斯光束波面曲率半径和光束宽度，名为波长) 与球面波曲率 半径尺几何成像公式上的相似性，得出穆数通过变换矩阵为( 3 1 7 ) 光学系统的 变换公式，即高斯光束的a b c d 定律 g z = 百a q l 万+ b ( 3 1 7 ) a b c d 定律是用矩阵方法处理高斯光束传输变换的基本公式，有着丰富的物理内 涵。 3 1 3 波动方程法 光频电磁场的普遍运动规律由麦克斯韦方程组和物质方程描写。麦克斯韦方 程组和物质方程分别为： v e ：一c o b v d2 p 刍n ( 3 1 8 ) v 日：t ，+ 望 。 0 t id = 占o e + p b = ( 日+ m ) ( 3 1 9 ) 【 j = o r e ( 3 1 8 ) 与( 3 1 9 ) 式为一般电磁柬运动应遵循的方程。对光频电磁场，人们主 要关心电场f 的运动规律，由f 可求出光强( 忽略常数因子) ： i = e e ( 3 2 0 ) 在非磁( h ：0 ) 、各向同性均匀( 惭历介质中，由麦克斯韦方程组和物质方 程可推出电场占满足的波动方程为： v 2 层确c r o 詈一事等= 。 慨2 ， 式中力为介质折射率：刀= 圻+ z ，c 为真空中光束：c = 1 兰一。 q o c o 对无损耗介质( o - = 0 ) ，( 3 2 1 ) 式简化为： v 2 e 一多鲁= 。 溆2 2 ， 在真空中n = l ，则有 1 4 部分相干光在传输过程中的光谱位移及光谱开关 v 2 e 一丢c 鲁t = o ( 3 2 3 ) 刁 此式即为光在真空中传播的波动方程。 在非磁性各向同性均匀介质中传播速度i f = c n ，故有： v 2 五专鲁= 。 溆2 4 ， 对稳态电磁场： e ( r ，t ) = e ( r ) e x p ( 一i r o t ) ( 3 2 5 ) 代入( 3 2 4 ) 式得用f ( r ) 表示的稳态电磁场的矢量亥姆霍兹方程： v 2 e k 2 甩2 e = 0( 3 2 6 ) 标量场假设下，真空中( n = 1 ) ，( 3 2 6 ) 式化为： v 2 e k 2 e = 0( 3 2 7 ) 设电磁波沿z 轴传播： 蒯( 力e x p ( - i k z ) ( 3 2 8 ) 并在缓变振幅近似： 一0 a k a ，氅 k a a ( 3 2 9 ) 包a ! z 2昆 下，得到： 馨+ 粤- 2 i k 丝：o ( 3 3 0 ) 锄2 加2七 。 在柱坐标系下，( 3 3 0 ) 式的形式为： 等+ 吾豢+ 专孑一2 腑警= 。 c 3 _ 1 ， 却1r 加 r | 8 p z 娩 旋转对称情况，彳与沅关，上式简化为如下抛物方程： 氅+ l a a 2 i k 丝：0( 3 3 2 ) 务2，咖 出 ( 3 3 0 ) 、( 3 3 1 ) 和( 3 3 2 ) 式是研究光波传输的基本微分方程。在经典电磁场 理论中，对在各种边界条件下亥姆霍兹方程的解已做了相当详尽的研究。波动方 程的解法和有关结果可进一步用于研究激光的传输问题。 硕士学位论文 3 1 4 广义衍射积分法6 2 1 在数学上，求解波动方程与求解衍射积分相比较，前者相当于建立空问某一 点的场与其附近场之间的联系，后者相当于已知空间某一曲面上的场分布，求距 该曲面一定距离的某一点或者定曲面上的场分布。广义衍射积分法实质上是衍射 积分方法和矩阵光学方法结合的产物，此方法除使用了标量近似外，是比较普遍 和严格的理论，它可用于处理光传输中的大部分问题。 衍射积分方程理论实际上是采用一定的边界条件，如基尔霍夫边界条件，从 波动方程得到标量衍射理论的基本公式，其中包括菲涅耳一基尔霍夫衍射公式、 菲涅耳衍射积分、夫琅和费衍射积分和c o l l i n s 公式。 经典标量衍射理论中的基本公式是菲涅耳一基尔霍夫衍射积分公式： e 2 ( x 2 彬) _ ( 一去i c ，酏拂o ) 型掣也嘲 ( 3 3 3 ) 式中，巨( 五，m ) 、易( 恐，坎) 分别为源点和场点处场的复振幅；户为源点与场点 间的距离；( 1 + c o s o ) 2 为倾斜因子；秒是s 面上源点处( 五，m ，0 ) 的法线与p 的夹 角。 当满足菲涅耳近似条件：衍射面与观察面的距离远大于衍射孔径和观察区的 线度时，在近轴近似条件下有惠更斯一菲涅耳衍射积分公式： e 2 ( x 2 ，奶，z ) = ( 一去) e x p ( i k z ) 。巨( 一，m ，o ) e x p 尝一x t ) x + ( y 2 一乃) 2 】 幽幽 ( 3 3 4 ) 若进一步增大衍射屏与观察屏之间的距离，则满足夫琅和费衍射条件，则得 到夫琅和费衍射积分公式： 易( 而，y 2 ，z ) = ( 一去) e x p 【腩( z + 挚】珏。置( 五，m ) e x p 一警( 而五+ 儿m ) 】幽呶 ( 3 3 5 ) 当衍射面和观察面之间是复杂光学系统时，菲涅耳衍射积分公式不再适用。 c o l l i n s 对经典衍射理论进行了有意义的推广，他证明，当衍射面与观察面之间 不是自由空间，而是用传输矩阵描述的复杂光学系统时，惠更斯一菲涅耳衍射积 分公式可推广为： e 2 ( x 2 , y 2 , z ) = ( 一去) 唧( 泥，j 0 ch。，唧蠢bcj卜yb。336)l e l + d ( x ；+ y ；) 一2 ( x i x 2 + y t y 2 ) b 出i d y i 1 6 部分相干光在传输过程中的光谱位移及光谱开关 在柱坐标下可改写为： 易( 吃胁加( 一去) e 印( 泥) 皿。巨( ，；拂。) e x p 丁旦2 b l , 2 + 聊 - 2 r ：c o s ( 仍一仍) 】 如嘲 ( 3 3 7 ) 式( 3 3 6 ) 和( 3 3 7 ) 就是著名的c o l l i n s 公式。公式中出现的a 、b 、c 、d 即为变 换矩阵 罢三 诸元素，理论分析中常使用的一些基本变换矩阵参见附录a 。 3 1 5 算子光学法 这一方法的要点是使用平方相位算子、标度算子、傅立叶变换算子和自由空 间传输算子等基本正则算子及其有序乘积来表示光学系统。使用算子表示的优点 是可将激光光束通过光学系统的变换和衍射积分等有关的积分运算用简单的矩 阵和算子对运算代替，并使公式表示形式和运算过程得以简化，具有较为普遍的 意义，但它只能处理无穷大孔径情况。 3 1 6 傅立叶光学法 傅立叶光学，或称信息光学，是光学与通信和信息理论相结合而产生的一个 现代光学的新分支。其基本思想就是用空间频谱的概念来研究光传输和成像上的 信息提取和信息分析等问题。出于傅立叶级数、傅立叶积分和傅立叶变换这套数 学方法使用的方便性，以及傅立叶光学上对空间频谱和光学滤波等问题的详尽分 析，使之在光束传输变换研究中仍具有吸引力。在数学上，衍射积分可表述为傅 立叶变换形式，二者在处理衍射和空间滤波器等问题上是完全一致的，再加之发 展了用计算机实现傅立叶变换的快速算法，因此，在对某些大型激光系统的光束 传输变换进行模拟时通常用傅立叶光学方法代替衍射积分方法来处理问题。 3 1 7 哈密顿光学法 研究光束传输变换的另一途径是试图将光频电磁场的运动规律纳入物理学 的“统一理论”框架之中。于是，一些已经做过深入研究的物理学方程和相关数 学手段可直接借用来处理激光光学问题。例如，费马原理与分析力学中的哈密顿 原理数