（运筹学与控制论专业论文）薛定谔方程支配系统的能控性.pdf

中文摘要 经过二十多年的发展，在许多学者共同的努力下，薛定谔方程的能控性取得了巨大 的进展本文的目地就是介绍这方面取得的辉煌成果和一些有意义的，尚待解决的问题! 为了对这个问题有个初步的了解，本文的行文如下， 第一节，推导薛定谔方程，并给出物理上的解释； 第二节，介绍薛定谔方程解的存在和唯一性定理，给出一些在证明薛定谔方程能控 性常用的解的估计，还介绍了h o l m g r e n 唯性定理和变分法的一个结果； 第三节，分二小节，第一小节；首先，用h a h n - b a n a c h 定理介绍近似能控性；接着， 运用h i l b e r t 唯性方法和乘子技术介绍薛定谔方程边界精确能控性，即，把薛定谔方程 的边界精确能控转化为其对偶方程的能观性不等式，并给出一些使能观性不等式成立的 结果，如几何控制条件；第二小节，用变分法介绍薛定谔方程内部能控性的，同样，由能 量泛函能取到最优控制阿题的条件，把薛定谔方程的内部能控性转化为研究转化为其对 偶方程能观性不等式；最后，介绍了处于力场中的薛定谔方程能观性不等式的一些结果， 并比较了证明能观性不等式各种方法的优缺点 第四节，介绍了半线性薛定谔方程的内部能控性，这目前还是个尚未解决的问题， 我们介绍了一种方法，它解决了一类半线性波方程，热方程的精确能控，提出了用这种 方法解决薛定谔方程精确能控遇到的问题最后介绍了最近的一个关于局部能控性的结 果 关键词：能控性；线性薛定谔方程；能观性不等式；半线性薛定谔方程，h i l b e r t 唯一 性方法；几何控制条件 v a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l ew er e p o r ts o m ee x i s t i n gr e s u l t so nt h ec o n t r o l l a b i l i t yo fs c h r o d i n g e re q u a - t i o n t h i sh a sb e e nat o p i co fr e s e a r c hi nw h i c hv e r yi n t e n s i v ew o r kh a sb e e nd o n eb y m a n ya u t h o r si nt h el a s tt w e n t yy e a r s i ns e c t i o n1 ，w er e d u c et h es c h r o d i n g e re q u a t i o n ，a n dg i v es o m ee x p l a i n sa b o u ti t s s o l u t i o n i ns e c t i o n2 ，w eg i v es o m er e s u l t sa b o u tt h es o l u t i o no fs c h r s d i n g e r e q u a t i o n ，s u c ha s t h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o na n ds t r i c h a r t z se s t i m a t e s w ea l s og i v es o m eo t h e rr e s u l t s a b o u tv a r i a t i o n a la p p r o a c h i ns e c t i o n3 ，f i r s t l y , w ed i s c u s st h ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h el i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n w i t ha b o u n d a r yc o n t r o lb yh u m ( h i l b e r tu n i q u e n e s sm e t h o d ) a n dm u l t i p l i e rt e c h n i q u e s ； s e c o n d l y , w ed i s c u s st h ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h el i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t hac o n t r o l d i s t r i b u t e da l o n gas u bd o m a i no ft h ed o m a i nw h e r et h ee q u a t i o nh o l d s ；f i n a l l y ，w ed e - s c r i b et h ee x i s t i n gp o s i t i v ea n dn e g a t i v er e s u l t so nt h i sm a t t e r i np a r t i c u l a r ，w es h a l lt a l k a b o u tg e o m e t r i cc o n t r o lc o n d i t i o ni nd e t a i l i ns e c t i o n4 ，w es h a l lb r i e f l yc o m m e n to nt h ec o n t r o l l a b i l i t yo fs e m il i n e a re q u a t i o n s w i t ha ni n t e r i o rc o n t r 0 1 w es h a l li n t r o d u c eam e t h o dw h i c hi su s e dt os o l v et h ec o n t r 0 1 1 a b i l i t yo fs e m il i n e a rw a v ee q u a t i o nb yz u a z u a w es h a l lm e n t i o ns o m ei n t e r e s t i n go p e n p r o b l e m s f i n a l ly w es h a l ls h o war e c e n tr e s u l ta b o u tt h el o c a lc o n t r o l l a b i l i t y , a n ds o m e m e t h o du s e dt os o l v et h ep r o b l e m k e yw o r d s ：c o n t r o l l a b i l i t y ；l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n ；t h eo b s e r v a b l ei n - e q u a t i o n ； s e m i - l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n ；h i l b e r tu n i q u e n e s sm e t h o d ；g e o m e t r i cc o n t r o lc o n d i t i o n ；v a r i a t i o n a la p p r o a c h v i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示谢意 学位论文作者签名：疆盎! ，翌日期：，2 理z ：万 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即。东北师 范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存，汇编学位论文 学位论文作者签名：盔苗：丞指导教师签名：盔幺 h 期：迎z ：互：鉴日期：丝i ：歹 学位论文作者毕业后去向； 工作单位盘篡生。大 通讯地址 电话： 邮编： 引言 维纳在1 9 4 8 年出版的专著控制论，或关于在动物和机器中的控制与通讯，标志 着控制论作为科学的一门重要分支正式诞生我国著名的科学家钱学森在1 9 5 4 年出版的 专著工程控制论又进一步推动了控制论于工程技术的密切结合2 0 世纪6 0 年代，以 l s p o n t r u a 舀n 的最大值原理，r b e l l m a n 的动态规划原理和r e k a r l m a n 的线性系统 一般理论为标志，形成了现代控制论 r e k a r l m a n 提出有限维线性系统的能控性概念后，许多学者又致力于把这概念推 广到无穷维空间线性分布参数系统的能控性理论就是在研究无穷维空间上研究能控性， 它始于上世纪6 0 年代e g o r o v ，f a t t o r i n i ，r u s s e l l 等人的工作1 9 7 8 年，r u s s e l l 在其综 述文献中概括了该领域当时所能见到的重要工作在这篇经典文献中，r u s s e l l 描述了研 究能控性问题的诸多工具和方法，比如乘子方法、矩阵方法、非调和傅里叶级数等等这 里面引入了“由能稳推能控。的重要思想1 9 8 8 年，l m n s 引入所谓的h i l b e r t 空间唯一 性方法( 简称h u m 方法，其实质是对偶方法) ，该方法已成为目前该领域熟知的工具 在这篇著作中，l i o n s 把精确能控性约化到相应系统的唯性，这一方法引起了诸多关注 和兴趣在过去几年里，为解决能控性问题，人们使用了一些深刻的工具和方法其中之 是基于拟微分算子和微局部分析其二是基于c a r l e m s n 型不等式 对薛定谔方程的能控性问题研究，也是近二十年左右的事由于薛定谔方程既具有 类似子波方程的性质，又具有热方程的性质，研究起来比较困难许多学者在这方面作 了细致，深入的研究我们这篇文章的目的就是介绍其中已知的重要结果，并介绍h u m 方法、变分法在线性薛定谔方程能控性方面的应用对于半线性薛定谔方程能控性问题， 目前还是一个尚未解决的问题，我们介绍了一种有望解决它的方法 1 薛定谔方程的物理意义 在经典物理学中我们知道，一个被看为质点的宏观物体的运动状态，是用它的位置 矢量和动量来描述的但是，对于微观粒子，由于它具有波动性，根据海森堡测不准原理， 其位置和动量是不可能同时准确确定的微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数 皿( t ，z ) 描述的这个波函数反映了微观粒子的波动性，是描述微观粒子在空间的概率分 布的概率波薛定谔方程是波函数随时同和空闻变化所普遍遵从的规律，是量子力学中 基本假设下面，我们从自由粒子入手，探讨薛定谔方程的具体形式 自由粒子可以用平面波函数表示为： 皿( t ，z ) = a e ( k - x - ( 1 1 ) 根据德布罗意( l v d eb r o g l i e ) 关系式， 丘= 凡 h p = x 可将和k 化为； = 2 7 r t 百2 9 1 = 堑h - e = 鲁 k = k ( ：- ) f f it z t r ( i 2 r ) 1 ( i k ) = 警p ( ；) = 警p = 导 将式( 1 4 ) 和( 1 5 ) 代入式( 1 1 ) ，得 m ( 亡，z ) = j 4 e ( p 1 一日) 波函数对时间微分，整理得 饶警= e 皿 将波函数坐标二次微分，整理得 皿一磊 2 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 在粒子的运动速度远小于光速的非相对论情况下， 量) 与动量之间有下面的关系； e ：芝 _ e 上 自由粒子的动能( 也是它的总能 ( 1 9 ) 根据上述等价关系，我们可以得到 访- 抛a = 一笔皿 ( 1 1 0 ) 。厅 2 一瓦出 【1 1 u ) 这就是自由粒子所满足的薛定谔方程其中，x 表示位移，e 表示动能，p 表示动量，p 表示频率，a 表示波长，表示拉普拉斯算子，h 表示普朗克常数，p 表示粒子质量，i 是 虚数单位 如果粒子不是自由的，而是处于力场中，若势能为u = u ( t ，z ) ，这时粒子的总能量 应该是动能和势能之和，即 e 。乞+ u ( 1 - 1 1 ) 于是得到含时薛定i - t y 程 意筹( - 笔删皿( 1 1 2 ) 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程并含有虚数因子，如果有解，则波函数必是 复数在物理上，是没有直接意义的具有物理意义是波函数模的平方，它表示粒子位置 的概率密度因此，波函数必是单值的，连续的和有限，而且有下面所谓的归一化条件， i ( t ，z ) 1 2 d x = 1 r( 1 1 3 ) j 0 其中，q 是波函数皿( t ，z ) 存在的全空间 量子力学的另一个重要事实是z 粒子动量的概率密度函数也以一种非常的内蕴的方 式与波函数相联系为说明这关系，我们令， 熊) = 去西( 知( 1 1 4 v ) 厅 ， 则9 ( ) 是波函数雪傅里叶变换的常数倍利用帕塞瓦尔定理，我们有t | g ( e ) 1 2 1( 1 1 5 ) 其中，b ( ) 1 2 函数是粒子的动量概率密度，q 是g ( x ) 存在的全空间 当然，在数学上，我们可把薛定谔方程抽象成下面更一般形式t i y ：i t ，z ) + a y ( t ，z ) 驾，0 ，z ，y )t r ，z q( 1 1 6 ) 其中，n 是酽的开集 3 2 薛定谔方程解的存在唯一性及一些估计 设q 是舻的开集，定义l 2 ( q ) 上的算子a 为 酬刖叫胙础胙r ) ， ( 2 1 ) i 却= a yv y d ( a ) 显然，当q 足够光滑，有d ( a ) = h 2 ) n 硪( q ) 众所周知，a 是自伴算子，且小于等 于零有s t o n e 定理，谢是强连续酉算子半群的无穷小生成元 定义a 为 a l ( l 2 ( q ) 1 ( d ( a ” ( 2 2 ) l ( a 鼽 ) ( ( d 似) ) ，d ( a ) ) = 函，z x h ) ( l 。】，胪( o ) ) 功l 2 ( q ) ，h d ( a ) 我们把a 在下列空间d ( a ) ，嘲( q ) ，l 2 ( q ) ，h - 1 ( q ) ，( d ( a ) ) 上生成的强连续酉群都记 为，( t ) t r 根据算子半群理论，我们有下面结果， 命题2 1 【2 】给定妒l 2 ( q ) ，则方程 y c ( n ，l 2 ( q ) nc 1 ( r ，( d ( a ) ) 1 锄篙筝p r 讹r 有唯一解 y ( 0 = i ，( t ) 妒 ( 圳口( n ) = f i 妒i l 。( n ) v t r 若妒哪( n ) ，则y c ( r ，硪( q ) ) n c l ( r ，日- 1 ( q ) 且 i i v y ( t ) l l l 。( o ) = l l v 刚口( n ) v t r 注记2 1 事实上，对于任意的s r ，t r ，我们也有。 i i j ( o 妒i i h ( n ) = i i 妒l l h ( 舛 4 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 命题1 使我们能研究线性薛定译方程的能控往t 但是对于边界能控性，我们必须引 入适当的解，而且解需要有唯一性，以便我们在使用h u m 方法用到u l t r a 弱解就给我 们提供了便利t 锄己三三；兰；三暑三二：q c ”， r e 厂t ( 郎) ，7 巧- ) c 日- l ( n ) ，哪。聊) 出= mz 霎d (28jo f j ) ( ! ，( f ) ，巾) ) ( 日一t ( n ) ，哪( 聊) 出= m 未d () ， 瞄警溉 泛9 ， 5 f 篡纂们弋置r 嘲 i ( o ) ：蛳 中；+ 矿1 = 1 而且有 i i j ( t ) 妒l l l ，( 册) ( 4 7 rj ti ) 一” 一；) 1 1 妒1 1 l ，( 俨) 却( 形) ( 2 1 7 ) 命题2 5 2 1 ( s t r i c h a r t z 8e s t i m a t e s ) 若( g ，r ) 满足；= 竹( ；一；) j l 2 r 墨我们 有以下结论 j v p l 2 ( r 1 ) ，则函数t 一t ，( t ) 妒属于c ( r ，l 2 ( 舻) ) nl q ( r ，l ( 舻) ) 且存在常数 c 0 。使得 i j ( ) 妒 l 印( 冠p ( r n ) ) sc i l 妒驴( 肿)( 2 1 8 ) 2 设，是r 上一区间，j i ，t o j ，若f l r ( ，l ，( 尼1 ) ) 则函数 t 一妒，( t ) = j ：，o s ) ，( s ) 如属于l q ( 1 ，上，( 形) ) nc ( j , l 2 ( 酽) ) ，v t j 且存在 不依赖于区间i 的常数c 0 ，使得 i i 垂i i i l 。l r ( 即) ) c l l f l b , r ，l r ( 舻) ) ( 2 1 9 ) 6 注记2 3 当有界区域n 满足一定的假设条件，我们也有类似的s t r i c h a r t z 估计 注记2 4 对于索伯列夫空间h 5 ( 口1 ) ( s 0 ) ，我们也有类似的估计 在用乘子技术，类似于椭圆方程，我们有下面经典结果t 命题2 6 【2 】对有方程 我们有 犰+ a y = ，i nq = ( 0 ，q y = 0 o ne = ( 0 ，d 加 ( 2 2 0 ) y c t 、= 0 i nq 剪( 圳明( n ) j f l l l ( o , t ；琢( 国) ( 2 2 1 ) 变分法也是研究能控性的重要手段，下面结果，提供了自反b a n a c h 空间土泛函取刭 唯一最小值的条件 命题2 7 【9 】设日是自反的b a n a c h 空间，是日闭凸子集，函数j ：k r 满足 下面性质， 1 j 是凸函数。即， j ( a x + p ) sa j ( x ) - k 卢，( ! ，) ， 口，卢【0 ，1 】，口+ p = 1 ，妇，y h 2 j 下半连续，即， 3 j 是强制的。即 存在唯一x 0 k 。使得 l i m i n f ，( z ) j ( x o ) 2 - 呻2 加 l i m j ( x 1 = o o t ，( z o ) - m 剌i n ，( z ) 7 ( 2 2 2 ) 命题2 8 9 】( h o l m g r e nu n i q u e n e s st h e o r e m ) 设舻上非空开集q l ，q 2 ，q 3 满足 下面关系 q 1 q 22 q 3 ( 2 2 3 ) 设p 是口上的常系数微分算予，让是a = 0 在q 1 上的解，q 1 ，q 3 含于算子p 的同 一特征超平面如果有 t = 0 饥q 3 ( 2 2 4 ) 则有 t = 0 讥q 2( 2 2 5 ) h o l m g r e nu n i q u e n e s st h e o r e m 为我们研究内部近似能控性提供了有力的支持 8 3 线性薛定谔方程能控性 3 1 边界能控性 为叙述简便，我们假设q 是彤的有界开集，并且边界充分光滑我们记a q = 磊而i 且r 0 r - 2 o 我们来考虑下面边界受控的线性薛定谔方程。 i 锄+ ! ，= 0 i nq = ( 0 ，t ) q 掣= ：兰三嚣男：嚣 似- ， 【y ( o ) = 踟 i nq 其中，y = y ( t ，z ) 表示状态，它取值于希尔伯特空间c ( o ，t ；础( q ) ) ，挑= 等，t = u ( t ，z ) 表示控制作用，它取值于希尔伯特空间l 2 ( o ) ，其作用在部分边界汤上由命题2 1 ， 我们知道，系统( 3 1 ) 是适定我们可以对其提出能控性问题 粗略的讲，控制问题可以叙述如下，对于边界受控系统( 3 1 ) ，给定起点y o 和目标 管1 ，在【0 ，卅之间，问能否找到控制作用( ) 使得系统( 3 1 ) 的轨线3 ，( ) 在时刻t 击中 目标，即有y ( t ) = 掣1 由于薛定谔方程是无穷维的动态系统，我们应区分精确能控性，近似能控性和零能 控性 首先，我们把从初始值y o 硪( q ) 起，在任意控制作用札l 2 ( ( o ，t ) e o ) 下，系 统( 3 1 ) 的解在时刻t 的集合q 能达集，记为r ( t ，y o ) ，即有。 兄( ly o ) = 妇( t ) f s ，( ) 是在控制作用“下系统( 3 1 ) 的解，v u l 2 ( 0 ) ) 定义3 1 称边界受控系统( 3 1 ) 在时刻t 是近似能控的，如果任意的初始值y o h _ 1 ( q ) ， 其能达集的闭包瓦i 亍i 两= 日一1 ( q ) 定义3 2 称边界受控系统( 3 1 ) 在时刻t 是精确能控的，如果任意的初始值y o 日“( q ) ， 其能达集r ( ly o ) = h - 1 ( q ) 定义3 3 称边界受控系统( 3 , 1 ) 在时刻t 是零能控的，如果任意的初始值y o 王磕( q ) ， 其能达集兄( z 蜘) 含有口 9 注记3 1 我们考虑的线性系统( 3 1 ) 有下面关系式； 月( ly o ) = r ( t ，0 ) + j ( t ) y o( 3 2 ) 故考虑系统( 3 1 ) 近似能控或精确能控时，我们可假设y o = 0 定理3 1 系统( 3 1 ) 精确能控当且仅当其零能控 证明；显然，精确能控必然包含零能控 下面，我们假设对任意初始值珈都有0 兄( ey o ) 即任意初始值珈，存在控制作 用t ，使得y = ( ，仳，c o ) 在时刻都u ( t ) = 0 由于薛定谔方程时间可逆，我们可以推得 任何状态y 础都可以从初始值y = 0 到达这就意味着r 0 ) = 嘲( q ) ，故有系统 精确能控 所以，我们考虑系统( 3 1 ) 能否精确能控，只需考虑任意的初值y o 砩( q ) ，能够存 在控制l 2 ( 岛) ，使得系统( 3 1 ) 的解y 满足 掣( t ) = 0( 3 3 ) 首先，我们来考虑近似能控由注记( 3 1 ) ，我们不妨假设y o = 0 ，由h a h n b a n a c h 定理，r ( t ，y o ) 在h a ( 1 2 ) 中稠密只须下面性质成立，不存在g r 日以( q ) ，似0 ，使得在任意控制作用l 2 ( ( o ，t ) f o ) 下，系统( 3 1 ) 相应的所有 解y 有j k y ( t ) t p t d x = o ；也就是说，如果在任意控制作用札l 2 ( ( o ，即f o ) 下，系统 ( 3 1 ) 相应的所有解y 有如y ( t ) 妒r d x = 0 ，则必有竹= 0 给定伽h j ( a ) ，考虑系统( 3 1 ) 的对偶系统； l 妒+ 妒= 0 i nq = ( 0 ，t ) q 妒= 0o i l = ( 0 ，t ) a q( 3 4 ) i 妒( o ) = 妒o i nq ( 3 1 ) 两边都乘以弘是其对偶方程( 3 4 ) 解的共轭，并在q = ( 0 ，t ) q 上分步积分， 由g r e e n 公式我们易得， z r z 。“雾+ z r z u 础= t z 婀聃 s ， 1 0 因此，厶y ( t ) c p t d x = 0 当且仅当 z r 二钍等+ o r z 婶如 若我们有t 雾= r o 辛妒= 嘶qa 扩 。”7 。 则证明了系统( 3 1 ) 近似能控 ( 3 6 ) 注记3 2 由上述方法得到近似能控，并不能给我们提供许多信息，甚至近似控制时控制 到底是什么也不能给出 由于波方程能精确能控，而薛定谔方程和波方程有许多相似之处，特别是时间可逆 这一重要特性，激发我们求解薛定谔方程的精确能控下面，我们介绍h u m ( h i l b e r t u n i q u e n 鲒m e t h o d ) 方法，它是由l i o n s 在研究双曲型分布参数系统引进的，现在已是研 究系统精确能控性的一种经典方法，见【l l 】它也可应用到薛定谔方程的精确能控性上 我们以边界控制为例，介绍其基本步骤和思想 给定伽l 2 ( q ) ，考虑系统( 3 1 ) 的对偶系统， li 仇+ 妒= 0 i nq = ( 0 ，q 妒= 0o n = ( 0 ，t ) 铀( 3 7 ) 【 妒( o ) = i o o i nq 我们有唯一解妒( ) = ，( ) 伽 再考虑边界非齐次的反馈问题 il 讥+ 1 ；f ，= 0 i nq = ( 0 ，t ) q 妒= 铲：群未嚣 s ， 【妒( r ) = 0 i nq 若韶l 2 ( ) ，则该问题有唯一u l t r a 弱解 定义线性连续算子a ， a ( ，o o ) = 妒( 0 ) ( 3 9 ) ( 3 8 ) 两边都乘以对偶系统( 3 7 ) 的解妒的共轭，在( 0 ，t ) 2 上分布积分，我们有t ( 蝴劬蝴帅) ) _ o 丁zi 等同毗 ( 3 1 0 ) 由a 的定义，我们有 ( 却( 0 ) ，伽) 。础。n 归- l ( q ) ) = o rzf 等1 2 d r 出 ( 3 1 1 ) 若j 矗i 韶1 2 d f d t 是范数( 其实只需证系统( 3 8 ) 满足唯性) ，我们记9 ( q ) 按这种 范数完备化的空间为f 则有t i i , p o l l , 毛= o t zi 箬阳d t 若( a 妒( o ) ，伽) 是f 上共轭双线性，连续且强制的范i t i ，则由l a x - m i l g r a m 定理，任 意给定的y o f ( f 的对偶空间) ，我们有唯一的p o 使得 ( a g ( 0 ) ，c o ) = ( y o ，白) v 旬f( 3 1 2 ) 这意味着有 a ( c p o ) = y o i nf ( 3 1 3 ) 但是由a 的定义，我们有 讥= y o ( 3 1 4 ) 这就是h u m 方法的步骤为了使上面的假设成立，我们必须对对偶方程提出一些假设 其中，最著名的就是能观性不等式， o r 厶i 珈r 出 ( 3 1 5 ) 在这种假设下，我们有 等工2 ( ) ( 卸( o ) ，伽) l f 并有 f = 硪( q )( 3 1 6 ) 于是我们可以取控制作用为 牡= 等 ( 3 1 7 ) 1 2 并令 掣= 妒( 3 1 8 ) 则有y ( o ) = y o ，y ( t ) = 0 ，即系统( 3 1 ) 是精确能控 通过h u m ，我们把系统的精确能约化为对偶系统能观性不等式当然，为了使能观 性不等式成立，必须对r 0 附加一些几何条件! 近二十年里，不同的作者运用不同的的手 段，附加了不同的几何条件，使能观性不等式得以成立大家可参看f 1 4 】- 1 5 ，1 2 4 一【2 8 】 在这里，最重要的结果当首推g l e b e a u 的工作，他在文献【1 4 】用微局部分析技术， 把对波方程精确能控的几何条件推广到了薛定谔方程上，得到下面的结果 定理3 2 设n 是彤中的有界开集，边界是解析的，任意时间t 0 。且f oc 勰，若有 ( r o ，t ) 满足g c c ( g e o m e t r i cc o n t r o lc o n d i t i o n ) ，则系统( 3 1 ) 都是精确能控的 所谓g c c ，可粗略地叙述为一若( r o ，t ) 满足g c c 当且仅当在q 内部传播或在经 边界反射的任何几何光线进入r 0 的时间小于t l e b e a u 的证明是基于下面薛定谔方程解的傅里叶表示的分解 卜警+ 碛挑= o i nq - ( 0 ，t ) n 1y k = 0o n = ( 0 ，刃锄 i 弧( o ) = 弧，o i nn 讥，o = o k 小( z ) 弧( ，动= e 鼬k 毗，。( z ) ( 3 1 9 ) n ( 其中，( k ，( z ) ) 是a 算子在l 2 ( n ) 空间的特征值和特征向量，以= n 1 2 k a 纸： 2 ，h k = 2 ) 而这种分解又可以被看成是一列传播速度趋于无穷大的波方程解的叠加 令 o y ( s ，t ，z ) = e 跳弧( t ，功 ( 3 2 0 ) 则有- j 筹+ 撕；o 饥r r q le f = o 矾r r 铀 这样薛定谔方程就可以被看成是具有无穷传播速度的波方程由于当( r o ，t ) 满足 g c c 时，波方程是精确能控的，见 1 0 ，故薛定谔方程也应是精确能控的，而薛定谔方 程的传播速度是无穷大。故对任意时间t 0 都是精确能控的 设 f ( x o ) = 。o a i ( = 一。o ) v ( z ) o ) )( 3 2 1 ) 其中，p ( z ) 表示点z a q 的单位外法向量，x 0 r ，l 是给定的点e m a t h t y n 一9 i e r 在 其论文【1 5 】证明了 定理3 3 设t 0 ，f o = i ( z o ) ，则任意初始值y o 嘲( n ) 。存在控制作用“l 2 ( 岛) ， 使得系统( 3 1 ) 的解口( ) 在时刻丁满足y ( t ) = 0 显然，假设f ( x o ) 是假设g c c 的特殊情景，但是在证明边界精确能控性比较常用假 设事实上，在这种假设下，l i o n s 证明了波方程、p l a t e 方程的边界精确能控，见【1 1 】 3 2 内部能控性 设开集ucn 我们考虑内部受控系统一 l 肌+ = u i nq = ( 0 ，t ) n y = 0 o i le = ( 0 ，研砌 ( 3 2 2 ) if ( o ) = y o i nn 这里，y = y ( ，z ) 表示状态，它取值于希尔伯特空间c ( o ，丁；l 2 ( n ) ) ，轨= 鲁，u = “( t ，z ) 表 示控制作用，它取值于希尔伯特空间l 2 ( ( o ，t ) u ) ，由于特征函数，其作用在( 0 ，t ) u 上由命题( 2 1 ) ，我们知道，系统( 3 2 2 ) 是适定故我们可以提出控制问题 同理。我们也要区分近似能控精确能控和零能控我们记能达集为， r y o ) = y ( t ) i y ( ) 是在控制作用“下系统( 3 2 2 ) 的解，v u f ( 岛) ) 定义3 4 称系统( 3 2 2 ) 在时刺t 0 是近似能控的，如果任意的初始值y o l 2 ( q ) ，其 能达集的闭包面丽霉l 2 ( f 1 ) 定义3 5 称系统( 3 2 2 ) 在n t 奎, lt 0 是精确能控的，如果任意的初话值y o 舻( q ) ，其 能达集r ( z y o ) = 日2 ( q ) 1 4 定义3 6 称系统( 3 2 2 ) 在时刻t 0 是零能控的，如果任意的初始值y o l l ( a ) ，有 0 r ( y o ) 注记3 3 我们考虑的线性系统( 3 2 2 ) 有t e a 关系式， r ( ly o ) = r ( e0 ) + j ( t ) y o( 3 2 3 ) 故考虑系统( 3 2 2 ) 近似能控或精确能控时，我们可假设y o = 0 类似于边界能控，我们有： 定理3 4 系统( 3 2 2 ) 精确能控当且仅当其零能控 所以，我们考虑系统( 3 2 2 ) 能否精确能控，只需考虑任意的初值y o l 2 ( q ) ，能够存在 控制让l 2 ( u ) ，使得系统( 3 2 2 ) 的解耖( ) 满足在时刻t 0 满足。 k 芝等戮 茜卿 i i 伽眩。，) c o tz i 妒1 2 出疵 ( 3 2 8 ) 下面我们介绍变分化在内部控制上的应用 1 5 命题3 1 控制作用u 使得以y o 为初始值的系统的解( ) 满足y ( t ) = 0 当且仅当有? r e f o r z u 驴d x d t - l m l 珈_ 0 d z 兰。l 2 ( u ) ( 3 2 9 ) 其中，这里妒是对偶系统( 3 2 5 ) 以( p o 为初始值的解 证明；( 3 2 2 ) 两边都乘以，是对偶方程( 3 2 5 ) 解的共扼，并在q = ( o ，t ) q 上分步 积分，由g r e e n 公式我们易得， z r z u 础z 踟- o 出= t z 卵) r d x s 。， 取其实部，有。 r e z ? z u 础出一上珈_ o 出一m z 婀) 珏如( 3 3 1 ) 一方面，由式( 3 2 4 ) 我们有； l m y ( t ) t d x = 0( 3 3 2 ) 这等价于， r e z r z 础出一，m z 蜘_ o 如= 。却是对偶方程( 3 2 5 ) 的解 ( 3 3 3 ) 另一方面，由( 3 2 9 ) ，我们有： i m y ( t ) o d x = 0( 3 3 4 ) 即控制作用u 使得以y o 为初始值的系统( 3 2 2 ) 的解! ，( ) 满足y ( ”= 0 我们定义能量泛函； j ( 伽) = 1 o t l i 妒1 2 出出一，m z 珈_ 0 如( 3 3 5 ) 其中，妒是对偶系统( 3 2 5 ) 以伽为初始值的解 定理3 5 设y o l 2 ) ，而是泛函j 的最小值，记是对偶系统( 3 2 5 ) 以函为初值的 解则取控制作用为 乱= 7 1 。 ( 3 3 6 ) 它使得系统( 3 2 2 ) 以y o l 2 ( q ) 为初值的解在时刻t 0 时满足白( 即= 0 1 6 证明：因为t ，在而取最小值，则有： 0 2 慨i ( t ，( 西+ 伽) 一，( 西) ) ( 3 3 7 ) = 醌z t z 却出出一m 上面如( 3 3 s ) v 伽l 2 ( q ) 即是对偶系统( 3 2 5 ) 的解由定理3 1 ，我们知道”= l 。，则它使得系统 ( 3 2 2 ) 以y o l 2 ( n ) 为初值的解满足y ( t ) = 0 于是内部能控问题问题转化为能量泛函取最小值如果我们能证明能量泛函t ，是 凸的、下半连续、强制的，由命题2 7 ，j 能取到唯一最小值由，的定义，他显然是凸 的、连续的如果能观性不等式( 3 2 8 ) 成立，则泛函，是强制的，故能取到有唯一最小 值这样，我们用变分法把内部精确能控性约化为能观性不等式 g l e b e a u 在其论文1 1 4 中证明了， 定理3 6 设q 是彤中的有界开集，边界是解析的，任意时间t 0 ，且cq ，若有 ，t ) 满足g c c ( g e o m e t r i cc o n t r o lc o n d i t i o n ) ，则系统( 3 2 2 ) 都是精确能控的 j 听r i ng c c ，可粗略地叙述为。若，t ) 满足g c c 当且仅当在q 内部传播或在经边 界反射的任何几何光线进入u 的时问小于z 运用椭圆方程的估计和边界结果，e m a t h t y n g i e r 在其论文【1 5 】证明了t 定理3 7 设开集ucq 满足，“，= nnd ，这里，d 是r ，i 的开集，且oco ，任意的 t 0 ，则对于任意的初值y o l 2 ( q ) ，存在缸工2 ( ( o ，t ) u ) ，使得系统( 3 2 2 ) 的解在 时刻t 满足y ( t ) = 0 注记3 4 下面我们以内部能控为例，说明附加几何条件的必要性为简便，我们假设 q = j p ，并且设函数砍满足下列条件。 识c 铲( r 8 ) 仉0 妒。d x = 1s u p p 妒。= z 冗“i 陋i ) o j 2 d x = c e 一“ 设j ( t ) t 钮为在l 2 ( o ) 上生成强连续酉半群，由傅里叶变换，我们t 7 ( ) 对有具体的表 示，即， ( j ( t ) 妒) o ) = ( 4 7 r 础) 一厂1 三寻j 三妒( y ) d 暑，v 妒l ( 月n )( 3 3 9 ) 1 7 设 终= j ( 2 t ) 以 则有； i i 仇i i l 。( 舻) = l i 也| k ( r n ) = g e ” 若要系统精确能控，当且仅当t ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) c e 一“= i i 协嵫( r ，i ) 国z t 上。w 甜如出 s 岛z r 加2 t - t 删2 如疵( 3 4 2 ) 吼, o 丁高( 厶硝 = c o ( z u ) 0 ，任 意非空开集u ，控制作用u l 2 ( ( 0 ，t ) xu ) 在空间三2 ( q ) 都是精确能控 n b u r q 在f 2 5 】证明了，当q 是个有洞的区域，无论在内外边界反射的虑波是否存 在，作用在外部边界邻城上的控制，使得薛定谔方程在索伯列夫h 6 ( q ) ( 6 0 ) 空间 能控 注记3 6 不同的点x o 。南可能有f ( x o ) = r ( 如) 例如设q 是一个凸集，则v x o q ，有 f ( x o ) = r ，见图1 由困1 ，图2 ，同一区域q ，但知选取不同，可以产生不同的r o 对 于图3 ，我们有正数7 0 ，使得f o 一忙o q l ( x x 0 ) ，v ( x ) 2 ，y ) 1 8 图1 图2 注记3 7 由于 图3 群+ a 2 = ( 一 魂+ ) 0 a + )( 3 4 3 ) 即薛定谔方程的任何解都满足p l a t e 方程，故薛定谔方程的精确能控可由p l a t e 方程的 精确能控得到参看【2 4 2 5 1 4 注记3 8 我们还可以通过r i e s z 谱定理来研究薛定谔方程的能控性 注记3 9g 0 a n t u n e s ，m d d as i l v a 和咒f a p o l a y a 在f 17 】证明了薛定谤方程在随时 闻变化区域上的精确能控；r t r i g g i a n i a n d 和p d y a o 在【1 8 】中证明，变系数满足一致 椭圆条件时薛定谔方程的精确能控 下面，我们来考虑如下的系统， i 纯+ 妒= g 妒 i n ( 0 ，砷n 妒= 0帆( 0 ，t ) 砚( 3 4 4 ) 妒( 0 ) = 伽 饥q 其中口= q ( t ，z ) ，关于该方程的能观性不等式，在研究非线性薛定谔方程的能控性方面可 能有很重要的意义，目前，该问题还没有被完全解决 l b a u d o u i n 和j p p u e l 在【2 9 】中，运用。c a r l e m a n 型估计+ 紧性和唯性推理” 证明了， 定理3 8 设口= 口( z ) l 。( q ) ，q o o 掰( q ) 和r o = 扛a q l p x 0 ) ( z ) o ) ，若妒 是系统以咖为初值的解则存在常数c = c ( n ，t , f o ，l p ) 0 使得。 i i 伽- o ) 若 妒是系统以伽为初值的解则存在常数c = c ( s ，t ，r o ) e l l q u c ” 0 使得t i c z lf r oi 等l d = 出 ( 3 舶) 对于“乘子+ 紧性和唯性推理方法”与。c a r l e m a n 类型估计+ 紧性和唯性推 理方法”，它们的共同特点是先建立含有低阶的能观性不等式，然后，利用紧性和唯一性 推理。将低阶项吸收因而上述两种推理方法有下面两个麻烦t ( 1 ) 一般依赖线性系统的唯一延拓性质，而这一般只有局部结果 ( 2 ) 证明过程中常用反证法，这样就不能对系数c 有个显式估计，但g 的显式估计有 时很重要 x uz h a n g 发展的新方法，即，“c a r l e m a n + 通常能量估计”方法是直接推导期望的 能观性不等式，故对系数c 有个显示估计，且线性系统的唯一延拓性质成为能观性不等 式的副产品，它的主要步骤可描述为， 2 1