（计算数学专业论文）随机利率下的寿险精算与风险分析.pdf

摘要 摘要 随机利率下的寿险精算研究已成为当今精算领域的热点，也是当今理 论界和实际部门十分关心的焦点。利率的随机波动对寿险公司的影响尤为 突出，寿险公司作为经营风险的行业，其本身的风险更是不容忽视。本文 以此为目的，从我国寿险业的实际出发对随机利率下的寿险责任准备金和 风险问题进行了较深入的研究，为寿险公司更好的规避风险提供理论上的 帮助。 论文以寿险精算的产生发展和研究对象为背景，以寿险产品的长期性、 储蓄性以及利率风险的不确定性为着眼点，分析利率的随机波动对寿险准 备金和风p 的影响。在基本理论的铺垫下，展开对随机利率下的寿险责任 准备金和风险理论的研究。 首先，讨论了离散时间随机利率下的寿险责任准备金问题。其次，研 究了连续时间随机利率下的寿险责任准备金的计算。这部分采用一个可以 保证利率恒正的息力模型，得到了寿险公司应提存的责任准备金的表达式； 又考虑到突发事件对利率的影响，对利率运用反射布朗运动和泊松过程联 合建模，研究了更为实际的半连续型寿险的准备金模型，并给出死亡均匀 分布下责任准备金的表达式。最后，通过建立随机利率下的盈余过程，得 到了破产概率的一般理论以及随机利率下风险损失的m 阶矩。 关键词人寿保险；随机利率；责任准备金；反射布朗运动；泊松过程 燕山大学理学硕士学位论文 a b s t r a e t i n t e r e s tr a n d o m n e s si nl i f ei n s u r a n c eh a sr e c e i v e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o n o na c t u a r i a lt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n sr e c e n t l y 1 1 1 ei m p a c to fr a n d o m f l u c t u a t i o no fi n t e r e s tr a t eo ni n s u r a n c ea g e n ti so u t s t a n d i n g a st h et r a d eo ft h e b u s i n e s sr i s k ，i n s u r a n c ea g e n t so w nr i s kc a n tb ei g n o r e d a i m m i n ga tt h i s ， p r o c e e d i n gf r o mr e a l i t yo ft h el i f ei n s u r a n c eo fo u rc o u n t r y , t h i sp a p e rs t u d y s l i f ei n s u r a n c er e s e r v ea n dr i s kp r o b l e mu n d e rr a n d o mi n t e r e s tr a t em o r ed e e p l y i to f f e r sh e l pi nt h e o r yf o ri n s u r a n c ec o m p a n yt oe v a d er i s kb e t t e r r e g a r d i n gt h ed e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c ho b j e c to fa c t u a r i a ls c i e n c ea s b a c k g r o u n d ，w i t hl o n gp e r i o do ft h el i f ei n s u r a n c ep r o d u c t s ，t h eu n c e r t a i n t yo f t h ed e p o s f fa n di n t e r e s tr a t er i s kf o r s t a r t i n gp o i n t ，t h i st h e s i sa n a l y s e st h e i m p a c to fr a n d o mi n t e r e s tr a t eo nr e s e r v ea n dr i s ko fl i f ei n s u r a n c e w i t ht h e b a s i ct h e o r i e s ，l i f ei n s u r a n c er e s e r v ea n dr i s kt h e o r yu n d e rr a n d o mi n t e r e s tr a t e w e r es t u d i e d f i r s t l y , t h eq u e s t i o no fl i f ei n s u r a n c er e s e r v eu n d e rr a n d o mi n t e r e s tr a t eo f d i s p e r s e dt i m ei sd i s c u s s e d s e c o n d l y ，t h ec o m p u t a t i o no fl i f ei n s u r a n c er e s e r v e u n d e rr a n d o mi n t e r e s tr a t eo fc o n t i n u o u st i m ei ss t u d i e d b yu s i n gam o d e lf o r f o r c eo fi n t e r e s tw h i c hc a ng u a r a n t e ei n t e r e s tr a t ep e r m a n e n t p o s i t i v e ，t h i sp a r t g e t st h ee x p r e s s i o nr e s e r v et h a t 廿l el i f e l i n g u r a n c ec o m p a n ys h o u l dw i t h d r a w c o n s i d e r i n gt h ei m p a c to fa c c i d e n to ni n t e r e s tr a t ea g a i n ，w eu s er e f l e c t b r o w n i a nm o t i o na n dp o i s s o np r o c e s st ou n i t em o d e l i n gf o ri n t e r e s tr a t ea n d s t u d yr e a lh a l f - c o n t i n u o u sr e s e r v em o d e l ，a n dp r o v i d et h ee x p r e s s i o no fr e s e r v e u n d e ru n i f o r md i s t r i b u t i o no fd e a t h f i n a l l y , b ys e t t i n gu pt h es u r p l u sp r o c e s s u n d e rr a n d o mi n t e r e s t r a t e ，w er e c e i v et h eg e n e r a lt h e o r yo fb a n k r u p t p r o b a b i l i t ya n dt h em - s t e pm e m e n t so f t h er i s ku n d e rr a n d o mi n t e r e s tr a t e k e y w o r d sl i f ei n s u r a n c e ；r a n d o mi n t e r e s tr a t e ；r e s e r v e ；r e f l e c tb r o w n i o n m o t i o n ；p o i s s o np r o c e s s 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1引言 人类社会生活中经常要面对疾病、死亡、意外事故和自然灾害等方面 的风险。科学技术的发展和生活水平的提高，不断增强着人类抵御风险的 能力，但是风险是不可能根本避免的，而随着社会、经济和科学技术的发 展，还会不断产生新的风险，比如现代交通事故、环境污染、核泄漏、爱 滋病、“非典”、禽流感、疯牛病、苏丹红、海啸、市场波动等等，风险在 局部或微观上具有不确定性和损失集中的特点，但在大范围和宏观上，它 又具有稳定性和一致性，也就是说，风险发生的可能性大体稳定，并且损 失的大小基本服从一定的分布规律。保险的基本原理是将众多的投保人的 保费集中到承保人处，当风险发生后，由承保人承担损失，这种机制可使 投保人通过付出少量且固定的保费，将大量的不确定的损失转移到承保人 或保险公司身上，承保人利用保费收入一方面保证赔付的正常进行，另一 方面，通过分析与计算来合理调配资金，提高保险基金的投资效益，最终 使投保人和承保人都有所收益。 1 2 精算学及其研究对象 保险精算起源于人寿保险中的保费计算，其发展与寿险有着深厚的渊 源关系。16 9 3 年，英国著名天文学家爱德华哈雷( e d m u n dh a l l e y ) 根据德 国勒斯市居民的死亡瓷料，编制了世界上第一张完整的死亡表，用科学的 方法，精确的计算出各年龄段人口的死亡率。这不仅使产生于1 2 世纪的年 金价格计算更为准确，也为寿险的形成奠定了科学的基础。1 8 世纪中叶， 托马斯辛普森根据哈雷的死亡表构造了依据死亡率变化而变化的保险费 率表，进一步为精算奠定了基础。1 7 6 2 年，英国成立了世界上第一家寿险 公司一伦敦公平保险公司。该公司以死亡表为依据，采用均衡保费的理论 来计算保费，该公司的成立，标志着现代寿险制度的建立，也标志着寿险 精算的开始【l j 。 燕山大学理学硕士学位论文 精算学1 2 q 并非“精确计算的科学”的简称，而是一门集数学、统计学、 计算机科学、保险学、金融学、会计学和经济等多种学科的交叉科学。精 算学以现代数学和统计学为基础，对保险经营中的某些问题进行定量化的 分析和研究，为保险公司进行科学的决策和提高管理水平提供依据和方法， 它成为保险公司在激烈竞争的市场环境中得以生存和发展的重要环节。保 险精算一般由寿险精算和非寿险精算或意外险精算组成。顾名思义，这是 依据各自的研究对象( 标的物) 来划分的。 人寿保险是以人的生存或死亡为唯一损失的险种，每个人的死亡对家 庭和社会的伤害以及人的生存价值本身并没有统一的标准，一般是由承保 人提供各种可选择的保额，即寿险中每个投保人的赔偿额是固定的。这里 唯一的不确定量是被保险人的死亡时间或生存时间。由于寿险保险期长， 就要考虑保费的利剧6 7 】问题，也就是保额的现值问题。所以生存分析和利 息理论是构成寿险精算的两大核心。 非寿斛副一般是指人身意外伤害保险、财产保险、医疗保险和责任保 险等。非寿险的特点是：风险的种类繁多、影响风险发生的因素多和赔偿 方式复杂。正因为如此，非寿险精算没有寿险那样系统和标准，往往是一 类问题对应一类方法，有时甚至在同一类问题中也要随时间和环境的变化 而修正计算方法，这时保险业务知识和统计分析是融汇在一起的，必须以 实际效果来衡量方法的优良。但非寿险精算作为一个独立的研究领域也有 一些较为成熟的问题和方法，如费率厘定、损失分布的估计【9 0 1 及信用理 论【1 2 1 等。 风险理论 1 3 a 4 是决策者对风险进行定量的分析和预测的一般理论。它 可以应用于许多涉及风险分析和决策的领域。如投资分析、资产管理、经 营风险分析等。我们主要考虑保险经营中的风险理论模型。保险风险模型 主要是由总索赔模型和破产理论【l5 】两部分组成。总索赔金额是指一定时间 内某项业务总的索赔金额，从承保人的角度，很关心这个总量，因为这个 量的大小将直接影响和制约着保险公司的稳健经营。总索赔模型一般有个 体模型和复合模型两种。而破产理论则是研究经营者的经营状况的理论和 方法，进行经营稳定性分析，这方面的工作非常多，有从数学入手的，也 + 2 第1 苹绪论 有从统计方法上做的，是目前较为活跃的一个方向a 1 t 3 保险发展简史 公元前2 0 0 0 年前后的海上运输业的繁荣成为现代水险口6 】的起源，公 元前9 t 6 年的罗地安海商法中首次明确规定：“为了全体利益减轻船只载 重而抛弃船上的货物，其损失应由全体收益方来分摊”，这就是著名的共同 海损分摊原则。标志着现代海上保险产生的一份保险契约是在1 3 8 4 年签署 的，一般称之为比萨保单。1 6 8 8 年由爱德华劳埃得在英国伦敦创立的一 个承保人协会简称作“劳合社”在保险发展史上有着举足轻重的作用，虽 然该协会仅向其会员提供保险交易场所和有关的服务，但是它所规定的条 款、制定的费率、乃至形成的运作方式方法都对世界的水产业务产生巨大 的影响。最早的火灾保险则可追溯到1 2 世纪。1 6 6 6 年9 月2 日伦敦城区 发生大火，全城8 5 以上的房屋被烧毁；2 0 余万人无家可归，财产损失更 是无法估量，从此火灾保险得到了足够的重视。由火灾保险扩展而成的财 产保险 1 ”，现在已包括洪水、地震、风暴和偷盗等致险因素，所保财产也 从房屋等扩大到各种固定资产和流动资产，财产保险是当今保险市场的重 要部分。人身保险以人体为保险对象，早期承保范围很小。1 7 6 4 年创立的 伦敦公平人寿保险社开创的人寿保险极大地扩大了承保范围。寿险涉及面 广、流动资金相对稳定，它往往在保险市场中占有最大的份额。现代人身 保险还包括人身意外伤害保险和医疗保险等险种。再保险最早是指承保人 将其承保的一部分业务向另一承保人投保。例如，1 3 7 0 年由一个意大利人 承保的自热那亚至荷兰斯卢丝之间的海上保险，就将其中最危险的一段航 程的责任转让给了其他承保人。再保险体现了“多承保人共保一险”的机 制，扩展了社会承保能力，推动了巨额保险的业务，有很强的生命力。进 入2 0 世纪后，保险业有了很大的发展，出现了很多新险种。以被保险人的 民事损害赔偿责任为保险对象的责任保险是其中重要的一类。医疗责任保 险、交通意外事故的第三者责任保险、产品使用意外事故责任保险等都是 发展很快的责任保险险种。另一类重要的新险种是信用保险或称保证保险， 在现代市场经济中，信用和担保问题已成为经济活动能否顺利进行的重要 3 燕山大学理学硕士学位论文 因素，保险机制的引进为解决这个问题提供了一个有效手段。保险业的发 展水平和速度与经济发展的水平和速度密切相关，人们经常将保险业的现 状作为经济发展状态的重要标志。 中国保险业的发展经历了一个很长而曲折的过程。1 9 世纪中叶，随着 帝国主义的入侵，也将保险业务带入中国。当时中国保险市场基本上被外 国保险公司控制和垄断，成为帝国主义经济侵略的工具。直到1 8 8 5 年，仁 济和保险公司的成立，才开始了中国的民族保险事业。上世纪2 0 年代开办 了安平保险公司和太平水火保险公司，1 9 3 1 年创办了中国保险公司，3 0 年代为旧中国保险业的鼎盛时期。中华人民共和国成立之前，中国的保险 业主要由外商资本和官僚资本所垄断，始终未能顺利的发展。新中国成立 以后，首先对旧中国保险业进行整顿和改造，于1 9 4 9 年1 0 月2 0 日正式成 立中国人民保险公司，总公司设在北京：各大区设立分公司，由中国人民 银行总行直接领导。在随后的1 0 年中，保费收入1 6 亿元，减轻了国家经 济和信贷的一部分压力，同时与世界的大部分国家和地区建立了直接或间 接的分保关系和代理关系。在六七十年代，由于极左路线的影响，国内的 保险业基本陷于停顿状态，直至十一届三中全会以后，保险业才开始了一 个新的发展时期。1 9 8 0 年1 月1 日，中国人民保险公司正式恢复办理国内 业务。自1 9 8 0 年至1 9 9 1 年的1 2 年间，保险业务收入年平均增长4 5 以 上，初步形成了以中国人民保险公司、中国平安保险公司和中国太平洋保 险公司构成的中国保险市场，1 9 9 9 年保险费收入达到1 3 9 3 2 2 亿元。1 9 8 6 年以前，经营保险业务的公司仅中国人民保险公司一家，到1 9 9 9 年底发展 到2 5 家，其中国有独资公司4 家，股份制公司9 家，中外合资公司3 家， 外资保险公司9 家。与此同时，保险中介开始发展，保险公估行也已出现。 1 9 9 2 年1 0 月美国友邦公司在中国开业，外国保险资本的进入是我国保险 市场国际化的必然，随着加入w t o ，我国保险公司所面临的是如何积极主 动地去迎接国际竞争的问题。 1 4 保险学的数学原理 在保险领域中，最基本的也是得到人们一定共识的数学原理是大数定 4 第1 章绪论 律 1 8 1 9 1 ，大数定律是概率统计的基本原理之一。它的核心内容可以表示为： 通过对某种不确定的随机现象进行大量的重复观测，在一定程度上，将表 现出一些确定性的规律现象。例如，抛一枚均匀的硬币，可能是正面朝上， 也可能是反面朝上，是一种随机现象，但如果重复大量的做这个试验，我 们会发现正面朝上的次数约占抛币总次数的5 0 ，从而得到一个相对确定 的结果：出现正面朝上的可能性为5 0 。在保险经营中，每个投保人面临 的损失都是随机的和不确定的，承保人将面临同类风险的投保人个体集中 起来，随着个体数的增a n ( 相当于一种重复) ，使承保人面临的风险呈现出 一定的规律性和确定性。例如：假设现有, 个投保人投保某种具有一致性 的风险，并假设这n 个投保人的损失发生是相互独立的，若记这n 个人的 最终赔偿额为x 。，x ：，x 。，则x ，x ：，x 。是独立同分布的样本，由切比雪 夫定理有，对任意的s 0 有 1 上 嬲e i 云善矿i tl 0 ，d 0 ，且有初始条件z ( 0 ) = o ，j 是与f 无关的随机变量或实常数) 和 w i e n e r 过程( 即息力累积函数由y ( f ) = 8 t 4 - ( f ) 建模，其中矿( f ) 是w i e n e r 过程，占也是与f 无关的随机变量或实常数) 建模的某些确定年金的前二阶 矩，1 9 9 3 年又得到了息力由0 u 过程和w i e n e r 过程建模的终身寿险给付 现值的前二阶矩，d es c h e p p e r 和g o o v a e r t s l 3 “1 得到息力由w i e n e r 过程建 模的某些年金的矩母函数、分布函数与l a p l a c e 变换。m v a n n e s t e l 4 2 等则 给出了息力由w i e n e r 过程建模的某些年金的生成函数的一系列结果。1 9 9 4 年，g r a yp a r k e r 4 3 , 4 4 1 发表了在他博士论文中的一些结果。他研究了在死亡 所在保单年度之末等额给付的定期寿险，当保单数目趋于无穷大时，每张 保单平均成本的极限，得到了这一极限随机变量的近似分布函数的递推公 式，还得到了这一极限随机变量的前三阶矩。何文炯、蒋庆荣【45 对随机利 率采用g a u s s 过程建模，得到了一类即时给付的增额寿险的给付现值的各 阶矩，并在死亡均匀分布的假设下得到了各阶矩的简洁表达式。d a v i da n d p e r r y 4 6 , 4 7 在2 0 0 0 年将利率采用带飘移的布朗运动和泊松过程联合建模， 研究了两类顾客现金管理模型的风险分析；又在2 0 0 1 年，将随机利率采用 反射b r o w n i a n 运动( r u 3 m ) 建模，得到确定年金的期望值公式。a b r a h a m z a k s t 4 8 1 也论述了随机利率下的确定年金的计算问题。杨静平、吴岚1 4 9 讨论 了n 年期寿险的总体索赔量的极限分布。在利息力为白噪声条件下，得到 了极限分布的密度函数的递推公式。郎艳怀【5 0 , 5 i 将利息力用标准布朗运动 ( w i e n e r 过程) 建模，给出一类综合人寿保险模型的现值的前二阶矩的计算 公式。叶迎春 5 2 】将利息力视为一个带漂移的w i e n e r 过程，建立了连续时 间下的随机利率模型，研究了几个寿险精算模型。 1 7 本文的主要工作 利率波动是经济活动中常见的现象，由于寿险产品价格中的预定利率 8 第1 章绪论 是假定的，利率的变动对寿险产品的需求，寿险业的经营产生重大的影响。 而保险产品的特殊性决定了利率变动的风险主要由保险人承担，因此，如 何化解利率风险而不降低保险产品的吸引力，是当前保险人迫切等待解决 的问题，也是寿险精算研究的热点和难点。 责任准备金的提存和风险管理对保险公司来说是一项重要内容，合理 提存责任准备金是保险公司有效规避风险的重要保障，然而目前国内外对 准备金的研究比较匮乏，尤其是随机利率下责任准备金的计算和风险管理， 本文着眼于利率的随机性，对寿险责任准备金、风险分析及破产概率问题 进行了较深入的研究。 第2 章预备知识。人寿保险是以人的生命为保险标的的保险，在人的 生命周期里，一直面临着生老病死等风险。需要通过保险得到经济安全的 保障。为了在较长时期内平衡缴费水平，寿险通常规定为长期合同。因此， 对寿险公司来说，要提存责任准备金，研究风险以及破产概率，考虑货币 的时间价值就显得尤为重要，这就使得利息理论的基础作用更为突出。人 寿保险所承担的年老死亡和伤残的出险规律，是通过生存模型来研究和表 述的。这些作为本论文最为基本的理论在本章给出了具体的阐述和分析。 第3 章离散时间随机利率下准备金的计算。根据保险金的给付时刻和 投保人缴纳保费方式的不同，可将准备金分为离散型、全连续型和半连续 型。在精算技术的运用上，传统的精算理论假定利率是固定不变的，实际 上利率具有一定的随机性，尤其在长期的经济行为中，采用固定利率可能 会带来预期与实际之间很大的偏差。针对利率波动对寿险业的巨大影响， 本章发展了传统准备金的精算模型，得到了离散时间随机利率下准备金的 计算公式。对保险公司抵御利率风险具有一定的现实意义。 第4 章连续时间随机利率下的寿险准备金。随机过程理论中布朗运动 的性质吸引了众多精算研究人员的注意：用布朗运动来刻画利率的随机性 给利率风险的研究带来了新的契机。但理论上的纯布朗运动会导致利率为 负，这是与实际不符的。因此。本章采用反射布朗运动对息力建模，保证 利率恒正，研究了全连续寿险的准备金；又考虑到突发事件对利率的影响， 对息力采用反射布朗运动和泊松过程联合建模，研究了半连续寿险的准备 9 燕山大学理学硕士学位论文 金模型。为寿险公司规避风险和稳健经营提供了有利的理论依据。 第5 章随机利率下的风险分析与破产概率。经典的风险模型往往不考 虑利率的影响，但寿险作为一种长期的经济行为，对寿险公司的影响是相 当大的，因此有必要考虑利率因素。本章通过建立随机利率下的风险模型， 研究了风险的m ( 任意自然数) 阶矩；打破以往不考虑利率或只研究固定利 率下的盈余过程，本章建立了随机利率下的盈余过程，得到了破产概率的 计算公式。在理论上具有一定的启发性，同时对保险产品的设计，利率风 险的防范均有一定的参考价值。 t 0 第2 章预备知识 第2 章预备知识 2 1引言 在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用时 间越长，实际的价值增值就越大。同时，等额的货币在不同时间上，由于 受通货膨胀等因素的影响，其实际价值也不同。因此，如果货币的所有者 把货币使用权转让给其他经济活动者，他就应该获得与放弃这个使用机会 时间长短相应的报酬【s 3 ，即得到一定的利息。 在绪论中我们已经指出，寿险精算的基础是大数定律，保险人所收取 的纯保费的总额应与保额支出的总额相等。也就是说，为了计算保费，需 要比较纯保费与保额，但因保费与保额的发生并不同时，且在其中涉及到 被保险人的生死状况，所以对二者的比较应在同一时点上，一般选择在保 单生效之时。这样，对保费和保额的比较就不能单纯看其数额的大小，而 是要考虑到货币的时间价值、被保险人的生死状况以及保险人可能发生的 费用，还有可能存在的风险等因素的影响。即人寿保险的保险人对保额的 支付不仅与预定的利率和费用有关，还与被保险人的生死概率密切相关。 这就是说，保费与保额要在精算现值的意义上相等。 本章将介绍到该论文中要用到的寿险理论：利息理论、寿险责任准备 金及其计算、风险理论和破产概率。 2 2 利息理论 2 2 1 利息的度量 利息是资本借入者支付给资本借出者因放弃资本的使用，所发生的损 失的一种租金。初始投资的金额( 资本) 称为本金，最终的总收入称为积累值， 也称为终值或本利和。投资1 单位的本金j 在任何时n t 的积累值定义为积 累函数a ( t ) 。若初始投资金额为k o ，在时s o t 0 时的积累值记为一( f ) ， 称为金额函数或总量函数1 5 4 , 5 5 1 。 衡量资金生息水平的指标是利息率，它表示单位本金在单位时间内所 燕山大学理学硕士学位论文 孳生的利息。如果单位时问为一年，一年内l 单位本金的利息就是实际利 率，以f 表示实际利率，现l j i = a ( 1 ) 一1 = 警 ( 2 - 1 ) 第盯年的实际利率为乇= 兰觜= 型觜 ( 2 - 2 ) 利息的计算方法有单利和复利两种。单利只在本金上计算利息，其累 积函数的形式为口( f ) = l + i t 0 ) 一磷 ( 2 - 3 ) 单利每年得到的利息均为a ( o ) i ，由于每年利息额随口( f ) 的增大保持恒 定，使实际利率i 随t 增长而减少。单利时，第刀年的实际利率为 f。一1+in-1+i(n-1)l一 ( 2 4 )“ 1 + i ( n 一1 )1 + i ( n 一1 ) 、。 复利下的积累函数为a ( t ) = ( 1 + f ) ，因此各年利息不等，第一年利息 为a ( o ) i ，第二年为a ( 1 ) i = 4 ( o ) ( 1 + 彬：+ 第三年为彳( 2 ) f = 一( o ) ( 1 + f ) 2 i ， 第r 年为4 0 l y = 爿( o ) ( 1 + i 。年利息额随f 的增大而增大。但利率保持不 变，此时实际利率为 扣攀高# 刮 ， 利息可以按年计息，也可以按半年季、月等计息。在单利下，计息 单位不影响利息额，因为它只在本金上计息。复利下利上有利，在年利率 不变时，按半年、季、月等计息实际的利率就不同。我们把一年多次结算 的利率称为名义利率。 名义利率用f ( ”表示，m 是一年结算的次数。这样每次结算的实际利率 为l ，在复利下，一年末的积累函数为il + ll ，它是以实际利率i 计 ：( m )厂j ( ) 、“ m l mj 算的一年积累函数值1 + i 。因此 1 伽f 1 + 苎1 ”， lm ， f ：f 1 + 翌丫- 1 ( 2 - 6 ) 1 2 第2 苹预备知识 所以说，在某种意义上，利息事实上也可看作是租金的一种形式。 2 1 2 现值和贴现率 1 单位本金经过t 年后的累积额为a ( t ) ，那么1 单位累积值在t 年前的值 便为1 a ( t ) ，我们把现在1 单位元在t 年前的值或未来t 年1 单位元在现在 的值称为f 年现值。在单利方式下，一年的现值为1 1 + i ，两年的现值为 1 1 + 2 f ，一般地，f 年现值为1 ( 1 + 打k 在复利方式下，一年现值为1 ( 1 + 玑两年的现值为1 ( 1 + f ) 2 ，t 年 现值为1 ( 1 + f ) 。通常记0 = 1 ( 1 + i ) ，这时在复利下t 年现值为o 。 如果应在将来某时期支付的金额提前到现在支付，则支付额中应扣除 一部分金额，这部分扣除额称为贴现额。贴现水平用贴现率表示，它是单 位货币在单位时间内的贴现额。若单位时间以年度为单位，这时的贴现率 称为实际贴现率。通常用d 表示贴现率 d ：型= 生q ：a ( 1 ) - 1 ( 2 7 ) 一( 1 )n ( 1 ) 、 n 年的实际贴现率为 以= 掣 ( 2 - 8 ) 由式( 2 7 ) d a ( 1 ) - i 生盟：上f 2 _ 9 1 口( 1 ) l + f1 + f 1 一d 1 上：l ：u r 2 1 0 ) 1 + il + f 、 从而得到i ，d ，u 三者的相互关系 d = i v ( 2 - 1 1 ) 名义贴现率与名义利率的意义相似，表示原来规定的一年结算多次的 贴现率。以d ( ”) 表示一年结算m 次的名义贴现率，则每次结算的实际贴现 率为坐，一年现值为f 1 一坐1 ”。因此 m l研 燕山大学理学硕士学位论文 川= ( 一爿 2 1 3 利息力 利息力简称息力，是衡量确切时点上的利率水平的指标。作为连续时 间下的利息度量，在理论研究上应用广泛。 考虑利息在p ，f + f ) 上的推广，并取当f 斗o 时的极限，得 l i m a ( t + a t ) - a ( t ) f ： 由- o 爿o ) l i m a ( t + 6 0 - a ( t ) a t ：盟：盟 f 2 1 3 ) a t - - 0 口( ，)彳( 0口p ) 、 假定导数都存在，上式的极限值称为息力，记作4 ，即 4 = 筹= 等= 型d t p 1 4 ) 4 0 )口o ) 、_ 1 用，代替t 并将此式两边在0 到t 之间积分，得 胁r = 竽拓l n a ( t ) ( 2 - 1 5 ) 从而积累函数服从指数分布 郇，= 器= 器= e x p ( f 6 , d ，) p 峋 爿( o ) 口( o ) 一7 考虑时间区间o t 1 在该区间上的利息力为常数占，在期末的实际利 率为i ，则有 1 + f - 口( 1 ) = e x p ( r 4 d ， = e 6 ( 2 1 7 ) r = f + 爿”和协叩闽脚，) ，可得 p k 坍卜 p 取极限m 斗o o ，有 第2 章预备知识 l i m j 【”) = 万 + 这说明利息力实际是名义利率的极限值。 同理可定义贴现力为名义贴现率的极限。由于 r 一生、 d m ) = j 1 一p m ( 2 19 ) lj 取极限聊- - + o o ，有 l i m d ( “) = j ( 2 - 2 0 ) h , i _ + 可见贴现力与利息力相等，因此一般不单独讨论贴现力。 常数利息力可解释为连续转换或名义贴现率。从理论上说，利息的最 基本的度量就是利息力。利息力一经确定，利息的度量也就随之确定姻。 2 3 寿险责任准备金 2 3 1责任准备金的提存依据 在人身保险的发展历史中，曾经存在赋课式保险和自然保费保险 5 ”。 在赋课式保险下，保险费由不分年龄大小的参加者平均分担，多退少补， 每期收入的保险费与给付的保险金相等，不会产生给付不足或多余的问题。 在自然保费制下，每年根据被保险人的年龄大小重新计算保险费，使每年 的保险费收入与保险金给付支出相等，也不会产生给付不足或多余。 自然净保费是按实际损失率即死亡率精确计算出来的。按此费率收取 净保费，保险人所承担的责任及投保人所尽的义务是相等的，即是说，无 论从保险人还是被保险人的角度看，自然净保费最能体现保险合同所规定 的权利与义务的对等关系。然而，按照自然净保费收费，在消费者年轻时， 因死亡率低保费亦低，但青壮年自恃年轻力壮，几乎不会死亡，故不愿购 买保险；面当消费者年老时，因死亡率高保费亦高，此时虽有购买保险的 愿望，但往往由于保费过高而却步。因此自然净保费与实际需要不符，它 仅具有理论上的价值，而实际业务中一般采用净均衡年缴保费的交付方式。 在均衡保费制下，每年收入的保险费与给付的保险金是不同的，例如， 1 5 燕山大学理学硕士学位论文 终身寿险的保险费在各个保险年度均衡不变，但随着被保险人年龄的增大， 死亡率不断提高，相应需给付的保险金也越来越大，这使前期保费收入大 于保险给付金，后期保费收入却小于保险给付金。这样，保险人必须把前 期剩余的保险费收入以复利积存起来，才能弥补后期给付的不足。这种保 险人以保险契约为依据，为将来发生的给付提存的基金，称为责任准备金。 责任准备金是保险人对被保险人的负债，并不是保险人的收入。 除了均衡保费制会产生责任准备金外，趸缴保费制( 即一次性缴费) 也 会产生责任准备金。趸缴保费后，保险人只有履行赔付的义务，不再收取 保费，其保险给付来源就是由趸缴净保费扣除已发生的保险给付金的余额 积存起来的责任准备金。 本论文中我们只研究均衡保费责任准备金。 2 3 2 责任准备金的性质 寿险责任准备金是保险人尚未履行保险责任的已收保费的积累，是保 险人为将要发生的给付而提存的货币形态的专项后备基金，其实质是保险 人对被保险人或受益人的负债。 提存准备金的方式有两种：一种是理论责任准备金，另- - e e 是实际责 任准备金。理论责任准备金仅仅是根据纯保费与自然保费之间的差额来计 算应提存的金额。实际责任准备金是根据权责发生的情况，对理论责任准 备金作一些年度间的平衡。不论采取哪一种平衡方法，最终在保险期满时， 实际提存的准备金必须等于理论责任准备金。 按照赔付时刻及缴费方式可将责任准备金分为以下几种形式：( 1 ) 全离 散式寿险模型的责任准备金，即赔付在被保险人死亡年末，离散缴费的寿 险模型的责任准备金；( 2 ) 全连续式寿险模型的责任准备金，即在被保险人 死亡时立即给付保险金，连续缴纳保险费的寿险模型的责任准备金；( 3 ) 半连续式寿险模型的责任准备金，即在被保险人死亡时立即给付保险金， 离散缴费的寿险模型的责任准备金。 保险公司为了保证有能力随时支付，就必须将前期的差额适当地加以 提存，以备填补后期的数额不足，以防止保险公司的破产并避免妨碍保户 第2 章预备知识 的权益实现。 2 _ 3 3责任准备金对不同当事人的利益分析 由责任准备金的本质可知，保险公司提存责任准备金的方式与数额将 影响各保险当事人的利益，而他们的利益往往是不一致的。 责任准备金是保险入对被保险入的一种负债，它是确定现金价值或退 保金的基础。一般地，责任准备金越多，现金价值或退保金就越高，被保 险人在退保时所得就越多，因此，对被保险人一方就越有利。 由于责任准备金是保险公司的负债，根据基本会计恒等式，责任准备 金越少，所有者权益越大，因此，对公司股东而言，责任准备金越少，可 分配利润就越多。对于新成立公司，责任准备金提存越多，就越容易出现 资不抵债的情况，而资不抵债意昧着公司即将破产或要求股东增资，这都 不符合股东的利益。 税务部门根据保险公司的净利润征收企业所得税。在不提存或少提存 责任准备金时，公司各期的总利润与正常提存责任准备金时相同，但前期 利润将偏高，后期利润偏低，这样就能提前征收到大部分所得税，而公司 则失去了递延所得税的好处。因此，责任准备金提存越少，越有利于税务 部门征税。 如果出现公司兼并，则对收购方而言，责任准备金提存越多，被兼并 公司的帐面盈余就越少，收购价格就越低，从而越有利于以较低的价格取 得收购成功。对出售方则恰好相反。 保险监管部门在保险活动中处于特殊地位，它不是为了谋取狭隘的自 身利益，而是为了保护各保险当事人的合法权益，促进整个保险业健康发 展。这一职责决定各监管部门必须特别重视保险公司的偿付能力以及与偿 付能力紧密相关的责任准备金问题，因为公司破产将使一切无从谈起。监 管部门以保险立法的形式要求保险公司提存的责任准备金称为法定责任准 备金。在提存法定责任准备金时，必须使用指定的稳健生命表。由于稳健 生命表所反映的死亡率往往高于保险公司对某一组特定保单的预期死亡 率，这就迫使保险公司保持较多变现能力较强的资产，以满足未来发生赔 燕山大学理学硕士学位论文 付的现金需求。 2 4 期末理论责任准备金的计算 某保单的期末责任准备金，是指在该保单年度终了时，次年度保费尚 未缴付时的准备金。期末理论责任准备金的计算可采用前瞻法、后顾法、 保费差公式、缴清寿险公式、递归公式进行计算，每一种公式都为我们提 供了理解责任准备金的一个新角度。下面我们分别给予介绍。 2 2 1前瞻法 对于任意一份寿险保单，在其保险期限内的任意一个时点r ，寿险公 司将来要给付的保险金的现值，只能来源于两个方面：一是已收净保费与 已付保险金的差额在时刻，的积存值，即应提取的责任准备金，二是未来 应收保费的现值。即： 未来应付保险金f 在时刻t 应提存的1r 未来应收纯保费1 在时刻t 的现值。l 责任准备金 j + l 在时刻t 的现值j 上式移项后可得： 在时刻t 应提存的f 未来应付保险金1f 未来应收净保费1 责任准备金l 在时刻t 的现值j i 在时刻t 的现值j 这就是前瞻法计算责任准备金的基本公式。该法体现了责任准备金用 于弥补未来净均衡保费不足给付保险金的功效。 从精算的角度来理解前瞻法，责任准备金是前瞻亏损的期望值，是未 来受益与净保费的精算现值之差。 下面我们先来讨论缴费期等于保险期险种的责任准备金的计算。 假设净均衡保费为只的1 单位终身人寿保险( 保险金于死亡之年度末 给付，保费于每年年初缴付) ，其年末的责任准备金记为。以，定义，为 x + | i 岁人的整值剩余寿命随机变量，其概率函数为 ，p m g m + f ，- ，= o ，1 ，2 ，( 2 2 1 ) 定义在时刻i 的前瞻亏损变量 第2 章预备知识 女工= v ”1 一只拄翮 ( 2 2 2 ) 由此 。k = e ( 。上) = e ( v ”1 ) 一只e ( 五厕) = 4 + 一只吨+ t ( 2 2 3 ) 式( 2 2 3 ) 表明：责任准备金。以是未来受益的精算现值或从x + k 岁开始 的终身人寿保险精算现值与未来实缴保费只的精算现值之差。类似可得： n 年定期保险责任准备金。喝= a m l 赢1 一岛巳+ 。i 习 七竹 ( 2 2 4 ) 疗年期两全保险责任准备金i 匕i = 4 + 。i 习一只a c x + 。：i 习七s ( 2 2 5 ) 下面接着讨论限期缴费险种的责任准备金的计算。 考虑h 年缴费终身寿险，在第_ j 年末的责任准备金： 当七h 时，己无需再缴保费，：吒= a ；“ ( 2 - 2 6 ) 当t h 时，以= 4 + t 一只西：+ 女：h - 7 1 ( 2 2 7 ) 类似可得到： h 年限期缴费聍年期两全保险 fa x + k ：。- - i 一 只寻吱+ 厕k h ：圪a = 以“羽 k = 玎 ( 2 - 2 8 ) 【1 k = n 2 2 2 后顾法 后顾法又称为“已缴保费推算法”或者是“追溯公式”。将责任准备金 看成是净保费的精算积累值( 按利息积累并在x + t 岁生存者中分摊) 与保险 成本积累值之差。该法体现了责任准备金的来源。利用后顾法： n 年定期保险的责任准备金： “v 1 。_ 奋a x ：n - a ，1 司 去= p 嗣1 一鲁 ( 2 - z ，) n 年期两全保险的责任准备金：。嗡= 霜一兰导( 2 - 3 0 ) 燕山大学理学硕士学位论文 终身寿险责任准备金：。以= 只是目一二孚 ( 2 _ 3 1 ) 不难看出前瞻法与后顾法是完全一致的。根据计算保费的平衡原理： 所有净保费在保单签发日的现值= 所有保险责任在保单签发日的现值 经过t 年后有如下关系 r f 年以前全部已收1r 碡! 以后全部未i 蹴f 绰以前全部已f 呐f 戽以后保险1 l 净保费的积累值j | l 净保费的现值t 保险金的积累值j 。t 责任的现值j 将上面的等式移项有： r 库以前全部已岣f 戽以前全部已伯f 戽以后保嘲f 绰以后全部未嗡 l 净保费的积累值l 保险金的积累值ji 责任的现值jl 净保费的现值j 即：按后顾法计算的责任准备金= 按前瞻法计算的责任准备金。 在进行数值计算时究竟是用前瞻法还是后顾法，有以下两条指导原则： ( 1 ) 在持续时间超出缴费期的场合，前瞻公式更为便利，此时责任准备 金简化为未来收益的精算现值，如对h 年缴费的终身寿险当k h 时， ：t = a 。 ( 2 ) 在尚未提供受益的递延期内，后顾公式更为便利，此时责任准备金 简化为过去净保费的精算积累值。 2 2 3 保费差公式 从前瞻公式出发，得： rj、 i = 4 + 一只占m = 1j ；丛一只l 西m = ( 只+ 一只) a 。 ( 2 - 3 2 ) l a x + k 类似得到：v 1 a = ( p 。l 羽一珐) 厕 ( 2 3 3 ) t t 司= ( 只+ i 厕一只司) 吱“雨口 ( 2 3 4 ) 保费差公式将责任准备金表示成剩余缴费期内保费差的精算现值，其 保费差是指x + f 岁时按剩余受益计算的等价年保费减去原保费。 2 2 4 缴清寿险公式 仍然从前瞻公式出发，得 第2 章预备知识 。y ：= 彳，+ 。一，：西。+ 。= ： 一p i 口i k ，+ 。k 4 ，+ 。= 一去 日j + t ”( t 二去) p 。s ， 式( 2 3 5 ) 表示将责任准备金表示成不能由将要收取的净保费提供的部 分受益的精算现值。注意到只+ 。是满足未来受益所应缴付的未来净年缴保 费，而只是实际缴付的净保费，因而只只。是由实缴保费所提供的受益比 例。 2 2 5 递归公式 考虑x 岁的人投保全离散式一般寿险：第j + 1 个保单年度末提供死亡 受益额6 。，年度初缴付挣保费石，= 0 , 1 纠2 ，由前瞻法第k 个保单年度末 的责任准备金为： v = b k + j + l v 。+ 1j p 。+ q ，+ i + 一7 l k + j v 7 p ；+ i = j = o j = o b k “v q m + 钆”1 v ”1j p m g m + 厂以一万v p m = j = lj = l f 。 ” 。1 ( 钆+ v q 。一巩) +