（运筹学与控制论专业论文）可转债定价理论与模型研究.pdf

硕士学位论文 摘要 摘要 作为金融衍生工具之一的可转债，已经成为上市公司再融资的一 条重要渠道。随着我国金融业的发展和完善，对可转债进行准确定价 就显的尤为重要。本文的主要工作包括： ( 1 ) 可转债定价模型的早期研究概述； ( 2 ) 可转债定价模型的现代研究综述； ( 3 ) 用依概率可达未定权益的定价模型为可转债进行定价研究及 其应用。 可转债早期定价模型即欧式期权加债券方法的关键是 b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式。但该模型精度有限，为此，现代的可转 债定价模型中大多采用的是数值方法。针对可转债这种有提前执行可 能的金融衍生品，本文给出了二叉树和有限差分数值定价模型。在可 转债定价模型的现代研究中还考虑了带有信用风险的可转债定价模 型。针对以上提到的早期和现代定价模型的有效性，本文都进行了举 例验证。为了寻找更加精准的定价模型，文中最后基于统计分析得到 了美式未定权益的口一价格，实现了以某一正概率为未定权益进行套 期保值。在此基础上推导出了依概率可达未定权益的公平价格，即对 未定权益进行不完全套期保值时的价格。这样虽然初始资产降低为能 够完全套期保值时的1 - a 倍，却要承担口倍的风险。这就为带有信用 风险的可转债进行定价开辟了一条新的途径，本文的核心就是运用依 概率可达定价模型为带有信用风险的可转债进行定价并对其做了实 例分析。 通过实例分析发现，本文给出的新型定价模型比早期和现代其他 的定价模型的精度都有所提高。这就为可转债的发行以及其在二级市 场的交易提供了可靠的参考。 关键词：b l a c k - s c h o l e s 公式，可转债，未定权益，依概率可达，信用 风险 硕士学位论文 a saf m a n c i a ld e r i v a t i v e s ，c o n v e r t i b l eb o n dh a sb e c a m eo n eo ft h e m o s ti m p o r t a n tw a yo fr e f i n a n c i n g s o ，p r i c i n gf o rc o n v e r t i b l eb o n d a c c u r a t e l yb e c o m e sv e r yi m p o r t a n t t h em a i n w o ki n c l u d ： ( a ) t h es u l n l t l a r i z eo fe a r l ym o d e l s ； ( b ) t h es u mu p o fp r e s e n t - d a ym o d e l s ； ( c ) p r i c et h ec o n v e r t i b l eb o n d o fa t t a i n a b l ei np r o b a b i l i t y c o n v e r t i b l eb o n dh a st h ec h a r a c t e r i s t i co fb o n da n ds t o c ko p t i o n i t s e a r l yp r i c i n gm o d e lw a su s e d t h eb l a c k - s c h o l e sf o r m u l a a st h i sm o d e li s n o ta c c u r a t ee n o u g h ，t h em o d e mm o d e la l w a y su s e dt h en u m e r i c a l p r o c e d u r e s b u tt h ec o n v e r t i b l eb o n dc a nb ee x c u t e da d v a n c e d ，s oi nt h i s p a p e r , t h en u m e r i c a lm o d e lw ec h o s et h eb i n o m i a l t r e e sa n df i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d s i nt h el a s ts e c t i o n ，t h i sp a p e rb a s e do nt h es t a t i s t i c a l a n a l o g i e s ，o b t a i nt h ea - p r i c eo f a m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m ，a n dh e d g e d t h ec o n t i n g e n tc l a i mb yap o s i t i v ep r o b a b i l i t y e n l i g h t e n e db ya b o v e ，w e d e r i v a t et h ef a i rp r i c et h a nt h ec o n t i n g e n tc l a i mw h i c ha t t a i n a b l ei n p r o b a b i l i t y a l t h o u g hi fw ep r i c eb yt h i sm o d e l ，t h ei n i t i a lc a p i t a lc a nb e r e d u c e db yat i m e so ft h ec a p i t a lw h i c ht h ec o n t i n g e n tc l a i mi sh e d g e di n p r o b a b i l i t yl ，t h wi n v e s t o rh a v et ob e a ra t i m e sr i s k t h i sp a p e rp r i c e s f o rc o n v e r t i b l eb o n du n d e rc r e d i t r i s kb yt h i sm o d e l ，a n dg i v e sa n e x a m p l e b yt h ee x a m p l e ，w ef i n d t h a tt h et h e o r e t i c a lp r i c ew h i c hi s c a l c u l a t e db yt h em o d e lo fp r i c ec o n t i n g e n tc l a i mi np r o b a b i l i t yi sm o r e a p p r o a c ht h er e a lp r i c e ，s o ，t h i sm o d e lp r o v i d ear e l i a b l er e f e r e n c ef o rt h e i s s u ea n dt r a d eo fc o n v e r t i b l eb o n d k e yw o r d s ：b l a c k - s c h o l e sf o r m u l a ，c o n v e r t i b l eb o n d ，c o n t i n g e n t c l a i m ，a t t a i n a b l ei np r o b a b i l i t y , c r e d i tr i s k 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名：煮垒墼日期：壁1 2 年旦月旦日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 作者签名：导师签名：雠日期：之卑业月兰l 日 硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 期权定价的b l a c k - s c h o l e s 模型 1 9 7 3 年b l a c k 和s c h o l e s 在美国( j o u r n a lo fp o l i t i c a le c o n o m y ) 上发表了经 典论文1 kp r i c i n go fo p t i o ma n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ) ，标志着现代金融学进入 了又一个新的里程碑n 1 。其基本思想是：衍生资产的价格和它所依赖的标的资产 价格都受到同一种不确定因素的影响，两者遵循相同的维纳过程。如果通过建立 一个包含恰当的衍生资产头寸和标的资产头寸的资产组合使衍生资产头寸和标 的资产头寸的盈亏可以相互抵消，则可以消除两者的维纳过程。这样构成的资产 组合为无风险的资产组合，在不存在无风险套利机会的情况下，该资产组合的收 益应该等于无风险利率，由此便可得衍生资产的价格。 b s 模型假设如下【1 l ： ( 1 ) 允许使用全部所得卖空衍生证券； ( 2 ) 没有交易费用和税收，所有证券都高度可分； ( 3 ) 在衍生证券有效期内没有红利支付； ( 4 ) 不存在无风险套利机会； ( 5 ) 证券交易是连续的； ( 6 ) 无风险利率，为常数且对所有到期日都相同； ( 7 ) 股票价格s 遵循几何布朗运动： d s = p s m + a s d z 其中，和仃分别表示股票的预期收益率和波动率，两者都为常数： 出= 占，g 是取自标准正态分布的随机值。 最后得出衍生证券的价格c 满足如下微分方程1 1 1 ： ! 仃2 s ：磐+ 心箜+ 军：r c 2剪摊研 结合边界条件c = m 强 一x ，o ) ，求解上述偏微分方程得出欧式看涨期权的 价格为： 硕士学位论文第一章绪论 c 爿一 b l a c k s c h o l e s 期权定价公式是完全由“可观察 变量组成的函数【2 1 ，此模型 能直接接受实证检验，称为“完全 模式。 b l a c k - s c h o l e s 模型对期权定价理论的实践和发展做出了开创性的的贡献， 但是由于假设前提过于严格，它仍然存在一些需要改进的地方： ( 1 ) 由无套利假设得出的b l a c k - s c h o l e s 理论实际上只能对完全市场中的金融 资产唯一定价。这里的完全市场是指作为期权的标的资产能使每一种风险资产都 可以表达为它们的组合。实际情况自然不是这样。 ( 2 ) 模型假设不存在交易成本，税收和保证金；股票价格的标准差不变：股 票价格是连续的，服从对数正态分布：投资者可以连续地、微小地调整期权和股 票的持有头寸等等，这些与现实情况都是不符的。 ( 3 ) 模型没有考虑红利因素。 1 2 期权定价的跳跃扩散模型 1 9 7 6 年默顿引入跳跃扩散过程，在股票价格几何运动之上加入各种跳跃， 跳跃以泊松过程给出，建立了著名的跳跃扩散模型1 3 1 。 假设股票价格s 满足： 了d s = 。一触) 办+ a 比+ 由 其中出是维纳过程，由是产生跳跃的泊松过程，仃是几何布朗运动，并假设出 和由相互独立。 假设正态分布的标准差为万，求得欧式看涨期权价格为： c = 妻鼍竽n - - 0 一 一- o ” ，： 其中f - t f = a ( 1 + 七) ，变量五是b s 期权价格，相应的瞬态方差率为： ，刀万2 仃+ f 2 硕士学位论文第一章绪论 无风险利率为： 其中厂= h 0 + k ) 。 ，一舭+ 型， f 1 3 可转债及其最小价值理论 可转换债券( c o n v e r t i b l eb o n d ) 1 4 1 简称可转债或转债是一种介于债券和股票 之间的可转换融资工具，最早起源于美国。1 8 4 3 年纽约益利铁路公司( n e w y o r k e r i c ) 首次向社会发行可转债筹集资本，开创了美国发行可转债的先例1 9 l 。1 9 世 纪末2 0 世纪初可转债曾引起全世界的的广泛关注，一度占到发行公司债券的 4 0 。由于2 0 世纪3 0 年代初期的金融危机以及世界大战的影响，可转债又几乎 销声匿迹。2 0 世纪7 0 年代以来主要发达国家持续通货膨胀，从而使投资者转向 能够保护自己收益的投资工具也使筹资者寻求更有效的融资渠道，而低风险高收 益的可转债能够满足双方的需求，因此得到了筹资者和投资者的青睐。 我国可转债市场起步较晚，发展过程也颇为曲折，1 9 9 2 年，我国深圳宝安集 团在国内证券市场公开发行了第一只可转债，进行了有意义的尝试。1 9 9 3 年1 1 月中纺机b 股在境外( 瑞士) 发行了可转债，此后，深南玻b 股、镇海炼油、中 国移动、t c l 多媒体也在国际资本市场上发行了可转债。而在2 0 0 3 年，可转债 超过增发和配股首次成为中国证券市场最主要的再融资品种。 我们从两个途径来对可转债的价值进行评估，其一就是将可转债视为普通 债券，不考虑转股，这时可转债的价值就是各期现金流量的贴现值之和，该值称 为可转债的纯债价值( p u r eb o n dv a l u e ) 或直接价值( s t r a i g h tv a l u e ) ：其二是将 可转债以当前标的股票的价格转换时所能得到的价值，该值称为可转债的转换价 值( c o n v e r s i o nv a l u e ) 或平价( p a r i t yv a l u e ) 卯。 ( 一) 转换价值 可转债的转换价值就是直接转换成股票的价值哪! ，其计算公式为： 转换价值= 股票时价转换比率 显然，当转股价格或转换比率未做调整时，转换价值的变化唯一与标的股票 价格有关，因此转换价值变化趋势的分析应与标的股票价格的分析相同。例如， 桂冠转债的最新转股价为5 8 9 元，而2 0 0 7 年8 月2 4 日桂冠电力的收盘价格是 1 4 7 9 元，所以其转股价值为2 5 0 9 9 元。当天桂冠转债的市场收盘价为2 5 6 8 8 元。一般来说，可转债的价格不可能低于其转换价值，因为一旦可转债的价格一 旦低于其转换价值，就会出现无风险套利的行为。 ( 二) 纯债价值 3 硕士学位论文 第一章绪论 不管可转债的市场价格如何波动，而到期还本以及每年付息是固定的，那 么，可转债就存在一个相对固定的纯债价值，进而影响可转债的市场价格。最明 显的例子就是，如果股票价格远远低于转股价格，可转债转换成股票的可能性就 越来越小，在这种情形下，可转债的价格对股票波动反映也越来越弱，当股价跌 到一定幅度，转换价格将会保持在一定水平不再下跌，这个水平就由可转债的纯 债价值所决定，通常被称为是可转债的债券底价( b o n df l o o r ) 1 5 1 。 可转债的纯债价值是指倘若它永不被转换的话，每份可转债的价值，也即把 可转债的转换期权取消，作为普通债券的价值。因此，可转债的纯债价值就是可 转债的所有未来现金流( 包括利息和本金) 的市场利率贴现价值，它其实是可比 普通债券的理论价值。 纯债价值是个估计值，它依赖于市场利率，市场利率上升时，纯债价值下 跌；市场利率下降时，纯债价值上升。实际计算中，主要困难是确定市场利率， 一般用相同经营业绩、相同资信等级的普通债券的收益率或市场平均收益率代 替。另有一些债券不进行任何周期性息票支付，而是把到期价值和购买价格之间 的差额作为投资者得到的利息，这些债券称为零息票债券。 ( 三) 最小价值原理 对于投资者来说，他总是把可转债的纯债价值与转换价值中最高的一个作 为可转债价值的低限，这是因为：按照相对价值评估准则，可转债的价值不应该 低于等量普通债券和等量标的股票的价值，否则存在套利机会；这也就是说，可 转债的底价是其纯债价值与转换价值中的最大者。人们通常把该原理称为可转债 的最小价值原理f 4 l 。最小价值原理是我们判断可转债价值最简单和最便利的方 法。 1 4 论文的主要内容和结构 随着我国经济的不断发展，金融行业也得到了长足的进步。在经历了亚洲 金融危机等重大金融事件后，中国金融市场正在逐渐走向强大，也在不断的成熟 起来，它的功效也在不断的体现出来。作为金融产品的创新，在上世纪九十年代 可转债在中国金融市场已经成为了上市公司再融资的一条重要的渠道。自然对其 进行合理定价就提上了日程。为此，本文对可转债的定价模型进行了深入研究， 具体结构为： 第一、二章为第一部分。主要介绍了期权以及可转债定价的一些基础知识， 为后文的展开做铺垫： 第三章为第二部分，给出了期权定价的早期模型，即简单组合或是欧式期 权加债券方法； 4 硕士学位论文第一章绪论 第四章为第三部分，主要内容是对可转债定价模型的现代研究，即二叉树、 有限差分等数值计算模型以及带有信用风险的定价模型研究； 第五章是第四部分，基于不可达未定权益的定价，给出了一个带有信用风 险的新的可转债定价模型。 硕士学位论文第二章可转债定价基础知识 第二章可转债定价基础知识 2 1 证券价格变化过程与伊藤引理 2 1 1 普通布朗运动 为了得到普通的布朗运动【3 1 ，我们必须引入两个概念：漂移率和方差率。漂移 率( d r i t t r a t e ) 是指单位时间内变量z 均值的变化值。方差率( v a r i a n c er a t e ) 是指 单位时间的方差。 标准布朗运动1 的漂移率为0 ，方差率为1 0 。漂移率为0 意味着在未来任 意时刻z 的均值都等于它的当前值。方差为1 0 意味着在一段长度为丁的时间段 后，z 的方差为1 0 x t 。我们令漂移率的期望值为a ，方差率的期望值为b 2 ，就 可得到变量x 的普通布朗运动： 凼= 砌+ 6 如 ( 2 1 1 ) 其中，a 和6 均为常数，出遵循标准布朗运动。这个过程指出变量x 关于时 间和出的动态过程。其中第一项a d t 为确定项，它意味着x 的期望漂移率是每单 位时间为a 。第二项b d z 是随机项，它表明对x 的动态过程添加的噪音【4 5 1 。这种 噪音是由维纳过程的b 倍给出的。 2 1 2 伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x 的漂移率和方差率当 作变量工和时间，的函数，我们可以从式( 2 1 1 ) 得到伊藤过程【6 1 ( i t o p r o c s s ) ： d x = a ( x , t ) d t + b ( x ，t ) d z ( 2 1 2 ) 其中，出是一个标准布朗运动，a 、6 是变量x 和f 的函数，变量x 的漂移 率为a ，方差为b 2 。 2 1 3 证券价格的变化过程 t - ”f i ： 证券价格的变化过程可以用漂移率为s 、方差率为仃2 s 2 的伊藤过程来表 两边同除以s 得： d s = i u s d t + t r s d z 塑= 西+ 盯出 了= 讲+ 盯比 6 ( 2 1 3 ) 硕士学位论文第二章可转债定价基础知识 其中，s 表示证券价格，表示证券价格在单位时间内以连续复利表示的期望收 益率( 又称为预期收益率m 1 ) ，矿2 表示证券收益率单位时间的方差，仃表示证 券收益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率( v o l a t i l i t y ) ，d z 表示标准 布朗运动。式( 2 1 3 ) 又被称为几何布朗运动1 4 7 - m i 。 从式( 2 1 3 ) 可知，在短时间a ，后，证券价格比率的变化值- 硝j - - 为： 了a s ：p a t + 傩i 了2 傩、“ 可见，等也具有正态分布特征，其均值为“，标准差为矿石，方差为仃2 “， 则： i a s 一矽( 心，盯厄) ( 2 1 4 ) 其中，( 班，s ) 表示均值为掰，标准差为s 的正态分布。 在式( 2 1 3 ) 中，我们涉及两个符号：和盯，其大小取决于时间计量单位。 在本章，若无特别说明，我们以年为时间的计量单位。 2 1 4 伊藤引理 在伊藤过程【6 】的基础上，伊藤进一步推导出：若变量x 遵循伊藤过程，。则 变量x 和，的函数将遵循以下过程： 粥：f 塑口+ 塑+ ! 粤6 z1 破+ 塑b d z ( 2 1 5 ) i 苏劣2 玉2j缸 其中，如是一个标准布朗运动。由于墨o x 口+ 掣o t + 三窘6 2 和孚o x6 都是x 和f 的函z ( 力c 一 数，因此函数g 也遵循伊藤过程，它的漂移率为篆口+ 詈毛等6 2 ，方差率为 幽b 。 式( 2 1 5 ) 就是著名的伊藤引理。 从式( 2 1 2 ) 中，我们可得： 舔= l z s d t + c r s d x ( 2 1 6 ) 其中，和仃是常数。我们知道。衍生证券的价格是标的证券价格s 和时间 f 的函数。根据伊藤引理，衍生证券的价格g 应遵循如下过程： 硕士学位论文第二章可转债定价基础知识 粥= ( 暑筇+ 詈+ 三2 等枷2 ) 西+ 暑仃姚 c 2 7 ) i 苏。 西叙2 j 苏 。 比较式( 2 1 6 ) 和式( 2 1 7 ) 可看出，衍生证券价格g 和标的证券价格s 都 受同一个不确定性来源d z 的影响。 2 2 期权定价的有限差分法 程 该方法的主要思想就是应用有限差分方法【7 1 将衍生证券所满足的偏微分方 鲁+ 山22 s 2 警= 矿 文a sa s z 。 转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近等、芸和窘各项，之后用迭 代法求解，得到期权价值。 为了方便说明，下面使用一个无红利股票的美式看跌期权作为例子。 2 2 1 差分近似 ( 1 ) 篓的近似 o s 对于方格内部的点g ，) ，期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分 【s 1 1 来表示： ：! 二五，五4 二五鲤和互：生! 二兰 ss2 a s 这三种逼近方法分别称为前向、后向和中心差分近似，应用泰勒展式可发现前向 和后向差分近似的误差均为a s 的高阶无穷小“s ) 而中心差分的误差则为 o “s 2 ) ，精确度更高。因此，大多数时候我们采用中心差分来逼近娑。 珊 ( 2 ) 善的近似 对于点( f ，j f ) 处的o 万f ，我们则采取前向差分近似以使f “时刻的值和o + 1 ) “ 8 硕士学位论文第二章可转债定价基础知识 时刻的值相关联： 望：五! ：二五 a lo 这一近似的误差是d ( f ) ，可以进一步改进。但是在这里，这样的精确度已经足 够了。 ( 3 ) 害的近似 点( f ，j + 1 ) 处的芸的后向差分近似为五气 五，因此点( f ，_ ，) 处期权价值对 标的资产价格的二阶差分为 。 a 2 厂 二- = 西2 垒查垒蒸 a j ：墨：! 二堑 a s 2 这个二阶差分也是中心差分，其误差为o ( a s 2 ) 。 2 2 2 差分方程 其中 把以上三个近似代入布莱克舒尔斯偏微分方程i l j ，整理得到： a i l l i i 、bj j l 3 七c 。l l 。j a = ，氓j 乃= 吾巧厶，一j 1 2 歹2 “，屯= 1 + 仃2 ，2 “+ ，4 ，c j = - lf l 。一互1 仃2 2 4 f = 0 l ，n - 1 ，j = 0 , 1 ，m - 1 。 由于篓和箕使用中心差分，所以整个方程的误差为o ( m , a s 2 ) 。 o so s 2 。2 3 边界条件 ( 1 ) 从到期时刻的期权回报值可以得到边界f = t 上所有格点的期权价值。r 时 刻看跌期权的价值为 目= m a x x 一品，0 】 其中，s = s ，j = 0 , 1 ，m 。 9 硕士学位论文第二章可转债定价基础知识 ( 2 ) 当股票价格为零时，看跌期权的价值为x ，由此可以得到下方边界s = 0 上 所有格点的期权价值： 厶= x ，f = 0 ，1 ，n 。 ( 3 ) 当股票价格趋于无穷时，看跌期权的价值趋于零。可以近似认为上方边界 s = 趾上 = o ，江o ，l ，n 2 2 4 求解期权价值 已知差分方程和三个边界条件之后，我们的目的是求出格点图左边界磊，的 价值，其中的一个格点就是我们要求的期权价值。利用方程和边界条件，我们可 以写出( 一1 ) a t 时刻的膨一1 个联立方程l o j ，n b j 3 w j c i j n 喜n = i 幢j 其中，歹 1 9 q 9 m - 1 ，和_ ，毒。时 - 1 o 毒x ，j 薯材时 - l j ，皇o 由此，可以解出每个兀。，的期权价值，然后再与每个格点的期权内在价值 x j a s 进行比较，判断是否要提前执行，从而得到( 一l 沁时刻每个格点的期 权价值。以此类推，最后可以计算出兀，当j - $ 等于初始资产价格时，该点对 应的厂就是我们要求的期权价值。 2 3 离散金融市场中的( b ，s ) - 市场模型 我们考虑( 一组) 两个随机差分方程1 2 1 1 分别描述无风险资产b 和风险资产 s ： 麓三恕 亿3 蝇# 成瓯 。 进一步考虑随机基( g ，( 甩，力是离散的。q 只含有有限个元素| q i 0 的概率为正。 。： 一个套利策略就是提供了一个在没有任何风险的情况下可以获得利润的机 把这一类策略记为s 。 定义2 3 3 1 2 l 】一个与测度p 等价的概率测度尸被称为鞅测度或风险中性 测度，如果随机序列( 最鼠) 刺是关于p 的鞅。鞅测度集合记为p 。 定理2 3 4 2 1 1 ( 鞅测度的判别定理) 在毋，s ) - 市场模型( 2 3 1 ) 中，假设 随机序列( r n ) n 州是可料的，且厶 一l ，则对于测度尸 耻妾是一个鞅营( 茎( 以，n ) k 是一个鞅。 定理2 3 5 2 q 假设在( b s ) - 市场模型( 2 3 1 ) 中，随机序列 ( ) 打“( - 1 ，刀) 是确定的，则 p 营咒西= 定义2 3 6 1 称定义在离散滤子空间( q ，f ，( f ) 。，p ) ，i q i o ol - _ f 约( b ，s ) 一 硕士学位论文第二章可转债定价基础知识 市场是完备的，如果对任何f 可测的函数f = f ( r o ) ，存在一个策略万s f ，其 终值可以复制厂，即群= f ( r o ) ，国q 。 对于( b ，s ) 一市场的完备性有如下的定理： 定理2 3 7 【2 l l 假设鞅测度集p 是非空的，并设，p 则下列命题是等 价的： 1 ，s ) - 市场是完备的。 2 鞅测度集合p 只有一个元素。 3 每一个鞅，e ，) ，o s n s 都可以表示为： 帆= m 。+ 窆扎佃灿t ， ( 2 3 3 ) i 暑i 其中随机变量以徊) 是最q 可测的，r a n , 。= 瓯匿1 一& 一。b 。- d 。 由于m k = 瓯q b ：( 风- ) ，由定理2 3 4 ，( 2 3 3 ) 式等价于表达式 其中元；y k s , 一。b ：ee - l 。 2 4 本章小结 也- m o + 无( a 九) ( 2 3 4 ) 本章介绍了一些可转债定价方面的经典概念理论和方法，为后面各章的理论 基础。 1 2 硕士学位论文 第三章可转债定价模型的早期研究 第三章可转债定价模型的早期研究 3 1 期权特征主导型的定价模型 这是主要采用b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型【i 】对可转换债券定价的一种方法。 作为兼具债券与股票期权双重特性的衍生产品，可转换债券的价值由两部分构 成，分别是纯债券价值和股票期权价值，由于目前股市波动较大，因此可转换债 券的价值就主要依附相应标的股票价格。并受到股市冷热的影响。 作为一种衍生证券，一般的可转换债券具有普通债券和美式看涨期权的双 重特性，其价值m 由两部分构成【3 8 】：债券本身的价值b ( 纯债价值) 和可转换 债券内涵的看涨期权的价值c ( 期权价值) ，因此可转换债券的价值可简单地表 示为 m ：b + c( 3 1 1 ) 3 。1 1 关于纯债券价值丑的确定 可转换债券所具有的纯债价值或直接债券价值，是指如果可转换债券不具有 转换权，它同样拥有与普遍公司债券相同的投资价值。可转换债券相当于普通债 券部分的价值等于投资者持有债券期间能够获得的现金流的贴现值，将根据可转 换债券的票面利率、票面金额、剩余期限，还本付息方式等有关债券信息，按照 相同期限、相同信用级别但不附加转换等期权的企业债券的投资者期望收益率作 为折现率进行折现计算。由于债券价值是一个动态概念，因此，下面绘出的直接 债券价值曰是以时间t 为自变量的，曰( f ) 表示可转换债券在时点r 的纯债价值部 分，其计算公式如下 一f - kr d 烈f ) ：y 丛粤0 f n ；i ：o ，l ，2 ，靠一t 一七 ( 3 1 2 ) 一 一i = 0 ( 1 + ) ” 式中：+ 。表示可转换债券在时点i + k 时所需支付的利息：& 。表示可转换债券 在时点i + k 时所需支付的本金( 注意：这里按照我国一年一次还本付息的惯例做 了还本付息方式的假定) ；r o 表示折现率( 从理论上讲，应该是与可转换债券 风险等级相同的同期限普遍公司债券收益率，如果没有可以比较的公司债券收益 率，也可以用市场平均利率替代。按理在不同时点，投资者期望的报酬率水平是 不同的，在此我们假定了一个恒定的期望收益率水平，仅是为了阐述问题的便利， 其大小变化对可转换债券纯债价值的影响是反向的，从实际定价角度讲，我们选 硕士学位论文第三章可转债定价模型的早期研究 择了与该可转换债券信用等级相同、期限相同的同类企业债券的发行利率作为折 现率，在这种不附转换条款但信用等级与可转换债券相同的同类债券按面值发 行情况下，发行利率也代表了投资者对该种债券投资的期望收益率，这时选择 ，：- 为折现率是合理的) ；甩表示债券期限；七表示从时点r 起至下一次支付日( 付 息或还本) 不足一年的时间( 单位为年，0 七 1 ) ，拧一f 表示从现在起至到期日 的剩余年限。- - 可见，在运用公式( 3 1 2 ) 计算可转换债券中相当于普通债券的纯债价值b ( t ) 时，其原理与普遍债券价值计算原理完全一致，其难点在于折现率的选择，一 般可以用相同业绩水平、相同风险等级的普遍公司债券的收益率或者市场平均收 益率【，习来确定，一定条件下，还可直接按其市场发行利率来确定。 3 1 2 关于所附期权价值c 的确定 为了简便起见。我们假定可转换债券是不可赎回的，标的股票在可转换债 发行日至到期日前不分配现金股利 假设可转换债券各项要素分别是t 期限以年、面值为尹、年利率为，、每年 末支付利息，债券契约还规定在可转换债券发行，l ( 0 成立，其中，f 是关于鞅测度尸的均值。且设对于任一未定权益， 其相应的自融资策略集为： 胆u ，忉= t r s f ：f z - e z 。 定义5 1 1 给定一个美式未定权益厂= ( z ) 一鲥和一个显著性水平口( 0 ，1 ) ， 如果对于p = p 和p = p 都有 p 7 鬈z 1 - a ( 5 1 1 ) 成立，则我们称万s f ( f , i v ) 是u ，) 的一个c t - ( x , f ，忉一保值策略。 这里，将口一保值策略的全体记为 ，厂，口) 。 定义5 1 2 考虑一个自融资策略万s f u ，忉，如果存在一个停时f 使得 下式 p ( f ( 功= z ( ) ) = 1 一口， v r o 1 成立，则称万为一个口一最小策略。 定义5 1 3 假设忉是一个美式未定权益，则它的口一价格i s 为 c ( ，口) = i n f x 0 ：( 五，n ，口) a ) ( 5 1 2 ) 类似于参考文献 2 l 】，这里只给出的是美式未定权益口一价格的定义，我们 很难利用这个定义来求出一个美式未定权益口一价格的确切值，为了得到口一价 格的计算公式，我们有 定理5 1 4 美式未定权益( 奶的口一价格为( 1 一a ) c ，其中c 是该美式未定 权益在p f - f a = l 时的公平价格。 硕士学位论文第五章依概率可达未定权益的定价 证明：首先，我们证明对于任意的投资组合万s f c f , 忉都有 凡鬈) 等， ( 5 1 3 ) 其中f 。是最优停时，c = e ( u ) 是美式未定权益的公平价格。 式： 事实上，由切比雪夫不等式、自融资策略的定义和，的鞅性，就得到t ( 5 1 3 ) p 霉 = p 鬈一乃+ 昱厶2 互乃 - _ p z 旯 = l 一口 ( 5 1 8 ) 最后，结合式( 5 1 4 ) ，( 5 。1 5 ) 和( 5 。1 7 ) 可得 尸 霹2 矗= e 峰坼，z f 2 e * k 坼 包战 z f 2 ( 1 - o r ) 1 - o r 。 ( 5 1 9 ) 由( 5 1 8 ) 和( 5 1 9 ) 式知，关于条件( 5 1 1 ) 成立。故是一个口一( ( 1 一口) c ， 忉一 保值策略。 又因策略的初值为 x = 聍= 恶，e 1 ( u ) z k 珥 o s f 5 ”1 - ，” = ( 1 一口) s u pe 1 ( ( ，) ， 其折现值为 m 挈= x | b 。 由鞅表示定理，聊可以写为 研= 埘+ 杰警( 眦) ( 5 1 1 0 k - ! ) d k 这里，虻= 元反硭。五，( 元) 是一可料序列。 则，令 弘s u pe ( 警i 正 ， 廊“l 乓 显然，k 是关于p 的上鞅2 n 。根据d o o b 分解，有 艺= 心一4 i ( p - a $ ) ， 此处膨= ( 鸠l 姘( 心= t o ) 是一个鞅，彳= ( 4 ，) 。“( 4 = o ) 是一个非降可料随 机序列1 2 q 。 4 1 硕士学位论文 第五章依概率可达未定权益的定价 因为( b ，s ) 一市场( 2 3 1 ) 是完备的，故由鞅表示定理 心= + 喜警( 展刊， ( 5 1 1 1 ) 比较( 5 1 1 0 ) 式和( 5 1 1 1 ) 式易知 m = m 。，扎no 因此 砰= 岈e = 鸠玩= ( k + 4 ) 色 淝= 酬s u p 警i 卜 = s u pe ( c ：- 1 ( u ) 毛( u ) z 母珥 i 正) ( 5 1 1 2 ) n w y ， l f f ， 由匕的定义，在随机区间【0 ，f 】上有 k ( 缈) = e ( e i 五) ，4 ( 缈) = o 。 由( 5 1 1 2 ) 式易知，在同样一个区间【0 ，f 】上 砰( 缈) = 。s u pe ( 1 ( u ) 巳( u ) z 母旗 i 正) 。 一t i r - ， ， 考虑到f 的定义和k 在区间【0 ，f 】上的鞅性f 2 l l ，以及 4 = ：d ( k 一- e ( y ki 五一，) ) ，可知冬( 功= o 。 所以 p 彳，( 缈) = ( 国) 芝( 缈) = 乃( 彩) ) = l 一口。 ( 5 1 1 3 ) 故是口一最小保值策略。证毕。 系5 1 5 在一个完备的( b ，s ) 一市场条件下，若给定风险承受度【2 4 1 口( 0 ，1 ) 后，可以( 1 一a ) c 的初始资产来对未定权益进行套期保值【2 5 l ，这里c 是未定权益 的公平价格即对其进行完全套期保值时所需的初始资产。 注5 1 6 ：这里，未定权益可以是欧式的或是美式的，欧式的情形已经由 m e l n i k o v t 2 ”证明，而美式的情形上文已经给出证明。 由上可知，我们可以某一正概率1 一口对未定权益进行套期保值，若假设以概 率1 对未定权益进行保值的初始资产为c ，那么，以概率1 一口进行保值所需初 始资产要比以概率l 对其进行保值时的初始资产少a c ，但此时必须承受水平【2 7 l 为口的风险。 硕士学位论文第五章依概率可达未定权益的定价 5 2 依概率可达未定权益的定价 上一节是对完备市场中的未定权益的定价和保值进行讨论，即给定一个风 险承受度我们可以某一正概率来对未定权益进行不完全定价和保值。然而要是某 一未定权益不可以被完全保值或不完全被保值的话，此时的市场就是不完备 的1 2 4 i 。那么对于完全不可被复制即不可达2 3 1 的未定权益，文献 2 3 1 、【2 4 1 、【2 5 】 等进行了讨论，可是还没有相关文献对依概率可达未定权益进行深入研究，为此， 受上述定理的启发我们对依概率可达未定权益的定价和保值进行了研究。先看下 面的一个例子 例5 2 1 考虑一个单时段市场模型1 2 3 i ，并假设初始时刻股价为l ，而在到 期时刻该模型中股价以概率口呈现三种价格走向，其中，可能以概率a 上涨到材 以概率岛下跌到d ，又可能以一小概率乜跳跃到j ，易知此时未定权益是不可以 被复制的即未定权益不可达。但是股价也可能以概率卜口呈现两种走向而没有 跳跃，即以概率硝上涨到站以概率磊下跌到d ，该情形下未定权益是可以被复 制即可达的。综上可知，该未定权益是依概率可达的。 那么，如何对这样的未定权益进行定价呢? 为此，我们有 定理5 2 2 假设某一未定权益依概率1 一口可达，则该未定权益的公平价格 三为 三= 击 ( ，一口) c ，+ a v = g ， 掣 其中c = ( 1 + ，) c ，v = ( 1 + ，) y ，c 是该未定权益以概率l 可达时的公平价格，y 是该未定权益不可达时的中性价格，而且f 是关于p ，的均值。 证明设e 是未定权益可达时的公平价格，y 是未定权益不可达时的中性价 格，而这里未定权益依某一正概率1 一口可达即依概率口不可达。所以，未定权 益的公平价格三就是c 和三关于p 的均值。 如果我们令 c = ( 1 + ，) c ，y 7 = ( 1 + ，- ) y 那么 三2 击 ( 1 - 口