（计算数学专业论文）基于全变差和小波方法的图像修补.pdf

摘要 数字图像修补是图像处理中的一个重要内容，主要利用一定的算法针对产 生划痕或有缺损的图像进行修补，或对图像中文本的去除、障碍物的去除以及 视频错误的隐藏，以达到特定的目的。该领域的研究，国外正在蓬勃发展，国 内尚处于起步阶段。 全文先介绍了研究背景、意义、国内外研究现状和应用前景，以及本文的 结构和创新点；接着详细介绍了基于p d e 的i n p a i n t i n g 模型和基于纹理合成的 i n p a i n t i n g 模型。 本文在对现有小波域图像修补模型进行分析研究的基础上，提出在小波域 中用h _ 1 范数代替在小波域中图像修补t v 模型中的2 范数，再用小波系数表 示日_ 1 范数，得到一个全新的图像修补模型，与t v 模型的修补方法相比，能 有效地改善图像修补的质量。 关键词：小波域图像修补日1 范数r r v 模型 a b s t r a c t i m a g ei n p a i n t i n gi sa ni m p o r t a n tp r o b l e mi ni m a g e p r o c e s s i n g t h em a i ng o a l i st or e s t o r et h ed a m a g e di m a g ec a u s e db yc r a c k so rs c r a t c h s ，a n dt or e m o v et h e o b j e c t so rd i s o c c l u s i o ni nc o m p u t e rv i s i o na n de r r o rc o n c e a li nv i d e o s i nr e c e n t y e a r s ，r e a c h e r sh a v ed e v e l o p e ds e v e r a lm e t h o d sf o ri m a g ei n p a i n t i n g h o w e v e ri n d e m e s t i c ，t h i sa r e ai sj u s ta td e v e l o p m e n ts t a g e t h i st h e s i si n t r o d u c e s t h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo fi m a g ei n p a i n t i n g t e c h n i q u e sa n dr e v i e w st h er e s e a r c hs t a t eb o t ha ta b r o a da n dd 锄e s t i c s o m e a p p l i c a t i o n so fi m a g ei n p a i n t i n ga l s oc a nb ef o u n d a n dt h e nw ed e m e n s l 勰t e s 也e p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nm e t h o d si nd e t a i l sa n ds u m m a r i z e st h ea d v a n t a g e so f t h i sk i n do fm o d e l s a l s ot h em o d e l sb a s e do nt e x t u r es y n t h e s i si ni m a g ei n p a i n t i n g f i l ed i s c u s s e d t h et h e s i sp u tt h ef o c u so n w a v e l e ti m a g ei n p a i n t i n gt e c h n i q u e s an e w v a r i a t i o n a li n p a i n t i n gm o d e li so b t a i n e db y r e p l a c i n gt h et vn o r mi n t ot h e h n o r mo fw a v e l e tc o e f f i c i e n t si nt h e iv i n p a i n t i n gm o d e l e x p e r i m e n t a lr e s u l t s s h o wt h a tb e t t e ri n p a i n t i n gq u a l i t i e sc a nb ea c h i e v e di no u rn e w m o d e l k e y w o r d ：w a v e l e td e m a i ni n p a i n t i n gh - 1 - n o r mt vm o d e l 西安电子科技大学 学位论文创新性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 埠 日期地：垄! ! 垒 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 本人签名： 导师签名： 日期丝fq ! 丕! 【墨 日期列1 2 ：z ，f 量 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 图像修补技术是一项古老的艺术，开始出现在欧洲文艺复兴时期，人们为了 恢复美术作品中丢失或被损坏的部分，并保持作品的整体效果，开始进行对中世 纪美术品的修补，主要是填补美术品上所出现的裂痕，这些工作被称为“r e t o u c h i n g ( 润饰) 或者“i n p a i n t i n g ( 修补) ”。随着美术博物馆的数字化，所有的真实作 品都被扫描到电脑里，人们只要通过计算机编码和软件就可以对这些数字化的图 像进行处理。手工修补要直接在原作品修改，数字图像修补技术则带来了极大的 自由，比如出现错误的时候或者逐步增强修补效果的时候，不需要破坏珍贵的原 画。毫无疑问，数字图像修补技术为修补古老的艺术作品提供了安全便捷的途径。 随着数字技术的不断发展和进步，数字图像技术在扫描仪、数码相机、数码 摄像机、数字电视、以及可收发图像的移动电话等数字产品中得到广泛应用。但 是，有很多因素会引起图像局部信息的缺损【l l ：( 1 ) 对原本就有划痕或有破损的图 片扫描后得到的图像；( 2 ) 为了某种特定目的而移走数字图像上的目标物体或文字 后留下的信息空白区；( 3 ) 在数字图像的获取、处理、压缩、传输和解压缩工程中， 因信息丢失所留下的信息缺损区等。为了保证图像信息的完整性，需要对这些受 损图像进行填充修补。所谓图像修补就是对图像信息缺损区域进行填充的过程， 其目的是恢复有信息缺损的图像，并使观察者无法察觉图像曾经缺损或已被恢复。 数字图像修补是填充图像内指定的破损区域的处理过程，是当前计算机图形 学，计算机视觉和图像处理的热点领域之一。这项技术已经被广泛用于各个领域， 包括医学图像的修补、文物的修补、犯罪现场的还原。数字图像修补技术的应用 范围远远不只是网上数字博物馆，随着技术的发展，越来越多的领域期望能够对 图像进行一定的修改，并且达到人眼觉察不出来的效果。因此，数字图像修补技 术成为当前计算机图形学和计算机视觉中的一个研究热点，在文物保护、影视特 技制作、多余目标物体剔除( 如视频图像中删除部分人物、文字、小标题等) 、图 像放缩、图像的有损压缩、视频通信的错误隐匿等方面有着重大的应用价值。虽 然目前采用某些图像处理软件，例如p h o t o s h o p 等，也可以对数字图像进行专业 的特效处理和对受损图像进行修补处理，但用户必须区分要修补的区域，并要仔 细考虑要填充什么样的颜色、格式和纹理，需要有经验的技术人员进行复杂的手 工处理。因此，迫切希望有一种自动、快速、简单的修补算法，轻松地修补图像。 b e r t a l m i o ，s a p i r o ，c a s e l l e s 和b a l l e s t e r 在2 0 0 0 年的一次学术会议上，首次 基于全变差和小波方法的图像修补 提出数字图像修补技术这个术语。现在，数字图像修补技术正在得到广泛的研究。 研究者们现在正在开发自动的图像修补技术，用户只需简单地选择要恢复的区域， 计算机自动完成余下的工作，从而显著地减少处理时间和精力。 当然，不管是数字的方式还是手工的方式，修补技术都只是尽可能地弥补图 像丢失的信息。在大多数情况下，对于怎样去填充一个裂缝，产生一个似是而非 的结果，解决的方案都有很多种，最终的是非判断还要依赖旁观者的眼睛。 1 2 数字图像修补技术的国内外研究现状 数字图像修补技术的发展主要集中在两个领域：基于非纹理结构的图像修补和 基于纹理结构的图像修补。数字图像修补技术发展方向基于非纹理结构的图像修 补技术，主要用于修补小尺度破损的数字图像。目前研究者多采用基于高阶偏微 分方程( p d e ) 模型的修补算法。其主要思想是，利用待修补区域的边缘信息，确定 扩散信息和扩散方向，从区域边界各向异性地向边界内扩散。该算法可以同时填 补多个包含不同结构和背景的区域，对待修补区的拓扑结构没有限制。这种基于 p d e 的数字修补技术最早是由b e r t a l m i o ，s a p i r o ，c a s e l l e s b e l l e s t e r i j i ) k 至0 图像处理中， 他们利用待修补区域的边缘信息，采用一种由粗到精的方法来估计等照度( i s o p h o t e ) 的方向，并采用传播机制将信息传播到待修补的区域内，得到了较好的修补效果。 另外，m a n o u 等人根据上述思想，提出了一种快速图像修补技术，在待修补区域边 界确定等照度线方向，用直线连接对应的等照度线，将待修补区邻域信息在等照 度线范围内扩散来填补待修补区域。这种方法对简单结构图像有较好的修补效果， 而且修补时间大大缩短。这类基于p d e 的修补典型方法还包括b s c b 模型、 c h a n - s h e n _ _ 三阶p d e 模拟c d d ( c u r v a t u r ed r i v e nd i f u s i o n s ) 等。在这类方法中，还有一 种是基于几何图像模型的变分修补技术。该类算法的主要思路是，模仿修补师的 手工修补过程。他们认为，修补一幅缺损图片主要依赖于两个因素：如何观察并 读懂图片的现存部分。用数学语言来描述，也就是建立图像的数据模型( d a t a m o d e l ) ；逗) 原始图片u 属于哪类图像。用数学语言来描述，也就是要知道图像的先验 模型( i m a g ep r i o rm o d e l ) 。通过建立图像的先验模型和数据模型，将修补问题转化 为一个泛函求极值的变分问题。这类算法主要包括整体变分( t o t a l v a r i a t i o n , t v ) 模 型、e u l e r se l a s t i c a 模型、m u m f o r d s h a h 模型、m u m f o r d s h a h - e u l e r 模型等由于偏 微分方程与变分法，可以通过变分原理相互等价推出，因此，把这一类方法统称 为基于变分p d e 的图像修补算法。基于纹理结构的图像修补技术，主要用于填充图 像中大块丢失的信息。目前，这一类技术也包含两种方法：一种是基于图像分解的 修补技术，其主要思想是将图像分解为结构部分和纹理部分，结构部分用修补算 法修补，纹理部分用纹理合成方法填充。近来，对于图像分解已提出了几种先进 第一章绪论 的技术。b e r t a l m i om 等利用v e s el 和o s h e rs 建立的模型来进行分解，首先用整 体变分最小化将图像的结构部分提取出来，然后用一个震动函数来建模纹理或噪 声部分。把图像分解成这两个部分以后，用b s c b 模型来修补结构部分，用非参数 采样纹理合成技术来填充纹理部分，最后把这两部分修补的结果叠加起来，就是 最终的修补图像。另一种是用基于样本的纹理合成技术，填充丢失的信息，此类 算法也称为图像补全( i m a g ec o m p l e t i o n ) 。该种算法的主要思想是，从待修补区域的 边界上选取一个像素点，以该点为中心，根据图像的纹理特征，选取大小合适的 纹理块，然后在待修补区域的周围寻找与之最相近的纹理匹配块，来替代该纹理 块。近几年，利用纹理合成来修补大块丢失信息的图像修补技术得到了相当的研 究，也取得了一些成果，由于数字图像修补技术是近几年提出的一个具有挑战性 的课题，国外的研究正处于初步阶段，国内很少有这方面的文献。 1 3 本文的主要工作 本文对小波域中的t vi n p a i n t i n g 进行了改进，引用的理论已在去噪的模型中 取得很好的效果【3 7 j 。新的模型对图像有很好的修补效果，特别对含噪声图像， 在修补的同时，也能取到很好的去噪效果。 全文共分为五章，各章内容如下： 第一章分析了图像修补的研究背景及意义；简述国内外的图像修补的研究现 状；本章最后介绍了本文的主要工作和具体章节及论文安排。 第二章概括介绍了尺度空间理论和小波分析理论。介绍了多分辨分析理论的 框架、小波变换理论、小波变换的快速实现算法( m a i l a t 算法) 以及b e s o v 图像。 第三章介绍了空域中的几种图像修补方法一基于p d e 模型的i n p a i n t i n g 和 纹理合成的i n p a i n t i n g 。讲述了各种模型的建立及各自优缺点。 第四章在对现有小波域图像修补模型进行分析研究的基础上，提出了用日。1 范数代替在小波域中图像修补t v 模型中的2 范数，再用小波系数表示日一范数， 得到一个全新的图像修补模型。根据建立的修补模型，利用变分原理推导出对应 的e u l e r - l a g r a n g e 方程，建立与之对应的扩散方程。利用有限差分方法实现扩散 方程的数值求解，进而给出数值实现方案，以及具体的算法步骤。实例表明新模 型与t v 模型的修补方法相比，有效的改善了图像修补的质量。 第五章对全文进行总结并对下一步工作进行了展望。 第二章小波分析理论基础 5 第二章小波分析理论基础 小波分析是自1 9 8 6 年以来由y m e y e r 、s m a l l a t 及l d a u b e c h i e s 等人的奠基 工作而迅速发展起来的并与信号处理紧密相连的一个新兴的数学分支，它是在傅 里叶分析的基础上发展起来的，它既保留了傅里叶分析的优点，又弥补了傅里叶 分析的一些不足。傅里叶分析是分析平稳信号的理想工具，而对于非平稳信号， 傅里叶分析无法描述信号的局部频率特征，而小波分析是用时域和频域的联合表 示信号的特征，是分析非平稳信号的有力工具。与傅里叶分析相比，小波分析有 着本质的进步。 小波变换是空间( 时间) 和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信 息，通过伸缩、平移等运算功能对信号进行多尺度细化分析，也叫多分辨分析， 解决了傅里叶分析不能解决的许多困难问题，被誉为“数学显微镜 ，它的快速算 法为分析和解决实际问题带来了极大的方便，目前在语音、图像、图形、通信、 地震、生物医学、机械震动，计算机视觉等领域都有很好的应用。小波分析是目 前国际公认的信号与信息处理领域、图像处理领域的高新技术，是信号和图像处 理的前沿课题和研究热点，在信号滤波、图像去噪、图像压缩、图像边缘检测、 图像融合等领域有着广泛的应用。 2 1 多分辨分析2 5 】 19 8 8 年，m a l l a t 与m e y e r 合作提出了多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n - a n a l y s i s ， 简称m r a ) 的框架，其主要思想是将r ( r ) 分解为一串具有不同分辨率的子空间 序列。该子空间序列的极限就是r ( r ) ，然后将r ( r ) 中的f 描述为具有一系列 近似函数的逼近极限，其中每一个近似函数都是厂在不同分辨率子空间上的投影 通过这些投影可以分析和研究厂在不同分辨率子空间上的性态和特征，这也就是 多分辨分析这个名字的由来。 定义2 1 ：设 巧 j e z 是r ( 尺) 的一串闭子空间序列，如果满足以下五条，则称 巧) 越 为r ( r ) 的一个m r a ： ( 1 ) 一致单调性： 匕c 匕+ l ( 2 ) 平移不变性： 6 基于全变差和小波方法的图像修补 ( 3 ) ( 4 ) j au ( x ) 杉u ( x k ) 巧 二进制伸缩相关性： 若甜( x ) 巧甜( 2 x ) v j + i ，u2 x ) ， 逼近性： u 匕= r ( r ) ，n 巧= 0 ) ( 5 ) r i e s e 基的存在性： 存在g z o ，使 g ( x 一后) ) 七z 是的r i e s e 基。 从定义2 1 的条件( 1 ) 中可以看出，闭子空间序列 y ， 是一个包含一个的，有条 件( 4 ) 可知他们的极限位置： r ( 尺) 3 二二，3 巧3 巧一3 ，二二3 0 ) 从定义2 1 的条件( 2 ) 可以看出，当固定在同一子空间中，可有一个基函数g ( x ) ( 称为尺度度函数) 通过平移得到该子空间的基 g ( x 一七) ) 眦。 由定义的条件( 3 ) 可知，任何两相邻子空间之间相差一个二进分辨率，也就 是说，只要知道了任何一个子空间的基，就可通过分辨率的二进伸缩，立即得到 相邻子空间中的基，因而也就可以得到所有子空间的基。可推出g ( x ) 满足双尺度 方程 g ( x 2 ) = h k g ( x - k ) ( 2 1 ) 丘z 通过定义的条件( 5 ) ，我们可以通过r i e s e 基的规范正交化构造出v o 中的规范正 交基，因而可以构造出所有的巧( 歹z ) 中的规范正交基。但因为 巧 艘不是 r ( r ) 的正交分解( 而是单调的嵌套子空间序y u ) ，所以不可能有巧( z ) 中的 基来合成r ( 尺) 的规范正交基。因此，m r a 进一步的工作是要从屹( z ) 通过 正交补的方法构造出r ( r ) 的正交分解子空间序列 杉) 愆( 形。巧= 巧+ - ) ，即所 谓的小波子空间序列。具体的做法是要从巧的基构造出形的基，然后合成全空间 r ( 尺) 的基小波基。 并满足 r ( 尺) = ，旦 o 匕= 巧+ 称是巧在巧+ 。中的正交补，e ( a ) 的正交分解图如图一所示 第二章小波分析理论基础 图2 1 r ( r ) 的正交分解图 图2 2 给出有关r ( 尺) 的塔式分解( 取，充分大) 。其中圪。上矿。，上， 因为w l ，所以有矽l 上。 f i 翌巧哼 尹，r 图2 2r ( 尺) 的塔式分解 若 巧 ( = ，j - 1 ，j - 2 ，以) ( 满足多分辨分析的定义条件) 中相应的尺度函 数( s c a l i n gf u n c t i o n ) 为妒( x ) 由它生成的基的一般格式为 哆，七( x ) = 2 薹9 ( 2 - ，石一叱z 于是有， 巧= s p 口纷 哆，盂 磁 w o 中相应的基函数l f ，( x ) ，成为小波函数( w a v e l e tf u n c t i o n ) ，由它生成的 ( x ) = 2 2 y ( 2 j x - k ) 似z ( 2 - 4 ) 能构成彬的规范正交基，即= s p a 玎 v ， ) 。z ，这时称具有2 7 分辨率的小波 子空间。 于航r ( 尺) = 册p y ( 2 - ，x - k ) ：灿z ) ， 吆e 、 专 珞e 专；圪卧既 寸 k e 一 号 毋 劭 筇 p p 8 基于全变差和小波方法的图像修补 忑1y = k z g k 吣叫( 2 - 6 ) 其中，= 仕吣) 州“) ， 由傅氏变躲击( 2 考) ) = 荟万瞄 ( 2 - 8 ) 设7 ( 考) = 百1 p 一粥( 称( 考) 为传递函数) 。 n 二t e z 定理2 1 ：如果9 ( x ) 为尺度函数，( 考) 以2 z r 为周期的函数( 考) 称为低通 滤波器。其中= 击吣) 叫“) ) = 西1e y 而砸称为高通滤 波器的脉冲响应。传递函数( 善) 必满足： 性质1 ：1 ( 饼+ i ( 考+ 万) 1 2 = 1 性质2 ：( 0 ) = 1 定理2 2 ：设 巧) 脚为r ( 尺) 的一个眦，记为 w lo 圪l = v o 则存在y - ( x ) ，使。( x 一2 七) ) 。e z 为肜。的规范正交基。令i f ，( x ) = 动。( 2 x ) ，则 y 似= 2 薹y ( 2 _ ，x 一后) ) ，熘为r ( r ) 的规范正交基。 经过上述的过程，我们就构造出了r ( r ) 的规范正交基小波基。其时域的表 达式为 y ( x ) = ( 一1 ) 七慨9 ( 2 x + 后+ 1 ) ( 2 - 9 ) 足z 所以多分辨分析为小波基、尺度函数和小波函数的构造及分析的应用提供了 统一的框架，是小波分析的核心，小波多分辨分析以其特有的方式将小波函数和 尺度函数、两个特定的空间序列、双尺度方程和相应的滤波器组联系在一起。有 第二章小波分析理论基础 9 了尺度函数，小波函数的导出就容易了。但实际上大多数尺度函数无显式表达式， 它们只能通过选择系数忽作为式( 2 - 1 ) 的解来定义的，在实际应用中常采用这个 方法。所以由( 2 1 ) 、( 2 6 ) 、( 2 9 ) 式就可以确定小波基了。 2 2 连续小波变换 设i f ，( f ) r ( r ) 其傅里叶变换为l ：f ，( ) ，当y ( 国) 满足容许条件( 完全重构或 恒等变分条件) q = e 2 d 国 1 ， o 且应适当选择 使信息能覆盖全时间轴而不丢失，对应的离散小波为 叫f ) _ 菇( 半 = i ( 础一线) 。( 2 1 5 ) 信号x ( t 1 的离散小波系数为 q 广e x ( f 廊= ( w 肼) ( 2 - 1 6 ) 重构公式为 x ( f ) = q ，。y m ( 2 1 7 ) 通常取a o = 2 ，b o = 1 的二进离散小波，即： v j , k ( f ) = 2 么i v ( 2 - j 矿一后) ( 2 1 8 ) 二进小波将频率轴按二进制离散化，具有许多优良特性，是离散小波中最为 常用的一种形式。二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度因子a 进 行了离散化，而对时间域上的平移因子b 仍保持连续变化，因此二进小波不破坏 信号在时间域上的平移不变性。 2 4m a l l a t 算法和二维小波变换 1 9 8 9 年，m a l l a t 在图像分解和重构的塔式算法启示下，基于多分辨分析框架， 提出了m a l l a t 算法。该算法大大简化了小波系数的计算，在小波分析中的地位就 相当于f f t 算法在经典傅里叶分析中的地位，为小波的应用开辟了一条捷径。下 面我们给出m a l l a t 算法的基本思想和一些重要公式。 假定多分辨分析 巧j ，z 中的 缈( x 一七) j 七：是标准正交的，对应的小波基函 数为l f ，r ( r ) 。由于 y 卅j ，i e z 构成了r ( 尺) 一组标准正交基，因而对任给的函 1 2 茎王全銮茎塑尘婆查鎏箜堕堡堡主! _ _ - _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ 一一 数( 信号) f l 2 ( r ) ，都可以用舻) 卅。z 来分析。因为对于某一特定的信号总 是只具有有限的分辨率，所以可以假定厂巧，巧= s p 口，z ) ”z ，为一确 定的整数，并由巧= r ( 尺) 因此有厂( x ) = q ，七仍，七 ( 2 1 9 ) 七z 喜t , c j ，七= ，上式称为厂( x ) 的尺度函数展开表示。由多分辨分析知 巧= 一。0 巧一。= = 一。0 一2o o 一mo 巧一膨 故厂( 工) 又可以表示为 厂( x ) = 乃，七l f ，肪+ q 一肘吼毗七( 2 - 2 0 ) j 一 f 歹 ，式( 2 - 2 0 ) 为厂( x ) 的小波级数展开表示。若记 则式( 2 2 0 ) x 可写为 g s ( x ) = d s ，七v ，肚( 2 - 2 1 ) 七z 乃( x ) = q ，七哆，后巧( 2 - 2 2 ) j | z f ( x ) = 毋+ 力一肘 j - m j o ，定义的连续p - 模为： ( 厂，厅) = d g l l s ( x + 口) 一( x ) 1 1 m 、 ( 2 - 4 2 ) a l 一、- i 根据r 范数的三角不等式，o j p ( f , h ) 一致有界于2 r 称图像属孤刚类种肭果阽华钾 吲啪齐弛刚 范数( 或半范) 定义为： i l l s l i i = j c o 掣夺i i 彬矿口i i 脚嘞 3 ， 进而，彤( f ) 的范数定义为：i l s l l 霹( ) = i l s l l 口+ l l l f l l j ( 2 - 4 4 ) 不难看出，若图像厂巧( ) 则其连续p 模具有幂衰减性，即 ( ，h ) = o ( h 卢) ，且胗a ( 2 - 4 5 ) 定理2 4 - b e s o v 范数( 2 4 4 ) 有如下等价关系 种) 制( 萎2 御( 埘) - c 2 4 6 ) 现以小波为工具来刻画b e s o v 图像。令母小波为l f ，r ( r ) ，若l f ，c r 则称其为 y 一正则的。关于母小波的光滑性和消失矩之间有如下重要结论。 定理2 5 ：假定母小波y ( x ) 是 ，一正则的，且( 1 ) l f ，( x ) 有y 阶矩；( 2 ) 存在固定常 数c ，工r ，有l l f ，( x ) i - c ( 1 + l x l ) 7 。则 x l f ，( x ) 出= o ，k = o 1 ，y ( 孑- 4 7 ) 注：对紧支撑小波条件( 1 ) 、( 2 ) 是自然成立的。 关于母小波的光滑性和衰减性之间有如下重要结论。 定理2 6 - ( 1 ) 紧支撑母小波l f ，( 工) 不能是r 光滑的； ( 2 ) 以指数阶衰减的母小波也不能是c 岫光滑的。 给定一个正交m r a 链：s ke ，假定母小波y ( x ) 是，一正则的。对 任意_ ，z ，令弓和q 分别表示从p ( r ) 到尺度空间_ 和小波空间上的投影，z 表 第二章小波分析理论基础 1 9 示图像的小波分量q ，于是 乃( x ) = 嘭j ( x ) k e z 根据定理2 5 的消失矩条件，母小波类似于微分算子矿兹川， 的b e s o v 等价范数基础上，可以得到b e s o v 范数的小波刻画： ，、! 咖) i i e o l l 胪+ ( 丢2 脚玎 其中取参照尺度j = o 。令c o 。为此参照尺度下的低通尺度系数， 小波系数，于是( 2 4 9 ) 式可进一步表示为： o 州骘( ) 荟恢 8 驴+ ( 丢荟2 d 叶一瑚忆j 瞄) 9 ( 2 - 4 8 ) 从而，在定理2 4 ( 2 - 4 9 ) 嘭j 为尺度j 下的 ( 2 5 0 ) 第三章图像恢复模型 第三章图像修补模型 当前的图像修补技术研究领域主要存在着两种修补算法。一种是图像扩散修 补算法【i 】，即根据偏微分方程计算出等照度线传播方向，使信息从图像缺损边缘 向内部扩散，完成整个受损区域的填充。另一种就是纹理合成算法【2 j ，即根据图 像纹理的性质复制具有相似纹理属性的图像块填充到受损区域。但是两种算法都 存在着一些局限性：前者容易受到噪声的影响，不适用于处理大块图像缺损区域。 后者不适用于处理边缘等图像细节。然而，当同时应用两种算法进行图像修补时， 首先需要判断该缺损区域用于哪一种算法，要求找到一种能自适应所有图像类型 的判断标准，这无疑给图像修补技术增加了难度【2 ，3 】。 3 1 1t v 模型 3 1 基于p d e 的图像修补模型 在文献 4 】中，c h a n 和s h e n 研究了贝叶斯i n p a i n t i n g 或变分i n p a i n t i n g 模型， 它是基于全变差( t v ) 先验图像模型。 在图像恢复的文献中，贝叶斯理论或变分框架是最基本的体制和原则，在任 何成功的典型模型中都有明确的表示或者内含其中，就像g e m a n - g e m a n s 模型引， m u m f o r d s h a n 分割模型【6 】以及r u d i n - o s h e r - f a t e m i 的t v 去噪和去模糊模型 7 1 ，这 些观点启发了c h a n 和s h e n 的t vi n p a i n t i n g 模型。 设d 是i n p a i n t i n g 区域且边界r 是分段光滑的，在此区域图像信息是丢失的。 图3 1 一般地，图像u o i e 是有噪声的，t v 郇蛐g 模型在刚中提出，是最小化： 川甜】= u v 圳姗+ 害卜”。i2 蚴 其中，允为l a g r a n g e 算子，它和噪声的差分成反比。 模