（计算数学专业论文）关于lucas二项式系数同余定理的一些推广.pdf

摘要 二项式系数的各种同余性质是组合数论中最令人感兴趣的研究课题之一。自1 9 世纪以来，诸多著名数学家如g u a s s ，l e g e a d r e ，k u m m e r 等对此类问题进行了研 究，并给出了许多经典的结果，l u c a s 在1 8 7 8 年得到的二项式系数同余定理就是其 中最重要的结果之一。l u c a s 断言二项式系数具有l u c a s 性质：设n 和k 的p 迸 制表示分别是礼= n o + n 1 p + + n ，矿和= o + l p + + 七r p r ，则二项式系数 ( ：) 模p 同余于诸二项式系数( 乏) 的乘积。此后有大量的文献涉及了l u c a s 定理的 各种推广及应用。本文从一个全新的视角考察l u c g s 定理并给出其推广及应用：将 二项式系数( 视为关于n 和k 的一个二元函数，它是很自然的引入具有l u c a s 性质的多元函数。本文将给出多元l u c a s 函数的各种判别法、例子及应用。二项式 系数组成的p a s c a l 三角有特别优美的结构，本文将其推广到一般的二元l u c a s 函 数。 本文安排如下： 第一章主要介绍二项式系数同余性质的一些基本结果，如l e g e n d r e 定理、k u m m e r 定理、l u c a s 定理，并简要介绍了模素数幂的一些结果。 第二章通过引入了多元l u c a s 函数来推广l u c a s 定理。本章给出多元l u c a s 函数的判定法和例子，并用于简化或统一一些己知的结果。 第三章介绍p a s c a l 三角模p 的的自相似性结构及各种分布问题，并考虑一般 二元l u c a s 函数模p 的类似结构和分布问题。 第四章是对l u c a s 函数研究领域中存在的一些问题的进一步恩考。 关键词：同余，二项式系数，l u c a s 函数，l u c a s 性质，s e l f - s i m i l a r i t y 形式幂级数，超越性。 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho fc o n g r u e n c eo fb i n o m i a lc o e f f i c i e n t si so n eo ft h em o s ti m p o r t a _ i x t p r o b l e m si nc o m b i n a t o r i a ln u m b e rt h e o r y ab e a u t i f u lt h e o r e mo fl u c a ss t a t e st h e c o n g r u e n c eo fb i n o m i a lc o e f f i c i e n t sr e c e n t l y , t h e r eh a v eb e e nm a n ya r t i c l e s o n l u c a s st h e o r e ma n di t sg e n e r a l i z a t i o n s m a n ye x a m p l e so fc o n g r u e n c e sr e l a t e dt o t h el u c a sp r o p e r t yo ff u n c t i o n sh a v eo c c u r r e di nt h el i t e r a t u r ef o re x a m p l e ，a p d r y n u m b e r s ，d e l a n n o yn u m b e r sa n d m u l t i n o m i a lc o e f f i c i e n t s i nt h i st h e s i sw ei n v e s t i g a t eac l a s so ff u n c t i o n ss a t i s f y i n gs i m i l a rc o n g r u e n c e s t h ef i r s to fw h i c hi n t r o d u c e st h ec o n g r u e n c eo fb i n o m i a lc o e f f i c i e n t s w es t a t e t h el e g e n d r et h e o r e m ，k u m m e rt h e o r e ma n dl u c a st h e o r e m i nt h es e c o n dc h a p t e rw ep r e s e n ts o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n dm o r ee x a m p l e s o fl u e a sf u n c t i o n s s o m eo fw h i c hs i m p l i f yt h ec o m p l e xp r o o f s t h et h i r dc h a p t e ri n t r o d u c e st h es e l f - s i m i l a rs t r u c t u r ea n dt h ed i s t r i b u t i o no f t h ep a s c a lt r i a n g l ea n dl u c a st r i a n g l e t h ef o u r t hc h a p t e rm a i n l yd i s c u s s e st h eo t h e rp r o b l e m so fl u c a sf u n c t i o n k e y w o r d s ： c o n g r u e n c e ；b i n o m i a lc o e f f i c i e n t s ；l u c a sf u n c t i o n ；l u c a sp r o p e r t y s e l f - s i m i l a r i t y ；f o r m a lp o w e rs e r i e s ；t r a n s c e n d e n c e i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。 作者签名：日期： 第一章综述 本章为后续各章作准备，着重介绍二项式系数的同余性质的发展，并简要介绍 了本论文的主要工作。 1 1 二项式系数同余性质的研究的发展 二项式系数( ：) 的同余性质的研究是组台数论中非常重要的一个问题。在1 9 世纪，许多大数学家( 例如g a u s s ，h e r m i t e ，k u m m e r ，l u c a s 等) 参与到这个问题 的研究上来，使其得到非常大的发展。他们提出了些定理，虽然形式上简单，但 是在很大程度上简化了对各种复杂问题的研究。后来参与到研究二项式系数同余性 质的学者基本上都是从他们的定理出发，将其推广到其他方面。下面先介绍下这 方面的发展。 1 1 1 定义和符号 设p 是任意一个素数，n 是一个非负整数，如果n 的p 进制展开式为： 礼= n o + n i p + n 2 p 2 + 一，0 茎挑sp 一1 ， 那么记n = ( n t ) ，。令晶，j ( 扎) = 8 t ：n i = j ) 。 当s 冬 o ，1 ，2 ，p 一1 ) ，记露( s ) = 伽：对所有的i ，啦s ) a 为了方便，记aib ( r o o dp ) 的缩写为a ；pb ，读为。，b 对模p 同余。 当矿fn ，并且“f n ，记为l n 。 定义渊如下： ：= m a x nln 为整数且礼z ) 令( n ! ) p ：= t a l ，这里“sn 且p f o 。 对于二项式系数( ：) ，当k 礼时，有( ”k ) = 0 。 姐1 2 二项式系数模p 问题 在1 8 0 8 年，l e g e n d r e 2 1 】证明了能够整除n ! 的p 的最大幂次为 h p + 沁p 2 + h p 3 + ( 1 1 ) 2 大连理工大学硕士学位论文 利用上面n 的p 进制展开式的标记，定义如下关于数位和的函数： 那么( 1 1 ) 等于 口( 礼) = a v ( n ) ：= n o + n 1 + 礼2 + + 扎， ( n 一( 扎) ) c p 一1 )( 1 2 ) 利用归纳法可以很容易地证明上面的结论：如果n p 时 很明显，竹o = k o + m 。一p e o ，一岛十呐+ 旬一l p e j0 1 ) 。因此，由( 1 2 ) 可 知，能够整除( ：) 的p 的幂次为： 盘! ! ! 垒! 塑二生! 堕：生堡二塑 p l 厶j = o p 一1 p s o + 鸲一勺一1 ) 一一；= 。i = 句 大连理工大学硕士学位论文3 这样就得到了k u m m e r 定理中的结果。 在1 8 7 8 年，l u e a s 【3 0 1 给出了下面这个定理。利用这个定理，可以很容易的计 算出( ：) 模p 的值。 定理1 2 ( l u c a s ) 令n o ，墙为对n ，后进行模p 运算后的剩余值，则有 ( 扣( m k v 、, ，伽k o ) 利用n ，k 的p 进制展开式，可以很容易地得出l u c a s 定理的另一种等价形式： 定理1 3 令n = ( 啦) ，k 一( ) p ，那么 ( n 。) ；，耳( 乏) ( 1 3 ) l u c a s 定理的一个直接推论就是弓0 当且仅当ji 使得m 扎时，l ( n ，m ) 三p0 。 l ( n ，k ，m ) 具有f l u c a s 性质，如果对于任一素数p 和0 曼n ，k ，m 咒。很明显，一个f l u c a s 函数必定 是s l u c a s 的。 l ( 他，m ，j ) 是严格l u c a s 函数( t - l u c a s ) ，如果对于每个素数p ，当j 大 于礼，k ，m 中的某一个时，l ( n ，k ，m ，j ) 兰p0 。 下面介绍一些简单而有意义的l u c a s 函数的饲子。 7 8 大连理工大学硕士学位论文 例2 i 设n 是一个整数，由费马小定理可知，工( n ) = 扩是l 1 l c a s 函数。 例2 2 l u c a s 定理说明了二项式系数( ：) 是f - l u c a s 函数。更一般地，由前面所述 的d i c k s o n 关于多项式系数的结果，我们可以得出广义多项式系数 州，咖卜凯+ 羔茹删 是s - l u c a s 函数，并且 州，棚，= 卜“”2 蒜删 是f - l u c a s 函数。很明显( ；) = 肘( 竹，铭一k ) = e ( n ，自) 。 和l u c a s 性质相关的同余式出现在很多领域1 2 ，3 ，3 1 ，3 6 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ，4 4 。例 如，在1 9 7 8 年赫尔辛基国际数学家大会上，a p d r y 证明了 n 时，l ( n ，) = p 0 。现在有 l ( n ，) ；i i l ( n i ，岛) 0 这就意味着每一个三( m ，) 0 ，所以对于每个i ，m 觑。这样，n 和礼一在p 进制下相加时不会出现进位。 而当l ( n ，k ) 是f - l u c a s 函数时，对于任一素数p 和0 n ， n 。当n 和礼一在p 进制下相加时不会出现进位，则说明对于每一 个i ， ，。这就意味着每一个工( m ，k ) 0 ，所以有( n ，七) 章0 。 ( d ) 令日( n ，k ) 一l ( n ，) f ( n ) g ( 女) ，由于f ( 礼) ，g ) ，l ( n ，k ) 是l u c a s 函数， 所以有 h ( n ，) = l ( n ，k ) f ( n ) g ( k ) 三( i ；i 蛐) ( 平删) ( 耳g ( ) ) = i i ( l ( m ，h ) f ( n t ) g ( ) 1 = i - h ( ，缸) 1 0 大连理工大学硕士学位论文 ( e ) 令n = ( n t ) p ，= ( 砬) p ，当对于所有的i ，有盹曼，则有 三( n ，k ) 一l ( n ，n 一) z i i c ( ，( 竹一) 。) = 五( 啦一魄) = i i z ，觑) t 当存在i 使得 m 时，则有 ( 礼一南) t = p + m 一 讹 这时有z ( n ，七) = l ( n ，n k ) 善0 。所以z ( 礼，) 是s - l u c a s 函数。一 命题2 1 ( e ) 是m c i n t o s h 【 3 l 】 定理4 1 的反射法则 2 2 1 相自法贝i m c i n t o s h 【 a l l 证弭了如果l 协，) 是s - l u c a s 函数，那么f ( 札) = l ( n ，) 是l u c a s 函数。下面的定理讲述的是更一般的相加法则。 定理2 1 设f ( n ，m ) 是s - l u c a s 函数，并且 三( ，女) = f ( ，m ) 那么l ( 扎，) 是s - l u c a s 函数。 证明很显然，只要证明l ( n ，k ) 是l u c a s 函数即可。让n = n o + n i p ：，； + k i p ，这里0s 竹o ，恕0sp 一1 。那么根据f 的强l u c a s 性质，我们有如下 等式成立 l ( n ，七) = f ，m ) o m n = f ( 礼。+ n i p ，k 。+ k i p ，m o + m l p ) 0 _ 3 ，in 。( r o o d p 3 ) ； ( i i ) n 。5 ”( r o o d2 3 ) ： ( i i i ) 令p = 3 ，n = ：o 扎 3 。，0 m 3 ，那么o 。兀：o 。，( m o d3 2 ) 。 p u a d o u x 3 5 j 将a p 6 r y 数的l u c a s 性质推广，令n = 。啦( 矿) 。，那么对于素数 p 5 ，r 1 ，2 ，3 ) ，有如下关系式成立： a ( n ) 哥a ( 佗i ) 那么，一般的l u c a s 函数是否也具有这种相似的性质呢? 事实上，如果没有增加其 他的充分条件，一般的l u c a s 函数不能将其l u c a s 性质从p 推广到矿上。 在证明l 0 9 2 和( ( 2 ) = 。，11 舻的过程中出现了如下的两个数 砌，= 砉( ：) 2 ( “：2 ) g = 妻k = 0 ( 於嘉南) 很显然b ( n ) 和c ( n ) 也是l u c a 8 函数。l v h a m m e 【2 3 】证明了其他的一些 同余性质：令p 为一个素数，它模4 的值为1 ，且可以写成p = 0 2 + 6 2 的形式。那 么有如下同余式成立： b ( 一1 ) 2 ) 兰矿4 a 2 2 p e ( 一1 ) 2 ) 却4 a 2 2 p 一般地，令 厶( r ，s ) 砉( 卵爿 这里r ，s 1 。 作为定理2 4 的一个简单应用，我们来证明下面的c l o i t r e 猜想 猜想2 2 令a 。r ，s ) 如上定义，则有： ， l ( 一1 ) 4 当s 是偶数 a n ( r ，s ) i 3 1 当s 是奇数并且n 乃( 0 2 ) ， 1 0 其他情形， 1 6 大连理工大学硕士学位论文 证明由定理2 4 立即得出a 。( r ，s ) 是l u c a s 函数。因此当札= ( m ) p 时，有 a ( 邮) i a n ，( ”) ( m o d p ) 通过简单的计算可知a 0 ( r ，s ) = 1 ，a l ( r ，s ) = l4 - 2 5 31 十( 一1 ) 5 ，a 2 ( t8 ) = = 14 - 2 3 8 + 6 8 。 这里我们对s 分情况讨论： 当s 是偶数时，则有a o ( r ，s ) = 1 ，a l ( r ，8 ) 三3 一l ，a 2 ( r ，s ) i 31 。 当n = ( m ) 3 时，其中啦= 1 的个数的奇偶性决定了礼的奇偶性。所以有 a 。( r ，s ) 三3 ( - 1 ) “。 当s 是奇数时，有a 。( r ，s ) = 1 ，a 1 hs ) e 30 ，a 2 ( r ，s ) - - 31 。因此当对于所有 的i ，啦1 时，则有4 。( r ，s ) 毫3 1 。 这样我们就得出了猜想中的结果： l ( 一1 ) “ 当s 是偶数 a 。( r s ) 三3 1 当s 是奇数并且佗t 3 ( 0 2 ) ， l 0 其他情形， 注：最近d e u t s c h 和s a g a n 1 6 也给出了c l o i t r e 猜想的一个证明，但是他们 的证明要比我们的证明复杂得多。 由于中心d e l a n a o y 数d 。一a 。( 1 ，1 ) ，a p 6 r y 数【4 0 】，a 0 0 5 2 5 8 1a 。= a 。( 2 ，1 ) ， 我们能立即得出1 6 1 中定理5 8 中的结果： 。n 三s 兰s 。1 当其n 他情t 3 形( 0 2 ，k b $ u r y 4 3 】证明了a 。( 2 ，m ) 的一些同余性质。这里令m 0 ，p2 3 ，则有 ( i ) 如( 2 ，m ) j 1 + 2 ”r o o d p 3 ( i i )a p r l ( 2 ，2 ) ilr o o dp 3 ( 饿)a p r 一1 ( 2 ，1 ) 兰lr o o d p 2 ( ) 卸一l ( 2 ，2 ) i5r o o dp 5 ( )a 3 p i ( 2 ，2 ) 17 3r o o dp 3 大连理工大学硕士学位论文1 7 更一般地，令m20 ，当i = 0 ，l ，m ，r 。 0 ，那么由定理2 4 和推论2 3 ， 讹，一扣妻k = o f i i = o ( “ 是l u c s a 函数。 例2 6 定义“偏移”l e g e n d r e 多项式如下： 州z ) = 嘉 丢m 呻一矿 很容易地得到它的另一个表达式： 州垆煮c 叫於玲8 = 0 、7 、7 令a 为任意整数，由定理2 1 和2 3 ，可以证明f ( 佗) = 肌( 。) 是l u c a a 函数。 定理2 5 设f ( n ，) 和g ( 礼，仇，) 都是s - l u c a s 函数，那么 l ( n ，k ，m ，j ) = f ，) g ( n k ，m ，j ) 是s - l u c a s 函数。 证明我们需要证明 l ( n ，m ，j ) 聋pl ( n o ，r a o ，j o ) l ( n l ，1 ，m l ，a )( 2 5 ) 这里 n = n 0 4 - n i p ，k = k o + p ，m = m o + m l p ，j = j o 十j l p 0 茎“o ，m o ，j o 0 ，那么p r 。( n ) ：壹( 警) ( 搿) 。是l u c a s 函数。因为只，。( o ) = 1 ，只。( 1 ) = 1 + 2 和只，。( 2 ) = 14 - 2 r 3 5 ，因此 i ( 一1 ) “ r 为偶数， 只，( n ) e 3 1 r 为奇数且n t 3 ( 0 2 ) ， l 0其他情形 定理2 7 令厶( n ，七) ( 1si m ) 是s - l u c a s 函数，那么 l ( 扎) = i i 厶( ”i e t 舢) 是l u c a s 函数。这里e o = 1 ，e l = 2 ，e i e 件1 2 e ，( i = 0 ，1 ，m 一1 ) 。 证明由l l ( 礼，) s - l u c a s 性质可知， l 1 ( 2 n , n ) - - 。 ：蒜 因此只要考虑p 3 的情形即可。 对m 采取归纳法，对于 “。) 。! o ： 须证 t h = l 1 ( 2 n ，n ) l 2 ( e 2 n ，2 n ) l 3 ( e s n ，e 2 礼) l m ( e m n ，e m - 1 n ) ( 1 ) 对于p 3 ，j 【0 ，p 一1 】，凡0 ， 卞j = 嘶r o o d p ( 2 ) 对于所有满足e 。j p 的j ，有 坳。卅= 0 r o o dp 大连理工大学硕士学位论文 设m 一1 ，那么u 。= l ( 2 n ，n ) 。让j 【0 ，p 一1 】，则显然有2 j 墨2 p 一2 。 如果p 2 js 印一2 ，那么2 j = p + ( 幻一p ) ，这里( 2 j p ) f 0 ，p 一1 】，则有 l 1 ( 2 p n + 2 j ，p 礼+ j ) = l l ( p ( 2 n + 1 ) + ( 巧p ) ，p n + j ) 三p l l ( 2 n + 1 ，n ) l ( 2 j p ，) 但是因为j p ，所以巧一p j ，因此二l ( 幻一p ，j ) = 0 。这样就得出：对于所有 的n ，有l z p n + ，i0 。特别地，当礼= 0 时也成立。所以有如下关系式成立： u 钾i u n 兰0 如果0 刁p l ，那么根据三i ( n ，) s - l u c a s 性质可知 晰叫= l l ( 2 p n + 幻，p n + j ) 三l 1 ( 2 n ，n ) l l ( 2 j ，j ) 三? i n 假设对于m 1 ，( 1 ) ( 2 ) 都成立。令 ) 。2 0 定义如下： “。瑞l l ( 2 n ，扎) 二2 ( e 2 n ，2 竹) 如( e 3 亿，e 2 n ) 三m + 1 ( e ”l + l n ，e m 忍) 这里e 1 = l ，e 2 ，e 。+ 1 都是整数，且对于j 【l 叫，e 5 e j + ls2 e ，a 定义 ho 如下 t 如= 协i 工m + l ( e m + l 托，e m 礼) 有归纳假设知，对于所有的素数p ，j f o ，p 一1 j 且使得e m j p ，有t 卸+ j 。吣兰0 。因此膏u ”+ j 三嘶三0 成立。 如果e 。j p 一1 ，那么由归纳假设知。佛+ j _ p 。q 。因此有 u 卯州三上赫1 ( e m + l p 竹+ e m + 1 j ，e i p 佗+ e m j ) 如果e m + l j p ，那么 因此有 p e r r l + a js2 e 。j 2 p 一1 忙, n + 1 j 一= p 蚓+ ( e m 咖+ x j 叫- p ) 大连理工大学硕士学位论文 利用l u c a s 性质可得到 2 1 l 。+ l ( e 。+ l p n + e r r s + l j ，e m p n + e m j ) 兰l 。，+ l 佃( e m + i n + 1 ) + e m + l j p ，p ( e m 札) + e m j ) 兰l m + 1 ( e m + i n + 1 ，e m n ) l m + l ( e m + l j p ，e m j ) 但是因为( e 。+ l e m e m j p l p ，所以e m + l j p o 、， 是超越的。这里e i = 击( 蛩) a 2 2 3反演法则 r ，j m c i n t o s h 在 3 1 】中给出了关于双l u c a s 函数的反演规则，这里我们将其 推广到多维的情况。 大连理工大学硕士学位论文 定理2 8 ( 反演规则) 设f ( n ，m ) 是l u c a s 函数，l ( n ，m ，a ) 是t l u c a s 函 数，并且对于n 0 ，l ( n ，m ，n ) = 1 。如果a ( n ) 由如下递推公式定义： l ( n ，m ，k ) a ( ) = f ( n ，m ) k = o 那么，a ( n ) 是l u c a s 函数。 证明很明显a ( o ) = 1 。我们对礼进行归纳法。假设当0 女n 一1 时，a ( k ) 是 l u c a s 函数。如果n n o + n 1 p ，m = m o + m l p ( o 礼o ，m o ，k o p 一1 ) ，那 么 n l a ( n ) + l ( ，m ，) a ( 女) = f ( n ，m ) k = o 兰pf ( n o ，m o ) f ( n l ，m 1 ) = l 三( m o ，k o ) a ( k o ) i o b = 0 o rn t1 l l ( n 1 1 ，r r t l ，k 1 ) a ( k 1 ) | l k l = o j rp 一11 = l l ( ，m o ，k o ) a ( k o ) l ， l b = 0 。 rn 11 i l ( m l ，k 1 ) a ( t ) l l k l = o j p 一1n i i p l ( n o + n l p ，m o + m l p ，k o + 1 p ) b = m l = o a ( ) a ( ) n 一1 三pa ( n o ) a ( n 1 ) + l ( ，m ，) a ( ) 因此得到a ( n ) ! ，a ( n o ) a ( n 1 ) ，所以a ( n ) 是l u c a s 函数。 例2 1 1 c a r l i t z 证明了如下定义的。( n ) 是l u c a s 函数： 莉1 = 薹吣，番 一= u 【7 = 而( 2 2 1 2 ) 鲁一协! ) 2 他还注意到：u ( o ) = 1 ；对于n l ，e l o ( 一1 ) ( ：) 2 u ( ) 一0 。 第三章p a s c a l 三角和f l u c a s 函数三角的图形 3 1p a s c a l 三角的图形 3 1 1p a s c a l 三角的自相似( s e l f - s i m i l a r i t y ) 让我们先看一下对由二项式系数组成的p a s c a l 三角进行模2 运算后会出现什 么情况。下图所示为其前1 6 行的图形，其中模2 为0 的元素用空白代替。 1 l i 1 l 11 1 1 ，；1 。1 1 1 l ；1 ，1 ，。 ，：1 卜。0 一：，。 从上图可以看出：由元素1 构成的三角的图形和它所包含的子三角的图形是相 似的，只不过在图形的大小上有所不同而已。如果想要把p a s c a l 三角( r o o d2 ) 扩 展到无限多行，只要依次在原有三角的基础上，在下边再挨个摆上两个相同三角即 可，也就是说图形的生成只需要取原来的图形，将其放大即可。这样的图形所具有 的性质称为自相似性。 由于二项式系数( 具有l u c a s 性质，所以很容易就看出：对于任意素数 p ，p a s c a l 三角模p 后也具有自相似性质。下面先介绍一下如何利用它的白相似 性质来给出所有行的描述： 设p 为任一素数，o 为前p 行的p a s c a l 三角模p 后所剩下的三角。则构造过 程如下：替换o 中的每一个元素6 ，用6 乘以o 的每一个元素，然盾进行模p 运 算，最后用得到的“替换d ，这样就得到1 。对于1 的构造有两种方式：一是 通过把o 的每个元素6 用d 乘以o 的每一个元素，然后进行模p 运算，来替换 2 3 2 4 大连理工大学硕士学位论文 5 。另一种是通过把的每个元素乘以o ，然后进行模p 运算，结果来替换。 的每个元素，最后得到k “。实际上上述两个方式最后得到的结果都是样的。 反过来，通过上面对构造p a s c a l 三角( r o o dp ) 的过程的叙述，可以看出二项 式系数是具有l u c a s 性质的。 我们记中。为对o 进行关于p 的七次自相似运算后所得结果。记为对西 进行关于等边三角形的保持对称性质的操作，例如反射和旋转等等。则在2 8 1 中， 作者给出了如下的关系式： 皿圣( o ) = 圣母o ( o )( 3 1 ) 即我们可以说运箅符渺和雪是可交换的。实际上，令6 0 表示任意的前n 行三角 数组，经过上述自相似过程后，关系式( 3 1 ) 仍然成立。 对于p a s c a l 三角的自相似性，我们可以引入张量乘积的概念加以解释。首先将 p a s c a l 三角扩展，令 咖，= 害蒜乏 这样c ( i ，j ) 就是一个下三角为p s a c a l 三角，上三角为0 的矩阵。令n ( i ，j ) 等于 对g ( t ，j