（运筹学与控制论专业论文）风险测度的一致性理论分析.pdf

风险测度的一致性理论分析 摘要：一致性风险测度框架作为一种研究风险测度的手段正受到越来越多的关 注。本文先介绍了风险、风险测度及一致性风险测度的定义及相关性质；然后对 一致性框架作了个推广，提出了凸性风险测度这一概念并对其性质进行了一定 程度的探讨；最后，鉴于风险测度理论最终要应用于金融领域，本文对目前相当 流行的v a r 方法进行了分析，并在一致性框架下比较了几种风险测度，得出了 e s 方法比较优越的结论。 关键词：风险测度；一致性；v a r ；预期损失 a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ec o h e r e n tr i s km e a s u r e s f i r s t ，t h ec o n c e p to f r i s k ， r i s km e a s u r e sa n dc o h e r e n ta r ei n t r o d u c e d t h e na sa ni m p r o v e m e n to fc o h e r e n t m e a s u r e s w ep r e s e n tt h ec o n v e xm e a s u r e st h e o r ya n dh a v ead i s c u s s i o nw i t hi t a t l a s t ，w ea n a l y s ea n dc o m p a r es e v e r a lr i s km e a s u r e si n c l u d ev a r ，c v a r ，e sa n ds oo n 0 u rd i s c u s s i o ns h o w st h a te si sb e t t e rt h a nt h eo t h e r s k e yw o r d s ：r i s k ；c o h e r e n tm e a s u r e s ；v a r ；e x p e c t e ds h o r t f a l l 1 引言 1 1 风险测度的缘起 m a r k o w i t z 时代之前，金融风险曾被视为期望收益的修正系数。1 9 5 2 年， m a r k o w i t z 提出用与收益分布的均值的偏离，即方差来测度与各单个资产的收益 相应的风险，而在考虑多资产投资组合时，用组合内各对资产之问的协方差决定 该组合风险水平，即c o v x ，y 】- e x ，y 卜e x i e y 】，其中并和j ，为随机收益。 m a r k o w i t z 的主要创新在于他通过所有单个资产的联合分布来测度投资组合 的风险。多元分布由所有成分随机变量的边缘统计特性以及它们的相关结构来刻 画。m a r k o w i t z 用单变量分布的乘积来描述前者，通过每对随机收益之间的相关 系数来描述后者，即p ( x ，y ) = c o v x ，y ( 一司) ，其中d _ 和c r r 分别表示独立 随机变量和j ，的标准差。 我们注意到，m a r k o w i t z 模型与恰当的效用函数密切相关。效用函数允许投 资者在对资产和资产组合进行排序时有个人主观选择。当相关的分布不是正态分 布时，尽管是对称的分布，效用函数就必须为二次函数。而在实际中，这样的限 制阻碍了m a r k o w i t z 模型在投资组合上的应用。使得模型的应用仅限于由收益的 联合正态分布所描述的投资组合，在这种情形下，所有资产的收益以及它们之间 的相关结构均是正态的。 1 9 6 3 年，m a r k o w i t z 的学生s h a r p e 根据m a r k o w i t z 的模型建立了一个计算相 对简化的模型单一指数模型，即模型。这一模型假设资产收益只与市场总 体收益相关，从而大大降低了计算量。各种证券的收益与市场收益之间的线性依 赖关系的测度，引出了主要的定价理论，如c a p m 和a p t 。这些模型都在“正 态世界”中发展，而当他们被用于日常生活中的情况时，则有可能导致错误的结 果。比如说，非市场的贷款是完全非对称的，甚至是有尖峰的，并且，某些发展 中国家的公债的收益分布可能包含极值。 不幸的是，m a r k o w i t z 模型已经被视为问题的解决方案，而且被不恰当地用 于很多风险不能用方差描述、依赖性不能用线性相关系数来测度的实际案例中 了，而且有时所用的效用函数根本不是二次函数。因此，很可能会得出非理性的 结果，影响风险监管效果。 1 2 新的研究进展 多元正态分布模型之所以非常吸引人，是因为任意两个随机变量之间的相关 性都可以由它们的边缘分布和线性相关系数完全描述。很明显，这些模型离实际 应用的要求还有较大的差距。实际中，单个资产的投资回报的积累分布是偏斜的 ( 非对称的) 、有峰值的或是胖尾的。更有甚者，资产的投资回报是非连续分布的。 由于缺乏恰当的理论框架，先进模型的引入受到了阻碍。 于是有学者考察了单变量收益的统计模型，进而利用连接函数技术将其推广 到了多元变量的情形。连接函数的概念从1 9 7 0 年代中期开始发展，研究多元分 布。但连接函数的使用仍然不能解决小概率事件的处理问题，如分布的尾部问题 等。 近几年，关于新的风险测度的研究主要集中在以下5 个不同但关系密切的方 面： 1 风险测度的定义以及一致( c o h e r e n t ) n l 险测度的结构 2 保险溢价( p r e m i a ) 理论的合理性 3 最佳交易( g o o dd e a l s ) 理论 4 广义双曲型l e w 过程 5 多元分布的相关性研究一连接函数( c u p o l af u n c t i o n ) 进行第一个方向研究的代表人物有：p h i l i p p ea r t z n e r ，f r e d d yd e l b a e n ， j e a n m a r ee b e r 和d a v i dh e a t h 。几乎是在同时，s h u a nw a n g ，v i r g i n i ay o u n g ， 和h a r r y p a n j e r 在研究保险溢价问题时得到了与投资问题相似的结论。与此同时， s t e w a r th o d g e s 提出了最佳交易( g o o dd e a l s ) l 里论。1 9 9 5 年e b e r l e i n 和k e l l e r 将双 曲型分布引入到金融中，给出了一个对每日资产价值分布的非常精确的拟合。这 一研究与广义l e v y 运动的研究有关。最后一个方向就着重研究连接函数( c u p o l a f u n c t i o n ) 在相关尾事件，即非正常事件同时发生的可能性的调查中的应用。这类 事件之所以值得研究是因为在此情况下，可能发生的损失程度将非常惊人。不论 是线性相关还是其它的相关测度都不能完全描述这类事件。出于这样的原因，许 多研究者将连接函数技术应用到广义的随机变量的相关结构的分析中。可见，有 关的研究正在从多个方面试图解决随机变量分布对风险测度的影响问题。有关新 的风险测度的研究可能是被金融机构所制定的规则的新趋势和学术界对应用不 正确甚至是洪导的风险测度的反应所带动的。毕竟，金融机构要求有非常成熟的 风险控制模型。 1 9 9 4 年，在险价值( v a l u ea tr i s k ，下文简称v a r ) 的概念，在一片赞扬声中 诞生。这种方法的明确的任务就是回答下面这样一个问题：在确定的概率下，投 资者如何预期将会在某年某月某天损失多少钱? 他的资产有多少处于风险之 中? 目前，v a r 方法正日益成为各金融机构所青睐的风险监控手段。但它究竟是 不是一种正确成熟的风险测度方法呢? 我们的回答是否定的。由于v a r 方法在 理论上存在缺陷，所以，使用这种方法难免会导致很严重的后果。正因如此，探 索新的风险测度的进程还在不断进行着。 1 3 本文工作与文章结构 本文的研究是沿着上述第一个方向进行的。首先介绍了一致风险测度理论， 以此为基础进一步研究了凸性风险测度；鉴于v a r 方法的流行，和它所存在的 理论缺陷，本文对这一方法也作了深入分析，并针对其缺陷提出了可能的解决方 案，研究了几种弥补v a r 方法缺陷的方法；最后我们给出了实例及其分析。其 中凸性风险测度分析、预期损失( e x p e c t e ds h o r t f a l l ) 方法及各风险测度的比较关 系是本文的研究重点。 全文共分六个部分。第一部分引言。第二部分阐述一致风险测度理论框架， 包括风险和风险测度的定义、可接受集公理定义、可接受集与风险测度的关系、 可接受集公理与风险测度公理的关系、一致风险测度表示定理以及表示定理的应 用等。第三部分针对市场实际，弱化一致性条件，提出了凸性风险测度方法。第 四部分分析v a r 方法，包括其定义、性质，并主要指出其理论上和逻辑上的缺 陷并举例说明。第五部分研究预期损失方法，主要比较了几种常用的风险测度之 间的区别和相互关联，并着重说明了预期损失方法在实践中的重要意义。第六部 分为全文总结。 2 一致风险测度 2 1 风险 本文所要讨论的风险，我们都将其定义成一个“数”，这个数只和未来的资 产有关系，而不是像有些文章里面将前后某两个日子的资产的净值的“差数”来 表示风险。我们认为，风险并不依赖于你的初始资产，而是决定于市场中的一些 不确定因素，这些不确定因素导致了你的资产的将来的价值，所以我们用一个和 未来有联系的“数”而非“差数”来表示风险。具体的说，这个数其实是一个随 机变量，建立在未来市场会发生的各种可能之上的随机变量，可以用资产的净值 或者投资组合的结构来描述它。考虑一个简单的例子，假漫某个投资者在投资初 始时建立了由多国货币组成的一个资产组合，我们用4 ，1 i i 来表示各种货 币的持有资产，那么，在将来的某个日子r ，我们用4 ( 丁) 来表示货币珀勺仓位价值 ( 持有量的总价值) ，用e 来表示组合里的各种货币相对于人民币的汇率( 假设 投资者是个中国人，他的投资回报将用人民币来衡量) ，则投资者的风险为这个 货币资产组合的将来净值：q - 4 ( r ) 。这里，每- - 个- 4 ( t ) 都是一个随机变 】e f e ， 量。 2 2 可接受集 假设期末r 时刻所有可能的状态的集合是有限集，记为q 。用q 上的随机变 量x 表示初始头寸的未来净值，其值用证券价格及互换率来表示。状态的指 示函数为l ( 。) 。 称q 上所有实值函数的集合为风险集合，记为x 。记x 中非负元素的集合 为三- ，其相反数集合为t 。 设为i 国的监管者集合，a i ，( ，e 以) 是由货币f 表达、被监管者所接受的未来 净值集合。令a i = n4 ，称为以货币i 表达的未来净值的可接受集。以下简称 ，e j 为可接受集。 本文考虑满足以下性质的可接受集。 性质2 2 1 可接受集爿包含t 。 性质2 2 2 可接受集a 与三一不相交，其中， l 一= x l v q ，( ) p b ，( x ) ，则对每个旯 0 ，有a x + 五m r b ，再由定义2 3 2 和 性质2 2 4 ，知风，( x ) 旯- m ；如果m 0 ，有 2 - z + a m r g b ，则肪，( 五x ) 五m ；所以，p ( 五五) = 丑肼，( x ) ，即，定义 2 3 6 得到满足。 5 ) 如果x s y ，且x + 研，b ，则y + m ，b ，由性质2 2 3 、2 2 1 和定义2 3 1 知，定义2 3 7 得到了满足。 综上所述，命题得证。 命题2 4 2 如果风险测度p 是一致的，则可接受集爿。是紧集，且满足性质 2 2 1 一一2 2 4 证明：1 ) 定义2 3 5 、2 3 6 保证p 是x 上的连续凸函数，集合a 。= x l p ( 一) 0 ) 是紧凸集，且是齐次的。 2 ) 定义2 3 6 说明p ( o ) = 0 ，再由单调性知，a p 包含上_ ，满足性质2 2 1 。 3 ) 令肖t 一，p ( x ) 0 ，x a p ，满足性质2 2 2 。 2 5 一致风险测度的表示定理 定理2 5 1 给定参考投资工具的总收益率r ，则风险测度p 是一致的，当且仅当 存在自然状态集上的概率测度类p ，使得p ( x ) = s u p 乜 一x r i p p ) a 2 6 小结 这一部分中，我们由风险的定义入手，介绍了一致风险测度理论。为了描述 风险的可接受与否，我们引入了可接受集的概念，给出了可接受集公理，讨论了 风险测度的一致性与可接受集的关系，描述了一致风险测度的一般特性。 3 凸性风险测度 3 1 凸性风险测度 在本文第一部分中，我们讨论了一致风险测度的有关性质，简而言之，它由 映射p ：x 斗r 的下列性质所定义： 次可加性：p t x + y ) e p ( x ) + p ( y ) ( 3 1 1 ) 正齐次性：如果丑0 ，则p ( ，t x ) = 和( j ) ( 3 1 2 ) 单凋性：如果x s 】，贝u p t x ) p ( y ) ( 3 1 3 ) 平移不变性：如果r ，则p ( y + m ) = p ( y ) 一m ( 3 1 4 ) 一般地，一个一致风险测度p 是从q 上的概率测度族q 中生成的，在o q 上计算预期可能的损失，然后取当q 在q 上变化时的最差结果： p t x ) = s u p e - x ；( 3 1 5 ) q q 然而，在很多情况下，头寸的风险会随着其规模做非线性变化。比如，该头 寸被放大一个较大的倍数时，流动性风险将会随之产生。这就意味着我们需要放 宽正齐次性和次可加性的条件，以下的凸性就是一个较弱的条件： 凸性：p ( a z + ( 1 2 ) y ) s 丑p ( x ) + ( 1 一五) p ( y ) ，z o ，1 ( 3 1 6 ) 凸性说明多样化投资不会增加风险，即多样化头寸的风险，将不大于加权平 均后单个头寸风险之和。令x 为q 上函数的凸集，假设0 x 且x 在加入常量后 是紧的。以下定义凸性风险测度。 定义3 1 1 映射p ：x 寸r 称为凸性风险测度，如果它满足凸性、单调性和平移 不变性。 3 2 可接受集合 令x 为给定的可能事件集q 上函数的线性空问，假设x 包含所有常函数。 任意风险测度p ：x 寸月诱导出个可接受集，定义如下： a p = z x f p ( ) s o ( 3 2 1 ) 反过来，给定可接受头寸的集合，可通过以下集合定义与其相伴随的风险测 度： 岛( x ) = i n f m r i + x a ) ( 3 2 2 ) 下面两个命题指出了凸性风险测度与其可接受集之间的关系。 命题3 2 1 假设p ：x 斗只是凸性风险测度，其伴随可接受集为以，贝l j p a = p 且 令a = a 。，它有下列性质： 1 a 是非空凸集。 2 女口果x a ，y x ，满足y x ，贝0j ，a 3 如果x a ，y x ，则 五【o ，1 】l 兄x + ( 1 一 ) j ，爿) 是 0 ，1 上的紧集。 证明：由p 的平移不变性，有： p a ( z ) = i n f m m + x 也) = i n f m l 户( 卅+ x ) o = i n f m l p ( x ) m ) = p ( x ) 前两条件是显然的，对于第3 条，注意到函数丑- - p ( , t x + 0 一a ) y ) 是连续的，因 而，满足p ( 2 x + ( 1 一旯) 】，) 0 的五 o ，1 的集合是紧的。 命题3 2 2 假设爿非空，是x 的凸子集，x 满足命题3 2 1 的性质2 ，通过( 3 2 2 ) 表示与a 相伴随的以如果p a ( 0 ) 一，则： 1 p a 是凸性风险测度。 2 一黝。的子集，且如果a 满足命题3 2 1 的性质3 ，则a = a 。 证明：1 易证n 满足平移不变性和单调性。以下证明p a 只取有限值。在非空 集合彳中取定一个元素y ，对于给定的x x ，存在有限的m 使得m + z y ， 因为x 和y 都是有界的。单调性、平移不变性和以( y ) 玉0 使得p a x ) 卅，为了 说明p a x ) 一，可以取m 使得m + x 0 ，并且有p a x ) n ( o ) + m - o o ，即 几( z ) 一o 。对于凸性，假设x i ，五x ，m i ，m 2 r ，且有m l + x i a 。如果 0 五“0 ，1 ，则a 的凸性说明，旯( + x i ) + ( 1 一 ) ( m 2 + x 2 ) a 。从而由p a 的平移 不变性有： 0 p a ( 2 ( m l + 五) + ( 1 一五) ( 研2 + 爿j ) ) = p a ( , t x l + ( 1 一五) x 2 ) 一( 2 m l + ( 1 一五) m 2 ) 所以，几满足凸性。 2 a 厶是显然的。假设，a 满足命题3 2 1 的性质3 。我们必须证明 x 仨4 可推出n ( x ) 0 ，为此，取埘 成( o ) 。由命题3 2 1 的性质3 ，存在占( 0 ，1 ) ， 使得g m + ( 1 一s ) x 仨a 。从而，有： s ， n ( ( 1 一占) j ) = n ( s 。o + ( 1 一占) x ) 句( o ) + ( 1 6 ) p a x ) 所以，n ( ) s ( m f - p - a ( 0 ) ) o ，即此时爿= 爿。，则命题得证。 3 3 凸性风险测度的表示定理 以下证明凸性风险测度结构化的表示定理，首先考虑一种特殊情形。 3 3 1x 是有限集q 上所有实值函数空问时的表示定理 定理3 3 1 假设x 是有限集q 上所有实值函数空间，则p ：x 只是凸性风险测 度，当且仅当存在“罚函数”口：p 寸( 。o ，0 0 ，使得， p ( z ) = s u p ( 一z 卜口( q ) ) ( 3 3 1 ) q e p 函数a x l 任何q p ，有a ( q ) 一p ( o ) 。 证明：1 ) 充分性显然：对每个q ，泛函肖斗 - x 卜a ( q ) 是凸的，单调的并 且是平移不变的，这三条性质在取最大值之后不变。 2 ) 证明必要性，需要以下辅助式，对q p ，定义a ( q ) 如下： 口( q ) = s u p ( 【一x 卜p ( x ) ) ( 3 3 2 ) 再令舀( q ) 2 船 一x 由爿，的定义，有口( q ) 舀( q ) 。 任取x x ，并令x = p ( ) + z a 。， 于是有，西( q ) _ x = e o i - x 一p ( x ) ，所以，口( q ) = 西( q ) ，即： a ( q ) = s u p ( 卜x 】) ( 3 3 3 ) c a p 现在固定某y x ，如( 1 0 ) 式选取盘( ) 。于是有p ( y ) s u p ( e d 一y 】一口( q ) ) g p 再取州r ，使得：m s 。u 。p ，( e q - y 卜口( 9 ) ) ( 3 3 4 ) 必须证明聊 p ( y ) 或者等价地，m + y e a ，。假设，m + j ，e a ，。由于p 是定义在 欧氏空间r o 上的凸函数，仅取有限值，因此由文献 1 2 中推论1 0 i 1 知p 是连 续的。而a p = p s 0 是紧凸集，所以，可以找到r o 上的线性泛函f ，使得： 卢= s u p ，( x ) = 口( q ) ，这与我们所 选的相矛盾。因此，必有m + y 彳。，继而，有肌p ( y ) 。 由i ) 、2 ) 知，定理得证。 在上述证明中，假设q 是有限集，是为了得到可接受集a p 的紧性。当x 为 一般概率空间( q ，f ，p ) 上的有界函数空间r ( q ，f ，p ) 时，我们需要在合适的拓扑 上假设a 。的紧性。因而有一般概率空问上的一致风险测度表示定理的推广如下。 3 3 2x 为一般概率空问上的有界函数空间时的表示定理 定理3 3 2 假设x = r ( q ，f ，p ) ，p 是概率测度集，q p ，p ：x 斗月是凸性风险 测度。则下列性质等价： 1 存在“罚函数”a ：p 斗( 一鸭叫，使得，对所有的x x 有： p ( x ) = s u p ( 一x l a ( q ) ) ( 3 3 7 ) d p 一 2 与p 相伴随的可接受集一。是弱+ 紧的，r o - 是c r ( l * ( p ) ，_ ( p ) ) 一紧的。 3 p 具有f a t o u 性质：如果序列( 以) 。亡x 是一致有界的，且五依概率收敛到 某个x x ，则p ( x ) 兰l i m i n l p ( x 。) 。 4 如果序列( 瓦) 。 x 是递减收敛到x x ，则p ( ) 斗p ( x ) 。 证明：因为由( 3 3 7 ) 所给出的p 是盯( r ( p ) ，r ( p ) ) 一下半连续的，所以由1 = = 2 成立。对于由2 = = 1 ，可以重复定理3 3 1 的证明，并在局部凸空间 ( p ( p ) ，盯( r ( j p ) ，0 ( p ) ) ) 上应用h a h n b a n a c h 分离定理，得到负的连续线性泛函f 满足( 3 3 5 ) 式。由假设，可被表为i ( x ) = e 蟛 ，其中，妒r ( p ) ，且给出概 率测度d o i d p = 妒研纠，则证明过程与定理3 2 1 相似。本定理余下的几条性 质的证明可以参见文献 3 ，在此不再赘述。 a 4 小结 本部分在一致风险测度理论的基础上根据市场实际情况的要求提出了凸性 风险测度的概念，研究了相关的性质，证明了凸性风险测度的表示定理，为凸性 风险测度在实践中的应用打下了理论基础。 4v a r 方法分析 4 1v a r 的定义、性质 4 1 1v a r 的定义 考虑随机变量，可将它看作在固定时段内投资的随机收益或损失。正值 表示收益，而负值表示损失。 定义4 2 1 ( v a r ) 在正常市场条件下，给定置信水平口( 0 ，1 ) ，那么在此置信水 平下投资组合i 拘v a r 值为满足损失并超过x 的可能性不大于( 1 一口) 的最小x 值， 即v , 2 r o ，= i n f x r ，p ( y x ) 1 一口 这一定义与口一分位数的定义非常相似。 定义4 1 2 ( 分位数) 令口= 1 - ，口( o ，1 】，x 是概率空间( q ，f ，p ) 上的实值随机 变量，定义i n f = 0 0 ，称吼( 工) = i n f x r ，p 瞄x 口) ( 4 1 1a ) 为的口一分位数。 显然，v a r 。( x ) = 吼( 一x ) 。 ( 4 1 1b ) 通常，口的值是非常接近于1 的。由定义我们可知，h x + v a r y , ( x ) 0 口， 所以v a r o ( x ) - i d a 被解释为在至少口概率下保证其偿付能力而被投资者投放的 最小资金额。 4 1 2v a r 的非一致性 根据前一部分中我们对风险测度的定义，风险测度是从风险集合到实数集的 映射，而我们将v a r 作为风险测度考察，所以我们有必要在这里对风险测度作一 个更规范的定义，以便我们对v a r 的性质作进一步研究。 定义4 1 3 ( 风险测度) 令( q ，f ，尸) 为概率空间，矿是f 一可测实值随机变量的非 空集合，称任意由矿到r 的映射为风险测度。 命题4 1 1 令a ( o ，1 ，( q ，f ，p ) 为概率空间。设p 是矿上风险测度，如果满足： 1 4 p ( x ) = v a r 。( x ) ，x v 。 ( 4 1 2 ) 那么，p 具有以下性质： 1 ) 单调性：x ，y 矿，x y j p ( x ) p ( y ) 2 ) 正齐次性：x v ，h o ，h x v p ( 肼) = h p ( x ) 3 ) 平移不变性：x v ，a r ，x + v j p ( x + n ) = p ( x ) 一口 4 ) 法则不变性：对所有的f r ，x ，y v ，p x f 】一r y f 】j p ( x ) = p ( y ) 注意到踟也是法则不变的，就意味着，j 和y 的分布并不要求是相同的。 特定的局部分布相同，就足以推导出v a r ( x ) = v a r o ( y ) 了。特别地，一个尾部 概率较小的随机变量x 和一个尾部分布很厚的随机变量j r ，可能会有着相同的 v a r y , 值。显然这一点是不合理的。这也是v a r 方法受到的主要批评之一。 另外，有例子表明( 见下一节) ，v a r 不一定满足次可加性，因此，v a r 并不满 足一致性条件，从而不是一致风险测度。用v a r 来测度风险就如同用橡皮筋来测 度两点间的距离一样是不可行的。虽然，v a r 在特殊的条件下是可以满足次可加 性的，但在类似简单的情形下用方差来测度就足够了。而引入v a r 方法原本是为 了对于方差所不能使用的情形来测度风险的，那么从理论上讲，引入v a r 是不成 功的。 4 2 例证分析 例4 2 1 x 1 ，x 2 是两个独立同分布的随机变量，它们在区间 - 2 ，0 】按密度o 0 5 均匀分布，在区间o ，1 1 上按密度0 9 均匀分布。假设它们分别代表了一个有正的 期望的资产净值。计算置，i = 1 ，2 的v a r o 。，得到的值显然是0 。但是五+ 五的 v a r o ，却是大于0 的。由此可见，在特定环境下，v a r 将会促使人们将一个大的公 司，拆分为两个较小的公司来减小风险。但实际上，这种做法并不会达到预期效 果。因为在市场中资产的分化，并不能减小风险。 例4 2 2 假设无风险利率是零且所有的公司债券的收益率是2 ，但是各家公司以 独立的1 的可能无法偿还债券。假设一笔1 ，0 0 0 ，o o o 的钱以无风险利率借来投资 于某一个公司的债券，则这笔投资的砌r 。，是一2 0 ，0 0 0 ，是负数的意思是这笔投 资“没有风险”。可见，v a r 有时未必能识别真正存在的风险。 命题4 2 1 令并，】，是线性独立实随机变量，c 是由x ，y 张成的正锥，即 c = u x - + v y ，“，v 0 ) ，p 是c 上实值风险测度。俚i n p 满足正齐次性，且函数 p ( u ，v ) = p ( u x + v 】，) ，”，v 0 在( “，v ) 是可微的。那么，我们有： p ( 己+ ) p ( u o + p ( u 2 ) ，u ，u 2 c ( 4 2 1 a ) 当且仅当，p u , ( 队+ ) s p ( u 1 ) ，p u ，( u 1 + u 2 ) p ( u d ，u ，u 2 c ( 4 2 1 b ) 这里，p u j ( u 1 删毡笔( z i + h 2 ，v 1 + v 2 ) + 喀( b l i + b 1 2 ，v 1 + v ：) ， u i = “，r + v j y ，i = 1 ，2 。 证明：先证由( 4 1 1 a ) 可导出p v , ( u t + ) p ( u ) 。取= u , x + v , y ，i = 1 ，2 ，并 注意到p ( u i ) = p ( u l ，v 1 ) ；p ( u l + u 2 ) = p ( u l + ”2 ，v l + v 2 ) a 定义函数，：( 一1 ，) 专r 为：，( r ) = p ( u 1 + 甜2 ，v 1 + v j ) + t p ( u l ，h ) 一p ( ( 1 + f ) + 甜2 ，( 1 + t ) v 1 + ，吐) ( 4 2 2 a ) 那么，厂o ) = p ( u lv 1 ) - - b t l 妥竺( ( 1 + f ) “l + “2 ，( 1 + f ) v l + v 2 ) 一h 娑三( ( 1 + f ) “l + “2 ，( 1 + f ) v l + 屹) ( 4 2 2 b ) 且特别地，f ( 0 ) = 0 ， 删刊v 1 ) _ 警( u 1 _ - u 2v 1 + 1 2 m 考咄z ，v 。+ v z )c wu r = p ( u 】) 一几( u + u 2 ) ( 4 2 2 c ) 由( 4 2 1 a ) 知，对于r 0 有厂( f ) 0 ，于是有p ( u i ) 一p h ( u + ) 0 ，则( 4 2 1 b ) 成立。 再来考虑由( 4 2 1 b ) 推导( 4 2 1 a ) 。由e u l e r 关系和( 4 2 i b ) 可得： p ( u + u 2 ) = p ( u j + 村2 ，v l + v 2 ) = ( 地+ “：) 娑( + “：，v 。d - v 2 ) + ( v 。+ v 2 ) 娑( “。+ “2 ，v 1 + v ：) u hu v 蔓p ( u 1 ) + p ( u 2 ) ( 4 2 2 d ) 所以，命题4 2 1 得证。 命题4 2 1 说明，只有当满足条件( 4 2 1 b ) 时，像v a r 这样的风险测度才能满 足次可加性。从上述( 4 2 2 d ) 的推导来看，似乎助( u i + u ：) 与几，( u + ) 之和 就是p ( u ，+ u ：) ，好象它们分别就是u l 和对总风险的贡献。但在实际中，除 了用偏微分的方法以外，目前没有别的方法实现一种合理的资金分配。具体实现 方法在许多文献中都有介绍。 4 3 小结 本部分介绍了v a r 方法的产生背景，准确定义、基本性质，着重分析了它的 非一致性缺陷及实例，并给出了v a r 要满足一致性所需要的条件。 5 预期损失方法 v a r 方法作为一种风险测度由于缺乏次可加性而大受批评。没有次可加性意 味着当用v a r 度量风险时，某种投资组合的风险可能会比各组成成分证券风险之 和要大。因此，用v a r 进行风险管理，可能会导致投资者不愿多样化投资。这是 v a r 的不足之处。 为了弥补v a r 的缺陷，人们引入了一致风险测度。a r t z n e r 在文献 1 中用 “最差条件期望”( t h ew o r s tc o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n ，w c e ) 和尾部条件期望 ( t a i lc o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n ，t c e ) 的概念刻画了具体的一致风险测度，得 到重要结果。w c e 和t c e 这两个概念的关系非常密切，但又有区别。本部分进一 步研究了w c e 和t c e 之间的联系与区别，在w c e 概念的基础上提出预期损失方法， 并进一步指出，预期损失方法( e x p e c t e ds h o r t f a l l ) 是合适的风险测度。 5 1 基本概念 发x 是概率空间( q ，p ) 上的实值随机变量，它表示资产或投资组合的风 险。用研 表示概率p 下的期望。置信水平为a ( o ，1 ) 。此外，我们还经常用到 指示函数： 1 ( c o ) = 1 月= 1 当a ，否则o 定义5 1 1 ( 分位数) x 的下a 一分位数为 一引= 以( x ) = i n f x r ：p x x 口 ； z 的上口一分位数为： ( 5 1 1 ) x 8 = 9 8 ( x ) = s u p x r ：尸 工 口 v i n f x r ：p l v x 口) 由 x e r ：h x s 叫 口) c x r ：q x 曼工 口) 知，) s x ，而且有) = x 。当 且仅当对至多一个x ，p 瞵x = 口， ( 5 1 2 ) 一叭川删纠，- f 黑箸蹴翁三沁， 定义5 1 2 在置信水平口下的v a r 为： 踟r 。= v a r 。( ) = 一x 扣= q t - 6 ( 一工) 。 记数x 的正部： +i x ，x 0 ， x= 1 0 ，x s0 ， x 的负部x 一= ( 一x ) + 。 定义5 1 3 ( 尾部条件期望) 假i 最日一一 o o 。则在置信水平口下z 的下t c e 为：z 弛= t c e o ( x ) = 一e x l 一 ； 在置信水平口下的上t c e 为：t c e 。= t c e 。( x ) = 一e x i x x 。 。 实际上，t c e t c e 。 定义5 1 4 ( 最差条件期望) 假设研一j 一】 口) 由定义，对于在同一个概率空间中的任意随机变量x 和y ，有 w c e 。( x + y ) s w c e 。( x ) + w c e 。( y ) ，即w e e 是次可加的。此外，已有文献证明 蹄眨t c e 。因此我们容易得到：w c e o t c e 。v a r 。 定义5 1 5 ( 条 t 二v a r ) 假设研一x _ 】 。则在置信水平口下肖的条件v a r ( c v a r ) 为：c v a r “= c v a r “( r ) = i n f ( e ( x 一5 ) 一】& ) 一j ：s r ) 。 最后定义预期损失( e x p e c t e ds h o r t f a l l ，e s ) ，以及尾部均值( t a i lm e , q , r l ， 1 、m ) 。我们将证明，e s 与c v a r 有相同的一致性、连续性和单调性。并且，在一 定的清形下，e s 可以取到w c e 的最大值。 定义5 1 6 ( 尾部均值和预期损失) 假设研一x 一】 c o 。则在置信水平甜下x 的 t m 为：i = t m ( x ) = 口( e x 1 ；叶。， 】+ t 。) ( 口一p 旺t 。) ) ) ； 则在置信水平口下x 的e s 为：e 叉= e 叉( ) = 一i 。、。 由定义可知，尾部均值和预期损失仅仅依赖z 的分布和置信水平口，而与 特殊的分位数的定义无关。 5 2 预期损失的性质 命题5 2 1 ( e s 的一致性) 取定置信水平a ( 0 ，1 ) 。在概率空间( q ，f ，) 上考虑 一个实值随机变量集合v ，使得对所有x v 有研一x 一 。o 。定义p ：v 斗r 为 p ( x ) = e & ( x ) ，则p 是v 上的一致风险测度，即e s 。( x ) 满足单调性、次可加 性、正齐次性和平移不变性。 一致风险测度的定义在上文中已作过详细的论述，这一命题证明过程只是严 格按照一致性定义展开，比较容易，故在此不再累赘，只是作为一个结果论述。 在金融领域中，越来越需要处理非连续分布的随机变量。像非交易贷款的投 资组合是纯离散分布，包含衍生物的投资组合是连续和离散混合分布。v a r ，t c e ， w c e 等这些风险测度，当他们被用于非连续分布的情况时，他们可能对置信水平 的小幅变化非常敏感。也就是说，他们对于置信水平来说不是连续的。关于这一 点，后文将举例说明。相比之下，e s 对于置信水平是连续的。因此，如果不考 虑分布情况，那么可以相信，当置信水平发生小跳跃变化时，用e s 测度的风险 不会发生大幅变化。在下面的命题的推论中我们将导出这一不敏感性。另外，我 们还将证明e s 对口是单调的，口越d , n 风险越大。 命题5 2 2 如果z 是概率空间( q ，f ，p ) 上的实值随机变量，e - x _ 口) n z _ 。) ) 亡 z = t 。) ) ( 5 2 2 ) 由( 5 2 1 ) 和( 5 2 2 ) 知： _ 。) 咖= e z i - e z i 2 ) 】卜e z i n 氇崩】 = e x 1 r * 。， + t 。) ( a p x 玉。( 。) ) 又夏。) = o , - i ( e x 1 。；。) + t 。) ( a 一尸旺_ 。) ) ) ，所以，i 。) = d f x ( ) d u 。 由e s 的定义，及命题5 2 2 ，得： e s a x ) = 玎1r 州肖) 砌 ( 5 2 - 3 ) 推论5 2 1 如果是概率空问( q ，f ，p ) 上的实值随机变量，研一爿- o ，有下列不等式： 夏。) 夏。) ，e 咒+ 。( x ) e s a x ) 证明：我们采用( 5 2 7 ) 式的形式： 一x ( a + s ) - - x 一 。1 = e x ( ( d + 占) 一1 l ；蓦， 一a - 1 1 盎一) = ( a ( 口+ f ) ) 一e 【x ( 口1 长美1 一( 口+ ) 1 煞， ) 】 ( 口( a + o ) e x ( 。) ( 口l ；蓦叶。一( 口+ 占) 1 湛，) ) 】 = 志( 硎篙。，1 一位+ 调1 1 ) = 二：! ! _ ( 口( 口十s ) 一( 口+ 占) 口) = 0 。 a ( a + 小、 在上述不等式的证明中用到下面的结论： 酬七，橙翥鬈鬻 所以，e s + 。( z ) 圾( ) 。 5 3 t m ，e s 与c v a r ，t c e ，w c e 的关系 5 3 1t m ，e s 与c v a r 的关系 命题5 3 1 令x 为某概率空间( q ，f ，p ) 上可积实随机变量，口( o ，1 ) ，定义函数 如下： 月。( s ) = a e ( x 一5 ) + + ( 1 一口) e ( x s ) 一】 ( 5 3 1 ) 则1 陋以 ) = 。，且函数吃是凸函数。 1 5 m 我们也可以将日。等价地写成以下形式： 以( s ) ：a 五【x 】+ 口( e l ( x - - s ) - ：口e 】一口( 型+ 5 尸 x s l 、 _ 由c v a r 和e s 的定义，以及命题5 3 1 和( 5 3 3 ) 式，有下列推论。 ( 5 3 2 ) ( 5 3 3 ) 推论5 3 1 令工为某概率空间( q ，f ，p ) 上可积实随机变量，口( o ，1 ) ，则有： e g ( x ) = c v a r “( ) = 一口一1 ( e x l x g s 】+ j ( 口一p x j 】) ) ，s t 。) ，茁协 ( 5 3 4 ) 5 3 2t m ，e s 与t c e ，w c e 的关系 命题5 3 2 令z 为某概率空间( q ，f ，p ) 上可积实随机变量，d ( o ，1 ) 。假设存在 i g l 数f ：r 斗r 使得研( 厂。x ) 一 0 0 ，且对x ) 有 f ( x ) 厂( k ) 。令a a ，