（光学专业论文）激光波段二维光子晶体能带结构的数值计算与设计.pdf

硕 士 论 文激光波段二维光子晶 体能带结构的数值计算与设计 ab s t i 8 c t the 户。 to 川 c cry 引 a l s (pc s)叨 d th e ne g ativere fr 朋 ti oncha r a c t e ri sti c are the c u rr e n t re s e a r c h 五 it e r e sts， 加c auseth ey h ave in t e ns i v e l y p o 1 e n t 1 a l app 1 i c ations inth e fi e l dso f opti esand microw a v e d o m ai 几t 认 o 一 d 加e 把1 0 耐 p h o t o ni c c ry s tais are p ai d morea tt e n t i o n fo r itse as y fabri c a t i o 从俪deap p l ic atio nsadd v ario usdefe c tst ha t c anbeinco rp 。 扭 招 d in co n t r 公 t 初t h th 肥 e 一 加e ns fo nal phot o ni c c ry sta】 5 . t 五 e s to d y onthe th co ryand a p p l ic ation ofp h o to 滋 c crys tals an d the neg at i vere 丘 a c t i o n isinunc e as ing al soth o ro u gh. b utgreat e 月 b rts s b o ul d beiy 川访 协tbe re se a r c h onthe theo r e 石 c alana ly sis， nuln eri司 m e th o d s 山 l d 班 由 坦 l ap p l ic ations ofp hoto nic c 口 s t a l s 胡 d 二9 而ve比 fr a c t ion ln面s th es is ， a m e t h o d nam edp l ane w a v e e x p ansi on m e th o d 少 协 呢 ) i s in trod u c ed; the com pl ete b an d g aps ofthe tw。 一 d u 刀 e 幻 i o n a l 优angular l a tt i ce助d s q 让 ar e l a tt l ceare stud i ed， t h e fo n 且 e d r o e c h 印 吐 sm of th e col n p l ete b and g ap s i s e x p 1 a in e d ti ir 0 u ghthe e l e c t ri c fi e l d di strib u ti on. inthe re s ul t 朋 a l ys i s ， the 肠 an gularl atticei s easi e r t o p r o d uce the compl et e b an d g 即山 阳s q . 吐 e l atti c e 叭 七 e nt h e p axame t e r s are sam eh o wtoc h 0 o seto 山 eri ght p ar 印 叮 e t e rstobe obt a i nl h e l arge st com p l ete b an d g 叩 s i s re s e ar ch e d . t h e vi s ib i e i i ght w a v e h asb e enuse d t o o b ta i n e d con c t e t ep ar 田 刀 e t ers o f the t w o 一 i m ens i o nal 州 an gl el a tt l c ethe e = 1 3 . 6 9o f pbo to ai c cry引 泊 l sthe p ar 印 叮 d 耽 s o f th e photoul c c 即 s tals are th atc y c l i c alc o ns 往 口 t a i s 2 3 7 .s nm ， 伪e r adius o f th e b o l e o f air i s 1 0 7 ，0 1 。 爪，t 卜 atp r o v i d e th e th e o r e l j c b asis fo r d e s i gne d t h e t h 么幻 胃 。 一 d in l e ns i o na1 p h o l o 苗 ccrys 因. 1 七 e妇 胃 0 . d j l n 姗 i o na l p h o 1 0 ni cc ry 引 冶 】 board 汕昭e ry an dth e neg ati ve re fr a c t l o n加 sbe e ns 加ul at ed 妙 the w a y几 aj m ed th e fi n l t e d i 月 贻 r encet 汕e d o mamm etho d ， w h e nthe o pe r a t in g 丘 e q u enc yo c c u p i e dinth e s e co n d 即改 盯 b and 口= 0 . 3 0 0 8 ( 2 忍/ a) ， 公equl v al entr e fr a c t ivei n d e x i s一 1 .了 七 即 the 七 刀 。 一 d 而ens i o nal pbo t o n l c cry 引 a l s board bas the 允 幻 c 行 o n ofth e 切 吐 喀 e ry . the re l ati on of the di s 扭 n c e b e 妇 即 e e n the p h y s ic al助a g e and the p h y s i cal di s 切 口 c e h 韶be enw o r 灿l g o u t by th “ 汕 a g 口 g fo rmu 垃纵= u +v十 d “ 2 寿 and f d t dm ethod ， th“ re s earc h ofthe 七 刀 。 一 如ens in nal photo苗 c crys ta l s co mp l ete b and g ap“ 朋 d th e n egat iv e re fi 习 c t l onb a s the 加p o 比 坦 t th eorys i gnifi c anc e an d th e p r a c t i c alv al u e . k e y w o rds:p h o t o 币 cc 理 s talp w en e g a t l v e 可 e fr a c 石 onf d t d e q 喇 一 fr e que n c y s u ri 触 c e ，e f s 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外， 不包含其他人已 经发 表或公布过的 研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的 材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 _ 一 鲡么 饼笼王釜书: 侧 ”-， 护 刀 7 年 胡 /0日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电 子和纸质文档，可以 借阅 或上网公布本学 位论文的全部或部分内容，可以向有关部门 或机构送 交并授权其保存、 借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文， 按保密的 有关规定和程序处理。 研 究 生 签 名 : 省 并 水 、加 7 年门 月沙日 硕士论文激光波段二维光子晶体能带结构的数值计算与设计 第 1 章绪论 问题的提出与研究意义 上世纪五十年代半导体物理的突破性进展带来了从日常生活到高科技领域革命 性的影响，由 此导致了 一场轰轰烈烈的电 子工业革命。 半个世纪以 来， 对半导体技术 的 深入研究和广泛应用推动了电 子工业 和信息产业的迅速发展。 如今半导体器件的 普 及程度可以说到了登峰造极的 地步， 如电 视、 电 话、 手机、 计算机等， 甚至在儿童玩 具中， 都在 使用 着用半导体材料制 成的 二极管、 芯片等元 件。 目 前半导体器件正向 着 更小的电路 体积和 更高的信息交换 速度的 方向 发展， 但是由 于现有系统中信息的载体 是电 子， 系统性能在微型化和高 速化的发 展过程中受到了 很大的限 制。 如微型化会导 致阻 抗增加， 能 量散失增多 且散热困 难等; 而高速化将导 致信号不能同步， 容易出 现 信号 失真。 在电子线路己 经发展到极限的 今天， 科学家们不得不 把目 光从电子转向 光 子， 用光子代替电 子来作 为信息的 载体川 。 与电 子相比，光子具有如下优势喇:( 1) 极高的信息容量， 这是因为介 质材料 中 光波的 带宽要比 半导体器件中电 磁波的带宽宽得多: ( 2) 极 快的 响应能 力， 这是因 为 光信号在介质中的传播速度要比电 信 号在电 子器件中的传 播速度大得多; ( 3) 极低 的能 量损耗， 这是因为 光子间的 相互作用要比电 子之间 的相互作 用小的多。 因 此人们 一直在设想 着能像制造集成电 路一样 制造出 集成光路， 光子在其中 起着电子在半导体 中的 作用， 而全光通信、 光子计算机将 构成未来的光 子产业. 但是 光子也存在着缺点: 传统光学 对光的控 制主要依赖于 光的 全内 反射原理， 即光 在高 折射率介质中 传播， 在 高一 低介电 材料的 交界面上反 射。 要实现全反射， 与波长相比 ， 界面必须足够光滑足 够大， 而且光路的转角不能太大， 这限 制了 光学元件的微型化。 因 此与集成电 路相比， 集成光学器件的尺寸和集成度问题，一直是困扰集成光学发展的重要问题之一。 最近十多年刚刚兴起的 光子晶 体 ( ph otonicc rystals ， pcs) 则为解决这一问 题 展示了 光明 的前景， 就像人 们现在 控制半导体中的电 子一样， 由 光子晶体做成的器件 可以 如人所愿地控制光子的流动，并且光子晶体的 研究不仅仅是光通信领域内的问 题， 它同时 对其他相关高科 技领域都将产生巨 大的影响， 所以 光子晶 体越来越引 起人 们的 广泛关注。 19 87年 由e . y ab1 on ov it chtj 在 讨 论 如 何 抑制自 发 辐 射 和5 . jo hn 固 在 讨 论 光 子局 域时 分 别 独 立 地 提出 了 这 个 概念 t. 刀 . 光 子晶 体 是 一 种微 结 构 光 学 材 料， 其尺 度 与电 磁辐射波长具 有相同的数量 级， 它通过对材 料介电常量的空间 周期性调制来实现其光 学性质. 在一定条件下， 光子晶 体可形成光 子带隙， 频率落 在光子带隙内的光将不能 通过材 料而 传播。 之所以称 之为 “ 光子晶 体” ，是因为它是由 基本 材料单 元周期排列 硕士论文激光波段二维光子晶体能带结构的数值计算与设计 以 研究 zd 光子晶体仍有很大的 实用价 值1 。 本文将着重从可 见光波段来研究分析 二 维光子晶体的绝对带隙结构、 能 带场的 分布、 负折射特性及二 维光子晶体的应用。 其 研究内容如下: ( 1) 用平面波展开法( p w e ) 对二维光子晶 体的 完全带隙 结构进行数值模拟计算， 并得到二维光子晶体的能带结 构图 及其场分布图; (2 )研究分析了影响光子完全带隙的各种因素并通过场的分布解释了 完全带隙 形成的 机理， 论述了如何 得到在可见光波段的 最宽的完全 禁带; (3 )用时 域有限差分 法 (f dtd) 对二维光子晶体的负 折射特性及其成像进行了模 拟仿真，论述了光子晶体负折射特性的应用前景; (4 )用软件仿真模拟制作可见光波段的 二维光子晶体并 详细分析了二维光子晶 体在一些器件中的应用。 1 . 3 . 2 课题研究的意 义 本课题从可见光波段来研究分析二维光子晶体的 绝对带隙结构、 模式场的 分布及 完全带隙 形成的 机理和负 折射特性， 比 较分析了 二维三角晶 格、 正方晶格的 完全带隙， 深入研究了 介电 常数、 填充率等 对激光波段二维光子晶 体的 完全禁带的 影响， 比 较具 体的获得了 各个参数对于 绝对光子带隙产生的作 用， 提出了 设计thz 二维三角晶 格光 子晶体完全带隙的 具体参数: 并用f dtd 研究了光 在二维光子晶 体界面的负折射行为 及二维光子晶体的透镜成像，得到了具体的理论结果，提高了成像质量;课题新颖、 目 标明确， 应用价值广泛， 希望能为我国的光电集 成、 光子 集成、 光通讯、 微波通讯、 空间光电技术以及国防科技等发展提供一些理论基础。 硕 士 论 文激光波段二维光子晶体能带结构的数值计算与设计 第 2 章光子晶体的理论研究和实验研究 2 . 1 光子晶体与电 子晶 体的比 较 从电磁场理论可知，电磁波的传播可以用枷xwell 方程描述。 设介质的相对介电 常数满足: er ( r ) = er 。 + sr l (r )( 2 . 1 ) 式中 e.0为 平 均 相 对 介电 常 数 ， (r ) 为 相 对 介 电 常 数的 空 间 调 制 部 分 ， 它随 空间 位置的改 变而变化。 设频 率为口 的单色电 磁波在介质中 传播， 且电 介质微结 构对光不 存在吸收，总的相对介电常量处处为实数且为正值，则光场方程为: 一 v z: 、 ; (v .。 一 兽 、 。 )e 一 霉 。 。: ( 2 . 2 ) 在固体物理 研究中发 现， 晶 体中周期性排列的 原子 所产生的周期性电势 场对电 子 有一个特殊的约束作用。在这样的空间周期性电势场中的电子运动是由如下的 反加d 成尹 吸 盯方程决定的: ( 丫 _ ) ， v ，梦 + 犷 ( r 知= 脚尹( 2 . 3 ) 其中v(r)是电 子的 势能函数，它具有空间 周期性。 方程式 (2. 2) 和 (2. 3) 具 有相同的形式，都是线性hermi ta 加特征值方 程，它们的 解分别完全由电介质函 数 e. (r) 和势能函 数v(r)决定。 比 较式 (2. 2) 和式 (2. 3) 可知， 方程 (2. 2) 中的 第一、 二 项与 方 程(2 . 3)的 第一 项 对 应， 它 表示 动 能: ( 。 2/c 2 ) e. : r)起 散 射 场的 作 用， ( 。 ，/ c ， ) 乓 。 为 特 征 值。 m a x ， e l l 方 程 ( 2 . 3 ) 描 述t 一 个 矢 量 波 场 ， 电 子 波是 标 量 波 ， 光 子 波是矢量 波; 二 者所用理论的 精确性也不同: 电 子采用标量波 近似方程描述， 满足 薛定愕方 程， 忽略了电 子一电 子及电子一声 子的相互 作用; 光子 采用矢量波理论描 述， 满足麦克 斯韦方程， 由 于光 子一 光子间的 相互 作用很小， 可以 忽略， 所以 光子的 运动 方程是严格的. 硕士论文 激光波段二维光子晶休能带 结构的数值计算与设 计 杂性， 要得到封闭的 解析 解十分困难， 随着电 子计算机技术的 应用和发 展， 人们已 经 发展了多种用于光子晶 体模拟分析的理论和数值方法， 从最初的标量 法到矢量法， 都 是从施x on方 程出 发， 适当变换后进 行计算。每种 方法都有自 己 的 特点 和局限性， 在实践中常常根 据需要选择不同的方 法， 或把它们相互配 合而 形成混 合的方法。 由于 光 子晶 体的 理论研究涉及大规 模的 数值计算， 所以 寻求简单、 精确、 高效的分析计算 方法 一直是该领域的 重要课题。 由 此可见， 在理论上设计光子晶 体的 结构并分析其性 质， 对光子晶体的实 验制作和应用 研究具 有重要的 指导意义。 光子晶体的理论计算方 法主要有: ( 1 ) 平 面 波 展 开 法 ( p l a n e 肠 v e e x p a n s i o n m e t h o d ， p 肥) 1， 习 : 是 在 光 子晶 体 研 究中 用的最早和最多的频 带结构计算方法。 它应用b l o ch定理， 将施x 呢n方程组中 的 介电 常数的倒数 用f ourier级数 展开， 并将电 场和磁场在倒 格矢空间按平面波的形 式展开， 从而将撇。ell 方 程组转化成一个关于 频率。 的 本征值方程， 求解本征值便 可得到 特定 波矢k 对 应的 一组频率本征 值。1 9 90年， ho 等 人用这种方法计算了 第一 个光 子带隙结 构， 共用了 几 千个平面波， 在理论上首次证实了 完全带隙的 存在。 平面 波展开法的优点 是没有引 入假设条件，为 频带结构的计算提供了 一个稳定可靠的 算 法; 编程直观简单， 可以 借助现有算法库中的傅立叶 变换、 矩阵对角 化等标准程序。 缺点 是计算量较大， 与平面波数量 成立方 关系; 并且当 光子晶体结构 复杂或在处理有 缺陷的 体系时。 需 要大量的 平面 波， 可能 是因 为计算能力的限制而 不能计算或难以 准 确计 算; 由 于使用周期性 边界条件， 对不 规则分布结构无法处理; 而且如果介电 常数 随 频率变化，就没有 确定的本征方 程形式， 从而无法求 解。 ( 2 ) 转 移 矩 阵 法 ( t r a n s f e r 枷t r i x “ e t h o d ， t 川) 1能 ， : 将 整 个 晶 体空 间 划分 成 许 多格点 ( 层) ， 假设 在同 一个格点 ( 层) 上有相同的态和频率， 转移矩阵描述了 在边 界条件下每 个格点 ( 层) 的 场强与相邻格点 ( 层) 场强的关 系， 整 个晶 体的转移矩阵 等于 各个转 移矩阵的 乘积， 这样可以 利用maxwell 方程组将场从一 个初始位置出 发， 逐层 推到整个晶 体空间， 得到整 个结 构中 的 场分 布。 这种方 法对介电 常数随 频率 变化 的 金属系统和有损吸收介质特别有效。由 于转移矩阵小， 矩阵 元少， 计算量较 p we 大大降 低， 只与实空 间格点数的 平方成正比 ， 同 时可以比 较方便地得到 透射率和反射 率。 当 传输矩阵 取为一 个元胞的矩阵时， 加上b l och 条件， 也可以 得到能带结构。 但 是 对于复杂结构及多 维情况其分 析会变得很复杂， 而且用该方法求 解电 磁场的分布 较 为 麻烦， 效率不是很高。 ( a ) 时 域 有限 差 分 法 ( f i n i t e d i f f e r e n c e t i 口 e d o 阻 i n 口 e t h o d ， f 叮 。 ) 佃 ，“ : 由y e e 在 1 9 66年提出 ，发 展至今已日 趋成熟， 是电磁场 数值计算的经典 方法之一， 能求出波动方程时域上的解 。它将单位元胞划分成许多网格，把随时间变化的 扼x ， ell 微分方 程转化为每 个网 格结点的 有限 差分方 程， 每个结点的电( 磁) 场仅与 l 2 硕士论文 激光波段二维光子晶体能带结构的数值计算与设计 其相邻网 格上的 磁 ( 电) 场以 及上一时间步 长的 场量有关。 选取合适的 布里渊区 边界 周期条件和初始条件， 将瓶xwell 方程转化成 准对角 化矩阵 形式的特征方程， 其中 只 有少量的非零矩阵 元。 求解四 维数值解， 通过傅氏 变换可求得三维空间的频域解. 因 此 fdtd 具有一次时域计算代替频域上逐点计算的潜力， 具有较好的综 合性能， 可用 来研究光 子晶体中的各种问题， 包括色散、 模式、 非 线性和直接在数 值空间中模拟电 磁波的 传播以 及它与物体的相互作用过 程等， 并 且对于色散介质和非 线性介质等一些 复杂问 题具有广泛的适 用性。 但是由于 光波波长较短， 网 格密度大， 因 此计算量较大， 晶体含有金属时， 收 敛缓 慢。 而且没有考虑晶 格的晶 体形状， 对特殊晶格很难精确求 解。 ( 4 ) 超 元 胞 法 ( s u p e r c e l l l a t t i c e m e t h o d ， 5 喇 ) 浅 阔 : 又 称 正 交 函 数 展 开 法， 由m o nr。 等人提出， 将p cf 的 横向介电常 数表示为两种周期性结构叠加， 这两种周期 性结 构分别用余弦 ( 或正弦) 函数展开。 同时 考虑到 光子晶 体中的 光场模式是一 种局 域态，将光场用局域性很强的 he扣ite es g a u ssi an 函数展开。利用正交函数的性质， 将全矢量波动方程转化为 矩阵 本征值方 程， 从而求得模场分布、 偏振特性、 色散特性 等。对模场求解既可以用矢量法，也可以用标量法，使用标量法时，要求 p cf 的 d /a 足够小才能 精确求 解. 效率高， 过程简 单。 2 . 5光子晶 体的实验研究 光子晶 体要产生完全光子带隙必须满 足一定的条 件图 ， 如较高的折 射率比、 一定 的空间对称性、 适宜的 介质填充比 和良 好的介质连通性等。 同时 满足这些条件较为困 难，因此制备具有完全带隙的光 子晶 体是一项巨 大的 挑战。 近来， 纳米技术的发展， 很大程度上推动了 光子晶 体的 研究， 光子带隙 从微波波段扩展到红外和可见光范围， 晶 格尺寸缩小到微 米、 亚微 米量级。目 前， 人工方式制作 光子晶 体的 方法主要有: 精 密机械加工 技术、 微电 子制备技术、 自 组装技术、 层层叠 加技术和堆积一一 拉丝技术。 ( 1)精密 机 械 加 工 技 术 圈 圃 国 利 用 精 密 机 械 加 工 技 术 制 备 光 子 晶 体已 有 很 多 有意 义的 成 果 叫， ， 。 由 于 微 波 带 隙 的光子晶 体晶格尺寸在厘米至毫米量级， 用机械方法就可以实 现。 长波长二维光子晶 体多通过上下两个带孔的薄片将细小的介 质杆或金属杆固定住， 薄片孔的 排列决 定了 光子晶体的结构。 短波长二维光子晶体多采 用在半导体 衬底上打孔的方法来制造. 此 外， 为了消除结构对 称所导 致的能 级简并， 争取更宽的光 子带隙， 还可以 采用同 种材 料但直径不同的两种介质孔 ( 柱)来构成二维光子晶体。图 1 . 2(a) 所示的 y abl onovi t ch 结构就是 采用精密机械加工技术制作的 第一个三维光子晶 体结构团 ， ， 它是在 ai八衬 底上分布着六角形点阵排列的空气孔，以 偏离中 心轴 35. 26 度的 方 向， 用活性高 子束依次对每个空气孔钻眼三次， 相互夹角 1 20 度， 最终 在衬底材料 l 3 硕士论文激光波段二维光子晶体能带结构的数值计算与设计 第 3 章光子晶体结构设计的理论基础 3 . 1固体物理的基本概念 3 . 1 . 1 空间点阵和晶格 晶体是其中的粒子( 原子、 离子和分子) 在空间呈周期性排列的固体。 为了描述晶 体内 部粒子在空间 周期性地规则 排列( 或者称为长程序) ， 引入了 空间点阵的概念。 理想晶体结构可以 看成是由 单个原子或是原子集团 在空间按一定的方式作周期 性无限排列而构成的。 当 我们从 任意一点r 去观察粒子的排 列时， 将与 我们从另一点 去观察所看到的粒子排列在各方面都是一样的。 f 二 于 + m 反 + n 舀+ 夕 瓦( m ，n ， 1， 为 任 意 整 数 )( 3 . 1 ) 其中 压 1 沂 2 ， 瓦 是 三 个 不 共 面的 基 本 矢 量， 令， ，n ，p 取 一 切 整 数， 则由 式(3 . 1) 所 确定的空间无穷多个点的 集合就定义一 个空间点阵， 所谓点阵 仅仅是一个数学的 抽象 或者 说是一 个几何概念。 一 个实际 晶体就是由 某种原子、 分子或者集团 这样的 基本结 构 单元配置 在三维点阵上 构成的。 这种配置有原子、 分子 或者集团 的点阵就称作晶 格。 如果晶 格只有一 种原 子构成， 则基本结构单元( 简称基 元) 就是一 个原子， 原子中 心与阵 点重合， 这种晶格便 称之为布喇菲格子， 而配置 有基元的阵点一般又 称作格点。 布喇菲格子的 特点 是每个原子周围的 情况都完 全一 样( 图3 . 1( a)所示) 。 然而 更为普 遍的 情况是晶体的基元包括两 种或者两种以 上的原子，这种晶 格称为复式晶格( 图 3 . 1 (b ) 所示) 。 在复式 格子中 基元的原子集团中心与阵点 重合。 不难看出， 各基元中 相应的同种原子构成布喇菲 格子， 且基元中 不同原子构 成的 布拉菲格子是 相同的， 只 是相 对地有一定位移。 所以 复式格 子是由若干相同 的布拉菲 格子相互位移套构而成。 3 . 1 . 2 原胞和晶胞 从理论 上说 无论是点 阵或者晶 格都是一个空间的 无限图 形， 如 果取任 一格点为 顶 点，以 基矢三 ， 瓦 石 ， 为棱边围成 平行六面体，则整个晶 体便是由 这样的最小单元在空 间以而 乱 石 3 为周期 无限 重复排列构 成的， 称这样选取的 最小重复 单元为初基原胞或简 称原 胞。 在结晶 学中 为能既反映晶 体的周期性， 又能反映 其对称性， 通常并不一定取 最小单元作为重复单元。 因而， 格点 不仅在顶点上， 亦可 在体心、 面心或其他 位置上， 但原胞边长总是一个周期， 并 各表示某一晶轴的 方向， 以a ， b ， c 示之。 换句话说， 结 晶 学中原胞是按照对称性 特点选取的， 通常取最小 单元的几倍作为原 胞， 这种原 胞称 结晶学原胞或者简称晶胞. 硕士论文激光波段二维光子晶体能带结构的数值计算与设计 3 . 1 . 3 倒格子 倒格子概念及其应用在固体物理学中是十分重要的.倒格子定义如下:设 ( a )( b ) 图3 . 1 布喇菲格子和复 式格子 布喇 菲 格 子 的 基 矢 为压 . ， 瓦 ， 瓦， 由 天 ， = 几 云 什几 云 2 + 几 石 ， 决 定 的 格 子 称 为 正 格子 。 满 足 下述关系: ( 2 汀 at.b1 =2 耐 一， =谧 l 0 一之 1 笋j 1 ， j = 1 ， 2 ， 3 ( 3 . 2) 其中 石 : ，石 2 万 3 称 为 倒 格 子 基 矢 。 由 云 * = 人 石 什气 及 + 气 石 ， ( 八 人，气 为 任意 整 数 ) 决 定 的 格子称为倒格子。 由 定义 式 (3. 2) 可以看出，每个倒格子 基矢与两个正格子基矢正交，这样倒格 子基矢可以由正格子基矢表示如下: ( 3 . 3 ) b， = 2 汀 ( a z x a 3 ) a : . ( a z x a 3 ) 2 二 ( a 3 x a : ) a ， . ( a z x a 3 ) 2 厅 (a: x a z ) a ， . ( a : x a 3 ) 由 于 描 述 微 观 粒 子 运 动 状 态 的 波矢 无 具 有 和 倒 易 空 间 同 样 的 量 纲 ， 所以 倒 格 子 所 在空间又称为状态空间或者简称k 空间。 3 . 1 . 4 布里渊区 在倒格子中， 以 某一倒格点为原点， 从原点出发 作所有倒格子的 位置 矢量无 * ( 倒 格矢) 的 垂直平 分面， 这些 平面把倒格子空间 分割为 许多 部分， 第一布里渊区是从原 点出 发不跨 过任何垂直 平分面的点的集合( 即 倒格子空间的w i g ner 一 s eitz原胞) 。第 二 布里渊区 是从原点出 发只跨过一个垂直平 分面 达到的所有点的 集合。 第n 个布里 渊 区 是从原点出 发跨过( 犷1) 个垂直平分面达到的 所有点的 集合。 2 0 硕士论文激光波段二维光子晶休能带结构的数值计算与设计 如图 32所示为与二 维正方 形格子相对应的 k 空间中 布里渊区。图中心包围k 空间原点的布里渊区为第一布里渊区， 又称简约布里渊区，与第一布里渊区相邻 4 个区 域合起来构成第二 布里渊区， 。 图 3 . 2 二维正方格子的布里渊区 3 . 2光子能带理论 3 . 2 . 1 电子能带结构 在 2 . 1 中己 经提到，自 然晶体中的电 子，其波函 数满足薛定愕方 程: 卜 其 v z + 。 f) .尹 (;) 一 即 (;)( 3 . 4 ; 2 m 其 中 ， !n-电 子 质量 ， v(刁 一 自 然晶 体中 的 势 场 ，梦 斤 ) 一 标 量 波函 数， 卜 能 量 。 因 为自 然 晶 体 中以 刁具 有 周 期 性， 周 期 为 晶 格 矢 量万 ， 即: 犷 ( r ) = 犷 ( r + r )( 3 . 5 ) 布 洛 赫 ( b l oc h) 曾 经 证明 ， 当 势 场 具 有 周 期 性时 ， 波 动 方 程 的 解 尹 拼 ) 具 有 如 下 性质: p 斤 十 两 = 必 (;) 尹 万 其中 ， 无 为 波 矢 量. 式(3 . 6) 表 明 当 平 移晶 格 矢 量元 时 ， 波函 数只是 增加了尹及 的相位因子， 这被 称为 b l och定理。根 据 b l oc h 定 理 可以 把 波 函 数诚 刁 写 成 如 下 形 式 : 少 拼 ) 二 。 ( 不 )e “ ;( 3 7 ) 即布洛赫函数，它是周期性函数与平面波的乘积。 ( 3 ， 6 ) 硕士论文 激光波段二维光子晶体能带结构的数值计算与设计 其中 。 (;) 具 有 与晶 格同 样的 周 期 性: u ( r + r ) = u ( r ) 根据 b loch 定理，我们可以得到电子能带结构如图 ( 3 . 3) 所示。 ( 3 . 8 ) 3 . 2 . 2 光子能带结构 假设 介质为线性、各向同性，电 磁波在介质中的传 播满足 m a 姗ell 方程组: vx h =了+日 万 次 ( 3 . 9) 丽 汾 其中 ， 万 为电 位 移 矢量 ， 万 为 磁 感 应 强 度 ， 云 为 电 场强 度， 万为 磁 场 强 度， p 为 自 由 电 荷 密 度 ， 歹 为 电 流密 度， 七 为 时 间 变 量 . 并有物质方程: j=口五 d =万 e b=产 h ( 3 1 0 ) 其中，口 为电 导 率，e 为介电 常数，产 为磁导率。 我们考 虑空间无自 由电荷和电流时，p= 0 ， j = 0 。 且不考虑 分子大小和磁矩等 因 素 ， 介 质 的 介电 常 数 与 频 率 无 关， 即 为 非 磁 性 、 非 色散 、 无 损 介 质 ， e = 凡 : (;)， 产 = 巧。 其 中 ， eo 和八分 别 为 真 空中 的 介 电 常 数 和 真空 中 的 磁 导 率 。 e( 刁 为 相 对 介 电常数。将上述条件与方程组( 3 . 1 0)共同代入方程组(3. 9)得: 喝价 ) 刃 巧h= 0 - 一胡一合 v x e + 两 ( 3 . 1 1 ) _ 二只 日 忍 vx 月一风以尸 ) 一口 若考虑一频率为山，具有e 姗时谐特征的单色电磁波，设: 硕士论文激光波段二维光子晶体能带结构的数值计算与设计 居乎产 田= h(咖曰 ( 3 . 1 2 ) 代入( 3 . 1 1)并分离时相关 !旦 y y l v eoe (r ) e ( r ) = 0 八h(r) =0 x e (r ) 月矶 偏h (r ) = 0 x h(r ) 一 1 口 eoe (r ) e ( r ) = 0 ( 3 . 1 3 ) 分别消去万 、万得: _ 1_ 二二 1 。 、 ， 二一 _ l s t 产 )jc v x v 云 (不 ) = (马， e 呀 )云 (;) ( 3 . 1 4 ) ( 3 . 1 5 ) 其 中 ， “ 真 空 光 勘一 众 。 “ 即 “ 通 “ 俪 “ 方 程 组 得 到 的 h lmh 。tz 方程。 把麦克斯韦方程转化为波动方程得: v z : (r ) + 粤。 ， : (r ) 一 。 ( 3 . 1 6 ) 方程的解必有如下性质: e ( r + 凡， ) ， e x p( ik 凡， ) e (r )( 3 . 1 7 ) 方程 (3. 1 7) 的 解为 布洛赫 ( b l och) 波， 可写为如 下的 形式: e ( r ) = 凡( r ) e x p ( ik r )( 3 . 1 8 ) 凡( r + 凡， ) = 凡( r)( 3 . 1 9 ) 其中二 斤 ) 、凡 (;)都 是 周 期 函 数 ， 所以 可 用傅 立叶 级 数 展 开。 式中 的 k 为 波 矢 量 ， 焉 为晶格矢量。 在 光 子 晶 体 中 ， 介 电 常 数 呈 周 期 分 布 . 设 : ( 乃 = 凡 ) + 气 ， 其 中 ， 凡 呀 ) 、 凡 分 别为介电常 数差、基质介电 常数 ( 或平均介电 常数) ，代入 ( 3 . 1 5) 并变 形得: 一 号 sa ( r ) e ( r ) + v v e ( r ) = 升 eb e (r ) c 一 山 2口2 ( 3 . 2 0 ) = ea (r十 r ) r 为光子晶 体的晶 格常 数。 v厂仕1， ，一训中 fl-.伦卜邦 硕士论文徽光波段二维光子晶体能带结构的数值计算与设计 对照自 然晶体中， 可以 将电 子的运动近似地看成在一个等效的 周期性势场中运 动，它的波函数满足薛定愕方程: 犷 (r ) 秘， 五 俨 + 天 ) ( 3 . 2 1 ) 其 中， v( 刁 表 示 势 能 ， 具 有 周 期 性， 其 周期 为晶 格 常 数天 。 比 较( 3 . 2 0)与(3 . 21) 两组方程式， 前者为矢量方 程， 后者为标量方程， 除(3 . 2 0) 中 多 出v v 厉 (刁 一 项 外， 两 者 在 形 式 上 极 其 类 似 ， 并 具 有以 下的 类比 关系 : v( 子 ) ( 3 . 2 2) 即光子晶体中周期性变化的介电 常数相当于自 然晶 体中 周期性变化的 势场， 而 口 2 万气 相当于能量本征值. 得出这样的类比关系，从根本上讲， 是因为二者都是描述 波的 传输， 只不过电 子的 波函 数是标量波， 而电 磁波是 矢量波。 如果我们只考虑一维 情况或垂直入射等简单情况，则有: v v e (r ) = 0( 3 . 2 3 ) 此时，( 3 . 20)可化简为标量方程，此时可以用标量波近似 ( sc alar， ave approxi 阳ti on) 处理。 于是 根据b l och 定理， 我 们可以 进行类似电 子系统的能 带计 算得到如图 ( 3 . 4) 的光子色散关系。 从光子与电 子运动方 程的 类比 性， 可以得出以 下结论: 在一个介电 常数周期性 变 化的结构中， 光子的运动 将类似于周期性势场中电 子的 运动. 同 样在色散关系上， 周 期性介电结 构具有光子能带，能 带之间还可能出 现光 子带隙。 通过对方程 ( 3 . 1 4 ) 、 (3. 巧) 求解发现， 在介电 常数呈 周期分布的 介质结构中， 方程只有在某些特定的频 率处 才有解， 而在某 些频率范围 无 解， 即 某些频 率的电 磁 波是被禁止的，这些禁止的频率范围就是光子带隙。 但是， 在自 然晶 体中 ，由于电 子之间的库仑作用 所造 成的多 体效 应， 往往使单体的 b l oc h态不得不做 相当 大 的 修正， 因 此即使 是电 子组 态最简 单的碱金属， 其能带 也 非单体的 b l o ch 态所能描述。 而光子间由于 作用力 小到 可以 忽略， 光子晶 体就是检验 图3 . 4 光子色散关系 bloch定理的最佳对象。 由 于电 磁波是 矢量波， 相对 标量 波多了 偏振态 ( p o l ar此 ati on) 的影响， 其所造 成的 硕士论文激光波段二维光子晶体能带结构的数值计算与设计 差 异 主 要 反 映 在(3 . 2 0)式中 多出 的vl v.万 )l 项， 因 此光 子 会比 电 子 多 出 一 条 色散 关系. 所以， 使用标量波近 似所得到的 解， 只是两 个偏振态中的 一个。 在均匀介质中， 两个极化模具有相同的 色散关系， 但在大多数系统中， 介电分布有一定的各向异性 ( a n i s o t r o p y ) ， 因此两个偏振态所对应的色散关 系也 不简并 ( n o n-d e g e n e r a t e ) ， 结 果造成能带上的差异。 因此光子晶体的能带结构比电子复杂， 也不容易形成完全带隙。 3 . 3小结 现代科学技术的各个领域都离不开具有各种性能的固体材料，晶体是应用面最 广、 最重要的固体 材料。 因此， 准确地理解固体物理学 和晶体学的 基本概念， 对于深 入理解和研究固体材料及光子晶体的结构设计有重要的意义。 硕士论文 激光波段二维光子晶体能带结构的数值计算与设计 第 4 章二维光子晶体的能带结构及完全大带隙设计 在光子晶体的 理论分析和数值计算中， 平面波 展开法 (p砰 e) 是一 种应用较早、 也较为 成熟的 计算方法。 ho km等人首次成功 预言 类金刚石结构中三 维完全光子 带 隙的存 在就是运 用的这一 方法圆。 最初， 由 于没有考虑电磁波的矢量 特性， 使用标量 平面波展 开法进行分析， 结 果并不 准确. 直到引入矢量 特性到方程中， 平面波展开法 才接 近完善。 相 对其它数值分析方法，p we具有简单、 可靠、 高效的 特点， 至今仍被 广 泛采用。 因 此本章详细地介绍了 平面波 法， 并 利用该方法和mpb 软 件分析计算了 几 种典型形式的光子晶体的能带结构。 4 . ip we 基本原理 在第三 章中， 我们己 经得到m a x ， e n方程组转化所得的h el mho l tz方程: v 、 兴v 、 、 (、) 一 (马 2 、 (。 l 吸 r )jc v 、 v 西 (刁 一 ( 马， e ( 刁 万 ( 声 ) ( 3 . 1 4 ) ( 3 . 1 5 ) 比 较 方 程 ( 3 . 1 4 ) 、 ( 3 . 1 5 ) ，由 于。 (于 ) 与 位 置 有 关， 虽 然v ( e 劝= v 万 = 0 ， 但 v .云 ， 。 。 而 v .万 一 生 v .万 = 。 。 因 此 ， 如 果 用 电 场 万 作 为 方 程 变 量 ， 本 征 方 程 将 涉 产 及万 的 三个分量， 方程的维数是 3nx 3n; 如果用磁场万作为方 程变量， 本征 方程 将 只涉及万 的两 个分量， 方程的维数为 znx zn. 为了 减少计算量， 通常 选取万作为 本征方程变量，即 选取 (3. 1 4) 作为主方程求解。 首先简 单分析主方程 ( 3 . 14) 。 在光子晶体中， 介电常数呈周期 性分布，若 只改 变周期长度而保持其它参数不变，例如设: 乓 不 ， = “ 会 ， ( 4 . 1 ) 即几 行 ) 与 e 斤 ) 之 间 仅 相 差 一 比 例因 子占 ， 而 介 电 常 数几 呀 ) 的 分 布 与 原 ( 刁 分 布 在 形 式 上 相 同 。 用几 (刁 代 替 以 刁 后 代 入 本 征 方 程(3 ， 1 4) ， 通 过 坐 标 变 化 和 简 单 变 形 后 发 现 ， 原 方 程 的 特 征 频 率。相 应 地 也 仅 有 比 例6的 缩 放 ， 即 叭= 里。 我 们 占 将这一 特性称作缩 放规律 (scal i n g l 胡) ， 它 对光子晶 体的理论分 析和实际 制作都非 常重要。 在理论计 算中， 如果 仅仅同比 例缩 放折射率的分布位置， 并不需要 对特征方 硕士论文 激光波段二维光子晶体能带结构的数值计算与设计 程重新求 解， 从而大大提高计算效率。 同时， 在求解频率 特征 值的过 程中， 可以 对其 进行归 一化， 如利 用晶格常 数a 作为 特征长度等， 便于分析和比 较。 另一方面， 在实 际 制作中， 利用缩放规律， 可以 让我们只设计一种特定结构， 通过改变晶格常数的大 小使其工作在不同的 频段. 例如， 若能在g hz量级获得 带隙， 则随 着结 构晶格常数的 减小， 必能在相应的 波段得到更高中 心频率的 带隙。 同样的， 除位置分布外， 介电常数的大小等比例变化也仅造成频率特征值的相应 缩 放. 设凡 挤 ) 二 命 挤 ) ， 带 入 特 征 方 程 所 得 的 频 率 特 征 值呜= 曲. 在 光 子 晶 体 中 ， 介电 常 数以 刁 具 有 空 间 周 期 性 ， 根 据 布 洛 赫 定 理， 将以 刁的 倒 数 展开成以晶格的倒格矢为波矢量的平面波形式: e ( 产 ) = 艺v( 云 丫 ( 4 . 2 ) 其中，云为 倒格矢。 同 样 根 据b i 。 ch定 理 ， 将 磁 场万 斤 ) 写 成 如 下 平 面 波 展 开 形 式: 及刁 = 云 ; (f) 尹 其中 ， 万 为晶 格 在 布 里 渊 区 中 的 波 矢 量 ，云 ; (;)为 周期 函 数: u 石 ( r ) =u 诬 ( r + r ) 将其在倒空间展开 碳 (f)一 艺 砒司 产 不 g 将 ( 4 . 5 )代入 ( 4 . 3 )得 万 (;)= 艺 爪 ( 动 严福 ” g 因 为v 万 挤 ) = 。 ， 故 h 不 ( g ) ( k + g ) = 0 即 石 ; ( 百 ) 是 由 两 个 与沃十 否 ) 垂 直 的 正 交 矢 量 叠 加 组 成。 设 ( 4 . 3 ) (