（应用数学专业论文）次黎曼测地线的刻划.pdf

硕士论文次黎曼渊地线的刻划 摘要 本文研究了次黎曼流形( m ，d ，g ) 上的测地线，这里m 是n 维光滑 流形，dct m 是k ( k n ) 维光滑分布，g 是定义在d 上的正定度量 张量论文分别从整体上和局部上讨论了测地线的定义，并研究了它们 之间的联系；较为系统地讨论了次黎曼测地线结构从是否满足次黎曼 h a m i l t o n 形式h ( q ，p ) = g - 1 ( pi d ，pi d ) 所对应的h a m i l t o n 方程可分为： 正规测地线与非正规测地线( 即奇异测地线) ：从端点映射的微分在极小 测地线处是否为满射可分为：正则极小测地线与奇异极小测地线从最 优控制论的角度，给出了约束条件，( ) d 的一个解析形式，得到了次 黎曼测地线的一个刻划；同时利刖l a g r a n g e 乘子法证明了奇异测地线存 在的必要条件及奇异曲线( 即端点映射的奇异点) 的充要条件 关键词：正规测地线，奇异测地线，正规极值曲线，非正规极值f i f | 线 j 鼷士论文 次黎曼测地线的刻划 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h eg e o d e s i c si ns u b - r i e m a n n i a nm a n i f o l d s ( a td ，9 ) ， w h e r emi sand i m e n t i o n 醴s m o o t hm a n i f o l da n ddi s 女d i m e n t i o n a ls m o o t h h o r i z o n t 越d i s t r i b u t i o ne n d o w e dw i t has m o o t hp o s i t i v ed e f t n i t em e t r i ct e n s o rg a n dk w ed i s c u s st w od i f f e r e n td e f i n i t i o n sa b o u ts u c hg e o d e s i c sa n dt h e r e l a t i o n sb e t w e e nt h e mi nt h i sp a p e r a tt 1 1 es a 2 2 1 et i m ew ec l a s s i f yt h es u b - r i e m a n n i a ng e o d e s i c si n t on o r m a lg e o d e s i c sa n da b n o r m a lg e o d e s i c sa c c o r d i n g t ow h e t h e rt h e ya r et h ep r o j e c t i o n so ft h es o l u t i o n st ot h eh a m i l t o ne q u a t i o n o fs u b - 磁e m a n n i a nh a m i l t o n i a nh ( q ，力= g 卅i d ，pi d ) o rn o t ，c l a s s i f yi n t o r e g u l a rm i n i m i z e r sa n ds i n g u l a rm i n i m i z e r sf r o mw h e t h e rt h ed i f f e r e n t i a lo ft h e e n d p o n i tm a p si ss u r j e c t i v ea tm i n i m i z e r so rn o t o nt h eo t h e rh a _ l d ，w eg e ta c h a r a c t e r i s t i cf o rs u b - r i e m a n n i a ng e o d e s i c sf r o mt h ev i e wo fo p t i m a lc o n t r o l ； ma l s og e tt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rs i n g u l a rg e o d e s i c sa n dt h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs i n g u l a rc u f v q s ( i e s i n g u l a rp o i n t so ft h ee n d p o i n t m a p ) k e y w o r d s ：n o r m a lg e o d e s i c ，s i n g u l a rg e o d e s i c ，n o r m a le x t r e m a l ，a b n o r m a l e x t r e m a l i i 硕士论文次黎曼测地线的刻划 1 引言 对次黎曼几何的研究，主要来源之一是控制论。次黎曼几何是对控制论中有约 束的控制系统进行研究的理想框架，同时也被川来研究力学中的非完整系统；近 年来对度量空间的几何分析和几何测度的研究也极大地促进了次黎曼几何的发展。 任意给定次黎曼流形中的两点，寻找这两点之间长度最短的水平曲线的问题列惯 上称为次黎曼测地线问题，它是变分学中有约束的l a g r a n g e 问题，同时也是最优 控制论中一个最优控制问题 如果水平分布d 就是整个切丛t m ，即d = t m ，则次黎曼流形就是黎曼流 形，因而黎曼流形可视为次黎曼流形的一个特例，两者具有一些类似的性质，但同 时也有着本质的区别例如，所有的黎曼测地线都可由微分方程的解得到。因而都 是正规的：然而并非所有的次黎曼测地线都为正规的，即还存在着不同于正规测 地线的一类曲线一奇异测地线，它是极小测地线，但不是次黎曼测地线方程解的 投影正规测地线可由余切丛7 4 掰上的次黎曼h a m i l t o n 形式h = i 1g - i ( p l 。，p i 。) 所对应的h a m i l t o n 方程的解，即正规极值曲线在m 上的投影得到，且正规测地 线上任何充分小的一段是连接两端点的唯一的极小测地线( 【3 5 ) 。奇异测地线是奇 异j l 线，从而可由非正规极值曲线在m 上的投影得到。 事实上，奇异测地线的存在也不是一下子就认识到的，这其中经历了一些反 复在1 9 6 卜1 9 9 0 这段很长的时间里人们一直认为与黎曼几何一样所有次黎曼测地 线都可由测地线方程的解得到( 3 8 】) ，虽然也有很多学者( 如，b g a v e a u ，r b r o c k e t t ， h s u 等) 从变分学的角度认识到奇异测地线可能存在，但他们都没能够给出正确的 证明这个问题最终由m o n t g o m e r y 在1 9 9 1 年解决，在次黎曼流形( 萨，d ，g ) 上， 其中d = ( z ，y ，z ) r 3 ：d z i 1y 2 d x = o ) ，d i m d = 2 。m o n t g o m e r y 发现位于 超曲面 = o ) 内的水平i l i 线不能由次黎曼测地线方程解的投影得到，同时还证 明了它们的极小性( 虽然这很困难) ，从而第一个证明了奇异测地线的存在性! 虽然 这种奇异测地线是纯粹构造出来的，但他的工作却具有划时代的意义，他纠正了 “所有的次黎曼测地线都是正规的”这一错误结论，从而澄清了黎曼几何与次黎曼 几何的一个本质区别。 次黎曼测地线问题是变分学中一个有约束的l a g r a n g e 问题，为了刻划正规 测地线的特征，p i c c i o n e 与t a u s k 两人从一般的有约束变分问题入手。将退化的 h a m i l t o n 形式h 的解刻划为有约束的l a g r a n g i a n l ：u r d 只 硕士论文次黎曼测地线的刻划 2 所对应的泛函 c ( 7 ) ：，6 l ( t ，7 协) ) d ( 1 ) 的临界点如果l 满足超正则条件，对l 旌行l e g e n d r e 变换得到h a m i l t o n i a ns o ， 令 h ( t ，p ) = h o ( ，pl d )( 2 ) 为其退化h a m i l t o n i a n 于是 ( 1 ) 如果f i i 线的一端点q 固定，另一端点在一个子流形p 上自由移动，则正 则i l l l 线 1 丑盖。( 【o ，6 】，d ，a ，) = 7 h 1 ( n ，h i , 订) ：7 ( t ) d ，n e t 【n ，6 】，y ( o ) = q ，1 ( 6 ) p ) 是泛函( 1 ) 的临界点当且仅当是退化h a m i l t o n 形式( 2 ) 所对应的h a m i l t o n 方程的 解r ： a ，6 1 一t + m 在m 上的投影( 【2 6 】) ( 2 ) 负l 果i l l 线的两端点分别在两个子流形p ，q 上自由移动，则正则曲线1 h 尸，1o ( k ，6 j ，d ，肘) ，其中 爿盖q ( i n ，6 】，d ，m ) = 7 h 1 ( 以6 ，m ) ：7 7 ( t ) d ，n e ，t k ，6 ，y ( o ) p ，y ( 6 ) q ) 是泛函( 1 ) 的临界点当且仅当它是退化h a m i l t o n 形式( 2 ) 的解，即存在提升r ： b ，b 】一t + m ，使得7 是r 在m 上的投影，且满足边界条件 r ( 口) ( 耳( 。) p ) o ，r ( 6 ) ( 马( 6 ) q ) o 其中( 耳( 。) p ) o ，( 耳( q ) o 分别表示切空间正( 。) p 1 五。) q 的零化子( 【2 7 】) 特别，若有约柬l a g r a n g i a nl 为二次型 l ( t ， ) = ；9 ( 玑v ) 其中g 为次黎曼度量，对l 实施l e g e n d r e 变换就得到退化h a m i l t o n 形式 h ( g ，p ) = 去g - 1 ( pi d , pl d ) 则该退化的h a m i l t o n 形式所对应的h a m i l t o n 方程的解就是所谓的正规测地线( 详 见定义3 1 ) 我们在利川l a g r a , n g e 乘子法求这个有约束极小时，一个难点是如何表示约束 7 讹) d 解析形式? 为了克服这个难点，他i f 一- 人通过引入一个光滑的l 一形式 。) ：e m 一舻“ 硕士论文次黎曼测地线的刻划3 o c t ，。) = ( 口1 ，口2 ，日。一k ) 其中吼，如，一k 是分布d 的零化子d o 的局部标架，与t 有关从而 d 。= k e r ( o ( t ) ) ，x m 这样约束条件7 印) d 就等价于7 似) k e r ( o ( t ，( c ) ) ) ，即0 ( t ，( t ) ) ( ，y 似) ) = o ( 3 0 1 ) 利 用l a g r a n g e 乘子法，次黎曼测地线问题就转化成无约束的极小值问题此外，在本 文的第四部分中，我们从控制论的角度出发，也得到了约束7 协) d 的一个刻划 虽然奇异测地线是次黎曼几何所特有的i 悻i 线，但也不排除不存在奇异测地线 的次黎曼流形的存在黎曼流形作为次黎曼流形的一个特例，它不存在奇异测地 线，即所有的黎曼测地线都是正规的现已知道如下的两类次黎曼流形，不存在 奇异测地线 ( 一) 水平分布d 满足强不可积条件 分布d 满足强不可积条件的一个典型的例子是分布d 由强括号生成，即对d 中的任意水平向量五，= 1 ，2 ，k ，有 s p a n x i ，i x , ，玛】) = t m ， t ，j = l ，2 ，k 而h e i s e n b e r g 群又是分布满足强括号生成的一个特例 例h e i s e n b e r g 群 在欧氏空间帮中，设水平分布 1 d = ( u 1 ，口2 ， 0 3 ) ： 3 一去( z v 2 一y v l ) = 0 ) r 3 在d 上定义内积：对任意u = ( 1 ，v 2 ，地) ，w = ( w 1 ，训2 ，w 3 ) r 3 ( v ，w ) = 口1w l + 0 2 2 容易验证，分布d 可由强括弓生成，因此h e i s e n b e r g 群中所有的测地线都是正规 的 ( 二) 分布是接触分布 如果分布d = 日= o ) ，其中目是满足下列条件的1 一形式 d o f d 是非退化的，即若d o ( x ， ) = o ，v v d 。则有x = 0 具有切触分布的次黎曼流形不含有奇异曲线，因此也就不可能存在奇异测地线 此外，n i k i t i n 在1 9 9 6 年从最优控制论的的免度出发，利川变分法得到了次黎 曼流形上只存在正规测地线的充分条件( 可参考文献 4 3 ) 硕士论文次黎曼测地线的刻划 4 在文章的第三部分我们讨论了次黎曼测地线的结构，如果测地线不存在，那我 们的讨论就没有任何意义了因而测地线的存在性是次黎曼几何中一个基本而又 很重要的问题那么，次黎曼流形满足什么样的条件才存在测地线? 换句话说，任 给两点是否存在次黎曼测地线连接它们? 更一般的，任意两点之间是否存在一条水 平曲线连接? 第二个问题是我们在次黎曼流形上寻找测地线的一个必不可少的前 提条件，早在2 0 世纪3 0 年代就由c h o w 解决! 对于次黎曼流形( m ，d ，9 ) ，如果m 是连通的，水平分布d 由括号生成，即对m 中的任意水平向量x ，i = 1 ，2 ，k ， 有 s p a n 苁，i x , ，玛】，陇，f x j ，蕊】1 - t m , i ，j ，f = l ，2 ，k 。 则m 中任意两点可由一条水平曲线连接( 4 7 ) ，此时m 中任意充分靠近的两点都 可由一条极小测地线连接( f 3 5 】) 如果进一步分布d 由强括号生成，且流形m 关于 次黎曼度量是完备的，则m 中的任意两点可由一条极小测地线连接( 3 5 ) 随着条 件的加强，测地线的存在由充分靠近的两点到流形上的任意两点，从局部发展到 整体，结论变得越来越完美但美中不足的是，我们无法判定连接两点的极小测地 线是正规的，或正则的，或奇异的这也是日前次黎曼测地线的研究与发展趋势 为了清楚地刻划次黎曼测地线的特征，p i c c i o n e 和t a u s k 在1 9 9 9 年给出了两 端点固定时正规测地线的特征，同时得到了两端点分别在两个光滑子流形上自由 移动时正规测地线的特征一般情况下，容许空间码。- ( 【，6 】，d ，m ) 不具有光滑 流形的结构，但在正则曲线的适当邻域内，具有无限维h i l b e r t 流形结构，因而， i e n i | 线7 是次黎曼能量泛函e 在容许空间码。- ( 【o ，6 ，d ，m ) 的临界点，当且仅 当它是连接q o ，q 1 两点的正规测地线( 1 3 】) 对于端点分别在光滑子流形p , q 上自 由移动的情形，也有类似的结论( 见本文中的定理4 3 3 ) ，如果端点流形p 或q 横 切于分布d ，即 耳p + d p = 0 m ，对所有的p p 则容许空间。h 尸，1 0 ( f o ，6 ，d ，m ) 不含有奇点，它是无穷维的光滑h i l b e r t 流形，此时 所有的次黎曼测地线都是正规的，且次黎曼能量泛函e 在该空间内的临界点恰好 是p ，q 之间的正规测地线。且满足边界条件： r ( o ) ( 薯( 。) p ) 。，r ( b ) ( e ( 6 ) q ) 。 其中r 为，y 的提升( 【3 0 ) 既然在一定条件下，正规测地线可由次黎曼能量泛函e 在容许空间内的临界 点来刻划，那么e 的临界点存在性与多解性就可以反映正规测地线的存在性与多 硕士论文次黎曼测地线的刻划5 解性进一步他们两人利h jm o r s e 指标理论，于2 0 0 0 年得到了终点q 固定，起点 在m 的一个光滑子流形p 上自由移动的正规测地线( 称之为p 一正规测地线) 的存 在性与多解性。k i s h i n o t o 在1 9 9 8 年指出，如i 栗分布是强括号生成，则每一条次黎 曼测地线都是正规的然而，p i c c i o n e 等人并没有假设分布d 满足这一强不可积条 件，而是要求子流形p 横切于分布d ，从而排除了奇异测地线的存在( 详见参考文 献3 0 1 ) 利_ _ i 】临界点相关理论，如果m 作为度量空间是完备的，那么次黎曼能量 泛函e 就满足一个很好的紧性条件一( p s ) 条件，即如果h i l b e r t 流形日1 ( h6 】，m ) 中的序列 如 满足： l i me ( x 。) = c n _ l i mi i d e ( x 。) 0 = 0 ( 其一| | 川i 为h i l b e r t 流形上日1 ( 【n ，乩m ) 有界线性泛函的模) ，则( z 。) 必存在收敛予 列利用临界点的相关理论，e 在空间风，p ( h 纠，d ，m ) 内必达到极4 , ( 1 2 8 1 ) 更进 一步，如果光滑子流形p 的维数是1 ，此时p 就是一条光滑f f i 线7 ：【，6 】一r ，利_ r | j 临界点的经典理论以及不同于m o r s e 理论的l s 畴数理论，还可得到在点q 与曲线 7 之间至少有c a t ( 哪，( 【。，翻，d ，m ) ) 条正规测地线；并且如果c a t ( 哪，( 【。，6 】，d ，m ) ) = + o 。，则存在正规测地线序列 o 。 ，使得 l i me ( z 。) = + o 。 n + ( 详见参考文献 1 3 1 ) 自1 9 9 1 年m o n t g o m e r y 在次黎曼流形上第一次构造出奇异测地线以来，人们 就没有停止过对这类不同于正规测地线的极小测地线的研究，但到日前为止还没 有取得突破性的进展奇异测地线作为次黎曼几何中所特有的曲线，能否刻划成某 种h a m i l t o n i a n 形式的h a m i l t o n 方程的解? 这个问题到目前为止还不清楚，但有 点可以肯定，那就是它一定不是次黎曼h a m i l t o n 形式( 4 ) 所对应的h a m i l t o n 方 程的解对于奇异测地线的研究，还处在一个初级阶段，我们只能确定它存在的范 围或存在的必要条件( 文章中的定理3 1 ，6 ) ，现在我们也只能从与奇异测地线紧密 联系的奇异曲线入手，希望找到奇异测地线存在的充分条件，更进一步可以研究 它的光滑性( 关于奇异曲线可参考文献 1 】，f 3 】，f 4 j ，( 1 5 ， 3 2 j ) 对于次黎曼测地线的研究还刚刚开始，即便对于次黎曼测地线的定义这个基 本问题也没有明确而统一的说法本文的目的，一是总结次黎曼流形上测地线的 不同定义并找出它们之问的联系；二是从最优控制论的角度对次黎曼测地线进行 刻划论文结构安排如下 硕士论文次黎曼测地线的刻划 6 第一部分：介绍次黎曼测地线的理论背景，发展历史及现状 第二部分：介绍次黎曼流形上相关的基本概念和定义。分析次黎曼测地线的 甄种不同定义：一种从整体上定义，另一种从局部上定义，讨论它们之问的关系 次黎曼测地线问题作为古典变分学中的一个有约束的l a g r a n g ef 1 题，研究容许空 间及其微分结构，同时定义端点映射，正则曲线l j 奇异线 第三部分：讨论了次黎曼测地线的结构，一种从是否由次黎曼测地线方程的 解得到可分为：正规测地线与奇异测地线( 又称为非正规测地线) ：另一种从端点 映射的微分是否为满射可分为：正则极小与奇异极小同时讨论了不同测地线之间 的联系，证明了奇异测地线存在的必要条件 第四部分：从最优控制论的角度，给出了约束条件，y 协) d 的一个解析形式， 同时给出了次黎曼测地线的一个刻划 硕士论文次黎曼测地线的刻划 2 预备知识 7 本章介绍次黎曼流形上相关的基本概念和定义，分别从整体上与局部上来定 义次黎曼测地线，菇讨论测地线的两种定义之间的关系；同时讨论了水平l i i 线所 构成的容许空间的微分结构 2 1 次黎曼流形上的基本概念 首先来介绍次黎曼几何中柏关的概念与定义 设m 是n 维光滑流形，m _ k f f , j 次黎曼结构由( d ，g ) 给出，其中d = u 。md q ， d 口c 正m ，d i m d q = k 它是切丛t m 的一个线性子切丛，称之为水5 j e 分布口 是定义在d 上的正定度量把具有次黎曼结构( d ，g ) 的光滑流形m 称为次黎曼 流形。记为( m ，d ，g ) 次黎曼结构又称为g g 度量次黎曼几何就是次黎曼流 形的几何蜘i 果k = 礼，则水平分布d 就是整个切丛t m ，即d = t m ，此时次 黎曼流形( m ，d ，g ) 就是黎曼流形( m ，g ) ，因而黎曼流形可视为次黎曼流形的一个 特例，于是为区别于黎曼流形，在下面的讨论中我们总假设k n 称绝对连续曲线7 ：b ，6 】一m 为水平f l l 线，如果该曲线几乎处处切于水平分 布，即 7 似) d ，a e t f a ，6 】 水平曲线又称为d i i 线 与黎曼几何类似。定义水s f f f i 线的长度与能量 ( ，y ) = g ( 7 ，7 ) d t j o 1，6 珊) 2 ；j ( m ) 出 任给m 中的两点口o ，口1 ，定义函数 击s t ：mxm _ 冗 d i s t ( q o ，q 1 ) = i n f e ( ，y ) ：，y 取遍q o ，q 1 之问的水平曲线) 则这样定义的函数d i s t 是m 上的距离( 4 5 ) ，也就是说，对于m 中的任意两点 矿 ( 1 ( 2 ( 3 9 1 ，有 ( 非负性) d i s t ( q o ，q 1 ) 0 ，且等号成市当且仅当q o 与9 1 重台 ( 对称性) d i s t ( q o ，q 1 ) = d i s t ( q o ，q 1 ) ( 三角不等式) d i s t ( q o ，q 1 ) d i s t ( q o ，q ) + d i s t ( q ，矿) ，对任意的q m 硕士论文次黎曼测地线的刻划 8 于是，对这样定义的距离，光滑流形m 可看作是一个度量空间，因此次黎曼流形 也是度量空间朝i 果q o ，q 1 之间不存在水平f | l 线，则我们定义d i s t ( q o ，q 1 ) = c o 事 实上，由c h o w ，s 定理可知，朝i 果流形m 是连通的，且分布d 是括号生成，即对 于的任何局部水平标架 五 坠。，有 s p a n x i ，【x i ，玛】，阻，隅，” = t m 则m 上的任意两点矿，q 1 可由水平曲线连接( 【4 7 1 ) ，此时d i s t ( q o ，q 1 ) ( ) ，因此黎曼流形土的测地线只具有局部的最缀性，而不具有熬体最短 瞧。 2 3 客许空间及其微分结构 现在我们来考虑水平i l l l 线所构成的空间 令2 秘，6 j ，r ”) 表示l e b e s g u e 平方可毅的君“一值映射籀成麓集会，它魁一个 h i l b e r t 空麓：群1 ( 陋，b t ，嚣8 ) 表示导数在空藏l 2 ( a ，麓，舻) 孛麴连续羯线 奄成嚣 s o b t e v 空间；胃( b6 】，m ) 表示满足下列条作的辩线z ：f a ，蚺一m 的集仑： 对m 上的任何个局部坐标袋( 弘卿，咖：ucm 一月”，及任一个闭空间 ，cx - i ( u ) ，有毋知l ，) h 1 ( ，彤“) ，则盯1 ( 【，6 】 m ) 是个无限维h i l b e r t 流形 饪给m 中靛掰点q o ，q 1 ，令 殍f 露，餐，m ；= f z h 1 ( 融，辞，m ) ：若( 疆) 一矿 南咯，q ( 【，6 】，m ) = = 茹h 1 ( 【o ，6 j ，m ) ：z ( a ) = q o 。( 6 ) = q 1 ) 胃1 ( 陋，纠，d ，m ) 一 苫h 1 ( k ，纠，m ) ：z 7 ( 幻d ，8 e 陋，蹦) 日；d ( f n ，q ，d ，m ) 一h 1 ( 陋，6 】，d ，m ) n 爿刍( 【n ，纠，m ) 睇妒函，翻，d ，曼妨一h 1 f 毛麓，d ，蠹g ) n ? 强1 ( 缸，翻，a 重) 夔| l 码( 陋，霹，越) ，1 ( 添，嘲，d ，掰) ，誊咯( k 醒，d ，m ) 楚捞1 ( 融，强m ) 静光滑予流 形( f 3 5 1 ) 然而，避接两点q o ，q 1 的水平f f l l 线构成的空间码、一( 。，6 】，d ，m ) 不魁 灯1 ( 【。，6 】，m ) 的予流形( 详见参考文献 3 0 1 ) 学 毽2 3 1 力孑劬如暴拳乎稿线，y ：k 司一射使次黎曼镌量泛函 1 一 e = 言7 多7 ) d t j b 在码，g ( f 。，叫，d ，m ) 内取得极小值，嬲且仅当g ( 叽1 7 ) 一常数，并且使长度溅画 一 z ( ，y ) 一彗( ，7 7 ) id t ，n 雀码( 陵麓，d ，m ) 蠢取缮蔹、。 注：这样求两点之间长度最短的桷线就转化为求次黎最能量泛函e ( 7 ) 的极小问 题，刊惯上称为次黎曼测地线问题，铝是一个有约束的变分问题 在h i l b e r t 流彤正岛( 【a ，胡，d ，m ) 上定义端点映射： e n d ：蠢刍f 沁壤，d ，m ) 一掰 硕士论文次黎曼测地线的刻划 e n d ( 7 ) = 7 ( b ) 它是从无穷维光滑流形垛( 【o ，6 】，d ，m ) 到有限维光滑流形m 的光滑映射 设 x i 坠。是水平分布d 的局部标架，令 k 1 也) = 让( f ) 置( ) = “x ( 3 ) i = l 如果7 砾( 【n ，6 】，d ，m ) ，则y ( t ) 平方可税，从而 让( ) = ( u 1 ( f ) ，u 2 ( ) - - u ( t ) ) l 2 ( f o ，6 ，m ) 这样任给码( 【o ，明，d ，m ) 中的一条f i l 线7 ，就对应于l 2 ( 陋，6 ，m ) 中的一个向量 u ；反之，l 2 ( d ，6 】，m ) 中任一向量u ，也对应于码( 【o ，卅，d ，m ) 中一条曲线，它可 由方程( 3 ) 满足初始条件 7 ( n ) = q o 的解得到( 35 ) 于是坐标形式的端点映射为： l 2 ( 【。，6 ，m ) 一m ：u 一，y ( 6 ) 朝i 果令中c = 饥( 钍) 表示与t 有关的光滑向量场u x 的流，则有： 命题2 3 2 ( p s i ) 端点映射的微分是 ，6 d ( e n d ) ，( 计) = 抛6 ( 9 0 ) d c t ( q o ) 。( ”x ) ( t ) d t ja 其中， d ( e n d ) ，：b 码( 陋，6 】，d ，m ) 一马( 6 ) m ， d 垂t ( q o ) ：l 2 ( o ，纠，m ) 一d ( ) m ，t 【a ，纠 定义2 3 3f p 剐称曲线，y ： a ，b 】一m 为正则曲线，如果端点映射e n d 在7 处淹 没，即端点影射的微分d ( e n d ) 在，y 处是满射；如果7 不是正则的，则称它为奇异 曲线 负l 果端点影射的微分在7 处是满射，即7 是正则曲线，则其微分像 l m ( d ( c n d ) 1 ) 就是整个切空间弓( 6 ) m ；如果它是奇异曲线，则i m ( d ( e n d ) ，) 就是 墨( 6 ) m 的一个真予空间，此时，存在a 耳( m ，使得 a ( d ( e 删) ，) ( u ) = o 从这个角度来说，如果曲线不是正则的，则它一定是奇异的 1 0 硕士论文次黎盟测地线的刻划 次黎曼测地线问题可描述为： 问题一求次黎曼能量泛函 e ( 7 ) = ；z 6 9 ( 7 ，7 ) d t 在约束 ( a ) ，y 世) d ，a e 【a i b 】， ( b ) ，y 他) 平方可秘， ( c ) ，y ( ) = q o ， ( d ) ，y ( 6 ) = q 1 下的极小 a _ e 【a ，b 由引理2 3 1 ，该问题的解就是次黎曼极小测地线，这是变分学中的一个有约 束的l a g r a n g e 问题在变分的过程中有一个难点：朝i 何推出约束条件( a ) 的解 析式? 由于满足约束条件( a ) 、( b ) 、( c ) 、( d ) 的曲线所构成的空问就是容许空问 码，。，( 【o ，6 】1 d ，m ) 为了克服这个难点，在文章的第四部分我们从最优控制论的角 度，利州l a g r a n g e 乘子法，将有约束极值问题转化为无约束极值问题， 硕士论文次黎曼t l t l 线的刻划 3 次黎曼测地线的结构 1 2 本章我们从两个角度来刻划次黎曼测地线的结构，一+ 乖f t 从是否由次黎曼测地 线方程的解得到可分为：正规测地线与奇异测地线( 义称为非正规测地线) ；另一利t 从端点映射的微分在极小测地线处是否为满射可分为：正则极小与奇异极小，同 时讨论不同测地线之间的联系利朋l a g r a n g e 乘子法还证明了奇异测地线存在的 必要条什 3 1 正规测地线，奇异测地线 与黎曼测地线不同的是，次黎曼测地线分为不同的两类：正规测地线与奇异 测地线( 或非正规测地线) 本节就来介绍正规测地线与奇异测地线的定义，并从 l a g r a n g e 乘子法入手得到了奇异测地线存在的一个必要条件与黎曼几何相同的 是，次黎曼几何中也存在着一类对应于微分方程解的测地线一正规测地线设( q ，p ) 为余切丛丁m 上的辛坐标 定义3 1 1 称曲线，y ：f a ，纠一m 为正规测地线，如果它是次黎曼h a m i l t o n 形式 h ( q ，p ) = ；9 1 ( pj d ，pi o )( 4 ) 在辛坐标( q ，p ) 下的h a m i l t o n 方程 惟姜 的解在m 上的投影 其中，g 一：d + d + 一r 是由g 诱导出的d 4 上的度量 注：( 1 ) 次黎曼h a m i l t o n 形式( 4 ) 所对应的h a m i l t o n 方程( 5 ) 称为次黎曼测地线 方程 ( 2 ) 如采( ( t ) = ( 7 ( ) ，p ( ) ) 是次黎曼测地线方程的解，则( t ) 在m k 的投 影，y ( ) 上任何充分小的一段是连接两端点的唯一极小次黎曼测地线( 1 3 5 i ) 因此正 规测地线只具有一种局部上的最短性 定义3 1 2 “矧称曲线，y ：i a ，6 】一m 为奇异测地线，如果它是极小的次黎曼测 地线，但不是次黎曼h a m i l t o n 形式“j 所对应的h a m i l t o n 方程的解在m 上的投 影 硕士论文次黎曼测地线的刻划 注：( 1 ) 奇异测地线又称为非正规测地线 ( 2 ) 奇异测地线是极小测地线，因而是次黎曼测地线问题的解 因此从是否满足次黎曼测地线方程角度，次黎曼测地线可分为两类：正规测 地线与奇异测地线，且有： 正规测地线) n 奇异测地线) = 空集 值得注意的是，奇异极小与奇异测地线作为整体上的定义，它们是次黎曼测 地线问题的一部分极小但由于测地线未必最短，所以我们还可得到下面的关系： j e 规测地线 t j 奇异测地线) 次黎曼测地线 定义3 1 3 伊删称绝对连续曲线r ：【a ，6 】一t + m 为d o 的特征，如果 一jr 横不为零，即若将r 写为余切丛p 吖上的标准形式r ( t ) = ( g ( ) ，p ( t ) ) ， 则对所有的【a ，6 】，v ( t ) 0 俐对每一个 ( 砰( f ) d ) o 及使得r ，( ) 存在的t 【a ，6 】，有 u ( r 沁) ，u ) = 0 其中u 为余切丛r + m 上的辛形式 注：如果令( q , p ) 为余切丛r m 上的辛坐标，q = ( 9 1 ，啦，) ，p = ( p j ，p 矿一，p 。) 则 由“d 】n ；。表示t + ( t + m ) 的局部标架，此时， 命题3 1 4 伊铆曲线，y ：【a ，b 】一m 是奇异曲线当且仅当存在d o 的非零特征 f ：【a ，6 j r m ，使得7 是r 在m 上的投影 命题3 1 5 剐( ，仇( d ( e n d ) ( 7 ) ) ) o = 叩( 6 ) ：即是d o 的特征，且7 r 。”= ，y ) 引入端点映射后，次黎曼测地线问题可以简单的描述为： 问题二 求次黎曼泛函e ( 7 ) 在h i l b e r t 流形码( k6 】，d ，m ) 内满足约束 e n d ( 7 ) = q 1 的极小 与计算函数的条件极值类似，求泛函的条件极值也可采_ 1 】l a g r a n g e 乘予法， 将有约束的极值问题转化为无约束极值问题为此，作形式上的l a g r a n g e 泛函： a 。e + 似，f ) 其中( a o ，a ) 为l a g r a n g e 乘子，a o r ，a o 0 ，f 表示端点映射 ( 6 ) 1 3 觑 哦 d 。渊 =u 硕士论文次黎曼测地线的刻划 1 4 一般情况下，我们假设a o 0 ，不失一般性，设a o = 1 ，此时即求泛函e + ( a ，f ) 的极小由于a o 0 相当于假设7 是正则i i f i 线，因而，若7 是极小测地线， 则它一定是正规测地线( 35 】) 由定义3 1 2 可知，奇异测地线也是极小测地线，但 不是正规的，因而不可能有a o 0 ，所以奇异测地线一定是a o = 0 的极小假设 a o 0 恰恰忽略了奇异测地线存在的可能性 下面给出奇异测地线存在的一个必要条件 定理3 1 6 如果水平曲线7 ：【a ，q m 是奇异测地线，则它一定是奇异曲线 证明如果7 是奇异测地线，则它是极小测地线，即问题二的解，但不是次黎曼 测地线方程的解的投影，因此l a g r a n g e 乘子不可能有a o 0 ，只能是a o = 0 而 当a o = 0 时，由于7 是极小测地线，因此 ( a ，d ( e n d ) ( 7 ) ) = 0 从而a ，m ( d ( e 钆d ) n ) ) o ，由命题3 1 5 存在d o 的特征q ，使得町( 6 ) = a ，且 7 r0 q = 7 ，即7 恰好是d o 的特征卵在m 上的投影，由命题3 1 4 ，7 是奇异f | 线 定理得证口 注：一k 述定理给出了奇异测地线存在的必要条件，我们若想找奇异测地线，应在 奇异| f l 线放中找因而奇异曲线在次黎曼几何中起卷很重要的作川，它也是次黎 曼几何所特有的性质 3 2 正则极小，奇异极小 定义3 2 1 伊刚称曲线7 ：b6 】一m 是正则极小测地线或简称为正则极小，如 果它是极小测地线，且是端点映射的正则点 称曲线- y ： a ，b l m 是奇异极小测地线或简称为奇异极小，如果它是极小测 地线，且是端点映射的奇异点 这样，从端点映射的微分是否为满射角度，次黎曼极小可以分为两类：正则的 与奇异的，且这两类测地线之间具有下面的关系： ( 正则极小) u 奇异极小) = 次黎曼极小测地线) 正则极小) n 奇异极小) = 空集 命题3 2 2 吼j 如果极小测地线7 ：【a ，叫一m 是正则曲线，则它一定是正规测 地线 硕士论文敬浆曼渊地线的刻划 注：该命题的遂蹩不j 廷确懿，也簸整谎在定义2 , 3 3 酶意义下，正窥测逸线可能整 奇异的( 【1 1 】) 事实上。从正规测蝈靓线的定义也可看到，正规测地线，y 作为流形上 的柏线，经过提升成为佘切丛上的姻线r ( t ) 一( ，y 如) ，p ( 功) ，出于提升的琊难性， 等致了燕矮测逮线霹缝楚奄凳藏线虽然这不楚筏粕鬓隶黧懿，毽礁实存在这襻 的可能( 艇例详见参考- 嶷献3 5 1 ) 定理3 。2 。3 知果薅线，y ：缸如】一斯楚奇异测地线，里 j 它一定楚奇异极小 证明妻柴7 是奇辩测地线，则佑是极小测地线，义由第节中的定理3 1 6 可 知，它还趋奇异f i f 线根据上面的定义3 2 i ，7 趋奇异极小，定理得证翻 注：与愈题3 。2 。2 类似该定理戆逆爨蹩蹙误弱 1 5 硕二l 论文 次黎昼测地线的刻划 4 次黎曼测地线的刻划 1 6 上一章中我们从变分学的角度讨论了次黎曼测地线问题利h jl a g r a a l g e 乘子 法，将有约束的极值问题转化成无约束的极值问题，并得到了奇异测地线存在的 必要条件这一章我们从最优控制论的角度给出了约束条件y ( ) d 的一个刻 划，同时利h jl a g r a n g e 乘子法，在余切丛t + m 上定义正规极值曲线与非正规极 值曲线，并给出它们之间的关系，同时讨论了正规极值i i 线与正规测地线，非正 规极值曲线与奇异i l l 线之间的联系，从而从控制论的角度刻划了次黎曼测地线的 特征 4 1 最优控制问题 下面假设 五) 肇l 为水平分布d 的标准正交标架 朝l 果r ( ) d ，对几乎所有t ，b 】，则7 俅) 可以表示为： k ，y 沁) = “( t ) x d t ) = u ( t ) x ，删 ( 7 ) i = l 在控制论中，“( ) = ( u 1 ( t ) ，u 2 ( t ) 札( t ) ) 称为控制函数，方程( 7 ) 称为控制系统 的状态方程反之，若有( 7 ) 式成立，则必有7 讹) d ，a e k 纠，这说明次黎曼 测地线问题中的约束条件( a ) 就等价于( 7 ) ，而且在第二部分中_ 已经指出，7 协) 平 方可积，e b ，6 】等价于札( ) l 2 ( 【n ，6 ，r ) 于是，川最优控制论的语言，次黎 曼测地线问题可描述为： 设某控制系统的状态方程为 边界条件为 k 一( ) = “( f ) 置( t ) ， ( 8 ) 7 ( n ) = q o ，y ( 。) = q 1 性能指标泛函为 1b k e ( 7 ) - ；( ( ) ) 2 d t ( 1 0 ) 一”4 b 1 问题三 从控制函数u ( t ) 中确定出一个u + ( t ) ，使得在条件( 8 ) ，( 9 ) 下，性能 指标泛函( 1 0 ) 能达到极小值 此时“+ 称为最优控制，而通过( 8 ) 所确定的水平曲线r ( t ) 称为最优规线 硕i ：论文 次黎曼渊地线的刻划 1 7 这里需要指出的是，问题三中的性能指标泛函e ( u ) 就是问题一中的次黎曼能 量泛函e ( 们事实上， e ( e ) 由于正定度量g 的意义 珂 e ( ) g ( - y ，1 7 ) d t 七 9 ( 趾( ) 五( ) ( t ) ( ) g ( x ( ) ，x j ( t ) ) d t i d = l 七 e u ( t ) ) 2d t 因而，若矿( t ) 是最优控制，则千h 应的最优规线r ( t ) 就是次黎曼能量泛函e ( ，y ) 的 极小；反之，若r ( ) 是极小，则由( 8 ) 对应的控制向量矿( ) 是最优控制 现在将状态方程( 8 ) 改写为： 于是上述最优控制问题三就可描述为： 求最优控制札+ ( ) 使泛函e 在等式约束( 1 1 ) 及边界条件( 9 ) 下达到极小值 这是变分学中求泛函的有约束极小值问题利朋l a g r a n g c 乘予法，弓i 进l a g r a n g e 乘子( k ，a ( t ) ) ， o r ，a o 0 ，a ( ) 臻t ) m ，作下面的泛函： l ( l ，a ，t ) = 巾1 e 峨) ) 2 + a ( 舻( ) x ( ) ) j d “；一1。一1 7 协) 】 d t a ( 墨( ) ) 一a ( ，y 7 ( ) ) 】d t( 1 2 ) 这样问题就转化为求泛函( 1 2 ) 的无约束极小构造h a m i l t o n 函数 口( 7 ，札，a ，t ) = 知；( ( ) ) 2 + u ( t ) a ( 五( t ) ) ( 1 3 ) t = 1t = l 由p o n t r j a g i n 极小值原理，求泛函l 的极小值问题就转化为求h a m i l t o n i a n 函数 ( 1 3 ) 的极小值问题在余切丛t + m 上的辛坐标( q , p