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原子一光场相互作用系统中的量子纠缠 0 1中文摘要 量子纠缠已经成为量子计算和量子信息处理过程中的不可或缺的物 理资源量子纠缠态的制备、保持与调控是实现量子计算与量子信息处 理的关键问题。本文研究原子与光场相互作用系统中的量子纠缠，考察 原子的相干性、双光子过程中的s t a r k 位移、原子跃迁频率之间的失谐 量等对原子之间、光场之间、原子与光场之间的量子纠缠的影响，寻找 制备高纠缠度、长寿命纠缠态的最佳系统参数条件，得到了一系列有创 新意义的结果 第一章阐述原子一光场相互作用的基本理论和量子纠缠的基本理 论 第二章研究双光子和单光子双j c 模型中的纠缠突然死亡和纠缠持 续现象在双光子双j c 模型中，考察s t a r k 位移对原子纠缠和腔场纠 缠的影响，研究用s t a r k 位移控制原子纠缠的可能性结果发现：忽略 s t a r k 位移时，原子纠缠出现突然死亡现象；考虑s t a r k 位移时，此系统 中的两原子不会出现退纠缠态，特别是当s t a r k 位移参数取值较大时， 两原子能保持稳态纠缠。在单光子双j c 模型中，两原子与各自相互作 用的光场之间经由不同的耦合常数相互作用，结果发现，耦合常数的不 同使得两原子出现了长时间的纠缠 第三章研究两个相同二能级原子与单模热光场耦合时两原子间的纠 缠动力学，结果表明当腔场温度很高( 即模热光场的平均光子数取很大 的值) 时，原子的初始相干性导致原子纠缠显著增强通过调节系统的 初始参量，例如原子的初始相干程度、相对相位以及单模热光场的平均 光子数，可以调控两原子间的纠缠程度。 博士学位论文 第四章研究二项式光场与级联三能级原子的量子纠缠，讨论了光场 与原子的初始参量对其量子纠缠性质的影响结果表明，利用二项式光 场的特性，可以揭示从相干态到数态之间的所有态光场与三能级原子相 互作用时的量子纠缠性质。选择适当的系统参数可以制备稳定的光场 原子q u t r i t 纠缠态。 第五章讨论一个运动的v 型三能级原子与关联的双模s u ( 1 ，1 ) 相干 态场相互作用系统中的量子纠缠。结果发现系统中的量子纠缠动力学极 大依赖于场模结构参数p 和模间光子数之差q 。通过选择合适的系统参 数和相互作用时间，可以制备原子光场的q u t r i t 最大纠缠态此外， 原子与双模s u ( 1 ，1 ) 相干态场之间纠缠的增强或减弱总是与双模s u ( 1 ， 1 ) 相干态场的模间纠缠相反，两种纠缠相互制约 第六章对全文进行了总结和展望 关键词：量子纠缠，双j c 模型，纠缠突然死亡，纠缠持续，原子相 干性 原子一光场相互作用系统中的最子纠缠 i i i 0 2英文摘要 a b s t r a c t q u a n t u me n t a n g l e m e n th a sb e e nr e c o g n i z e da sau s e f u lr e s o u r c ei nq u a n t u r nc o m p u t e ra n dq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g t h u st h ei s s u eo fc r e a t i n g ， p r e s e r v i n ga n dc o n t r o l l i n ge n t a n g l e m e n th a sg r e a tp r a c t i c a li m p o r t a n c ei na c t u a l q u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，q u a n t u me n t a n g l e m e n ti n t h es y s t e mw i t ha t o m - f i e l di n t e r a c t i o ni si n v e s t i g a t e d t h ee f f e c t so fa t o m i cc o h e r - e n c e ，s t a r ks h i f ta n dd e t u n i n go ne n t a n g l e m e n ta l ei n v e s t i g a t e d ，a n dt h eo p t i m a l s y s t e mp a r a m e t e r sf o rt h eg e n e t a t i o no ft h es t r o n ga n dl o n g - l i v e de n t a n g l e ds t a t e a r ef o u n d s o m es i g n i f i c a n tn e wr e s u l t sa r eo b t a i n e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e rl ，t h eb a s i ct h e o r i e so fa t o m - f i e l di n t e r a c t i o na n dq u a n t u me n t a n - g l e m e n ta r ee x p a t i a t e d i nc h a p t e r2 ，t h es u d d e nd e a t ha n dl o n g - l i v e de n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h et w o t w o - l e v e la t o m si nt w o - p h o t o na n ds i n g l e - p h o t o nd o u b l ej cm o d e l sa r ei n v e s t i - g a t e d i nat w o - p h o t o nd o u b l ej cm o d e l ，w es t u d yt h ee f f e c to ft h es t a r ks h i f to n t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h et w ot w o - l e v e la t o m sa n d a n dt h a tb e t w e e nt h et w o c a v i t yf i e l d s ，a n de x a m i n et h ep o s s i b i l i t yo fc o n t r o l l i n gt h ee n t a n g l e m e n tb yt h e d y n a m i cs t a r ks h i f t t h e s er e s u l t ss h o wt h a tt h es o - c a u e de n t a n g l e m e n ts u d d e n d e a t hc a no c c u ri ft h es t a r ks h i f ti si g n o r e d h o w e v e r ，w h e nt h es t a r ks h i f ti s c o n s i d e r e d ，t h et w oa t o m sa r en o td i s e n t a n g l e da ta n yt i m e ，a n df o rl a r g ev a l u e so f t h es t a r ks h i f tp a r a m e t e r ，t h et w oa t o m sc a l lr e m a i ni nas t e a d ye n t a n g l e ds t a t e i nas i n g l e - p h o t o nd o u b l ej cm o d e lw i t hd i f f e r e n tc o u p l i n gc o n s t a n t s ，w ef i n dt h a t t h et w oa t o m sa l ei nt h el o n g - l i v e de n t a n g l e ds t a t e sd u et od i f f e r e n c eo ft h et w o 博士学位论文 a t o m - c a v i t yc o u p l i n gc o n s t a n t s i nc h a p t e r3 ，t h ee n t a n g l e m e n td y n a m i c si nas y s t e mo ft w ot w o - l e v e la t o m s r e s o n a n t l yi n t e r a c t i n gw i t has i n g l e - m o d et h e r m a lf i e l da r es t u d i e d i ti ss h o w n t h a t ，w h e nt h et e m p e r a t u r eo ft h ec a v i t yi sh i g he n o u g h ( c o r r e s p o n d i n gt ot h e l a r g ev a l u eo ft h em e a np h o t o nn u m b e r ) ，t h ee n t a n g l e m e n ti sg r e a t l ye n h a n c e d d u et ot h ei n i t i a la t o m i cc o h e r e n c e ，w h i c hi sh e l p f u lf o rc o n t r o l l i n gt h ea t o m i c e n t a n g l e m e n tb yc h a n 西n gt h ei n i t i a lp a r a m e t e r so ft h es y s t e m ，s u c ha st h es u - p e r p o s i t i o nc o e f f i c i e n t sa n dt h er e l a t i v ep h a s e so ft h ei n i t i a la t o m i cc o h e r e n ts t a t e a n dt h em e a np h o t o nn u m b e ro ft h ec a v i t yf i e l d i nc h a p t e r4 ，q u a n t u me n t a n g l e m e n tb e t w e e nab i n o m i mf i e l da n dac a s c a d e t h r e el e v e la t o mi ss t u d i e d ，a n dt h ei n f l u e n c e so ft h ei n i t i a ls t a t ep a r a m e t e r so ft h e f i e l da n dt h ea t o mo nt h eq u a n t u me n t a n g l e m e n ta r ed i s c u s s e d t h er e s u l t ss h o w t h a tq u a n t u me n t a n g l e m e n to fa l ls t a t e sf r o mt h ec o h e r e n ts t a t et on u m b e rs t a t e i n t e r a c t i n gw i t hac a s c a d et h r e el e v e la t o mc a nb ed i s p l a y e db yu s i n gt h eb i n o m i a l f i e l dp r o p e r t y s t e a d yf i e l d - a t o mq u t r i te n t a n g l e m e n ts t a t ec a nb ep r e p a r e dv i a t h ea p p r o p r i a t es e l e c t i o no fs y s t e mp a r a m e t e r s i nc h a p t e r5 ，t h ee n t a n g l e m e n ti nas y s t e mo fam o v i n gv t y p et h r e e - l e v e l a t o mi n t e r a c t i n gw i t ht h es u ( 1 ，1 ) - r e l a t e dc o h e r e n tf i e l d si ss t u d i e d i ti ss h o w n t h a tt h ee n t a n g l e m e n td e p e n d so nt h ev a l u eo ff i e l d - m o d es t r u c t u r ep a r a m e t e rp a n dt h ed i f f e r e n c ei np h o t o nb e t w e e nt h et w om o d e so fq ，a n dam a x i m a la t o m - f i e l dq u t r i te n t a n g l e m e n ts t a t ec a nb ep r e p a r e dv i at h ea p p r o p r i a t es e l e c t i o no f s y s t e mp a r a m e t e r sa n di n t e r a c t i o nt i m e i na d d i t i o n ，t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e n t h em o v i n gv t y p et h r e e - l e v e la t o ma n dt h es u ( 1 ，1 ) 一r e l a t e dc o h e r e n tf i e l d sa n d t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h es u ( 1 ，1 ) 一r e l a t e dc o h e r e n tf i e l d sg ou pa n d d o w ni na c o n t r a r yw a y , a n dt h e yc a ni m p m re a c ho t h e rd u et ot h em o v i n gt h r c c - l e v e la t o m 原子一光场相互作用系统中的量子纠缠 v i n t e r a c t i n gw i t ht h et w o - m o d ec o h e r e n tf i e l d s i nc h a p t e r6 ，t h es u m m a r i z a t i o na n dt h ep r o s p e c ta r ep r e s e n t e d k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，ad o u b l ej cm o d e l ，e n t a n g l e m e n ts u d d e nd e a t h ，l o n g - l i v e de n t a n g l e m e n t ，a t o m i cc o h e r e n c e 博七学位论文 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导 下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的 内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由 本人承担。 、， 学位论文作者签名：醐莲章b 川年彳月l 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 湖南师范大学学位论文原创性声明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的 规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大 学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。本学位论文属于 1 、保密口，在厶年解密后适用本授权书。 2 、不保密直。 ( 请在以上相应方框内打” ”) 作者签名：专龠窨过日期：沙7 年石月u 导师签名：日期：年月日 原子一光场相互作用系统中的量子纠缠 第一章绪论 1 1原子光场相互作用的基本理论 全面而系统地研究光的量子特性以及物质( 原子、分子等) 与光相互 作用的规律及其效应是当代量子光学研究的中心内容在原子( 单原子 或者多原子系统) 和光场( 单模光场或者多模光场) 相互作用系统中， 光场和原子都将呈现出许多有意义的量子效应。本章简要介绍原子一光 场相互作用的半经典理论和量子理论 1 ，2 】 1 1 1原子光场相互作用的半经典理论 将原子看做用量子力学理论描述的体系，而激光场仍然视为满足麦 克斯韦方程组的经典电磁波场，这样的原子与光场的相互作用理论就称 为半经典理论光场所以能用经典理论描述，在于通常的能够写成平面 波的经典光场是非常好的相干光，它是许多个具有相同传播方向和偏振 方向的光子的相干叠加，这种光的振幅不确定量和相位不确定量都达到 量子力学不确定关系所要求的最低限度在大量子数即平均光子数比较 多时，可以认为它们具有确定的相位和振幅，而且在与少量原子作用时 不发生明显的变化 一个二能级原子与经典电磁场应( 而，t ) 相互作用系统的哈密顿量可 以写为 h = h o + h 1 ， 其中凰为描述二能级原子本身的能量算符，h 。= 一e 尹亩( 而，t ) 是相互 作用部分的哈密顿量，啻( 而，) 为偶极子在而处的场算符。考虑频率为 的单模电磁场与一个二能级原子相互作用，如图1 1 所示假设原子的 博士学位论文 c o 。八、广 l 图1 1 二能级原子与单模光场相互作用图 上下两个能级态分别为l a ) 和i b ) ，是原子自身哈密顿量凰的本征态， 本征值分别为砒。和，即 l l o l a ) = h w 。i n ) ，t l o l b ) = 氘- b l b ) ( 1 2 ) 利用上式以及完备性关系l o ) ( o i + 1 6 ) ( 6 l = 1 ，可以将凰和日。分别写为 以下形式( 假设场e ( t ) 是z 方向偏振的) ： 4 0 = ( i o ) ( o i - t - - | 6 ) ( 6 i ) h o ( i n ) ( n l - 4 - l b ( b 1 ) = h w i o ) ( n l + i b ) ( b l ； h 1 = 一e ( i o ) ( n i + 1 6 ) ( 6 i ) z ( f n ) ( n i - 4 - i b ) ( b 1 ) e ( t ) = - ( v n b l a ) ( b i + p 6 n l b ) a 1 ) e ( t ) ( 1 3 ) 其中鼬= 疏= e ( a l x b ) 是电偶极矩阵元，e ( t ) 是原子处的电磁场。在 偶极近似下，e ( t ) 可以表示为 e ( t ) = e o c o s t ，( 1 4 ) 原子光场相互作用系统中的量子纠缠 在相互作用绘景中的哈密顿量 h f = e - h 0 2 1 e 一砉凰= 一胁岛( i 口) ( 6 i e 讪2 + 1 6 ) ( n i e 一幻。) c o s v t( 1 5 ) 二能级原子演化的波函数可以表示为 l 皿( ) ) = g ( t ) l a ) + c b ( t ) l b ) ， 相应的薛定谔方程为 i 危掣= 帅) 将( 1 5 ) 和( 1 6 ) 式代入( 1 7 ) 式得 o c o ( t ) 疣 a q ( t ) 挑 = i 警钟) ( 旷小“c 蚪即) = t 警) ( e - i ( w - v ) t + e - i ( u + v ) t ) ， ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 其中q r = l f p , a , i 岛危是拉比频率。当q r “j + y 时，上式中的e 蜘( 。+ ”) t 项 是振幅很小的高频振荡项，可以忽略，称为旋波近似一般来说，对可 见光甚至紫外相干光以至于激光，旋波近似都是很好的近似旋波近似 下，( 1 8 ) 式的解为 c a ( d = 晚( o ) c 。s ( 警) 一等s t n ( 警) + i 鲁g ( o ) s i n ( 警) ) e t 等 a ( t ) = 0 v o nn e u m a n n 熵s ( p a ) 定义为 s ( p a ) = - - t r a ( p a i np a ) ( 1 3 4 ) 其中p a 是约化密度矩阵p a = t r b ( i 皿) a b ( 皿1 ) 如果能求出p a 的所有本 征值九，则v o nn e u m a n n 熵s ( p a ) 又可以由式 s ( p a ) = 一九i n a ( 1 3 5 ) t 来计算。应用中，为了研究方便，往往把v o nn e u m a n n 熵定义中的对数 底数取为2 ，即s ( p a ) = 一t r a ( p al 0 9 2p a ) 如此，对两个q u b i t 的最大纠 缠态b e l l 基，其纠缠度为1 v o nn e u m a n n 熵的主要性质【5 8 】：( 1 ) 熵值是非负的，纯态的熵为o ；( 2 ) 在d 维希尔伯特空间中，当系统处于完全混合态5 时，熵达到其最大值 1 6 博士学位论文 l 0 9 2 d ；( 3 ) 在由两子系统a 和b 组成的两体纯量子态系统中，s ( p a ) = s ( p b ) ( 4 ) 凹性s ( p l p l + 您化) p l s ( p 1 ) + p 2 s ( p 2 ) ，其中p i ( i = 1 ，2 ) 0 且 p 1 + p 2 = 1 ，当且仅当p 1 = p 2 、所有p i 0 时取等号。 两体复合系统的一个特征是它可以进行s c h m i d t 分解 5 9 - 6 1 】。例如： 一个仇x 7 , 维的复合系统，其任一纯态i 砂) a b 可以写成 m i n m n ) 妒) a b = q 丽, l i ) a l i 7 ) b i , i = 1 ( 1 3 6 ) 这里巾) a ) 与 1 i ) b ) 分别为a 与b 子系统m 维空间中的一组正交基。由 于a 和b 两个子系统构成的总系统处于纯态，所以有：s ( p a ) = s ( p b ) ， 这就是把两体系统的部分熵纠缠度定义为两体系统中任何一个子系统 的v o nn e u m a n n 熵的原因 v o nn e u m a n n 熵是两体纯态系统纠缠唯一好的量度。值得注意的是： 只有两体纯态才可以进行s c h m i d t 分解，当子系统的数目大于2 时，系统 的纯量子态不一定能展开成为s c h m i d t 分解的形式，于是，各个子系的 v o nn e u m a n n 熵可能是不相等的也就是说，对多体复合系统，s c h m i d t 分解不再是展开一个纯态的必要条件，这时，单个子系的v o nn e u m a n n 熵就不能完全刻画多体系统的纠缠。 部分熵纠缠度邵向两体混态的推广是v o nn e u m a n n 互信息毋，定 义为： 毋= i s ( p a ) + s ( j 口b ) 一s ( p ) )( 1 3 7 ) 但v o nn e u m a n n 互信息包含了经典的信息关联，在l o c c 下可以增加 【6 7 】，不满足v e d r a l 条件，因而它不是对量子纠缠度好的量度。 2 ) 、线性熵( l i n e a re n t r o p y ) 原子一光场相互作用系统中的量子纠缠 1 7 一个两体纯态的纠缠也可以用其约化密度矩阵的线性熵来量度由 量子力学知识我们知道，纯态的密度矩阵满足t r ( p 2 ) = t r ( p ) = 1 ，而对 于混合态，由于其密度矩阵p z p ，所以丁r ( 矿) 1 因此，比较量子 态密度矩阵的平方与1 的关系便可得知该量子态是纯态还是混合态。据 此，b a n a c l o c h e 【5 7 ，6 2 等人提出了线性熵的概念，用来度量所研究的系 统对纯态的偏离程度。对于一个由子系统a 和b 组成的量子系统p a b ， 线性熵定义为 s = 1 一t r a ( p 刍)( 1 3 8 ) 其中，子系统的约化密度矩阵p a = t r b ( 肌b ) 它的取值范围是0 s 1 由于线性熵更容易计算，因而被广泛地用于量子光学系统纠缠的研 究【6 3 - 6 5 】 3 ) 、连续变量的标准逾熵( n o r m a l i z e de x c e s se n t r o p y ) 对于离散变量纠缠的情况，纠缠度已经有了明确的定义，即通过计 算v o nn e u m a n n 熵来度量纠缠度而对于连续变量纠缠，可以通过类似 于离散变量v o nn e u m a n n 熵的计算方法来度量对于一个双模( 模a 和 模6 ) 连续变量态鼬，其纠缠度定义为标准逾熵【6 6 】 e = 笺黼 ( 1 3 9 ) 其中，v o nn e u m a n n 熵s ( p o ) 、s ( 舶) 和s ( 触) 由( 1 3 4 ) 式给出，而s ( p ( t ) 和s ( j d 扩) 分别表示模a 和模6 热光场的熵，其定义为 s ( p ( 。 ) = l o g ( 1 + n ) + n l o g ( 1 + n 一1 )( 1 4 0 ) 这里，n = ( 5 + h ) 是单个模场的能量( 即平均热光子数) ，热场p ( 忱) 是 固定强度的最大混乱态。单独看一个模场，如果它显得越无序，则整个 1 8 博士学位论文 二模系统的纠缠度就越高。如果胁是纯态，则有展= s ) s ( p g ”) ， 且e 【0 ，1 】 2 、两体混态量子系统的纠缠度量 对混合态量子纠缠定量化的困难在于其纠缠度的定义，这是因为在 混合纠缠态中量子关联成分和经典关联成分杂糅在了一起的缘故。我们 可以把经典关联看成是量子关联的“噪声”，“噪声”过大就会湮没量子 关联成分比如：某些混合纠缠态是不违背b e l l 不等式的，但我们可以 采用某些特殊的方法从中提取出最大纠缠态，而最大纠缠态是违背b e l l 不等式的。另一方面，在实际的纠缠态的产生、传递和存储的过程中， 我们无法完全避免其与外界环境、各种噪声因素之间的相互作用，作用 的结果会使其从纯态演变为混合态因此，研究混合态的量子纠缠十分 必要。 根据目前对于两体混态量子系统的纠缠度量的研究结果，可以总结 出以下几种主要的度量两体混态量子纠缠的方法 1 ) 、相对熵纠缠度( r e l a t i v ee n t r o p yo fe n t a n g l e m e n t ) 将两体混态量子系统所有量子态集合丁分成不相交的两部分：所有 可分离态的子集d 和所有两体纠缠态的子集e 对两体纠缠态p a b ， 相对熵纠缠度( 肌b ) 定义为：态p a b 对于全体可分离态的相对熵的最 小值 4 9 】 e r ( p a b ) = 盯患s ( p a b i i 盯a b ) ( 1 4 1 ) 其中s ( p a b i i 盯a b ) 为相对熵 s ( p a b i i 仃a b ) = t r p a b ( i 0 9 2 p a b l 0 9 2 ( r a b ) ( 1 4 2 ) d 集合中可使量子相对熵达到极小值的分离态称为混合量子态的最近 原子一光场相互作用系统中的量子纠缠 1 9 分离态这种定义可以看成是密度矩阵p a b 与非纠缠态集合的最小距 离。 对于纯态p a b = j 妒) a 口( 矽l = 哪。以葡砺。怯。) ( 九。i ，( ) 和| 饥) 分别为a 和b 的正交归一基) ，相对熵纠缠度等于部分熵纠缠度，即 e r ( p a b ) = 耶( i 妒) ) = n 呻n 1 0 9 2 p n 此外，相对熵纠缠度与形成纠缠度 的关系满足不等式协( 纵b ) 坼( p ) 相对熵纠缠度满足纠缠度量的几个基本条件，并且能给出混合态制 备过程的一个统一的描述 6 8 】，具有明显的物理意义，但一般来说，其 计算比较困难。 2 ) 、形成纠缠度( e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) 一般的混态是纯态的混合，所以可以用相应的纯态纠缠度的平均值 来度量混态中的纠缠而同样的混态，有无数种可能的纯态系综分解， 对应的有不同的纠缠度的平均值，混态的纠缠必须用所有平均值的最小 值来度量这是因为如果存在一种分解的平均值为零，这样的混态就不 是纠缠态在量子纠缠理论中，这种从纯态纠缠度量来定义混态纠缠度 量的方法称为最优凸扩张( c o n v e xr o o fe x t e n s i o n ) ，即形成纠缠度。对于 由两子系统a 和b 组成的的混态量子系统p ，形成纠缠度毋( p ) 定义 为【1 3 5 】 蹦j d ) = = 酬r a i n ； p 蹦够h ) ( 1 4 3 ) 其中，协，i 矽) ) 是p 的任意一种分解形式p = 。胁i 妒) t ( 砂i ( i = a ，b ) ， 邵( 1 砂) t ) 为态i 妒) t 的部分熵纠缠度，式中求极小值是针对p 的所有可能 的分解方式而言的，l 妒) t 为任意的两体归一纯态，不一定相互正交。 形成纠缠度的物理意义是通过局域操作和经典通信( l o c c ) 过程， 为制备纠缠态p 所消耗掉的b e l l 态的最小数目。 2 0 博士学位论文 一般两体混合态的形成纠缠度的计算并不简单。w o t t e r s 给出了2 2 系统纠缠态形成纠缠度的解析求法 7 1 】，z y c z k o w s k i 发展了一种数 值求解任意维度两体复合系统形成纠缠 7 3 】的方法，但迄今尚未得到关 于形成纠缠度的普遍的解析表达。下面给出一个两体量子系统中，当两 个子系统空间都是2 维时( 如两能极、q u b i t 系统等) 形成纠缠度的直接 计算方法f 8 2 】： 毋( p ) 一( 1 + v 1 - c a b ( p ) ) ( 1 4 4 ) 其中 h ( x ) = - x l 0 9 2 x 一( 1 一x ) l 0 9 2 ( 1 一z ) b ( p ) 为c o n c u r r e n c e 以b ( p ) = m a x ( o ，瓜一佤一瓜一佤) ( 1 4 5 ) ( 1 4 6 ) 其中，入1 i ，入4 是“自由翻转”密度距阵卢= j d ( o 唧) 矿( oq ) 的本征 值 c o n c u r r e n c e 是两体q u b i t 系统可分离性的充分必要条件，本身也是 一种纠缠度量方法，其范围是【0 ，1 】但是，对于更高维的系统，形成 纠缠度的解析计算是很困难的事实上，目前很多两体混合态纠缠度的 定义由于含有取极( 最) 值而难于计算研究这些纠缠度的计算方法也 是一个比较活跃的方向 3 ) 、负度( n e g a t i v i t y ) 负度( n e g a t i v i t y ) 的定义与量子态密度矩阵的部分转置矩阵有关。对 一个由子系统a 和b 组成的两体量子态p = i , j , k , l p i , d , 七，t l i ) ( j i 圆l 尼) ( f i 中的 原子一光场相互作用系统中的量子纠缠 2 1 子系统a 进行部分转置 7 2 】后得 产= p i , j _ f l j ) ( i l 。i k ) ( i ( 1 4 7 ) 切，l n e g a t i v i t y 被定义【7 0 ，1 4 1 】为 n ( p ) ：半( 1 4 8 ) 其中l i 严| i 是部分转置矩阵严的求迹模i i x l l = t r 、牙呵。也可以定义 对数n e g a t i v i t y 【6 9 】如 e n ( p ) = 1 0 9 2l i 产 ( 1 4 9 ) 对态空间维度为2 2 和2 3 的量子系统而言，这两种定义都是量子态 可分离性的充分必要条件，而对一般的多体或更高维系统，它们只是必 要条件n ( p ) 是纠缠单调函数，而且是凸函数，但是不满足可加性； e n ( p ) 也是纠缠单调函数，但不是凸函数，满足可加性 对于两q u b i t 系统，n e g a t i v i t y 可以用部分转置矩阵严( 或者严) 的 本征值表示 ( p ) = 一2 耳 l ( 1 5 0 ) 其中，耳是严( 或者俨) 的第i 个本征值。当n ( p ) = 0 时，两q u b i t 系 统处于分离状态，没有纠缠。而n ( p ) = l 代表两q u b i t 系统处于最大纠 缠态对于纯态，负度( n e g a t i v i t y ) n ( p ) 和共生纠缠度( c o n c u r r e n c e ) c ( p ) 是等价的，而对于混合态，n ( p ) c ( p ) 【8 0 ，8 1 】 4 ) 、蒸馏纠缠度( e n t a n g l e m e n to fd i s t i l l a t i o n ) a ) 双向经典信息传递的蒸馏纠缠度的定义 2 2 博士学位论文 假设n 份两体量子态p 为a l i c e 和b o b 所共有，a l i c e 和b o b 通过 l o c c 能得到e p r 对的个数最多为k ( n ) ，则蒸馏纠缠度d ( p ) 为 驯= l i m 。警 这里，下标“2 钟表示在l o c c 中的经典信息传递包含a 向b 传递 的经典信息，也包含b 向a 传递的经典信息，即经典信息传递是双向 的 b ) 单向经典信息传递的蒸馏纠缠度的定义 如果限制经典信息传递是单向的，即经典信息只能由a ( b ) 向b ( a ) 传递，则蒸馏纠缠度为 d r ( 萨恿警 ( 1 5 2 ) 其中，k l ( ) 为通过l o c c 的单向传递、可以从n 份p 提纯出e p r 对 的数目 c ) 无经典信息传递的蒸馏纠缠度的定义 如果禁止经典信息传递，则蒸馏纠缠度为 d o ( p ) = 般警 ( 1 5 3 ) 其中，k o ( n ) 为仅仅通过局域量子操作可以从n 份p 提纯出e p r 对的 数目 蒸馏纠缠度的性质： i ) 对于纯态l 妒) ，有d ( 1 妒) ) = e p ( i 砂) ) i i ) 对于纯态i 妒) ，有d l ( 1 砂) ) = d ( 1 砂) ) 【8 3 】 i i i ) d 0 ( p ) d i ( p ) sd ( p ) e f ( 1 妒) ) 原子一光场相互作用系统中的量子纠缠 从d ( p ) 的定义我们可以看出，d ( p ) 的获取依赖于最佳的纠缠纯 化方案。目前，人们尚未能找到通用的最佳纠缠纯化方案。所以，在绝 大多数情况下，我们仅能给出d ( p ) 的上限在量子理论中，存在这样 一种纠缠态，不可能通过l o c c 将其蒸馏出来，称为束缚纠缠( b o u n d e n t a n g l e m e n t ) 束缚纠缠对于纠缠的分类意义重大。 形成纠缠和蒸馏纠缠的关系可概括为一个不等式 e f ( p ) d ( p )( 1 5 4 ) 当所考虑的态为两子系( a 和b ) 复合系统的纯态p 时，有 所( p ) = d ( p ) = s ( p )( 1 5 5 ) 这与纯态情况下的渐进等价性的定义是相吻合的。以上的两种纠缠度定 义虽未给出明确的结果，但它们分别反映了混合态的两个不同的方面。 尤其是蒸馏纠缠，联系着具体的纠缠纯化操作，是一个与量子信息的实 际应用紧密相关的物理概念在承认蒸馏纠缠是一种好的纠缠度定义的 前提下，h o r o d c c k i 父子证明任何一个满足v e d r a l 条件的纠缠度都必须 满足 d ( p ) se p ( p ) 研( p )( 1 5 6 ) 虽然两体量子态的纠缠度量理论比较完善了，但是有关多体量子态 的纠缠度量问题还在进一步的探讨之中这是因为多体纠缠态的纠缠度 比两体态的纠缠具有更深、跟复杂、内容更丰富的特点和性质。虽然目 前的理论和实验实现了三体、四体的纠缠，但从本质上说，对于多体量 子态纠缠度量的描述仍然是不清楚的，甚至对于多体纯态也很难建立一 个通用的多体纠缠度量。对于多体纠缠的度量主要有两条途径，一是将 2 4 博士学位论文 两体纠缠度量直接向多体量子体系推广；二是通过定义一个多体量子体 系所特有的量来描述多体量子纠缠目前，应用比较广泛的多体纠缠度 主要有：几何纠缠度量【7 4 ，7 5 】、全局纠缠 7 6 、可局域化纠缠 7 7 】、基 于，一t a n g l e 的多体纠缠度量 7 8 ，7 9 】等等，本文不作详细叙述。 原子一光场相互作用系统中的量子纠缠 2 5 第二章双j c 模型中的纠缠突然死亡和纠缠持续 长时间纠缠的量子纠缠态能在大范围量子网络工作和量子中继站 【2 1 ，2 4 ，8 4 8 9 】中实现远距离量子通信起重要作用，因此人们希望量子纠 缠态能够有高的纠缠度和长的纠缠保持时间但是在非实验条件或日常 的环境下，纠缠的抗干扰性不强，纠缠体系不可避免地与周围环境发生 相互作用，从而在通讯通道和计算装置中产生退相干效应【9 0 】，导致纠 缠衰减甚至突然死亡( s u d d e nd e a t h ) ，这是量子信息处理任务实现的严 重障碍。2 0 0 4 年y ut i n g 小组在研究退相干机制时发现：初始纠缠后来 无相互作用的两个二能级原子分别与非局域的真空库相互作用时，原子 纠缠在演化- d , 段时间后完全消失，这一小段时间比单个原子与真空库 相互作用发生退相干的时间短得多，他们称这种现象为“纠缠的突然死 亡( e s d ) ” 9 1 】此后，很多学者对各种各样系统中的两比特纠缠进行 研究，发现在很多系统中都存在e s d 9 2 9 6 】2 0 0 7 年，m p a l m e i d a 等人用一个纯光学的实验装置进行实验，证实了这种分别在独立环境 a t o ma 心乡 c a v i t ya 图2 1 双j c 模型原理图 a t o mb 乡 c a v i t yb 影响下的两比特系统纠缠的突然死亡现象【9 7 】最近，文献【9 4 9 6 对双 j c 模型系统( 如图2 1 所示) 中的两个二能级原子的纠缠进行了研究， 发现初始纠缠后来无相互作用的两个二能级原子在与各自腔场相互作 用时，原子纠缠出现突然死亡。这是量子技术应用( 特别是量子网络工 2 6 博士学位论文 作) 上的大障碍，因此如何防止量子纠缠衰减或突然死亡，成为了当前 量子信息处理的一个关键性课题。 另一方面，对量子纠缠特性进行调控是量子计算与量子信息处理走 向实用化的一个关键性课题，它是指利用量子调控技术得到纠缠程度更 强的纠缠态，或者使纠缠保持一定长的时间，以便量子计算机能够完成 一系列的操作。本文考虑双j c 模型系统中，原子一光场耦合常数的不 同、失谐量以及双光子过程中的s t a r k 位移参数等对原子纠缠的影响， 探索利用s t a r k 位移控制、纠缠交换等量子调控技术使得原子纠缠得到 保持的可能性结果表明，适当调节原子光场耦合常数、失谐量以及 s t a r k 位移参数等可以得到稳定的原子纠缠( 本章的主要工作已在j m o d o p t 和i n t j t h e o r p h y s 杂志发表。) 2 1 双j c 模型中s t a r k 位移对量子纠缠的影响 双光子跃迁原子通过虚中间态( i n t e r m e d i a t es t a t c s ) 直接吸收( 或者辐 射) 两个光子，达到较高能态( 或者较低能态) 的过程，是一种三阶非线 性过程。双光子j c 模型【9 8 】描述的是一个二能级原子通过双光子跃迁 与一个单模量子化光场相互作用，是量子光学中被研究得最广泛的模 型之一在此模型中，当原子的两能级以可比较的能量与中间能级耦 合时，s t a r k 位移便不可忽视 9 9 ，1 0 7 】近年来，科研工作者们对s t a r k 位移对量子纠缠的影响做了大量研究 1 0 0 - 1 0 4 】j o s