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中山大学倾士学位论文 离散线性切换系统能控的充分必要条件 专业：运筹学与控制论 姓名：王彩彦 指导教师：殷朝阳、黄煜 摘要 切换系统是一类同时包含连续事件系统和离散事件系统的重要的混合动态 系统。它可以看作是在多个于系统问进行切换而得到的系统。这样，系统的性能 就发生了本质性的变化。因此，切换序列选取的合适与否就会直接影响到系统的 稳定性和能控性。 本文应用切换序列作为中问量来研究离散时间线性切换系统的可控性的一 个充分必要条件。在得出离散时间切换系统能控的充要条件的过程中，我们也提 出了一种具体的寻求离散切换系统的切换序列的方法。这样，对于离散系统： x + 1 ) = g r ( 女产 ) + q 耻r ( t ) ) ，r ( t ) ：r + 一 1 ，2 ，n ) ， ( 1 ) 我们就可以很具体的找到系统的切换z 皇 g 啊) ，( 0 ) 。按照这样的切换 法则，可以使上述系统( 】) 实现完全能控。因此，该方法是很有实际用途的，进 而，若定义序列： = 扣q ) ，m = 薹( q l ) ，j= 善n 幅k 。) ，其中幅q ) = 骞 ) ”皿。 我们就可得到系统( 1 ) 的一个能控的充分必要条件：系统( 1 ) 是完全能控当且仅当 = r “。该结论是本文的又一个主要结果。至此，我们把连续时问切换系统能 控的充要条件推广到了离散时间的切换系统上。 关键字：切换系统，离散时间，切换序列，能控性。 中山大学硕士学位论文 n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r c o n t r o l l a b i l i t yo fd i s c r e t e - t i m es w i t c h e dl i n e a rs y s t e m s m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s n a m e ： w a n gc a i y a n s u p e r v i s o r s ：y i nz h a o y a n ga n dh u a n gy u a b s t r a c t s w i t c h e ds y s t e mi so n e i m p o r t a n tk i n do fh y b r i ds y s t e m st h a tc o n t a i n c o n t i n u o u s t i m ei n c i d e n ta n dd i s c r e t e t i m ei n c i d e n t w ec a nr e g a r di ta sa s y s t e mt h a t i ss w i t c h e di nd i f f e r e n t s u b s y s t e m s t h u s ，t h ec a p a b i l i t yo ft h es y s t e md i f f e r s e s s e n t i a l l yf r o mt h a to fe v e r ys u b s y s t e m t h e r e f o r e ，w h e t h e rt h es e l e c t e ds w i t c h e d s e q u e n c e i s a p p r o p r i a t eo rn o t ，t h i sw i l l a f f e c t d i r e c t l y t h e s t a b i l i t y a n dt h e c o n t r o l l a b i l i t yo ft h es y s t e m i nt h i sp a p e r , u s i n gs w i t c h e ds e q u e n c ea st o o l ，w es t u d yt h ec o n t r o l l a b i l i t yo f d i s c r e t e 。t i m es w i t c h e dl i n e a rs y s t e m s i nt h ec o u r s eo fp r o v i n gt h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rc o n t r o l l a b i l i t yo fd i s c r e t e - t i m es w i t c h e dl i n e a rs y s t e m s ，w e p r e s e n t ac o n c r e t ea p p r o a c ht ol o o kf o ras w i t c h e ds e q u e n c e ，t h u s ，w ec a nf i n da s w i t c h e d s e q u e n c e 月皇 g 啊) ，) ) f o rt h ef o l l o w i n gd i s c r e t e t i m es w i t c h e d l i n e a rs y s t e m s ： x + 1 ) 2 q ( 产 ) + h r ( t y 啦) ( ”， y ) ：r + 一 1 ，2 ，n ) 。 ( 1 ) u s i n gi t ，w ec a nm a k es y s t e m ( 1 ) t ob e c o m ec o n t r o l l a b l e m o r e o v e r , i fw ed e f i n et h e s e q u e n c ea sf o l l o w s ： n nn n m f 3 骅j 耳x 圪。黔f 吣；w 。矜j ) j w h 。假 e ) 2 善 ) 卜1 t h e nn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rc o n t r o l l a b i l i t yo fs y s t e m ( 1 ) w i l lb et h a t s y s t e m ( 1 ) i sc o n t r o l l a b l ei fa n do n l yi f = r ”t h i sc o n c l u s i o ni sa n o t h e rm a i n r e s u l to ft h i sp a p e r t h u s ，w eh a v eg e n e r a l i z e dt h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n f o rc o n t r o l l a b i l i t yf r o mc o n t i n u o u s t i m es w i t c h e dl i n e a r s y s t e m st od i s c r e t e t i m e s w i t c h e dl i n e a rs y s t e m s k e y w o r d ：s w i t c h e ds y s t e m ，d i s c r e t e t i m e ，s w i t c h e ds e q u e n c e ，c o n t r o l l a b i l i t y i i 中山大学硕士学位论文 第一章绪论 控制理论经过几十年的发展，研究成果十分丰富，并且很多内容都已经很完 善并成为经典，其中一些研究方向经过不断的发展已经成为成熟的独立学科，但 其本身的理论价值确是有限的，不一定有使用意义。随着社会和生产的不断发展 和科技的巨大进步，控制理论已经渗透到几乎所有的工程领域，在实践问题的处 理中新的问题大量涌现，现有的控制理论常常已经不能处理这些难度大、复杂性 高的新问题，很多问题往往无法用已有的理论进行研究。 1 1 研究背景介绍 计算机技术的发展，使得计算机等数字技术在各种类型的工业生产过程、现 代交通系统、军事系统等中的运用和渗透，已经达到了前所未有的境界。计算机 的这种应用尤其被拓展到连续加工过程和连续处理过程，如半导体和集成电路生 产线的生产控制与调度；大城市交通系统的实时指挥与监控：现代飞机和巡航导 弹中基于计算机和其它复杂信息处理装置的决策操作和高精度控制等。正是来自 于重要工程和军事问题的这种促进，导致了研究同时包含相互作用的离散事件过 程和连续变量过程的系统的需要，这类同时包含有相互作用的离散事件过程和连 续变量过程的动态系统被称为“混合系统”。 切换系统是一类同时包含连续时间系统和离散事件系统的重要的混合动态 系统，也是形式较为简单的种，它由若干个子系统组成，通过切换将逻辑动态 与连续动态联系在一起的。它的一个明确的工程背景是采用“多个控制器按切换 方式来控制一个连续动态对象”的一个混合动态系统的问题，通过在多个子系 统间进行适当切换以实现一定的性能要求。切换系统有着许多实际和应用的背 景。下面是几个来源于实际问题的例子，都有切换系统的特点及应用。 ( 1 ) 电力系统1 1 】：电网控制系统中，由很多个机组同时运行。每个机组都是一 个连续动态模型。整个系统的稳定性要求非常严格，如果一旦系统的稳定性不好 将导致灾难性的后果。系统检测不同的机组，对应不同的动态过程，因此可以看 成在多个甚至更大的动态系统过程中切换。 中山大学硕士学位论文 ( 2 ) 运动的机械手搬动工件的过程【2 l ：一个运动的机械手要从传送带上取下一 个工件并将其搬运到运货小车上，再有小车运送到存放工件的工作台上，随后小 车再从工作台返回，机械手在到传送带搬取下一个工件的过程，系统的过程包括 一连串的指令和动作，在此工作过程中涉及到的连续时间变量有：小车的位置和 速度，工件在传送带上的位置，传送带的速度；所涉及的离散时间事件有：对应 于“工件是否到达”机械手的抓取位置，小车到达的定位位置；连续事件和离散 事件的相互作用有：小车通过连续运动到达后，触发“到达时间”，机械手才被 允许抓取工件，并且装载工件的小车的运动分别由不同的微分方程或差分方程描 述。 ( 3 ) 汽车引擎控制【3 】：汽车中，每个档位对应于不同的传动比，其对应的引擎 运动可以视为不同的连续动态系统，自动变速箱通过对车速、油门的状态的信息 在各个档位间进行切换，以保证汽车平稳舒适的运行。 上面的三个例子是现代科技的发展过程中产生的问题，每个系统的结构参数 和模式不确定，系统的运动往往对应多个动态模型，不能用一个简单的运动方程 来描述，因此单纯的采用针对连续系统的控制方法或针对离散系统的控制方法都 无法得到良好的控制效果，这就要求我们去寻找新的理论去解决这些复杂的问 题。 “切换”的思想很久以前就被应用于控制理论中，如开关伺服系统、 b a n g b a n g 控制原理、以及变结构控制系统等，都采用“切换”作为其基本思想。 “切换”便成为处理这种结构参数和模式不断变化的系统一种有效的工具。切换 系统中的切换不仅仅对应着控制器参数的改变，同时也包括系统参数的改变，即 系统结构与参数的调整和改变也成为控制手段的一种。“切换”既可以体现在数 学建模上，又体现在分析、综合与控制器设计上。 由于“切换”思想的引入，系统的动态性能发生了很大变化，从下面的例子 可见一斑。 例一：考虑系统：i o ) ；以。茗o ) ，其中血o ) = a2 是系统的逻辑切换，x e r 2 是系统的状态。 4 = 1 ：。一：。】 2 4 ；陆 中山大学硕士学位论文 我们很容易验证：两个子系统都是不稳定的，但如果切换选取为 ，2 仨 x 1 x 2 0 x l x 2 苫0 则整个系统是稳定的，初始状态为： 一1 4 _ 。 时的相位图如下 近年来切换系统理论的研究已经受到了控制界和计算机专家的广泛关注并 已经得到很多结果。一般而言，切换系统可以看作是在多个系统问进行切换而得 到的系统，这样系统的性能就发生了本质性的变化，比如：即使每个子系统都很 稳定，且系统的运动也很简单，但可能由于切换序列的选取不当，可能会导致整 个系统的动态复杂性发生很大变化或使得整个系统变得不稳定；相对这种情况而 言，即使每个子系统都不稳定，若切换序列选取的恰当整个系统也有可能会变得 稳定。这些情况我们前面的例子中可以看到。因此切换序列的选取对系统稳定性 的影响是很大的。目前已经有很多学者在系统的稳定性方面作了大量的工作，并 得到了很好的结果。 1 2 研究现状 1 9 7 9 年瑞典人c e l l i e r 首次引入了混合系统的概念，且他把混合系统分成了 三个部分：离散、连续和借口。由于切换系统与现代科学技术的发展和实际问题 的解决的密切关系，近些年来成为备受关注的研究方向，由众多的计算机科学、 中山大学硕士学位论文 数学、控制工程等领域的学者对它进行了研究并取得很多结果。例如： 1 9 7 8 年，e z m a n 已经从降低成本的角度研究了一类简化电力切换系统电路 板的反馈策略 4 】o 2 0 0 2 年b o h u 、k a z u n o r i y a s u d a 和a n t h o n yn m i c h e l 等人对离散时间切 换系统作了一些定性分析，主要是探讨了满足各个子系统都是s c h u r 稳定的情况 下，离散的线性切换系统在任意切换下都是全局指数稳定的问题；并研究了当存 在不稳定的子系统时，在特定的切换序列下系统也可以是稳定的的问题【5 】。 2 0 0 3 年s o r i n c b e n g e a 和r a y m o n d a d e c a r l o 在由两个子系统组成的切换系 统中的最优控制和次优控制方面( 从遭耗、成本造价方面考虑) 作了一些研究， 得到了系统控制问题最优解存在的一个充分条件【“。 2 0 0 4 年a n t h o n yn m i c h e l 翟桂生等人对一类同时包含离散时间系统和连 续时间系统的切换系统的稳定性作了分析，验证了在满足一些条件的前提下这类 系统在任意切换序列下可以达到指数稳定川。 2 0 0 4 年e l e n ad es a n t i s 和m a r i ad d ib e n e d e t t o 等人研究了具有安全约束的 连续时间切换系统的数字控制，应用一个数字控制器去研究连续时间切换系统的 安全性条件【8 l d 2 0 0 6 年s e n i o r 和翟桂生对同时包含连续时间和离散时间的切换系统的l i e 一 代数稳定性作了分析，得到了这样的结论：所有的连续时间和离散时间子系统是 h u r w i t z 稳定的且由子系统的系统矩阵组成的l i e 一代数是可解的，则由 地+ 1 ) = 4 脚和量0 ) = 4 雄艘) 组成的切换系统在任意切换下都是指数稳定的【9 1 。 但是在国内，这一领域的研究起步比较晚、相关的学者及文献还不是很多， 只有几个很少的结果： 1 9 9 7 年王小捷等人研究了“一类混合系统的稳定性”，给出了混合动态系统 在l a y p u n o v 意义下的稳定性和渐进稳定性的定义和充分必要条件【1 0 】； 1 9 9 9 年谢广明和郑大钟应用切换序列这个工具做了“线性切换系统的能控性 与能达性”的研究和探讨 1 1 ； 2 0 0 1 年孙振东和郑大钟两位学者提出连续时间线性切换系统能达的一个必 要条件和一个充分条件，并研究了一类反馈的稳定性1 1 2 1 。 2 0 0 1 年孙振东和s s g e 等人，给出了可逆的离散时问的线性切换系统的可 4 中山大学硕士学位论文 控性和可达性等价的结论【1 3 】。 2 0 0 2 年谢广明和王龙两位学者又在连续时间线性切换系统的能控和能达性 研究方面取得了进展，通过切换序列这个工具把可控集的具体形式写出来，从而 提出了任意个切换系统都必然存在一个合适的切换序列玎自使得；c ( 功，又 出此结论得出了连续时间线性切换系统的能控的一个充分必要条件= f ，并 在得出结论的过程中提供了一个寻找合适的切换序列的具体方法【1 4 l 。 但目前他们做的大多是连续时间系统的可控性和稳定性。本文主要是应用切 换序列作为中间量来研究离散时间线性切换系统的可控性的一个充分必要条件， 用2 0 0 2 年谢广明和郑大钟两位学者的研究方法把已经得到的一些连续时间线性 切换系统的可控性方面的结论推广到离散时间线性切换系统，可以说这就是这篇 论文的主要工作和创新点。 本文的布局：第一章绪论部分，主要介绍了切换系统的研究背景和研究现状； 第二章是本文的主体部分：第一节介绍了一些与本文相关的基础定义和一些基本 定理；第二节主要引进了可控集的概念和一些性质，是本文后面的证明的主要工 具；第三节以可控集为工具得到了系统可控的充分必要条件；第四节利用对偶原 理把离散时间切换系统的能观性进行了讨论；第五节是把第三节的结论向离散延 时系统进行了推广；第六节选几个例子对本结论进行验证，以看出切换列引入的 作用；第七节总结。附录一和附录二是对文中用到的两个引理的证明。 5 中山大学硕士学位论文 第二章离散时间线性切换系统能控的充分必要条件 2 1 预备知识 考虑如下离散的切换系统： x + 1 ) = g ；竹产 ) + 一耻产( 七) ， ( 1 ) 其中x ) 彤为系统状态；u ( k ) e r “为输入；y ) ：r + - q l ，2 ，】是已 经确定的转换法则。并且，r ( k ) = i 使系统的实现为( gq ) ，i = 1 2 ，n ，并且 g ，i = 1 ，2 ，非奇异。对于系统( 1 ) 一个转换序列可以确定它在某个特定时间 转向某个特定的系统。 定义1 ( 转换序列) ：转换序列是形如下列形式数对的有限集 z 皇他盔j 锄) ， 其中mc 。是玎的长度，诈 1 2 , 峭；m 是第m 次实现的指标， k ) o 埘= l - ；m 是第m 次实现的时间间隔。 给一个转换序列石= ( ) ) 笛，就有一个相关的转换法则，定义如下： m l4 y 2 矿尼【酗，) ，d rm = 卜m ， 定义2 ( 状态可控) ：一个非零状态x 称为可控的，如果存在一个转换序列 疗= 懈岛) ) ：和一个【0 即上的输入“ ) 使得婀；哟；o 成立，其中r = 。 定义3 ( 系统可控) ：如果对任意非零状态z 都是状态可控，则系统( 1 ) 是 完全可控的。 定义4 ( 状态可达) ：状态z r ”是可达的，如果存在一个切换序列 万：豫矗) ) 兰和一个系统输入“ ) ，使得= o 和囊= x ，其中z ：m 。 7 中山大学硕士学位论文 定义5 ( 可达集) ：系统对于切换石= 俺i ； ) 兰的可达集是所有在石下的可控状 态的集合。可以如下表达 尺如) 皇 z l 存在一个输入u 旺) ，女【o ，z ，使得x ( o ) = 0 ，和x ( t ) = x 。 可见，如果系统的可达状态集是全空间r ) = r “的话，则系统( 1 ) 是完全 可达的。 定义6 ( 列空间) i t s h 对于已给出的矩阵场= 鸭，- 】，列空间筑( h ) 如 下定义： 蹰( h ) 皇印口n 讹， ：， 。 。 定义7 ( 循环不变子空间) 1 5 】：对于已给出的矩阵e 。和一个线性子空间 w 卯循环不变子空问( g l ”定义如下： r g w 垒( g | 叻垒荟g 卜1 w 。 由以上定义可知：( a lh ) = ( gj 册( h ) ) ，其中g ，h 分别为相应的n + 以维矩阵 和n8 p 维矩阵。 定理1 ：对于系统( 1 ) 如果q ，i = 1 ，2 ，非奇异，则系统完全可控等价于 系统完全可达。 该定理的证明在参考文献 1 3 中有证明，我们在这里就不再证明。 对于系统( 1 ) ，我们可以定义如下的子空间列： m 2 荟( g f i 皿) ，w 2 。荟( g f m ) ，。著( g i i k 。) 。 2 基于( 2 ) 的定义，可得出系统可控的一个必要条件。 定理2 ( 必要性) 1 0 】：若系统( 1 ) 是可控的，则有：r 一。 证明：假设系统( 1 ) 是可控的，则系统也是可达的，则任意初始状态x ) = 0 和石；0 ，都存在一个转换序列 瓴) ，j 位赶) 和一组输入z f a 朋，使得 x ( k ，) = xx 0 ，x r “，即下式成立： 中山大学硕士学位论文 x 2 x ) 。哮钟x ) + 蓦s 【憋r + l k j ；乏k r ，嘭- h i u ) = 苫s ( 垆r + l k 毫中“) 又因为，差嘭1 心“【爿：rq q q 一甄 r 山一，m 所以就有：工飞一飞气+ 。斗r 6 ；q c 。 由z 月“的任意性可以看出 = f 。 证毕。 2 。2 可控状态集 这一节主费是介耋f j j 控状态粟的概忿及兵特性，司控状态集是我们这蕊论文 中很重要的工具。 定义8 ( 可控集) ：给出一个转换序列筇= g ，盔) 鹄，r ：童疔。定义它的 可控集如下： c 西) 皇 j i 存在一个输入u ( k ) ，k e o ，t ，使得x ( o ) = x ，和x ( t ) = 0 ) 。 下面的引理是我们后面证明的基础，它描述了可控状态集的特征。 引理1 ：给定的矩阵q h 和以印，对于任意的0 s k t + 。，我们有以下 结论： x i z = 羔g k ：- i h u ( i ) ，v ) = 。 由于篇幅的关系，证明过程见附录一。 定理3 ：给定一个转换序列玎= g ，龟) 攫，则它的可控状态集为如下形式： c ”( g ih 一差辐( g 。k 寸1 ( g i r ih 证明：设f 0 = o ，f m = 蓦t 并设 f 铀m 吐m 是m 次系统 实现的输入函数，c 0 ) 是初始状态，经过转换序列石后，初始状态变成了末 9 中山大学硕士学位论文 状态x 可以由如下形式写出： x ，= 哮嗜x ( o ) + 荟m “r + ! q k ，麦嘭4 由可控状态集的定义可知x ，= 0 则我们可以看到： z 。= 疆m ( g 擘) _ l 荟m ( 日r + l ( z g 。k ) 一。墓g - i h iu r ) = 荟m 。姐7i k 仃1 ；芰，晔一4 _ u 根据可控集的定义可以重新定义如下： 刊工= r 萎卿啦耋1 嘭籼) 2 4j 。”一 = 翱甜= ，差，嘭母， 利用引理i ，可以得到： ：冀觌硝 c ；m o 。 定理9 ：对于系统( 7 ) ，一定存在一个切换列，使得：= c 何) 。 定理1 0 ：系统( 7 ) 完全能控当且仅当= r “。 2 6 例算 切换序列的引入，对系统的能控性的影响与对系统的稳定性的影响很类似。 可阻使能控的子系统通过切换而变得不能控；也可以使得各个子系统不能控，但 经过切换后的子系统变得能控了。下面是一个例子，它的各个子系统是不能控的， 但经过在子系统问切换后得到的混合系统变得能控了。下面我们看一下这个例 子。 例子：我们考虑如下系统： x + 1 ) ! g r ( t ) x ) + h r ( t ) “ ) 其中：g 1 = g 2 ； 一1000 01o0 o00 51 o01一o 5 01 1o 0o 0o o0 o0 10 01 q = h 2 = 0 10 0 10 o0 0 5 o0 0 5 0 1 5 - 0 1 5 0 0 o 0 - 0 1 5 - 0 1 5 我们很容易就可以计算得： r a n k h 1 ，g 1 h a ，g ? q ，四h 1 = 3 。 r a n k h 2 ，g 2 h 2 ，g 日2 ，四日2 = 3 。 这就是说：两个子系统都是不能控的。 下面如果在这两个系统间进行合适的跳转，是否存在一个合适的切换序列使 得这个混合系统能控呢? 那我们就应用我们刚刚得到的结论来验证一下，就可以 中山大学硕士学位论文 得到如下结论： 即n q ，h 2 ，g 1 q ，g 2 h 2 = 尺4 。 则经过切换后的混合系统是可控的。由此可见切换序列的作用。 2 7 结论 文章到这里我们已经以可控状态集和切换序列为基本工具。通过定理3 所描 述的可控集的如下的具体表达形式： c ( 玎) = ( g 峨) + 乏疆( g 耖1 ( g 帆) 。 为中间桥梁，证明了定理7 ：对于系统( 1 ) 必存在一个转换序列瓦，使得 c 魄) = 。并且在定理7 的证明过程中很具体的找到了能使得系统完全可控的 切换序列，乇。 借助定理2 的结论：若系统( 1 ) 是可控的，则有比= r ”。 我们就得到推论1 - 系统( 1 ) 是完全可控的充要条件是= r “，这个多个 子系统组成的系统能控的充分必要条件。 这个结论可以说是连续时间切换系统能控的充分必要条件向离散时间线性 切换系统能控性的推广。我们通过严格的数学证明保证了该推广结果的正确性。 并且很多连续时间的问题再用计算机解决是都会离散化成离散时间的问题刁。能 解决，因此，这个结果是一个很有现实意义和应用价值的理论保障。 中山大学硕士学位论文 附录一：引理1 的证明 引理i ：给定的矩阵q 钿和f 。p ，对于任意的o s 知c 呼c 伸，我们有以下结 论： s 。= 扛i z = 艺g k ：- i 日“a ) ，v 町= ( g i h ) 。 证明：我们分两步来证明这个结论。 第一步，首先我们来证明s 。( gh ) 。 由c a l e y h a m i l 。n 定理可以得：g ”2 荟a r g 1 进而可以设下面式子成立： g k ：- i = 妻九( 七，一j ) g 7 1 。 现在设：x s o ，则有o s c 七，c + o o 和u ( i ) e u ，使得： 拈j 笺g 中弘磊k ：再n 撕卅g j 一慨 = 善g 1 h 互 ( 七，一伽( f ) 角 岛一。4 善r ( g j - i 1 1 ) = ( gi h 从而就有：s o ( gh ) 。 第二步：下面我们来证明( gih ) s o ，我们先来考虑下面的矩阵： 暇= 磊t g f h h 7 ( g i ) 7 。 = w t 7 且为半正定的，因而有：r ( w t ) = ( ) 上，并且： ) ，( 彬) 。y r w y = 0 。荟y 7 删7 ) 7 y h 7 ( g i ) r v ；0 0 e is t 中山大学硕士学位论文 由于以上关系：h 7 y = 0 ，h 7 ( g ) 7 y = 0 ，h 7 ( g ) 7 y ：0 ， 既可以有如下结论： y e n ( h r ) n n ( h 7 ( g 尹n n n ( h 7 f 。1 ) 7 ) = r ) + r ( g ) + + 月( g 栩) = ( g l h ) 由此可见：n ( w p c _ ( g 1 日) ，反之也同样能证明( g l h ) c _ n ( w t ) ，由此可知 ( g i h ) = ( ) 。 此结果可以等价的写成：( gih ) ；( 啊) ：r ( ) 。 现在设x e ( gi h ) ，由上式则存在z 使得x ：w , z ， 贝0 令：u q ) = h r ( g ) 丁z0 s f f ，贝0 ： x = w , z = g7 h h 7 ( g 妒z ( ，：t f ) 铀 2 乏g 。日“( i ) s 。 这就可以得到：( g h ) s o ，结合第一步中所的结论s 。( gh ) 就可 以得出： & = 川x = 芝g k ，- i 肌( f ) ，v “) = ，所以就得到了这样 的结论：( g r l w ) ： g i w ) 。现在我们只须要证明有如下结论即可： ( g 7j w ) = ( ( g 7 ) 1 1 w ) a 证明过程如下： ( ( g 7 ) 11w ) = ( g 4 ) ”1 w = ( g 一7 ) ”一1 ( g 一7 ) ”一”w 。( g 一7 ) “一1 ( g 7 ) w = ( g 。) ”1 ( g 71 w ) = ( g 7i ( g 一7 ) ”一1 w ) = ( g 7 i w ) 所以就有了：( g 一l w ) = ( g l w ) 。 证毕。 中山大学硕士学位论文 参考文献 1 s h i y i nq i n t h et h e o r yo fh y b i r dc o n t r o ls y s t e ma n di t sa p p l i c a t i o np e r s p e c t i v ei ne l e c t r i n i cp o w e rs y s t e mi n f o t e c ha n di n f o n e t ，2 0 0 1 ，p r o c e e d i n g s ，i c 1 12 0 0 1 一b e i j i n 9 2 0 0 1 ，i n t e r n a t i o n a lc o m f e r e n c eo n ，2 0 0 1 ( 4 ) ：8 5 9 4 2 郑大钟，赵千川，离散时间动力系统。北京：清华大学出版社，2 0 0 0 3 e a w y c z a l e k h y b i r de l e c t r i cv e h i c l e s ，2 0 0 0s t a t u si e e ea e r o s p a c ea n de l e c t r o n i cs y s t e mm a g a z i n e 2 0 0 1 ，1 6 0 ) ：1 5 2 5 4 】e t , m a n r e h o m i n gs t r a t e g i e sf r o ma ne x i s t i n ge l e c t r o m e c h a n i c a lt oar e l i e f e l e c t r o n i cs w i t c h i n gs y s t e m i e e et r a n so nc o m m u n i c a t i o n s ，v 0 1 c o m - 2 6 ，n o 1 0 ，1 9 7 8 5 】 b o h u 、k a z u n o r i y a s u d a q u a l i t a t i v e a n a l y s i so fd i s c r e t e t i m es w i t c h e d s y s t e m s p r o c e e d i n g so ft h ea m e r i c a nc o n t r o lc o n f e r e n c ea n c h o r a g e ，a km a y 8 - 1 0 ，2 0 0 2 【6 】s o r i nc b e n g e a r a y m o n da d e c a r l o o p t i m a la n ds u b o p t i m a lc o n t r o lo f s w i t c h i n gs y s t e m s p r o c e e d i n g so ft h e4 2 n di e e ec o n f e r e n c eo r ld e c i s i o na n d c o n t r o lm a t i ，h a w a i l u s a 2 0 0 3 【7 】a n t h o n yn m i c h e l g u i s h e n gz h a i s t a b i l i t ya n a l y s i sf o rs w i t c h e ds y s t e m w i t hc o n t i n u o u s t i m ea n dd i s c r e t e t i m es u b s y s t e m s p r o c e e d i n g so ft h e2 0 0 4 a m e r i c a nc o n f e r e n c eb o s t o n ，m a s s a c h u s e t t sj u n e3 0 一j u l y2 ，2 0 0 4 【8 】e l e n ad es a n t i s m a r i ad d ib e n e d e t t o d i g i t a lc o n t r o lo fc o n t i n u o u s - t i m e s w i t c h i n gs y s t e m sw i t hs a f e t yc o n s t r a i n t s 4 3 “i e e ec o n f e r e n c eo nd e c i s i o n a n dc o n t r o ld e c e m b e r1 4 1 7 2 0 0 4 9 g u i s h e n gz h a i ，s e n i o rm e m b e r l i ea l g e b r e i cs t a b i l i t ya n a l y s i sf o rs w i t c h e d s y s t e m sw i t hc o n t i n u o u s - t i m ea n dd i s c r e t e t i m es u b s y s t e m s i e e et r a n so n c i r c u i t sa n ds y s t e m - i i ：e x p r e s s v 0 1 5 3 ，n o ，2 ，f e b r u a r y2 0 0 6 1 0 】王小捷，韩存武，文传源一类混合动态系统的稳定性北京航空航天大 学学报，1