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山东师范大学硕士学位论文 光学涡旋场的产生方法、衍射特性及其应用研究 摘要 光学涡旋( 0 p t i c a lv o r t i c e s ) 是一种具有螺旋型波前结构和确定的光子轨道 角动量的特殊光场，近年来，受到科学界的重视，并被广泛的研究，目前已经发 展成为现代光学的一个新的研究领域；已经在光学微操纵、原子光学、生物医学、 非线性光学、光学信息传输等领域得到了重要而广泛的应用。本论文重点对光学 涡旋的产生方法、衍射特性及其实际应用中的有关问题进行理论与实验研究。主 要研究内容和结果如下： 1 总结论述了光学涡旋的数学描述、产生方法及在近轴情况下光学涡旋场的轨道 角动量特性。 2 分析了阶梯型螺旋相位板产生的涡旋光场的涡旋特性，分别给出了实现最大总 轨道角动量输出、最小总轨道角动量、最大主光学涡旋轨道角动量和高纯度的 光学涡旋场输出的条件。为螺旋相位板的设计和实际应用提供了参考依据。 3 从理论上解释了利用具有相位调制偏差的液晶空间光调制器产生周期性强度 调制光学涡旋场的原因，并提出利用这种方法可以检测液晶空间光调制器的相 位偏差。 4 分析了螺旋相位滤波系统的一些特性，提出利用这种方法产生任意形状以及任 意排列的光学涡旋场，为我们研究微观颗粒在阵列光学涡旋场中的受力以及阵 列光学涡旋场的传播动力学提供了实验基础。 5 在用螺旋相位板进行光学径向希尔伯特变换的基础上，提出了一种利用拉盖尔 一高斯空间滤波器来实现光学径向希尔伯特变换的新方法，并从理论与实验上 证实了该方法的可行性。理论与实验结果表明利用这种方法能够有效的增强物 体的边缘信息，提高对比度。 关键词：光学涡旋、角动量、空间光调制器、螺旋相位板、希尔伯特变换 分类号：0 4 3 8 山东师范大学硕士学位论文 o p t i c a lv o r t i c e s ：g e n e r a t i o nm e t h o d s ，d i f f r a c t i v ep r o p e r t i e s a n da p p l i c a t i o n s a b s t r a c t o p t i c a lv o r t i c e sa r ei n t r i g u i n gs p e c i a lo p t i c a ls t r u c t u r e sw i t hh e l i c a l ( o rs p i r a l ) w a v ef r o n t s ，w h i c ha t t r a c tm u c ha t t e n t i o nf o rt h e i rw e l l d e f i n e do r b i t a la n g u l a r m o m e n t u mp r o p e r t i e s t h i sk i n do fs p e c i a l o p t i c a lf i e l dh a sb e e na p p l i e di nm a n y f i e l d st h a ti n c l u d eo p t i c a lm i c r o m a n i p u l a t i o n ，a t o m i co p t i c s ，b i o m e d i c i n e ，n o n l i n e a r o p t i c s ，o rq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g i nt h i st h e s i s ，w ee x p l o r e dt h eg e n e r a t i o n m e h t o d so fo p t i c a lv o r t i c e s ，t h e i rd i f f r a c t i v ep r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o n s t h em a j o r c o n t e n ta n dr e s u l ta r ea sf o l l o w s ： 1 w em a d ead e s c r i p t i o no fo p t i c a lv o r t i c e s ，i n t r o d u c e ds o m em e t h o dt og e n e r a t e o p t i c a lv o r t i c e sa n da n a l y z e dt h ea n g u l a rm o m e n t u mo ft h eo p t i c a lv o r t i c e su n d e r p a r a x i a lc o n d i t i o n 2 w ea n a l y z e dt h ev o r t e xp r o p e r t i e so ft h ef i e l dg e n e r a t e db ym u l t i l e v e ls t e ps p i r a l p h a s ep l a t e ，a n dg a v et h ec o n d i t i o nf o rg e n e r a t i o no fo p t i c a lv o r t i c e sw i t hm a x i m a l o a m ，m i n i m a lo a m a n dh i 曲p u r i t y , w h i c hp r o v i d eu ss o m eu s e f u lp a r a m e t e r s f o rd e s i g n i n gt h es p i r a lp h a s ep l a t ea n di t sa p p l i c a t i o n s 3 w ee x p l a i n e dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nm o d u l a t i o nd e p t ho f o p t i c a lv o r t i c e sa n dt h e p h a s ed e v i a t i o no ft h es p a t i a ll i g h tm o d u l a t o ri nt h e o r y t h i st h e o r yp r o v i d ea p o s s i b l ea p p r o a c ht om e a s u r et h ep h a s ed e v i a t i o no fs l m 4 w ea n a l y z e dt h ep r o p e r t i e so ft h eh e l i c a lp h a s es p a t i a lf i l t e d n gs y s t e ma n d p r o p o s e dan e wm e t h o dt og e n e r a t eo p t i c a lv o r t i c e sw i t ha n ys h a p em i da r r a yb y u s eo fh e l i c a l p h a s es p a t i a lf i l t e r i n g t h i s m e t h o do f f e r sa na d v a n c e d u s e r - i n t e r a c t i v e f u n c t i o n a l i t ya n dh i g ha d a p t a b i l i t y ，w h i c ha r ei m p o r t a n tf o r a p p l i c a t i o n si ns t u d yo fo p t i c a lm i c r o m a n i p u l a t i o no f am i x t u r eo fm i c r o s t r u c t u r e s ， o p t i c a l l yi n d u c e dp h o t o n i cl a t t i c e s ，a n d l a t t i c eo f o p t i c a lv o r t e xs o l i t o n 5 w ei n t r o d u c e dan e wm e t h o dt oi m p l e m e n tr a d i a lh i l b e r tt r a n s f o r mb yu s eo f l i 山东师范大学硕士学位论文 i a g u e r r e g a u s s i a ns p a t i a lf i l t e r sa n dd e m o n s t r a t e dt h ef e a s i b i l i t yo ft h i sm e t h o di n t h e o r ya n de x p e r i m e n t s t h er e s u l ti m p l i e dt h a tu s i n gt h i sm e t h o dc a ne n h a n c et h e e d g ei n f o r m a t i o no f t h ei m a g ee f f e c t i v e l ya n da d v a n c e dt h ec o n t r a s t k e yw o r d s ：o p t i c a lv o r t i c e s ；a n g u l a rm o m e n t u m ；s p a t i a ll i g h tm o d u l a t o r s ；s p i r a l p h a s ep l a t e ；h i l b e r tt r a n s f o r m ； c l cn u m b e r ：0 4 3 8 e m a i l ：y j h a r l l 9 8 1 y a h o ot o m a 1 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 一勰朴龟罗口一字：闻筘 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂蕉有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权堂撞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文 在解密后适用本授权书) 一繇魏 导师签字 目n 签字日期：2 0 0年月日 山东师范大学硕士学位论文 第一章综述 涡旋是自然界中一种比较普遍的运动形式，它的产生主要是由奇点效应引起 的。自然界中的涡旋效应普遍存在，它们也常以流体的形式表现出来，如水漩涡、 飓风及台风 1 2 】。各种物理系统中也都有涡旋的存在。它们可以产生在量子系统 中，像氦超流体、超导体和爱因斯坦凝聚【3 】。同时，涡旋还是普遍存在于波动中 的一种现象，在一个系统中，波在空域的演变是由它的相位波前的拓扑荷所决定 的。一个具有螺旋状相位波前的波我们称之为涡旋波。 光学涡旋( o p t i c a lv o r t e x ) 是电磁辐射普遍存在的一种现象，通常描述为发生突 变的光场。光学涡旋可以通过一系列不同的方法产生，一种方法是使用螺旋相位 板 4 】，这种板是被蚀刻成具有螺旋台阶形状的玻璃板，板的厚度沿角向发生均匀 的变化。通过板的光由于玻璃板的折射率和周围介质的折射率引入的附加光程差 获得了沿角向的均匀相位变化，形成光学涡旋。 光学涡旋是具有螺旋相位波前或相位奇点的特殊光场，其复振幅分布可以简 单表示为h ( r ) e x p ( i l o ) ，e x p ( i l o ) 表明光场的相位与旋转方位角0 成正比，其中，为 光学涡旋的拓扑荷( t o p o l o g i c a lc h a r g e ，简称t c ) ，一般为整数。这种光场中的每 一个光子都具有确定的轨道角动量腩【5 , 6 】。 光学涡旋作为一种比较独特的光场，它的重要性表现在具有特殊的螺旋波前 结构和确定的光子轨道角动量。涡旋光场的这种螺旋波前结构对研究涡旋场的产 生、相互作用及其传播动力学具有重要意义。近几年，由于具有许多重要的潜在 应用价值，光学涡旋的研究迅速发展起来，成为现代光学一个重要的分支。现在， 光学涡旋已经被用在束缚低折射率粒子【7 】，用光镊控制生物标本 8 ，9 。在非线性 光学系统中，光学涡旋可以产生波导，在光开关技术中具有很大应用价值。此外， 光学涡旋由于具有独特的拓扑波前，光学涡旋具有的整数拓扑荷因子在量子信息 传输、量子计算 1 0 】及通信等方面也具有重要的潜在应用价值和前景。本文旨在 对光学涡旋的角动量特性、产生方法及其应用进行较为详细的研究和讨论，为光 学涡旋在光学微操纵、原子光学、光量子信息处理等领域的应用提供一定的理论 山东师范大学硕士学位论文 和实验基础。 1 1 光学涡旋的发展及应用 光学涡旋首次被发现是在圆柱对称系统中。事实上，我们比较熟悉的t e m 0 1 中空激光模本身就是光学涡旋 1 1 。这种中空模具有光学涡旋所特有的暗心结构， 涡旋的大小和光波波长以及谐振腔的直径有关。这种涡旋具有空间传播不变性。 事实上，拉盖尔一高斯模是一系列基模涡旋的叠加 1 2 】。 实际上，光学涡旋会自发的在谐振腔中产生，而较大的谐振腔会产生众多不 同模式的光学涡旋 1 3 。当然，光学涡旋也经常产生在无限系统中。1 9 7 4 年，n y e 和b e r r y 1 4 描述了光场中的位错结构等同于晶体结构中的两种类型位错。一种是 螺旋位错，根据波前的螺旋拓扑荷定义；第二种是不连续的位错，它有两个拓扑 荷不连续的等相位面，导致一个无限长的线位错或边缘位错，类似于晶体中的位 错，一个边缘位错往往和螺旋位错复合形成所谓的螺旋一边缘位错 1 5 1 。实验表明， 经过存在相位缺陷的粗糙面所反射的波脉冲和经过存在缺陷的晶体的光场有些类 似。计连续的光波通过品体，发现了由丁边缘、螺旋、或者边缘一螺旋位错所引起 的相位缺陷。 具有这些位错的任何近轴光波模式都可以看为是一系列拉盖尔一高斯模的叠 加。它们的一些模式都有着螺旋位错或者在中心存在着涡旋。在1 9 9 2 年，r o b e r t s p r e e u w 等人【5 认为具有螺旋拓扑荷的波前引起和方位角有关的动力密度，光束 因而具有了轨道角动量，这对于单个光子同样适用。轨道角动量的量予成分具有 一个从m 到+ m 不连续的特征频谱：拉盖尔一高斯模就是轨道角动量的特征模。 光从粗糙的表面散射，产生随机散斑场。1 9 8 1 年，z e l d o v i c h 【1 6 1 论证了在 特定范围内的散斑场中，光学涡旋的产生几率几乎是一定的。同时，1 9 8 3 年，他 提出在散斑场中形成高拓扑荷的涡旋场是不可能的 1 7 1 。除了z e l d o r i c h ，f r e u n d e ta l 1 8 1 也作了许多工作，他预言了在散斑场中一个随机的具有高斯分布的光学 涡旋和它的拓扑荷符合某种联系和规则。在一物理系统中，f r e u n d 利用符号规则， 证明相邻的具有相反拓扑荷的光学涡旋有更高的存在可能性。而且他还论证了即 使不考虑拓扑荷，相邻参量也存在很大的相关性，这表明，明显的随机光场相应 存在潜在的规则。 2 山东师范大学硕士学位论文 光学涡旋同样也可以产生在非线性系统中。由于高斯透镜效应产生的光学涡 旋，已经在很多非线性介质中1 9 被观察到。高斯光束由于强度分布不均匀会对 非线性介质的折射率产生影响而产生热透镜效应。这种情况导致在近轴光被离焦， 而外围的光并不受到影响。光学涡旋的产生和消失在传播中都被观察到。 在非线性系统中，光学涡旋可以退化成孤子 2 0 1 。1 9 9 2 年，s w a r t z l a n d e r 和 l a w 2 0 第一个通过实验在自聚焦的非线性k e r r 介质中观察到光学涡旋孤子 ( o p 廿c a lv o a i c e ss o l i t o n ，o v s ) 。几乎同时，s n y d e r 2 1 讨论了类似波导的暗孤子的 存在。光学涡旋孤子具有2 + 1 维的空间结构，在传播过程中形状不变。当自聚焦 介质中的衍射效应和由非线性折射率变化引起的热透镜效应达到平衡时，孤子就 会产生。光学涡旋孤子可以在二次非线性科尔介质中观察到。很快，光学涡旋孤 子在介质中的产生，消失和传播也得到了非常广泛的研究。 随着研究的深入，人们掌握了产生光学涡旋的方法。这使得对光学涡旋的研 究上升到一个新的层次。涡旋的动力学特性也逐渐被人们所发现。1 9 9 2 年以来， 单个，偶极子甚至是四偶极子排列 2 2 - 2 6 的光学涡旋的动力学特征也被人所研究。 另外，阵列涡旋以及具有周期格子排列的涡旋光场5 ，2 2 ，2 4 的动力学特征也得到 了研究。r o u x 2 2 ，i d e b e t o u w 【2 3 ，r o z a s 2 5 ，2 6 1 的研究表明涡旋核心的大小在光 学涡旋的传播过程中起着非常重要的作用。光学涡旋根据其振幅分布特性可以分 为两大类，大核涡旋和小核涡旋。大核涡旋，像激光腔中的中空模，在传播过程 中形状不变。涡旋核的大小与光束的比值始终保持为定值。1 9 9 3 年，i n d e b e t o u w 2 3 1 采用近似分析了以高斯光束为背景光的任意数目的大核光学涡旋的传播，依据其 分析只有具有相反拓扑荷的涡旋在传播中才会互相影响。他发现一列具有相同拓 扑荷的大核涡旋将会严格的沿着背景光束的相位变化旋转。尽管阵列涡旋的存在 及位置将会影响其它涡旋的传播。他表示，涡旋在远场的旋转角度接近高斯相移 9 0 度 2 7 ，2 8 1 。 相反，小核涡旋相对背景光场较小。1 9 9 5 年r o u x 【2 2 ，1 9 9 7 年r o z a s 2 5 ，2 6 】 预言了光学涡旋的运动和液体中的漩涡的旋转类似。r o z a s 预言一对具有相同拓 扑荷的小核涡旋将会绕着对方旋转，旋转速率与它们之间的距离的平方成正比。 但是，它们之间的旋转由于涡旋核的衍射和相互交迭不可能一直持续下去。因此， 在线性介质中将会得到与大核涡旋相同的结果。2 0 0 0 年，r o z a s 2 6 通过在非线性 介质中一对小核涡旋孤子的旋转速率实验证实了他的结论。产生的两个孤子，很 山东师范大学硕士学位论文 好的消除了衍射并观察到像流体一样的旋转效应。 早在1 9 9 2 年，光学涡旋的轨道角动量特性就为人发现，其大小和拓扑荷成正 比。涡旋的角动量是由b e i j e r s b e r g e n 5 ，2 9 1 首先测定的。在实验中，他利用用来产 生涡旋的模式转换器，由于h g 0 1 转换为l g o l 模，光由没有轨道角动量变为带有 角动量，相应的模式转换器将具有反方向的角动量，这种测量方法被广泛的采用。 而且，角动量在非线性传播过程中也遵循守恒定理。2 0 0 3 年，涡旋光场角动量的 空间分布得到了精确的测量【3 0 】。 我们知道了光学涡旋的一些特性，但是，如何在实验中测定光学涡旋。干涉 测量 3 1 是有实际应用价值的方法，它可以用来测量一个相位物体的相位分布如 光学涡旋。当两束相干光干涉产生明暗相间条纹。条纹的形状受两束光的相位结 构的影响。利用干涉测量技术，就可以得到含有相位信息物光。 光学涡旋有着许多用途。在1 9 9 2 年，光学涡旋孤子第一次被用来产生波导 2 1 ，3 2 。在自离焦非线性介质中，光学涡旋孤子中心区域的较低强度对折射率的 影响很小。由于涡旋核外的亮环强度较大，相应的减小了周围介质的折射率。因 此，在涡旋中央具有相对外侧较高的折射率。目前，已经应用到光致开关。利用 这种特性可以制造光子晶体管等。 光学涡旋还被用来捕获微粒 3 3 】。涡旋所具有的轨道角动量可以提高光捕获 的捕获效率同时还可以用来旋转捕获物体 7 】。普通的光阱只能束缚折射率比周围 介质要高得多的物体，而涡旋却可以很好地用来束缚低折射率物质。1 9 9 6 年， g a h a g a n 3 3 | 【i e 明了涡旋势阱可以同时用来束缚高折射率和低折射率微粒。此外， 涡旋的暗核减少了聚焦光束对生物细胞的伤害【8 ，9 】。这使涡旋在生物实验研究方 面有非常广泛的应用价值。2 0 0 1 年，d h o l o k i a 3 4 ，3 5 3 , 0 用在光束中央含有涡旋的 衍射不变贝塞尔光束作为一种新型的光势阱。在这种束缚场中，物质既可以像上 面讨论的自旋，还绕着光束的光轴旋转。 1 9 9 7 年，光学涡旋被应用到光子计算 1 0 。光学涡旋孤子的拓扑荷可以用来 完成数值控制。两个具有相同拓扑荷的光学涡旋孤子可以形成一具有双倍拓扑荷 的光学涡旋，而具有相反拓扑荷的光学涡旋孤子可以形成无拓扑光场。光学涡旋 可以在复合光束中探测到，复合场中的涡旋的数量和位置可以通过控制两束光的 相位延迟来实现 3 6 ，3 7 1 。这在光学操纵中有着重要的应用价值。 近年，部分相干光中存在的涡旋态已经被观察到。相干的类型有两种，即空 山东师范大学硕士学位论文 域的时域的。时域相干即到同一点波前在不同时间的相关性，而空域相干涉即在 一段时间段中波前的一致性。当然，很多方法被用来研究在部分相干场中涡旋的 构成。一种方法是相干模拟理论【3 8 】，将部分相干光束认为是相干模式的非相干 叠加。这种方法可以用拉盖尔高斯模和螺旋模的叠加构造一含有涡旋孤子的部分 相干光束 3 9 】。部分相干涡旋光束通过扭曲型g a u s s i a n - s c h e l l 4 0 模型得到了解决。 空间衍射不变光束以及贝塞尔光束也含有涡旋模式f 4 1 1 。最近，部分相干光束可 以由具有分离相位的光束或者含有相位位错的光束组成已经得到了证实 4 2 1 。 另一种研究部分相干光中的涡旋孤子的特性是测量相干函数( m u t u a l c o h e r e n c ef u n c t i o n 简称m c f ) 。m c f 比较复杂，它可以由含有涡旋的起始平面 传播到具有一定意义的探测平面。1 9 5 7 年，w o l fe ta 1 4 3 i j 正明m c f 本身可以有 相位位错。在2 0 0 4 年，p a l a c i o se ta 1 【4 4 】证实涡旋可以导致在部分相干光中的新 型的空域相关奇点。几乎同时，g b u r 4 4 ，4 5 在理论上预言了空域相关涡旋，m a l e e v e t a l 4 4 】在实验中验证了空域相关涡旋。 其间，空域相关效应被发现。2 0 0 2 年，g b u r 4 6 1 预言了一个聚焦的多色光束 在靠近焦平面上的奇点附近出现反常的光谱现象。p o p e s c u 4 7 在实验上证实了 g b u r 的假设。s w a r t z l a n d e re ta 1 【4 8 】通过f i z e a u 干涉仪研究了时域相关涡旋的构 成，证实它们具有拓扑荷散射现象。 这些新奇点不是真正的物体，它们由于具有光束中各种各样点的相关性的一 些特性而存在，他们的存在对光束的特性有一定影响。实际上，涡旋的相干特性 也有一些新的应用价值。s w a r t z l a n d e r 4 9 和a n dp a l a c i o se ta 1 5 0 1 分别预言和证实 了光学涡旋可以用来作为一个滤波器来探测向前的散射光。 1 _ 2 本论文主要内容 综上所述，光学涡旋作为新兴发展起来的一个光学分支，越来越受到人们的 重视。近年来已经应用的许多领域，并受到了更多科学家的密切关注。同时，螺 旋相位板作为一种比较常用的光学器件，它的一些特性和用途也受到了广泛的关 注。本论文对光学涡旋场进行了一些基础理论研究工作，同时对螺旋相位板的输 出特性进行了比较系统的理论分析，并对一些现象给出了合理的解释。本论文的 主要研究内容和各章安排如下： 山东师范大学硕士学位论文 1 在第二章中，首先介绍了几种常见的光学涡旋场，并对光学涡旋的角动量进行 了分析和研究。另外，简单介绍了各种产生光学涡旋的方法，并计算了分别以 单位平面波直接入射到螺旋相位板时，相对应的涡旋输出光场的峰值和拓扑荷 以及其他参数之间的关系。 2 在第三章中，系统分析了由液晶荷所制造的阶梯形螺旋相位板的涡旋输出特 性，并进行了相关的计算和模拟。 3 在第四章，从理论上分析了通过存在相位调制偏差的空间光调制器用相息图产 生具有强度调制的涡旋光场输出的原因，并提出消除光调制器相位调制偏差的 方法。 4 在第五章，分析了螺旋相位板的空间滤波特性，并利用其产生任意形状和任意 排列的涡旋光场，还将螺旋相位板应用到增强图像的边缘信息。 5 第六章，提出了一种基于光学涡旋的径向希尔伯特变换。这种方法相对于螺旋 相位板有一定优点，所得到的边缘增强图像对比度较高。 6 山东师范大学硕士学位论文 第二章光学涡漩角动量分析及产生光学涡旋的方法 众所周知，光具有动量。它的动量和其强度密切相关，在很多领域有着重要 用途，而其轨道角动量通常和光束的极化有关。在1 9 世纪3 0 年代，b e t h 5 1 在 实验中惊奇的发现旋转的轨道角动量可以传递到物质上，这是由光学涡漩场具有 特殊的螺旋波前结构和确定的轨道角动量 5 1 日1 起的。由于这些特性，它被应用在 很多领域。到目前，光学涡旋已经发展成为光学里一个非常重要的分支。随着科 技的发展，这种特殊光场的特性将会进一步的被人们所认识，它也将会逐渐的应 用在更多领域。 在这一章，我们首先介绍了光学涡旋场的数学描述，并分析了在近轴情况下， 任意偏振态的光学涡漩场的角动量，得出了普通情况下的轨道角动量和自旋角动 量。另外，简要介绍了几种常见的产生光学涡旋场的方法。 2 1 光学涡旋的数学描述 光学涡旋场具有螺旋相位，事实上，众所周知得拉盖尔一高斯光束本身就是一 种光学涡旋场，下面我们简要分析拉盖尔高斯光束。拉盖尔高斯光束是具有轴 对称( 或圆对称) 光学谐振腔的振荡模式 5 2 1 。 单色光波是一种时间简谐电磁波，求解时间电磁波可直接从赫姆霍兹方程开 始、 v 2 u ( x ，y ，z ) + k 2 u ( x ，y ，z ) = 0 ( 2 - 1 ) 假设u ( x ，y ，z ) 是沿z 轴方向传播的非均匀光波，则它可以表述为 u ( x ，y ，z ) = 妒( x ，y ，z ) e x p ( 一i k z )( 2 2 ) 将其带入上式，并转化为柱坐标形式，波动方程可以写为 芝p + 三芸+ 去芸昙gt=0(2-3)gt-i2k 矿p + 石瓦+ 7 万 瓦 其中( p ，0 ) 为极坐标。假设上式的解具有下面的形式 7 山东师范大学硕士学位论文 c p ，目，z ，= f c p ，z ，e x p 一i c p + 害；p 2 + ，目， 式中f ( p ，z ) 是待定函数，是整数，p 和q 满足 堕：1 尘：一三 d z q 将所设的函数带入方程，得到 乓f + 三旦f f 丝p 旦f 一乓，_ f 2 七旦f ：o a6 p a pq j 8 pp i o z 假设f 可以分离变量，将其表示为 f ：( 巫) ，( 珲) 矗( ：) 将其代入上式，并利用 11丑 q r 刀m 2 1d 印1 国d zr 得 ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) 要声厂+ 要( z + 1 一手) 孝；矗一三蟮一珊f ；厂呈 ：o ( 2 - 9 ) 0 3 国dz 昨户 1 + ( 剐 以加瑶1 + ( 笥l ，：堕 。 d f 2 ( 2 10 ) ( 2 1 1 ) 山东师范大学硕士学位论文 一f 女珊2 三立五：4 口+ 2 1 式中p 为正整数，方程( 1 2 ) 解为 厅( z ) = e x p i ( 2 p + 1 ) q o ( z ) 其中州班嘴怯)册 方程( 1 1 ) 为拉盖尔方程，解为拉盖尔多项式， 龇，= 砉焘篙 将结果带入( 4 ) 式，得到拉盖尔一高斯光束的表达式 恭已( 矧e 冲 一别 防 唧 一( 垃+ 高p 2 卜z 川邶叫喇柳 一 式中c 缸为常数，o j ( z ) = 【2 ( z 2 + z ：) ，血 l ，2 是传播距离为z 处的光束半径， 是r a y l e i g h 长度，k 是波数，和p 是表征模式的特征量子数。 当l = 0 ，p = 0 时，上式退化为基模高斯光束的表达式。在上式中， z 表示的 是拉盖尔高斯光束沿角向的复振幅分布，为角向量子数，它决定了光场的涡旋特 性。拉盖尔高斯函数的零点位置及数目由方程 b ( 焉 = 。 ( 2 - 1 6 ) 的根所确定。当角向模阶数，= 0 时，零点位置及数目只取决于拉盖尔多项式 l p = 0 的根，是一个以i 2 丽p 2 ，v x z 量的p 次多项式，因此只能有p 个根，即p 个 零点。这意味着光斑花样有p 个暗环。当，0 时，由上式不难看出，p = 0 总是 一个零点，这时有p + 1 个零点。相应的光斑花样除中心是暗斑外，还有p 个暗环。 拉盖尔高斯函数沿径向的极值位置及极值数目由下式给出 9 蚴 峋 但 0 陋 生查堕蔓查兰堕圭兰垒笙奎 7 d p f l t - - d - j 2 t 阱斗 或 ( f 一言) 耳( 亭) + 2 善 耳( f ) - o ( 2 - 1 7 ) 式中f ：2 p ：，利用拉盖尔多项式的递推关系，上式可写成 ( p + 1 ) l t p 。( f ) 一己( f ) 一( ，+ p ) 乓一，( f ) = 0 ( 2 - 1 8 ) 这是一个关于f 的p + 1 次多项式，因此有p + 1 个极大值。在p = 0 的情况下， f 1 5 1 式依然成立。图2 - 1 列出了一些拉盖尔一高斯模的强度和相位分布。注意z 1 的 模式中央是暗的，这是由相位奇点引起的。另外，拉盖尔一高斯模为空间衍射不变 光场，由于这一特点，它可以被用来捕获中性粒子，进行波恩一爱因斯坦凝聚。 ( a 2 ) ( b 2 )( c 2 ) ( d 2 ) 图2 1 几个l g 模式光束的强度和相位分布( a ) - 三q ，( b ) - 三四，( c ) 一三四，( d ) 一三霹 由上面的分析可知，拉盖尔一高斯对应着具有轴对称光学谐振腔的诸振荡模 式。和厄米高斯函数一样，拉盖尔高斯函数也构成一组正交完备函数。事实上， 对近轴场中的轨道角动量的合理的描述是由拉盖尔一高斯模提供的。 拉盖尔高斯光束具有螺旋相位结构，它是光学涡旋的一种表现形式。由于光 0 山东师范大学硕士学位论文 学涡旋具有特殊波前，对于一个拓扑荷为，的光学涡旋场，可以简单表述为 u ( r ，z ) = u ( r ，z ) e x p ( i l o ) e x p ( 一i k z )( 2 1 9 ) 其中，u ( r ，z ) 为光场在z 处的振幅分布。在实验中比较常见的光学涡旋场有： 拉盖尔一高斯光束，t e m * o ，d o u g h n u t 光束，高阶贝塞尔光束等。 当拉盖尔一高斯光束的p = 0 时，就得到t e m o ，模式光束，也就是通常所说的 d o u g h n u t 型光束，显然，它只是拉盖尔高斯光束中的一种特殊情况。 贝塞尔光束是由d u m i n 5 3 ，5 4 在1 9 8 7 年首先提出来的，理想的，阶贝塞尔光 束的电场振幅由下式给出： g ( r ，0 ，z ，) = j l ( a r ) e x p ( i l o ) e x p i ( f l z c o t ) 】 ( 2 - 2 0 ) 这里( ，0 ，z ) 为柱坐标，t 为时间，为，阶贝塞尔函数( ，= o ，1 ，2 ，) ，1 时 对应着高阶贝塞尔函数，式( 2 2 2 ) r 辛存在螺旋相位因子，显然高阶贝塞尔光束也是 一种具有涡旋结构的光场。 高阶贝塞尔光束具有空间衍射不变性，不仅可用于原子囚禁和波导，还可用 于冷原子的横向冷却 5 5 ，实现冷原子束的激光准直与操纵 5 6 。高阶贝塞尔光束 一般可以通过一锥面镜将入射的拉盖尔高斯光束转换为贝塞尔光束 5 7 ，这种方 法具有比较高的转换效率，但锥面镜的制备较复杂。 上面我们所分析的各种具有涡旋结构的光场在本质上来说，都可以统一概括 为光学涡旋。除以上所提到的光学涡旋的几种具体表现形式，人们在实验中还产 生出许多种光场，这些光场也含有螺旋相位因子e x p ( i l o ) ，它们也属于光学涡旋。 所以，对于具有螺旋波前的光场，可以把它们都归为光学涡旋。 2 _ 2 光学涡旋的角动量 根据麦克斯韦的经典电磁理论，电磁辐射同时载有能量和动量，其动量包括 线动量和角动量。其中电磁场的角动量分为两部分：与光的波前分布有关的轨道 角动量工及与光的偏振态有关的自旋角动量s 。1 9 3 6 年，b e t h 5 1 首次讨论了圆 偏振光的角动量问题。a l l e n 等人【5 在1 9 9 2 年首次提出在近轴条件下，具有螺旋 相位因子e x p ( i 1 0 1 的光束具有确定的轨道角动量，这对光学涡旋的研究起到了非 山东师范大学硕士学位论文 常重要的推动作用，i - 面具体分析光场近轴传播时的角动量。 根据电动力学理论，电磁场的角动量密度表示为： m = f o r ( e x 曰) ( 2 2 1 ) 这时场的总角动量可以表示为： - ，= i ，( e b ) d r ( 2 - 2 2 ) 按照经典电磁场理论，电磁场的总角动量t ，分为两部分，一是轨道角动量三， 二是自旋角动量s ，而且j = l + s 。光波本身作为电磁场的一种，其角动量也分 为这两部分。 由于平面波是横波，e x b 的方向沿着光波传播的方向z ，角动量在z 方向不 存在分量，即_ ，( e x 丑) = 0a 但是激光发出的t e m , 。( 厄米一高斯) 和t e m 曲 ( 拉盖尔一高斯) 模式的光波，角动量在传播方向上存在- - 4 的分量 5 8 】。 对于一不确定其偏振的激光模式，在洛仑兹规范( l o r e n t zg a u g e ) 下其矢势4 可以统一表示成【5 9 】： a = ( 口曼+ 多) “( x ，y ，z ) e x p ( i k z ) = ( d 主+ 多) ( r ，z ) e x p ( i l o ) e x p ( i k z ) ( 2 2 3 ) 这里j 、j 分别为x 和y 轴明单位矢量，u ( x ，y ，z ) 是描述逝轴传措模式p 光场 的振幅分布。在近轴传播条件下，电场矢量e 和磁感应强度矢量占的二阶导数以 及一阶导数的乘积可以忽略，同时o u o z 同h 相比可以看作- - d , 量。利用洛仑兹 规范近似，可以得到： b ：l 一( 娑+ i k u ) y c + a ( 罢+ 砌) p ( 罢一口宴) i e x p ( i k z ) ( 2 - 2 4 ) 0 2 “佩o y f ：i c o a + v 2v 幽) ：ji c o a u ；c + f 筇毋一c 缸罢+ 卢罢) l e x p ( i k z ) ( 2 - 2 5 ) z 国盘 印 通过以上两式，我们可以求出p o y a t i n g 矢量6 0 e x b ( 即线动量) 的时间平 均值： p 2 岛( 丘占) 2 詈( 如曰+ e 埘 f 2 - 2 6 ) = 鲁 缸，o a l 2 + i p l 2 ) ( u v u - u v u ) + 2 0 ) k s o ( i a l 2 + i 卢1 2 ) l “1 2 + u o ( a p - a f 1 ) ( 专；一昙 卜2 1 需要说明的是( 2 - 2 6 ) 式这种简洁的结果是在保留o u 瑟的情况下得到的。上面 我们榀到存近轴情羽下o u a z 可以看作一个小量，但是为了得到较好的计算结果， 1 2 一些蔓墅堕查兰堡主兰垡堡窭 这里没有略去o ul s = 。( 2 2 6 ) 式所表示的是光束的线动量密度，将此线动量密度在 角向的分量又乘径向矢量r ，就得到光束沿z 轴的角动量分量j 一，即： 工= ( ，岛( f 曰) ) ：= r 岛( e 启) 。( 2 2 7 ) 具体分析( 2 2 6 ) 式，其中： 恃囊别“2 m 1 2 t 这里川2 中的口分量是分离的，故有： v 水江缸掣汪掣舀 功 经过以上整理和变换，式( 2 2 6 ) 变形为以下重要的形式： p = 誓( x b + e x b + ) 嘲詈( ( u v u - u v u ) + o ；k e o ( i 砰哼掣百 陆3 其中f = h 2 + l p l 2 ，盯= i ( a p 一口) 。( 2 3 0 ) 式具有重要的物理意义，其中的前 两项与光波的偏振态无关，与光波的轨道角动量相联系；第三项与光波的偏振态 和强度梯度有关，产生自旋角动量。其中的盯= i ( a ，一口卢) 来源于电场在x 和y 方 向的相对振幅和相位，表示光场的偏振态。这样，( e 丑) 就具有分离的与偏振无 关的分量以及与偏振态有关的分量( 自旋分量) 。 根据公式( 2 2 7 ) 和( 2 3 0 ) ，很容易可以推导出角动量密度的z 分量： 上= ( ，岛( e 丑) 卜，岛( 冒四) 。= 甜詈m | 2 + f 删“f 2 一号一掣( 2 - 3 i ) 在近轴近似条件下，我们知道光波场在传播方向的能流密度为： w = c 气( e 口) ：= 0 9 2 ( p 1 2 + l f ) i “1 2 ( 2 - 3 2 ) 利用( 2 3 0 君n ( 2 3 2 ) 就可以得出角动量密度和能量密度之比： 告：去+ 黜上去盟 ( 2 _ 3 3 ) w 似+ i p l 2 ) 2 国l u l 2 o r m 。叫 显然，在( 2 - 3 3 ) 式中，除去轨道角动量，还有自旋角动量，其大小与光的偏 振态有关。 山东师范大学硕士学位论文 单位长度上光束的角动量和能量的比率为： 参= 絮鬻= 等= 学 陋，。， 其中y 2 苦等希。由以上的证明我们得出以下重要的结论：在近轴传播 情况下，具有螺旋波前的偏振光场其光子角动量分为两部分，一部分为轨道角动 量，等于l h ，这是来源于光场的螺旋波前结构，与光波的偏振态无关；一部分为 自旋角动量，等于肪，这来源于光波的偏振态。对于任意偏振光在近轴近似情况 下轨道角动量和自旋角动量是分离的，大小分别为l h 和加。当y = o ，l 时，分别 对应线偏振、左右旋圆偏振光。显然驯茎1 ，表明光子的自旋角动量最大为 ，即 在所有的偏振态中，圆偏振光的光子自旋角动量最大。 在这儿，我们不再分析非近轴情况。 2 3 产生光学涡漩的方法 光学涡旋作为一种特殊的光场，具有许多新颖的特性：具有螺旋波前，中心 处存在相位奇点，具有暗中空结构等。这种结构的光束近年来已经在众多领域得 到广泛的研究和应用；而所有的应用都有赖于能够产生高质量的光学涡旋场。 在研究光学涡旋初期，科学家并不能任意产生光学涡旋。经过科学家多年的 不懈努力，光学涡旋已经可以通过多种不同的方法产生，在形状和排列上也可以 控制。常见的方法有以下几种：几何模式转换法1 5 7 ，6 0 ，全息图法【6 1 6 3 ，螺 旋相位板法 4 ，6 4 ，中空波导法 6 7 ，6 8 ，旋转镜面光学参量振荡器法【6 9 】等。另 外，通过特殊设计的激光器 7 0 7 2 也能直接输出具有螺旋模式的激光束。下面介 绍几种常用的方法。 2 3 1 几何模式转换法 激光束通过某种光学器件改变入射光束的模式，得到不同模式的出射光，这 种光学器件称之为模式转换器。常见的几种具有光学涡旋结构的光束，大多都可 以使用模式转换器得到。 1 4 山东师范大学硕士学位论文 几何模式转换法，常见的有两种，一种是利用柱面透镜实现h g 光束到l g 光束的转换。1 9 9 3 年，在c t a m m 和e a b r a m o c h k i n 等人研究的基础上，m w b e i j e r s b e r g e n 6 0 使用一对焦距为，的柱面透镜产生的高斯相位实现了由其它模 式产生拉盖尔高斯模。第一种情况将两柱面透镜相距2 ，对称放置，如图2 - 2 ( a ) 所示。可以实现任意阶的h g m 光束到相应的l g ：光束的转换( 其中f - 一m ， p = m i n ( m ，h ) ) 。利用h e r m i t e 和l a g u e r r e 多项式的关系，l g 和h g 模式之间有 以下关系： , g ( x ，y ，z ) = i b ( n ，m ，k ) u h g ( x ，y ，= ) k = 0 f 2 3 5 ) 其中的b 是