（运筹学与控制论专业论文）完美凸集与绝对完美凸集在p上的推广.pdf

原创性声明 j i j l i | i | i | i | | j i i l f l | i i i l | i i i | i y 17 4 14 4 6 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意 躲斜慨训形 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 椰期：砷， 图书分类号：0 1 8 6 5 学号：0 7 7 2 0 0 6 1 单位代号：1 0 2 8 0 上海大学理学硕士学位论文 完美凸集与绝对完美凸集在p 一上的推广 作者：张端 导师：冷岗松教授 专业： 运筹学与控制论 2 0 1 0 年4 月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e d t os h a n g h a iu n i v e r s i t yf o rt h em a s t e r sd e g r e ei ns c i e n c e t h e t ) t i o no fp - i np e r f e c t bc o n v e xsetl2e p r o m o t i o nt e r t e c t l vo n v e x 上 1 a n da b s o l u t e l yp e r f e c t l yc o n v e xs e t m d c a n d i d a t e ： z h a n gd u a n s u p e r v i s o r ：p r o f l e n gg a n gs o n g m a j o r ：o p e r a t i o nr e s e a r c h & c y b e r n e t i c s s h a n g h a iu n i v e r s i t y s c h o o lo fs c i e n c e s a p r i l ，2 0 1 0 摘要 本硕士论文以完美凸集、绝对完美凸集在p 一上推广为主要研究内容本 文共分三部分首先介绍了几何分析的发展历史和研究现状在第二章中首先 给出了完美凸集、绝对完美凸集的定义，在此基础上得出凸集、完美凸集和 绝对完美凸集直接的关系，进而给出它们的部分性质第三章是在第二章的 基础上完成的，它将完美凸集和绝对完美凸集推广到了p 一上，给出了p 一完 美凸集、绝对p 一完美凸集的定义，讨论了b a n a c h 空间中p 一凸集、p 一完美 凸集、绝对p 一完美凸集三者之问的关系，同时给出了p 一完美凸集和绝对p 一 完美凸集的若干性质( 0 0 ，令 0 0o o z = 叩t ( o r t o ) ，a 产1 ， i = 1i = 1 若g ( e 1 ，e 2 ，) 是完美凸集，则存在有限个e i ( 不妨设为前死个) 及正实数九( i = 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文5 1 ，2 ，几) ，使得 等号两边对e j ( j n ) 作内积有 n 九= 1 ， t = l 即= 0g n ) ，矛盾故c ( e 1 ，e 2 ，) 小是完美凸集 定理2b a n a c h 空问中的绝对完美凸集是完美凸集，反之小一定成立 证明： 由完美凸集和绝对完美凸集的定义立即可得b a n a c h 空问中的绝 对完美凸集是完美凸集 不关于原点中心对称的完美凸集小是绝对完美凸集令 b = z ：i i x 一( 1 ，0 ，0 ) 1 l 0 ，令 醇= 1 ， i = 1 若q ( e l ，e 2 ，) 是p 一完美凸集，则存在有限个e i ( 不妨设为前扎个) 及正实数 a i ( i = 1 ，2 ，凡) ，使得 z = q 渤= 九e t ，智= 1 ， i = 1i = 1 i = 1 等号两边对e j ( j n ) 作内积有 ( z ，勺) = ( q t 岛，勺) = ( 九e t ，勺) = 0 ， 即= 0u n ) ，矛盾故c p ( e 1 ，e 2 ，) 不是p 一完美凸集 定理4b a n a c h 空间中的绝对p 一完美凸集是p 一完美凸集，反之不一定 成立 证明：由p 一完美凸集和绝对p 一完美凸集的定义立即可得b a n a c h 空间 中的绝对p 一完美凸集是p 一完美凸集 不关于原点中心对称的p 一完美凸集不是绝对p 一完美凸集令 b = z ：l i x 一( 1 ，0 ，0 ) 1 i 1 ) ， 0 * 口 勖 q 汹 | i z 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 7 一。 对任意序列 忍) c 雪，任意实数啦0 ( i = l ，2 ，) ，墨1 衅：1 有 i i 墨lq 兢( 1 ，u ，0 一，o ) l i = f i 墨1q 溉一罢。啦( 1 i u 0 一，o ) = i l 。峻啦( 一( 1 ，u ，0 一，0 ) ) l i = 。l i miiqi(一(1，ui0-oo 一，o ) ) l l nj 。魄，啦一( 1 ，0 ，o ) | fn _ o 。j 礼时， i i 一刚= l l o r i 训i 啦蚓i m 口t ， i = n + li = n + li = n + l 而墨。= 1 ，即级数墨- 啦收敛，故。墅啦= 0 ，则& 是基本 列，l i m & 存在，又x 是b a n a c h 空间，则l i m 鼠x 下面的定义将会被用到： 定义5x 是k 上的线性空问，acx ， ( 1 ) 记c a = ：1o l i x i ；x i a ，q 0 ，i = 1 ，n 且：1o q = 1 ，称为 a 的凸包( 见文【2 5 】) ( 2 ) 记f a = ：1o l i x i ；兢a ，i = l ，n 且：li ( i i 1 ) ，称为a 的 绝对凸包( 见文【1 】) 定理2 1b a n a c h 空间中的完美凸集是凸集，反之不一定成立 证明：若a 是b a n a c h 空间x 中的完美凸集，则对任意的有界序列 x i ) ca 及啦0 ，当墨1 叱= l 时，有霪1 ( 1 i z i a ，耿= 00 n ) ，则a 是凸集 下证凸集不一定是完美凸集： 在护中，集合c ( e 1 ，e 2 ，) 是凸的但不是完美凸的，其中e l ( i = l ，2 ，) 是 俨的标准基集合c ( e l ，e 2 ，) 是凸的由凸包的定义易得；下面证明c ( e l ，e 2 ，) 不是完美凸的集合c ( e 1 ，e 2 ，) 中的元素是有限个e t 的凸组合，不妨设o t i 均 不为零，则对任意的o t i 0 ，令 若c ( e a ，e 2 ，) 是完美凸集，则存在有限个e i ( 不妨设为前n 个) 及正实数九( i = 1 ，2 ，佗) ，使得 o 。n竹 z = 叩产九九= 1 ， i = 1l=1扛=l l = q 沮 0 * 口 勖 口 汹 = z 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 0 等号两边对e j ( j 礼) 作内积有 即= 0 ( j 几) ，矛盾故c ( e 1 ，e 2 ，) 不是完美凸集 定理2 2b a n a c h 空间中的闭凸集是完美凸集，但完美凸集不一定是闭的 证明：设a 是b a n a c h 空间x 中的闭凸集， 觑) 是a 中任意的有界序列， 实数啦0 ( i = l ，2 ，) ，且墨l 啦= 1 令 = o l x l + n 2 2 2 + + n 住z n + ( o z ，l + l + n 刑一2 十) z n + 1 ， 则有a 而 l i m 晶= s = f 啦 n _ j t = l 因为a 是闭的，所以s a ，故a 是x 中的完美凸集 单位开球是完美凸的但不是闭的令 b = z ：忙| i 1 ) ， 对任意序列 x i cb ，任意实数啦0 ( i = 1 ，2 ，) ，墨1 瓯= 1 有 l 墨ta t 硎= i i 。峻吣t l 卜n l i m i i 吣t i i 乱l i m 。酬钆j | n 哦啦一乱_ o 。厶j n h 厶一 = 墨1o l = 1 故墨1 0 q x i b ，则b 是完美凸集b 显然不是闭的 2 3 完美凸集与绝对完美凸集的关系 下面的定义将会被用到： 定义6x 是线性空间，集合kcx ，如果对任意的o l r ，且io li 1 ，有 q kck ，则称k 是均衡集 0 = 勺 入 。汹 = e泡q ：l = 力 e z 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 1 定理2 3b a n a c h 空问中的绝对完美凸集是完美凸集，反之不一定成立 证明：由完美凸集和绝对完美凸集的定义立即可得b a n a c h 空间中的绝 对完美凸集是完美凸集 不关于原点中心对称的完美凸集4 i 是绝对完美凸集令 b = z ：忪一( 1 ，0 ，o ) 1 l 1 ) ， 对任意序列 玩，c 台，任意实数啦0 ( i = 1 ，2 ，) ，墨lo l i = 1 有 i i 墨la t 戤一( 1 ，0 ，o ) i l = l i 譬1o i x i 一至。a ( 1 ，0 ，0 ) = l i 。峻o ! t ( 翰一( 1 ，o ，o ) ) l l l = l n n - - - o o l i m 一 10 = i lf q ；( 耽一( ，u ，一，o ) ) i f i = 1 n 竹魄吼i i 翰一( 1 ，o ，o ) = 1 no o 一 口za 尚 = z 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文1 5 而甄也属于a 1 ，则x a 1 ，即p c aca 1 令d ( a ) 为所有包含a 的完美凸集 的交，凶为acp c a ，而p c a 是完美凸的，所以d ( a ) cp c a 而对每一个包 含a 的完美凸集a 1 有 p c acp c a l = a 1 ， 即p c acd ( a ) ，故p c a = d ( a ) 类似的可证明( 3 ) ( 4 ) 令 o oo o b = 叩i ；啦0 ，x i a ，q i 1 ) ， = l = l 对于b 中的有界序列 墨1 t z 西) 凳1 ，i 0 ，墨1 t = 1 ( j = 1 ，2 ，) 且 器。岛= 1 ，由 岛= 岛o l j t 岛= 1 ， j = li = 1 j = l i = l j = l 可知 0 0oo。o 岛e t j i x j i = 岛啄锄b ， j = l i = l j = li = l 故知b 是完美凸集，且bd p c a 而0 p c a ，墨1o l i x i b ，则取0 1 0 0 ，x o = 0 ，使得墨。啦= 1 ，由 知bc p c a 定理2 8 如果x 是k 上的b a n a c h 空问，acx ，则 ( 1 ) 若a 是开集，则p c a ，p f a 也是开集；若a 是闭集，则不然 ( 2 ) 若a 是均衡集，则p c a 也是均衡集，且p c a = p f a 证明：( 1 ) 显然i n t p c acp c a ，又因为a 是开集，所以 a = i n t aci n t p c a ， 则 p c acp e ai n t p c a = i n t p c a 故p c a = i n t p c a ，即p c a 是开集 acpz口 谢 = za 础 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文1 6 同样可证明p f a 也是开集 考虑实平面上的闭集k = ( z ，y ) l ( x ，y ) 在y 轴上或为点( 1 ，o ) ) ，p c a 和 p f a 显然不是闭集 ( 2 ) 设iti 1 ，墨1a t = 1 ，o c i 0 ，x i a ，i = 1 ，2 ，则 t o q x 产o q ( t x t ) p c a i = ii = 1 故p c a 也是均衡集 p c acp f a 显然，对任意的xe p f a ，z = 墨o o l i x i ，墨olo ql 1 ，x i a ，i = 1 ，2 ，可得x p c a 证毕 注意到诸a i ( i = 1 ，2 ，佗) 都为均衡集时【ja 仍为均衡集，我们有 i 推论2 如果 a ) 是一个均衡集族，则p c ( u a ) = p r ( u a t ) 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 7 第三章p 一完美凸集和绝对p 一完美凸集 3 1 预备知识 本章将完美凸集和绝对完美凸集推广到了p 一上，得出p 一凸集、p 一完美凸 集和绝对p 一凸集的关系，并对它们的性质作了一些讨论( 本文中，k 表示实数 域或复数域，0 0 ，有l k i i m ，当r n n 时， m m mm i f 一鼠i l = i i q 溉i i 0 ，令 若q ( e ，e 2 ，) 是p 一完美凸集，则存在有限个e ( 刁 n ) 作内积有 即= 0d n ) ，矛盾故c p ( e 1 ，e 2 ，) 小是p 一完美凸集 定理3 2 b a n a c h 空问中的闭p 一凸集是p 一完美凸集，但p 一完美凸集不 一定是闭的 证明： 设a 是b a n a c h 空问x 中的闭p 一凸集， 甄】是a 中任意的有界序 列，实数o ( i = 1 ，2 ，) ，且罢，衅= 1 令 = a l z l + n 2 2 2 + + a n z 竹+ ( 醒+ 1 + 醒+ 2 + ) ；z n + 1 ， 则有鼠a 而 l i m & = s = f 啦戤， n 啪：i 因为a 是闭的，所以s a ，故a 是x 中的p 一完美凸集 单位开球是p 一完美凸的但不是闭的令 b = z ：忪i i 1 ) ， l = p 1 d 汹 o * o 泡 乜 汹 i i z = p 1 入 n 汹 o = 勺 白k n 汹 i i 勺 泡口 ：l = 勺 z 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 对任意序列 戤) cb ，任意实数o i 0 ( = l ，2 ，) ，墨l 衅= 1 有 墨，吣t i i = i i n 砒i i = n 峨| | 螂t o 一 n o i = 1 = 1 1 i m a i 恻l l i m n _ j 一 n _ l = 1i = 1 。lim醇=凹=1-oo n 。 故墨lo l i x i b ，则b 是p 一完美凸集b 显然不是闭的 3 3 p 一完美凸集与绝对p 一完美凸集的关系 定义7x 是线性空间，集合kcx ，如果对任意的q r ，且ioi 1 ，有 a kck ，则称k 是均衡集 定理3 3b a n a c h 空间中的绝对p 一完美凸集是p 一完美凸集，反之不一定 成立 证明：由p 一完美凸集和绝对p 一完美凸集的定义立即可得b a n a c h 空间 中的绝对p 一完美凸集是p 一完美凸集 不关于原点中心对称的p 一完美凸集不是绝对p 一完美凸集令 b = z ：忪一( 1 ，0 ，0 ) 1 l ) = i = 1 i = 1 又a 是p 一完美凸集，则z a 即p c p aca ，故p g a = a ( 2 ) 如果 墨- t 奶i ) 墨1 是p c p a 中的有界序列，0 9 i 0 ，墨，略= l0 = 1 ，2 ，) 且凳l 劈= 1 ，则 o o 传一岛p c , , a 这只要注意到凳，墨，( 岛t ) p = 墨。劈墨，略= 墨，劈= l 即可又设 a 1 是x 中包含a 的p 一完美凸集，即a 1 ) a 对任意的z p c v a 有 o o o o z = ，啦，= 1 州2 0 q x i 0x i a ( i ) ，钾= 1 ， z = ， ，口 ， = 1 ，) ， ：醇= 1 ， i = 1 i = 1 而甄也属于a l ，则z a a ，即p c , aca 1 令d ( a ) 为所有包含a 的p 一完美 凸集的交，因为acv c , , a ，而v c a 是p 一完美凸的，所以d ( a ) cv c a 而对 每一个包含a 的p 一完美凸集a l 有 v c , acp q a l = a l ， 即v c acd ( a ) ，故v c a = d ( a ) 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 2 5 类似的可证明( 3 ) ( 4 ) 令b = 墨1q ；啦0 ，x i a ，呈1 衅1 ) ，对于b 中的有界序列 墨。t 巧t ) 墨， t 0 ，墨- 略= 1 ( j = 1 ，2 ，) 且器，劈= 1 ，由器，至，( 传t ) p = 暑，劈茎。略墨。劈= 1 ，可知器，岛墨，c v j i x j i = 凳。墨。岛t t b ，故知b 是p 一完美凸集，且bd p c v a 而口p c p a ，墨1q i b ，则取 0 1 0 0 ，铷= p ，使得汪( 9 0 0q = l ，由 o o 螂产吣 p c p a ， i = 0 = 1 知b c p c v a 定理3 8 如果x 是k 上的b a n a c h 空间，acx ，零向量0 a ，0 p 1 p 2 1 ，如果a 是化一完美凸集，则a 必是p 1 一完美凸集 证明：设叱0 ( i = 1 ，2 ，) ，墨1 衅1 = 1 ，瓤a ，则墨l 毋l ，由于 p a ，a 是1 9 2 一完美凸的，由定理3 7 有a = p a = 墨1 倥i x i ；o l i 0 ，x i 4 ，墨1 ( 妒1 ) 故茎lo q x i a ，从而知a 是p l 一完美凸集 定理3 9 如果x 是k 上的b a n a c h 空间，acx ，则 ( 1 ) 若a 是开集，则p q a ，p f v a 也是开集；若a 是闭集，则不然 ( 2 ) 若a 是均衡集，则b e t a 也是均衡集，且p q a = p f v a 证明：( 1 ) 显然i n t p c v acb e t a ，又因为a 是开集，所以 a = i n t aci n t p c v a ， 则 p g a cp e pi n t p c v a = i n t p c p a 故p v g = i n t p c p a ，即b e t a 是开集 同样可证明p f v a 也是开集 考虑实平面上的闭集k = 【( z ，y ) l ( x ，y ) 在y 轴上或为点( 1 ，o ) ) ，b e t a 和 p b a 显然不是闭集 ( 2 ) 设iti 1 ，墨1 醒= 1 ，q i 0 ，钆a ，i = 1 ，2 ，则 t a 溉= q i ( t x t ) 尸q a = 1t = 1 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 故p c p a 也是均衡集 p c p acp l a 显然，对任意的ze p r p a ，x = 墨o o e i x i ，墨oi o l ii p 1 ，x i a ，i = 1 ，2 ，可得x p c p a 证毕 注意剑诸a i ( i = 1 ，2 ，n ) 都为均衡集时【j a 仍为均衡集，我们有 t 推论2 如果 a ) 是一个均衡集族，则p c , ( u a ) = p f p ( u a t ) 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 参考文献 【1 】a l e k s a n d r o va d ，o nt h et h e o r yo fm i x e dv o l u m e so fc o n v e xb o d i e s i e x t e n s i o n s o fc e r t a i n c o n c e p t s i n t h e t h e o t yo fc o n v e xb o d i e s i nr u s s i a n m a t s b o r n i k m s 。，2 ( 1 9 3 7 ) ，9 4 7 - 9 7 2 2 】a l e k s a n d r o va d ，t h em e t h o d o fn o r m a lm a pi nu n i q u e n e s sp r o b l e m sa n de s t i m a t i o n s f o re l l i p t i ce q u a t i o n s ，e s t r a t t od a i s e m i n a r i i s t i t u t on a z i o n a l ed im a t e m a t i c a ，1 0 ( 1 9 6 2 - 6 3 ) ，7 4 7 - 7 8 6 【3 】b u s e m a n nh a n dp e t t yc m ，p r o b l e m so nc o n v e xb o d i e s ，m a t hs c a n d ，4 ( 1 9 5 6 ) ，8 8 - 9 4 【4 】b r u n nh ，u b e ro v a l eu n de i f l i i c h e n d i s s e r t a t i o n ，u n i v e r s i t yo fm u n i c h m u n i c h ，1 8 8 7 【5 】b r u n nh ，u b e r c e r v e no h n ew e n d e p u n k t e h a b i l i t a t i o n s s c h r i f t ，u n i v e r s i t yo fm u - n i c h m u n i c h ，1 8 8 9 r k e l e y , 1 9 9 0 【6 】6b o l k e r e d ，ac l a s so fc o n v e xb o d i e s j ，t r a n sa m e rm a t hs o c ，1 9 6 9 ，3 2 3 - 3 4 5 【7 】c a m p i v ，sg r o n c h i ，p ，t h e 岛b n s e m a n n p e t t y c e n t r o i d i n e q u a l i t y a d v m a t h ，1 6 7 ( 2 0 0 2 ) ，1 2 8 - 1 4 1 【8 】c a m p i sg r o n c h i po nt h er e v e r s el p b u s e m a n n - p e t t yc e n t r o i di n e q u a l l i t y m a t h e - m a t i k a ，4 9 ( 2 0 0 2 ) ，1 - 1 1 ( 9 】c h e ns s ，o ni n t e g r a lg e o m e t r yi nk l e i ns p a c e s ，a n n a l so fm a t h e m a t i c s ，4 3 ( 1 9 4 2 ) ，1 7 8 - 1 8 9 【l o 】d u p i nc a p p l i c a t i o nd e9 6 0 m e t r i ee td em & h a n i q u e 色l am a r i n e ，a u xp o n t se t c h a u s s 6 p a r i s ：b a c h e l i e r ，1 8 2 2 1 9 3 9 【11 】e i d e l m a n y a n dm i l m a n v f u n c t i o n a la n a l y s i s m a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o - c i e t y , 2 0 0 4 ，1 6 0 - 2 9 8 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文2 8 【1 2 】f i r e yw jp m e a n so fc o n v e xb o d i e s ，m a t h ，s c a n d ，1 0 ( 1 9 6 2 ) ，1 7 - 2 4 【1 3 】f i r e yw j p o l a rm e a n so fc o n v e xb o d i e sa n dd u a lt ot h eb r u n n - m i n k o w s k it h e o r e m ， c a n a d j m a t h ，1 3 ( 1 9 6 1 ) ，4 4 垂4 4 5 【1 4 1g a r d e nr j ( ( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) ) ，c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，c a m b r i d g e ，( 1 9 9 5 ) 【1 5 】g a r d e nr jap o s i t i v ea n s w e rt ot h eb u s e m a n n - p e t t yp r o b l e mi nt h r e ed i m e n s i o n s ， a n n m a t h ，1 4 0 ( 1 9 9 4 ) ，4 3 5 4 4 7 【1 6 】g a r d e nr j ，o nt h eb u s e m a n n - p e t t yp r o b l e mc o n c e r n i n gc e n t r a ls e c t i o n so fc e n t r a l l y s y m m e t r i cc o n v e xb o d i e s ，b u l l a m e r m a t h s o c ，( n s ) ，3 0 ，2 ( 1 9 9 4 ) ，2 2 2 2 2 6 【1 7 】g a r d e nr 。j g e o m e t r i ct o m o g r a p h y , n o t i c e sa m e r m a t h s o c ，4 2 ( 1 9 9 5 ) ，4 2 2 - 4 2 9 【1 8 】g a r d e nr 。jt h eb r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a l i t y , b u l l a m e r m a t h s o c ，3 9 ( 2 0 0 2 ) ，3 5 5 - 4 0 5 【1 9 】g a r d e nr j a n dg i a n n o p o u l o sa ，p - c r o s s - s e c t i o nb o d i e s ，i n d i a n au n i v e r s i t ym a t h e - m a t i c a lj o u r n a l ，4 8 ( 1 9 9 9 ) ，5 9 3 - 6 1 4 【2 0 】g a r d e nr j a n dz h a n gg a o - y o n g ，a f f i n ei n c q u a l i t i e sa n dr a d i a lm e a nb o d i e s a m e r j m a t h ，1 2 0 ( 1 9 9 8 ) ，4 9 3 5 0 4 【2 1 】g a r d e nr jk o l d o b s k ya ，s c h l u m p r e c h t ，a na n a l y t i cs o l u t i o nt ot h eb u s e m a n n - p e t wp r o b l e mo ns e c t i o n so fc o n v e xb o d i e s ，a n n o fm a t h ，1 4 9 ( 1 9 9 9 ) 6 9 1 7 0 3 f 2 2 】g i a n n p o u l o sa ，an o t eo i lap r o b l e mo fh b u s e m a n na n dc m p e t t yc o n c e r n i n gs e e - t i o n so fs y m m e t r i cc o n v e xb o d i e s ，m a t h e m a t i k a ，3 7 ( 1 9 9 0 ) 2 3 9 - 2 4 4 【2 3 】g o o d e yp ，l u t w a ke ，w e i lw ，f u n c t i o n a la n a l y t i cc h a r a c t e r i z a t i o n so fc l a s s e so fc o n - c e xb o d i e s ，m a t h z 2 2 2 ( 1 9 9 6 ) 3