（应用数学专业论文）径向三角lagrange插值.pdf

独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人为获得东北师范大学或其它 教学机构的学位或证书而取得的研究成果与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 作者签名幽指导教师签名 日 期： ! 廷：! 兰 日期：旦竺二垒：j 学位论文版权使用授权书 本人了解并遵守东j e 师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、向国家有关部门送交学位论文的复印件，允许论文被查阅 和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其 它复印手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：j 幽指导教师签名：盟 日 期：! 竺：! 箩 日期：叟妊盘! ! l 学位论文作者毕业后去向： 工作单位 通讯地址 电话： 邮编： 中文摘要 本文重点讨论了三角函数插值空间和s 1 上的径向三角l a g r a n g e 插 值公式，并且给出了铲上的乘积型三角l a g r a n g e 插值公式 本文共分为四节第一节是引言，介绍了多元插值和三角插值的背景， s 1 和s 2 上的连续函数和极坐标系下的多项式函数和三角函数的概念第二 节是三角函数插值空间，介绍了不同的三角函数插值空间及其相互关系， 这是本文三角l a g r a n g e 插值的理论基础第三节是s 1 和s 2 上径向三角 l a g r a n g e 插值，对于不同的三角函数插值空间给出s 1 上的三角l a g r a n g e 插值公式和铲上的乘积型三角l a g r a n g e 插值公式第四节计算机绘制实 例，给出rs 1 和铲上径向三角l a g r a n g e 插值的计算机实例 本文所建立的s 1 和铲上的径向三角l a g r a n g e 插值，它为研究周期 函数，积分求积公式和有限元方法等方面作了准备。 关键词：多元插值三角函数插值空间径向三角l a g r a n g e 插值 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yd i s c u s st h ep r o b l e mo ft h e t r i g o n o m e t li cf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o ns p o z e s ，t h er a d i mt r i g o n o m e t r i cl a g r a n g ei n t e r p o l a t 0 1 f o r m u l ao ns 1a n dt h ec a r t i s a nt r i g o n o m e t r i cl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o nf 。i m u l ao ns 2 f o u rs e c t i o na r ei n c l u d e di nt h i sp a p e r i ns e c t i o n1 t h ei n t r o d u c t i o n i si n c l u d e d w ei n t r o d u c et h ep r o b l e mo fm u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o na n d t r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t o n a l s ot h ec o n c e p t so fc o n t i n u o u sf u n e t i o no i ls o r 铲a n dp o l y n o m i a la n dt r i g o n o m e t r i cf u n c t i o nu n d e rp o l a rc o o r d i n a t e s a r ei n t r o d u c e d i ns e c t o n2 w ei n t r o d u c es o m ed i f f e r e n tt r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i o nf u n c t i o ns p a c e sa n dt h e i rr e l a t i o n s ，w h i c hi st h eb a s i s0 ft h e f o l l o w i n gd i s c u s s i o n i ns e c i o n3 ，w eg i v et h er a d i a lt r i g o n o m e t r i cl a g r a n g e i n t e r p o l a t i o nf o r m u l aons 1a c c o r d i n gt od i f i e r e n ti n t e r p o l a t i o ns p a c e sa n d t h ec a r t i s a nt r i g o n o m e t r i cl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o nf o r m u l a0 ns 2 i ns e c i o n4 ，w ed r a ws o m ee x a m p l e so ft r i g o n o m e t r i cl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n0 1 1 s 1a n ds 2 t h er a d i a lt r i g o n o m e t r i cl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o no ns 1 a n ds 2 p r e p a r e sf o rt h ef u r t h e ra p p l i a t i o n0 1 1p e r i o d i cf u n c t i o n ，n u m e r i c a li n t mg r a t i o n 0 r m u l aa n df i n i t ee l e m e n te t c k e yw o r d s ：m u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o nt r i g o n o m e t r i cf t m c l ，i o n i n t e r p o l a t i o ns p a c e s r a d i a lt r i g o n o m e t r i cl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n 2 1 引言 插值问胚是数值逼近中一个古典又基本的问题，它在散乱数据的插 值，曲线曲面的拟合，数值积分公式的构造，常微分方程数值解方法的构 造以及有限元方法等方面都有广泛的应用关于传统的一元多项式插值理 论在 1 】一【3 】等逼近论教科书中都有详细的阐述，在此我们将不再讨论而 多元插值问题是计算数学中一个相对活跃的领域，与一元插值问题相比， 多元插值问题的处理要困难的多关于多元插值问题的研究工作已经得到 了一系列的结果，其中文献f 5 1 给出了二元多项式插值的一般理论 我们知道传统的二元多项式插值问题是平面直角坐标系下的插值问 题，而本文讨论的径向三角l a g r a n g e 插值问题，不同于传统的直角坐标系 下的插值问题，它实际上是极坐标系下的三角l a g r a n g e 插值问题人们在 研究周期函数，积分的求积公式时，三角插值是必不可少的工具，与代数 多项式插值相比，它的处理要困难的多关于三角插值，其中文献 1 2 - 【1 6 讨论了三角h e r m i t e 插值问题，本文将在传统的三角插值基础上考虑特殊 的s 1 和s 2 上的径向三角l a g r a n g e 插值及其三角l a g r a n g e 插值公式 我们知道传统的多项式函数是平面直角坐标系的连续函数，而本文所 考虑的限制在球面上的多项式函数实际上是特殊的三角函数全文记s d 表 示欧氏空间r d + 1 上的单位球面并且记咒( s d ) 表示限制在上的次数不 超过n 的多项式函数全体构成的向量空间( 三角函数空间) 为此，我们首先给出球面上函数类的一些基本概念，这些将是我们后 面研究的必备基础记s 1 = ( 。，y ) i z 2 十y 2 = 1 ) 并且s 1 中的点具有形式 x = ( c o s 0 ，s i n 0 ) 和s 2 = ( ( 。，y ，z ) i z 2 + y 2 + z 2 = 1 ) 并且s 2 中的点具有 形式x = ( s i l l 0s i n 西，s i n 0 c o s 曲，c o s 0 ) ， 为了定义球面s 1 上的函数空间，我们首先给出s 1 上的度量 定义1 州对于任意x 1 = ( c o s 0 1 ，s i n 目1 ) ，x 2 = ( c o s0 2 ，s i n 日2 ) s 1 ， 定义： p 1 ( x 1 ，x 2 ) = m i n 1 0 1 一岛i ，2 7 r i 巩一目2 i ) 3 我们称p ，是s 1 上的测地距离( 弧长距离) 定义l2对于任意x 1 = ( c 0 80 1 ，s i n0 1 ) ，x 2 = ( c o s 0 2 ，s i n 0 2 ) s 1 定义： p 。( 义。，玛) - 2 陋生 我们称融是s 1 上的e u c l i d e a n 距离( 弦长距离) 命题1 1球面s 1 在上述度量p l ( p 2 ) 意义下构成度量空间。 对于e u c l i d e a n 距离和渊地距离，我们有如下命题成立： 命题12球面s 1 上的度量p 1 和p 2 是等价的，即存在常数c t ，c 2 使得： c l p 2 ( x 1 ，x 2 ) 墨p l ( x l ，x 2 ) sc 2 皿( x l ，x 2 ) ，( v x l ，x 2 s 1 ) 证明：一方面，从几何上看，s 1 上任意两点的弦长距离一定小于等 于这两点之间的劣弧长距离，即p 2 ( x l ，恐) 茎p i ( x i ，x 2 ) 另一方面，由初等分析学知鼎在0 ( o ，j 是单调递增函数，故 南sj 故只要取定c 2 = j ，则p l ( x l ，x 。) sjp 2 ( x ，x z ) 证毕。 定义l3，：s 1 - ，r ，对于x o s 1 ，如果v e 0 、v x s 1 ，j 6 0 ，当p l ( x ，x o ) d ( p 2 ( x ，x o ) 6 ) 时，有i ，( x ) 一( x o ) 1 e ， 则称，在j 岛处连续。如果，在s 1 上处处连续，则称i 厂是s 1 上的连续函 数。我们记s 1 上的连续函数全体组成的集合为c ( s 1 ) 注：f 1 ) 事实上，我们可以同样的方法来定义s 2 上的连续函数类； ( 2 ) s 1 和s 2 上l a g r a n g e 插值所考虑的被插值函数就是s 1 和5 2 上 的连续函数。 我们注意到我们所考虑三角函数p = p ( o ) ，如果p ( o ) 关于变量0 是连 续的，则称p ( o ) 为极坐标下的连续函数同样如果p = p ( o ，妒) 关于变量口 和曲是连续的，则称p ( 0 ，咖) 为极坐标下的二元连续函数 由于本文的重点是讨论极坐标系下的三角l a g r a n g e 插值，为此我们 首先定义极坐标系下的多项式函数类和三角函数类的概念 定义1 4 我们称形如：p = p 。( 目) ： 元n 次多项式函数；称形如p = p n ( 8 ，曲) 系下的二元n 次多项式函数 妻0 t 为平面极坐标系下的一 k = o a k , j 0 扩为空间极坐标 0 女+ ， “ 定义1 5 如果r ( 茁，y ) r ( s 1 ) ，则称形如 m ( 口) = p , 。( c o s e ，s i n0 ) = a o + ( 。 c o s l o + b ls i n t o ) 为瓦( s 1 ) 在平面极坐标系下n 阶三角函数 定义1 6 定义： p 。( 扫，曲) 1 ，c o s 0 ：s i n 0 ，c o s n o ，s i n 札口 o 1 ，c o s 毋，s i n ，c o s n 咖，s i n 礼咖 为空间极坐标系下的n 阶乘积型三角函数 注：( 1 ) 极坐标系下的多项式函数局部必定是极坐标下的连续函数； ( 2 ) 由于极坐标系下的多项式函数和平面直角坐标系下的多项式函数 本质上没有太大的区别，所以本文重点讨论利用极坐标系下的三角函数来 作s 1 和铲上的径向三角l a g r a n g e 插值 全文结构如下：首先介绍了不同的三角插值函数空间及其相互关系； 其次讨论了s 1 和s 2 一h 径向三角l a g r a n g e 插值，在不同的三角插值空间 中给出s 1 上的三角l a g r a n g e 插值公式和铲上的乘积型三角l a g r a n g e 插 值公式；最后给出了s 1 和s 2 上径向三角l a g r a n g e 插值的计算机实例。 5 2 三角函数空间 本文重点讨论球面s 1 和s 2 上的三角l a g r a n g e 插值所以本节将讨 论不同的三角插值函数空间及其相互关系为此，首先给出三角函数之间 的关系 命题2 1 2 】 c o s n o = 暖“q ( 1 ) 州c o s n - 2 k + 2 j 口( 2 1 ) 证明：利用等式 n c o s n 8 + i s i n n 0 = ( c o s 6 + i s i n 0 ) “= 罐c o s ”2 e ( i s i n e ) k = 0 我们不难推出 【n 2 】k 1 ) 2 ( 1 一c o s 2 目) 2 = 暖瞑( 一1 ) c 。s ”2 2 。日 同理可以证明( 2 2 ) 式成立。 命题2 2 c o s “目= 熹磷c o s ( n 一2 ) 目 ( 2 3 ) s i n 2 ”p = 去嘴：( 一1 ) 一c o s ( 2 n 一2 k ) 目 ( 2 4 ) s i n 2 ”1 口= 去强+ l ( 一1 ) ”蚪1s i n ( 2 n 一2 k 十1 ) 0 ) 证明：利用等式c o s ) = 墨土 竺可以得到： c 酽日= 去( e 甜+ e - 讲) “= 去诺e 涮e “”舛8 = 去罐分“2 埘8 。k=o。k=0 瞑 暖 。砷 孚 = 们ns 目 硪 妒 暖 = 目s 于是可得：c o s n 0 ：去量诺c o s ( n 一2 k ) o 一k = 0 利用等式s i n0 = e i o 百_ e - 一i o 同样可以得到 s i n w = 两1 ( e i o _ e - i 0 ) “= 万1 ( 叫“耋帮气_ 1 ) 一呛卜啪 = 。j - 。- “诺( 一1 ) e “一2 。= 去 “碟( 一1 ) ( c o s ( n - 2 k ) o is i n ( n 一2 k ) o ) “ k = o 。 k = o 于是当n 偶数时，我们得到： s i n “0 = 去i 2 “磷( 一1 ) 2 ( c o s ( 2 n 一2 ) 口一is i n ( 2 n 一2 k ) o ) 。 k = o 简单验证当n 奇数时( 25 ) 成立。 利用上述三角函数之间的等价关系，我们不难定义如下不同的三角函 数空间： 定义21 1 4 】 ( 1 ) 2 7 r 周期n 阶全三角函数空间o ： a o = s p a n 1 ，c o s 0 ，s i n 0 ，c o s 棚，s i l l 棚 = s p a n 1 ，c o s 0c o s 20 】) c o s “0 、s i n0 ，s i n0c o s 0 ，s i n0 c o s ”“01 ( 26 ) ( 2 ) 2 7 r 周期n 阶三角偶函数空间1 a l = s p a n 1 ，c o s 0 ，c o s 2 0 ，c o s n o = s p a n 1 ，c o s 0 ，c o s 2 0 ，c o s “0 ) ( 2 7 ) ( 3 ) 2 ，r 周期n 阶三角奇函数空间2 2 = s p a n s i n 口，s i n2 0 ，s i l l n 目) = s p a n s i n 0 ，s i n o c o s0 ，s i n0 c o s 20 ，一s i t 目c o s ”10 ( 28 ) 7 p弘 一 n 口啷 “ 妒 噬 上弘 推论2 1a o = loa 2 一个三角函数t ( x ) 称为”周期的，如果t ( z + 7 r ) = t ( z ) 一个 三角函数t ( x ) 称为”反周期的，如果丁( z 十”) = 一t ( z ) 下面我们重点讨论”周期和”反周期三角函数空间，首先给出”周 期和”反周期三角偶函数空间： 命题2 3 ( 1 ) 7 r 周期2 n 阶三角偶函数空间w 1 ： 眦= s p a n 1 c o s 2 0 ，c o s4 0 ，c o s 2 n 0 = s p a n 1 ，c o s 2 日，c o s 4 0 ，c o s 2 “p ( 2 9 ) ( 2 ) 7 反周期2 n l 阶三角偶函数空间w 2 ： w 2 = s p a n c o s 口，c o s3 0 ，c o s ( 2 n 一1 ) o = s p a n c o s o ，c o s 3 目，c o s 2 ”1 口) ( 2 1 0 ) 证明：我们只证明( 2 9 ) 。事实上，对于任意p ( e ) w 1 可以表示为： 胛) ：i a o + 登州砒日+ 墨吣i 。枷 其中： = ；刚) c 。s 删帅2 n ， 坛= 二p ( o ) s i nk o d e ，ls 七2 n 由于p ( 为三角偶函数，则b k 一0 ，1 七2 n 又由于p ( 日+ 7 r ) = p ( e ) ，贝0 ： n t = ；f f ”p ( 一) c o sk o d a = ；卯圳c o s 十”) d e = ；俐一- ) k c o s k e d e 从而，当k 是奇数时，a k = 0 是故p ( 8 ) = 业2 十占“2 k c 。s2 “8 ，从而( 29 ) 得证 同样，我们利用上述命题证明方法可以给出7 r 周期和”反周期三角 奇函数空间的基底： 8 命题2 4( 1 ) 霄周期2 n 阶三角奇函数空间q ， q 1 = s p a n s i n2 0 ，s i n 4 0 ，- ，s i n 2 n 0 = s p a n s i n o c o s 0 ，s i n o c o s 3 0 ，s i n 9 c o s a ”10 ( 21 t ) ( 2 ) r r 反周期2 n 一1 阶三角奇函数空间q 2 q 2 = s p a n s i n0 ，s i n3 0 ，s i n ( 2 n 1 ) 口 = s p a n s i n0 ，s i n 30 s i n 2 4 10 l ( 2 1 2 ) 从而，我们可以给出7 r 周期和7 r 反周期三角函数空间的基底 命题2 5( 1 ) 7 r 周期2 n 阶三角函数空间s ： s l = s p a n 1 ，c o s2 0 ，s i n 2 0 ，c o s 4 0 ，s i n 4 0 ，一，c 0 8 2 n o ，s i n 2 n o ) = s p a n 1 ，c o s 20 ，s i n 0c o s 0 ，c o s 4 口，s i n0c o s 3 0 ，c o s 2 “口，s i n0c o s 斯”一1 日 ( 21 3 ) ( 2 ) 丌反周期2 礼一1 阶三角函数空间s 2 ： = s p a n c o s 0 ，s l n0 ，c o s 3 0 ，s i n 3 0 ，c o s ( 2 n 一1 ) 目，s i n ( 2 n 1 ) 日) s p a n c o s0 ，s i n0 ，c o s 30 ，s i n 30 ，c o s 2 “一10 ，s i n 2 ”一10 ( 21 4 ) 推论22 岛= w ioq ls 2 = 0 q 2 9 3 s 1 和s 2 上三角l a g r a n g e 插值 本节我们将讨论s 1 和s 2 上的三角l a g r a n g e 插值。我们知道，三角 插值多项式跟我们所选取的三角函数空间有密切的关系而对于不同的三 角函数插值空间，为了保证存在三角插值多项式，节点组的选取也是不同 的为此，首先对s ，上不同三角插值空间给出适定节点组的条件及其相应 的三角l a g r a x t g e 插值公式 定理3 1 任意给定s 1 上节点组q = ( c o s 0 ，s i n 目z ) 1 1 兰z 2 n + i 1 其中0 日1 如 如。+ i 2 对于任意给定插值数据 m ，p 2 ，一，p 2 l ，则存在唯一的2 周期的n 阶全三角函数p ( 使其满 足插值条件： p ( e ；) = n ， l i 2 n + l 并且 2 n + l 2 n + 1 一m ， p ( 目) = 萎风其中“( 8 ) 2 娶s i n s m t - 一 。 j 证明：我们所构造的f ( 是2 7 r 周期的n 阶全三角函数并且满足基 f1i ：j 函数性质：。t ( 岛) = 6 ”21 oi j 于是，三角i n 数p ( 目) 满足插值条件： p ( 目。) = n ， 1 z 2 n4 - 1 下面证明此三角插值多项式的唯一性。不妨设2 丌周期的扎阶全三角 函数q ( o ) 也满足插值条件，则q ( 口) = q ( 日) 一p ( 日) 必定以0 1 ，0 2 ，0 2 n + 1 为零点，即q ( 瓯) = 0 ，l js2 n + l 这样一来，n 阶全三角函数在( 0 ，2 ) 上有2 n4 - 1 个不同的零点 而众所周知，付阶全三角函数w ( p ) = 如十萎( 啦c o s l o + h s i nz o ) 在 f 0 ，2 ”1 上最多只能有2 n 个不同的根【”，是故q ( o ) = p ( 目) 定理3 2 任意给定s 1 上节点组q = ( c o s 哦，s i n 吼) 1 1sisn + 1 j ， 其中0s 巩 8 2 0 n t l 丌，对于任意给定数据p 1 ，p 2 ，一，p ”l ：则 存在唯一的2 ”周期的n 阶三角偶函数p ( o ) 使其满足插值条件 并且 p ( 巩) = 胁， lsi n + 1 n + 1 p ( p ) = p d d o ) 其中：2 。( 目) t = 1 证明：我们所构造的p ( e ) 是2 ”周期的n 阶三角偶函数并且满足插 值条件：p ( e 。) = p 。， l isn + l 下面证明此三角插值多项式的唯一性。不妨设2 ”周期的礼阶三角偶 函数q ( a ) 也满足插值条件，则q ( 日) = q ( o ) 一p ( e ) 必定以口1 ，目2 ，日。+ 为 零点，即q ( = 0 ，l 冬is 礼+ l ，这样一来，n 阶三角偶函数在 o ，7 r ) 上 有n + 1 个不同的零点 而任意n 阶三角偶函数7 7 ( 日) 可以表示为：q ( 日) = a o + a lc o s 0 + a 2c o s 20 + - + a 。c o s “0 并且c o s0 在 o ，7 r ) 上严格单调，所以它在( o ，7 r ) 上最多只有n 个不同的根，是故q ( o ) = p ( 口) 我们需要注意到定理( 31 ) 和定理( 32 ) 与文献 1 】所得到的插值公式 在代数形式上是完全一样的 定理3 3 任意给定s 1 上节点组q = ( c o s 0 。，s i n o i ) l 曼isn ，其 中0 0 1 目2 靠 7 r ，对于任意给定数据p l ，p ”，p 。，则存在 2 ”周期的n 阶三角奇函数p ( e ) 使其满足插值条件： 并且 p ( 日，) = n ，1 墨i 曼n 础) = 娄风器舯“= s i n 0 黔n 舡c o s 岛) 证明：我们所构造的p ( o ) 是2 * 周期的n 阶三角奇函数并且满足插 值条件： p ( 8 ；) = n ， 1 茎isn 。 如一岛 蚕| | ；二一 p 一吼 | | ； 州露 下面证明此三角插值多项式的唯一性不妨设2 丌周期的n 阶三角奇 函数q ( o ) 也满足插值条件，则q ( p ) = q ( o ) 一p ( o ) 必定以日l ，如，以为 零点，即q ( 仇) = 0 ，1 曼isn 这样一来，2 ”周期的礼阶三角奇函数在 ( o ，”) 上有n 个不同的零点 而任意2 7 r 周期n 阶三角奇函数q 日) 可以表示为：叼( 日) = 0 1s i n 口+ n 2s i n 2 0 十+ ns i n n o = s i n 0 ( b l + b 2c o s 8 + + 6 nc o s ”一1 它在( o ，7 ) 上显然最多只有n 一1 个不同的根，是故q ( 0 ) = p ( 目) 下面重点给出”周期和”反周期三角函数空间中的三角l a g r a n g e 插 值公式，首先我们考虑”周期和”反周期三角奇函数和偶函数空间中的三 角l a g r a n g e 插值公式： 定理3 4 任意给定s 1 上节点组n = ( o o s 以，s i n e d l l 茎i 茎n + 1 ) ，其中0 口l 日2 + l 7 r ，w + 巩7 r ，n x 寸i 于任意给定数据 p 1 ，p 2 ，p 。+ l ，必存在”周期2 n 阶三角偶函数p ( o ) 使其满足插值条件： p ( 目。) = p i ，1 isn + l 证明：我们定义： 7 r r l 仇( 日) = ：n ( c o s2 臼一c o s2 0 j ) 1s2 s 礼+ l 1 = 1 ，o 则( 印是”周期2 n 阶的偶三角多项式进一步定义： p ( o ) 垫器 那么p ( o ) 也是”周期2 n 阶的偶三角多项式并且满足插值条件，) ( 目。) = p 。，l i n + 1 。 定理3 5 任意给定s 1 上节点组q = f ( c o s 0 ：，s i n o d l l 冬i n ) ，其 中0 口1 口2 ，v 0 , j ，吼+ 0 j 7 r ，则对于任意给定数据 阢p 2 ，肌，必存在7 r 反周期2 n 一1 阶三角偶函数p ( o ) 使其满足插值条 件： p ( 8 。) = p ，lsi n 1 2 并且 ，n 、o 0 qk v ) p ( 8 ) 2 蚤n 丽l = i n 其中“( 口) = c o s 01 1 ( c o s 2 0 一c o s 2 e j ) 鬟 证明：我们所构造的p ( o ) 是7 r 反周期的2 n 一1 阶三角偶函数并且满 足插值条件：p 慨) = m1 i n 定理3 6 任意给定s 1 上节点组n = fc o s 仉，s i n i l isn ) ，其 中0 0 1 岛 o n 7 r ，弧；，哦+ 岛7 r ，则对于任意给定数据 p ，p 一，p 。，必存在7 r 周期2 礼阶三角奇函数p ( o ) 使其满足插值条件： 并且 d ( 巩) = p i ，1sisn 舢) = 壹i = l 胁器其= s i n 2 0 黔刚一s 2 岛) 证明：我们所构造的p ( 0 ) 是”周期的2 n 阶三角奇函数并且满足插 值条件：p ( 哦) 一胁，1 i n 定理3 7任意给定s 1 上节点组q = “c o s 哦，s i n0 , ) 1 1 i n ， 其中0 0 1 0 2 0 。 7 r ，v 目。+ o j 7 r ，则对于任意给定数据 p 。，p 2 ，一，p 。，必存在7 r 反周期2 礼一l 阶三角奇函数p ( o ) 使其满足插值条 件： p ( 目，) = p i ，l is7 z 并且： 加) = 妻i = 1m 怒其= s i a0 眇r z 捌一s 2 岛) 证明：我们所构造的p ( 是”反周期的2 n 一1 阶三角奇函数并且满 足插值条件：p ( 以) = 阮l i n 注l ：注意此时定理( 3 4 ) ，( 3 5 ) ，( 36 ) ，( 37 ) 并不能够保证三角插值多 项式的唯一性 1 3 定理38 任意给定s 1 上节点组n = ( c o s 8 。，s i n i 1 曼is2 n + 1 ) 其中0 p l 0 2 口2 。+ l ”，厕j x , f 于任意给定数据p 1 ，肫，p 2 1 存在唯一的”周期2 n 阶三角函数p ( p ) 使其满足插值条件： 并且 p ( ) = p 。，1 茎is2 n + l 2 n + 1 p ( p ) = n 如( 口) 其中：h o ) i = l 证明：我们所构造的p ( 是7 r 周期的2 n 阶三角函数并且满足插值 条件：p ( e 。1 = p 。， 1 2 2 n + 1 下面证明此三角插值多项式的唯一性。不妨设”周期的2 n 阶三角函 数q ( e ) 也满足插值条件，则n ( e ) = q ( o ) p ( e ) 必定以口l ，如，目2 。+ l 为 零点，即q ( 吼) = 0 ，l is2 n + l 这样一来，f 周期的2 n 阶三角函数在 0 ，”) 上有2 n + 1 个不同的零点 n 而7 r 周期的2 n 阶三角函数p ( e ) 一o o 十( n ! c o s 2 1 0 + b ls i n 2 1 0 ) 在 f = 1 0 ，”) 上最多只能有2 n 个不同的根，是故q ( e ) = p ( e ) 定理3 9 任意给定s 1 上节点组n = “c o s 仇s i n 0 。) | 1 i 2 n ) ，其 中0 0 1 日2 口2 。 7 r ，则对于任意给定数据p ，p 2 ，p 2 。存在 唯一的一反周期2 n l 阶三角函数p ( e ) 使其满足插值条件： 并且 p ( 日。) = p i ，1sz 曼2 n p ( = p d ：( 目) 其中：f 。( 目) 证明：我们所构造的p ( o ) 是”反周期的2 n 阶三角函数并且满足插 值条件：p ( d 。) = 胁， lsz 2 ， 下面证明此三角插值多项式的唯一性。不妨设”反周期的2 ” l 阶 三角函数q ( 9 ) 也满足插值条件，则7 7 ( 目) = q ( e ) 一p ( e ) 必定以目l ，如，p 2 。 盟啪 二一 器 阱兀露 、，一、， 毋如 一二 一 娑 凯n 错 为零点，即，7 ( 仇) = 0 ，lsis2 n 这样一来，7 r 周期的2 n 阶三角函数在 【0 ，丌) 上有2 n 个不同的零点，而”反周期的2 n 一1 阶三角函数在f 0 ，) 上 最多只能有2 n 一1 个不同的根，是故q ( o ) = o ( o ) 注2 ：定理( 3 8 ) ( 39 ) 的”周期和7 r 反周期三角函数空间中的三角 l a g r a n g e 插值公式是存在且唯一的 f 面讨论铲上的三角l a g r a n g e 插值问题我们知道限制在s 2 上的 次数不超过n 的三角函数空间的维数为( n + 1 ) 2 当然这( n - i - 1 ) 2 个插值 节点是不能任意选取的，如果节点组选取的不好，那么三角插值问题的解 就不存在事实上，即使我们构造出铲上的适定节点组，但是要给出铲 上的n 次二元三角l a g r a n g e 插值具体公式是相当困难的，所以本文仅考 虑s o 上的二元乘积型三角l a g r a n g e 插值公式对于二元乘积型三角函数 空间，我们只要将一元三角函数空间做张量积就构成二元乘积型三角函数 空间。在此，我们仅讨论下述两类特殊的乘积型三角函数空间： ( 1 ) 假设我们所考虑的二元乘积型三角函数空间为： k 1 = s p a n 1 ，c o s0 ，s i n0 ，c o s n o ，s i n n o s p a r l 1 ，c o s 妒s i n 咖，、c o s7 1 咖，s i n n 西 。空间中的乘积型三角函数关于0 和西都是2 ”周期n 阶全三角函 数。对于。空间我们有如下定理： 定理31 0 任意选取球面坐标系下的节点组为n = ( o i ，由) ，1 墨2 ，js 2 n + 1 ) 其中0 p 。 2 7 r 0 岛 2 7 r 对于任意给定的数据p i l i ，j 2 n + l ，则必存在三角函数p ( o ，曲) n 1 ，使其满足插值条件： 证明：定义： v i ( o ) p ( 口。，咖) = p i j 1 曼i ，js2 n + 1 f ，( 妒) 其中： u ：( 目) 和f j ( 咖) 都是2 7 r 周期n 阶三角多项式则易知乘积型 1 5 羔： 塑眦 譬 和 望学 n n虬一吼 嚣 三角函数： p ( e ，咖) = p i ，j 地( 口) 0 ( ) i = 1j = l 必定满足插值条件： p ( 畎，咖) = p i d1 曼i ，j 2 n + 1 其乘积型三角插值函数的唯一性可以通过一元三角l a g r a n g e 插值的 唯一性易知， ( 2 ) 假设我们所考虑的二元乘积型三角函数空间为： 鲍= s p a n 1 ，c o s 2 0 , s i n2 0 ，c o s 4 0 ，s i n 4 0 ，c o s 2 n o ，s i n 2 n o ) s p a n 1 ，c o s ，s i n 妒，c o s n 西，s i n ，l 妒 鲍空间中的乘积型三角函数关于是2 ”周期几阶全三角函数，而 关于0 是”周期2 礼阶三角函数对于空间我们同样有如下定理： 定理3 1 1 任意选取球面坐标系下的节点组为q = ( ( 良。西，) ，1 i ，j 2 n + l 其中0 o i 7 r ：0 茎九 2 对于任意给定的数据n ，j ，则必存在 三角多项式p ( o ：砂) k 2 ，使其满足插值条件： 并且 其中： 。( p ) p ( 口。，奶) = 胁，j 1si ，j 墨2 n + l 2 n + 1 2 n + 1 p ( 口，妒) = p i , j 仇( 目) b ( ) t = 1 1 = 2 蠹1 器瑞 证明：显然乘积型三角函数p ( 日，) 满足插值条件：p ( p t ，咖) 2 以j 1 i ，js2 n + 1 。并且其乘积型三角插值函数的唯一性可以通过一元三角 l a g r a n g e 插值的唯一性易知。 1 6 盖。 塑呲 耕n 葛 4 计算机绘制实例 上节我们讨论了球面s 1 和铲上三角l a g r a n g e 插值理论，给出了具 体的三角l a g r a n g e 插值公式本节将利用这些三角l a g r a n g e 插值公式根 据不同的被插值函数选取不同的三角插值空间来绘制计算机实例 例4 1给定球面s 1 上被插值函数w = ，( z ，y ) = 。2 + 2 b ，其中 ( g ，y ) s 1 此被插值函数在极坐标系下表示三角函数： f ( 0 1 = c o s 2 0 + 2 s i n 0 如果在极坐标系下给定插值条件： i o i 0 互 丌 5 w 43 4 i 胁 1i 1 + 以 j 1 + 怕 1 j 1 一以 试构造2 ”周期三角插值函数p ( o ) 。 解：利用定理3 1 的三角l a g r a n g e 插值公式得到 p ( o ) 其被插值函数和所构造的2 7 r 周期三角插值函数在极坐标系下的图象如图 l 和图2 ： 乃乃 图1 被插值函数图22 丌周期三角插值函数 例4 2给定球面s 1 上被插值函数w = ，( z ，v ) = 2 x y + 圹，其中 ( 。，y ) s 1 此被插值函数在极坐标系下表示三角函数： f ( 0 1 = s i n2 0 十s i n 20 1 7 望学 昌| 呲 。丌儿博_萎 p 。 如果在极坐标系下给定插值条件 i 臼。 堕互互 2 ” 5 n 64336 l p ： , 34 - 三3 3l 迎3 3 l 、3 242 4 1 24242 试构造2 1 r 周期三角奇插值函数p ( 既 解：利用定理3 3 的三角l a g r a n g e 插值公式得到： p ( 口) = 一；( 1 十以一瓶一4 c 。s p + ( 一l + 4 5 ) c 。s 2 0 + ( 一1 + 2 以一4 5 ) c 。s 4 目) s i n 口 其被插值函数和所构造的2 7 r 周期三角奇插值函数在极坐标系下的图象如 图3 和图4 ： q 、 沁。 1 艺彳3 ； jq ，、 心 。 一匕菇3 1 图3 被插值函数 图427 r 周期三角奇插值函数 例43给定球面s 1 上被插值函数r e v = f ( z ，口) = 2 x 2 3 2 4 其中 ( x ，y ) s 1 。此被插值函数在极坐标系下表示三角函数： 如果在极坐标系下给定插值条件 i 口。 翌 1 1 4 6432 1 2 【胁 1 537 0 ；( 一1 + 怕) 2 一击( 一1 十怕) 1 l 64 1 6 试构造周期三角偶插值函数p ( o ) 解：利用定理34 的三角l a g r a n g e 插值公式得到： p ( 8 ) ：一i 1c 。s 2 0 ( 3 + c o s2 目) 其被插值函数和所构造的丌周期三角偶插值函数在极坐标系下的图象如图 5 和图6 ； 18 厂、n l 夕u 厂、n 也u 图5 被插值函数 图6 丌周期三角偶插值函数 例44 给定球面s 1 上被插值函数w = ，( z ，y ) = 3 x 2 y y 3 + y ，其 中( z ，9 ) s 1 。事实上，此被插值函数在极坐标系下表示三角函数： f ( o ) = 3c o s 2 目s i n 目一s i n 3 目+ s i n 日= s i n 3 0 + s i n 日 如果在极坐标系下给定插值条件 旧 互1 娈 丑 l l 6 431 21 2 3 扼 以1 ，1 + 以1 一1 + , 3 2t 以。2 , 5了i + 2 以 试构造”反周期三角奇插值函数p ( o ) ， 解：利用定理3 7 的三角l a g r a n g e 插值公式得到 p ( 6 ) = 4s i n 3 目一4s i n 目 其被插值函数和所构造的”反周期三角奇插值函数在极坐标系下的图象如 图7 和图8 ： 00 心纱 图7 披插值函数图87 r 反周期三角奇插值函数 例45 给定球面s 1 上被插值函数w = f ( x ，y ) = z 3 + 4 x y ，其中 ( x ，) s 1 。如果在极坐标系下给定插值条件： 1 9 l 吼 0 2 ”5 1 r 6 l 风 l 2 + 去i 1 + 怕一i 1 一, 5 1 1 以 8 试构造丌周期三角插值函数p ( e ) 解：事实上，此被插值函数在极坐标系下表示三角函数： f ( 0 1 = c o s 30 + 2 s i n2 0 利用定理3 8 的三角l a g r a n g e 插值公式得到： p ( 曰) = 蕊丽1 f 8 + 8 饵( - 3 - 3 以+ 6 v g ) c o s2 0 + ( 1 9 + 1 7 怕一6 怕) c 。s 4 臼 + ( 5 9 + 6 以+ 5 7 怕) s i n 2 0 + ( 5 + 6 以+ 7 娟) s i n 4 0 其被插值函数和所构造的7 r 周期三角插值函数在极坐标系下的图象如图9 和图1 0 ； 1， ) j ) l_ i 弋 夕，。 心j ( 、 图9 被插值函数图1 07 r 周期三角插值函数 例4 6 给定球面s 2 上被插值函数w = ，( z ，可，z ) = z + 2 y + 3 z ，其 中( 7 2 ，g ，。) s 2 此被插值函数在空间极坐标系下表示三角函数： f ( o ，) = s i n 0s i n + 2s i n 0 c o s 咖+ 3c o s 0 如果在空间极坐标系下给定插值条件 试构造k i 空间中乘积型三角l a g r a n g e 插值函数 解：利用定理31 0 的乘积型三角l a g r a n g e 插值公式：