（概率论与数理统计专业论文）ρ混合序列的若干极限性质.pdf

内容提要 本文是我在硕士阶段，在导师苏中根教授的悉心指导下完成的全文共分三章 第一章p 一混合序列的矩不等式及其应用 自1 9 9 9 年张立新提出p 一混合序列的概念以来，由于它在实际生活中的广泛应用，其收敛 性质引起了国内外很多极限理论学者的关注p 一混合序列的范围很广，他不但包含n q d 。 n a 序列，并且在性质上比矿序列更加弱 z h a n g ，w a n g 在1 9 9 9 年得到了p 一混合序列的 r o s e n t h a l 型不等式，如果加强了混合系数p - ( ) rp 为任意的实数且0 r 1 为实数，如果存在与n ，o 无关的正常数g ，使 a + a d + “ e i z d 9 茎c e ( 霹) ，vn21 ，口o i = a + l t = d + 1 根据张立新( 1 9 9 9 ) 的结论，旷混合序列也为q 阶m - z 型随机变量根据q 阶m - z 型不 等式的重要性质，我们有 定理1 1 设 矗，n 1 为定义在概率空间( n ，只p ) 的p 一混合序列，e x = 0 ，对 vq 1 ，e i ) 0 p l 定理1 1 ，推论1 1 的结果与矿混合序列相似，但随机变量的矩减弱为口 1 利用该不等 式，我还证明了p 一混合序列的一些极限定理，推广了c a n ( 2 0 0 4 ) ，吴群英( 2 0 0 2 ) 的结论 第二章p 一混合序列几乎处处中心极限定理的注记 几乎处处中心极限定理是经典中心定理的延拓，b r o s a m l e r ，s c h a t t c 在1 9 9 8 年得到了独 立同分布情形下的几乎处处中心极限定理；在前人的基础上，l a c e y , p h i l i p p 于1 9 9 0 年得到 下面的结论 定理a 令 j 毛， 1 ) 是概率空间( q ，p ) 上的严平稳的随机变量，且e x = 0 ，令 瓯= 警l 墨靠= e 筇，则有一个p - 零集n c n ，使得对所有的n 。，有 ( 1 0 9 矿1 乏一“( 警) 一( 2 矿5 上e + 2 砒 上式对所有的b o r e l 集ac r 都成立，且 ( a a ) = 0 ，这里的a 表示l e b e s g u e 测度 p e l i g r a dm ，s h a oqm 于1 9 9 5 年证明了在强混合和正相伴条件下的几乎处处中心极限 定理，d u d z i f i s k im 在2 0 0 3 年证明了类独立情形下的几乎处处中心极限定理本章从p 一 混合序列的角度加以考虑，得到了与前面所类似的结论并且把该定理推广到了n a 序列， 从另个角度验证了m a t u l ap ( 1 9 9 8 ) 的结论 定理2 1 令 ，n 1 ) 为严平稳的p 一混合序列，e x n = o ，且0 0 ， i c o v ( x l ，) i 0 则 ( 1 0 酬4 羡一“( 掣) 一( 2 矿。上e 士 i i i 第三章p 一混合序列宜正则化中心极限定理 在现实生活中，我们往往不知遭口的准确僵，所以我们对两个算子进行估计： 巩。= 而1 耋去陵一矗l ， b 一2 2 面1 薹( 忌一种 1 9 9 4 年，p e l i g r a dm ，s h a oqm 就b 1 m 磁。在q 混合，p a 序列情况下讨论了强弱相合 性而本章利用第二章的个不等式，得到了p 一序列的一强弱相合性结果如下； 定理3 1 令 ，n 1 ) 为严平稳的p 一一混合序列。e x = p ，且0 0 ， i c o v ( x , ，) l 0 籍卷一s n o 。 b l , n a 镖o s e i 晶1 2 + 5 = o ( n 生) ，n _ 斗o o ，| 占 0 b ；n _ 口2 。矗件_ o o a b s t r a c t t h i st h e s i si sf i n i s h e du n d e rt h eg u i d a n c eo fm yt u t o r p r o f e s s o rs uz h o n g g e n ；d u r i n g m ym a s t e ro fs c i e n c e s i n c ez h a n g l x p u tf o r w a r dt h ec o n c e p to fp - - m i x i n gs e q u e n c e si n 1 9 9 9 i t sc o n v e r g e n c ep r o p e r t i e sh a v ed r a w nm a n ya t t e n t i o n sf r o ms c h o l a r sf o ri t se x t e n s i v e a p p l i c a t i o n z h a n gl x a n dw a n g x y i n1 9 9 9 a n dc a ig h ，i n2 0 0 3p r o v e dr o s e n t h a l t y p ei n e q u a l r i e sf o rp - - m i x i n gs e q u e n c e s ，e s p e c i a l l yt h el a t t 盱- g o tt h es l l er o s e n t h a lt y p e i n e q u a l i t i e sa si n d e p e n d e n ts e q u e n c e sw h e nt h e ys t r e n 酤h e n e dt h em i x i n gc o e f f i c i e n tp - ( ) r ( w h e r e ri sa l la r b i t r a r yr e a ln u m b e ra n d0 r 1 ，i ft h e r ee x i s t sap o s i t i v ec o n s t a n c ec ，s u c h t h a 土 o + na + n e l x i 。c e ( 搿) ，f o r a l l n 1 ，o 0 ；1i = a + l 缸t ot h ep - _ m i x i n gs e q u e n c e ，b yz h a n g ，w ek n o wi t i sam - zr a n d o mv a r i a b l e ，s ow e e s t a b l i s han e wr o s e n t h a lt y p ei n e q u a l i t i e s w h a tid oi ss h o r t e nt h ep r o o fo fz h a n ga n d w a n g ( 1 9 9 9 ) u n d e ry a n g ( 1 9 9 8 ) sc o n c l u s i o na n dw e a k e nt h ec o n d i t i o n so fw u ( 2 0 0 2 ) a n d g a n ( 2 0 0 4 ) t h e o r e m1 1 l e t k ，竹1 ) b eas e q u e n c eo fp m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e s ，d e f i n e d o nap r o b a b i 5 t ys p a c e ( n ，p ) ，p u te 墨= 0 f o ra l lq 1 ，e l j 0 卜 。，t h e r ee x i s t sa p o s i t i v ec o n s t a n c ec = c ( q ，p - ( ) ) ，s u c ht h a t 1 2 o + nb + n a + n e i 墨r e e x , i 。+ ( e 霹) ) ，f o r a l ln 1 ，口0 = d + 1 = d + 1i = a + 1 a st oad i r e c tc o r o l l a r y , w ea l s og e ta n o t h e rc o n c l u s i o n ： v c o r o l l a r y l 1u n d e rt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m1 1 ，t h e r ee x i s t sap o s i t i v ec o n s t a n c e c = c ( q ，p 一( ) ) ，s u c ht h a t i f l q 2 ， e l m 1a n de s t a b h s ht h el i m i tt h e o r yo fp - - m i x i n g s e q u e n c e i nc h a p t e ri i ，w es t a t et h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mf o rp - m i x i n gs e q u e n c e t h e r eh a sb e e nal o to fw o r ko i lt h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mf o ri i d r a n d o m v a r i a b l e s ，w h i c hd u et ob r o s a m l e ra n ds c h a t t e ( 1 9 8 8 ) l a c e ya n dp h i l i p p ( 1 9 9 0 ) g o ta n o t h e r c o n c l u s i o n ： t h e o r e ma l e t j 厶，n 1 ) b eas t a t i o n a r ym e a n - z e r os e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e s ， d e f i n e do nap r o b a b i l i t ys p a c e ( q ，p ) p u ts k = 皂lx ，= e 畿，t h e nt h e r ei sa p - n u l ls e t nc ns u c h t h a t f o r a l l w n 。， ( 1 0 9 n ) “一厶( 掣) 一( 2 丌) _ 。驴妒d u (01)k n ut 。 f o ra l lb o r e ls e t sacrw i t ha ( a ) = 0 ，w h e r ead e n o t e sl e b e s g u em e a s l l t e t h e r ea r eo n l yaf e wr e s u l t sc o n c e r n i n gt h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mf o rm i x i n g s e q u e n c e s p e l i g r a da n ds h a o ( 1 9 9 5 ) p r o v e dt h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m f o rs t r o n g l y m i x i n ga n da s s o c i a t e ds e q u e n c e s ；d u d z i f i s k im ( 2 0 0 3 ) p r o v e dt h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i t f o re s p e c i a l l ys e q u e n c e s i n c et h eg o o dp r o p e r t i e so fp - _ m i x i n gs e q u e n c e ，w eg e tt h es i m i l a r c o n c l u s i o nf o rp - - m i x i n gs e q u e n c e ，a n dm a k en as e q u e n c ea sas p e c i a lc a s e t h e o r e m2 1l e t 墨，n 1 ) b eas t a t i o n a r yp - - m i x i n gs e q u e n c e s , w i t he 墨= 0 ， a n d0 0 ， n = 2 o o i c o v ( x 1 ，) i 0 t h e n ( 0 1 ) h o l d s i nc h a p t e ri i i ，w ei n t r o d u c et w oe s t i m a t o r so f 口a n di n v e s t i g a t et h e i rw e a ka n ds t r o n g c o n s i s t e n c ya n dt h er a t eo ft h e i rc o n v e r g e n c et o 口w ef i r s ti n t r o d u c et w os t a t i s t i c s ： b l , n = i 丽1 耋去i 置一矗i ， 磁，? 2i 面1 妻( 孟一矗) 2 + i n1 9 9 4 ，p e l i g r a da n ds h a og a v et h ew e a ka n ds t r o n gc o n s i s t e n c yo f 且1 ，nt o 口2 7 ra n d b 。2 nt o 盯2f o r 血一m i x i n g ，a s s o c i a t e ds e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e s o nt h ep r e m i s eo fa l l i n e q u a l i t yo fc h a p t e ri i ，w eo b t a i nt h e i rw e a ka n ds t r o n gc o n s i s t e n c yo fp - m i x i n g ，w h i c hi s a n a l o g o u st oa - m i x i n ga n da s s o c i a t e ds e q u e n c e so fr a n d o mv a r i a b l e s t h e o r e m 3 1 l e t ，n 1 ) b eas t a t i o n a r yp - _ m i x i n gs e q u e n c ew i t he x = “ 0 0 ， i c o y ( x , ，墨) i 0 a sn _ o o 凰。一盯1 i 一 a sn 一。 e i s 1 2 + 5 = 0 ( 札掣) ，踞仉_ o o ，f o rs o m e6 0 t h e n 醴n - - - 4 口2 口，s ，a s 札+ o 。 浙江大学硕士学位论文第一章p 一混合序列的矩不等式覆其应用 第一章j d 一混合序列的矩不等式及其应用 1 1定义和引言 定义i i 一有限族随机变量 墨，n 1 ) 称为负相伴( n a ) ，如果对n 中任意不 相交子集s ，t ，都有 c o v y ( x , ，i s ) ，9 ( b ，j t ) ) s0 ， 其中c o v ( x ，y ) 表示x ，y 之间的协方差这里， g c ，c 为单调不减函数类， 且保证上式中的协方差存在 定义1 2 设 ，n 1 ) 是概率空间( q ，厚，尸) 上的随机变量序列，乃= 口陇，i scn ) 为n 域，在b 中给定口一域，冗，令 p ( ，冗) = 8 鼍 i e x 亍y - 萧e x e yjxel。(d y e l 2 ( t ) v k r f 、v a r y ， v 这里，矿( ) = s u p p ( 歹 s ，j ) ：有限子集s ，tcn ，且d i s t ( s , t ) 舛 如果存在女n ，使矿( ) 0 还有 丽最笔翼等嚣端= 一百1 ，当曲t c 。“，z 加) = 2 2 m - 1 一o 。 从上面看来，p _ 混合是一类极为广泛的相依混合序列，对其进行研究是很有 价值的自1 9 9 9 年张立新提出了p 一混合序列的概念以来，已引起了很多学者的 关注z h a n g 依次讨论了弱收敛定理( 1 9 9 9 ) ，随机场的中心极限定理( 2 0 0 0 ) ，完全 收敛性( 2 0 0 0 ) ；蔡光辉，张立新讨论了它的完全收敛性( 2 0 0 0 ) ；z h a n g ，w a n g 讨论了 r o s e n t h 8 l 型矩不等式( 1 9 9 9 ) 等等 众所周知，概率不等式是概率论和数理统计的理论研究中的重要工具，有力 的概率不等式常常是创建一个重要定理的关键对于概率极限理论，几乎所有 重要结果的论证或者是借助于建立有力的概率不等式，或者是通过对已有的概 率不等式的巧妙应用r o s e n t h a i 型的矩不等式便是其中的一个在研究随机变 量的一些收敛性质例如完全收敛性，弱不变原理中，p m s e n t h a 型矩不等式便在 其证明过程中扮演着极其重要的角色但同样地，r o s e n t h a l 型矩不等式的成立 浙江大学硕士学位论文 第一章p 一混合序列的矩不等式及其应用 也是一个较强的条件前面z h a n g 等都曾建立了p 一混合序列的r o s e n t h a l 型 矩不等式，综合起来即为： 定理a 设 墨，n 1 ) 为定义在概率空间( n ，f ，p ) 的p 一混合序列，e = 0 ， 对vq 1 ，e x , p o 。，存在正常数c = c ( q ，p - ( ) ) ，使得 8 + na - f n a + n e i x , l 。q e i x , i 。+ ( e 霹) 氇vn 1 ，口0 ， i = a + li = b + l i = a + l 若还满足p - ( 1 ) l 为实 数，如果存在与n ，o 无关的正常数c ，使 vn 1 ，a 0 则称 墨，n 1 ) 为q 阶m - z 型随机变量 事实上由鞅差序列的m z 型( 见s t o u t ( 1 9 9 7 ) p 1 4 9 定理3 3 6 ) 知，鞅差序列则是 q 阶m - z 型序列；当然，独立序列也是q 阶m z 型序列；由b r y c ，s m o l e n s k i 的引 理2 知，p 混合序列也是q 阶m z 型序列；张立新在1 9 9 9 年指出，p 一混合序 列也为q 阶m z 型序列t 定理a 设 矗，n 1 ) 为定义在概率空间( q ，p ) 的p 一混合序列，e x = o ， 对vq l ， e l 五r 1 a 0 众所周知，式( 1 2 1 ) 本来就是一个很有用的不等式，当1 2 时，式( 1 2 2 ) 右边的矩不等式未直接落到各个变量上，所以在应 用时还不够方便，根据独立序列的结果知，当q 2 时，较好的形式应为 口+ n a + na + n e l 置i 。s c e 引托i 。+ ( e 霹) ) ，vn 1 ，o 0 ( 1 2 3 ) i = a + li = a + li = a + l 结果如下； 定理1 2 1在定理a 的条件下，存在仅依赖于p 一( ) ，q 的正常数c ，使得 1 2 时，式( 1 2 3 ) 成立 砰 m 以 g 一 磁 m m e 浙江大学硕士学位论文第一章p 一混合序列的矩不等式及其应用 推论1 2 1在定理a 的条件下，存在仅依赖于p - ( ) ，q 的正常数c ，使得当 1 2 时，有 e ，m 。a x 。i s j l 。sg ( 1 0 9 ( 4 n ) ) 4 蚤引五r + ( 蚤e 砰) 5 ) ， vn 1 定理1 2 2 设 k ，n 1 ) 为单调不减的正实数序列，p 一混合序列 墨，n 1 ) 满足e 墨= 0 ，e i 卜 o o ，如果1 q 2 时，有n _ 1 里钱型 。，则 则对0 r 2 时，有e s u p 。( 掣) r o o 推论1 2 2在定理1 2 2 的条件下，如果1 口2 且 薹学 ，使 那么 产业罂盘 。 台扩 萎誓 o 。 一 i = 1 。l 注：定理1 2 1 达到了正交序列的相应结果，推论1 2 1 的条件也比较的完美， 而定理1 2 2 的结论几乎达到了鞅序列的强大数定律 1 - 警 伙 = 竹一 酽爵 钆一 龊 还 置一饥 k 若 0 但 so0 1 _ & i 么那 浙江大学硕士学位论文第一章p 一混合序列的矩不等式及其应用 定理1 2 4设 ，n 1 ) 为p 一混合序列，l 0 ，令 嬲。) = 一咄 c ) o o ， n = 1 ( i i )e 砰) o o ， ( i i i )l o g 。n e f 霸叩 o o 则。o o ：1 o o a 8 定理1 2 5设 ，n 1 ) 为同分布的p 一混合序列，1 0 ，m a x 1 + 。6 ，1 ) ，如果e x = 0 ，并且e i x 。1 9 俨) 0 在定理1 2 5 中，取6 = 1 ，p = 2 ，n = 1 时，我们得到下面的结论： 推论1 2 3 设 墨，1 ) 为同分布的p 一混合序列，e x = 0 ，并且e i x i ， e ) 0 定理1 2 6 设 墨，n 1 ) 为p 一混合序列，1 p 2 ，( z ) ， 1 ) 在( 0 ，o o ) 上的正的，单调的不减的偶函数，对vn21 ，下面若有一条件成立： ( a ) 赢t ，当o 比 ( b ) 高l ，且学l ，当o n 且e 弱_ 0 则对任意正数序列 k ，n 1 ) ，并且kto 。，满足 n 曼= l 钟们糕 。， 级数嚣t 凳叫收敛，且k 1 器，五一0 o a 定理1 2 7 设 o 。，n 1 ) 和 k ，n 1 ) 为两列正数序列，且kto o 令c 1 = 鲁， 当礼2 时，岛i = 鲁l o g n 令 墨，n 1 为p 一混合随机变量，还满足 ) x 定义( z ) = c a r d n ：sz ) ，z r ，1 p 2 如果满足 ( a )e n ( x ) t ) 厂( ) 扩1 d y d t 2 时，有 a + na + n 口+ 竹 e i z k l 。s g e i x , i 。+ ( e 霹) ；) ，vn 1 ，o 0 k = a + li = a + l = + l 引理1 2 2 设 ，n 1 ) 为随机变量序列，则对r 0 ，a 1 ，若对vm 七1 ， 则有 e ( i 五1 ) 7 ( 阢) 。 ( 1 2 4 ) 浙江太学硕士学位论文第一章p 一混合序列的矩不等式及其应用 其中 巩，n 1 ) 为非负常数列，则存在仅依赖于口的正常数k ，使得 vr 0 ，有 p ( m ：。a ：x ，i ；：。z , i 3 ) c ) ， t = 1一 或 则 ( t7 ) e n ( x ) 。， ( 订) j ( ”e n ( x s ) d s t ) c p ( x o ) ，则v p 0 ，v t 0 ， e l x l 丑l x l l t 兰c ( t p p ( x o 亡) + e 瑶 勘s t ) 定理1 2 1 的证明由定理a 和引理1 2 1 即得 推论1 2 1 的证明证明方法类似与s t o u t ( 1 9 7 4 ) 定理2 3 ，1 ，结合定理1 2 1 ，即 得结论 定理1 2 2 的证明( 1 ) 记k = 鲁，由p 一混合序列性质，知 k ，n 1 ) 仍为p 一 混合序列令s ：l = 翟，k ，则 e l e 挑ge “e ( 钞一0 1 i = n + l 巾一吼 一i = 鲁1 9 ge ( 与 ) 9 一，( n o 。) i ”t 。1 因此，是厶的c a u c h y 列，从而存在r v s ，使引一卜一0 又对vs 0 ，由定理1 2 1 ，有 第一章卢一混合序列的矩不等式及其应用 9 p ( i s 2 - 一s i s ) sc s l s , 。一i 。 c l i r a s u p e l k s ：i l 。 茎c e ( 掣) 。 s ) sc e 。m 。a 。x 。l 一一n 2 k sc ( 1 0 9 ( 4 + 2 ) ) 9 e 1 m | 口 i = 2 k 一1 + 1 2 0 l v i g e ( 等 ) 9 ( 1 0 9i ) 9 ( 1 - 2 6 ) l = 2 + 1 。 由式( 1 2 5 ) 和式( 1 2 6 ) ，意味着：当一0 0 时，有 由子序列的方法，知 。m 。a 伸x 。i 一一i 一0 o t ( 2 ) 下面证第二个部分，因为 e s u p ( 掣) 7 南d t 南a t 。p 甄抓m & x 。，。i s 1 哟) d t + j ( 。p ，辫钞由d t 善j ( 。酬m & x 守i s i 由d t + 1 删耋= e x d q v 。一d t e(善釜ei五|g+萎睹(三k+1)n兰司l尹yiq)jlrn i = lk = l ”一m = 1 o ke 削v 。i 。1 浙江大学硕士学位论文第一章p 一混台序列的矩不等式及其应用 1 0 g 妻e l 五l 。可l o f t k n + g 曼忙萎”丁e i x i i q l o g q i i = l k 型 。k n k = l 扫k n 岬 g 曼掣 g ，所以 1 ，警 1 ，即引理1 2 4 条件满足，由此可得罂。k 口s 收 敛 定理1 2 4 的证明由p 一混合序列性质，知砖) 仍为p 一混合序列所以由 g 不等式，j e n s e n 不等式，并且条件( n i ) ，可得 ( 1 0 9 n ) 。e i 砧一e 踏1 4 c ( 1 0 9 n ) 4 e l 砖i 。 c x d 由定理1 2 2 的结论，可得 ( 霹：) 一e 砖) o 。a 8 一 结合条件( i i ) 即有 硝 c ) o o 由b o r e l - c a n t e l l i 引理，得器1j 气a s 收敛 定理1 2 5 的证明令= 一n a i ( x 。 ；肌。) i 1 肌。) ( 0 0 ， ! 圣羔! 里型，o 札。o 。 首先，我们证明第一式，由m a r k o v 不等式，g 不等式和j e n s e n 不等式，可得 n ”_ 2 可p ( 1 ( k 一e ) i ；e 矿) c n 一( 2 + 6 e l ( 一e ) 1 9 c 托一( 2 “e y “j c n 一( 1 + e l x , i n a ) r sc 礼一( 1 + 5 ( e i x l l 9 i ( i x ，l 。a ) + n 叩p ( 1 x l l n 。) ) 铲 因此 7 。a p - 2 - 6 p ( i 瓦l ；一。) n = l i = 1 ” 。n 竹呷斗6 p ( i x , i 矿) n = 1i = 1 = 俨- 1 - 6 p ( i x i i 铲) = n ”一1 5 p 0 。 i x l l 0 + 1 ) 。) n = l = n 。oj = p ( j 。 i j h ls 0 + 1 ) 。) n ”一1 6 浙江大学硕士学位论文第一章p 一混合序列的矩不等式及其应用 1 2 s j ”一5 p j 。 i z l l 0 + 1 ) 。) j = 1 e l z l l o 。 最后 n l l e l 兰n ”i e i 礼一。i e ( 一n “丘x 矿) + e 墨厶m l s p ) l sn 1 一“e x i i ( e x 。a ) + 佗1 一。e i x l i 丑i 丑i 。) sn l - e e i x l l _ 0 定理1 2 5 得证 定理1 2 6 的证明记k = 卺，则砼仍为p 一混合序列在定理1 2 5 中取c = 1 当z 0 时，如t ，有 三o op ( i y i p ( i y i 1 ) 薹帮椰- ) d p ) 号等半丑吲，- n 0 1n = i 一、， 手e 剑掣 0 0 三e 端晋n = l j ”、， 假设函数鲰( z ) 满足条件( 。) ，则在区间i x k ，我们有器s 景黼因而 i z p ，鳄( i x l ) ，如( ) 6 ；：筛( k ) 。二9 n ( 6 n ) 如果满足条件( 砷，则在区间i x tsk ，由掣i ，得瞥舞踏因而 薹( 1 0 9 p n ) e l 聊塾州e 涮一0 0 霸1 l ( 1 0 酽札) e 等筹等 k ) + i e x j ( i x i h ) + i e x , j ( i x 。1 16 t i ) b p ( i x i 6 n ) + l e l 矗l s6 n ) i 而b ne 蜘( ) + b o i 剐，h 鲰j 矗) d p 丽2 b e 甄( k ) 所以都有 差e 掣。墨帮 ) c p ( x 岛) c e n ( x ) o o 由g 不等式，j e n s e n 不等式和引理1 2 5 ，得 而 ( 1 0 9 n ) ，e l a 。( 霹“一e 磷“) 1 9 偈 g ，e i x g - 一e 砖l c c ：9 e l 瓦 l 置1 c ，i + 厶l x 。i “) l 茎c 9 e i x 1 9 l i i ! 。) + c p ( i x i ) c ( c ：p ( x ) + e x x s 。 ) + c p ( i x i 岛) g 妻 ) + 量pg ) + p n = l p ( x n = l f f ft v - l p ( x t ) d t p ( x c i v - 1 p ( x +c妻-p“。1p(x)drcen(x)c pctpp ( xt ) d t + - pr _ 1 薹啄9 f f f t v - l p ( x 舭t = 磅 以 p 浙江大学硕士学位论文第一章p 一混合序列的矩不等式及其应用 最后一个不等式 并且 1 4 2 p j ( 。雌 们似毛。，硝t p 2j ( 。矿“p ( x t ) j ( ”n ( y ) y p + 1 d y d t l i me 酽 ( “ u ，u 溉fy - p d n ( y ) 。n m ( u l i v ( 札) 一尸( t ) + p 厶心可一”1 n ( y ) d y ) u 一9 ( ) p f 嘶l ( ) d y o ，一。 由上面不等式，我们可以得到 ( 1 0 9 n ) 9 e i o 。( 跆) 一e x ) i 坛 ) n = ln = l c ( p ( x 岛) + e x p i x c n ) n ；1n = 1 c e n ( x ) + c e x i x h ) ) 碍 0 0 n = l ( 1 2 7 ) e x p i x 。l e x 9 j 权。 n = 1n = l n 删 勺一。c x 蔓勺 嚷 n 口1 j = l p ( q l x s 旬) g 1 嚷 j = 1n = j e j p ( 勺一1 ) ) f ；= l sc ( 1 + e n ( x ) ) o 。( 1 2 8 ) 由式( 1 2 7 ) 和( 1 2 8 ) 和引理1 2 1 ，可以得到 ( 砖) 一瞬) o 。， n = 1 由k r o n e c k e r 引理，即可得结论成立 浙江大学硕士学位论文 第二章p 一混合序列几乎处处中心极限定理的注记 1 6 第二章p 一混合序列几乎处处收敛定理的注记 2 1定义和引 言 几乎处处中心极限定理的发现在经典中心定理方面揭开了新的有趣的一幕， 在过去的几十年里，几乎处处中心极限定理也得到了很大的发展对于独立同 分布随机变量，前人已经做了很多研究，如b r o s a m l e r ( 1 9 8 8 ) 和s c h a t t c ( 1 9 8 8 ) 该 定理可以概述为：令 k ，n 1 ) 是概率空间( n ，fp ) 上的严平稳的随机变量， 且e x = 0 ，令风= 皂1 五，2 = e s ：，则有一个p 零集ncq ，使得对所有的 n c ，有 ( 1 0 9 n ) 一1 k - x “( 皇掣) 一( 2 7 r ) 一f e - 妒d u ( 2 1 1 ) k n 。k 。 上式对所有的b o r e l 集acr 都成立，且x ( o a ) = 0 ，这里的 表示l e b e s g u e 测度 在独立不同分布方面，l a c e ym 和p h i l