（应用数学专业论文）零压流相对论euler方程的riemann问题及激波反射问题研究.pdf

2 0 0 8 上海大学博士学位论文 摘要 本论文研究了两方面内容。其一为相对论e u l e r 方程组中d e l t a 波及真空解问 题，另一个为多方气体的平面激波正规反射问题 在第二章，我们首先介绍了关于双曲型守恒律方程组的一些基本概念，继而分 别对一维和二维双曲守恒律方程组的一般理论做了简要的介绍，为后两章的讨论作 了准备 第三章研究了相对论e u l e r 方程组我们首先用特征线方法分两种情况讨论了 零压流相对论e u l e r 方程组的r i e m a n n 问题，得到它的解有两种情况t 一种出现了 d e l t a 激波；另一种含有真空之后我们分别对等温流和多方气体详细研究了当压力 消失时，相对论e u l e r 方程组中能量守恒和动量守恒方程组的r i e m a n n 解中d e l t a 激波和真空状态的形成当压力消失时，只有两种情况发生。一种为包含两个激波 的r i e m a n n 解，趋于零压流相对论e u l e r 方程组的一个d e l t a 激波解，介于两个激 波之问的中间状态的密度趋于一个形成这个d e l t a 激波的加权乒测度；另一种为包 含两个疏散波的r i e m a n n 解，趋于零压流相对论e u l e r 方程组的包含两个接触间断 的解，其中介于这两个接触问断之间的中间状态是一个真空状态这些结果说明零 压流相对论e u l e r 方程组的r i e m a n n 解中d e l t a 激波的出现源于一种集中现象，而 其中的真空状态则源于消失压力极限过程中的气穴现象；这二者在相对论流体力学 中都具有重要的物理意义 在第四章，我们研究了多方气体平面激波的正规反射问题利用广义特征分析 方法，通过力学关系的代数方程，得到了多方气体平面激波出现正规反射的一个修 正了的临界条件，它可以表示为关于临界入射角的一个关系式此外，我们发现这 个临界角要比角a o = a r c o t ( 乍1 p ：p p o ，( 1 一舞) ) 叫。小正规反射中一个重要且很有意 义的问题是跨声激波( 反射激波后对应的去流是亚声的) 到超声激波( 反射激波后相 应的去流是超声的) 的转变我们得到了去流为声速的条件，它是跨声激波向超声 激波转换的临界条件 关键词： 相对论e u l e r 方程组，零压流相对论e u l e r 方程组，r i e m a n n 问题，d e l t a 激波，真空，正规反射，跨声激波，超声激波 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 i i i a b s t r a c t v 、，ea r ec o n c e r n e dw i t hd e l t as h o c k sa n dv a c u u ms o l u t i o n st ot h er e l a t i v i s t i ce u l e r e q u a t i o n sa n dt h er e g u l a rr e f l e c t i o np r o b l e mo fap l a n a rs h o c kf o rp o l y t r o p i cg a s e s i nc h a p t e r2 ，w eg i v es o m ef u n d a m e n t a ln o t a t i o n sa n dc o n c e p t sf o rt h eh y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o nl a w s ，a n di n t r o d u c es o m eg e n e r a lt h e o r i e sf o ro n ed i m e n s i o n a la n dt w od i - m e n s i o n a lh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w sr e s p e c t i v e l y , w h i c hw i l lb eu s e f u lt ot h ef o l l o w i n g c o n t e n t s t h er e l a t i v i s t i ce u l e re q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e di nc h a p t e r3 u s i n gt h em e t h o do f c h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i s w es o l v et h er i e m a n np r o b l e mt op r e s s u r e l e s sr e l a t i v i s t i ce u l e r e q u a t i o n sf i r s t l y w cp r e s e n tt w ok i n d so fs o l u t i o n s ：t h eo n ei n c l u d e sd e l t as h o c k s ；t h e o t h e ri n v o l v e sv a c u u ms t a t e s t h ef o r m a t i o no fd e l t as h o c k sa n dv a c u u ms t a t e si nt h e r i e m a n ns o l u t i o n st ot h er e l a t i v i s t i ce u l e rs y s t e mo fc o n s e r v a t i o nl a w so fe n e r g ya n dm o - m e n t u mi ns p e c i a lr e l a t i v i t yf o ri s o t h e r m a lg a s e sa n dp o l y t r o p i cg a s e sa r ei d e n t i f i e da n d a n a l y z e di nd e t a i ls u b s e q u e n t l y , a st h cp r e s s u r ev a n i s h e s t w oc a s e so c c u ra st h ep r e s s u r e v a n i s h e s ：t h eo n ei st h er i e m a n ns o l u t i o ni n v o l v i n gt w os h o c k s ，w h i c ht e n d st oad e l t a s h o c ks o l u t i o nt op r e s s u r e l e s sr e l a t i v i s t i ce u l c re q u a t i o n s ，a n dt h ei n t e r m e d i a t ed e n s i t y b e t w e e nt h et w os h o c k st e n d st oaw e i g h t e d5 - m e a s u r et h a tf o r m st h ed e l t as h o c k ；t h e o t h e ro n ei st h er i e m a n ns o l u t i o ni n v o l v i n gt w or a r e f a c t i o nw a v e s w h i c ht e n d st oat w o c o n t a c t - d i s c o n t i n u i t ys o l u t i o nt op r e s s u r e l e s sr e l a t i v i s t i ce u l e re q u a t i o n s ，w h o s ei n t e r m e - d i a t es t a t eb e t w e e nt h et w oc o n t a c td i s c o n t i n u i t i e si sav a c u u ms t a t e t h e s er e s u l t ss h o w t h a tt h ed e l t as h o c k sf o rp r e s s u r e l c s sr e l a t i v i s t i ce u l e re q u a t i o n sr e s u l tf r o map h e n o m e n o n o fc o n c e n t r a t i o n ，w h i l et h ev a c u u ms t a t e sr e s u l tf r o map h e n o m e n o no fc a v i t a t i o ni nt h e p r o c e s so fv a n i s h i n gp r e s s u r el i m i t ；b o t ha r ef u n d a m e n t a la n dp h y s i c a li nf l u i dd y n a m i c s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h er e g u l a rr e f l e c t i o np r o b l e mo fap l a n a rs h o c kf o rp o l y t r o p i c g a s e s u t i l i z i n gt h em e t h o do fg e n e r a l i z e dc h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i sa n da l g e b r a i ce q u a t i o n s o fm e c h a n i c a lr e l a t i o n s ，w eo b t a i nar e f i n e dc r i t e r i o nf o rr e g u l a rr e f l e c t i o no fap l a n a rs h o c k f o rp o l y t r o p i cg a s ，w h i c hi st h er e p r e s e n t a t i o no fc r i t i c a la n g l eo fi n c i d e n c e f u r t h e r m o r e ， w eg i v ear e s u i tt h a tt h ec r i t i c a la n g l e ，i sl e s 8 t h a n 咖= a r c o t ( r 器( 1 一署) ) v 2 a f u n d a m e n t a la n ds i g u i f i c a t i v ei s s u ei nr e g u l a rr e f l e c t i o ni st r a n s i t i o nf r o mt r a n s o n i cs h o c k ( t h er c l a t i v eo u t f l o wb e h i n dt h er e f l e c t e ds h o c kw a v ei ss u b s o n i c ) t os u p e r s o n i cs h o c k ( t h e r e l a t i v eo u t f l o wb e h i n dt h er e f l e c t e ds h o c kw a v ei ss u p e r s o n i c ) w eo b t a i nac o n d i t i o n i v 零压流相对论e u l e r 方程的r i e m a n n 问题及激波反射问题 f o rs o n i co u t f l o w ，w h i c hi st h ec r i t e r i o no ft r a n s i t i o nf r o mt r a n s o n i cs h o c kt os u p e r s o n i c s h o c k k e yw o r d s ：r e l a t i v i s t i ce u l e rc q u a t i o n s ，p r c s s u r e l e s sr e l a t i v i s t i ce u l c rc q u a t i o n s ， r i e m a n np r o b l e m ，d e l t as h o c k ，v a c u u m ，r e g u l a rr e f l e c t i o n ，t r a n s o n i cs h o c k ，s u p e r s o n i c s h o c k 原创性声明 本人声明。所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表和撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢 意 签名： 堕啉翌量：垦：仝 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即，学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 始。牲导獬；她i 啉 第一章绪论 ，非线性双血型守恒律方程组足现代数学研究中一个重要的研究方向，一直是 国际数学界研究的重点和难点课题美国国家科学基金会1 9 8 6 年组织了许多著名 数学家讨论当前数学发展趋势，出版了一本小册子m a t h e m a t i c a ls c i e n c e s 一一a u n i f y i n ga n dd y n a m i cr e s o u r c e ，其中提出了六个具有代表性的研究方向，而非线 性双曲型守恒律则是其中的第三个非线性双曲守恒律方程组具有广泛的实际应用 背景和物理背景，在很多重要的学科，如空气动力学、经典或相对论流体力学、气 象学、水波理论、燃烧、生物等以及高、新技术的研究中起着举足轻重的作用，对 于揭示自然界及工程技术中大量存在的非线性现象的基本规律具有重人意义在理 论上，它也一直是国内外研究的一个热门领域一般来说，即使初始值十分光滑， 非线性双曲守恒律方程组的光滑解也只在有限时刻内存在，并在一定的时刻解的光 滑性失去( 即破裂) 而奇性出现在物理上，这种现象对应于激波的产生然而，在 数学上，它是一个十分复杂而又非常重要的问题，引起国内外许多数学家愈来愈浓 厚的兴趣和注意，这也使得非线性双曲守恒律方程组无疑成为现代数学研究的一个 重要挑战。 1 1研究背景与研究概况 1 1 1 空气动力学与e u l e r 方程 空气动力学是流体力学的一个重要分支，它研究可压缩流体的运动规律及其与 固体的相互作用，是人类古老而辉煌的学科之一 e u l e r ( 瑞士，1 7 5 2 ) 首先建立了 不可压缩流体运动的连续性方程，然后，在先忽略流体黏性的条件下，也就是对于 理想流体，e u l c r 又给出了流体的动量方程( 1 7 5 5 ) 现今，人们将适用于无黏性可 压缩流体的上述两个方程再加上流体的能量方程所组成的方程组，称为e u l e r 方程 组此后，又经过9 0 年的认知和学科积累，人类才建立了更深刻的所谓流体力学 基本方程组，也称为n a v i e r s t o k e s 方程组，简称n s 方程组经过n a v i e r ( 法国， 1 8 2 2 ) ，p o i s s o n ( 法国，1 8 2 9 ) ，s a i n t v e n a n t ( 法国，1 8 4 3 ) ，s t o k e s ( 英国，1 8 4 5 ) 数位学 者连续不断地努力探索，这个方程组最终在1 8 4 5 年被推导了出来它是描述包括 黏性现象在内的流体动力学问题的基本方程组，并且至今在宏观力学范畴内它确凿 无疑地成立着( 9 0 】， 1 0 6 ) 1 2 零压流相对论e u l e r 方程的r i e m a n n 问题及激波反射问题 自然界的大量流体的运动产生的现象，都可以近似地归结为对理想流体的研 究所谓理想流体，是指忽略黏性和热传导的流体理想流体在很多情况下是一个 合理的近似。例如，在研究飞行器周围的流场分布时，除飞行器表明附近一薄层中 通常必须考虑黏性及热传导的影响外，在流场的其余部分均可假设为理想流体来进 行讨论即使对整个流场均假设为理想流体，也可得出相当合理的结果因此，对 理想流体的讨论，不仅具有理论上的重要意义，而且具有实际上的重大价值( 5 1 】) 描述理想气体运动的数学模型是如下的可压缩e u l e r 方程 见+ v ( p u ) = 0 ， ( 倒) t + v ( p uou ) + v p = 0 ， ( p e ) t + v ( p u e 十u p ) = 0 ， p = f ( p ，s ) ( 质量守恒) ( 动量守恒) ( 1 1 1 ) ( 能量守恒) ( 状态方程) 其中p ，u ，p ，s ，e 是理想流体的密度，速度，压力，比熵和内能，是e u l e r 坐标t ，x 的 函数，e = 毒川2 + e ，v = 慨，岛，以) ，o 是张量积 e u l e r 方程是非线性双曲守恒律最重要的例子之一它最大的特点和困难在于 解中会出现问断现象对e u l e r 方程的研究长期以来为人们所重视，并且对其一维问 题的研究已经形成了系统与完整的理论相对于一维理论的巨大发展，对高维e u l e r 方程的研究则显得滞后，并且至今也没有关于高维问题的一般理论 1 1 2 相对论流体力学与相对论e u l e r 方程 相对论流体力学是一门交叉学科，涉及多种理论和应用领域，它和天体物理学、 宇宙学、等离子体物理学、核物理学中的重离子反应等多种学科关系密切，并伴随 着这些学科的发展而发展起来相对论流体力学包含了经典( n e w t o n ) 流体力学， 后者只是前者在引力场很弱，速度很低( 与光速比较) ，压力不大，温度不高等条件 下的近似考察流体运动时，如果流体的宏观速度接近于光速，就必须考虑相对论 效应同时，我们还会看到，即使流体的宏观速度没有达到必须考虑相对论效应的 程度，但如果流体粒子的微观速度很大，相对论效应也不能忽略( 5 1 1 ， 9 4 0 m i n k o w s k i 时空中理想流体的相对论方程组为 其中 d i v t = 0 ， 砷= ( p + p c 2 ) u + p 口7 一3 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 3 表示流体的动量一能量张量注意到 d i v t 兰t ；j , i ， 这里我们采用爱因斯坦求和约定，且求和足对重复的上下标进行”i ”表示对变量 z 的微分，一般来说所有指标从0 取到3 且有z o = c t 在( 1 1 3 ) 中，c 为光速，p 为压力，也为流体粒子的4 维速度，p 流体的质量能量密度，是以质量的量纲来 度量的固有能量密度，俨= = d i a g ( 一1 ，1 ，1 ，1 ) 表示平面m i n k o w s k i 度量 对理想流体，有 p ( p ) = p - r ，721 ， 其中1 = 1 表示等温( 正压) 流，而7 1 代表多方气体等温流对于相对论中恒星 演变的研究意义重大在恒星形成的早期，等温情形是确实存在的想象一片缓慢 消失的星际气体云或是尘埃粒子云，在这过程中会达到一种阶段，此时云内光子传 播的平均自由路径变得足够小，使得光子的分散具有很重大的影响在这段时期， 云内的运动相对来说比较小，而光子的分散使得云内温度处处相等，此时p = 9 2 p 就成立了作为等温流的一个特殊情形，状态方程p = ( d 3 ) p 起源于许多重要的相 对论情形( 【1 】) ，由于它可以作为一个密集中子星的状态方程的模型，故而它对于重 力消失的研究也很重要( 4 3 ，7 6 ，8 3 ，8 4 ，1 0 5 ，1 0 9 1 ) 用来描述理想流体运动的相对论流体力学方程组如下； 等+ 刍瓦o r , + 三3 毫= 。，c t = - 忍3 ，c e u l e t ：y 程) 窑一胁2 瓦o p + 善3 瓦o r , 一九口2 苫3 瓦o p = o ( 熵方程) 荔0 p ) + 砉去( 产p ) _ o ( 连续性方程) 其中 c 2 一t ，2 c 2 + p 1 扫2 e c 2 + p ，h e cp 。了p c 7 2 1 f 亏 ，1沪 v 1 e - r 这里p ，p ，可= ( 札屹，7 1 3 ) 分别表示固有质量密度，压力和粒子速度，c 为光速，a 表示局部声速，为流体的质量一能量密度，它是以质量的量纲来度量的固有能量 密度事实上，相对论流体力学方程组可作为高能天体等离子体的一个好的数学模 型，在核子物理的重离子反应分析中也得到重要的应用( 【5 1 】) 双曲守恒律在相对论流体力学中较之在经典流体力学中有着更为广泛的应用 这是因为。在相对论力学中，一切运动及作用的速度均不能超过真空中的光速c ，像 经典流体力学中诸如n - s 方程组那样所呈现出的具有无限传播速度的抛物型特征， 4 零压流相对论e u l e r 方程的p d e m a n n 问题及激波反射问题 在相对论流体力学中不可能出现，即使所讨论的流体具有粘性和热传导耗散效应也 是如此 在理论方面，从e i n s t c i n 建立相对论的早期开始，研究相对论流体力学运动规 律的任务就已经提出来了，例如e i n s t c i n 在其“广义相对论基础”( 【2 】) 一文中就曾指 出s 可根据场方程建立无摩擦绝热流体的e u l e r 方程组a h t a u b ( 1 0 2 ) 在1 9 4 8 年得到一些重要的基本理论l d l a n d a u 和e m l i f s h i t z ( 【4 7 】) 在其连续介质 力学一书中用一章专门来阐述相对论流体力学的基础 a l i c h n e r o w i c z ( 6 6 】) 于 1 9 6 7 年出版了他的专著相对论流体力学和磁流体力学一书，此书系统论述了相 对论流体力学的理论基础 s w c i n b c r g 在他的名著引力论和宇宙论( p l o ) 一 书中也有不少地方叙述相对论流体力学但真正对相对论流体力学的研究，起步却 较晚，直至1 9 7 0 年才举行了第一次关于相对论流体力学的国际研讨会此后的二 十多年中，随着相对论本身的深入研究和天体物理学，等离子物理及核物理等的发 展需要，这方面的研究才得到了相应的发展，并取得了重大的进展( 5 1 1 9 4 】) 由于多维相对论流体力学方程组形式较复杂，一直以来没有此方面比较系统的 理论成果相比之下，一些相对论流体力学方程组的简化模型则更受国内外研究者 的青睐，且已有一系列的研究结果，丰富了相对论流体力学理论，并为其进一步的 发展提供了启示 1 9 9 6 年，v p a n t ( i s 6 ) 考虑了相对论e u l c r 方程中质子数守恒和动量守恒方程 组成的方程组( 等熵流相对论e u l e r 方程) ： j 侥( 南) + 如( 南) = 。， i 侥，k 妫1 - v 迹2 乎、) - i - 如( 譬辔+ p ) _ 0 ， 其中p ，p 和口分别表示质量能量密度，压力，和粒子的运动速度，竹代表固有粒 子密度，即在随动的固有系中单位体积流体内粒子的个数，c 为光速他解决了此 方程组的r i e m a n n 问题和c a u c h y 问题，其中他取状态方程为 p ( p ) = k 2 p ，( 仡为声速) ， 且取光速c = 1 在2 0 0 4 年，g q c h e n 和y c l i ( 【1 9 】) 考虑了该方程组的整体 熵解，并得到了一类比较广的熵解类中的r i c m a n n 解的唯性和渐近稳定性之后 y c l i 和q s h i ( 6 3 】) 在2 0 0 5 年以 p ( p ) = k 2 矿，7 l ， 为状态方程，得到了上述方程组熵解的整体存在性2 0 0 5 年，l i 等 5 9 】利用g l i m m 格式得到了等熵的相对论e u l e r 方程组整体解的存在性2 0 0 6 年，y c l i 和y 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 5 傺高c 2 _ v 2 + 叫c g z ( ( p + p 南c ) c 一_ v 2 沪) = o , 川，l 侥( ( p 十矿) 南) + 岛( ( p + 矿) 南+ 0 = o ， 卜一纠 6 零压流相对论e u l e r 方程的r i e m a n n 问题及激波反射问题 1 1 3 平面激波的正规反射与m a c h 反射 激波反射问题不仅具有重要的物理意义，而且在多维守恒律的数学理论的研究 中也是很基本的上世纪到本世纪开始，双曲守恒律高维问题成为一个方兴未艾的 研究方向。世界上著名的数学家和力学家都投入大量精力研究非线性守恒律方程组 的高维问题其中最具代表性的足z h a n g 和z h e n g ( 1 1 6 ) 在1 9 9 0 年对二维e u l e r 方 程的r i e m a n n 问题的解提出的一套猜想及此方面的一些数值计算本文关心的是一 种激波反射问题在某种情况下，它是一种特殊的r i c m a n n 问题 当一个在一种具有给定声阻抗的介质中传播的斜激波遇到另一种介质，而这 两种介质具有不同的声阻抗，这时就会出现反射，也就是我们现在所说的斜激波反 射从物理上来说，激波反射现象的出现主要源于某些气体动力学现象，例如由爆 炸或由一高速飞行的射体所产生的冲击波，在它可以被看作平面波的那段距离上碰 撞障碍物当这个冲击波阵面沿障碍物表面的平面部分运动时，可以得到一个”入 射”冲击波和个”反射”冲击波阵面来描述的流动模型这种情况既为我们所说 的正规反射，从下面我们会看到还有许多其它类型的反射 第个发现并记录下来激波反射现象的人应该是著名的哲学家e r n s tm a c h 【7 1 ， 他早在1 9 7 8 就报告了他的发现在他这项先创性的实验研究中，记录了两种不同的 激波反射结构一种是我们现在所知道的正规反射，另一种则是一个三激波结构， 也就是现在众所周知的以他的名字命名的m a c h 反射遗憾的是他的发现在当时甚 至之后的6 0 多年中并未引起大家的关注，而直到1 9 4 0 年，y o nn e u m m m 和b l e a k n e y 才重新开始了这方面的研究在他们的带领之下，对拟定常流激波反射的方方面面 进行了1 5 年的深入研究正是在这段时间，四种基本的激波反射结构被发现了， 即正规反射( r r ) ，简单m a c h 反射( s m r ) ，复杂m a c h 反射( c m r ) 以及双m a c h 反 射( d m r ) ，见图1 1 在以后的研究中发现，m a c h 反射结构还可以被进一步细分为 更多特殊的波结构 ( a ) 正规反射( r r ) 2 0 0 8 上海大学博士学位论文7 ( b ) 简单m a c h 反射( s m r ) ( c ) 复杂m a c h 反射( c m r ) ( e ) 双m a c h 反射( d m r ) 图1 1 正规反射和m a c h 反射 v o nn e u m a n 的工作中一个著名的问题是几个悖论，被称为v o nn e u m a n 悖论 例如当一个弱入射激波打到一个小角度的倾斜面上时，在某些情况下，物理和数值 模拟中都出现了m a c h 反射，而同时又会出现正规反射等 对于激波反射的大部分基本问题的数学研究显得十分滞后，如它的整体结构， 稳定性以及不同激波反射结构之间的转换等等这主要是由于激波反射问题的极度 复杂性，例如对于非线性偏微分方程组( 如椭圆一双曲混合型方程组) 的分析所遇到 的极大挑战；角点的奇异性等等对于一些简化模型的激波反射问题在数学上已经 进行了一些尝试并取得了一定进展 k e l l e r - b l a n k ( 4 5 】) ，h u n t e r - k e l l e r ( 4 2 1 ) ，h u n t e r ( 4 l 】) ，以及m o r a w e t z ( 7 8 1 ) 等对于非定常跨音速小扰动方程( u t s d ) 进行了激波反 射的渐近分析的讨论，此外，c a n i e - k e y f i t z k i m ( 8 】) 对u t s d 以及非线性波方程组 8 零压流相对论e u l e r 方程的r i e m a n n 问题及激波反射问题 也进行了相关的研究2 0 0 6 年，z h e n g ( 1 1 7 ) 研究了压差方程的激波反射问题 为了处理反射问题，一些渐近方法也得到了发展l i g h t h i u ( 6 7 ，6 s 1 ) 对于楔角非 常小或者接近7 r 2 的情形讨论了激波反射问题k e l l e r - b l a n k ( 4 5 】) ，h u n t e r 。k e l l e r ( 4 2 1 ) 以及h a r a b e t i a n ( 【3 3 】) 则是假设在激波非常弱，以致于它的运动可以用声波来 近似的条件下研究了此类问题m o r a w e t z ( 7 8 】) 取入射激波的跳跃为一个小参数， 对一个弱入射激波和一个具有小角度的楔，用一些不同的缩放比例，混合型方程组 的研究，以及不同缩放比例的渐近性，探测了势流中激波反射模式的状态 s e r r e ( 【8 8 】) 对等熵可压缩流体的e u l e r 方程组进行了激波反射解的先验估计及一些相关 的讨论 2 0 0 6 年，c h e n 和f e l d m a n ( 【2 3 】) 研究了位势流方程 ， l 仇雪4 - d i v x ( p v z 圣) = 0 i 侥圣+ 丢l v 。圣1 2 + i ( p ) = k ， 厶 的激波反射问题作者采用了一种有力的数学方法把激波正规反射解的局部理论拓 展到了整体理论，得到了大角度时激波反射的整体存在性和稳定性并且当楔的倾 斜角钆趋向于丌2 时，此斜激波反射问题的解趋向于正激波反射的唯一解 迄今为止，激波反射问题虽已取得了一定进展，但关于此方面仍然有许多问题 有待解决，还需要大量工作 1 2本文的工作及论文的结构安排 本论文研究了两方面内容，其一为相对论e u l e r 方程中d e l t a 波及真空解问题， 其二为多方气体平面激波的正规反射问题 在第一章和第二章，我们首先介绍了双曲型守恒律方程的一些背景知识及基本 概念，继而分别对一维和二维双曲守恒律方程的一般理论做了简要的介绍，为后两 章的讨论作了准备、 在第三章，我们研究了相对论e u l e r 方程我们首先在第三节用特征线方法分 两种情况讨论了零压流体的相对论e u l e r 方程的r i e m a n n 问题，得到它的解有两种 情况：一种出现了d e l t a 激波；另一种包含两个接触间断，介于这两个接触间断之间 的是一个真空状态之后我们分别对等温流和多方气体详细研究了当压力消失时， 相对论e u l e r 方程中能量守恒和动量守恒方程组的r i c m a n n 解中d e l t a 激波和真空 状态的形成当压力消失时，只有两种情况发生t 一种为包含两个激波的r i e m a n n 解，趋于零压流相对论e u l e r 方程的一个d e l t a 激波解，介于两个激波之间的中间状 态的密度趋于一个形成这个d e l t a 激波的加权晶测度；另一种为包含两个疏散波的 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 9 r i e m a n n 解，趋于零压流相对论e u l e r 方程的包含两个接触间断的解，其中介于这两 个接触间断之闻的中间状态是一个真空状态这些结果说明零压流相对论e u l e r 方 程组的r i e m a n n 解中d e l t a 激波的出现源于一种集中现象，而其中的真空状态则源 于消失压力极限过程中的气穴现象；这二者在流体力学中都具有重要的物理意义 在第四章，我们研究了多方气体平面激波的正规反射问题利用广义特征分析 方法，通过力学关系的代数方程，得到了多方气体平面激波出现正规反射的一个修 正了的临界条件，它可以表示为关于临界入射角的一个关系式此外，我们发现这 个临界角要比角o z o = a r c o t ( 南鲁( 1 一磬) ) 。小正规反射中一个重要且很有意 义的问题是跨声激波( 反射激波后对应的去流是亚声的) 到超声激波( 反射激波后相 应的去流是超声的) 的转变我们得到了去流为声速的条件，它是跨声激波向超声 激波转换的临界条件 第二章守恒律方程的基本理论 作为后面几章的准备，本章在第一节和第二节分别给出了一维和二维守恒律方 程( 组) 的一些基本概念和理论，第三节介绍了r i c m a n n 问题及其研究现状本章的 主要概念和理论可参见【1 0 】，【2 8 】，【5 7 ， 9 6 1 ， 1 1 3 2 1 一维守恒型方程组 具有如下形式的一维空间的偏微分方程组 u t + ，( 仳) z = 0 ，( 2 1 1 ) 称为守恒型方程组，其中u = ( u l ，u 2 ，让。) 是关于t 和z 的礼维矢量函数，称 为守恒量，或状态变量，如流体动力学中的质量，速度能量等更精确点就是讹 是第i 个状态变量的密度函数屠u i ( x ，t ) d x 表示该状态变量在区间【x l ，x 2 】中t 时刻的总量我们称这个状态变量是守恒的是指：u i ( x ，t ) d x 关于t 是不变的 ，( 仳) = ( y l ( u ) ，丘( 让) ，厶( 钆) ) 为状态空间1 4 上一给定的光滑函数，称为流函数当 n = 1 时，( 2 1 1 ) 式即为单个守恒律守恒型方程组是由物理定律在任意两点x l 和 x 2 之间如下形式积分 丢( x , t ) d x - ，( 出“) ) - m 池) ( 2 1 2 ) 得到的 ( 2 1 2 ) 表示在区间p 1 ，z 2 1 中的总流量( 如质量，动量，能量等) 的变化仅 仅与两端点处的流量有关，这就是守恒的基础，其中，( u ( z 1 ，) ) 和i ( u ( x 2 ，t ) ) 分别 表示时刻t 在z l 和z 2 点的流入流出量 记 a ( u ) ：= d y ( u )( 2 1 3 ) 为，的j a c o b i a n 矩阵我们说方程组( 2 1 1 ) 为双曲型的，若a ( t ) 可对角化且具有 实特征值入l ( t ) ，a 2 ( u ) ，h ( ) ；若所有的特征值九( ) ，i = 1 ，n 互不相等时，则 称方程组( 2 1 1 ) 为严格双益型的 2 1 1特征线与简单波 非线性守恒律方程组( 2 1 1 ) 可写为下面的拟线性形式 u t + a ( t 1 ) = 0 ( 2 1 4 ) 1 0 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 若( 2 1 1 ) 是双曲型的，即a ( ) 可对角化记r ( u ) 为a ( u ) 的右特征向量组成的矩 阵及 a ( ) = d i a g ( ) 、l ( u ) ，a n ( 札) ) ， 则有 r ( u ) - 1 a ( u ) r ( u ) = a ( u ) 每个特征值凡( u ) 就决定了一特征方向n ( u ) ，并对应着一个特征场而每个特征方 向就决定了一类( 族) 盐线 q ：面d x = 扎( t ) ，江1 ，2 ，n ， ( 2 1 5 ) 我们把这族曲线称为方程( 2 1 4 ) 的第i 类( 族) 特征线每一类特征线覆盖整个( z ，t ) 的上半平面 对于一特定区域d 融，若t d 满足 v a 知r k 0 ，( 2 1 6 ) ( 这里v ( ) = ( 丽0 ，瓦0 ) ( ) ) 则称方程组( 2 1 1 ) 对于特征值a 知( 札) 是真正非线性 的若( 2 1 6 ) 对所有的k 都成立，则称方程组( 2 1 1 ) 是真正非线性的若 v a k “= 0 ， ( 2 1 7 ) 则称方程( 2 1 1 ) 对特征值a k ( u ) 是线性退化的 若u d 是( 2 1 1 ) 的一个c 1 解，d 为( z ，t ) 平面某区域光滑函数w ( u ) 被称 为是( 2 1 1 ) 的一个k - r i e m a n n 不变量若它满足 若在d 内的所有k - r i c m a n n 不变量为常数，则u 被称为七一简单波可以证明简单 波区域中的特征线为直线，且流动是连续的简单波分为稀疏波和压缩波穿过压 缩波时，不论是前向还是后向的，其直线族特征线是聚拢的；而穿过稀疏波时，其 直线族特征线是散开的 2 1 2 间断解与r a n k i n e - h u g o n i o t 关系 满足方程( 2 1 1 ) 的连续可微的解称为经典解一般来说，无论初值多么光滑， 方程( 2 1 1 ) 的经典解都不会是全局的，解都可能出现间断因此我们需要接受更低 的正则性要求的解由此提出了弱解的概念。 1 2 零压流相对论e u l e r 方程的r i e m a n n 问题及激波反射问题 定义2 1 当t 0 时，若对于v 庐四。( o ，o o ) xr 1 ) ，札满足 f o o ，十o o，十o o ( u t + f ( u ) o x ) d x d t 十 “o ( z ) 咖( z ，o ) d x = 0 ，( 2 1 8 ) j 0j 一 j 一” 则称让( z ，t ) 为方程组( 2 1 1 ) 的弱解，其中u o ( x ) = 似( z ，o ) ， 当解出现间断时，在间断面处不再按古典意义满足方程组( 2 1 1 ) ，而足满足一 定的间断面关系式，即r a n k i n e - h u g o n i o t 条件： 8 u 1 = 【，( t | ) l ，( 2 1 9 ) 其中8 = 万d x 是间断传播速度，m = u l 一缸，【，( 乱) 】_ f ( u 1 ) 一，( ，) 是量u 和，( “) 跨 过问断的跳跃度，u l 和嘶分别是间断两侧的解u l = u c z c t ) 一0 ，t ) ，u r = 乱( z ( ) + o ，t ) 若方程组在某区域足线性退化的，也就是v 入南( u ) r k ( u ) = 0 ，则k ( u ) 是肛 p d e m a n n 不变量表明札沿着笃掣= ( u ( ) ) ( u ( o ) = t l l ，旧 2 时，可能无解 若乱( z ，t ) 是方程( 2 。1 1 ) 的间断解，则应对于所有的熵函数，7 ( 札) 和对应的熵流函数 妒( t ) 在弱解的意义下满足 n ( u ) t + 妒( 乱) 。0 ， ( 2 1 1 4 ) 则称u ( z ，t ) 是方程( 2 1 1 ) 的满足熵条件的弱解( 2 1 1 4 ) 的弱形式为t 对于所有的 ( z ，t ) c 吾( 毫r + ) 且( z ，t ) 0 ，有 上上也( z ，。) 叩( u ( z ，) ) + 九( 。，。) 妒( 札( z ，。) ) 捌。o ( 2 1 5 ) 对于一个间断z = x ( o ，z 他) = s 满足下式 k l ( 牡f ) s k ( 蛳) ，( 2 1 1 6 1 入知( t 正r ) 8 入七十l ( 牡r ) ， 则称( 2 1 1 ) 的k 一激波满足l a x 几何熵条件( 2 1 1 0 ) 我们把满足间断条件( 2 1 9 ) 及熵条件的可容许间断称为激波对于熵条件( 2 1 1 4 ) 与l a x 几何熵条件有如下关系。若方程组( 2 1 1 ) 是严格双曲型方程组，它对于每 一个特征值是真正非线性的或者是线性退化的，且有严格的凸熵，则对于分片光滑 解在任一条间断线上，当u ，与u l 充分接近时，l a x 几何熵条件( 2 1 1 6 ) 与熵条件 ( 2 1 1 4 ) 等价 对于二维守恒律系统 在从初始值出发的解 2 2 二维守恒律方程 u t + ，( 札) + g ( u ) | ，= 0 ， ( 2 2 1 ) s ：妒( ，z ，y ) = 0 ， 的某个邻域内，若g r a d 0 ，且 i c t + ，( t ) 九+ g l ( u ) 九= 0 ， ( 2 2 2 ) ( 2 2 3