（计算数学专业论文）封闭腔内自然对流问题的高精度数值模拟.pdf

宁夏人学硕卜学化论文摘要 摘要 封闭腔内的自然对流是指封闭腔内壁面的温度存在差异，由浮升力产生的对流现象。通过对 封闭腔内自然对流的数值模拟可以解释许多自然流动现象，而且有关它自身流动的研究也已成为 流体力学的一个基本问题，同时在一些t 程科学和建筑领域，如太阳能集热、空气制冷、电子元 件散热、绕核反应、化工食品和冶金工程中都有广泛的应用。 对封闭腔内自然对流问题的研究一般可归结为求解不可压n a v i e r - s t o k e s ( n s ) 方程组的初 边值问题，有限差分法是最常用的方法之一。由于高精度紧致差分格式能够利用较少的网格点达 到较高的计算精度，因而达到提高计算效率的目的。因此，本文首先提出一种求解二维非定常不 可压涡量速度n a v i e r - s t o k e s 方程组的四阶隐式紧致差分格式：然后利用该格式对封闭方腔内的 自然对流问题进行数值模拟，考虑了三种不同边界情形：1 一个竖直壁面的热边界条件不同，其 余三个壁面热边界条件相同；2 温差在同一个竖直壁面体现，且温度呈止弦曲线分布，正弦曲线 的变化又分为上正下负与上负下正的情形；3 一个竖直壁面温度分别取恒温与线性变化。 通过研究可以得到如下结论： 对于第1 种情形，某一壁面的热边界取不同值时，腔内的流体流动和变化明显不同。右壁面 绝热时，底壁和顶部的换热率较小，而对丁没有绝热肇面的情形，上下壁面的换热率较大，并且 上下壁面的换热率严格依赖竖直壁面的热边界条件。 对于第2 种情形，取不同的p r 数、r a 数和高宽比a ，可以看出，p r 数对流体运动的影响并 不大：y 轴中心处的水平直线将整个区域分成冷热两个部分，等温线和流线都关于这条直线对称。 与上热下冷情形相比，加热部分在下时，换热率较高。a l 时，随着a 的增大，流动也逐渐加 强，流函数的最人值越来越大。a _ 7 x10 4 w h e nt h er i g h tw a l li sz e r o ，as e c o n d a r yv o r t e xw i l la p p e a ri nl e f ta b o v er e g i o ni fr a 1 0 5 k e y w o r d s ：n a t u r a lc o n v e c t i o n ；n a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s ；c o m p a c td i f f e r e n c em e t h o d ； h i g h a c c u r a c y ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 躲湘之田 帆冲月尹日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 导师签名： 、刃砀斓 时间：刎7 年月妒同 时间：年月同 宁夏人学硕l ：学位论文第一章绪论 1 1 研究的背景及意义 第一章绪论 当人们站在山顶或峡谷上面时，会感觉到从下而上的气流，即所谓的峡谷风。发生这种现 象是因为山或峡谷的坡面加热了上面的空气，被加热的空气在浮升力作用下顺着坡面向上流动， 形成了峡谷风。这是一种典型的由密度差( 浮升力) 驱动的流体流动，即自然对流。在海边，海面 的温度低于海面上空气的温度；炎热的夏季，太阳长时间的辐射会使地面的温度高于其上面的 空气温度，这都会产生自然对流现象。诱发自然对流的原因有多种，它们可以是温度差，也可 以是流体中化学组分的浓度差，或是不同的物理相态。 尽管温度、浓度和密度相差都可以引起流体的密度变化而产生自然对流，但在自然界温差 是一种最常见的驱动自然对流的因素。特别是对于热边界附近的流体，由于它与周围的流体存 在着温差，因而容易产生自然对流，例如上面提到的峡谷风。而与此相反的例子是冰块会引起 它周围的空气沿着其表面向下流动。 以上提到的例子都是外部流动，即流动是在开阔环境中发生的。然而，在现实的环境中， 流动往往受到边界的限制而表现为内流，如封闭腔内的自然对流。封闭腔体内的自然对流不仅 能模拟上面提到的许多自然流动现象，而且有关它自身流动的研究也已成为流体力学的一个基 本问题，同时在一些- t 程科学和建筑领域比如太阿i 能集热、空气制冷、电子元件散热、绕核反 应、化工食品和冶金工程中都会涉及到腔体内的自然对流问题，近二十多年来，对它的研究已 逐渐成为传热学领域热门的研究课题。 模型实验和数值模拟是研究方腔内自然对流问题常见的两种方法，后者以成本低、速度快、 资料完备且可模拟各种不同的情况等独特的优点，越来越受到人们的青睐，尤其随着计算机技术 的快速发展，数值模拟的可靠性和有效性也有了很大的提高。 1 2 国内外研究现状 对方腔内自然对流问题的数学描述一般都可以归结为不可压n a v i e r - s t o k e s ( n s ) 方程组。 一种经典的二维模型如图l ( a ) 所示，即上下壁面绝热，两侧墙存在温度差。这个方腔内的层 流流动，最早由v a h ld a v i s 1 】采用二阶中心差分方法求解，瑞利数( r a ) 达到了1 0 6 ；后来， s a i t c h 和h i r o s e t 2 】以及h o r t m a n n 等人【3 1 都对此问题做了进一步的研究。 但是，这一模型只适用于某一类问题，近几年来，很多科研j t ：作者又将研究的重点转向改 变模型上g a n z a r o l l i 和m i l a n e z t 4 l 研究了底部加热，侧墙为冷肇的自然对流问题，见图1 ( b ) ； a y d i n t 5 】数值模拟了一侧墒加热，项壁为冷肇的自然对流，如图l ( c ) 所示；s a n - i s 等人1 6 j 分析了 方腔内一壁面的温度呈止弦分布的情形，如图l ( d ) 所示；在他们的基础上，b i l g e n 和b e ny e d d e t a ；q 的模型选的是一侧壁上的温度早正弦变化的方腔，方腔的k 高比取不同的值；b i l g e n s l 的另一个研 究模璎是一侧鼙为热肇，并且上面置放一薄的导热片，导热片的位置和长度分别取不定的值； 宁夏人学硕f j 学位论义第帝绪论 b a s a k 等人1 9 】的文章中? 提到了两侧壁为冷壁，而地面为热壁，温度分别取为恒定和曲线变化的 方腔，如图l ( e ) 所示；s a t h i y a m o o r t h y 等人【lo 】对个或两个侧墙温度呈线性变化两种模型进 行了数值模拟，见图l ( f ) ；c o r c i o n e t i l l 研究了地面热、上壁面冷、两侧面温度处于不同状态的 六种方腔内的自然对流( 图2 ) 等掣1 2 - 1 3 。这些方腔内的流体一般为空气或水，然而也有很多研究 着手于一些特殊的流体或介质【1 1 3 1 ，也有的问题需要考虑磁场的影响【1 9 2 0 1 ，和三维问题【2 1 _ 2 3 1 。 然而在他们的研究中，采用的方法都是s i m p l e r 方法或有限元法，精度最高只能达到二阶。 ( b ) ( d )( e ) 图l 自然对流模型 图2 自然对流模型 2 宁夏人学硕f j 学位论文第一章绪论 在数值方法研究方面，传统的数值方法精度越高，利用的网格点数就越多，离散后得到的代 数方程组的阶数就越大，计算量就越犬。同时，为了保证整体精度，对边界点的处理也需用高精 度格式，这给计算造成很大困难。高精度紧致格式涉及到的网格基架点相对较少，却能达到较高 的精度，并且具有稳定性好和边界条件容易处理等优点，所以近年来倍受关注【2 ”3 1 。1 9 8 9 年， d e n n i s 和h u d s o n 【2 6 j 首次提出了一种九点模板的四阶紧致格式，求解了腔体左右壁面有温差的自 然对流问题，瑞利数计算到了l 旷；随后，g u p t a 2 7 1 利用四阶紧致差分格式求解_ 7 _ - - 维稳态不可压涡 量流函数n s 方程组，计算了驱动方腔问题但雷诺数只算到2 0 0 0 ；c h o o 和s c h u l t z 2 8 】也利用九 点模板的四阶紧致差分格式数值模拟了高瑞利数和小普朗特数的热腔问题，得到了较好的数值结 果；c h e n t 2 9 】和t i a n t 3 0 1 分别构造了求解对流扩散方程的四阶指数型紧致差分格式，同时将这种方 法推广到求解不可压涡量流函数形式的n s 方程组；李光正p l 】采用非定常不可压涡量流函数n s 方程组，采取时间分裂的四阶紧致差分格式，利用a d i 和s o r 方法对不同参数下的腔内自然对 流问题进行了数值模拟；王荆3 2 l 构造了求解二维非定常涡量一流函数形式n s 方程组的一种四阶 紧致a d i 差分算法，并对方腔内后台阶流问题进行了数值模拟；王向霞在她的硕士学位论文中f 3 3 1 ， 提出了涡量速度方程组的四阶紧致差分格式，并对驱动方腔、t a y l o r 涡和双剪切层等流动问题进 行了数值模拟。 1 3 本文主要工作 本文提出一种求解二维非定常不可压涡量一速度n s 方程组的四阶隐式紧致差分格式，并对 封闭方腔内的自然对流问题进行数值模拟。选用三种不同的情形：一个竖直壁面的热边界条件 不同，其余三个壁面热边界条件相同；温差在同一个竖直壁面体现，且温度呈正弦曲线分布， 正弦曲线的变化义分为上正下负和上负下正两种情形；一个竖直壁面温度分别取恒温与线性变 化。方程组中所涉及到的参数如普朗特数p r 、瑞利数r a 和方腔的高宽比a ，分别取不同值。通 过计算和观察流体流动与换热的变化规律，总结出这些参数或条件对流体运动状态的影响。 3 宁夏人学硕。f j 学化论文第二章二维非定常不可压n s 方程纽的高精度紧致差分方法 第二章二维非定常不可压n s 方程组的高精度紧致差分方法 流体的流动现象大量的存在于自然界及多种t 程领域中，如激波、水波运动、水击流动、不 可压缩高雷诺数下的h o p f 分岔、有湍流的流动、各种设备中存在的绕钝体的分离流动等等，对 其进行数学描述的方程均可以归结为不可压的n - s 方程组。因此不可压n s 方程组有着广泛的应 用从而受到科研工作者的普遍关注。其中原始变量法是最受欢迎的方法之一，但是采用这种方法， 速度分量同时出现在连续方程和动量方程中，导致了各方程错综复杂地藕合在一起；同时对流项 中非线性的量以及压力项的处理都给求解过程带来很大的困难。为此，各种非原始变量法应运而 生。涡量速度法和涡量一流函数法是西种典型的非原始变量法，它们成功地克服了这些困难，因 而备受研究者青睐。 对于涡量一流函数法，已经有很多高精度格式的研究报道，但该方法的缺陷是不能推广到三 维，因此，本文主要采用涡量速度方法。f a s c l i m l 首次提出了求解n s 方程组的涡量速度方法， 采用这一方法研究了稳态二维边界层问题，随后又用于研究三维空间边界层扰动问题的演化数值 实验；d e n n i s 等人【3 5 】利用该方法求解了驱动方腔流问题，雷诺数算到1 0 0 ，并将涡量一速度方法扩 展到了求解三维的稳态流问题中；f a r o u k 和f u s e g i 3 6 】采用有限差分方法研究了在正方形腔体内和 水平环形体中的自然对流和强迫对流问题；1 9 8 7 年，o r l a n d i f 3 7 j 结合场方程和边界条件，利用隐式 时间步法和交错网格技术及a d i 迭代方法去求解二维驱动方腔流和后台阶流问题。对驱动方腔流 问题，c u e v i r e m e n t e t 等人1 3 8 1 采用有限元方法离散涡量一速度方程，求解中他们将速度p i o s s o n 方 程利用二次有限元方法离散，而对涡量输运方程采用了线性有限元方法来离散，给出了r e 数为 1 0 0 和4 0 0 时的三维驱动方腔流问题的计算结果；l i u t ”】采用三维的涡量速度方法在交错网格方 法上对二维的驱动方腔的突起和振动两种情况进行了计算，对涡量运输方程，时间和空间均采用 两阶精度的显式差分格式，速度p o i s s o n 方程采用了一般化的极小残量方法( g m r e s ) 和不完全的 l u 分解预条件技术；m u m g e s a n 和y c 哪g 【加j 利用a d i 方法，将速度p i o s s o n 方程抛物化求解了 三维驱动方腔问题。另外涡量速度方法也被用来求解圆柱绕流等问剧o 。 二维非定常不可压涡量速度形式的n s 方程组可表示为 塑a t + u 罢+ y 罟y 珊c 豢+ 婴o y ，协尺口罢越a、a x | p 强 a 2 u a 2 ua w a x 2a a 】， a 2 va 2 va 矿 d x zo y 。强 塑+ u 翌+ y 塑：宴+ 竺 8 ta x8 ya x za y l 2 1 涡量运输方程四阶紧致格式 ( 2 1 ) 式可以写为 4 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) + = 击( 嘿+ 哦+ 彬) 一r 口以 ( 2 5 ) 令g = 击( 硌+ 嘿+ 形) 一砌取，则有+ 2 9 ；同时用数字o , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 分别 代表网格节点( 薯，乃) ，( 。，乃) ，( 玉，所+ 。) ，( 毛巾y j ) ，( 五，雌一) ，( 矗t ，乃+ - ) ，( 墨- ，y j + 一) ， ( 玉_ l ，乃一i ) ，( 薯+ l y j 1 ) 如图2 1 所示。为了书写方便起见，记伤= 仍一纺( 缈2 形，u ，y ，或p ) a f 一6 l 一3 图2 1二维窄问离散子域 壶( 4 喜嘭+ 粪嘭一2 眠) - 【i 1 ( 嘿+ 嘎+ 吼础口巳。+ 羔【( 暇+ 嘿) 麒 + ( u w x + 嘿) 盯】o + 丽h 2 【( 彬) 麒+ ( 形) r r - p r r a ( + ) 】o + 0 ( j l l 4 ) ( 2 6 ) 因为嘿+ 峨= 去( 叫，+ 暇。) 一等( u + ) + 。( 矿) ，利用( 2 1 ) 式 阡名四= ( 陟幺) x = 去r ( u w x + 矿晖+ w t ) 一r d 以一陟。】x 2 击( 叽+ 叽+ 略晖+ + ) 一砌一 = ( ) ，= 去( 呱+ 暇+ 彬) 一舶以一】r = 丙1 ( 以岷+ 【厂+ + + 形y ) 一r 口一w x a r 因此 十=u u x + 哪) 睨+ ( u 咯+ ) 孵+ 2 u w x r + u 2 + v 2 + u w 。x 十y 彬y 卜尺口( 【，9 肼+ 矿9 w ) 一( u w 0 h + ) 5 一 一 一 i 5 11 l 8 宁夏人学硕l j 学位论文 第- 二章二：维非定常不可席n s 方程纽的高精度紧致差分方法 嘿+ 哪= 去( ，+ 帆) 一芸 ( 叱+ 哪) + ( u g x 十叱) 既+ 2 u v 形x , l + 【，z 陟么+ 矿：陟o + u w o + y 形r 】+ - 譬r a ( u o x x + 矿9 肿) + 笔三( + ) ( 2 7 ) vo 又因为( 巳) 。= 去q ，一等。+ d ( 1 1 4 ) 利用( 2 4 ) 式，得 o x r r = ( 9 掰) j = ( u o + y b + 6 l 一幺7 ) f = u x o x + u 9 t x 七y x e y + v e 、了+ 9 一e 哪 则 ( 以) 。= l o , ，一等( 以+ u + 圪b + y + 艮一) 。 因此 击( 名+ 暇+ 彬) 】o - r a 巳。= z r l - - l r - 以( u o ，+ 。) 一面h 2 睨( 职以+ 哪) 又因为 + 孵( u 吮+ y 巧) + 2 u + u 2 阿幺+ 矿2 陟0 + u - 形t x + 矿形，】o + 等( u + 矿吼+ 羔( + ) 。 + _ h z r a 0 ( 以+ u + b + 矿一+ 艮) 。一篆q ，+ 譬r ( 2 8 ) z ，zr ( 呱+ 鸭) 泓+ ( u w x + 慨) 盯= ( + ) + ( + ) + 2 ( 以+ ) + 2 ( u x 陟r 肼+ 陟0 ) + ( u w 乞+ ) + ( u w 0 y y + y w 2 订) ( 2 9 ) 由( + ) = 一畋晖，( + ) 既= 畋哪得 ( + ) + ( + ) = 0 ( 2 9 ) 式可化为 ( u w 0 + y 坼) 麒+ ( u w - + y 孵) r r = 2 w x r ( u r + ) + 2 ( u x 陟么+ 巧0 ) 1 + 亩【( u 叱+ 阿r ) + ( u v x + ) 睨+ 2 喁 + u 2 + 矿2 + u w 。r + 形y 卜r 口( u + 矿) ( 2 1 0 ) 由于 6 + = ( + 钆) x = ( u o x + 哪+ 2 ) x 2 以+ u + 攻b + 矿+ 铅 所以涡量运输方程的四阶紧致差分格式为 1 去( 4 主髟十圭一2 眠) = 志( 砜暇，+ 圪既) _ 寺【叫x + j + 睨( u v x + r y e ) + 2 u v w x r + 【，2 + y 2 + 呱十形r 】。 一黑( 哦+ 嘿) o + 羔 + 岘“峨 + u x w x x + 以”等( 以柑+ 匕b + 如) o 一缸+ 警一孚+ 羔c 川 q - 。 空间导数采用二肿蝴腻时间导数删秘= 型髻笪黼到 毫群“町= 否4 彤町+ 否4 q _ 吖_ + f q - 2 鬈”：1 2 。+ ( 畚) 2 ( “2 + 曙) 一面h ( 【，。s + 砭t ) + 羔】 斗去( 4 砜砜) + 鲁( 4 昧+ 啉堋) + 丢( 扣盱2 聃 翟斗惫( 4 + 。) + 面h 2 ( 4 曙+ 砜k s + 圪吆) + 磊3 ( 秽h 矗虼- 2 p f ) 斗彘【4 盱咿鲁( 4 玩一啉一v , e 3 h2 q 吣2 啪 - 4 惫( 4 巩) + 嚣( 4 瑶榔，哪4 ) 磊3 ( 百h ) 2 ”2 聃 小鬲h + 砜m ，+ ) 】+ 惫 小熹【4 ( 吲堋3 + u 2 4 ) 】_ 惫吼 牡1 + 鬲h 陬+ 州巧，+ ) 】+ 惫 鬈k l 一面h 隅一州k ，+ 蚴一斋吼 ， 霹：一鬲8 h 2 弘篝 7 研= 嘉( 砜埘r ) 群= 番( 埘r ) 霹：一h 2 了( + 2 p r ) 2 r p r 2 、 ” 联= 丽h 2 ( i 1 + 2 p r ) g一：焉h2(2pr-huo)8 。 rp r 2 掣= 丽h 2 ( 2 p r - h v o ) = 丽h 2 ( 2 p r + h u o ) 掣= 丽h 2 ( 2 p r + h f o ) f 剃：下h 2 r a 瞄，盼1 + 4 砜( 矸州一2 喏+ l + 曰+ j ) + 巧，四1 + ( 鲻1 一铝1 ) + 拿( 3 一4 铭+ 盯1 ) 】 + 3 h r a s 品+ l h r ：z a ( 6 ；6 + 1 + 锯1 嘲r ，l + 1 ) - 等 4 u o ( o ；“嘲“蟛1 ) + 圪( g 州一g 州一谨+ 1 + 钟) 】 其中，雄 1 ，且系数a 肘1 ，b ”，c ”1 中的u ，v 均取第刀+ 1 时i 刚层上的值。共截断儇茬刀 o ( r 2 + h 4 ) 。 可以看出这是一个三层公式，必须先求出第一时间步的值。所以上述推导过程的最后一步， 须将时间项以向后差分”= ( 州一”) 0 ) + 0 0 2 ) 来代替，且令，z = 0 ，就得到了第一时间步 上的离散格式： 壹4 町：4 秽矽+ + 爿 ( 2 1 3 ) j = o 1 = o 4 = 1 2 。+ ( 畚) 2 ( 瞬+ 瑶) 一丧( u ，+ 屹) + i 4 h f 2 纠= 4 一面h ( 4 砜+ ) + 羔( 4 昧+ u ，+ 吃) + 石1 ( 再h ) 2 ( 五乩- 2 p r ) 4 = 4 一丽h ( 4 + 圪。) + 矗z ( 4 瑶+ k ，+ 圪吃) + 石1 ( 百h ) 2 ( j 1 1 - 2 p r ) 4 = 4 一丽h ( 4 一u ，) + 叁( 4 瑶一u ，一匕。) 一去( 畚) 2 ( j l l 砜+ 2 p r ) 4 = 4 一鬲h ( 4 一匕。) + 羔( 4 曙一k ，一匕。) 一丢( 缶) 2 ( j 1 1 + 2 p r ) 4 = 1 一鬲h 【4 ( v o + 砜) + ( k 3 l u 2 4 ) 】+ 稃h 2 砜 4 = l + 去【4 ( 一v o ) 堋，也。) 卜丽h 2 圪 4 = l + 鬲h 4 ( + ) 一( k ，+ 。) 】+ 毫i 圪 4 = 卜鬲h 【4 ( “v o ) 刈 卜u 2 4 ) 卜羔 宁夏大学硕 ：学位论文第二章二二维1 f 定常不可压n s 方程组的高精度紧致差分方法 磁= 一鬲4 h 2 研= 等 霹= 啬 ( h u o 一2 p r ) ( h v o 一2 p r ) 骘= 一丽h 2 ( 五+ 2 p r ) 霹= 一丽h 2 ( j l l + 2 p r ) ，1 = 等竽峨，观+ 4 ( 研一2 饿+ g ) + k ，叫。+ ( 纠。一晓，) + 2 f h ( o ) ，一晚) 】+ 3 h r a 研3 一h r z a ( 0 ；6 + 0 2 7 - 2 钝) 一百h 2 i r a 【4 u o ( e ； 一2 眨+ g ) + ( 熊+ 纠。) 】 2 2 速度方程四阶紧致格式 令厂一罟，则 塑8 x 2 + 器= 厂一；一= ，。a 】，2 一 由四阶紧致公式 其中 = u i - 了2 u o “+ o ( h 4 ) + o ( h 4 ) 将( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 式代入( 2 1 4 ) 得 老+1 + 管v 0 。 霹 1 + 管印 一2 t ：o + u 2 = 五+ o ( j i l 4 ) + o ( 矗2 ) 对其化简得 ( 1 + 西h 2 霹) 群+ ( 1 + 箬) 群= ( 1 + 西h 2 + 篙群) 五+ 。( 五4 ) 由于纠等) o + ，辞纠挈) o + 所以有 壶c 4 喜哆+ ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) u j - 2 0 咿厶+ 篙( 器h 2 2t 0 2 f ：，、o + 0 ) ( 2 1 9 ) 9 芦 宁夏人学硕十学位论文第一i 章二维非定常不口，乐n s 方程组的商精度紧致差分方法 壶c 嚆4q + 荟8 一2 0 u o ) 叫罟+ 箬磊+ 箬器”4 ，c 2 加， 又自于( 詈) o _ 篆一等( 万0 3 w ) o + 0 ) 壶( 4 喜嚷。u o ) = _ 篆+ 箬( 器) o _ 西h 2t 万0 3 w ) 0 】 眨2 ， 0 = ；3 w 一土( 塑+ 型翌+ u 塑+ 竺翌+ 矿堡) 一卫坠一砌盟( 2 2 2 1 ) 一：= 一一一一一-一叫卜一一1 卜，一i f 】一 ， o y 5 p r j o t o y矾强o x o yo yo yo y j pa x z o yo x o y 壶( 4 喜q + 粪一2 。) = 1 篆一鑫( 丽0 2 w + 瓦o u 瓦o w + u 翥 + 等器+ y 豢n 等c 淼小和c 器u 眨2 3 ， 4 喜+ 套枷邓帆+ 羔( 丽0 2 w + 石o u 瓦o w + u 罴 + 等等+ y 萨0 2 w ，0 - h 4 c 罴) o _ 争c 翥，。晓2 4 ， 对上式右端空间项利用二阶离散公式，对时间项利用秽”= ( 3 肿1 一锄”+ 矽”1 ) ( 2 f ) + 0 ( f 2 ) 离 散，可得( 2 2 ) 式时间二阶、空间四阶的紧致格式 荟8q 一尝( 嘭1 + 暇i + 4 呀1 ) + 羔既略1 + 4 ( 一2 + ) 】 + 彘( 3 嘭1 4 呢+ 嗡1 ) + 等r 口( g 一喏一0 2 + 1 + 睇“) ( 2 2 5 ) 其中 d o2 - 2 0 + 鬲n - ( 略1 + 瞩+ 1 ) 】 q = d 3 = 4 d 2 斗羔略1 d 3 = 4 + 鬲h 2 吲 d 5 = d 6 = 3 7 = 3 8 = 1 刀= 0 时 篆82 q = 一兰( 呜+ 畋+ 4 呜) + 羔 k 。吃+ 4 ( 叫一2 吲+ 列) 】 i o 宁夏人学硕i ：学位论文 其中 第二章二二维非定常不f n ，压n s 方程组的高精度紧致差分方法 + 旦4 * p r v , 2 4 一吧) + 等删6 2 一镤一眨+ 纠) ( 2 2 6 ) 4 = 4 一 皿= 4 + d 5 = d 6 = d 7 = 珐= 1 n - i 理可以得到( 2 3 ) 式速度矿方向上的四阶紧致格式 喜弓巧习h n + i + 暇1 + 4 啪一面h 2 略+ 4 u o ( 阡i , 州一2 + ) 】 一聂h 百3 ( 3 一4 嵋；+ 弼f ) + 等r 口( 钟+ 1 + g ”一2 鳝卅) ( 2 2 7 ) 其中 力= 0 时 其中 喜哆巧= 五h ( 呜+ 吆+ 4 睨) 一羔m ，吮+ 4 ( 1 + 暇2 w o ) 1 一羔( 嘭：卅) + 等州纠卅均 ( 2 2 8 ) 畈 限“ 嗓喝 加 q 、一 胁 i 3 _ b 睨 一r ：一，旦姗! 卯 略 时叫告嘲 加 ， =； 蝶 乓 旦嘶! 册弘 + 一 = 钳 扣 产 一 i i 乓 巨 岛驴 畋 限“ 旦姗咆 旷 e 2 吆 蚓唱 备岳母“ 叫 “ 咄 ：广 铲耻 宁夏人学硕 ：学位论文 第二审 二：维1 f 定常彳i 可压n - s 方程组的高精度紧致差分方法 2 3 温度方程四阶紧致格式 对于二维非定常对流扩散方程： 谚+ p ( 五y ) 峻+ g ( 五y ) 力口( 丸+ 幻) = f ( x , y ) 由文献【2 5 】，可得其紧致差分格式为 矽“彤”= 砂彤+ 哆川秽以+ c 时1 1 = o1 = oj = o 其中 鬈+ 1 = - - 2 0 + h 2 ( 露+ 云) 口2 - h ( p t 3 + 9 2 。) a + 6 h 2 w f ) i 4 州= 4 一h ( 4 p o + 3 a + p 2 3 + p 4 ) ( 4 a ) + h 2 ( 4 露+ 岛a 3 + 吼岛4 ) ( 8 a 2 ) + 3 h 2 ( 慨a - 2 ) ( 8 a r ) 4 州= 4 一h ( 4 q o + g l + 3 p 2 + p ”) ( 4 口) + j 1 2 ( 4 9 ；+ p o p l 3 + q 0 9 2 4 ) ( 8 0 c 2 ) + 3 h 2 ( h q o a - 2 ) ( 8 a r ) 管”= 4 + h ( 4 p o + 3 p 3 + p 4 l + p 2 ) ( 4 口) + 2 ( 4 露+ p o p l 3 - q o p 2 4 ) ( s a 2 ) + 3 h 2 ( 慨a + 2 ) ( 8 a t ) “= 4 + h ( 4 q o + 3 q 4 + p 1 2 + p 3 ) ( 4 a ) + h 2 ( 4 q o z + p o q l 3 + g o q 2 4 ) ( 8 a 2 ) + 3 h 2 ( h q o a + 2 ) ( 8 a t ) 管+ “ 定“ 霹 = l h ( 4 ( p o + g o ) ( 2 a ) - h ( q 1 3 1 - p 2 4 ) ( 8 口) + j i l 2 p o q o ( 4 a 2 ) = 1 + h ( 4 ( p o q o ) ( 2 口) + ( 9 1 3 + p 2 4 ) ( 8 a ) - h 2 p o q 。( 4 a 2 ) = l + h ( 4 ( p o + g 。) ( 2 口) - ( 吼3 + p 2 4 ) ( 8 口) + 2 p o q o ( 4 a 2 ) = l h ( 4 ( p o q o ) ( 2 口) + i i ( 9 1 3 + p 2 4 ) ( 8 a ) - h 2 p o q 。( 4 a 2 ) 砖= 一8 h 2 i ( a r )甜_ = 2 h 2 i ( a r ) 4 ”= h 2 ( h p o a - 2 ) ( 2 a r ) b ；= 谐( h q 、a - 2 ) ( 2 a r ) 霹= - h 2 ( h p o a + 2 ) ( 2 a t ) b ：= - h l ( h q o l o t + 2 ) ( 2 a t ) 4 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) q ”1 = j i l 2 ( 2 - h p ol a ) l ( 8 0 t r ) 曰= h 2 ( 2 - h q o a ) ( 8 a r ) o = | | 1 2 ( 2 + h p o a ) ( 8 a r ) o 一= h 2 ( 2 + h q o a ) ( 8 a t ) f “= - h 2 ( + 8 詹+ 1 ) ( 2 口) + n + 1 + 臂1 ) ( 4 a 2 ) ，= l 其截断误差是d ( f 2 + h 4 ) 。因此对温度方程( 2 4 ) ，只要令痧= 0 ，p = u ，g = v ，口= 1 ，f = 0 ， 就可以得到其时问二阶，空间四阶全隐紧致格式 q 卅够”= 够形+ 弓一够。1 ( 2 3 1 ) i = oj = o，。o 其中 g ：“= - 2 0 + h 2 ( 啄+ 吆) 一矗( u 3 - i - 吒。) + 6 2 r 】 钟”= 4 - h ( 4 u o + 3 u i + 3 + 虬) 4 + h 2 ( 4 u 0 2 + q 3 + 圪址4 ) 8 + 3 h 2 ( 办一2 ) ( 8 0 q ”= 4 - h ( 4 v o + 3 1 1 2 + 圪4 + k ) 4 + j i z 2 ( 4 瑶+ “k 3 + v o v 2 4 ) 8 + 3 h 2 ( h v o 一2 ) ( 8 0 1 2 宁夏大学硕十学位论文第：章二维1 f 定常不可，k n s 方程组的高精度紧致差分方法 曰= 4 + h ( 4 u o + 3 + 以l + ) 4 + h 2 ( 4 瑶一u 3 一。) 8 3 j i i 2 ( j j i + 2 ) ( 8 r ) 曰= 4 + ( 4 + 3 圪+ k 2 + h ) 4 + h 2 ( 4 曙一砜k 3 一4 ) 8 - 3 h 2 ( h v o - 2 ) ( 8 r ) g ；”= i 一五( + u o ) 2 一 ( k 3 + 4 ) 8 + h 2 u o z o 4 g ：“= 1 + h ( u o v o ) ：z + 五( k 3 + 4 ) 8 一h u o z o 4 g ；”= l + h ( u o + z o ) 2 一h ( k 3 + 畋4 ) 8 + h 2 u o z o 4 q “= 1 一 ( 一v o ) 2 + 办( 巧3 + u 2 4 ) 8 一h 2 u o z o 4 日= - 8 h 2 r - - 1 = 2 h 2 r 研= h 2 ( j l l 砜一2 ) ( 2 0茸= h 2 ( 2 一h u o ) ( 8 r ) 卅= h 2 ( h z o 一2 ) ( 2 0 - - 1 = 2 ( 2 - h v o ) ( 8 r ) 月? = 一h 2 ( h u o + 2 ) ( 2 f )骂= h 2 ( 2 + j i l 砜) ( 8 0 川= 一h 2 ( + 2 ) ( 2 0q - 1 = h 2 ( 2 + h v o ) ( 8 r ) 其中，甩 1 ，且系数g 肘1 ，日4 ，f 叫中的u ，v 均取第彪+ 1 时间层上的值。其截断误差为 o ( r 2 + h 4 ) 。 同理，上述推导过程的最后一步，须将时间项以向后差分”= ( 肘1 一矽”) ( f ) + d ( f 2 ) 来 代替，且令刀= 0 ，就得到了第一时间步上的离散格式： s4 q 彰= 矽矽 ( 2 3 2 ) j = oy = o 其中 瓯= - 2 0 + h 2 ( 职+ 喀) 一矗( u 3 + 圪。) + 4 j | i 2 r 】 q = 4 - h ( 4 u o + 3 u i + 3 + u ) 4 + h 2 ( 4 明+ u 3 + u 2 。) 8 + h 2 ( u o 一2 ) ( 4 r ) 叫= 4 - h ( 4 v o + 3 圪+ 4 + k ) 4 + 2 ( 4 曙+ k 3 + z o z 2 。) 8 + h 2 ( h z o - 2 ) ( 4 0 d = 4 + h ( 4 u o + 3 + 玑+ ) 4 + h 2 ( 4 螈一砜u 3 一4 ) 8 - h 2 ( j i l u o + 2 ) ( 4 0 g 1 = 4 + h ( 4 v o + 3 v 4 + k 2 + v 3 ) 4 + h 2 ( 4 曙一k 3 一匕4 ) 8 - h 2 ( h z o - 2 ) ( 4 r ) q = 1 一h ( z o + u o ) 2 一 ( k 3 + 叱) 8 + h 2 u o v o 4 q = l + h ( u o v o ) 2 + ( k 3 + 4 ) 8 一h 2 u o z o 4 q = 1 + j l l ( u o + v o ) z 一i l ( k 3 + 4 ) 8 + h 2 u o z o 4 g ：= 1 一 ( + v o ) 2 + h ( v , 3 + 4 ) 8 一h 2 u o v o 4 h ：= - 4 聍| t 研= h 2 ( 五u o 一2 ) ( 4 0 h ! = h 2 ( h z o - 2 ) ( 4 r ) 掣= 一h 2 ( j j l + 2 ) ( 4 0 h o = - h 2 ( h z o + 2 ) ( 4 0 1 3 宁夏人学硕二 ：学位论文第二：章二维1 f 定常f i 町展n s 方程纠l 的高精度紧致差分方法 2 4 边界条件离散 下面给出下一章数值模拟过程中所用到的涡量和温度的边界条件。对于涡量，采用文献 3 3 】 中提出的四阶精度离散格式，即涡量的左边界、右边界、下边界和上边界的高精度差分格式分别 为 h ( 3 一4 彬+ ) = 8 v , - v , + 伙j | 1 4 ) h ( 3 f r o 一4 彤+ ) = - 8 v , + k + 0 ( j j l 4 ) h ( 3 w o 一4 磁+ ) = 8 u 一址+ d ( 4 ) j l l ( 3 一4 嘭+ ) = 一7 + 8 u - u , + d ( j l z 4 ) 对于绝热壁面的温度边界条件，采用虚边界条件： 晓l = ( 一3 0 0 + 6 0 , 一0 0 2 乏ii 1 么 012 图2 2 边界条件的离散区域 其中，1 ，o ，l ，2 如图2 2 所示 1 4 宁夏人学硕i ：学位论文 第三章自然对流问题数值模拟 第三章自然对流问题数值模拟 本章我们采用了第二章提到的涡鼙速度方法，对计算区域进行等距剖分，模拟了不同普朗特 数p r 、高宽比a 及瑞利数r a 下，各种模型的流体流动情形。对于边界处温度和涡量的处理，也 采用文中推导的四阶格式。同时，通过以下两个公式来计算不同情形的局部奴塞特数n u 和平均 奴塞特数而： n u = 一要 而= l n u d ) 【 或而= f n ud y a n 由b 另外，我们定义出无量纲的流函数： u ：型，v ：一翌 a y 计算并给出了不同情形的流函数变化曲线、等温线和涡量等值线。 3 1 一个竖直壁面热边界不同 对于一个高宽比为0 5 的方腔，内部充满空气( p r = 0 7 1 ) ，底部和左壁受热( t h ) ，顶部为冷 壁( t c ) ，如下图所示。对于右壁，我们假设不同的儿种加热情形：( 1 ) 右壁绝热( h a ) ；( 2 ) 右壁为冷壁( h c ) ；( 3 ) 右壁也受热( h h ) 。 ( a ) h a 型( b ) h c 型 图3 1 物理模型 1 5 宁夏大学硕f j 学位论文第三章自然对流问题数值模拟 ( a ) ra = 1 0 3 时h a 型的等温线和流线图 ( b ) ra = 1 0 4 时h a 型的等温线和流线图 ( c ) r a = 1 0 5 时h a 型的等温线和流线圈 ( d ) ra = 1 0 6 时h a 型的等温线和流线图 图3 2g a = 1 0 l 1 0 6h a 型的等温线和流线图 ( a ) r a = 1 0 3 时h c 型的等温线和流线图 1 6 宁夏大学硕i j 学位论文第j 章自然对流问题数值模拟 ( b ) r a = 1 0 4 时h c 型的等温线和流线图 ( c ) r a = 1 0 5 时h c 型的等温线和流线图 ( d ) r a = i0 6 时h c 型的等温线和流线图 图3 3r a = 1 0 3 1 0 6h c 型的等温线和流线图 ( a ) r 铲1 0 3 时h h 型的等温线和流线图 ( b ) r a = 1 0 4 时h h 型的等温线和流线图 1 7 宁夏大学硕l j 学位论文第三奄自然对流问