（计算数学专业论文）中心自同构的一个推广.pdf

摘 要 i 中心自同构的一个推广中心自同构的一个推广 作者简介：胡珍真，男，1985 年 2 月生，师从成都理工大学魏贵民教授， 2010 年 06 月毕业于成都理工大学计算数学专业，获得理学硕士学位。 摘摘 要要 对自同构群的研究是群论研究的重要课题， 目前国内外有大量相关论文及专 著，其中包括对自同构群自身性质的研究，以及给定一类特殊的自同构群由此确 定所求群的结构。 群的中心是群的一类特征子群，中心自同构是自同构的子群，本文即以此为 出发点，在中心自同构的定义中将中心推广到特征子群，进而提出特征自同构的 概念 。 本文主要从中心自同构引出特征自同构的概念， 进而通过一群作用探讨其性 质。主要结论可概括如下： 定义定义 3-1-1： 设g是群,hcharg,( )aut g,若 1 g gh ，gg .则称 为g的h 自同构，不区分h的情况下统称为特征自同构。 例例 3-1-1 9 z的中心自同构群即为其自同构群 6 z, 取h6, 3, 0 ，则 9 z的 h 自同构为 3 z。 推论推论 3-1-1：设g为群， 1 ,h charg 212 ,h charg hh则 1()aut g h 2()aut g h。 例例 3-1-2:设g 27 z 26,25,24,23,22,21,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 , 0 , 1 h18, 9, 0 ， 2 h24,21,1815,12, 9 ,6, 3, 0 ，由引理 1827) (zzaut ,17,16,15,14,13,12,11,10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 , 0 ， 其中 j代表自 同 构 i i j 2， 27 zi， 18 zj。 可得 )(1 27 zaut h12, 6, 0 3 z， )(2 27 zaut h 16,14,12,10, 8, 6, 4, 2, 0 9 z。 成都理工大学硕士学位论文 定理定理 3 3- -2 2- -1 1: :设g为群,hcharg则 () ( )/(/) aut g aut ghaut g h. 特别地取( )hz g,得 () ( )/ aut g aut gc同构于(/( )aut g z g一子群, 即同构于( )aut inn g一子群。 定理定理3 3- -2 2- -2 2设群 n zg 3 ，特征子群| h i 3，则 i n zh zaut 3 )( 3 关键词：关键词：中心 特征 同构 作用 abstract iii a generalization from central automorphism introduction of the author: hu zhenzhen, male, was born in february, 1985 whose tutor was professor wei guimin. he graduated from chengdu university of technology in applied mathematics major and was granted the master degree in june, 2010. abstract the study of the automorphism group is an important research subject of group theory .at home and abroad a large number of relevant papers and monographs had appears, including the automorphism group of its own properties, and given a special kind of automorphism group of this group to determine the structure of demand. the former, such as 11 zhou zhongli, qi lili, wen jianwei. circle cn the automorphism group of j, chengdu university of technology ,2007,689-691, of 12 shao mingwen. p 5 bands from the same group automorphism group order (1-5) d, guangxi university, masters thesis, 2002; the latter can be seen in 13 zhang liang cai .on the automorphism group equations | aut (g) | = 6r 2 d, southwest china normal university, masters thesis, 2003. the center of a group is a class of feature subgroup, the center automorphism is a subgroup of the automorphism, this is the starting point, in the center from the center of the same structure definition will extended to the characteristics of subgroups, and to make the concept of h automorphism . the center can be seen from the literature of the same structure: 1 atyar m son central automorphisms that fix the center element-wisejarchmath，2007，89：296-297 2 yadav m kon central automorphisms fixing the center element-wiseeb ol(2008-03-28) 3 robinson d j sa course in the theory of groupsmnew york-heidelberg-berlin：springer-verlag，1982 4 curran m j，mccaughan d jcentral automorphisms that are almost innerjcommalgebra，2001，29(5)：2081-2087. this article leads from the center automorphism and give feature automorphism concept .further explore the nature of the role by a group act .let g is a 成都理工大学硕士学位论文 iv group,hcharg.if 1 g gh ,gg ,we name as h automorphism of g.this definition is the development from central automorphism.writing allh automorphism as ()aut g h.gave a theorem that () ( )/(/) aut g aut ghaut g h through a action from aut(g) on /g h. keywords: central characteristic isomorphism action 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 成都理工大学 或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的人员对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 成都理工大学 有关保留、 使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和 借阅。本人授权 成都理工大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在解密后适用本授权书） 学位论文作者签名： 学位论文作者导师签名： 年 月 日 第 1 章 引 言 1 第第 1 章章 引言引言 1.1 选题依据及国内外研究现状选题依据及国内外研究现状 有限群是代数学的一个古老的分支，它有十分悠久的历史。它是由解代数方 程的需要，也就是由伽罗瓦()galois理论的需要而产生的，并且首先是由置换群 发展起来的。十九世纪初，伽罗瓦解决“五次方程能否用根式解”的过程中，就 创造了“群” 、 “域”这样的代数体系。群在数学本身以及现代科学技术的很多方 面都有广泛的应用。诸如理论物理、量子力学、量子化学、结晶学以及密码学、 系统科学、数理统计等领域都有着广泛的应用。在群论的众多分支中，有限群论 无论从理论本身还是从实际应用来说都占据着更为突出的地位。同时，它也是近 年来研究最多、最活跃的一个数学分支。抽象代数研究的对象是代数系，是由非 空集合和定义在该集合上的一种或若干种满足一定规则的运算所构成的系统。 那 么对于群，简言之是对运算满足闭合律、结合律、单位元素和逆元素这些定律的 代数系。在爱丁堡举行的国际数学会上由维兰德(h.wielandt)作的题为有限群 构造之发展的报告，以及由居里亨在全苏第三届代数会上作的题为近年来有 限群发展的若干方向的报告，并由胡佩特(b.huppert)的巨著endliche gruppen ，都足以证明有限群研究的盛行。人们发现构成群之特殊材料（置换这个概 念）并不重要，而只需要注意一集合里面所定义的代数运算这个性质的探讨。正 是这样一种发展， 才使得有限群的一般理论得以建立在公理基础之上而变得严谨 且清晰，并有利于这一理论的进一步发展。1868-1869年间，若尔当( .)c jordan在 物理学家布拉维斯( .)abravais关于运动群的理论的启发下， 开展了无限群的系统 研究。若尔当的工作又影响到克莱因( .)f klein关于几何分类中的无限变换群的 研究。1874-1883年间，挪威数学家李( .)s lie又研究了无限连续变换群。群这一 理论的研究仅在第二次世界大战后期几年中断过，但不久又恢复了它的活跃力， 现在人们对有限群反而更重视。 时至今日， 群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念 之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数 学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算 术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等， 并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都 成都理工大学硕士学位论文 2 有重要的应用。作为推广“群”的概念的产物：半群和幺半群理论及其近年来对计 算机科学和对算子理论的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研 究，已在迅速地发展。 近代数学的思想方法、 观点和结论正在深入地渗透进自然科学和社会科学的 众多的理论分支，这是因为各门学科越来越走向定量化，越来越需要用数学来表 达其定量和定性的规律，并且运用数学的方法和成就来加速自身的发展。由于客 观世界普遍存在各种各样的对称性，而群论正是描述，反映和研究对称性的数学 武器，因此从其诞生至今，就存在一个由纯粹数学领域扩展到其它自然科学领域 的有趣现象。1890年1891年，费德洛夫和熊夫利用群论方法系统解决了晶体结 构分类问题，证明了具有周期性排列的空间点阵总共有230种，使人大开眼界。 群对称是现代数学的灵魂，而研究群对称的基本工具是群表示论。从现代代数学 的观点来看，研究一个代数结构，除了直接了解其内部构造和性质外，有效的方 法是让这个代数结构（例如群或域上的代数） “作用”在另一个相对简单的结构 上（例如集合或向量空间） ，通过考察这种作用的效果而达到理解这个代数结构 本身的目的。这一想法就是表示论的原始思想。它在后来的发展中如此重要和富 有成果，以至于现代表示论不仅以其优美在数学的众多分支中的应用而别具魅 力，而且在自然科学与技术领域里都有广泛的应用。群最初是作为研究对称性这 样一个现实世界的重要规律的工具而产生并发展起来的。 这可以溯源到伽罗华理 论，人们发现用这一理论解决高次方程的根能否用根号表示的关键，乃是方程的 根的平等性与对称性。 自然科学的其它部门如几何学、 物理学、 结晶学、 化学等， 也不断的要求用群论这一工具去解决各自的有关对称规律的研究， 这又促成群论 的诸分支的形成。费德洛夫群（规则系统理论）便是明显的一例。当群论系统地 发展起来之后，它的概念与方法便不仅对于对称规律、而且对于其它许多问题的 解决，也具有重大的意义了。 对自同构群的研究是群论研究的重要课题， 目前国内外有大量相关论文及专 著，其中包括对自同构群自身性质的研究，以及给定一类特殊的自同构群由此确 定所求群的结构。 前者如文献11周仲礼 ,齐丽丽, 文建伟 .圈 cn 的自同构群j, 成都理工大学学报，2007，689691，12邵明文.p5 阶群的自同构群的阶 （15）d,广西大学硕士论文，2002；后者可见文献13张良才.关于自同构 群方程|aut(g)|=6r2d,西南师范大学硕士论文，2003. 群的中心是群的一类特征子群，中心自同构是自同构的子群，本文即以此为 出发点，在中心自同构的定义中将中心推广到特征子群，进而提出h 自同构的 概念 。 对中心自同构的探讨可见文献: 1 atyar m s on central automorphisms that fix the center element-wisejarchmath，2007，89：296-2972 yadav m kon central automorphisms fixing the center element-wiseeb 第 1 章 引 言 3 ol (2008-03-28) 3 robinson d j s a course in the theory of groupsm new york-heidelberg-berlin： springer-verlag， 1982 4 curran m j， mccaughan d j central automorphisms that are almost innerj comm algebra， 2001， 29(5)： 2081-2087 1.2 本文的研究思路及研究内容本文的研究思路及研究内容 自同构群是有限群论中最基本的概念，其本身具有很多重要而有趣的性质， 并且自同构群的研究对原始群的性质有很好的反映。 本文即从自同构这一概念出 发，通过群作用的运用得到一些结论。具体分析如下： 群作用是群论研究中一基本手法，对群的结构及性质研究有重要运用。在群 作用的运用中，通过选取不同的施加相应作用可得到sylow定理，置换表示， 转移及burnside定理等基本而重要的结论。其中取| a pmgm，作用 为右乘变换可得sylow定理，取为h的所有右陪集的集合，作用为右乘变换即 得置换表示， 取 /hh， 适当选取作用可得转移这一概念并可完成burnside 定理的证明。 本文取/g h ， 将映射( ) ：;,xhx h 施加在aut(g) 上展开讨论。 本文的主要内容是特征自同构的概念以及相关定理和推论，具体可概括如 下： 定义 3-1-1： 设g是群,hcharg,( )aut g,若 1 g gh ，gg .则称 为g的h 自同构，不区分h的情况下统称为特征自同构。 推论 3-1-1：设g为群， 1 ,h charg 212 ,h charg hh则 1()aut g h 2()aut g h。 定理 3-2-1: :设g为群,hcharg则 () ( )/(/) aut g aut ghaut g h。特别地取 ( )hz g,得 () ( )/ aut g aut gc同构于(/( )aut g z g一子群,即同构于( )aut inn g 一子群。 由 ()aut g h为aut(g)的正规子群，注意到推论 1 中 12 hh等同于 1 h 2 h， 推论 3-1-1 可改为：设g为群， 1212 ,h charg h charg hh，则 1()aut g h 2()aut g h 总结起来本文从中心自同构引出特征自同构的概念， 进而通过一群作用探 讨其性质。设g为群，hcharg。,gg 若有 1 g gh ， aut g，则称 成都理工大学硕士学位论文 4 为g的h 自同构， 不区分h的情况下统称为特征自同构， 记全体h 自同 构为 ()aut g h。 由aut(g)到/g h上的一作用给出定理:商群 () ( )/ aut g aut gh同构 于(/)aut g h一子群。 第 2 章 预备知识 5 第第 2 2 章章 预备知识预备知识 2.1 符号与术语符号与术语 本文采用通用的一记号，为了叙述的方便和统一，特将文中所用的一些符号 作如下说明： g 总表示一个有限群 g 表示g的阶 )(ao 表示元素a的阶 gexp 表示g的方次数 gn 表示n是g的子群 gn 表示n是g的真子群 gn 表示n是g的正规子群 gcharn 表示n是g的特征子群 kh 表示h和k的直积 ng 表示g关于正规子群n的商群 hg: 表示子群h在g中的指标 g 表示g的换位子群 )(gz 表示g的中心 )(hng 表示群g中h的正规化子 )(hcg 表示群g中h的中心化子 n s 表示n次对称群 n a 表示n次交代群 p z 表示p阶循环群 )(gsylp 表示g的sylowp子群集 )(gend 表示g的全体自同态组成的集合 成都理工大学硕士学位论文 6 )(gaut 表示g的自同构群 )(ginn 表示g的内自同构群 1 gg 表示g与 1 g同构 1 gg 表示g与 1 g同态 2.2 群的相关定义群的相关定义 定义定义 2 2- -2 2- -1 1 8 称非空集合g 为一个群，如果在g中定义了一个二元运算， 叫做乘法，它满足： (1) 结合律：()(), , ,ab ca bc a b cg； (2) 存在单位元素：存在1g，使对任意的ag，恒有11aaa； (3) 存在逆元素：对任意的ag，存在 1 ag ，使得 11 1aaa a 。 定义定义 2 2- -2 2- -2 2 8 称群g 的非空子集h为g的子群，如果 21 ,hh hh 。这 时记作hg。 定义定义 2 2- -2 2- -3 3 8 使群g 之每元x对应于 1 g xg 的映射（即 1 xg xg ） 是g的 一个自同构， 叫做由元g诱导的内自同构， 一般表为 g i， 即 1 g i xg xg ， 而叫 1 g xg 为用元g变x的形。 定义定义 2 2- -2 2- -4 4 8 设g 是群，h是g的子集，gg，若 g hh，则称元素g正 规化h，而称g中所有正规化h的元素的集合()| g g nhgg hh为h在 g中的正规化子。由若元素g满足对所有hh恒有 g hh，则称元素g中心化 h，而称g中所有中心化h的元素的集合()|, g g chgg hhhh 为h 在g中的中心化子。并规定( )( ) g z gc g，并称之为群g的中心。 定义定义 2 2- -2 2- -5 5 8 称群g 的子群n为g的正规子群，如果, g nngg 。记 作ng。 定义定义 2 2- -2 2- -6 6 8 只有平凡正规子群的群叫做单群。 定 义定 义 2 2- -2 2- -7 7 8 设g是群，ng，我们研究n的所有陪集的集合 第 2 章 预备知识 7 |gng gg。 定 义g中 的 乘 法 为 群 子 集 的 乘 法 ， 即 2 ()()()()ng nhn gn hn ng hn ghngh，则我们有g对乘法封闭，并且组成 一个群，叫做g对n的商群，记作gg n。 定义定义 2 2- -2 2- -8 8 8 设群g 之二子群,a b满足： （i）,ag bg （ii）gab （iii）1ab 这三个条件时叫g为a与b的直积，记为ga b。 定义定义 2 2- -2 2- -9 9 8 称群g 的子群h为g的特征子群， 如果,( )hhaut g 。 这时记作hcharg。 定义定义 2 2- -2 2- -1010 8 称群g 为特征单群，如果g没有非平凡的特征子群。 定义定义 2 2- -2 2- -1111 8 仅由一个元素a 生成的群ga 叫做循环群。 定义定义 2 2- -2 2- -1212 8 设 p为素数。称群g的元素a为p元素，如果( )o a是p的方 幂；而称a为p元素，如果( ( ), )1o ap 。 定义定义 2 2- -2 2- -1313 8 称群g 为p群，如果g的每个元素皆为p元素。 定义定义 2 2- -2 2- -1414 8 称 p群s为群g的sylow p子群，如果s是g的极大p 子群，即不存在g的p子群 1 ss。 定义定义 2 2- -2 2- -1515 8 设g 为任意群，, a bg 。我们规定 11 , a ba b ab ，叫做素 数a和b的换位子。再令,| ,ga ba bg ，称为g的换位子群或导群。 定义定义 2 2- -2 2- -1616 8 称群g 为可解群，如果存在正整数n使 ( ) 1 n g。 定义定义 2 2- -2 2- -1717 8 设 g是有限群，( ) p psyl g。如果g有正规子群n，满足 1,npnpg，则称g为p幂零群，而称n为g的正规p补。 定义定义 2 2- -2 2- -1818 8 设 , , , 是一个非空集合， 其元素称作点。s表示 上的对称群。所谓群g在上的一个作用指的是g到s内的一个同态。即对 成都理工大学硕士学位论文 8 每 个 元 素xg， 对 应上 的 一 个 变 换( ): x x， 并 且 满 足 (), , xyxy x yg；或者()( ) ( ), ,xyxy x yg。如果1ker，则称 g忠实地作用在上， 这时可把g看作上的变换群。 而如果kerg， 则称g 平凡地作用在上。 定义定义2 2- -2 2- -1919 8 设群g 作用在集合上，则对每个 ， | x gxg是g的子群，叫做点的稳定子群。 定义定义2 2- -2 2- -2020 8 设群g 作用在集合上，称二元素,为等价的，记作 ，如果存在gx，使 x 。关系“”是上的等价关系。对“” 的一个等价类叫做g在上的一个轨道（传递集）。一个轨道所包含的元素个数 叫做该轨道的长。对于，令：|gx xg 则 g 是包含点g的轨道。 定义定义2 2- -2 2- -2121 8 如果g 在上只有一个轨道，即本身，则称g在上 的作用是传递的。这时也称g所对应的上的变换群是传递的。 定义定义2 2- -2 2- -2222 8 设g 是= 1,2, n上的传递置换群，它对点1的稳定子 群1 1 g，但只有单位元素才有两个以上的不动点，这时称g为frobenius 群。 g中变动每个点的元素称为正则元素。 frobenius 群的另一定义： 如果g的非平 凡真子群h 满足：gg 且hg ， 有1hgh ， 则h是g的frobenius 补， g为frobenius 群。 定义定义2 2- -2 2- -2323 8 设 n是群g的子群，称n在g中有补，如果存在g的子群k 使gnk，并且1nk 。这时k叫做n在g中的补群。 定义定义2 2- -2 2- -2424 8 设g 是群，gm ，称ggmmmm gg ,| 为m 在 g中的正规闭包， g m是g的包含m 的最小正规子群。 定义定义2 2- -2 2- -2525 8 称保持运算的映射:g 1 g为群g到 1 g的一个同态映射， 如果是满（单）射，则称为满（单）同态；而如果是双射，即一一映射，则 称为g到 1 g的同构映射。这时称群g和 1 g同构，记作g 1 g。 第 2 章 预备知识 9 定义定义2 2- -2 2- -2626 8 群g 到自身的同态与同构叫做群g的自同态和自同构 定义定义2 2- -2 2- -2727 8 对于g g，由 gg aa )( 规定的映射(g) :g g是g的 一个自同构，叫做由g诱导出的g的内自同构，g的全体内自同构集合inn(g)是 aut(g)的一个子群。 定义定义2 2- - 2 2- -2828 8称aut(g) inn(g)中的元素为g的外自同构，而称aut(g) /inn(g)为g的外自同构群 定义2-2-29定义2-2-29 8 设 ( )aut g,满足 1 ( ), gg z ggg 则称为g的中心 自同构。全体中心自同构成群，记作 ()aut g c。 2.3 相关相关引理引理 引理引理 2 2- -3 3- -1 1 8 （lagrange 定理）设g 是有限群，h g，则|g| h| g : h|。 引理引理 2 2- -3 3- -2 2 8 设g 是群，如果 expg = 2，则g是交换群。 引理引理2 2- -3 3- -3 3 8 设g 是群， h 和k 是g的有限子群，则： |k h | =|k| h |/|k h | 引理引理2 2- -3 3- -4 4 8 8 设g 是有限群，h g, , k g ，则： （1）|h,k : h|k : hk|； （2）|g : h k|g : h|g : k| ； （3）若|g: h | 和|g : k | 互素，则： |g: hk | = |g : h |g : k| ，并且此时有g = h k 。 引理引理2 2- -3 3- -5 5 8 循环群的子群仍为循环群。 无限循环群 z 的子群除1以外都是 无限循环群，且对每个s，对应有一个子群 s a。有限n阶循环群 n z的子群的 阶是n的因子，且对每个m | n，存在唯一的m阶子群 mn a / 。 引理引理2 2- -3 3- -6 6 8 设 ,ng hg，则,n hnhhn 。 引理引理 2 2- -3 3- -7 7 8 （1） ,kcharh hchargkcharg； （2）,kcharh hgkg。 引理引理 2 2- -3 3- -8 8 8 有限特征单群g 是同构单群的直积。 引理引理 2 2- -3 3- -9 9 8 有限群g 的极小子群n必为同构单群的直积。 引理引理 2 2- -3 3- -1010 8 无限循环群与( , ) z 同构，有限n阶循环群与(, ) n z 同构，由 此推得同阶（有限或无限）循环群必互相同构。 成都理工大学硕士学位论文 10 引理引理2 2- -3 3- -1111 8 若 5, n na是单群。 引理引理 2 2- -3 3- -1212 8 四元数群 8 q是非交换群，但它的每个子群都是正规子群。 引理引理 2 2- -3 3- -1313 8 有限交换群 a是它的sylow p子群 p s的直积 p as。 这里 p跑遍所有使1 p s 的素数集合，而“”表直积符号。 引理引理 2 2- -3 3- -1414 8 有限交换 p群a可以分解为循环子群的直积 1s aaa ，并且直因子的个数s以及诸直因子的阶 1, , s ee pp（不妨设 1s ee）由a唯一决定，叫做a的型不边量。而元素 1 , s aa叫做a的一组 基底。 引理引理 2 2- -3 3- -1 15 5 8 有限交换群 a的sylow p子群的阶为p的方幂。 引理引理 2 2- -3 3- -1 16 6 8 g g 是g的全不变子群，并且若ng，则g n是交换群 n g 。 引理引理 2 2- -3 3- -1 17 7 8 设 hg，则()() gg nhch同构于()aut h的一个子群。 引理引理 2 2- -3 3- -1 18 8 8 （第一sylow定理）若g 是有限群，p上素数。设 n pg，即 n pg，但 1n p 不整除g。则g中必存在 n p阶子群，叫做g的sylowp子群。 引理引理 2 2- -3 3- -1 19 9 8 （第二sylow定理）g 的任意两个sylowp子群皆在g中共 轭。 引理引理 2 2- -3 3- -2020 8 （第三 sylow定理）g中sylowp子群的个数 p n是g的因 子，并且1(mod ) p np。 引理引理 2 2- -3 3- -2 21 1 8 设m 是有限p群g的极大子群，则:g mp，且mg。 引理引理 2 2- -3 3- -2222 8 有限 p群g是可解群。 引理引理 2 2- -3 3- -2323 8 设素数 pqr，则pqr阶群g是可解群。 引理引理 2 2- -3 3- -2 24 4 8 ( )()burnsideburnside设, p q是素数，, a b是正整数，则 ab p q群必可解。 引理引理 2 2- -3 3- -2 25 5 8 奇数阶群必可解。 引理引理 2 2- -3 3- -2 26 6 8 设 2 ,gn n是奇数，则g必可解。 第 2 章 预备知识 11 引理引理 2 2- -3 3- -2 27 7 8 设g 是有限p群，1 n gp，则( )1z g 。 引理引理 2 2- -3 3- -2 28 8 8 设g 是有限p群，n是g的p阶正规子群，则( )nz g。 引理引理 2 2- -3 3- -2 29 9 8 2 2 p p阶群有两种类型，即型不变量为 2 ()p和( , )p p的交换群。 引理引理 2 2- -3 3- -3030 8 设g 为 3 p阶群： 3 p阶交换群有三种类型，其型不变量分别为 32 (),(, )ppp和( , , )p p p； 3 p阶非交换群,ga b 有下列类型： （p=2） 4213 1,abb aba ； （二面体群） （p=2） 42213 1,aba b aba 。(四元数群) （2p ） 2 11 1, ppp abb aba ； （2p ） 1,1 ppp abca bc a cb c。 引理引理 2 2- -3 3- -3131 8 ( )()burnsideburnside设g是有限群， 。若( )( ) gg npcp，则g为p幂 零群。 引理引理 2 2- -3 3- -3 32 2 8 设有限群g 的所有sylow子群均为循环群，则g是可解群。 引理引理 2 2- -3 3- -3 33 3 8 ( )()jordanholderjordanholder 设g是有限群 01 1 r gggg 和 01 1 s ghhh是g的两个合成群列。则必有rs，并且商群 1ii g g和 1jj hh 适当编序后是同构的不可约群。称它们为g的合成因 子。 引理引理 2 2- -3 3- -3 34 4 8 设g 是有限群，则下述两条均为g可解之充要条件： （1）g的合成因子皆为素数阶循环群； （2）g的主因子皆为素数幂阶的初等交换群。 引理引理 2 2- -3 3- -3 35 5 8 12 12阶群有以下五种互不同构的类型： （i）交换群： （1） 34 gzz； （2） 62 gzz； （ii）非交换群： 成都理工大学硕士学位论文 12 （3） 4 ga； （4） 6211 ,1,1,gu v uvv uvu ； （5） 62311 ,1,gu v uvu v uvu 。 引理引理 2 2- -3 3- -3 36 6 8 设 p是奇素数， 2 2p阶群有以下5种互不同构的类型： （1） 2 2 ,1 p ga a； （2） 2 ,1, , , , 1 pp gabc abca bb cc a； （3） 2 211 , ,1, p ga b ab b aba ； （4） 21111 , , , , 1, pp ga b c abca bc acac bcb ； （5） 2111 , , , , 1, pp ga b c abca bc aca c bcb 。 引理引理 2 2- -3 3- -3737 8 设g 是有限群，则下述事实等价： （1）g是幂零群； （2）若hg，则() g hnh； （3）g的每个极大子群mg（这时:g m为素数） ； （4）g的每个sylow子群都是正规的，因而g是它的诸sylow子群的直积 引理引理 2 2- -3 3- -3838 8 有限 p群g的每个合成因子和主因子皆为p阶循环群 引理引理 2 2- -3 3- -3939 8 非循环 p群g当p为奇素数时恒有 2 p阶初等交换正规子 引理引理 2 2- -3 3- -4 40 0 8 n p阶p群g对每1,2,1in都至少有一个阶 i p正规子 群。 引理引理2 2- -3 3- -4141 8 （同态基本定理） （1） 设ng，则映射: gng是g到g/n的同态映射，满足 kern, gg /n。这样的叫做g到g /n 上的自然同态。 （2） 设:g h 是同态映射，则 ker g，且 gg ker 引理引理 2 2- -3 3- -4242 8 (第一同构定理)设 n g, m g， 且 n m， 则 m/ n g /n， 并且： (g/ n)/ ( m / n)g / m。 引理引理 2 2- -3 3- -4343 8 (第二同构定理)设 h g, k g ，则(h k) h，且 第 2 章 预备知识 13 hk/ k h /(h k) 引理引理 2 2- -3 3- -4444 8 若 h g，且 h a g，那么 a /h g/ h a ga。 引理引理2 2- -3 3- -4545 8 ( n /c 定理)设h g，则 )(/ )(hchn gg 同构于aut(h)的一 个子群。 引理引理2 2- -3 3- -4646 8 (frattini 论断)设 g作用在上，并且g包含一个子群n ， 它在上的作用是传递的，则gng, 引 理引 理2 2- -3 3- -4747 37 已 知g是 一 个 无 交 换 直 因 子 的 群 ， 那 么 r i k i r pc i ji ji zgaut 11 , , | )(|其中1: , p zzzz j i iji pp ，它是一个子群， i k i p是 /gg i p 的方指数，), 1( ,iji kjr是 /gg i p 的分解式中阶为 j i p的直因子个数， 它是一个不变量 引理引理 2 2- -3 3- -4848 37 如果 bag而且a是交换群，那么 k :ab-ba k ， bbaa ,是g的一个自同构，其中 k 使得(k,|a|)=1。 证 明 首 先 (k,|a|)=1使 得 k 是 内 映 射 ， 接 着 ， 对 于 任 意 的 2 , 1,ibbaa ii 。我们有 k ( 2211 baba )= k ()( 21 1 1211 bbbaba ) = 21 1 1211 )(bbbaba k = k )()( 2211 baba k 则证得 k )(gaut。 引理引理 2 2- -3 3- -4949 8 设 p是奇素数，则. 1,)( )( nzzaut nn pp 而对.)(, 2, 2 2 2 2 2 nn zzzautnp 引理引理 2 2- -3 3- -5050 37(i) )(/)(gzgginn。 (ii)()( )( ginncgaut gaut (iii)|)(/(|)(| )(|gzgautgautgaut c 成都理工大学硕士学位论文 14 引理引理 2 2- -3 3- -5151 8 群g 的全体中心内自同构成aut(g)的子群，且和z(g z(g) 同构。 证 明 记g的 全 体 中 心 内 自 同 构 组 成 的 集 合 为 ()inn g c， 则 ()() ( ) inn gaut g ccinn g，从而 ()inn g c为群。设 () ( ), inn g xc.xg ,gg 111( ) ( ) x x gxgz g 有gg，故 ( )( )( ) , ( ),gz g xz ggxz gxg g x z g即( )(/( )xz gz g z g。反过来，若 ( )(/( )xz gz g z g， 由上述的逆过程知 () ( ) inn g xc。于是作映射:f () (/( ); inn g cz g z g( )( ).xxz g 则f为双射，下面验证f为同态：设 () ( ), ( ) inn g xyc有 ( ( ) ( )( ()fxyfxy( )( )( )xyz gxz g yz g ( ( )fx( ( )fy 故f为同态，定理得证 引理引理 2 2- -3 3- -5252 2 yadav：设g 是有限非交换p群，m