（光学专业论文）低频液体表面波激光的干涉和衍射研究.pdf

y 6 1 0 0 9 1 低频液体表面波激光的干涉和衍射研究 时峰 摘要与液体体相相比，液体表面具有特殊的性质。对于液体表面特性的研 究，已经引起了人们广泛的关注。本文运用光学手段，主要研究液体表面低频波 动特性。具体内容包括：针对几十赫兹液体表面波，发现了表面波对光的干涉效 应，建立了干涉光强分布与液体表面波的关系。利用这种干涉效应，研究液体表 面张力、振幅、波长、表面波的衰减等物理特性：其次针对几百赫兹的低频液体 表面波，发现了表面波对光的衍射效应，建立了衍射光强分布与表面波的关系。 并研究在几百赫兹下的低频液体表面波的衰减问题。 通过研究，本文得到以下的实验现象和结论： l 当频率为几十赫兹时，首次发现了液体表面波对其入射光产生干涉效应，并 在实验上获得了清晰的调制干涉图样。基于这一发现，提出了一种适应测量低频 表面声波特性及表面张力的实用方法。相对于较为成熟的高频条件下的声光衍射 技术和低频条件下的激光扫描技术而言，频率为几十赫兹的低频表面波，上述两 种方法均不适应。而本文所提出的基于表面波干涉技术的测量方法填补了这一波 段的空白。 2 针对表面波对光的干涉效应，根据波动光学原理，理论上得到低频液体表面 波的波长，振幅等特性参数与干涉图样分句的解析关系。根据c c d 所采集的干涉 图样的实验数据，通过对表面波的波长，振幅等特性参数与干涉图样分布的解析 关系编程，实现了表面波参数的自动化测量。 3 本文还研究了低频表面波的衰减特性。实验上改变入射光点与表面波振源之 间的距离，同时检测相应位置上千涉图样中相临亮纹的间距和干涉图样的范围。 理论上推导出表面波的振幅与条纹间距和条纹区间的关系，通过计算机编程处理 实验数掘，得到表面波振幅随波传播距离的变化曲线，拟合数据得到几十赫兹频 率下的表面波的衰减系数。 4 当液体表面波频率为几百赫兹时，观察到了表面波对入射光的衍射效应，并 根据这一效应对表面波进行测量。实验上得到了中问亮，两边暗的高反衬度衍射 条纹a 当移动振源改变入射点与振源之i 白j 的距离时，发现衍射图样中一级衍射条 纹消失。再移动振源改变入射点与振源之间的距离，还发现衍射图样中零级衍射 条纹消失，这意味着此时的衍射效率接近1 0 0 。用一级条纹缺级时零级条纹的光 强度来标定出所对应的表面波振幅值，根据贝塞尔函数中振幅与强度的变化关 系，得到表面波振幅与传播距离的变化皓线，拟合数据得到几百赫兹频率下液体 表面波的衰减系数。 本文基于低频液体表面波的干涉和衍射效应，结合现代光电检测技术和计算 机技术，建立了液体表面参数的测量理论和测量技术，实时地测量了液体的表面 张力、衰减系数、振幅、波长等低频液体表面的参数。 关键词：低频液体表面波表面波声光干涉表面波声光衍射衰减系数 i i o p t i c a ld e t e r m i n a t i o n o fas u r f a c ea c o u s t i cw a v eu s i n g l i g h t i n t e r f e r e n c ea n d l i g h t d i f f r a c t i o n s h ij i a n a b s t r a c t ：o p t i c a l m e t h o di sa ni m p o r t a n tt e c h n i q u et od e t e c tt h es u b s t a n c ep r o p e r t i e s o fc o u r s e ，t h i sm e t h o di sag o o dc h o i c ef o r t h es u r f a c er e s e a r c ha sw e l l w h e nt h e o p t i c a le f f e c t s ，i n c l u d i n g i n t e r f e r e n c ea n dd i f f r a c t i o n ，o c c u r i n go nt h el i q u i ds u r f a c e ， m a n yf a n t a s t i cp h e n o m e n a w i l le m e r g e ，w h i c hm a yb eu s e dt om e a s u r es o m ep a r a m e t e r s o fl i q u i d ，s u c ha ss u r f a c et e n s i o n ，s a ww a v e l e n g t h ，a m p l i t u d e ，a n ds oo n t h e r e f o r e ， o p t i c a lm e t h o d s h a v eb e e na d o p t e de x t e n s i v e l yi nm a n yf i e l d s i nt h i st h e s i s ，w es t u d i e dl i q u i ds u r f a c eu s i n go p t i c a lm e t h o d s ：w h e nac a p i l l a r yw a v e p r o p a g a t i n ga l o n gt h ea i r - l i q u i d i n t e r f a c e ，ag r a t i n gw i l lf o r mo nt h es u r f a c eu n d e r c e r t a i nc o n d i t i o n w h e nac o l l i m a t e d - b e a mi l l u m i n a t e d u p o n t h e l i q u i d s u r f a c e ， i n t e r f e r e n c eo rd i f f r a c t i o n p a t t e m sm a yb eo b s e r v e d b a s e do nt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ed i s t r i b u t i o no fi n t e n s i t ya n dt h es u r n c ew a v e ，w ec a ns t u d yt h e l i q u i d p r o p e r t i e s i no u rr e s e a r c h ，t h em a j o r p h e n o m e n a a n dc o n c l u s i o n sw e r eo b t a i n e da sf o l l o w s ： 1f o rt h es a w sa tt h er e g i o no f af e wt e n sh e r t z ，n e i t h e rd i f f r a c t i o nt e c h n i q u en o rt h e l a s e rs c a n n i n gs l o p em e t h o di ss u i t a b l es i n c et h e s c a n - n i n gl a s e rb e a mn e i t h e r i l l u m i n a t e sap a r to ft h ea c o u s t i c a lw a v e l e n g t h ( g e o m e t r i c a lo p t i c s c a s e ) ，n o r i l l u m i n a t e s m a n yw a v e l e n g t h s ( p u r ed i f f r a c t i o nc a s e ) t h u s ，f e wt e c h n i q u e s a r e a v a i l a b l ef o rs a wa tt h e s ef r e q u e n c i e s ，ap r a c t i c a b l em e t h o df o rl i q u i d s u r f a c e a c o u s t i c w a v ea tt h e f r e q u e n c i e s o faf e wt e n sh e r t z ，b a s e do nt h ec o m b i n a t i o n o f o p t i c a li n t e r f e r e n c ea n ds c a n n i n g w a v es l o p e ，h a sb e e n d e v e l o p e d ， 2 h i g hv i s i b i l i t ys t a t i o n a r yi n t e r f e r e n c ef r i n g e sa n dt w oe x t r e m e l yb r i g h ts p o t s a tt h e e d g e si nt h er e f l e c t i o nf i e l dw e r ee x p e r i m e n t a l l yo b s e r v e d t h es a w c h a r a c t e r i s t i c s o f w a v e l e n g t h a n da m p l i t u d ea r eo b t a i n e d d i r e c t l yf r o mt h em e a s u r e dd i v e r g e n c e a n g l e a n da n g u l a rs e p a r a t i o no ft h ei n t e r f e r e n c e f r i n g e s ，a n dw e h a v ed e r i v e dt h e e x p r e s s i o no f t h el i g h ti n t e n s i t y 3 l i g h ti n t e r f e r e n c em e t h o di s u s e dt od e t e r m i n et h ea t t e n u a t i o nc o e f f i c i e n to ft h e t e n sh e r t zl i q u i ds u r f a c ea c o u s t i cw a v ei nr e a lt i m e i i i 4t h eh i g hv i s i b i l i t yd i f f r a c t i o np a r e m sw e r eo b s e r v e de x p e r i m e n t a l l yi nt h ec a s eo f t h eh u n d r e d sh e r t zl i q u i ds u r f a c ea c o u s t i cw a v e f u r t h e r m o r e ，t h ed i s a p p e a r a n c e o fz e r o o r d e rd i f f r a c t i o nw a so b t a i n e d ，w h i c hw a sc o r r e s p o n d i n gt o t h e1 0 0 d i f f r a c t i o ne f f f i c i e n c y w ec a nu s eb e s s e lf u n c t i o nt oc a l c u l a t ea t t e n u a t i o nc o e f f i c i e n t k e y w o r d s ：l i q u i d s u r f a c ea c o u s t i c w a v e ；s u r f a c ea c o u s t o o p t i c i n t e r f e r e n c e s u r f a c ea c o u s t o o p t i cd i f f r a c t i o n ；a t t e n u a t i o nc o e f f i c i e n t 第一章引言 任何物质不论处于任何相态，其表面相和体相( 物质内部) ，无论在组成、结 构、分子所处的能量状态，以及受力情况等方面都是有差别的，这些差别使得表 面具有某种特殊的力学、光学、电磁、电子和化学性质 1 ，2 。这些性质一方面 提供了探索物质内部结构的手段：另一方面可以利用这些性质，通过各种处理使 得表面的某些特性更加突出，从而用以改善材料的性能，为科研、生产和生活服 务，如：催化、吸附、润滑、润湿、粘接、晶体生长、电子发射、以及在光学、 电磁学、超导等领域广泛使用的各种薄膜等。因此，表面科学直受到人们的普 遍重视。然而，多年来，人们研究的重点主要集中在固体表面，由于液体表面相 的情况比较复杂，研究较少。 液体表面也具有与体相( 内部液体) 不同的性质，对这些特性的研究能提供 测量液体某些参数的手段，在生产和科学研究中占有十分重要的地位。具体而 占，在化工制剂、石油开采、制糖、医药、食品、润滑剂、防冻剂、化妆品工 业、印染工业、汽车工业、农业等行业都会涉及到液体的某些参数，这些参数为 保证产品质量、提高产量和进行生产控制提供了重要的技术手段，因此，对这些 参数的测量研究有重要意义。人们已经提出了许多测量手段，并被广泛采用，但 传统的方法存在或者设备复杂、或者精度不高、或者需要手工操作，受主观因素 影响较大，不能实时在线测量等问题，造成了某些实际应用中的困难。而现代电 子技术和计算机技术的发展为我们研制智能化、实时在线测量仪器提供了坚实的 物质基础。这些技术在测量中的应用越来越受到人们的重视，我们注意到，最近 几年现代电子技术和计算机技术在物理测量仪器的发展中起到十分重要的作用， 这些技术也为设计新的测量仪器提供了新的思路。 光学方法作为一种探测物质性质的重要方法，多年来一种受到人们的重视， 光在液体表面的衍射、反射、折射等行为在特定条件下表现出奇异的现象，对这 些行为的研究提供了对液体表面特性的间接的、方便的、非常有效的探测方法。 这种方法广泛应用于流体力学，海洋光学，雷达散射等领域 3 - 6 。 液体表面特性研究的光学研究方法总体可以分为两大类：一类是动态表面； 另一类是静态表面。动念表面是利用液体表面波对光的干涉和衍射效应，根据干 涉和衍射光强度分布与液体表面波的关系以及表面波与液体表面物理参数之间的 关系，通过检测衍射光强分布来研究液体表面张力、表面相、表面共振等物理特 性 5 ，6 。静态表面是利用液体表面对光的反射和透射，通过反射及透射光的强 度与液体物理参数之间的关系来研究润湿效应、表面张力等表面参数和折射率、 浓度等参数 7 1 1 。基于液体表面光学特性的研究，再结合现代电子技术 ( c c d ：电荷耦合器件) 和计算机技术，建立了液体参数的测量技术。为液体表 面张力、表面波波长、表面波振幅的测量提供了光学无损、智能化的测量方法。 本文总体上由三方面的工作组成： 1低频液体表面声波的光学参数的测量： 表面声波( s u r f a c ea c o u s t i ew a v e ) 作为一种探测物质性质的手段 1 2 2 7 ，一直受到广泛的重视和研究。但多数人只把表面声波应用于固体表面的研 究，且声波的频段也只局限于超声波。陕西师范大学物理系的苗润爿教授等人在 1 9 9 6 年提出用低频液体表面声波研究液体表面性质的新思路 5 。用低频信号发 生器驱动振子，在液体表面激发出表面波，当产生的行波在液体表面形成稳定的 驻波时，就形成了稳定液体表面光栅。当表面波的振动频率为几十赫兹的时候， 实验观察到清晰的干涉条纹。由于声波波长比入射激光波长大的多，因而不适应 光衍射技术：同时又由于声波波长与扫描激光光斑相当，所以也不能采用激光斜 率扫描技术，我们用光干涉和光扫描相结合的方法来测量频段在几十赫兹下的表 面波参数。观察到了低频液体表面波的干涉效应，测量了1 9 赫兹和2 5 赫兹等频 率下的表面张力和表面波波长，表面波振幅，对低频条件下表面波的计算作了相 应的理论推导。计算表明用干涉法测量的表面波的波长，表面张力与b a r t e r 用 透镜成像技术 1 2 ，1 3 的测量值吻合的很好。 2 干涉法测量几十赫兹低频液体表面波的衰减系数： 本文还研究了低频表面波的衰减特性。实验上改变入射光点与表面波振源之 问的距离同时检测相应位置上干涉图样中相临亮纹的阳j 距和干涉图样的范围。 理论上推导出表面波的振幅与条纹间距和条纹区问的关系，通过计算机编程处理 实验数据，得到表面波振幅随波传播距离的变化曲线，拟合数据得到几十赫兹频 率下的表面波的衰减系数。 3 衍射法测量几百赫兹低频液体表面波的衰减系数； 当液体表面波频率为几百赫兹时，观察到了表面波对入射光的衍射效应，并 根据这一效应对表面波进行测量。实验上得到了中间亮，两边暗的高反衬度衍射 条纹。当移动振源改变入射点与振源之问的距离时，发现衍射图样中一级衍射条 纹消失。再改变振源改变入射点与振源之间的距离，还发现衍射图样中零级衍射 条纹消失，这意味着此时的衍射效率接近1 0 0 6 。用一级条纹缺级时零级条纹 的光强度来标定出所对应的表面波振幅值，根据贝塞尔函数中振幅与强度的变化 关系，得到表面波振幅与传播距离的变化曲线，拟合数据得到几百赫兹频率下液 体表面波的衰减系数。 第二章低频液体表面波的光学参数测量 第一节低频液体表面声波 表面声波( s u r f a c ea c o u s t i cw a v e ) 作为探测物质性质的一种重要手段 1 2 2 7 ，一直受到广泛的重视和研究。但多数人只把表面声波应用于固体表面 的研究，且声波的频段也只局限于超声波。陕西师范大学物理系的苗润才教授等 人在1 9 9 6 年提出用低频液体表面声波研究液体表面性质的新思路 5 。自六十年 代激光问世以后，激光就很快用于研究表面声波( s a w ) 性质的测量。对于高频s a w ， 绝大部分研究是建立在声波光衍射效应的基础上。根据声光衍射原理，如果s a w 的频率较大，则引起的衍射光角分离较大，所以这类实验大多是针对超声表面波 进行的 1 6 一1 9 。对于液体s a w ，我们曾用衍射的方法将表面波的频率下延至几 百赫兹 5 ，6 。对于频率小于几赫兹的s a w ，通常采用激光表面波斜率扫描技术， 因为在这一频段，s a w 波长比扫描激光光斑大的多 2 0 。然而对于几十赫兹频率 的表面声波，由于声波波长比入射激光波长大的多，因而不适应光衍射技术；同 时又出于声波波长与扫描激光光斑相当，所以也不能采用激光斜率扫描技术。因 此，对这一频段液体s a w ，几乎没有人考虑用激光技术测量液体表面波，也没有 见到测量这一频段表面波衰减系数的报道。b a r t e r 1 2 ，1 3 曾采用透射成像技术 分析过这些频率下的s a w 。本部分内容结合光的干涉技术和光的扫描技术，研究 几十赫兹频段的液体表面声波，实验上得到清晰的调制干涉图样。并以此建立了 表面张力的光学测量方法，浚方法不仅奠定了用光学方法研究液体表面波及表面 物理性质的基础，而且又可实现实时变频光栅。在上述工作中，由于液体问题的 复杂性，在理论处理时认为液体不可压缩，液体内摩擦可忽略以及只考虑横波且 用简单的直波模型，其次认为表面为理想的气液界面。 实验中，用低频信号发生器驱动振子，在液体表面激发出表面波，当产生的 行波在液体表面形成稳定的驻波时，就形成了液体表面光栅。用一束平行光倾斜 照射表面波，不但观察到了低频液体表面波的干涉现象，而且随着频率的增大， 还观察到了低频液体表面波的衍射现象。运用几何光学理论对实验现象进行了理 论解释。另外推导了干涉条纹间距与液体表面波波长和表面张力的关系，并对理 论进行了实验验证。 第二节低频液体表面波实验 2 2 1 实验装置： 实验装置如图2 一l 所示，由以下几部分组成：低频信号发生器、盛液体用的 3 方形容器、激光光源、功率计、分光镜、可移动振源、( c c d ：电荷耦合器件) 、 计算机。 图2 - i 实验装置图 f i g 2 - 1 s c h e m a t i cd i a g r a mo f t h ee x p e r i m e n t a ls e t u p 低频信号发生器的输出驱动表面声波激发器，使振子上下振动，作为液体表 面波的振源，在液体表面形成行波信号发生器的输出在几十赫兹的频段。振子固 定在一个可以上下左右调节位置的支架上，这样可以改变振源与光入射点问的距 离，容器内装满液体( 实验中采用蒸馏水) 。调节振子位置。使其位于液体表面， 当振子振动时在水面上激发出表面波，水面上方为空气。h e n e 激光束倾斜入 射到表面波上，激光束被分束器分为两束，一束用来监控激光输出的稳定度，另 一束直接照射到液体表面波上。激光束的光斑直径约为2 4 m m ，因为激光束斜入 射在液体表面，所以液面上入射光斑为一椭圆形，其长短轴分别为2 3 m m 和2 4 m m 。 长轴与表面波传播方向平行，光斑大约照亮两到三个波形。实验中，入射角大约 为1 4 3 r a d ，激光波长为6 3 2 8 n m 。入射光点与观察屏间的距离大约为5 米，在 观察屏上可观察到清晰的干涉图样，在干涉光场中，用面阵电荷耦合器件( 面阵 c c d ) 检测干涉图样。并将数据直接输入计算机。在计算机上可以显示、储存、 处理干涉图样。c c d 的大小为7 9 5 m m x 6 4 5 r a m ，s n 超过4 8 d b 。 2 2 2 实验现象 干涉场所观察到的实验现象如图2 2 所示，图2 2 ( a ) 低频液体表面波的 频率为1 9 赫兹，图2 2 ( b ) 表面波的频率为2 5 赫兹。 4 图2 2s a w 反射光场的干涉图样( a ) 频率1 9 h z ( b ) 频率2 5 h z f i 配- 2m o d u l a t e di n t e r f e r e n c ep a t t e r n sf r o ml i q u i dw a t e rs u r f a c ew i t hs a w a tt h e f r e q u e n c i e so f1 9 h z ( a ) a n d2 5 h z ( b ) 图2 - 2 是实验上观察到的液体表面波反射光的干涉图样，当表面波的频率较 小时( 1 9 赫兹) ，干涉图样如图2 2 ( a ) 所示，当表面波的频率较大时( 2 5 赫 兹) ，干涉图样如图2 2 ( b ) 所示。由实验结果看，干涉条纹的反衬度非常高， 干涉条纹强度部分能明显的表现出光强度调制效应。反射光干涉图样强度分布在 两边界位置达到极大，形成了两个极亮点，这两个极亮点对应反射光束的边界。 它表明反射能量被限制在观察屏上确定的区域。通过对图样中相邻干涉条纹间距 的分析，可知条纹间距是s a w 频率的函数，它随着s a w 频率的减小而减小。实际 上可根据实验数据计算出相邻条纹间距及两个最亮点间的距离。针对该现象，运 用几何光学理论进行了分析e 4 5 ，并给出合理的理论解释。 2 3 1 实验原理图： 实验原理如图2 3 所示 第三节理论分析 图2 - 3 实验原理图 f i 9 2 3 p r i n c i p l eo fl i g h ti n t e r f e r e n c ef r o mt h el i q u i ds u r f a c ea c o u s t i cw a v ew i t h t e n sh e r t zf r e q u e n c i e s 2 3 2 理论分析： 低频信号发生器驱动振子在液体表面产生行波 1 0 ，2 8 。h e n e 激光器发出 的平行光束以平面波的形式斜入射到液体表面。对此入射平面波而言，液体表面 波可以看作是j f 弦型的位相光栅，对入射到其上的光波加以调制。虽然实际上液 体表面粒子运动较为复杂，但在理论处理时常把这种运动近似为f 弦波。因此， 表面波波函数写为 y = a c o s ( o t 一缸) 2 一l 这早y 为横向坐标，x 是沿波传播方向的坐标，a 是表面波振幅，0 9 是表面 波频率，女是波矢量，且k = 2 彤，a 是表面波波长。若液体表面波在几十赫兹 的频率下，未扩束的激光照射在液体表面波上，且假定沿波传播方向的光斑长轴 刚好包括两个s a w 波长，现在我们考虑两个s a w 波形的反射光区域。如实验原理 图2 - 3 所示，一个波上任意一点的反射光束与相邻波上相应点的反射光束有相同 的反射方向。因为这两点对应的波的斜率相同，所以两束反射光以相同方向传播， 假定反射光束与竖直方向上的夹角为0 一p 。由于光速远大于s a w 波速，在计算 两束光的光程差时可近似认为波形无变化。通过对图2 3 的分析，根据物理光学 的干涉原理 4 5 ，很容易得到反射区域强度表达式为 l r ( 伊) ：，。( 伊) c o s2 i r a - s i n 0 一s i n ( 目一妒) 】) 2 2 这罩，( 伊) 表示反射光强度是妒的函数，。( 伊) 是强度调节因子，该因子将 在下面讨论。五是光波波长，0 是光的入射角，妒是干涉图样中某一干涉亮纹与 中心亮纹的角间隔相对于入射点的张角，0 一p 表示反射方向。由2 - 2 式可知， 在远场观察面上会有干涉条纹。相邻条纹间距相对入射点的张角妒可写为 ：竺一 7 a c o s ( o 一妒) 因为p 角远远小于入射角口，上式可被近似为 妒2 志 。一。 在几十赫兹频率时，表面波波长远大于入射光波长，因此为了得到较大的 张角驴，入射角曰应尽量大一些。 如前面提到的，表面波上任一点上反射光的传播方向取决于这一点所在的波 形，且反射光的方向由0 一妒表示。出2 - 1 式很容易得到如下关系式： 喀( 詈) = 胁n ( 卅枷 24 这一表达式可用来描述任意点的波形，x 表示低频液体表面波任意一点的 水平坐标。出此式可知，最大的妒角p 。满足 妒一。2 a r c t g ( k a )2 - 5 以上的讨论表明，液体表面的s a w 导致了反射光束的干涉，干涉条纹的角分离大 小则依赖于表面波的波长，由2 - 3 式可知，表面波波长越大，干涉条纹的角分离 越小，表面波波长越短，干涉条纹的角分离越大。而2 - 5 式说明干涉条纹形成的 区域必定在角0 一妒到角矽+ 妒。、之问的范围内。如果用o 来定义这个角范围 o = 4 a r c t g ( k a ) ( k = 2 刀a ) 2 - 6 由2 - 2 式可知在观察屏上会有干涉条纹，从2 6 式可知这些条纹必定被限制在给 定区域。很容易根据实验数据计算出相邻条纹间隔相对于入射点的张角口以及 整个干涉条纹相对于入射点的张角中，将它们分别代入2 - 3 式和2 - 6 式则可 得到表面声波的特性参数，如表面波波长、振幅。 下面我们讨论强度调制因子l ( 妒) ，在p p + d p 区域内，反射光强度与光 在这个区域停留的时间成f 比，因此与强度调制因子相联系的表达式，。( 妒) 可表 示为： ，。( 妒) 却：d t 这罩t t 表示s a w 周期，结合上式与2 4 式，则，。，( 伊) 可写为： l 劬卜南 2 t 生 4 州圳( 爹 强度调制因子i 。( p ) 也可以表示为 表面波的波函数写为 由方程21 0 可以得到 由方程2 9 而 i 。( 妒) dc o = 一d x a y = 爿c o s ( 出一k x 、 笔_ t g ( 詈) = a k s i n ( 研制 1 1 1 妒卜冱 d x d ( t s ( 里2 ) ) - 上c 。s 2 d ( 詈) 2 d ( t g ( 詈) ) = a k k c 。s ( e j t h ) d z 所以望= a k k c o s ( 耐制啷，里所以( 耐一缸) c o s2 里 出 2 2 8 2 9 2 1 0 2 1 1 2 1 2 蝴c o s 2 詈1 一生a2 k2 = 詈c 。sz 詈麻z m 把方程2 - 1 3 带入2 - 1 2 可以得到： 。z j 以2 詈 8 这与i 。( 妒) dc a = 等所推出来的结果一致。 由2 - 2 式和2 - 8 式可以得到反射光强度解析式，它是角妒的函数 i ( 妒) = 与c 。s 2 等 s i n 0 - s i n ( 口一妒) 4 州圳_ f g 2 ( 抄 2 小 式中的振荡因子c 。s2 哗 s i n 0 - s i n ( 曰一妒) 】) 表示反射区域的干涉效应，而干涉条 纹又受调制因子 的调制。该调制因子有两个极大点，它们 4 万【( 埘) 2 一喀2 ( 罢) 】_ 分别对应培( 罢) = 姐，在这两个位置上反射光干涉条纹的强度最大。所以我们 可以利用实验数据和方程2 一1 4 来确定表面波性质。 液体的色散关系可近似写为 3 3 ： ( 02 ：( g k + 生、2 1 5 p 这旱的g 为重力加速度，七是波矢，口是表面张力，而p 是液体密度。忽略 表面膜的高级奁散影响，通过解方程2 一1 5 ，则可得到液体动态表面张力。 2 3 3 实验结果： 图2 2 是实验上观察到的液体表面波反射光的干涉图样，其中( a ) 、( b ) 分 别对应s a w 频率为1 9 h z 和2 5 h z 。由实验结果看，干涉条纹的反衬度非常高，干 涉条纹强度分部能明显的表现出光强度调制效应。反射光干涉图样强度分布在两 边界位置达到极大，形成了两个极亮点，这两个极亮点对应反射光束的边界。它 表明反射能量被限制在观察屏上确定的区域。通过对图样中相邻干涉条纹阳j 距的 分析，可知条纹怄j 距是s a w 频率的函数，它随着s a w 频率的减小而减小。实际上 可根据实验数据计算出相邻条纹问距及两个最亮点问的距离，再利用2 3 式和 2 - 6 式可得到s a w 的波矢量膏和振幅a 两个参数。在我们的实验条件下，分别对 1 9 h z 和2 5 h z 的表面声波，测得的波矢厅和振幅a 分别为5 7 1c m 。1 0 9 2 , u m 及 7 3 0 c m ，7 9 2 z m 。利用实验数据和2 一1 5 式所示的色散关系，可得到水的动 态表面张力，在这两种频率下分别为3 7 4 小和4 4 9 删，两种频率下的 误差分别为o 3 ”。、o 4 坍，它与文献 1 4 中的测定值基本吻合。 过中点沿竖直方向对干涉图样2 2 ( a ) 进行线扫描得到如图2 4 ( a ) 所示 的反射光强度轮廓，图2 4 ( a ) 中的实线满足方程2 一1 4 的理论曲线，而黑点表 示实验数据。对应的参数分别是频率v = 1 9 h z ，振幅a = 1 0 9 2 i 删，表面波波长 人= 1 1 0 m m 。将图2 4 ( a ) 中心附近部分放大后得到图2 4 ( b ) 。对比图2 4 ( a ) 中的理论曲线和实验数据，可以看出反射光强度在较大范围内被调制，反 射光分布区间的两端对应光强度极大值，理论调制因子与实验数据吻合程度很 高。对比图2 - 4 ( b ) 中的强度振荡( 实线) 和实验数据( 黑点) ，可以看出理论 分析与实验结果基本符合。同样，对图22 ( b ) 的线扫描可以得到类似的结果， 该对比结果如图25 所示。对应的参数分别为频率y = 2 5 h z ，振幅a - 7 9 2 埘z ， 表面波波长a = 8 6 聊。 ； 呈 至 0 图2 5 ( b ) f i 9 2 4 ( a ) f i 9 2 5 ( a ) c r o s ss e c t i o no b t a i n e df r o m al i n es c a no ft h ei n t e r f e r e n c ep a t t e r n o ff 培2 2 ( a ) a n df i 9 2 2 ( b ) ；t h es o l i dc u r v ei s af i tt o e q 2 _ 1 4 a n dd o t sa r et h e e x p e r i m e n t a ld a t a f i 9 2 4 ( b ) f i 9 2 5 ( b ) ap a r to fe n l a r g e df i g 2 - 4 ( a ) a n df i 9 2 5 ( a ) 这不仅说明了表面波干涉现象的稳定性，同时也说明了根据这一发现建立测 量频率为几十赫兹的s a w 参数的可靠性。在进行理论曲线的拟合时，通过m a t l a b 编程 3 6 3 8 ，用最小二乘法进行数据处理 3 9 4 1 ，确定出最小二乘法的两个系 数，浚方法在下一章进行详细阐述。 本章小结 理论上导出了调制干涉图样光强度与表面声波之间的解析关系，并与实验数 据进行了对比。干涉条纹的反衬度非常高干涉条纹强度部分能明显的表现出光 强度调制效应。反射光干涉图样强度分布在两边界位置达到极大，形成了两个极 亮点，这两个极亮点对应反射光束的边界。它表明反射能量被限制在观察屏上确 定的区域。基于这一发现，对于频率为几十赫兹的液体表面声波，本文提出了一 种激光干涉测量方法，理论上得到了液体表面波反射光的强度解析表达式，该解 析式中包括了表示干涉条纹的振荡函数和强度变化的调制因子。在实验中分别针 对1 9 h z 和2 5 h z 的表面声波，得到了清晰的、稳定的被调制的干涉条纹。理论 上，由调制因子预计了反射光强度极大值的存在，并且在实验上观察到了两个亮 点，这说明实验结果与理论完全吻合。通过测量反射光分布区间及相邻条纹间距， 可以测出液体表面波的波长、振幅及动态表面张力。基于这一发现，我们首次提 出了一种时实测量低频表面声波特性参数的实用方法。 第三章低频液体表面张力与频率关系研究 第一节表面张力 在两种连续介质分界面的附近( 当然，这两种介质实际上是由一个很薄的 过渡层隔丌的，但过渡层很薄，以致我们可以把它当作几何上的一个曲面) ，当 介质静止平衡时，若分界面是弯曲的，则两种介质中曲面附近的压力是不同的， 这个压力就称之为静表面张力。尽管所有分子都在不断运动着，在液体内部的某 个分子却被周围其他分子在各个方向平均随来相等的吸引着，但是，液体与空气 之间的表面，或一种物质与另一种物质之闻的分界面，向上和向下的吸引力是不 平衡的，表面分子被大块液体向内吸引。这种效应导致液体表面在张力作用下犹 如一张弹性薄膜。表面张力a 是按垂直作用于表面中所画的某线的单位长度度量 的。表面张力作用在表面的切平面内，垂直于表面内的任意一条线。为了确定表 面张力，我们考虑到分界面的性质，写出两种介质同时处于热力学平衡状态的条 件 2 8 ，3 1 1 。 设分界面作一个无穷小的位移，我们在移动前的表面上每一点画一法线，以 苗表示法线与移动前和移动后界面的两交点之间法线线段的长度，于是这两个 面之间的体积元是苗矽，这旱d f 是面元。令p ，和p ：为两种介质内的压力，若分 界面是向介质内位移，则把曾看成是f 的，因而实现上述体积变化所需要的功 为； i ( - p l + p 2 ) 五缈 再加上与界面面积变化有关的功，即得到移动界面所需的总功为积。后一 部分功与界面面积的变化妒成正比，且为a 8 f ，这里口称为表面张力系数于是 总功为： 8 r = 一i ( n p 2 ) 8 善c l f + a 形 + 当然，热力学平衡的条件是积为零。 下面，令r 和月：为界面某个给定点处的主曲率半径；若r 。和r ，指向介质内， 就把它们算作f 的。因此，当界面经过一个无穷小的位移后，界面和主截面交线 上的长度元以和职分别得到增量( ，) d i 和( ，) d l ：，这旱以和讲：被看作 是以r 和r ：为半径的圆周的弧元。因此，面元= d 1 d l ：经过位移以后变成： 粥c + 鲁班c - + 善，d l , d 1 2c h 簧+ 蔷， 即面元改变了苗形( 层。十层：) ，由此可见，分界面面积总的变化量为： 妒= 辟嚎+ ) d f 把这个表达式带入+ 式并让它等于零，我们得到平衡条件的形式为 8 善 ( p l - p 2 ) 叫击+ 亡) 涔= 。 对于界面一切可能的无穷小的位移，即对于所有的苗，这个条件都必须成立。 因此大括号内的表达式必须恒等于零，即： 旷舻畸+ 专 这就是确定表面张力的拉普拉斯公式。 在重力的作用下和在表面张力的作用下，液体的表面都倾向于形成平衡形 状。我们假设振动的幅度与波长相比是个小量，速度势满足拉普拉斯方程，有 西2 0 但是现在流体表面上的条件是不同的，即表面两侧的压力差不为零，而是由拉普 拉斯公式给出。我们用善表示表面上点的z 坐标，因为亭很小，我们可以把拉普 拉斯公式改写为 。叫喜0 3 c + 争一c 一 这旱p 是贴近表面的流体压力，p 。是恒定的外压力。因为 一曜h 等 将上式代换前一式的p ，得到 偌詈叫警+ 窘川 如果把重新定义一下，我们可以去掉常数风，把上式对时间t 求导，并用a 代替8 ，我们得到关于速度势庐的边界条件 昭老+ 尸挚一c 窘+ 窘，一。昭言+ 尸茅叫瓦萨+ 矿户” 对z = o 我们来研究沿着x 方向传播的平面波，我们有表面波的速度势公式 西= a e “c o s ( 舡一鲥1 我们可以看出，流体中的速度随深度按指数规律减小。根据边界条件，于是求得 k 与珊的关系为： 由z ：( 醇+ 丝) p 第二节最小二乘法 处理数据时，常要用作图法把由实验获得的一系列数据点描绘成曲线来反映 物理量间的关系，为了使曲线能代替数据点的分布规律，则要求所描绘的曲线是 平滑的，即要尽可能使各数据点对称且均匀的分布在曲线两侧。由于目测有误差， 所以，同一数据点不同的实验者可能描绘出不同的曲线，而且似乎都满足上述平 滑的条件。哪条是最佳曲线，就是“曲线拟合”问题。一般来说曲线拟合的任 务有两个：一是在物理量y 和x 阳l 的函数关系已经确定，只是其中的常数未定， 根据数据点拟合出常数的最佳值。二是在物理量y 和x 间函数关系未知时，从数 据点拟合出y 和x 的函数关系的经验公式。通常把由实验数据确定函数中待定常 数及求经验公式的问题也称为方程的回归问题。 最小二乘法 3 9 4 1 】： 己知函数为线性关系，其形式为： v = a + b x3 - 1 式中a ，b 为要用实验数据确定的常数。此类方程口q 线性回归方程，方程中的待 定常数a ，b 叫线性回归系数。 由实验测得的数据是 当x = x i ，x z ，xn 时，对应的y 值为y = y l ，y z ，y n 由于实验数据总是存在着误差，所以，把各数据带入l 式时，两边并不相等， 相应的作图时，数据点也不能准确的落在公式对应的直线上，其中第i 个数据点 与直线的偏差为 = 兮缸? 如果测量时，使一的偏差t s x 较之y ，的偏差很小，以至可以忽略时，我们可 以认为x 的测量是准确的，而数据点的偏差，主要是y 的偏差，因而有 v ，= y ，= y ，一( d + 次，) 3 2 我们的目的是根据数据点确定回归常数a ，b ，而且希望确定的a 和b 能使 数据点尽量靠近直线，能使qn n 的4 , ，由于偏差v ，大小不一，有f 有负，所以 实际上只能希望总的偏差v ? 最小。 所谓最小二乘法就是这样一个法则，按照这个法则，最好地拟合各数据点的 最佳曲线，应使各数据点与该曲线偏差的平方和为最小。 下边我们来研究根据最小二乘法确定常数a 和b 的方法。 首先，求偏差平方和，将3 2 式两边平方后相加，得到： y v 2 = ( 一口一b x ，) 2 3 3 显然v ? 是a 和b 的函数，按照最小二乘法，当a ，b 选择适当，能使旷为 最小时，= 口+ 如才是最佳曲线。 根据二元函数求极值法。把3 3 式对a 和b 分别求出偏倒数，得到： 譬q 饥一 o e a 6 v _ 2 ：一2 ( 只一口一打m ， 3 4 令上两个式子等于零。我们得到： 一一”口一6 一= 0 z ，y ，一口一6 x ? = 0 3 5 解方程，我们得到： b = 瓦呱， 3 。6 a ：v 一6 x3 7 式子中 s ，。= 一y ，一( 乙z ，乞y ，) s 。= x 卜( 一) ! n 了= y ，n x = t n 从3 - 4 式中不难求出v ? 对a 和b 的二阶偏倒数为 a 2 j f 譬v 2 ：2 ” 掣a b ：z x ? 2 一 掣o a o b ：z t 一 旦掣+了a,-zvoa一( 型a a a b ) 2 = 4 【* ( 。】 2 2 、 o 。、o = 4 ” x 卜( t ) 2 n = 4 n y ( 置一z ) 2 0 所以，3 - 6 、3 - 7 式求出的a 和b 可以使v ? 为极小值。因而由a 和b 所确定的 曲线y = a + h 就是用最小二乘法拟合的最佳曲线。当已知的函数为非线性时， 可咀用变量带换法“曲线改直”使函数变为线性关系，因而最小二乘法有着更普 遍的意义。 6 3 3 1 实验装置： 第三节表面张力与频率关系研究 图3 - 1 实验装置图 f i g 3 1 s c h e m a t i cd i a g r a mo f