（应用数学专业论文）推广的多集合分裂可行性问题的迭代方法.pdf

山东大学硕士学位论文 推广的多集合分裂可行性问题的迭代方法 赵晓明 ( 山东大学数学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 对于c e n s o r ，e l f v i n g 等人提出的多集合分裂可行性问题t 寻找一个点z c = n g i - - - - 1 m ，使得a x q = nq j = l 其中，m 1 是整数， c 1 ，) 为空间日l 的闭凸子集，【q l ，q m ，为空 间飓的闭凸子集，a ：h i _ 玩是有界线性算子，本篇文章在h i l b e r t 空间h l ，尻 是无穷维的情况下，将单一的算子a 推广至多个算子a l ，a 2 ，a m ，即 寻找一个点z c = nq 。使得a j z q0 = 1 ，m ) i = 1 这篇硕士论文由五部分组成：第一章引言部分介绍了分裂可行性问题的提出背 景以及后来出现的用以解决该问题的c q 算法；第二章主要介绍一些后面经常用到 的与非扩张算子有关的一些引理，并引入两个k r a s n o s e l s k i - m a n n 定理的推广形式 以下三章是论文的主体部分，其中第三章在前人工作的基础上对多集合分裂可 行性问题做出推广，提出迭代算法 n f z 蚪1 = p n p 一讯( a i ( i 一魄) 矿- 4 - j 6 j a ；( i 一疡，) 如矿) i = 1 j = l 并证明序列 扩) 在系数q f ，岛，饥满足一定约束条件的前提下弱收敛到函数 1nm p ( z ) = 去啦op c , x zi f 2 + 吉岛op q ，a j x 一如茁1 1 2 。i - - - - 1 j = l 在集合q 上的最小值点之后，作为上面迭代算法的特殊情况，以推论的形式提出 并证明当变系数傀改为常系数，y 或者迭代式中不包含投影算子p n 时，算法的收 敛性依然得到满足 山东大学硕士学位论文 第四章出于对迭代加速的考虑，主要从块迭代方面引入一种解决多集合分裂可 行性问题的迭代算法： z 膏+ 1 = p c , ( ) p 奄一佧) a ( 知) ( j 一场州) ) a m ( 七) z 奄】 并证明了序列1 z ) 弱收敛到函数 p a z ) = 丢i i 冯z 一局，4 zi i 乞 在集合研，岛，c m 上的公共最小值点，也就是在多集合分裂可行性问题可解的 前提下，该问题的解之后为将以上迭代算法推广到强收敛的情况，我们在迭代式 中乘一系数t k ，将迭代算法改为， 矿+ 1 = t k + l u + ( 1 一g k + 1 ) p c , ) p 七一7 m ( k ) a * 。( 七) ( j p q 。( ”) a 似奄) 扩】 并证明序列 扩) 强收敛于元素u 在多集合分裂可行性问题解集上的投影 第五章则直接利用一篇文章的已知结论，再提出一种迭代算法： 。七+ 1 = ( 1 一w k ) x 南+ w k a k ( i 7 v p ) z 七+ ( 1 一o k ) p n x 七 并证明了在变系数咄，o k 满足一定约束条件的前提下。序列 舻) 弱收敛到多集合 分裂可行性问题的解 关键词，分裂可行性问题，多集合分裂可行性问题，非扩张算子，平均算子， 块迭代，弱收敛 1 1 山东大学硕士学位论文 s o m ei t e r a t i v em e t h o d sf o re x t e n d e d m u l t i p l e s e t ss p l i tf e a s i b i l i t yp r o b l e m z h a ox i a o m i n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t h em u l t i p l e - s e t ss p l i tf e a s i b i l i t yp r o b l e mw h i c hh a sb e e np r o p o s e db yc e n s o r ， e l f v i n gi sf o r m u l a t e da s f i n d i n g 。p o i n tz c = n i = l m gs u c ht h a ta x q = n 锄 j = 1 w h e r en ，m 1a r ei n t e g e r s ， c i ，国) a r ec l o s e dc o n v e xs u b s e t so fh 1 ， q 1 ， a r ec l o s e dc o n v e xs u b s e t so fh 2a n da ：玩一凰i sab o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r ， ，q m ) t h i sp a p e re x t e n d e dt h es i n g l eo p e r a t o rat oa 1 ，a 2 ，a ma st h eh i l b e r ts p a c s h ia n dh 2a r ei n f i n i t e - d i m e n s i o n a l t h ee x t e n d e dm u l t i p l e - s e ts p l i tf e a s i b i l i t yp r o b l e m i sf o r m u l a t e da s n f i n d i n gnp o i n tz c = ngs u c ht h a ta i x 岛0 = 1 ，m ) i = 1 t h i sm a s t e rd i s s e r t a t i o nm a i n l yc o n s i s t so ff i v ep a r t s ：i nc h a p t e ro n e ，a st h ei n t r o d u c - t i o n ，w er e v i e wt h eb a c k g r o u n do ft h es p l i tf e a s i b i l i t yp r o b l e m a n dc q a l g o r i t h mw h i c h i sd e s i g n e dt os o l v et h eq u e s t i o n ；i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cl e m m a sr 争 l a t e dw i t hn o n e x p a n s i v eo p e r a t o r sa n dt h e s el e m m a sw i l lb eu s e di nt h el a t e rp a r t so f t h ep a p e r ，t h e nw ew r i t ed o w nt w og e n e r a l i z a t i o n so ft h ek r a s n o s e l s k i m a n nt h e o r e m t h el e f tt h r e ec h a p t e r sa r et h em a i n l yp a r t so ft h ep a p e r ，a n di nc h a p t e rt h r e e ，w e e x t e n dt h em u l t i p l e - s e t ss p l i tf e a s i b i h t yp r o b l e ma n dp r o p o s ea ni t e r a t i v ea l o g o r i t h m w h i c hi sf o r m u l a t e da s n z 1 = 忍p 一饥( i = l 掰 啦( 卜) 扩+ 伤筲( ，一p q j ) a j x 詹) j = l 1 1 1 山东大学硕十学位论文 t h e nw ep r o v et h a tt h es e q u e n c e 矿 c o n v e r g e sw e a k l yt ot h em i n i m a lp o i n to ft h e f u n c t i o n 1 n p ( z ) = 吉 i = 1 如x - - xj 2 + 三 l i 场j a j x 一如z 1 2 i nqa ss o m co b l i g a t i o n so ft h ec o c f f i c i c n t s 啦，岛：饥a r cs a t i s f i e d a st h es p c c i a lc a s e s o ft h ea b o v ea l g o r i t h m ，t w oc o r o l l a r i e sa r eb r o u g h tf o r w a r da n dp r o v e dt ob et r u et h a t t h ec o n v e r g e n c ei ss t i l ls a t i s f i e dw h e n 讥i sr e p l a c e db yac o n s t a n t7o rt h ep r o j e c t i o n o p e r a t o r 玮i so m i t t e d i nc h a p t e rf o u r ，t oa c c e l e r a t et h ec o n v e r g e n c e ，w ep r e s e n tab l o c k - i t e r a t i v ev e r s i o n o ft h em u l t i p l e - s e ts p l i tf e a s i b i l i t yp r o b l e ma n dt h ea l g o r i t h mi sf o r m u l a t e da s z + 1 = p c l ( ”p 七一7 。 ) a ：k ) ( ，一f b 。( k ) ) a 。( 七) z 奄 t h e nw ep r o v et h a tt h e 【扩】c o n v e r g e sw e a k l yt ot h ec o m m o nm i n i m a lp o i n to ft h e f u n c t i o n p j ( z ) = 三i ia j x - p q ， 圳 i nm a p sa ，q ，c n ，a n dt h el i n f i tp o i n ti st i ms o l u t i o no ft t l em u l t i p l e - s e t ss p l i t f e a s i b i l i t yp r o b l e mi nt h ec o n s i s t e n tc a s e w el a t e rm u l t i p l yas u i t a b l ec o e f f i c i e n tt o t h em a p p i n go ft h ea b o v ei t e r a t i v ee q u a t i o nt oh a v et h es t r o n gc o n v e r g e n c e ，a n dt h e a l g o r i t h mi sf o r m u l a t e da s z 七+ 1 = t k + 1 u + ( 1 一t k + 1 ) 只乃( ” z 七一，y 烈知) a ：) ( ，一p q 辨砷) a ，n 0 。p ( a a ) 是a 的谱半径，l = 丝1q t + p ( a + a ) 篓l 岛，并且有，y ( o ，2 l ) 他们证明了当 研，凰都是有限维h i l b e r t 空间且存在z + q 是m s s f p 的解时，上述算法的得到 1 山东大学硕士学位论文 的序列 z 七】弱收敛到m s s f p 的解矿，之后h o n g - k u nx u 在f 1 4 】中将上面的算法 的收敛性扩展到无限维h i l b e r t 空间 上面所列举的迭代算法以及这篇论文后面将要提到的几种迭代算法都属于投 影算法投影算法由于比较容易处理大维数问题，近年来已经得到很大的发展，在 图像重建和图像处理领域用以解决全离散模型问题 本文主要在前人成果的基础上将m s s f p 作如下推广， n 寻找一个点x c = f1c ：f ，使得如z q ( j = l ，m ) ( 1 4 ) i = l 这里，m 1 是整数，c 1 ，为无限维h i l b e r t 空间风的闭凸子集， q 1 ，一，q m 为无限维h i l b e r t 空间啦的闭凸子集，岛：h t _ 凰是有界线性 算子 文章的主体由四部分组成t 第二章主要介绍一些后面经常用到的与非扩张算子 有关的一些引理；第三章在前人工作的基础上对多集合分裂可行性问题做出推广， 提出一种迭代算法，并在此基础上引出两个推论；第四章主要从块迭代方面引入一 种解决多集合分裂可行性问题的迭代算法；第五章则直接利用一篇文章的已知结 论，再提出一种迭代算法这篇论文的几种迭代算法均证明了迭代序列在满足一定 的约束条件下的弱收敛性，其中在第四章中，我们还证明了改进的迭代序列会强收 敛到多集合分裂可行性问题的解 2 第二章需要用到的几个引理 我们首先补充几个算子的定义。设h 为h i l b e r t 空间，算子g ：h _ 日称 为1 7 一c o c o e r c i v e ( 或者i n v e r s es t r o n g l ym o n o t o n e ) 是指存在z ， 0 使得对于 比，y h 有下面的不等式成立： ( g x g 可，z y ) 1 20g x g y1 1 2 算子n ：h _ 日称为非扩张( n o n e x p a n s i v e ) 算子，是指对于沈，y h 有 0n x n y0 0z yl | 、 成立算子a ：h 一日称为平均( a v e r a g e d ) 算子，是指存在非扩展算子n 和常 数o l ( 0 ，1 ) 满足 a = ( 1 一a ) i + a n 其中i ：h 一日为恒等算子算子f ：h 日称为严格非扩张算子是指f 为 1 一i s m ，即对比，y h 有下面的不等式成立， ( f x f 剪，z y ) 1 1 if x f 耖1 1 2 引理2 1 【2 】2 若算子为严格非扩张算子，则也是平均算子；若算子f 为平均算 子，则f 也是非扩张算子 引理2 2f 2 j 1 5 】算子n 为非扩张算子当且仅当它的补算子二是量一i s m 算子；算 子f 为严格非扩张算子当且仅当它的补算子工f 是严格非扩张算子；算子a 为平 均算子当且仅当它的补算子l a 是7 一i s m 算子，其中7 互1 引理2 3 【2 】算子t ：何一日为7 一i s m 算子，则q t 是吾一i s m 算子 引理2 4 【2 】2 设算子a 和b 为平均算子，则t = a b 也是平均算予 引理2 5 【1 7 1 8 】t 为日上的平均算子，t 的不动点构成的集合f i x ( t ) 非空，则 序列 t 七z ) 对任意的z 均弱收敛到t 的不动点 3 山东大学硕士学位论文 引理2 6f 2 j f l 5 4 设：日_ 日为非扩张算子，序列1 扩) 由下式定义 z 七+ 1 = ( 1 一o l 鼯) z + o l k n x ，k = 0 ，1 ， t l , l 当n 存在不动点且系数n 七【0 ，1 】满足+ k = ”oo r k ( 1 一o c k ) = + o 。时，由上式确定 的序列 矿) 弱收敛到算子的不动点；进一步，如果为严格非扩张算子，则当 存在不动点且系数n 知【0 ，2 】满足k + = 0 0 0 0 七( 2 一“七) = + 0 0 时，序列 扩，弱收敛 到算子的不动点 考虑h 的非空闭凸子集c 上的投影算子，对v c c 始终有下式成立。 如此我们得到 两式相加得 ( c p c z ，您z z ) 0 ( j 毛可一p c z ，岛z z ) 0 ( 膨z 一忍y ，秒一y ) 0 恐茹一忍移，x y ) 刻您茗一咒酬2 因此投影算子忍为严格非扩张算子，也是平均算子 引理2 7 【5 1 p 9 】设函数 则有 ， n m 户( 功2 壶啦i i 一圳2 + 三i = 1 房彪4 一也训2 ( 2 1 ) nm v p = q t ( ，一圪) + 3 1 a ；( i 一) 如 ( 2 2 ) i = 1 j = l 并且v 尸为一l i p s c h i t z ，即对比，y 研有 0v p ( x ) 一v p ( 可) i i li lz y 其中l = 竺。啦+ 兰l 岛0 如1 1 2 ，q ，o t 2 ，口，历，屈，助【o ，+ o o ) 4 山东大学硕士学位论文 引理2 8f 6 1 如果算子t ：h _ 日为a l i p s c h i t z ，那么t 也是圭一i s m 算子 引理2 9 【4 】令，m 是定义在h i l b e r t 空间h 上的非扩张算子，对k = 0 ，1 ， 系数q f 0 ，1 j 满足k + = ”oc e k ( 1 一q 南) = + o o 定义 d p ( 肌，n ) 全s u pi i 帆z n xl 忙尹 则对任意的p 0 ，满足七j i - 一o o o q 愚d p ( 帆，n ) 0 ，我们定义b ( 眠，) 全s u pi ig k x n xi l 并针对迭代算法( 3 2 ) i i = l l 0 ，不等式盔( 2 + 讥l ) 砩( 疋，r ) 0 ，不等式善( 2 + 锹l ) d p ( 疋，t ) + o o 成立时，我们得到 高a k d ，( 死，t ) + ，同时算子t = 玮( 一兰v p ) 显然是非扩张算子综合上 述分析，根据引理2 9 的结论我们得到：由迭代式( 3 2 ) 得到的序列( z 七) 弱收敛到 算子丁的不动点矿，即： ( ，一睾v p ) z + = z + 应用正交投影算子的性质我们得到： 一，矿一( 茹一丢v p ( z ) ) ) 0 ，物q 即 ( z z + ，v p ( x ) ) 0 ，v x q 考虑到函数p ( x ) 是凸函数，因而有下面的不等式成立t p ( x ) p ( x + ) + ( v p ( x 4 ) ，x z + ) ，v x s 2 所以有 尸( 矿) = m i n p ( x ) ，x q ) 也就是说矿是函数p ( x ) 在集合q 上的极小值点显然m s s f p 的解集与集合q 的 交集非空时，矿也是m s s f p 的解，证毕口 注；从迭代式( 3 2 ) 可以看出令q = g ；讯= 7 ；n = m = 1 ；o g l = n 2 = = c g n = 0 ；侥一仍= = 砌= 0 ，则( 3 2 ) 式就变为( 1 1 ) 式，即c h a r l e sb y r n e 提出的c q 算法，在实际计算过程中，为方便起见我们可用q ，q ，c m 中的任何一个集合 来代替q 下面我们考虑迭代算法( 3 2 ) 的两种特殊形式。并由此得出两个推论 推论3 1 1 令7 ( 0 ，- i ) ，当存在矿q 是m s s f p 的解时，由迭代算法 nm z = 玮矽- 7 ( q ( ，一) + 岛q ( j p q ，) a j x ) ，咄t t l ( 3 4 ) i - - - - 1 i = 1 得到的序列 ) - 弱收敛于m s s f p 的解矿；当m s s f p 不可解时，序列 扩 弱收 敛于函数尸( z ) 在集合q 上的最小值点 r 山东大学硕士学位论文 证明；当 ( 0 ，z 2 ) 时，综合引理2 2 ，2 7 和引理2 8 的结论知，一1 v 尸是甲均算子， 进而s n c x 一1 v p ) 也是平均算子所以根据引理2 5 的结论我们得到：迭代算法3 4 确 定的序列( 扩) 弱收敛于算子p n ( j 一7 v p ) 的不动点z ，即尸n ( 矿一 t v p ( x ) ) = 矿 与定理3 1 0 的证明过程类似，我们很容易得到该推论成立 推论3 1 2 当饥【0 ，苎】，七 l = o o o 饥( 2 一饥) = + 且m s s f p 可解时，由迭代算法 n f 矿+ 1 = 扩一饥( q t ( j p e , ) z 知+ z j a ；( z p q j ) a j z 知) ，时h i ( 3 5 ) i = 1 j = l 定义的序列x ) 弱收敛到m s s f p 的解 证明：利用引理2 7 中的表示形式，( 3 5 ) 式可以写为： z 七+ 1 = ( i 一7 k v p ) x 知 我们令 t k = 譬，则迭代式3 5 变为 x k + 1 ：z 知一雠z 詹4 - 阪z 七一- 学v p ( x k ) “ = ( 1 一玩) 。七- 4 - 反( 歹一了1 p ) z 七 通过引理2 2 ，2 7 和引理2 8 我们知道s - - t v p 为严格非扩张算子所以当讥【0 ，兰】 满足七- i - ：o o o 饥( 2 一玩) = + o 。时，即陬f 0 ，2 1 且盏伉( 2 一反) = + o 。，序列 矿 弱收敛到算子i 一圭v p 的不动点矿而当( i 一- 圭v p ) x = 矿即v p ( x + ) = 0 时，p ( x ) = 0 成立事实上 n p ( x ) = 去毗i ip c , x + 一矿慨+ 却，丢喜叫卜跏。+ = ( 矿，三v p ( z ) ) 由p ( x ) = 0 可知 岛i i 饧， 矿一a i x i l k 伤群( j 一) 如矿) z + c ，如z + q 0u = 1 ，2 ，m ) 即z + 是m s s f p 的解，证毕口 9 肘嚣触 1 2 1 2 第四章用块迭代算法解决m s s f p 问题 从应用某些算法( 例如期望最大化的极大似然法) 的经验可以知道在加速算法 收敛速度方面，块迭代方法有明显效果【2 0 】在【1 】中c h a r l e sb y r n e 也曾经提出过 解决分裂可行性问题的块迭代c q 算法( b i c q 算法) ： z 七+ 1 = 户ck 忌+ ( 七) a ； 0 以及 忪七一删2 而与( | | 矿一z1 1 2 一 x k + l - - z1 1 2 ) 即序列删铲一z 胁递减，因此l i m a _ + o o0 扩一zi i 存在， 矿) 有界同时由 争一( a ) x a l l 2 丽1 忙。刊1 2 + o 。 知l i m a 。l i 一( 南) 矿i | _ 0 ，即 矿一& 扩) 一0 ，v i = 1 ，2 ，m 成立 下面应用引理4 1 4 的结论，容易看出条件( i ) 显然满足，下面证明条件( i i ) 也是 成立的为此，设序列 扩) 的子序列 z b ) 弱收敛于盒，由x 七一& 妒) 一0 ，v i = 山东大学硕士学位论文 1 ，2 ，m 知序列 ( ，一& ) z b ) ( = 1 ，2 ，m ) 强收敛于0 ，考虑到最是非扩 张算子，应用引理4 1 3 的结论我们很容易得到以下结果。 ( ，一研) 圣= 0 ，( ，一& ) 岔= 0 即圣f i x ( s i ) nf i x ( & ) n nf i x ( s m ) = c ，也就是说引理4 1 4 的条件( i i ) 满足因此直接应用引理4 1 4 的结论我们知道一定存在正，乃，砌的公共不动点 z ，使得序列 矿 弱收敛于z + ，证毕口 下面写出本章节的主要结论 定理4 1 6 对于歹= l ，2 ，m ，l j = p ( a ；a a ，当( o ，互l j ) 时，由迭代算法 z k + 1 = g y ( k ) ，m ( k ) 扩 ( 4 2 ) ( g ，( 七) ，似七) 的表达式在彳式中给出) 所定义的序列 扩) 弱收敛到函数 弓( z ) = 却 z 一4 z 慨，o = l ，2 ，五，) 在g ，( = 1 ，2 ，n ) 上的公共最小值点，而m s s f p 可解时这个点就是m s s f p 的解 证明。易知a ( ，一p q ) a 为厕1一i s m 算子，令岛= p ( a ；a j ) 0 = 1 ，2 ，a f ) ， 则当饬( o ，专) 时，与定理3 1 0 的分析类似，我们知道 g ，。( 妨= p c , ( qp 一7 m ( 动a ：l ( 詹) ( ，一场俳) ) 厶湖 是平均算子，此时序列 ，弱收敛到g 1 1 ，g t 2 i 2 一，g 1 。m ，g 2 ，l ，g ，m 的公共不 动点而矿是瓯jg = 1 ，2 ，n ，j = 1 ，2 ，m ) 的不动点则等价于矿是函数 b ( 功在a 上的最小值点显然m s s f p 可解时，这个点就是m s s f p 的解，证毕口 事实上我们可以在( 4 2 ) 中乘上一个系数以使得到的新序列 矿) 强收敛到 m s s f p 的解，为此我们需要用到下面的引理t 1 2 山东大学硕十学位论文 引理4 1 7 【l o 】设c 为h i l b e r l 空间h 的非空闭凸子集，丑，死，霸：c _ c 是 非扩张算子，满足f ：= n t n ：1 f i x ( t t ) 0 ，若f = f i x ( t n 死) 且常数t nc ( 0 ，1 ) 满足： ( i ) l i m 。= 0 n + 。o ( 既) 。= 0 0 ( i i i ) n l 。i m 。景。1 或者 + 则对于给定的x 0 ，u c 序列： z 七+ 1 = t k + i u + ( 1 一；k + 1 ) ( 七) z 七，k 0 强收敛于尸f t l ，这里斥：c f 为投影算子，n ( k ) = k ( m o dn ) + 1 利用引理4 1 7 的结论我们可以对序列 z 七) 作如下改进t z 知+ 1 = t k + l u + ( 1 一t k + 1 ) 只乃( ) p 七一( 知) a 麓( 知) ( j p q 。( ”) a 。( 七) z 南】 ，比o h l ( 4 3 ) 即 并得到下面的结论t z 七+ 1 = t k + 1 u + ( 1 一t k + 1 ) g ，( 七) ，m 七) 定理4 1 8m s s f p 可解时。若( o ，苦) 。常数列 如) 满足引理4 1 7 中的条件 俐俐( i i i ) ，则似砂式定义的迭代序列 矿) 强收敛于元素钍在m s s f p 解集上的 投影，并且当t 取特殊值0 时序列 扩) 的极限矿是m s s f p 的最小范数解 证明；由定理3 1 0 知当( o ，专) 时，g i jg = l ，2 ，j 。，歹= 1 ，2 ，m ) 是平 均算子，则由【2 】2 中的定理2 2 知t f ：= n 篓1 吖m ：1f i x ( g i d ) = f i x ( g x ，l g l ，2 ，g i ，m ，g 2 l ，g n , m ) +n 一 体 f l 山东大学硕+ 学位论文 因此当常数列 南) 满足引理4 。1 7 中的条件( i ) ( i i ) ( i i i ) 时，由4 3 式定义的迭代序列 z ) 强收敛于斥让f 同时从f 2 】中的定理2 2 知； n 鉴1f i x ( a i d ) = f i x ( p c i 一- r j a ；( i p q ，) 4 ) 是集合c 中使函数p a x ) = 互1 | i 山z p q ，a i x1 1 2 取得极小值的所有x 组成的集合。所 以f ：= n 丝l 曜lf s x ( a t j ) 就是集合c 中使函数p ( z ) = 互1 墨ll l 山z p q ，a j x 1 2 取得极小值的所有x 组成的集合，也就是m s s f p 可解时的解集，证毕口 1 4 第五章另一种解决m s s f p 问题的迭代算法 下面我们利用1 9 】的已知结论再提出一种解决m s s f p 的迭代算法： z + 1 = ( 1 一w k ) x 七+ w k a k ( i 一7 v p ) x 知+ ( 1 一o k ) p n x 七 ，比o h 1 ( 5 1 ) 其中u ：盯知( o ，1 ) ，7 ( o ，兰) ，q h i 为非空闭凸集，算子v p 的具体形式在引 理2 7 中已经给出 为了证明上式定义的序列 矿) 的收敛性，我们首先引入一个引理； 引理5 1 9 9 令c 为h i l b e r t 空间日的非空闭凸子集，p ：c c 和t ：c c 是两个非扩张算子满足f ，x ( r ) d ，序列 由下式定义， z 七十1 = ( 1 一u 七) z 七- t - w k ( a 七p x 七十( 1 一a k ) t x 七) ，k = 0 ，1 ， 其中c a ) k ，仃七( 0 ，1 ) 满足如下性质， l i m 嵯：l 二生 七o o o ) k t 7 k 则序列( ) 弱收敛于叠f i x ( t ) 满足 = 0 ( z 一叠，孟一p 奎) 0 ，v x f ，x ( 丁) 下面回到由( 5 1 ) 式所定义的序列 扩) 算子，一1 v p 和p n 显然是非扩张算子， 因此t d k ，o k 满足引理5 1 9 中的性质( i ) ( i i ) 时，序列弱收敛于矿f i x ( p ) = q ， 满足 即 z 一茁+ ，z 一( ，一，y v p ) z 。) 0 ，v z q ( v p ( x ) ，z z + ) 0 ，比q 通过定理3 1 0 的讨论我们知道满足上式的矿是函数p ( z ) 在q 上的极小值点，由 此我们就得出了本章节的主要结论t 1 5 o = 七 口 n h “ 七 盯 七 脚 山东大学硕士学位论文 定理5 2 0 序列t z 南) 由迭代算法p j 定义，若蛾，o k 满足 l i m 嵯：二兰! k - - * o o _ d k o k = 0 则存在矿q 是m s s f p 的解时，序列f 矿) 弱收敛到z + 注：与定理3 1 0 类似，为方便计算期间，可用尼 ，中任何一个来代替 p n 1 6 0 i i 盯 熙 盯u 脚 参考文献 【1 】b y r n ec ，i t e r a t i v eo b l i q u ep r o j e c t i o no n t oc o n v e xs e t sa n dt h es p l i tf e a s i b i l i t yp r o b l e m ， i n v e r s ep r o b l e m s ，1 8 ( 2 0 0 2 ) ，4 4 1 5 3 b y r n ec ，au n i f i e dt r c a t m e n to fs o m ei t e r a t i v ca l g o r i t h m si ns i g n a lp r o c e s s i n ga n di m a g e r e c o n s t r u c t i o n ，i n v e r s ep r o b l e m s ，2 0 ( 2 0 0 4 ) ，1 0 3 - 2 0 【3 】c e n s o ry ，e l f v i n gt ，k o p fna n db o r t f e l dt ，t h em u l t i p l e - s e t ss p l i tf e a s i b i l i t yp r o b l e m a n di t sa p p l i c a t i o n sf o ri n v e r s ep r o b l e m s ，i n v e r s ep r o b l e m ，2 1 ( 2 0 0 5 ) ，2 0 7 1 - 8 4 【4 】z h a oja n dy a n gq ，an o t eo nt h ek r a s n o s e l s k i m a n nt h e o r e ma n di t sg e n e r a l i z a t i o n s ， i n v e r s ep r o b l e m ，2 3 ( 2 0 0 7 ) ，1 0 11 - 1 6 【5 】a u b i ujpa n dc d l i n aa ，d i f f e r e n t i a li n c l u s i o n s ：s e t v a l u e dm a p sa n dv i a b i l i t yt h e o r y , b e r l i n ：s p r i n g e r ( 1 9 8 4 ) ， 【6 】6 b a i l l o njba n dh a d d a dg ，q u e l q u e sp r o p r i d t d sd e so p e r a t e u r sa n g l e - b o r n e se tn - c y c l i q u e m e n tm o n o t o n e s ，i s r a e lj m a t h ，2 6 ( 1 9 7 7 ) ，1 3 5 0 【7 】o p i a lz ，w e a kc o n v e r g e n c eo ft h es e q u e n c eo fs u c c e s s i v ea p p r o x i m a t i o n sf o rn o n e x p a n s i r em a p p i n g s ，b u l l a m e r m a t h s a c ，7 7 ( 1 9 6 7 ) ，5 9 1 - 9 7 i s 】a l v a r e zf ，w e a kc o n v e r g e n c eo far e l a x e da n di n e r t i a lh y b r i dp r o j e c t i o n - p r o x i m a lp o i n t a l g o r i t h mf o rm a x i m a lm o n o t o n eo p e r a t o r si nh f l b e r ts p a c e ，s i a mzo p t i m ，1 4 ( 2 0 0 4 ) ， 7 7 3 8 2 【9 】y a oya n dl i o uyc ，w e a ka n ds t r o n gc o n v e r g e n c eo fk r a s n o s e l s k i - m a n ni t e r a t i o nf o r h i e r a r c h i c a lf i x e dp o i n t , p r o b l e m s ，i n v e r s ep r o b l e m ，2 4 ( 2 0 0 8 ) ，0 1 5 0 1 5 【1 0 】o h a r ajg ，p i u a ypa n dx uhk ，i t e r a t i v ea p p r o a d m st of i n d i n gn e a r e s tc o n u n o l lf i x e d p o i n t so fn o n e x p a n s i v em a p p i n g si nh i l b e r ts p a c e s ，n o n l i n e a ra n a t , 5 4 ( 2 0 0 3 ) ，1 4 1 7 - 2 6 【11 】c e n s o rya n de l f v i n g ，am u l t i p r o j e c t i o na l g o r i t h mu s i n gb r e g m a np r o j e c t i o n s i na p r o d u c ts p a c e ，n u m e ra l g o r i t h m s ，8 ( 1 9 9 4 ) ，2 2 1 3 9 f 1 2 】c e n s o rya n dz e n i o ssa ，p a r a l l e lo p t i m i z a t i o n ：t h e o r y , a l g o r i t h ma n da p p l i c a t i o n ， n e wy o r k ：o x f o r du n i v e r s i t yp r e s s ，( 1 9 9 7 ) 1 7 山东大学硕士学位论文 f 1 3 】p a l t ara n dm a c k i etr ( e 8 ) ，i n t e n s i t y m o d u l a t e dr a d i a t i o nt h e r a p y ：t h es t a t eo f a r t ( m e d i c a lp l f f s i c sm o n o g r a p h2 9 ) ，m a d i s o n ，w i ：m e d i c a lp h y s i c sp u b l i s h i n g