（产业经济学专业论文）MCMC理论及其在金融资产定价中的应用.pdf

硕士论文 m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 摘要 金融资产定价模型多为数理表达式，模型中存在着各式各样的参数，金融理 论的研究者们为了使模型对市场的检验描述更为准确，提出了众多的检验方法， 来估计存在于模型中的参数。随着科技的进步，计算机技术为金融资产定价模型 的更精确检验提供了技术条件。计算机技术、数学工具和金融理论的结合导致了 金融工程的诞生。本文遵循金融工程的思想，利用马尔可夫链蒙特卡罗模拟对部 分连续时间金融资产定价模型做了参数估计的必要步骤的论述。同时，利用深圳 股票交易所的成份指数的数据对s v 模型中的参数作了估计，尽管从图形上看， 还是存在一定的误差，但估计的结果还是比较精确的。 关键词：m c m c 金融工程s v 模型期限结构模型期权定价模型 生! 兰兰 坚! 翌! 里笙墨苎垄全壁壅主塞塑竺窒里 a b s t r a c t m o s to ft h ef i n a n c i a la s s e t p r i c i n g m o d e l sa r em a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n sw i t hv a r i o u sp a r a m e t e r s s oi no r d e rt om a k eitm o r ea c c u r a t e i nm a r k e ti n s p e c t i o nt h er e l e v a n ts c h o l a r sh a v ep u tf o r w a r dm a n ym e t h o d s t oe v a l u a t et h e s ep a r a m e t e r si nt h em o d e l s w i t ht h e d e v e l o p m e n to f s c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，t h ec o m p u t e rt e c h n i q u eh a s p r o v i d e dt h ev e r y c o n d i t i o nf o ra c c u r a t ei n s p e c t i o n sw i t hf i n a n c i a la s s e tp r i c i n gm o d e l s a n dt h ec o m b i n a t i o no fc o m p u t e rt e c h n i q u e ，m a t h e m a t i c a lt o o l sa n d t h e f i n a n c i a lt h e o r i e sg a v eb i r t ht ot h ef i n a n c i a le n g i n e e r i n g b a s e do nt h e f i n a n c i a le n g i n e e r i n gt h e o r ya n dw i t ht h em e t h o do f1 l i c m c ，t h i s p a p e r d i s c u s s e dt h e n e c e s s a r ys t e p s i n p a r a m e t e re v a u a t i o no fs o 皿e c o n t i n u o u s t i m ef i n a n c i a la s s e tp r i c i n gm o d e l s 。i na d d i t i o nt ot h i s t h e p a p e re v a l u a t e dt h ep a r a m e t e r si ns vm o d e l sw i t ht h ed a t ao fs s e t h o u g h t h e r ew e r ee r r o r sf r o mt h ef i g u r e s ，t h er e s u l to ft h e e v a l u a t i o nw a s c o m p a r a t i v e l ya c c u r a t e k e yw o r d s m o , _ f cf i n a n c i a l e n g i n e e r i n g s vm o d e l t e r ms t r u c t u r em o d e l o p t i o np r i c i n gm o d e l 1 y 6 2 5 2 3 5 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名： ；年g 月，乎日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 硕士论文m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 1 绪论 1 1 研究背景、目的及意义 1 1 1 研究背景1 嘲 金融学作为经济学的一个分支。主要以资本市场作为自己的研究重点。早 期的金融学的研究重点，正如默顿教授( r o b e r tcm e r t o n ) 所言，整个的集中 于事物性、单调性而重复的、法律上的事情的描述上，金融理论不过是收集一 些轶事，采用依据实际经验的做法以及会计数据推来推去。现代金融理论的中 心点则是资本市场的运营、资本资产的供给和定价，其方法是使用近似的替代 物给金融契约和工具定价。 近年来，资产定价理论对金融的发展产生了巨大的影响。正是由于定价模 型理论的发展，大量的资本根据模型进行投资，才使衍生证券市场的增长和发 展成为可能。同时，投资实践也为理论的发展提供了压力和动力，不断检验着 理论的正确性。 一般认为现代金融理论起始于上世纪5 0 年代初。当时，h m a r k o w i t z 提 出了投资组合理论，最先把数理工具引入金融研究，因此被看作是分析金融学 的发端。在这之前，金融学的研究是描述性的，没有精致的数量分析。后人把 h m a r k o w i t z 的工作和7 0 年代初b l a c k 和s c h o l e s 提出第一个期权定价公式这 两项有较强数学性的工作称为“华尔街的两次数学革命”。自此，数学开始在金 融学的研究中占据了举足轻重的地位。 2 0 世纪末计算机技术迅猛发展，实证数据分析对资产定价理论的发展起了 重要作用。运用计算机，使对大量股票价格数据的搜集、储存、分析成为可能， 在验证了定价理论的正确性的同时也弥补了现有理论存在的缺陷。 随着计算机技术的迅猛发展，利用数学模型对现实金融世界进行实证分析 也越来越可行。于是，- r 综合运用金融理论、数学、计算机技术的新兴学科 金融工程学于上世纪8 0 年代诞生了。 金融工程是8 0 年代末，9 0 年代初出现的一门工程型的新兴学科。它将工 程思维引入金融领域，综合地采用各种工程技术方法( 主要有数学建模、数值 计算、网络图解、仿真模拟等) 设计、开发和实施新型的金融产品，创造性地 解决各种金融问题。大部分真正有实际意义的金融工程研究，都必须有计算机 技术的支持。 硕士论文m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 1 1 2 研究目的 运用了金融工程的研究思想，对各式各样的金融资产定价模型的检验已越 来越精确，本文正是基于这种目的，试图运用m c m c 理论，结合计算机模拟来 估算金融资产定价模型尤其是连续时问金融资产定价模型中的参数，以期精确 测得参数。 1 1 3 研究意义 在金融工程的研究中，一种典型的方法是利用数学结合现代先进的计算机 模拟技术对传统的资产定价模型进行评估，以更好地适应现实情况的资产定价 需求。而金融资产定价模型能否被有效运用的主要障碍之一即各模型中参数的 值比较难以确定。 虽然之前已有众多的学者运用各种各样的方法对众多的资产定价模型中的 参数进行了估算，但检验结果还是存在着不少缺陷。本文所运用的m c m c 方法 主要是对传统运用的m c ( 蒙特卡罗) 模拟的一种改进，用于克服m c 模拟难 以克服的高维动态模拟的问题，同时也试图用来克服传统模拟方法的精度差与 效率差的问题。有理由相信，利用m c m c 方法估算得的参数值会比利用m c 模拟估算得到的参数值更精确。这样，在利用模型对市场的检验时就可以得出 更接近真实情况的结论。 1 2 研究方法和内容 1 2 1 研究方法 本文研究的方法主要是： 理论研究和实证研究相结合。从资产定价模型的角度来看，对模型中需要 估计的参数，一一列出估算的表达式；从m c m c 理论的角度来看，针对组成完 整理论的方法，分别列出与之相适宜的模型，以完整地介绍m c m c 理论的应用。 并且对m c m c 理论中最常用的g i b b s 抽样方法结合以中国深圳股票交易所提供 的深证成份指数2 0 0 3 年全年的数据给予实证计算。 1 2 2 研究内容 本文研究的内容主要为以下几方面 硕士论文m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 ( 1 ) 介绍了本文所讨论的连续时间金融资产定价模型。这些模型为期权定价 模型、随机波动模型( s v 模型) 、v a s i c e k 模型和c i r 模型。 c 2 ) 介绍了m c m c 方法，即马尔可夫链蒙特卡洛( m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o ) 方法。根据m c m c 方法中的g i b b s 抽样方法和m e t r o p o l i s - h a s t i n g 抽样方法各自 的特点，针对具体情况应用何种方法，都进行了描述。 ( 3 l m c m c 方法中m e t r o p o l i s h a s t i n g s 方法与g i b b s 方法跟连续时间金融资 产定价模型的结合。针对具体模型的具体情况，使用相适应的抽样方法。 c4 煨据深证成分指数2 0 0 3 年全年的数据，利用g i b b s 抽样方法对随机波动 模型( s v 模型) 进行了参数估计。 1 3 本文的创新 本文的创新之处在于：运用一种比较新颖的统计方法，对资产定价模型的 参数进行估算，所涉及的资产定价模型完全涵盖了m c m c 理论中的具体方法， 对m c m c 理论的应用给出了比较齐全例子，并且结合中国股票市场的真实数据 进行了实证计算。 1 4 文献综述n 一 由于本文所做的工作是在用计量经济模型来分析问题，解决问题之前所必然 要解决的模型中参数的估计问题，所以，对于金融模型的估计方法势必要做一个 简单的说明。 本文研究的随机波动模型在其刚刚出现的l o 余年，因为不能进行其估计问 题，使得其在实际中的应用受到很大的局限。近年来，各种新型的估计方法不断 出现，但大致可以将它们概括为两类： ( 1 ) 以广义矩方法( g m m ) 为代表的矩方法： ( 2 ) 以马尔柯夫链蒙特卡洛( m c m c ) 为代表的模拟方法。 g m m 是h a n s e n ( 1 9 8 2 ) 提出的，它是计量经济中的第一个不依赖于分布的估 计方法。在过去的20 年中，g m m 方法被用于资产定价实证文献的每一个方面。 其后，人们又对这一方法迸行了改进与扩展，主要表现在权矩阵的估计、矩的产 生等方面。如果用模拟技术来产生矩，此时的方法被称为模拟矩方法( s m m ) ； 而用间接推断的方法产生矩条件，就得到有效矩方法( e m m ) 。 借助于模拟技术的估计方法除了上面所提的s m m 方法外，还包括马尔可夫 链蒙特卡洛( m c m c ) 法、模拟极大似然( s m l 9 法等。在这些方法中，影响最大、 使用最广的是m c m c 方法。 硕士论文m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 m c m c 方法最初应用于计算物理( m e t r o p o l i s 等，1 9 5 3 ) ，h a s t i n g ( 1 9 7 0 ) 的工作使其更为一般化，但主要用于统计问题。g e 妇n d 和s m i t h ( 1 9 9 0 ) 的研究 显示出m c m c 方法在贝叶斯计算上有着巨大的潜力，他们将马尔可夫链的方法与 t a n n e r 和w o n g ( 1 9 8 7 ) 的增参数方法相结合，证明了对含有潜在动态变量的计量 模型的估计是极为成功的。m c m c 方法不仅可以用于一般a r m a 模型的估计，还 可以用于各种波动模型的估计，面对于如何把m c m c 方法推广到期权定价模型和 期限结构模型的参数估计中去，也是本文的内容之一。就s v 模型而言，m c m c 方法不仅可以用来估计基本s v 模型，而且可以估计s v 模型的一元与多元扩展。 近年来，以各种复杂的动态随机系统的统计推断为主要目的序列蒙特卡洛方法 ( s e q u e n t i mm o n t ec a r l o ( s m c ) ) 也取得了很大的进展。 在国内的研究中，在金融学领域，对m c m c 方法的研究还比较少，多数是 偏重实际应用。此方面运用较多的是王春峰“m 1 ，另外，赵家敏，刘湘云“3 也作 了一定的分析。总的来看，m c m c 方法在金融学领域应用地还比较少。 1 5 研究思路 研究思路如下图所示 4 硕士论文m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 图1 1 文章框架结构图 硕士论文 m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 2 金融资产定价模型 金融资产定价理论有着极强的实践性，它们运用的基础是无风险利率的形 成和风险的量化。正如价格理论是微观经济学的基础一样，金融资产定价也将 成为金融市场运行机制中最重要的一环。目前，我国金融市场刚刚起步，因此， 只有借鉴发达国家金融市场的发展历程，将金融资产定价理论尽快应用到我国 金融实践中去，才能保证我国金融市场的稳定发展。而金融资产定价模型则是 利用数理工具对金融资产定价理论力争给出合理的描述，并用之来检验市场表 现，以便更好地了解金融市场的表现。 2 1 期权定价模型 2 i 1 期权定价模型的简介m m 历史上，期权定价模型可以分为两类： ( 1 ) 特定模型。特定模型根据实际观测和曲线拟合程度来确定期权价格，这 种模型的缺点在于无法反映经济均衡对期权价格的影响： ( 2 ) 均衡模型。均衡模型根据市场参与者效应最大化来确定期权价格，这方 面最早的研究成果是法国数学家巴士里叶在1 9 0 0 年完成的。尽管从今天看巴士 里叶的观点无论从经济学还是数学都存在着缺陷，但是他首先提出了确定期权 价格的均衡理论方法，遗憾的是巴士里叶的研究成果的随后的5 0 年中直未被 经济学家注意。 进入6 0 年代，期权定价理论研究开始活跃起来，这其中大多数工作都是根 据认股权证的思想方法来对期权进行定价。所有这些研究在本质上是一致的。 即将期权价格等同于期权期望收益的贴现值，期权期望收益依赖于未来股票价 格的概率分布，期望收益的贴现值依赖于贴现率。而实际中未来股票价格的概 率分布和贴现率是无法确定的。1 9 6 9 年s a m u d s o n 和m e r t o n 在其合作完成的文 章中认识到了这一点。他们将期权价格看作是股票价格的函数，并且认为贴现 率依赖于投资者所持股票和期权的数量，但是他们唯一没有认识到的是影响贴 现率的期权或股票的风险都是无法分散的或者可以称它们是系统风险。这使得 他们最终导出的期权定价公式仍需依赖于特定投资者的效用函数。 7 0 年代以前诞生的期权定价公式所具有的共同不足之处，就是不同程度地 依赖于股票未来价格的概率分布和投资者的风险偏好，而风险偏好和概率分布 硕士论文m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 是无法观测或正确估计的，从而限制了这些公式在实际中的应用。期权定价理 论的革命性突破是b l a c k 和s c h o l e s 于1 9 7 9 年发表于美国政治经济学杂志 上的一篇名为期权和企业债务的定价的文章。这篇文章给出了欧式股票看 涨期权的定价公式，即今天所称的b l a c k - - s c h o l e s 公式，它与以往期权定价公 式的重要差别在于只依赖于可观察到的或可估计出的变量，这使检验成功就可 成为指导期权投资的重要方法。b l a c k 和s c h o l e s 避免了对未来股票价格概率分 布和投资者风险偏好的依赖，这主要得益于他们认识到，股票看涨期权可以规 避股票的投资风险，通过一种投资策略，买入一种股票，卖出一定份额的股票( 看 涨) 期权，可构成一个无风险的投资组合，即投资组合的收益完全独立于股票 价格的变化，在资本市场完全均衡条件下，根据资本资产定价模型，这种投资 组合的收益应等于短期利率。由此，期权的收益可以用标的股票和无风险资产 构造的投资组合来复制。在无套利情况下，期权价格应等于购买投资组合的成 本，即期权价格仅依赖于股票价格的波动量、无风险利率、期权到期时间、执 行价格、股票时价，上述几个量除股票价格波动量都是可以直接观察到的，而 对股票价格波动量的估计也比对股票价格未来期望值的估计简单得多。期权价 格这种定价思想在b l a c k - - s c h o l e s 公式中也得到了体现。下面就对b l a c k s c h o l c s 看涨期权定价模型的推导过程做一个简单的描述。 假设期权执行价格为k ，股票时价为s ，股票波动量为o r ，期权到期时间 为r ，无风险利率为r ，期权价格为c ( s ，t ，x ) ，根据b l a c k - - s c h o l e s 公式得： c ( s ，t ，目- s n ( d 1 ) 一k e n ( d 2 ) ( 2 1 ) 其中，d ，呻( s 叼+ ( ，+ 霎) r 】舾打) ， 二 d 2 一d l 一仃打 ( ) 表示服从正态分布的分布函数。上式的经济意义为：欧式看涨期权的 价格，等于卖出利率r 的债券j 叠一n ( d ：) 份买入时价为s 的股票( d ：) 份所构 成的投资组合的成本。利用股票和无风险资产构造的投资组合收益来复制期权 价格思想的重要性在于： ( 1 ) 确保了b l a c k - - s c h o l e s 公式的正确性。市场中许多大投资者机构在股 票市场和期权市场中连续交易进行套利，它们的交易行为类似于期权的复制者， 使得期权价格越来越接近于b l a c k - - s c h o l e s 公式的复制成本，即b l a c k - - s c h o l e s 公式确定的价格。b l a c k 和s c h o l e s 通过对1 9 6 6 1 9 6 9 年店头期权交易( o t c ) 硕士论文m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 价格数据的分析以及另一学者哥雷对芝加哥期权交易所成立后前七个月交易价 格的分析都证实了b l a c k s c h o l e s 公式的准确性： ( 2 ) 它告诉人们可以用己存在的证券来复制符合于某种投资目的的新证券 品种，这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法，它推动了一大批新的金 融产品不断创出； ( 3 ) 揭示了有组织的期权交易所存在的原因。虽然期权可以由已存在的证 券进行复制，但这并不说明期权的有组织交易是多余的。在没有期权交易时， 期权的复制成本一定高于期权交易所的存在时，交易所内买入期权价格。这是 因为在竞争条件下，产品的价格应等于最小成本生产者所生产产品的成本，而 交易者在交易所内进行交易时，包括最小成本生产者在内都会从中获取收益， 这扩大了交易者的范围，增加了市场的流动性。 m e o n 于1 9 7 3 年在经济和管理科学杂志上发表了名为理性期权定 价理论l 的文章，对b l a c k - - s c h o l e s 公式所依赖的假设条件作了减弱，使其更 符合实际。他对利率为随机条件下的期权价格进行了分析，导出了相应的期权 定价公式。这个公式不要求资本资产定价模型成立，即资本市场完全均衡，当 投资者的交易行为不同时，不同投资者按此定价公式对相同期权就可得出不同 的期权价格。而b l a c k - - s c h o l e s 公式是在市场完全均衡条件下，即投资者对期 权价格有同一认识的定价公式。这样，m e r t o n 所得出的期权定价公式较最初的 b l a c k - - s c h o l e s 公式更合理。另外在这篇文章中，m o r t o n 还对欧式看跌期权、 美式看涨期权、含有分红的期权定价公式进行了分析。1 9 7 6 年m e r t o n 得到了 股票价格非连续情况下的期权定价公式，1 9 7 7 年m e r t o n 在其未定权益定价 和m o d i g i l a n t m i l l e r 定理一文中提出了在一定条件下一种证券价格是另种 资产的函数时，这种证券价格的定价公式。这一公式的推出仍然采用了用标的 股票和无风险资产构成的投资组合复制此种证券的收益的方法。这篇文章的重 要意义在于： ( 1 ) 它说明了用己存在证券复制新证券的更一般的方法； ( 2 ) 推出了欧式看涨期权必须满足的方程，解释了在无套利情况下为什么 期权定价公式必须是可微的，澄清了人们对b l a c k - - s c h o l e s 公式的一些争论。 1 9 7 3 年芝加哥期权交易所正式推出股票期权，b l a c k - - s c h o l e s 公式成为期权投 资者广泛采用的定价公式。随着债券期权、利率期权、股指期权的推出，期权 市场已成为金融市场中越来越重要的组成部分，b t a c k - - s c h o l e s 公式也成为金 融研究成果中对金融市场实践最有影响的理论。这正如1 9 9 5 年8 月3 1 日纽 约时报在悼念b l a c k 逝世的文章中指出的那样，b l a c k - - s c h o l e s 公式是今天 全球期权市场的基础。 硕士论文m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 2 1 2 期权定价理论的近期发展m b l a c k - - s c h o l e s 模型的推导建立在6 个假设基础上： ( 1 ) 期权的基础资产为一有风险的资产，可以被自由地买进和卖出，没有 交易成本和税收； ( 2 ) 无风险收益率是常量； ( 3 ) 在期权到期日前，基础资产无任何收益( 如股息、利息等) 支出： ( 4 ) 基础资产价格的变动符合几何布朗运动： ( 5 ) 交易市场是连续开放的： ( 6 ) 期权是欧式期权。 这6 个假设条件使b l a c k - - s c h o l e s 模型建立在与真实市场相差较大的“理 想市场”基础上，近2 0 多年来，经济学家们试图在“放松”这些假设条件情况 下，寻求更贴近实际市场的期权定价模型，取得了许多优秀成果，极大地丰富 和发展了期权定价理论。 7 0 8 0 年代的重要研究成果有： ( 1 ) t h o r p e ( 1 9 7 3 ) 检验了卖空限制条件： ( 2 ) m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 推广了考虑股利和随机利率的模型； ( 3 ) c o x 、r o s s ( 1 9 7 6 ) 和m e l t o n ( 1 9 7 3 ) 采用了交错随机过程( a l t e r n a t i v e s t o c h a s t i cp r o c e s s ) ； ( 4 ) b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 研究了欧式看跌期权； ( 5 ) c o x 和r o s s ( 1 9 7 6 ) 以及m e r t o n ( 1 9 7 6 ) 考虑了股票价格公式展开 中不具有连续样本路径时的期权问题； ( 6 ) i n g e r s o l l ( 1 9 7 6 ) 和s c h o l e s ( 1 9 7 6 ) 考虑到资本收益和股利的不同 税率效果； ( 7 ) 鲁宾斯坦( 1 9 7 6 ) 和b r e n n a n ( 1 9 7 9 ) 引入了有代表性的投资者效 用函数，得到了关于离散时间交易的b l a c k - - s c h o l e s 方程解： ( 8 ) b l a c k ( 1 9 7 6 ) 研究了商品期权； ( 9 ) c o x 、r o s s 及i n g e r s o l l ( 1 9 8 5 ) 考察了利率期权： ( 1 0 ) l e l a n d ( 1 9 8 5 ) 考虑了交易成本。 9 0 年代以来特别是近几年，很多经济学家对不完善市场、基础资产的价格 存在异常变动跳跃或者基础资产报酬率的方差不为常数等情况下的期权定价问 题进行了广泛研究，取得了许多重要研究成果。不完善市场主要是指对贷款及 卖空股票进行限制，或者存在交易成本，或者市场本身不完备等。不完善市场 假设显然要比完善市场假设更接近真实的金融市场，但这时的期权定价问题就 硕士论文 m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 复杂多了。在不完善市场情况下，通常难以得到b l a c k - - s c h o l e s 模型那种期权 的公平价格，已有的定价方法也将失去其作用。关于不完善市场的期权定价问 题，目前经济学家采用的主要方法有方差最优套期保值( v a r i a n c e o p t i m a l h e a g i n g ) 、均值方差套期保值( m e a n - v a r i a n c eh e d g i n g ) 、超套期保值 ( s u p e r - h e d g i n g ) 、有限风险套期保值( 1 i m i t e d - r i s kh e d g i n g ) 等方法。在这方面 作出过重要贡献的经济学家主要有b a r r o n 和j e n s e n ( 1 9 9 0 ) ，f o l l m e r 和s c h w e i z e r ( 1 9 8 9 ，1 9 9 1 ，1 9 9 3 ) ，s c h w e i z e r ( 1 9 9 0 ，1 9 9 1 ，1 9 9 2 ) ，h o f m a n n 等( 1 9 9 2 ) 。 d a v i s 等( 1 9 9 3 ) ，k a r a t z a s 和k o u ( 1 9 9 4 ) ，e i k a r o u i 和o u e n e z ( 1 9 9 5 ) 。 较早对基础资产价格变动存在跳跃情况的期权定价问题进行研究的要数 m e a o n ( 1 9 7 6 ) 、j a r r o w 和r o s e n f e l d ( 1 9 8 4 ) ，b a l l 和t o r o u s ( 1 9 8 5 ) 等人。近 几年。a l a n ( 1 9 9 2 ) ，a m i n ( 1 9 9 3 ) ，b a t e s ( 1 9 9 1 ，1 9 9 6 ) ，d a s 和f o r e s i ( 1 9 9 6 ) ， 陈超和邹捷中( 1 9 9 9 ) 等进一步推进了这方面的研究工作。 对基础资产报酬率的方差不是常数情况下的期权定价问题进行研究的主要 学者有：h u l l 和w h i t e ( 1 9 8 7 ) ，m e l i n o 和t u r n b u l l ( 1 9 9 0 ) ，a m i n 和n g ( 1 9 9 3 ) ， h e s t o n ( 1 9 9 3 ) ，n a n d i ( 1 9 9 8 ) ，k a l l i a n p u r 和x i o n g ( 1 9 9 9 ) 。 美式期权的定价问题要复杂得多，美式看跌期权问题的解析解的求解问题 还没有取得实际性突破。布伦南和s c h w a r t z ( 1 9 7 7 ) 、p a r k i n s o n ( 1 9 7 7 ) 以及其 他一些人已经描述了这些问题和其他一些没有解析解合同的数值解法。 期权定价方法具有广泛的应用价值，目前，己被广泛应用于包括股票、公 司债券、期货、可变利率抵押、保险、投资等在内的金融证券和合同的广阔领 域。期权定价理论已成为我们理解金融合同的重要因素和普及应用的使用工具。 2 2 利率期限结构模型 利率是金融市场上最重要的价格变量之一，它直接决定了相关金融产品的 定价和利率风险的管理”。因此，学者们开发出了许多模型以刻画利率的随机行 为，这些模型统称为利率期限结构模型。利率期限结构模型是用来描述不同期 限债券的到期收益率和到期期限之间的数学模型，它对于利率风险的管理和衍 生工具的定价十分重要。根据利率期限结构模型的推导过程，可以分为两种类 型：第一种类型就是均衡模型( e q u i l i b r i u mm o d e l ) ，根据市场的均衡条件求出 利率所必须遵循的一个过程，在这些模型中，相关的经济变量是输入变量，利 率水平是输出变量，这类模型有v i e s i c e k 模型，c i r 模型等：另一种类型是无 套利模型( n oa r b i t r a g em o d e l ) ，通过相关债券等资产之问必须满足的无套利条 件进行分析，此时利率水平是一个输入变量，相关金融工具的价格是输出变量， 这类模型有h u l l 和v c h i t e 模型，h j m 模型等“。 硕士论文m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 22 、1 利率期限结构文献综述“2 1 2 2 1 1 利率期限结构模型的研究 m a r s h 和r o s e n f e l d ( 1 9 8 2 ) 对多个利率模型进行了分析，发现利率期限结 构模型的均值回归系数都无法显著的与0 区别，而波动率则十分显著。 g l o d s t e i n ( 2 0 0 0 ) 将远期利率作为一个随机域进行分析，并考虑到不同的 到期日的创新之间的相关关系。在模型中，整个收益率曲线是一个输入变量， 而不仅仅是短期利率， r o b e r t s ( 1 9 8 0 ) 通过最小化一个效用函数的方差来研究利率的期限结构。 模型将债券投资看作用于满足计划消费的一种方式。但是，这篇文章的分析存 在数学推导上的失误。 c a m # e ( 1 9 8 6 ) 研究了一个简单交换经济中的债券和股票收益率行为。 c o x ，i n g e r s o l l 和r o s s ( 1 9 8 5 ) 在个跨期的资产市场均衡模型中对利率的 期限结构模型进行了研究，并提出了c i r 模型。所使用的研究方法与m e r t o n ( 1 9 9 0 ) 类似，认为投资集是随机变动的。 b a n s a l 和z h o u ( 2 0 0 1 ) 对存在机制转换情况下的利率期限结构问题进行了 研究和分析。所使用的计量分析方法是半参数( s n p ) 以及有效矩( e m m ) 方 法。检验结果表明两因子机制转换模型可以很好的拟合历史资料。这篇文献也 发现了类似于c a m p b e l l 和s h i l l e r ( 1 9 8 4 ) 的违反市场预期假设的现象。 l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 2 ) 在c i r 模型基础之上考虑了一个两因子均衡 模型。这两个因子是短期利率和波动率。这个模型可以解释不同形状的收益率 曲线。所使用的计量分析方法为g m m 。 h e a t h ，j a r r o w 和m o a o n ( 1 9 9 0 ) 对连续的h j m 模型进行了一个二叉树估 计。 s a n d e r s 和u n a l ( 1 9 8 8 ) 对v a s i c e k 模型的机制转换问题进行了分析，并且 发现不同的机制可以表现出不同的均值回归特征。一些均值回归现象是显著的， 而一些则是不显著的。所以在研究利率的行为时，时间窗口的选择十分关键。 c o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 2 ) 则在c i r 基础之上提出了一个一般化的模型。在c i r 模型中，期限溢酬在所有状态和所有的期限下都是同个符号，因此期限结构 的形状就受到限制。模型所使用的方法是定价核方法，而且估计是非线性的。 研究总结： ( 1 ) 利率期限结构模型已经逐渐由简单向复杂方向发展，研究水平也逐渐 深入，逐渐从单因素模型向多因素模型，从单状态模型向机制转换模型，从常 数模型向动态模型拓宽，利率期限结构模型的理论研究已经到了一个层次： 硕士论文m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 ( 2 ) 目前对利率期限结构模型的校准则是一个具有积极意义的工作。通过 对不同模型的实际校准并在此基础上选择最优的模型，是一项技术性非常强的 工作。 2 2 1 3 利率期限结构的实证研究 在对利率期限结构模型的理论研究基础之上，众多的学者都对不同的期限 结构模型进行了实证检验，以对不同的模型进行判别和比较。 d u r h a m ( 2 0 0 2 ) 利用d u r h a m 和g a l l a n t ( 2 0 0 2 ) 的计量分析方法对不同的 期限结构模型进行了实证检验。检验结果表明漂移项对模型表现好坏不会产生 影响。对漂移率的变化增加一些变化所能带来的效果不会好于常数漂移率。随 机波动率能够提高模型的拟合程度，但是对债券定价没有带来多大的好处。 b a l i ( 1 9 9 9 ) 对不同的利率期限结构模型进行了实证分析，结果表明漂移 率和波动率为常数的模型以及波动率为利率水平函数的模型过度强调了利率水 平对波动率的影响。最好的模型是波动率为利率水平和信息两个因素的函数。 c h a ne 1 ( 1 9 9 2 ) 利用g m m 估计方法对不同的利率期限结构模型进行了实 证比较，结果表明波动率受风险水平影响的模型表现最好。结果同样表明对漂 移率进行改进不会对模型产生太大的影响。而且，结果还表明一些经常运用的 模型。如v a s i c e k 模型等。表现很差。 f e r n a n d e z ( 2 0 0 1 ) 利用智利的数据采用非参数检验的方法对利率期限结构 进行了实证分析。所估计的模型是单因子模型，漂移率和波动率都是利率水平 的函数。结果证实了智利期限结构向下的趋势，这可以用中央银行的货币政策 或者市场分割理论进行解释。 k a r o u i 和l a c o s t e ( 2 0 0 0 ) 对h j m 模型中所使用的状态变量选择问题进行 了分析和研究。研究结果表明两个变量可以解释9 5 以上的利率变动，但是对 波动率则需要更多的变量。 b r o w n 和d y b v i g ( 1 9 8 6 ) 利用横截面美国国库券的数据对单因素c i r 模型 进行了实证检验。横截面实证分析可以得出同时问序列分析类似的结论。但是 这种方法会导致对贴现债券价格的低估以及期限溢酬的高估，这可能由税收效 应引起。 b a l l 和t o r o u s ( 1 9 9 6 ) 对c i r 模型以及b r e r m a n 和s c h w a r t z 的两因素模 型中的利率时间序列单位根问题进行了分析。当利率服从一个均值回归过程时， 一般的期限结构模型可以运用；但是如果利率服从单位根过程，则就不再适用 了。所进行的估计也是有偏的，这种偏误无法由g m m 等计量方法进行改进。 b r o w n 和d y b v i g ( 1 9 8 6 ) 使用横截面分析有助于降低这种偏误，因为横截面可 硕士论文m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 以提供将来利率变动的一些信息。因此如果收益率曲线是平稳的，则包含的信 息量少，所改进的程度也就比较少；如果收益率曲线是陡峭的，则可以进行很 大的改进。 l i n 和y e h ( 2 0 0 1 ) 对b s p l i n e 估计函数估计出来的利率进行了实证分析 分析结果表明两因素模型好于单因素模型。但是考虑跳跃性的两因素模型并不 能显著的优于单纯的两因子模型，但是它能够很好的解释期限结构以及利率衍 生产品的定价。 研究总结： ( 1 ) 不同的模型，不同的计量分析方法，不同的数据，所得出的实证结果 都会产生差异。因此，对不同的市场，重要的是模型的适用性。 ( 2 ) 但是，实证分析也得出一些基本一致的结论： 漂移率的假设不会对利率期限结构模型产生太大的影响； 波动率是利率期限结构模型的重要因素； 多因子模型要比单因子模型表现得好，但是多因子要牺牲自由度，因此，根 据实证结果，两因子模型可能是一个比较好的模型。 利率一般服从一个均值回归过程。 2 2 2 连续时问利率期限结构模型的统一框架 在m e r t o n ( 1 9 7 3 ) ，v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) ，c o x ，i n g e r s o l l 和r o s s ( 1 9 8 5 ) 对利 率期限结构模型进行了开拓性研究之后，又有许多研究在此基础上进行了推广 和拓展。如h u l l 和w h i t e ( 1 9 9 0 ) ，j a m s h i d i a m ( 1 9 9 5 ) 研究了时间依赖的期 限结构模型，d u f f l e 和k a n ( 1 9 9 6 ) ，c o n s t a n t i n i d e s ( 1 9 9 2 ) ，l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 2 ) 等又进行了多因素模型的研究。c h a r t ，k a r o l y i ，l o n g s t a f f 和 s a n d e r s ( c k l 5 ) 提出了一个统一框架包含了绝大部分连续时间利率期限结构模 型“”。这一著名的连续时间利率模型的统框架，即 d - ( 口+ 芦) 出+ o r , 7 a w , ( 2 2 ) 式中：川是维纳过程的增量；参数d ，卢，y 不为负：r 是利率水平；t 是时问。通过对参数口，卢，y 加以适当的限制，就能得到许多常见的利率模 型。如下表： 硕士论文m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 表2 1 不同利率模型的参数限制表“”“3 序号模型 a 卢 盯2 y 1 m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 无限制 0无限制o 2 v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 无限制无限制无限制 o 3 c o x ，i n g e r s o l l 和r o s s ( 1 9 8 5 ) 无限制无限制无限制1 5 平方根过程( c ms r l 4 d o t h a n ( 1 9 7 8 ) 00 无限制1 5 b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 、 o无限制 无限制1 几何布朗运动( g b m 、 6 b r e n n a n s c h w a r t z ( 1 9 7 9 ) 无限制无限制无限制1 ( b s ) 7 c o x , i n g e r s o b 和r o s “1 9 8 0 、 o0 无限制 1 5 可变利率模型( c i rv r l 8 c o x 和r o s s ( 1 9 7 6 、 o无限制 无限制无限制 不变方差弹性( c e v ) 9无限制的c k l s 模型无限制无限制无限制 无限制 在这一统一框架中，利率的波动性仅是利率水平的函数，所以又将这类模 型称为水平模型。但e n g l e 等提出，对利率波动性的这一限制是不适当的，例 如在市场上经常可以观察到利率水平高但波动性较低或利率水平低但波动性较 高的情况。因此，需要对水平模型的统一框架进行推广，即要把时间变化的参 数包含在模型内。另外，b r e n n e r 等还指出，在实际情况下，新闻事件的发生很 可能会对利率的波动产生巨大的影响，因此，他们对上述的统一框架进行了更 新一步的推广，同时把时间变化参数和消息效应包含进了统一框架的模型。然 而，k o e d i j k 等指出上述模型难以保证稳定条件，于是又提出了一个新的包含利 率水平和g a r c h 过程的利率模型( k n s w 模型) 。然而k n s w 模型并没有考 虑好坏消息( 即正负干扰) 对利率波动性影响的不同。谢赤等( 2 0 0 2 ) 以此为 出发点，通过加入一个新的参数对连续时间利率期限结构模型的统一框架又做 了进一步的改进。 由于大部分的模型都基于一个简单的假设，即不同期限债券收益率的变化 硕士论文m c m c 理论及其在金融资产定价中的应用 都源自于一个单一随机因素的变化，这个随机利率通常就是指短期或瞬间的利 率，于是这类模型就被称为单因素模型。由于单因素模型无论在理论研究还是 在实际应用中都羼于统治地位，所以本文的研究也将以单因素利率期限结构模 型为限。 v a s i c e k 模型和c 1 r 模型是其中应用最广的单因素利率期限结构模型。为了 能使这两个模型应用到金融实务中，人们作了许多实证分析以得到模型的参数 估计。吴冲锋等应用简单回归的方法利用中国的数据对模型进行了参数估计。 c h e n ，s c o t t ，p e a r s o n 和s u n l 则运用较新的最大似然估计方法进行了模型的实 证检验。而g i b b o n s 和r a m a s w a m y 利用了由h a n s e 提出的广义矩估计法( g m m ) 也对模型进行了参数估计。c h a n ，k a r o l y i ，l o n g s t a f f 和s a n d r e r s 还利用g m m 方 法对短期利率模型进